guia-1-2002

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA

Guía Nº 1 Simulación

Profesor: Dr. Hector Allende Ayudante: César Pinto

A) Estimación Puntual 1. Un antropólogo quiere estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Si se supone que la desviación estándar de la población es de 2,5 pulgadas y se selecciona al azar a 100 hombres, encuentre la probabilidad de que la diferencia entre la media de la muestra y la media verdadera de la población no exceda de 0,5 pulgadas. 2. Suponga que el antropólogo del ejercicio 1, quiere que la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población sea menor de 0.4 pulgadas, con una probabilidad de 0.95. ¿Cuántos hombres tendría que seleccionar para alcanzar su objetivo?. 3. Se indica la acidez de suelos por una media llamada pH, que puede variar de 0 (alta acidez) a 14 (baja acidez). Un experto en edafología desea estimar el pH promedio de un campo de gran tamaño para lo cual selecciona al azar n muestras de suelo y mide pH en cada muestra. Aunque no se conoce la desviación estándar de la población de las mediciones del pH, la experiencia indica que la mayoría de los suelos tienen un valor de pH entre 5 y 8. Si el científico selecciona n = 40 muestras, encuentre la probabilidad aproximada de que la media de muestra de las 40 mediciones del pH se desvíe a lo más en 0,2 unidades de verdadera media de pH del campo. 4. Sea nYYY ,,, 21 � una muestra aleatoria de una población con media µ y varianza σ2. Considere los siguientes estimadores para µ:

( )

( )Y

Yn

YYY

YY

nn

=

+−++

+=

+=−

3

1212

211

ˆ

4122

41ˆ

21ˆ

µ

µ

µ�

-Demostrar que cada uno de los 3 estimadores es insesgado. -Determinar la eficiencia relativa de 1µ̂ con respecto a 2µ̂ y 3µ̂ , respectivamente. B) Intervalos de Confianza 5. Supóngase que la variable aleatoria Y es una observación de una distribución normal con una media desconocida µ y varianza 1. -Obtener un I.C. de 95% para. µ -Determinar un límite superior de confianza de 95% para µ . -Determinar un límite inferior de confianza de 95% para µ .


6. Un informe del Wall Street Journal sobre una encuesta realizada por Warwick, Welsh V. Miller, una agencia publicitaria de Nueva York, indica que no se puede ignorar las preferencias personales en la publicidad televisada. Basado en una encuesta por correo de 3440 personas, el 40% indicó que consideran inapropiados los comerciales televisados, el 55% afirma que no compra los productos cuyos comerciales consideraron inapropiados; y, del último grupo, solamente el 20% se quejó a una estación de televisión o a un publicista para manifestar su opinión adversa. -Obtener un I.C. de 95% para el porcentaje de televidentes que consideran los comerciales inapropiados. -Determinar un I.C. de 95% para el porcentaje de televidentes que evitan comprar los productos que utilizan comerciales televisados que consideran inapropiados. -Calcular un I.C. de 95% para el porcentaje de televidentes que evitan comprar los productos antes mencionados, y que se han quejado a la estación de televisión o al anunciante por un comercial de televisión inapropiado. 7. La dirección médica de una clínica deseaba estimar el número promedio de días necesarios para el tratamiento de pacientes con edades entre 25 y 34 años. Una muestra aleatoria, de 500 pacientes de la clínica con esas edades proporcionó una media y una desviación estándar de 5.4 y 3.1 días, respectivamente. Obtener un I.C. de 95% para el promedio del tiempo de estancia de la población de pacientes de la cual se obtuvo la muestra. Utilizar un coeficiente de confianza de 0.95. 8. Para comparar las proporciones de artículos defectuosos producidos por dos líneas de producción, se seleccionan muestras aleatorias independientes de 100 artículos de cada línea. La línea A produjo 18 defectuosos en la muestra y la línea 13 produjo 12 defectuosos. Obtener un I. C. de 98% para la diferencia real entre las proporciones de defectuosas para las dos líneas. ¿Existe audiencia suficiente para sugerir que una línea produce una proporción más alta de defectuosos que la otra?. 9. El proceso de taladrar agujeros en tarjetas de circuito impreso, produce diámetros con una desviación estándar 0,01 milímetros. ¿Cuántos diámetros es necesario medir para que la probabilidad sea al menos 8/9 de que el promedio de los diámetros medidos se encuentre a no más de 0,005 milímetros del diámetro µ del proceso?. 10. Un auditor saca una muestra aleatoria de 20 cuentas por cobrar de las 500 cuentas de cierta empresa. El auditor lista la cantidad de cada cuenta y verifica si los documentos presentados cumplen con los procedimientos establecidos. Los datos se presentan de la manera siguiente: (Cantidades en dólares, S= Sí, N = No)


