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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA

PREPARATORIA OFICIAL No. 72MANUAL Y GUÍA DE TRIGONOMETRÍA.

TERCER SEMESTRE

NOMBRE DEL ALUMNO:_____________________________________________________

GRUPO:_______________________ NO. LISTA_________

NOMBRE DEL PROFESOR:___________________________________________________

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INTRODUCCIÓN

Desde su origen la trigonometría ha tratado de resolver problemas que marcaron la forma de observar al cosmos y todo aquello que lo rodea. Aplicaron esta matemática en la navegación, en buscar técnicas para medir la tierra y la astronomía, es decir en todo aquello que ha requerido de cálculos de distancias cuya medición directa no resultaba posible. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular unas mediante las otras. La materia de trigonometría basa su construcción formal en la noción de conceptos como; ángulo que es básica en geometría y obviamente en trigonometría y el triángulo que es el polígono más simple y también el más fundamental, y a que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales. Todo este panorama hace que el estudiante despierte el interés por resolver problemas con estas características y que tienen base en materias anteriores como el pensamiento algebraico. Y a su vez desarrollan competencias genéricas tan importantes para formar un ser integral La materia de trigonometría desarrolla habilidades para el logro de las siguientes competencias genéricas:

Piensa crítica y reflexivamente Se expresa y se comunica Trabaja en forma colaborativa Aprende de forma autónoma

Y estas a su vez se pueden apreciar en competencias disciplinarias básicas como: Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiadas. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

De igual modo la materia de trigonometría se aborda en cuatro unidades que permiten desarrollar y tratar los contenidos, que sustentan la parte científica del curso, los cuales son:

I. Conceptos fundamentales, II. razones trigonométricas,

III. funciones circulares IV. álgebra trigonométrica.

Para desarrollar las competencias antes mencionadas tenemos que partir de los procesos matemáticos es decir, de cómo influye el lenguaje matemático, las destrezas que se activan para solucionar un problema y la construcción de modelos matemáticos. Por lo que acciones encaminadas a fortalecer una de estas líneas tendrán que ser evaluadas y valoradas de manera conjunta, ya sean los contenidos o valores que se pretende desarrollar en el estudiante de una manera integral. Ahora bien, la evaluación tendrá que ser bimestralmente:

Evaluados: Los contenidos temáticos, con exámenes o productos.Valorados: Actitudes que fortalezcan el proceso enseñanza aprendizaje. Por último se tiene que tratar a la materia de trigonometría, como el medio donde el estudiante pueda vincular los contenidos con situaciones de su entorno, que llamaremos situaciones contextuales, tales como:

•¿Cómo de terminarlas longitudes de un puente?

•¿Cuántas losetas se utilizan en un piso?

•¿Cómo ayuda la trigonometría a un sistema global de posicionamiento?

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Dichos contenidos y capacidades tendrán que ser evaluados a través de: Situaciones problematizadas, donde el estudiante aplique los conocimientos obtenidos en el curso y existan ítems que toquen los diferentes niveles en que el estudiante puede aprender. Y la evaluación consistirá en medir al estudiante con exámenes y se valora con un control de rúbricas las cuales evidencian los productos y actitudes que el alumno muestra en el proceso de enseñanza–aprendizaje.

La medición indirecta de distancias muy grandes o inaccesibles por el tipo de terreno montañas, pantanos, lagunas, desierto, la distancia de las estrellas, el sol es imposible realizarse de forma directa, de la misma forma no es posible medir determinas figuras o estructuras complejas por sus formas que la componen, desde los antiguas civilizaciones se han realizada estas mediciones con una asombrosa aproximación mediante el ingenio del ser humana al representar esquemas geométricos y trigonométricas para dar solución a estos problemas.

Los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

Las guías de estudio pretenden darte una orientación sobre los tópicos que son necesarios afianzar tus conocimientos, lograr el desarrollo de las habilidades que te permitan resolver cualquier situación o planteamiento de un contexto real o hipotético y prepararte para las evaluaciones que debes presentar en este semestre.

