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GUÍA TÉCNICA SOBRE TRAZABILIDAD E INCERTIDUMBRE EN METROLOGÍA DIMENSIONAL México, Revisión 1, Abril de 2008 Derechos reservados ©

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GUIacuteA TEacuteCNICA SOBRE

TRAZABILIDAD E

INCERTIDUMBRE EN

METROLOGIacuteA DIMENSIONAL

Meacutexico Revisioacuten 1 Abril de 2008 Derechos reservados copy

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 2 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

PRESENTACIOacuteN Para asegurar la uniformidad y validez teacutecnica de la expresioacuten de la trazabilidad de las mediciones y de la estimacioacuten de la incertidumbre de las mismas la entidad mexicana de acreditacioacuten a c solicitoacute al Centro Nacional de Metrologiacutea la revisioacuten y elaboracioacuten de Guiacuteas Teacutecnicas sobre Trazabilidad e Incertidumbre de las Mediciones Los Subcomiteacutes de evaluacioacuten de Laboratorios Acreditados de Calibracioacuten y de Ensayo de la entidad mexicana de acreditacioacuten se incorporaron a este proyecto transmitiendo sus conocimientos y experiencias relacionados con la trazabilidad e incertidumbre de sus mediciones El Centro Nacional de Metrologiacutea coordinoacute la elaboracioacuten de las Guiacuteas proponiendo criterios teacutecnicamente sustentados procurando que las opiniones de los Subcomiteacutes fueran apropiadamente consideradas y asegurando la coherencia de las mismas con otros documentos teacutecnicos de referencia Las Guiacuteas Teacutecnicas de Trazabilidad e Incertidumbre de las Mediciones observan lo establecido en documentos de referencia conocidos ampliamente en la comunidad internacional en los cuales se fundamentan las poliacuteticas de Trazabilidad e Incertidumbre de la entidad mexicana de acreditacioacuten Las Guiacuteas aportan criterios teacutecnicos que sirven de apoyo a la aplicacioacuten de la norma NMX-EC-17025-IMNC-2006 La coherencia de las Guiacuteas con esta norma y con otros documentos de referencia contribuye a asegurar la confiabilidad y uniformidad de las mediciones que realizan los laboratorios acreditados

Abril de 2008 Dr Heacutector O Nava Jaimes Mariacutea Isabel Loacutepez Martiacutenez Director General Directora Ejecutiva Centro Nacional de Metrologiacutea entidad mexicana de acreditacioacuten a c

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AGRADECIMIENTOS La entidad mexicana de acreditacioacuten expresa su reconocimiento al Fondo de Apoyo para la Micro Pequentildea y Mediana Empresa (FONDO PYME) auspiciado por la Secretariacutea de Economiacutea por haber proporcionado los recursos financieros para la elaboracioacuten de este documento mediante el proyecto aprobado con folio FP2007-1605 de nombre ldquoElaboracioacuten de guiacuteas teacutecnicas sobre trazabilidad e incertidumbre para la medicioacuten que permitan el fortalecimiento del Sistema Nacional de Acreditacioacuten de Laboratorios de Ensayo y Calibracioacutenrdquo y por este medio hace patente su sincero reconocimiento y agradecimiento a la Secretariacutea de Economiacutea a la Subsecretariacutea para la Pequentildea y Mediana Empresa a la Direccioacuten General de Desarrollo Empresarial y Oportunidades de Negocio y a los profesionales que aportaron su tiempo y conocimiento en su desarrollo destacando a los responsables de la elaboracioacuten GRUPO DE TRABAJO Grupo de Trabajo que participoacute en la elaboracioacuten de esta Guiacutea

Dr Miguel Viliesid Alonso CENAM Ing Ramoacuten Zeleny Vaacutezquez Instituto de Metrologiacutea MITUTOYO AC Ing Reneacute Pichardo Vega CENAM Ing Mario Diacuteaz Orgaz CIDESI Ing Carlos Coliacuten Castellanos CENAM M en C Heacutector Gonzaacutelez Muntildeoz CENAM

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IacuteNDICE

PRESENTACIOacuteN 2

AGRADECIMIENTOS 3

GRUPO DE TRABAJO 3

1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA 5

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA 6

3 PARTE A - RECOMENDACIONES ESPECIacuteFICAS PARA LA CALIBRACIOacuteN Y ESTIMACIOacuteN DE INCERTIDUMBRES EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 7

