U. E.”NUESTRA SEÑORA DE LOURDES”

GUÍA TEÓRICA-PRÁCTICA – I LAPSO

3er. AÑO

PROFESORA: ROSANNY HIGUEREY

AÑO ESCOLAR 2019 – 2020

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: RADICACIÓN

Raíz enésima de un número:

Definimos la raíz enésima de a, a un número b, tal que bn = a

𝑏 = 𝑎𝑛

La expresión 𝑎𝑛 se lee raíz enésima de a

SI n vale 2 decimos que la raíz es cuadrada y este 2 no se escribe.

Ejemplo: 3 se lee raíz cuadrada de 3

7 Se lee raíz cuadrada de 7

Cuando n vale 3 decimos que la raíz es cúbica.

Ejemplo: 23

se lee raíz cúbica de 2

85

Se lee raíz quinta de 8

Al calcular la 𝑎𝑛 pueden presentarse cuatro casos diferentes:

a) Cuando el índice de la raíz sea par y el radicando positivo: en este caso la raíz puede ser positiva o

negativa.

Por ejemplo: 81 = ± 9 ya que 92 = 81 y (-9)2 = 81

b) Cuando el índice de la raíz sea par y el radicando negativo: en este caso no existe ningún número

real que sea igual a la raíz. En efecto, −4 no tiene raíz real, ya que no existe ningún número real

tal que su cuadrado sea un número negativo.

c) El índice de la raíz sea impar y el radicando positivo: en este caso el resultado de la raíz sea un

número positivo.

Por ejemplo: 643

= 4 ya que 43 = 64

d) El índice de la raíz sea impar y el radicando negativo: el resultado es un número real negativo.

Por ejemplo: −273

= -3 ya que (-3) 3 = -27

Exponente fraccionario.

Una expresión con exponente fraccionario se puede escribir en forma de raíz.

𝒂𝒎𝒏

= 𝒂𝒎 𝒏 — 𝒃

𝟏𝒏 = 𝒃

𝒏

Una expresión en forma de radical puede escribirse en forma de exponente fraccionario.

𝒂𝒎 𝒏= 𝒂

𝒎𝒏

— 𝒃 𝒏

= 𝒃𝟏𝒏

Simplificación de radicales.

Para simplificar un radical se divide su índice y el exponente de la parte subradical, por el mismo número.

Ejemplo: 𝑎) 27 6

= 336 = 3

3

6 = 31

2 = 3

b)

Raíces por descomposición de un número en factores primos.

Para hallar el valor de una raíz por descomposición en sus factores primos, se siguen los siguientes pasos:

1. Se descompone el radicando en sus factores primos. 2. Se expresa el radicando en una multiplicación de potencias. 3. Se separan las potencias en radicaciones por separado. 4. Se operan las raíces por separado. 5. Se multiplican los factores que quedan.

Ejemplo 1.

Hallar la raíz cuadrada por descomposición en factores primos de 900.

1. Se descompone 900 en factores primos

900 2

450 2

225 3

75 3

25 5

5 5

1

Cuando la raíz no es exacta entonces se suele dejar indicado el factor que tiene una radicación.

Ejemplo 2. Hallar la raíz cuarta por descomposición en factores primos de 648.

1. Se descompone 648 en factores primos

648 2

324 2

162 2

81 3

27 3

9 3

3 3

1 = 23.34

= 22.32.52

Extracción de factores de un signo radical.

Se descompone el radicando en factores . Si:

1.- Un exponente es menor que e l índice, el factor correspondiente se deja en e l radicando .

2.- Un exponente es igual al índice, e l factor correspondiente sale fuera del

radicando .

3.-Un exponente es mayor que e l índice , se divide dicho exponente por e l índice .

El cociente obtenido es e l exponente del factor fuera del radicando y e l resto es

el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores en un radical

Se introducen los factores e levados a l índice correspondiente del radica l.

Ejemplos: Introducir dentro del radica l:

a)

b)

c)

Radicales semejantes

Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.

Para comprobar si dos radicales son semejantes o no, se simplifican si se puede y se extraen todos los factores que sea posible, como puedes observar en la escena.