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SUERTE Y ÉXITO

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ORIGEN Y MÉTODOSANTECEDENTES HISTÓRICOS

La historia de la geometría se remota a los albores de la humanidad. Los hombres primitivos poseían de manera intuitiva los conceptos de recta, punto y plano. Además, la naturaleza les ofrecía múltiples ejemplos de representaciones geométricas: el Sol y la Luna eran representados por medio de círculos; una estrella de mar para polígono estrellado, y un caracol cualquiera por un espiral.

Posteriormente, la necesidad que surgió de conocer y modificar el mundo que les rodeaba los obligó a profundizar y relacionar sus ideas, surgiendo el personaje de Euclides (matemático griego) que organizó sus conocimientos de Geometría y sentó las bases de lo que hoy en día se conoce como Geometría Clásica. Su obra fue tan exitosa que desde hace 2000 años se sigue enseñando, desde entonces se le ha llamado Geometría Euclidiana.

Sumerios y babilonios: La rueda inventada por los sumerios 3500 años A.C., marca en la historia el inicio e la civilización; inventaron la escritura, crearon la aritmética y las construcciones de sus ciudades envelan la aceptación de las figuras geométricas.

En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los Babilonios, herederos de los sumerios: adaptaron la rueda a sus carros de guerra, descubriendo las propiedades de la circunferencia, deduciendo el valor de "3" como relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.

De acuerdo a sus estudios astronómicos, conocieron que el año tiene aproximadamente 360 días, motivo por el cual dividieron la circunferencia en 360 partes iguales, obteniéndose así el grado sexagésimal.

También tenían el conocimiento de cómo trazar su hexágono regular inscrito en el círculo; conocían una fórmula para hallar el área del trapecio rectángulo.

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EUCLIDES DE ALEJANDRIA: (SIGLO IV A.C.) uno de los más distinguidos maestros de la universidad de Alejandría y quién por encargo de TOLOMEO Rey de Egipto, reunió y

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EGIPTO: Los egipcios obligados por las constantes avenidas (CRECIDAS) del Río Nilo que año con año inundaba sus tierras de cultivo, por lo cual tenían que rehacer las divisiones de tierra para calcular los impuestos para cada dueño de la superficie cultivada; la aplicación de sus conocimientos geométricos se hicieron sobre la medida de la tierra de lo cual se deduce el significado de GEOMETRÍA (medidas de la tierra) cuyas raíces griegas son: GEO-Tierra y METRE-Medida.

También aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides como la de KEOPS, KEFREN y MEKERINOS, que son cuadrangulares y sus caras laterales son triangulares equiláteros, la de KEOPS es una de las siete maravillas del mundo antiguo donde se ha comprobado que además de la precisión en sus dimensiones era perfectamente orientada.

Los conocimientos de los egipcios están contenidos en cinco papiros, siendo el de mayor interés el de RHIND donde se establecen las reglas para calcular el área del triángulo isósceles, área del círculo; determinaron el valor de 3.1604 como relación entre la circunferencia y diámetro de un círculo, valor mucho más aproximado que el de los Babilonios para p.

Los egipcios empleaban el cordel (TENEDORES DE CUERDA) para sus operaciones de construcción y diseño, siendo regla, compás y escuadra al mismo tiempo.

GRIEGOS: Los conocimientos egipcios sobre la geometría eran netamente empíricos, ya que no se cimentaban en una sistematización lógicas deducidas a partir de axiomas y postulados.

En Grecia comienza la geometría como ciencia deductiva, con los matemáticos, TALES DE MILETO, HERODOTO, PITAGORAS DE SAMOS y EUCLIDES DE ALEJANDRIA; quienes fueron a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría.

PITÁGORAS DE SAMOS: (SIGLO VI A.C.) fue discípulo de Tales de Mileto, fundó en CROTONA, ITALIA la escuela pitagórica, atribuyéndosele el Teorema que lleva su nombre y que se enuncia:

" El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de sus cuadrados construidos sobre los catetos ".

Otro de sus teoremas expresa: " La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos”.

También demostró la construcción del pentágono y poliedros regulares como: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.


ordenó los teoremas y demás proporciones geométricas en su obra llamada " ELEMENTOS " que ha sobrevivido hasta el presente, por lo que se le considera el " padre de la geometría ".