4 PARTE B - GUIacuteA TEacuteCNICA SOBRE TRAZABILIDAD Y ESTIMACIOacuteN DE LA INCERTIDUMBRE EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 15

5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 36

6 ANEXOS 38

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1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA

El presente documento llamado Guiacutea se ha dividido en dos partes cada una con un propoacutesito distinto Parte A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional bull Esta parte establece recomendaciones teacutecnicas especiacuteficas aplicables a la

calibracioacuten de instrumentos y patrones en Metrologiacutea Dimensional (MD) adicionales a los requisitos generales que establece la norma NMX-EC-170252006 [12] (en adelante 17025) en su capiacutetulo 5 referente a requisitos teacutecnicos Se estima que estas recomendaciones son las miacutenimas necesarias para aplicarse en forma general a cualquier laboratorio que calibre instrumentos o patrones de MD

bull Estas recomendaciones se emiten con la intencioacuten de que la Direccioacuten General de Normas (DGN) y la Entidad Mexicana de Acreditacioacuten (EMA) las adopten y las exijan como requisitos adicionales a la 17025 a los laboratorios acreditados o por acreditarse en MD

bull Las recomendaciones pueden ser complementarias en el sentido que precisen o interpretan alguacuten requisito de la 17025 para el campo de calibracioacuten en MD o bien suplementarias para el caso que se estime necesario alguacuten requisito adicional Estos uacuteltimos se mantienen en un estricto miacutenimo que se creen necesarios y de ninguna manera el presente documento pretende suplantar a la 17025 sino maacutes bien crear un adendum a la misma

bull Adicionalmente el presente documento favoreceraacute la consistencia y uniformidad de los balances1 de incertidumbre de los laboratorios que solicitan acreditacioacuten ante la EMA

bull Asimismo pretende homologar los criterios teacutecnicos para la estimacioacuten de incertidumbre de las mediciones entre los evaluadores y asiacute facilitar y evitar conflictos durante los procesos de evaluacioacuten

bull Esta Parte A una vez adoptada como requisitos da respuesta al requisito que establece al respecto el punto 712 b) de la norma 17011 [18] aplicado al campo especiacutefico de la MD y se elabora bajo los lineamientos y recomendaciones del Anexo B de la 17025

1 Tambieacuten llamado presupuesto de incertidumbres

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Parte B - Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

MD bull En esta parte se emiten comentarios lineamientos recomendaciones e incluso se

ilustra con algunos ejemplos aspectos relacionados con la trazabilidad y la estimacioacuten de incertidumbres con el fin de aclarar conceptos simplificar caacutelculos emitir advertencias y capacitar en estos dos temas a las personas relacionada con las actividades de calibracioacuten en MD

bull Esta ldquoGuiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea Dimensionalrdquo pretende facilitar la aplicacioacuten de las normas NMX-EC-17025-IMNC-2006 [12] y NMX-CH-140-IMNC-2002 [1] sin sustituirlas ni modificarlas

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA

El presente documento aplica a todo servicio de calibracioacuten o medicioacuten de MD ofrecido por un laboratorio de calibracioacuten acreditado o en proceso de acreditacioacuten por la EMA Se entiende por calibracioacuten o medicioacuten de MD a toda accioacuten que involucre la calibracioacuten de instrumentos o patrones de longitud distancia posicioacuten en el plano o el espacio forma o aacutengulo asiacute como todos los paraacutemetros relativos que se pudiesen definir como redondez alabeo concentricidad etc asiacute como los utilizados en acabado superficial La Parte A es aplicable a todos los servicios de calibracioacuten que pueden ser acreditados en MD La Parte B es una guiacutea para los laboratorios que calibran instrumentos y estaacute basada en la aproximacioacuten simplificada planteada en la referencia [2] Para los laboratorios que calibran patrones de alta exactitud2 se recomienda recurrir a informacioacuten maacutes especializada como las referencias [6] y [7] y que traten de apegarse maacutes a los meacutetodos de mayor rigor planteados en la referencia [1] Para ambos se recomienda estudiar y aplicar los conceptos de la referencia [3]

2 Como bloques patroacuten anillos patroacuten etc

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3 PARTE A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional

A continuacioacuten se enuncian los requisitos teacutecnicos especiacuteficos complementarios o suplementarios que se recomienda cumplan los laboratorios acreditados Entre pareacutentesis se indican los puntos del capiacutetulo 5 de la 17025 a los que se refiere3