Ejemplos

Determinar si los siguientes radicales son semejantes 18, 50 𝑦 98 :

Actividad 1

1) Expresa las siguientes potencias en forma de radical.

a) 7𝑋 3

5 =

b) 2𝑚𝑛 −8

9 =

c) 2𝑋 + 3𝑦 + 7𝑧 2

7 =

2) Expresa las siguientes raíces en potencias.

a) 𝑥 + 45

=

b) (2𝑎 + 𝑏𝑐)310 =

c) 2𝑥

𝑎𝑏𝑐𝑑5 =

3) Simplificar los siguientes radicales.

a) 9 𝑎12𝑏10 = 4

b) 32 𝑎5𝑏5 = 10

c) 81 𝑚8𝑛16 = 20

4) Introduce los factores correspondientes a cada radical.

a) 𝑥3𝑦4𝑧2 𝑥𝑦7𝑧5𝑚39=

b) 𝟓

𝟐𝒎𝟓𝒏𝟑

𝟐𝒎

𝒏 =

c) 𝑎2𝑏3𝑐5 𝑎𝑏𝑐6

=

5) Haga la extracción de los términos correspondientes en cada raíz.

a) 𝑚 𝑛7𝑝5 =

b) 𝑎5𝑏10𝑐14𝑑88=

c) 2𝑥3𝑦 𝑥11𝑦9𝑧87 =

6) Determine si los siguientes radicales son semejantes.

a) 𝑎2𝑏4

𝑦 𝑎8𝑏48 =

b) 25 3𝑚𝑛2 𝑦 2𝑛 3𝑚 =

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: OPERACIONES CON RADICALES

Suma y resta de radicales:

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes.

Ejemplo:

a)

b)

c)

Multiplicación de radicales con igual índice: Para multiplicar radicales con el mismo índice hay que aplicar la primera propiedad de las raíces:

Ejemplo:

Tenemos una multiplicación de dos raíces. Pues en primer lugar, las unimos en un único radical aplicando la primera propiedad:

Ya hemos multiplicado las dos raíces. A partir de aquí tenemos que operar para simplificar el resultado. Para ello, multiplicamos las potencias dentro del radical sumando los exponentes:

Y finalmente, extraemos factores fuera de la raíz:

División de radicales con igual índice:

El cociente de radicales con el mismo índice se resolvería de forma similar, aplicando la segunda propiedad de las raíces:

Por ejemplo:

Para realizar este cociente de radicales con el mismo índice, en primer lugar aplicamos la segunda propiedad de las raíces:

Una vez aplicada la propiedad, ves que es posible resolver la fracción, que tiene un resultado entero.

Para terminar de simplificar el resultado, factorizamos el radicando y después la raíz se anulará con el exponente:

Multiplicación y División de radicales de distinto índice

Solamente se pueden multiplicar y dividir raíces que tengan el mismo índice

¿Entonces cómo multiplicar y dividir las raíces que tengan distinto índice?

Pues hay que conseguir que tengan el mismo índice.

Para transformar las raíces a igual índice debemos hallar un índice común, calculando el mínimo común múltiplo de los índices.

Al modificar el índice, el exponente del radicando también se verá afectado, para que la raíz resultante sea equivalente a la original.

Con el nuevo índice común, indirectamente ya hemos multiplicado el índice por un número, entonces, debemos saber por qué número ha sido multiplicado el índice para multiplicar el exponente del radicando por el mismo número y tener así una raíz equivalente a la original.

Ese número lo calculamos con la siguiente fórmula:

Una vez calculado, multiplicamos el exponente del radicando por éste número. Cuando tenemos todas las raíces con el mismo índice, ya podemos aplicar las propiedades de las raíces y seguir con la operación. Ejemplos: a)

El primer paso es calcular el mínimo común múltiplo de los índices:

Éste será el nuevo índice común, que lo colocamos ya en las raíces a falta del exponente del radicando:

Ahora se halla el número por el que se ha multiplicado el índice original, para que el nuevo índice sea 12 y lo hacemos dividiendo este índice común entre el índice original de cada raíz:

Es decir, el índice de la primera raíz se ha multiplicado por 4, el de la segunda raíz por 3 y el de la tercera por 6. Por tanto, por esos mismos números se multiplica cada uno de los exponentes de los radicandos:

Obteniéndose así una multiplicación de raíces con el mismo índice, cuyas raíces son equivalentes a las originales.

Siguiendo el procedimiento para multiplicar raíces con el mismo índice.

Dentro de la raíz han quedado tres potencias que tienen distinta base. Conforme están no pueden multiplicarse, ya que sólo se pueden multiplicar las potencias con la misma base.

Para buscar las potencias que tengan la misma base, hay que descomponerlas en factores primos:

Una vez descompuestas, queda una sola base. Entonces, se eliminan los paréntesis y finalmente, se suman los exponentes manteniendo la base:

Ahora se simplifica el resultado extrayendo los factores fuera de la raíz:

Y por último, se simplifica la raíz dividiendo el índice y el exponente del radicando entre en un mismo múltiplo, en este caso es 4.