TALES DE MILETO: (SIGLO VII A.C.) fue uno de los siete sabios y fundador de la escuela "JONICA", se inicia en la filosofía y las ciencias, especialmente en la geometría.

Resolvió algunas dudas como la altura de las pirámides, conociendo la sombra que proyectan; la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; el valor del ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto; demostró algunos teoremas relativos a las proporcionalidades de segmento determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelos.

TEOREMAS DE TALES DE MILETO:

1. " Los ángulos en la base de triángulo isósceles son iguales."

2. " Todo diámetro biseca a la circunferencia."

3. " Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son iguales."

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PRESENCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS EN CONTEXTOS REALES

LA TORRE EIFFEL

EL PUENTE DE ALAMILLO DE SEVILLA

Fue construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava. El puente tiene un solo brazo que soporta todo su peso. Es sin lugar a dudas una de las más destacadas construcciones de las llevadas a cabo en Sevilla con motivo de la Exposición Universal de 1992. La estructura sustentadora, la plataforma de la calzada y los tirantes forman triángulos oblicuángulos semejantes.

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Un buen y famoso ejemplo de construcción con triángulos es la Torre Eiffel de París. Construida para la Exposición Universal en conmemoración del centenario de la Revolución Francesa, la torre con la bandera flambeando en la cumbre fue inaugurada el 31 de marzo de 1889. A pesar de las fuertes protestas y de las críticas severas de los parisinos y de los intelectuales franceses durante su construcción, la estructura metálica se ha convertido hoy en día en el símbolo de París, atrayendo cada año a más de 6 millones de visitantes.


LA TORRE DE PISA

CARRETERAS Y VÌAS DEL TREN

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Cuando el ángulo que forma un objeto con la línea del horizonte (horizontal) es distinto de 90 ⁰, se dice que el objeto está inclinado como la famosa Torre de Pisa (Italia) de la ilustración. Si el ángulo del objeto y la horizontal es de 90⁰ el objeto es perpendicular a la horizontal y se dice que es vertical.

Cuando el ángulo que forma la carretera con la horizontal alcanza cierto nivel es necesario extremar las precauciones para evitar que el vehículo se deslice hacia atrás (en subida) o que se acelere demasiado (en bajada).A fin de prevenir a los conductores de estas circunstancias que pueden ocasionar problemas existen señales convencionales de tráfico.


PRIMER EVALUACIÓN BIMESTRAL

CUESTIONARIO

I. Resuelve los siguientes enunciados.

1. ¿Defina que es la geometría?

2. Indique las ramas de la Geometría:

3. Indique que es la geometría euclidiana

4. Realice un mapa conceptual sobre la Geometría.

5. Describa que es punto, línea y plano mediante un dibujo

6. En las imágenes anteriores observas que se aplican diferentes conceptos trigonométricos, escribe de cuales se tratan?.

7. ¿En culturas se desarrolló la trigonometría?

8. . ¿Cuáles fueron las primeras aplicaciones, que tipo de problemas resolvía?

9. En la actualidad ¿dónde se aplica la trigonometría?

10. .- Observa tu alrededor y menciona los elementos que puedes visualizar de trigonometría

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Clasificación de los ángulos

A partir de las figuras define con tus palabras los ángulo

Agudo

Recto

Llano

Obtuso

Poligonal

Usa el juego de geometría para trazar los ángulos según las siguientes medidas y escribe su nombre correspondiente

25° 40° 60° 85°

90° 110° 130° 160°

180° 200° 230° 270°

300° 330° 345° 360°

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Concavo Perigonal Entrante


INVESTIGA la definición de los ángulos escribe su definición y muestra un ejemplo

Consecutivos

Adyacentes

Opuestos por el vértice

Complementarios

Suplementarios

Conjugados.

Ángulos orientados en un sistema cartesiano

Las características de un ángulo orientado en un sistema cartesiano son:

Su vértice coincide con el origen de coordenadas.

Está generado por la rotación de una semirrecta con origen en (0;0). La semirrecta parte desde una posición inicial coincidente con el semieje positivo de las x y gira manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca su lado terminal. El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.La rotación de la semirrecta puede ser mayor que un giro.

