TEMA: REGLA DE CRAMER

INDICADOR: desarrollar un sistema de ecuaciones lineal con dos variables por el metodo de cramer

PROCEDIMIENTO:

� La guia se descarga y se coloca en la carpeta

� desarrollar la guía en hojas de block y colocarlas en una carpeta plastificada

� todas las hojas deben estar marcadas con su nombre, número, tema de la guía y la fecha en

la parte de arriba.

� Enviarlas al correo o a la plataforma.

NOVENO A……. matematicasnovenoa@gmail.com

NOVENO B…… matematicasnovenob@gmail.com

� Guía programada para las 8 horas de clase de las dos semanas

� Según el SIE del colegio, solo se reciben guias hasta tres días después de la fecha de corte y

será calificada bajo 4.0

� Las asesorías serán dadas en horas laborales cuando no este en clases virtuales, hasta las 4.30

de la tarde

� La presentación o la estética del trabajo vale nota

� El trabajo se presenta con la pregunta y su respuesta inmediatamente

� Trabajo enviado sin nombre vale uno.

� Las fotos deben ser claras , estar derechas y sin sombras

� Las personas que estas registradas que no tienen conectividad solo se recibe por WhatsApp el

ultimo dia

Recordemos que los Sistemas de Ecuaciones Lineales 2×2 son aquellos que se componen

de dos ecuaciones con dos incógnitas, y existen varios métodos para llegar a su solución en caso de

existir. Vamos a realizar la regla de cramer.

Pero antes veamos que es un determinante.

Una matriz 2×2 no es más que un arreglo de elementos que posee dos columnas y dos filas

Y un determinante de una matriz 2×2 consiste en restar

el producto de las diagonales de la matriz

Veamos que sí es la resta del producto de las

diagonales:

INSTITUCION EDUCATIVA TECNICA NUESTRA SEÑORA DE LA PRESENTACION

SEDE PRINCIPAL

DOCENTE: jose yamel sanabria GUIA N° 2 del 1° periodo

ESTUDIANTE: GRADO: 9 A y B ASIGNATURA: matematicas

FECHA DE ENVÍO: 16-06-2021 FECHA DE ENTREGA: 25-06-2021

Método de las determinantes (Regla de Cramer)

Paso 1. Se prepara la matriz de los coeficientes y se halla el determinante

Identificamos los coeficientes de las incógnitas y construimos la matriz M con ellos:

Calculamos su determinante:

Bien, ya tenemos que el determinante de

la matriz de coeficientes es -7

Paso 2. Se prepara la matriz de la incógnita x, y se halla el determinante

La matriz de la incógnita X es la misma matriz de coeficientes con una diferencia. En lugar de colocar los

coeficientes de X, se ubican los valores numéricos que quedaron al otro lado de las ecuaciones.

Ya con esto tenemos la Matriz de X, y procedemos a

calcular su determinante:

El determinante de la Matriz X es -49

Paso 3. Se prepara la matriz de la incógnita y, y se halla el determinante

La matriz de la incógnita Y es la misma matriz de coeficientes con una diferencia. En lugar de colocar los

coeficientes de Y, se ubican los valores numéricos que quedaron al otro lado de las ecuaciones.

Veamos:

Ya con esto tenemos la Matriz de Y, y procedemos a

calcular su determinante:

El determinante de la Matriz Y es -14

Paso 4. Hallamos el valor de las incógnitas.

El valor de Y va a ser igual al determinante de la matriz Y dividido en el determinante de la matriz de coeficientes:

El valor de X va a ser igual al determinante de la matriz X dividido en el determinante de la matriz de

coeficientes:

Resolvemos:

Paso 5. Verificación de la solución del sistema

Nuestra solución:

Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas ecuaciones con la

finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:

ACTIVIDAD DE PRACTICA

Resolver el sistema por el metodo de la regla de cramer

2X + 4Y = -1

-3X -4Y = 2

-X + 7Y = -5

8X -9Y = 4

2X - 5Y = -2

-3X + 6Y = -3

-2X + 4Y = 1

-4X -5Y = 6

SOLUCIONES DE ECUACIONES 3X3

Al igual que cuando resuelves sistemas de dos ecuaciones, hay tres posibles resultados para la

solución de un sistema de tres variables. Estudiemos esto visualmente, aunque no graficaremos

estas ecuaciones.