Ya tenemos la multiplicación. Ahora vamos a simplificar el resultado extrayendo factores fuera de la raíz:

Y por último, simplificamos la raíz dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 4 (igual que si fuera una fracción)

b)

En primer lugar, se debe hallar el índice común, calculando el mínimo común múltiplo de los índices:

Se coloca el nuevo índice en las raíces y nos preparamos para calcular el nuevo exponente de cada radicando:

Se Calcula el número por el que se ha multiplicado el índice original, para que el nuevo índice sea 6, dividiendo este índice común entre el índice original de cada raíz:

Se multiplican los exponentes de los radicandos por los mismos números:

Una vez obtenidas las raíces equivalentes con el mismo índice, se procede a realizar la división, uniéndolas en una sola raíz:

Ahora se dividen las potencias restando los exponentes:

Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Ejemplos

Se eleva el radicando al cuadrado, se descompone 18 en factores y se eleva al cuadrado y por último se extraen los factores:

Se elevan los radicandos a la cuatro, se descomponen en factores los radicandos y se extraemos el 18 del radical:

En los radicando se realizan las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

Se simplifica el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y efectúa una división de potencias con el mismo exponente

Raíz de una raíz

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices. Con un ejemplo sencillo, esto significa lo siguiente:

Raíz ene ( n ) de la raíz eme ( m ) de a es igual a raíz ene por eme ( n • m ) de a.

Ejemplos:

a)

b)

Actividad 2

1) Efectuar las siguientes operaciones.

a) 3 𝑎 + 2 𝑎23+ 3 𝑎23

− 𝑎 + 𝑎

2 =

b) 2 2 + 180 + 5 648 + 125 =

c) −4 3 + 3 3 −2

3 3 + 8 5 +

4

7 3 −

2

3 5 =

2) Efectuar cada uno de los siguientes productos y si es posible simplificar el resultado.

a) 27. 5 8 . −2 125 =

b) 𝑎3

𝑏2

5 .

7

2

𝑎3

𝑏8

5 .

𝑏2

𝑎4

5 .

4

5

𝑏

𝑎2

5 =

c) 𝑥2𝑦4 . 𝑥3𝑦45 =

d) 5 𝑎4𝑏6𝑐57 .

4

3 𝑎2𝑏𝑐23

=

e) −2 𝑥2𝑦3𝑧45 . 7

3 𝑥4𝑦89 =

3) Efectuar cada uno de los siguientes cocientes y si es posible simplificar el resultado.

a) 20 75

3

4 53 =

b) 𝑥2+2𝑥𝑦+ 𝑦24

𝑥+𝑦4 =

c) 147 𝑥2−2𝑥−8

5

7 𝑥2+7𝑥+105 =

d) 2𝑚𝑎𝑏2

5𝑚𝑎3𝑏53 =

e) 48𝑎4𝑏2 𝑥8𝑦4𝑧910

3𝑎2𝑏6 𝑥10𝑦𝑧7𝑚814 =

4) Aplicar la potenciación en los siguientes radicales.

a) 4

3

𝑥3𝑦2𝑧5

2𝑎𝑏

5

3

=

b) 2𝑚4𝑛2𝑝3 3𝑚2𝑛3𝑝46 7

=

c) 8𝑎3𝑏7 𝑚2𝑛49

4=

5) Resolver:

a) 𝑥4𝑦3358

=

b) 𝑎2 𝑎𝑏2 𝑎𝑐 35

=

c) 𝑚2𝑛34

=

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: TEOREMAS DE PITÁGORAS Y EUCLIDES

El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud a y b , y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple la siguiente relación:

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Ejemplos

a)

b)

El teorema de Euclides establece que en todo triángulo rectángulo, si se traza la altura correspondiente al vértice del ángulo recto, los dos nuevos triángulos rectángulos son semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al original.

Teorema de Euclides referido a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura (que se traza desde el ángulo recto), es media proporcional geométrica (es decir, la altura al cuadrado), entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa.

𝒉𝒄𝟐 = 𝒎.𝒏

Ejemplo

Actividad 3

1) Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

2) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

3) Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden 2 y 3.

4) Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.

5) Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

6) Considere que en el triángulo que se muestra en la figura 1 la altura con respecto a la hipotenusa tiene un valor de 10 cm, y el segmento q tiene un valor de 5 cm , obtenga el valor del segmento p.

7) Considere que en el triángulo de la Figura 1 el cateto a mide 4 cm y la hipotenusa c mide 5cm, calcule la proyección del cateto sobre la hipotenusa.

8) Considere que en el triángulo de la figura 1 el valor de “q” es 1,8 cm y el valor de la hipotenusa “c” es de 5 cm , calcule el valor del cateto “b”.

Figura 1