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Traza en el plano cartesiano los ángulos de 30°, 45°, 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Traza en el plano cartesiano los ángulos de -30°, - 90° -135° -180° -225° - 270° - 360°

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

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4.- Convierte las siguientes medidas en la unidad que se pide

Común o decimal a Sexagesimal operaciones

40.72872 __________________

50.3167 ____________________

30.5630____________________

Sexagesimal a Común o decimal

40° 30´ 40 “ _________________

120° 56¨ 39 “ ________________

60° 20´ 36 “ _________________

5.- Convertir radianes a grados

2.5 rad _________________

1.45 rad _________________

0.65 rad _________________

1,25 rad _________________

30 rad __________________

6.- Convertir de grados a radianes

130° _______________

90° _______________

60° ________________

46π _________________

13π _________________

36π _________________

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7.- Escribe el valor del Angulo que se pide en las siguientes expresiones

Complementarlo Suplementario

50° _______________ ________________

30° _______________ ________________

12° _______________ ________________

65° _______________ ________________

25° _______________ ________________

8.- Calcular los ángulos que faltan en las siguientes imágenes

Operaciones

4x x+ 45°

X+25° 3x x-10°

X+20°

2x+10° 5x

3x+100°

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Situaciones contextuales

1. La rueda de la bicicleta de un competidor completa 12 rotaciones de 1.5 segundos. ¿Qué ángulo girará en 2.3 segundos? Expresa el resultado en grados sexagesimales.

2. ¿En qué tiempo la Tierra gira un ángulo de 22º15’?

3. El abanico de una dama se abre

34 de rotación completa. Expresa el ángulo que se

abre en el sistema circular (en radianes).

4. Para cerrar un frasco, la tapadera gira 3.2 vueltas. Expresa el ángulo que gira la tapa en el sistema sexagesimal.

5. Si la circunferencia (perímetro) de una rueda de automóvil de carreras es de 1.75 metros, calcula el ángulo sexagesimal que gira la rueda al recorrer 5 metros.

6. Un ángulo en posición normal mide

3π4 radianes. ¿En qué cuadrante del plano

cartesiano se encuentra su lado terminal?

7. Para fabricar una rueda de 70 rayos, necesitamos conocer cuánto debe medir el ángulo entre cada par de rayos. Expresa el resultado en el sistema sexagesimal.

8. ¿Qué ángulo girará la Tierra en un tiempo de 36.5 horas? Expresa el resultado en el sistema sexagesimal.

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INVESTIGAR. Las ecuaciones para calcular áreas de los triángulos rectángulo, escaleno, isósceles equilátero, llena el cuadro siguiente:

TRIANGULO FIGURA ALTURA AREA

Equilátero

Isósceles

PROBLEMAS Calcula el área de los de los triángulos siguientes

Equilátero si tiene un perímetro de 30 cm

Rectángulo si su base 15 cm, y su altura es igual a 23 de la base

Isósceles si la base es de 10 cm y sus lados miden 8

Escaleno si un sus lados miden 10cm y 8 cm y el angulo comprendido entre estos lados es igual a 35ºEPOEM 72 Página 17


INVESTIGAR Rectas y puntos notables de los Triángulos. Trazar el Ortocentro, Baricentro, Incentro, Circuncentro en los siguientes Triángulos

ORTOCENTRO

BARICENTRO

CIRCUNCENTRO

INCENTRO

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I. Relaciona ambas columnas, escribiendo dentro del paréntesis el número que corresponde a la respuesta correcta.

Investigar en la liga

Tales de Mileto Aristarco Eratóstenes “MEDIDAS INACCESIBLES”

http://www.arrakis.es/~mcj/medidas.htm

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1. Triángulo

2. Mediatriz

3. Triángulo rectángulo

4. Altura

5. Triángulo equilátero

6. Ortocentro

7. Incentro

8. Triángulo obtusángulo

9. Triángulo isósceles

10. Circuncentro

11. Triángulo escaleno

12. Bisectriz

13. Triángulo acutángulo

14. Gravicentro

15. Mediana

16 Notación del triángulo

( ) Segmento trazado de un vértice al punto medio del lado opuesto.