Aquí hay un sistema de ecuaciones lineales. Hay tres variables y tres ecuaciones.

3x + 4y – z = 8 5x – 2y + z = 4 2x – 2y + z = 1

Sabes cómo resolver un sistema con dos ecuaciones y dos variables. Para el primer paso, usa el método de eliminación para quitar una de las variables. En este caso, z puede ser eliminada sumando la primera ecuación con la segunda.

3x + 4y – z = 8 5x – 2y + z = 4

8x + 2y = 12 Para resolver el sistema, necesitas dos ecuaciones usando dos variables. Sumando la primera ecuación con la tercera en el sistema original también te dará una ecuación con x y y pero no con z.

3x + 4y – z = 8 2x – 2y + z = 1 5x + 2y = 9

Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones con dos variables.

8x + 2y = 12 5x + 2y = 9

Resuelve el sistema de nuevo usando eliminación. En este caso, puedes eliminar y sumando el opuesto de la segunda ecuación:

8x + 2y = 12 −5x + −2y = −9 3x = 3

Resuelve la ecuación resultante para la variable que queda.

3x = 3 x = 1

Ahora usa una de las ecuaciones en el sistema de dos variables para encontrar y.

5x + 2y = 9 5(1) + 2y = 9

5 + 2y = 9 2y = 4 y = 2

Finalmente, usa cualquier ecuación del primer sistema, junto con los valores que ya encontraste, para resolver la primera variable.

2x – 2y + z = 1 2(1) – 2(2) + z = 1

2 – 4 + z = 1 −2 + z = 1

z = 3 Asegúrate de comprobar tu respuesta. ¡Con tantos pasos, hay muchas posibilidades de cometer un error simple!

3x + 4y – z = 8 5x – 2y + z = 4 2x – 2y + z = 1 3(1) + 4(2) – 3 = 8 5(1) – 2(2) + 3 = 4 2(1) – 2(2) + 3 = 1

3 + 8 – 3 = 8 5 – 4 + 3 = 4 2 – 4 + 3 = 1 11 – 3 = 8

8 = 8 1 + 3 = 4

4 = 4 −2 + 3 = 1

1=1 VÁLIDO VÁLIDO VÁLIDO

Como x = 1, y = 2, y z = 3 es una solución para las tres ecuaciones, es la solución del sistema de ecuaciones. Del mismo modo que dos valores se pueden escribir en un par ordenado, tres valores se pueden escribir en una tercia ordenada: (x, y, z) = (1, 2, 3).

Resolviendo un sistema de tres variables 1. Escoge dos ecuaciones y úsalas para eliminar una variable. 2. Escoge otro par de ecuaciones y úsalas para eliminar la misma variable. 3. Usa el par resultante de ecuaciones para eliminar una de las otras variables. 4. Resuelve la ecuación final para la variable restante. 5. Encuentra el valor de la segunda variable. Usando una de las ecuaciones resultantes de los

pasos 1 y 2 y el valor encontrado en el paso 4. 6. Encuentra el valor de la tercera variable. Usando una de las ecuaciones originales y los valores

que encontraste en los pasos 4 y 5. 7. ¡Comprueba tu solución en las tres ecuaciones !

Sigamos practicando

Problema Resolver x, y, y z. 3x – 2y + z = 12 x + 3y + z = −4 2x + 2y – 4z = 6

3x – 2y + z = 12 −1(x + 3y + z) = −1(−4)

3x – 2y + z = 12 −x – 3y – z = 4 2x – 5y = 16

Paso 1: Primero, escoge dos ecuaciones y elimina una variable. Multiplica la segunda ecuación por −1, y luego súmala con la primera ecuación. Esto eliminará z.

