UNIVERSIDAD DE TARAPACADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICACALCULO IIIGUÍA # 1

1. ¿Qué es una función vectorial de una variable real ?.Describa que entiendepor unafunción real de una variable real y señale sus elementos principales.2. ¿Qué entiende por imágen de un elemento bajo una función f ?. Es-

tablezcaclaramente la diferencia entre la función y la imágen de la función.

3. Si ~f (t) =

�pt; t2;

1

t

�, determine ~f (5) , ~f

�1

5

�, ~f�p7�, ~f (b)

y ~f (3b)4. ¿Qué es el Dominio de una función vectorial de una variable real ?.Como

Ud. sabe,una función vectorial ~f , de una variable real se puede escribir en términos

de unn�tupla ordenada de funciones reales fj ; j = 1; 2; 3 . ¿ Qué relación

existeentre Dom

�!f y Domfj ?.

5. De acuerdo a lo anterior, determine el Dominio de cada una de lassiguientes

funciones, a) ~f (t) =�p

t; t2;1

t

�b) ~f (t) =

�ln t;

p1� t

�c) ~f (t) =

�pt� 1; t

2

�d) ~f (t) =

�r1 + t

1� t ; lnt

t� 1

�6. ¿Qué es el Recorrido de una función vectorial de una variable real ?.Geométricamente, ¿ qué representa este Recorrido ?. Si ~f : I � R! R3

es una función vectorial de una variable real tal que ~f (t) = (f1 (t) ; f2 (t) ; f3 (t)) ;

8t 2 I , ¿Qué relación existe entre Re c ~f y Re c fj ; j = 1; 2; 3 ?.7. Determine el Recorrido de cada una de las siguientes funciones

a) ~f (t) =

�1� t1 + t2

;2t

1 + t2

�; b) ~f (t) =

�ln (t� 1) ;

pt;

1

t� 1

�c) ~f (t) =

�pt� 1; t

2

�; d) ~f (t) =

�r1 + t

1� t ; lnt

t� 1

�8. Si ~f (t) = (a cos t; a sin t) , con a > 0 y t 2 [0; 2�] . Muestre que

Re c ~f

representa una circunferencia en R2 .9. Si ~f (t) = a cos t~i+ b sent ~j , donde a; b > 0 y Domf = [0; 2�] .

Muestreque Re c ~f representa una elipse en R2 . Dibuje esta elipse para a = 2

y b = 4

1

10. Muestre que Re c ~f , para ~f (t) =�t2; t

�representa una parábola en

R2 .11. Describa el grá�co del Recorrido de las funciones

a) ~f (t) = t~i+ t ~j + sen t ~k b) ~f (t) =

�t cos t; t sen t;

t

2�

�12. Muestre que las relaciones cartesianas y que los Recorridos de lascorrespondientes funciones vectoriales representan el mismo grá�coa) 2x� 3y + 4 = 0, b) ~f (t) = (3t+ 4; 2t+ 4), c) y = ex

d) ~f (t) = ln t~i+ t ~j, e) y2 = x3, f) ~f (t) =�t2; t3

�Operaciones Algebraicas13. El Algebra de funciones permite obtener nuevas funciones a partir defunciones dadas. Al respecto, señale con el detalle correspondiente, que

signi�caa) Que dos funciones ~f y ~g sean iguales.

b) �~f (x) , donde � 2 R es una constante y ~f una función vectorial.c) La función suma, producto escalar y producto vectorial de dos funciones

~f y~g , dadas. ¿Cuáles son sus respectivos Dominios?.

14. Para cada caso, determine ~f + ~g , ~f � ~g y ~f � ~g , con sus respectivosdominios, si

a) ~f (t) =�t2; 6t

�; ~g (t) = (3t;�8)

b) ~f (t) =�pt� 7; t; t2

�; ~g (t) =

�3t;

1

t2 � 1 ;�t�

15. Describa, señalando todos los aspectos, la composición de una funciónvectorial deuna variable real ~f y una función real de una variable real ' :

16. Dadas una función vectorial de una variable real ~f y una función realde unavariable real ' , de modo que ~f � ' existe, ¿ es cierto que, en este caso

Dom�~f � '

�=nt 2 Dom' = ' (t) 2 Dom ~f

o?:

¿Por qué ?.Haga un diagrama detallado para la composición ~f � ' .