( ) Intersección de las alturas de los lados del triángulo

( ) Polígono formado por tres lados que forman a su vez, entre sí, tres ángulos.

( ) Intersección de las bisectrices de los ángulos de un triángulo

( ) Intersección de las mediatrices de los lados del triángulo.

( ) Δ ABC

( ) Intersección de las medianas de los lados del triángulo.

( ) Perpendicular que corta el punto medio de un segmento.

( ) Triángulo que tiene sus tres lados iguales

( ) Triángulo que tiene sus ángulos interiores agudos.

( ) Son triángulos que tienen un ángulo recto.

( ) Son los triángulos con dos lados iguales y uno desigual.

( ) Son triángulos de lados desiguales.

( ) Son triángulos que tienen un ángulo obtuso.

( ) Semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos ángulos iguales.

( ) Segmento trazado desde un vértice y perpendicular al lado opuesto.


INVESTIGAR SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Determina el valor de que se pide en los triángulos siguientes

h= 10cm

---------12cm------------ ----------- 16 cm ---------------

------- 12 cm --------------

2cm

----- 4cm ---

X=

Semejanza de triángulos

Determina la altura del árbol en la figura mostrada, considera que OM=3m OQ=1m PQ=1.7m

OPERACIONES

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X=?

P

Q

3 cm cmc

----2 cm------

__3 cm-- cmcm


Polígonos

De la definición de poligonal y de polígono:

Dibuja una poligonal cerrada y una abierta:

De la definición de polígono regular:

Escribe que tipo de polígono se trata: Cóncavo, Equilátero, Convexo ó Equiángulo.

_________ _________ ________ _________ __________ ______

Completa la siguiente tabla:

POLÍGONO NO DE LADOSMEDIDA DE UN

ANGULOtriangulo 3 lados 60°

4 ladospentágono

6 ladosheptágono

8 ladoseneágono

10 lados 36°undecágonododecágono

15 lados Resuelva los siguientes problemas:

A) Cuantas diagonales se pueden trazar desde un vértice si el polígono tiene 4 lados:

B) ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1260°?

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C) ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1800°?

D) Hallar la suma de los ángulos exteriores de un heptágono

E) Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono de 20 lados

F) Determinar el polígono regular cuyo ángulo exterior es 120°.

Trazar los siguientes polígonos A) 45 B)35

B) 8 C) 16

Calcular lo siguiente a cada uno de ellos:

No. lados 45 35 8 16Numero de triángulos.

Ángulos interiores (< i)

Ángulos exteriores (<e)

Sumatoria de ángulos interiores (Σ< i)Sumatoria de ángulos exteriores (Σ<e)Diagonales totales (D)

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Diagonales que se pueden trazar desde un vértice (d)Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

Un triángulo tiene dos lados de longitud 10cm y 6cm y el ´ ángulo comprendido entre ellos de´ 100 Otro triangulo tiene lados de 5cm y 3cm y el ´ ángulo entre ellos dos es de ´ 100 ¿Cuál es la razón de ´semejanza si existe?

Un triángulo tiene dos lados de longitud 2cm y 4cm y el ´ ángulo comprendido entre ellos de ´ 70 Otro triangulo tiene lados de 8cm y 3cm y el ´ ángulo entre ellos dos es de ´ 70 ¿ Cuál es la razón de ´semejanza si existe?

Un triángulo tiene dos lados de longitud 125cm y 130cm y el ´ ángulo comprendido entre ellos de ´ 45 Otro triangulo tiene lados de 26cm y 25cm y el ´ ángulo entre ellos dos es de ´ 45 ¿Cuál es la razón de semejanza si existe?

Se quiere construir un jardín con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m, respectivamente. Calcula el perímetro del jardín. Solución: Dibujamos un triángulo rectángulo y ponemos los datos en él:

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8.1 m x

SEGUNDO PARCIAL

RAZONES TRIGONOMETRICAS

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

Si un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

Tenemos un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

En el triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.