Cuenta Cantidad Cumplimiento 1 278 5 2 192 5 3 310 5 4 94 N 5 86 5 6 335 5 7 310 N 8 290 5 9 221 5 10 168 5 11 188 N 12 212 N 13 92 5 14 56 5 15 142 5 16 37 5 17 186 N 18 221 5 19 219 N 20 305 5 Estimar la cantidad o importe total de cuentas por cobrar de las 500 cuentas de la empresa, y establecer un limite para el error de estimación. ¿Considera usted que la cuenta por cobrar promedio de la firma excede a 250 dólares? ¿ Por qué?. 11. Una oficina estatal de carreteras desea obtener el número promedio de millas recorridas durante una semana, por camiones de más de cinco toneladas. De una muestra de tamaño 22 se obtuvieron los siguientes datos Media 756 millas y desviación estándar 73 millas. Estime el promedio mediante intervalos de confianza de niveles confidenciales 95% y 99%. 12. En un paquete de detergente se lee “Peso neto 300 (grs) ”. Un individuo peso el contenido de 16 paquetes de ese detergente, obteniendo los siguientes datos: 310 287 310 302 304 306 298 295 303 306 290 306 301 291 300 296 Luego de tener los datos, no supo que concluir. ¿Podría usted ayudarlo, construyendo un intervalo confidencial para el peso promedio de los paquetes? ( Justifique sus Supuestos) 13. Sea X el contenido porcentual de un compuesto químico, medido en un tipo de alimento que ha sido mantenido congelado durante dos meses. Si X es N ( µ , 6.3) y si con una muestra de tamaño N se obtuvo el intervalo de confianza para µ de coeficiente 95% (31.08; 33.92). ¿Cuál seria un intervalo para µ de coeficiente 99%? 14. -Encuentre un intervalo confidencial del 90% para la media de una variable aleatoria que tiene distribución normal con desviación estándar 3=σ , dada la muestra (3.3; -0.3; -0.6; -0.9).


-¿Cuál seria el intervalo si σ fuera desconocido? -¿Por qué dan tan grandes, siendo que el coeficiente de confianza es bajo?. 15. Una muestra aleatoria de 2000 pescadores artesanales de Valparaíso y San Antonio es entrevistada, y resulta que 1765 de ellos no están ejerciendo la actividad, por falta de mercado para sus productos. -Estime, mediante intervalos de confianza, la proporción de pescadores artesanales que se encuentran inactivos en Valparaíso y San Antonio. -¿Podrá aplicarse la conclusión obtenida a los del resto del país? Justifique. 16. Se han hecho mediciones de calor requerido para fundir un gramo de grasa de ballena, en 5 muestras distintas, de diferentes tamaños. Los tamaños N y los valores muestrales de las varianzas son:

Población 1 2 3 4 5 N 6 4 3 7 8 Varianza 400 300 200 420 500 Si se supone que las muestras provienen de poblaciones normales con varianza común

2σ Encuentre un intervalo de confianza para 2σ , de coeficiente 95%. 17. En un proceso de ensamblaje de tres tipos distintos de cilindros en la secuencia ABACA, donde A ∼ N (µA,9), B ∼ N (µB,16), C ∼ N (µC,25). Encontrar un intervalo de confianza para la longitud media de la secuencia del 90%. 18. Un proceso de ensamblaje de tres piezas se puede asociar a la v.a.c. V definida como V= X + Y - Z. En que X ∼ N (µX, σ2), Y ∼ N (µY, 3σ2), Z ∼ N (µZ, 2σ2). Sean 6, 7 y 8 las medias muestrales de 3 m.a.(n) provenientes de las distribuciones X,Y y Z respectivamente. Encuentre el mínimo tamaño de la muestra para que se cumpla :

P (ν - 0,5σ < µ < ν + 0,5σ) = 0.95 ; donde µ = E[ν ]

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