17. Para cada uno de los casos, determine las función ~f � ' y sus respec-tivo dominio,si

a) ~f (t) =�t2; 1� t

�; ' (t) =

pt

b) ~f (t) =

�3t� 4; 5

t

�; ' (x) =

t

5c) ~f (t) =

pt� 8~i+ 4t ~j ; ' (t) = t3

d) ~f (t) =pt~i+

1

t~j � t ~k ; ' (t) = 5t

e) ~f (t) = (ln (t+ 1) ; t; t� 1) ; ' (t) = et � 1

2

Límites y Continuidad de Funciones Vectoriales de unavariablereal18. ¿Qué signi�ca que lim

t!to

~f (t) = ~L donde ~f es una función vectorial

de una variablereal ?. .19. ¿Qué signi�cado geométrico le puede atribuir a lim

t!to

~f (t) = ~L , en

R2 ?,¿ en R2 ?20. Si ~f (t) =

�t; t2

�, calcule y marque la posición de ~f (0:9) , ~f (0:99) , ~f (1:1) , ~f (1:01)

y ~f (1:001) . Use la de�nición dada para veri�car que limt!1

~f (t) = (1; 1)

21. Determine, si existe, limt!to

~f (t) cuando,

a) ~f (t) =�pt; t2; sent

�y to = 2

b) ~f (t) =

�ln t;

p1 + t2;

2t

4� t2

�y to = 2

c) ~f (t) =

�t

1 + t2;1 + 2t

t2; 3t2

�y to = 3

22. Demuestre que si limt!to

~f (t) existe, entonces es único

23. Pruebe que si limt!to

~f (t) = ~L1 y limt!to

~g (t) = ~L2 entonces

a) limt!to

�~f + ~g

�(t) = ~L1 + ~L2

b) limt!to

�~f � ~g

�(t) = ~L1 � ~L2

c) limt!to

�~f � ~g

�(t) = ~L1 � ~L2 sólo en R3

24. Si A � R , ' : A! R una función real de una variable real y~f : A! Rn una

función vectorial de una variable real tal que limt!to

' (t) = � y limt!to

~f (t) = ~L ,

demuestreque lim

t!to

�'~f�(t) = �~L

25. Determine cuando una función vectorial de una variable real ~f (t) escontínua en

t = to . ¿ Qué condiciones expresa el hecho que una función ~f (t) seacontínua en

t = to ?.De acuerdo a esto, cuándo una función no es contínua en un punto?26. Demuestre que la continuidad de funciones vectoriales de una variable

real puedeprobarse, probando la continuidad de las funciones componentes.27. Determine si las funciones dadas son contínuas en el punto indicado,

a) ~f (t) =

�tpt; t

�en to = 0

3

b) ~f (t) =

8<:�t2 � 1t� 1 ; 1

�si t 6= 1

(0; 0) si t = 1en to = 1

c) ~f (t) = ln (t+ 1) ~i+ t ~j + (t� 1) ~k en to = 9

d) ~f (t) =

�jtj ; t

2 � 1t+ 1

�en to = �1

28. Encuentre los puntos, si los hay, donde las siguientes funciones no soncontínuas ytrace el recorrido de cada una de ellas ;

a) ~f (t) = (et; t) si Dom~f = [0; 2]

b) ~f (t) =

8<:�t;sentt

�si t 2 (0; 2]

(0; 1) si t = 0

c) ~f (t) = t~i+ t ~j + [t] ~k si t 2 [0; 4]29. Dada la función vectorial ~f (t) de�nida por

~f (t) =

p1� t2;

1� cos2�t� 1

4

��t� 1

4

�2 ;

pt

1� e2pt

!

a) Determine el Dominio de ~f (t) :

b) Hallar limt!0

~f (t) , si existe.

c) Determinar los puntos de discontinuidad.¿Es posible rede�nir ~f (t) de modo que sea contínua en el intervalo (0; 1)

?30.. Si ~f (t) y ~g (t) son contínuas en t = to . Demuestre que ~f + ~g ,

~f � ~g y ~f � ~gson contínuas en t = to . Demuestre además, que si ' (t) es una función

real deuna variable real, contínua en t = to entonces

�'~f�(t) es contínua en

t = to .