Considera que el triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo

Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

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Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

Usando la calculadora científica, encontrar el valor de las funciones trigonométricas siguientes:

a) sen 35° = f) sen 45° 50’=

b) cos 20° = g) tan 70° 40’ =

c) tan 65° = h) cos 15° 40’ =

d) cot 71° = i) cot 51° 15’ =

e) Sec 18° 20’ = j) csc 89° 50’ =

Encontrar el valor de los ángulos en cada caso, usando la calculadora:

a) sen 0.2588 = f) sen 0.5 =

b) cos 0.3420 = g) tan 1 =

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c) tan 0.5773 = h) cos 0.1908 =

d) cos 0.8660 = i) tan 1.7320 =

En los siguientes ejercicios, dada la función trigonométrica, expresa las funciones restantes en relación con el ángulo dado. Traza el triángulo rectángulo correspondiente y utiliza el teorema de Pitágoras para localizar los valores restantes. Por ejemplo

tanθ= 917

19.24 9

θ

17

Solución

sen θ

= 9

19.24 cos θ

= 17

19.24 tan θ

= 917

cot θ

= 19.24

9 sec θ

= 17

19.24 csc θ

= 19.24

9

Resuelve los siguientes

a)senθ= 5

12

b)EPOEM 72 Página 26

De la definición de la función tangente colocamos

los valores 7 y 17 en el triángulo.

Aplicando el teorema de Pitágoras se calcula la

hipotenusa √92+172 = 19.24

Después se aplica las definiciones trigonométricas

con los datos del triangulo


c)

senθ= 610

d)cot θ=5

4

e) tanθ=3

f)cosθ= 3

10

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g)cot θ=5

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS LEY SENOS Y COSENOS.

60.- ¿Que es un triángulo oblicuángulo?

61.- Enuncia la ley de los senos, cosenos y tangentes. Escribe las formulas correspondientes.

62.- Considerando la siguiente figura resuelve los ejercicios aplicando la ley adecuada

C

b a

B A c

A) B=12.67° , C=100° y b=13

B) A=41° , B=77° y c=100

C) a=25, b= 80, c= 60

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D) A=60º, b=20, c=30

E) A=40.3º, B=62.9º b=5.63

F) A=80.1º, a=8.0, b=3.4

G) a=4.5 , b=6.3 y C=60°

H) A=32°, B=48° y a=10

I) b=3.4, c=2.8 y A=82°

J) a=45, b=67 y C=35°

K) a=10.5, b=40.8 y C=120°

L) b=38, c=42 y A=135.5°

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M) B=48° ,A=43.4° y c=8.6

N) C=73.2°, A=13.7° y c=20.5

Aplicaciones prácticas.

63.- Resuelva los siguientes problemas aplicando la ley adecuada.

A) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

B) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

C) Ángulos de un terreno triangular. Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 pies de longitud. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados.

D) Se requiere determinar el área de un terreno que presenta la siguiente figura

25m 30m 35m 15m

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45m

E) Dos fuerzas de 200kg y 250kg forman un ángulo de 60° entre si y se aplican a un cuerpo en el mismo punto. hallar la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza de 200 Kg.

250 Kg. resultante

200kg

F) Un barco navega 200 millas a un ángulo de 33° hacia el noroeste y después altera su rumbo aun ángulo de66° en la misma dirección y navega 300 millas calcular la distancia desde el punto de partida hasta el punto final y la me4dida del ángulo

66° 33° 200kg

G) Un tercer agujero de un campo de golf esta a 350 yardas como se muestra en la figura calcular la distancia directa desde T hasta el agujero H sobre el obtusángulo de agua

D 200yardas 127° H

150 yardas

Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30ºDibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos los datos conocidos y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.

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c=?b =5cm

A=?

a =4 cm C=? B 30°


De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos. C

a=

A B

Calcular el valor del Angulo C , lado b Y lado c del siguiente Triangulo

oblicuángulo

El área de un rectángulo es 20cm2 y un lado mide 10 cm. Calcula el perímetro y la diagonal del cm rectángulo.

El área de un trapecio isósceles (los lados no paralelos iguales) es 20cm2 las bases miden 7 cm , 3 cm respectivamente. Calcula la altura y el perímetro del trapecio.

