UNIVERSIDAD DEL BIO BIOFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Prof. Fernando Flores Bazán22/03/2011

GUIA 1 Modular 2 220034 ÁLGEBRA I

Medidas angulares

1. Expresar en grados sexagesimales los ángulos

(a) 25◦31′02′′ (b) 22◦30′ (c) 120◦10′20′′ (d) 10◦25′ (e) − 125◦15′ (f) 29◦60′60′′

2. Expresar en grados centesimales los ángulos

(a) 100g20m10s (b) 38g01m10s (c) 300g60m15s (d) 55g15m20s

3. a) Convertir a gados sexagesimales los ángulos2π

3y 60g

b) Convertir a grados centesimales los ángulos3π

4rad y 27◦

4. Sean S,C,R números que representan grados sexagesimales, centesimales y radianes respectivamente

para un mismo ángulo. Calcular el valor de R ssbiendo queS + C

38=

3R2

π2

5. Halle la medida del menor de tres ángulos, sabiendo que sumando sus medidas dos a dos se obtiene

12◦, 10g yπ

36

6. Calcule el número de grados sexagesimales de un ángulo si se cumple

4S − 3C +9R

π= 4

7. Calcular el número de radianes de un ángulo si se cumple 3S − 2C +8R

π= 3

8. Calcular45′ +

π

12rad

50g − 33◦

9. Si dos ángulos suplementarios tienen medidas iguales ¿cuál es la medida de cada ángulo?

10. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida del ángulo?

11. La medida de un ángulo es 24 más que la medida de su suplemento. Hallar la medida de cadaángulo.

12. Dos veces la medida de un ángulo es 30 menos que cinco veces la medida de su suplemento. ¿Cuáles la medida del ángulo?

13. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimaleses 78, calcular el número de radianes.

14. El péndulo de un reloj mide 75 cm y al balancearse se desplaza 12◦ a cada lado de la vertical. ¿Cuáles la longitud del arco que describe el péndulo?.

1

15. El péndulo de un reloj tiene 20 cm de longitud y recorre un arco de 25g por segundo.¿Cuántoscentímetros recorre la punta del péndulo en un segundo?.

16. Se tiene dos poleas unidas por una faja (ambas poleas están separadas por una cierta distancia)una de radio 30 cm y la otra de 50 cm. Si la polea menor gira 30◦ en sentido horario.

a) Encuentre la longitud recorrida por ambas poleas.

b) Encuentre el ángulo girado por la polea mayor.

17. Se tiene un reloj. Encuentre el ángulo que forma el horario y el minutero en las horas siguientes

(a) 09 : 45 (b) 11 : 34 (c) 16 : 15 (d) 22 : 50

18. El minutero de un reloj tiene 15 cm de longitud. ¿Cuál es la longitud que recorre su extremo entrelas 07 : 35 y las 08 : 00?.

19. Un péndulo está sujeto a un hilo de 40cm de longitud y describe un arco de 54◦.¿Cuál es la longituddel arco descrito por el punto medio del hilo?

Razones trigonométricas

1. Utilice el triángulo rectángulo de la figura

(a) Para encontrar x. (b) Para encontrar las seis razones trigonométricas

17 x

15θ

x 3

√

7

θ

2. Utilice el triángulo rectángulo de la figura

(a) Para encontrar x e y (b) Para encontrar las seis razones trigonométricas

20 x

y30◦

x y

737◦

2

3. Calcule aproximadamente

(a) tan(15◦), cot(15◦) (b) tan

(

45◦

2

)

, cot

(

15◦

2

)

(c) tan

(

37◦

2

)

, cot

(

53◦

2

)

4. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12m y forma un ángulo de 37◦ con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia quehay entre la cometa y el suelo.

5. Calcule sen(40◦) · sec(50◦)

6. Dado (θ + 32◦) un ángulo agudo tal que verifique tan(θ + 32◦) = cot(θ). ¿Cuál es el valor de θ?

7. Suponga que (2θ − 10◦) es un ángulo agudo tal que sen(20◦ − 3θ) · cosec(2θ − 10◦) = 1. Calcule θ.

Identidades trigonométricas

1. Demostrar las siguientes identidades:

(i)sen4(x)− cos4(x)

1− 2 cos2(x)= 1 (ii)

1− sen(x)

1 + sen(x)= (sec(x)− tan(x))2

(iii)1

1 + sen(x)+

1

1− sen(x)= 2sec2(x) (iv)

sec(x) + cosec(x)

sec(x)− cosec(x)=

tan(x) + 1

tan(x)− 1

(v)tan(x)− cot(x)

tan(x) + cot(x)=

tan(x) + 1

tan(x) − 1(vi)

1

cosec(x) + cot(x)= cosec(x) − cot(x)

2. Demostrar quetan(x) − cot(x)

tan(x) + cot(x)= 1−

2

sec2(x)

3. Verifique la identidad (sec2α−1)·cotαtanα·senα+cosα = senα

4. Demuestre la identidad siguiente:

2 sen(α+3π

4) · sen(

3π

4− α) = cos(2α)

5. (*)Demostrar la identidad

2 tanα

1− tan2 α+

1

2 cos2 α− 1=

cosα+ senα

cosα− senα

6. Demuestre que la identidadcscα

1 + cscα−

cscα1− cscα

= 2sec2α

7. Demuestre la identidad

cosβ + cos(2π

3− β) + cos(

2π

3+ β) = 0

3