2x + 2y – 4z = 64(x + 3y + z) = 4(−4)

2x + 2y – 4z = 6 4x + 12y + 4z = −16 6x + 14y = −10

Paso 2: Luego, combina la tercera ecuación y una de las primeras dos para eliminar z de nuevo. Pero la tercera ecuación tiene un coeficiente de −4 en z mientras que los coeficientes en las primeras dos ecuaciones son 1. Entonces, multiplica la segunda ecuación pro 4 y suma.

2x – 5y = 16 6x + 14y = −10

Paso 3: Elimina la segunda variable usando las ecuaciones de los pasos 1 y 2. De nuevo, no pueden sumarse como están. Observa los coeficientes de x. Si multiplicas la ecuación del paso 1 por −3, los términos x tendrán el mismo coeficiente.

−3(2x – 5y) = −3(16) 6x + 14y = −10

−6x + 15y = −48 6x + 14y = −10

29y = −58

Multiplica y luego suma. ¡Ten cuidado con los signos!

29y = −58 y = −2

Paso 4: Resuelve la ecuación resultante para la variable faltante.

2x – 5y = 16 2x – 5(−2) = 16

Paso 5: Usa ese valor y una de las ecuaciones del paso 3, que tenga sólo

2x + 10 = 16 2x = 6 x = 3

dos variables, una que sea y. Resuelve para la segunda variable.

x + 3y + z = −4 3 + 3(−2) + z = −4 3 + (−6) + z = −4

−3 + z = −4 z = −1

Paso 6: Usa las dos variables encontradas y una de las ecuaciones originales para resolver la tercer variable.

3x – 2y + z = 12 3(3) – 2(−2) + (−1) = 12

9 + 4 – 1 = 12 13 – 1 = 12

12 = 12 VÁLIDO

x + 3y + z = −4

3 + 3(−2) + (−1) = −4 3 + (−6) + (−1) = −4

−3 + (−1) = −4 −4 = −4 VÁLIDO

2x + 2y – 4z = 6

2(3) + 2(−2) – 4(−1) = 6 6 + (−4) + 4 = 6

2 + 4 = 6 6 = 6

VÁLIDO

Paso 7: Comprueba tu respuesta .

Respuesta La solución es (x, y, z) = (3, −2, −1).

¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones?

x + y + z = 2

2x + 2y + 2z = 4 −3x – 3y – 3z = −6

−2 ( x + y + z ) = −2 (2) 2x + 2y + 2z = 4

− 2x – 2y – 2z = −4 2x + 2y + 2z = 4 0 = 0

Multiplica la primera ecuación por −2 y luego suma la ecuación resultante a la segunda ecuación. 0 = 0 es un enunciado válido, que nos hace pensar que podríamos tener un número infinito de soluciones. Este resultado indica que el primer par de ecuaciones es realmente la misma ecuación. Los valores de x, y, y z que funcionarían en la primera ecuación también lo harían en la segunda.

3 ( x + y + z ) = 3 (2) − 3x – 3y – 3z = −6

Ahora suma la tercera ecuación con la primera.

3x + 3y + 3z = 6 − 3x – 3y – 3z = −6 0 = 0

De nuevo, el resultado es otro enunciado válido. La primera ecuación y la tercera son las mismas. Por lo que tienes tres ecuaciones que se graficarán en el mismo plano.

Respuesta Existe un número infinito de soluciones para este sistema.

Problema Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. x – y – 2z = 4 4x – 4y – z = 2

−x + y + 2z = −3

−4 ( x – y – 2z ) = −4 (4) 4x – 4y – 8z = 2

− 4x + 4y + 8z = −16 4x – 4y – 8z = 2 0 = −14

Compara los coeficientes en los términos x. Multiplica la primera ecuación por −4 y luego suma la ecuación resultante a la segunda ecuación. Observa que se produce un enunciado inválido: 0 = −14. Esto significa que no hay solución para este sistema de ecuaciones; no es necesario que continúes tratando de resolverlo.

Respuesta El sistema no tiene soluciones.

TRABAJO PRACTICO

Desarrolle los siguientes sistemas