EPOEM 72 Página 32

C=?

30° 40°

b=? a=10m

A c=? B


Determina el área y el perímetro del siguiente trapecio rectángulo: D 3 C

A x B

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

32. Definir el concepto de circunferencia

33. Definir el concepto de circulo

34. Definir los siguientes conceptos: Radio,

Diámetro

Cuerda

Arco

Tangente

Secante

35. Definir los siguientes ángulos de una circunferencia:Ángulo central

Ángulo inscrito

Ángulo semi-inscrito

Ángulo interior

Ángulo exterior

36. Anota en el cuadro de la derecha las letras correctas de acuerdo al punto o segmento marcado en la circunferencia

EPOEM 72 Página 33

4

ELEMENTO SEGMENTO O PUNTO

Radio

Diametro

Centro

Cuerda

Secante

Tangebte

Punto de tangente

Arco


.

37.- Dibuje los siguientes sectores de los círculos escribe las fórmulas para calcula sus áreas

Sector dibujo FormulaSemicírculo

Quadrante circular

Sector circular

Segmento circular

Corona circular

Trapecio circular

TEOREMAS: ÁNGULOS CENTRAL, INSCRITO SEMINSCRITO, INTERIOR, EXTERIOR

38.- Resuelva los siguientes problemas de ángulos en la circunferencia:

EPOEM 72 Página 34


ABC=50°

BC = BC=

α=30°

AB=

OM= 140°

ONM=

MON=

NM=

RT =110° GTS=

ST = 40° GST=

GT= 180°

RGT=

Las medidas de la circunferencia máxima de dos pelotas de fútbol oscilan entre 68 cm y 71 cm. ¿Entre qué valores varían los radios de estas pelotas?.

Calcula el radio de la Tierra en km, suponiéndola esférica y sabiendo que el ecuador tiene aproximadamente 40.000 km.

EPOEM 72 Página 35

O

C

B

A

O T

S

G

R


Calcula la medida de un arco de circunferencia de 45º sabiendo que el radio de la Circunferencia mide 5 cm.

Una circunferencia de radio 5 cm tiene un arco que mide 10 cm. ¿Cuánto mide el ángulo central que abarca este arco?

La longitud de una circunferencia es 10 cm. Calcula el área del círculo.

El área de un círculo es 20cm2 . Calcula la longitud de la circunferencia.

Calcula el área y de la región sombreada:

r=4cm

3cm

2cm R1 4cm

Rr1

2cm

Operaciones Operaciones

6cm

EPOEM 72 Página 36 2cm

1cm

1cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm


1.6 cm

3cm

1.6cm

Operaciones Operaciones

¿Cuánto mide el perímetro del círculo grande?

ÁREA Y PERÍMETROS

40. Definir que es el apotema de un polígono regular

41. Definir el concepto de perímetro y área

42. Calcular el perímetro y área de un triángulo equilátero de lado 3cm

43. Calcular el perímetro y área de un triángulo rectángulo de lados 3cm, 4cm y 5cm

EPOEM 72 Página 37


44. Calcular el área de un triángulo de base 8cm y altura 6cm

45. Calcular el área de un triángulo cuyos lados son 9,7y5cm respectivamente aplique la fórmula de Herón

46. Calcular el área y perímetro de un rectángulo de lados 2cm y 5cm respectivamente

47. Calcular el área y perímetro de cuadrado de lado 3cm

48. Calcular el área y perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 2.3 cm. y su apotema vale 1.5 cm.

49. Calcular el área y perímetro de un rombo cuyos lados miden 2 cm. y las diagonales miden 3.5cm y 1.7 cm. respectivamente

50. Calcular el área y perímetro de un trapecio cuya base mayor mide 4 cm. y la menor 1.5 cm. altura 2 cm. y el ultimo lado 3.3 cm.

51. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya diagonal es de 9 cm. y la altura es de 2 cm.?

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52. Calcular el área de un hexágono regular de lado 3cm y apotema de 1.5 cm.

53. Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 42 cm.Si se aumentan en dos cm. los lados de un cuadrado su área aumenta en 36cm2 ¿Cuál es el lado del cuadrado?

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

8.- Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:

a) senAcosA=1

b) sec2 A−tan2 A=1

c) sen3 Atan2 A

=senA−sen3 A

d) (1+ tan2 A ) (1−sen2 A )=1

e) 1−csc2 Acsc2 A

=−cos2 A

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f) csc2 A−1cotA cosA

= 1senA

g) sec2 A+cot2 AcotA cosA

=sec2 A

h) secA= cscA√csc2 A−1

i)senA+cosAcosA

=tanA+1

j) sen2 A=(1+cosA ) (1−cosA )

EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN

Resuelve los siguientes ejercicios, en forma individual, usando el Teorema de Pitágoras.

A) En un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, hallar la hipotenusa cuando:

a) a = 5, b = 12.

b) a = 8, b = 15.

c) a = 4, b = 5.

d) a = 15, b = 20.

e) a = 2 2 , b = 2 2 .

B) En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es c, hallar el cateto desconocido cuando:

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a) a =8, c = 10.

b) b =10, c = 26.

c) a =20, c = 25.

d) b =21, c = 29.

e) a =5, c = 5 2 .

¿Cuál será la longitud de un cable que habrá de sujetar un poste de 15 m de altura, si se atará a una distancia de 6 m del pie del poste?

La longitud de una resbaladilla es de 5.30 m., si la altura es de 2.40 m, ¿cuál será el espacio para instalarla?

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Una escalera de 3 m de longitud se encuentra recargada en una barda de 2.40 m de altura ¿A qué distancia de la barda se encuentra el pie de la escalera?

Encuentra el valor de AD

si AC

= 25

Un guardia naval está ubicado a 35 m de altura en un faro sobre el nivel del mar, a lo lejos avista dos barcos, el primero de los barcos tiene un ángulo de depresión de 35º 15’ y el segundo barco da una lectura de 6º40. ¿Qué distancia separa a los barcos?

A 27 m de la base de una columna, se miden los ángulos de elevación del borde superior de la columna y del extremo más alto de una estatua. Los ángulos medidos sonde 57º32’ y 56º10`. Determinar cuál es la longitud de la estatua.

EPOEM 72 Página 42

D

CEB

A

3

15


El tirante de un puente forma un ángulo de 38º50’, con la horizontal ¿Cuál es la altura del puente donde está colocado el tirante si tiene una longitud de 64 m?

Si se tiene la función trigonométrica senA=

57 , calcula las demás funciones trigonométricas

del mismo ángulo en el segundo cuadrante dl plano cartesiano

Un piloto alcanza a ver el aeropuerto de una ciudad con un ángulo de depresión de 32° volando a una altura de 6 096 m. Al cabo de un rato ve nuevamente el aeropuerto, pero

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ahora con un ángulo de depresión de 58°. ¿Qué distancia recorrió entre las dos veces que vio el aeropuerto?

Los fuertes vientos inclinaron un árbol 12° respecto a la vertical. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 25°, el árbol proyecta una sombra de 24 metros. ¿Cuánto mide el árbol?

Un avión debe volar 700 km hacia el oeste para llegar a un aeropuerto; si por error de despegue se desvía 6° hacia el norte, ¿qué tan lejos se encuentra de su destino? ¿Qué ángulo debe girar para corregir el rumbo, si ha recorrido 480 km?

Un terreno de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140.5 m y 170.6 m y el ángulo opuesto al primero es de 40° ¿Cuántos metros de tela de alambre son necesarios para cercar el terreno?

Soluciona los triángulos con la información que se proporciona en cada inciso. Toma como base el triángulo oblicuángulo que se muestra en la figura.

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C

B

Ac

ba


a) B = 12° 40’, C = 100°, b = 13.1 e) a = 7.6, b = 4.8, c = 7.1

b) a = 25.7, b = 38.7, B = 10.8° f) A = 65°, b = 80, c = 97

c) B = 41°, C = 77°, c = 100 g) a = 85, b = 73, C = 84°

d) a = 17, c = 14, C = 30° h) a = 132, B = 52°, c = 89

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