Derivadas e Integrales de Funciones Vectoriales de unavariablereal.31. ¿Qué signi�ca que una función vectorial de una variable real ~f sea

derivable ent = to ?. ¿De que depende fundamentalmente el hecho que ~f sea deriv-

able ent = to ?. Discuta su respuesta.32. ¿Qué signi�ca que ~f : [a; b]! Rn , sea derivable en [a; b] ?

33. Calcular la derivada de la función vectorial ~f (t) en to = 0 , si

4

a) ~f (t) =

8<:�t3sen

1

t;

t

1 + e1t

�si t 6= 0

(0; 0) si t = 0

b) ~f (t) =

8<:�t2sen

1

t; 1 + t2

�si t 6= 0

(1; 0) si t = 0

c) ~f (t) =

8<:�e2t; t2sen

1

t

�si t 6= 0

(1; 0) si t = 0

34. Demuestre que si ~f : [a; b]! Rn es derivable en [a; b] entonces ~fes contínuaen [a; b] . ¿ El recíproco es verdadero ?. Dé un ejemplo que con�rme su

respuesta.35. Encuentre ~f 0 (1) si,

a) ~f (t) = (ln t; t), b) ~f (t) =

r1 + t2

1 + t; t2 � 1; 1

t

!c) ~f (t) =

�cos2 t; sen2t

�, d) ~f (t) =

�cosh t; senh

�1� t2

��36. Si ~f (t) =

�sen2�t; cos 2�t; 2t� t2

�determine ~f 0 (t) y ~f 0 (0) .

37. Determine las derivadas ~f 0 (t) si,

a) ~f (t) =�cos t; sen2t; sent; tgt

�b) ~f (t) = ln

�1 + t2

�~i+ arctgt ~j +

1

1 + t2~k

c) ~f (x) = (xex; ln 3x; 0) y x (t) = ln t

d) ~f (x) =

�cos

px; arctgx;

�11 +

px

�y x (t) = t2 + 2t+ 1

38. Considere las funciones ~f (t) = (2t; 3; 0) , ~g (t) =�1; t; t2

�y ' (t) = 1

3 t3

.Determine ;

~f 0 (t) , ~g0 (t) , '0 (t) ,�~f + ~g

�0(t) ,

�'~f�0(t) ,�

~f � ~g�0(t) ,�

~f � ~g�0(t) ,

�~g � ~f

�0(t) y

�~f � '

�0(t)

39. Dada ~f (t) = ~u cos$t+ ~vsen$t , donde ~u y ~v son vectores con-stantes,demostrar que

a) ~f (t)� d~f

dt= $ (~u� ~v) b) d

2 ~f

dt2+$2f = ~0 :

40. Dada la función vectorial ~f (t) =

�2t

1 + t2;1� t21 + t2

; 1

�, demuestre que

el ánguloformado por ~f (t) y ~f 0 (t) es constante, es decir, no depende de t .

41. Demuestre que si ~f (t) = cos t~i+ sin t ~j entonces ~f (t) � ~f 0 (t) = 0

5

42. Sea ~f (t) = ~f1 (t) ~i+ ~f2 (t) ~j + ~f3 (t) ~k , con las funciones ~f1 (t) ,~f2 (t) y ~f3 (t)

dos veces derivables. Demuestre que�~f � ~f 0

�0= ~f � ~f 00 :

43. Calcule las siguientes integrales de funciones vectoriales ;

a)

1Z0

�t;pt; et

�dt b)

1Z0

�et

1 + et~i+

1

1 + et~j

�dt

44. Determine ~u � ~v si ~u = (2;�4; 1) y ~v =

1Z0

�tet; t senh 2t; 2te�2t

�dt

45. En los problemas siguientes se da el vector posición �!r (t) de un móvil.Halle losvectores velocidad aceleración y la dirección del movimiento, así como la

velocidad,para el valor de t dado.a) �!r (t) = tbi+ t2bj + 2tbk; en t = 1

b) �!r (t) = (cos t)bi+ (sin t)bj + 3tbk; en t =�

4c) �!r (t) = etbi+ e�tbj + e2tbk; en t = ln 246. Encuentre las componente normal y tangencial del vector aceleración

para lospuntos móviles dadosa) �!r (t) = t2bi+ 2tbj + etbk;b) �!r (t) = (4 cos t)bi+ (4 sin t)bj + 4tbk;c) �!r (t) = (a cos!t)bi+ (a sin!t)bj + !2tbk

6