31 Personal (52)

Se recomienda distinguir entre al menos dos tipos de personal el primero que llamaremos teacutecnico quien realiza las operaciones rutinarias de calibracioacuten el segundo que llamaremos gerente teacutecnico quien es responsable de los procedimientos de calibracioacuten utilizados de los balances de incertidumbres de los informes emitidos y de todas las actividades relacionadas con el servicio de calibracioacuten de cara al cliente Una sola persona puede tener ambas responsabilidades dependiendo de cada organizacioacuten y del tamantildeo de la misma En cuanto a los conocimientos de cada una de las categoriacuteas se recomienda

bull Teacutecnico- Deberiacutea manejar el equipo con destreza saber limpiarlo empacarlo inspeccionarlo y tomar lecturas Deberiacutea estar perfectamente familiarizado con la teacutecnica de medicioacuten y los instrumentos utilizados Deberiacutea operar bajo procedimientos y apegarse a ellos Deberiacutea haber recibido el entrenamiento adecuado para estas tareas y ser capaz de identificar cuando la temperatura las lecturas o alguna otra condicioacuten es incorrecta inconsistente o sospechosa Deberiacutea tener conocimientos baacutesicos de los principios de medicioacuten aplicados y al menos entender los conceptos de valor nominal desviacioacuten error de indicacioacuten exactitud repetibilidad incertidumbre y trazabilidad Siempre deberiacutea de recurrir al gerente teacutecnico cando surjan problemas por encima de su nivel de conocimientos

bull Gereacutente Teacutecnico4- Esta persona deberiacutea comprender el proceso completo de calibracioacuten Deberiacutea entender con claridad el principio de medicioacuten y ser responsable del procedimiento de calibracioacuten usado por el operador Deberiacutea tener conocimientos de estimaciones de incertidumbres ser responsable del balance de las incertidumbres correspondiente y poder explicarlo Se recomienda que supervise las calibraciones revise los informes expedidos y deberiacutea ser responsable de los resultados asentados en ellos ante el cliente Deberiacutea tener conocimientos de sistemas de calidad y de la 17025 [12] Deberiacutea apoyar al teacutecnico cuando eacuteste encuentre dificultades asiacute como ser capaz de confrontar los problemas que pudiesen surgir y tomar decisiones al respecto Deberiacutea haber recibido entrenamiento para las actividades antes mencionadas y mantenerse actualizado en el estado del arte de las calibraciones bajo su responsabilidad

3 No todos los incisos del capiacutetulo 5 requieren de requisitos complementarios o suplementarios 4 O como se le denomine

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

Mediciones [2] NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)-

Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

[5] EAL-1010 EA Guidelines on the determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing European co-operation for accreditation April 1999

[6] The Mutual recognition arrangement BIPM (1999) Tambieacuten en httpwwwbipmfrenconventionmra

[7] W Schmid R Lazos et al Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten wwwcenammx 2000

[8] W Schmid La incertidumbre expandida y los grados de libertad un anaacutelisis comparativo entre el meacutetodo recomendado por la GUM y meacutetodos simplificados Memorias del Simposio de Metrologiacutea 2002 CENAM wwwcenammx

[9] NISTSEMATECH e-Handbook of statistical methods (2571) httpwwwitlnistgovdiv898handbook

[10] W Link Metrologiacutea Mecaacutenica Expresioacuten de la incertidumbre de medicioacuten Publicado en espantildeol por Mitutoyo Mexicana SA de CV

[11] NMX-Z-0551996 IMNC Metrologiacutea ndash Vocabulario de teacuterminos fundamentales y generales equivalente al documento internacional Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology BIPM IEC IFCC ISO IUPAC IUPAP OIML 1993

[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

Page 2: GUÍA TÉCNICA SOBRE TRAZABILIDAD E · PDF fileGUÍA TÉCNICA SOBRE TRAZABILIDAD E INCERTIDUMBRE EN METROLOGÍA DIMENSIONAL México, Revisión 1, Abril de 2008 Derechos reservados

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PRESENTACIOacuteN Para asegurar la uniformidad y validez teacutecnica de la expresioacuten de la trazabilidad de las mediciones y de la estimacioacuten de la incertidumbre de las mismas la entidad mexicana de acreditacioacuten a c solicitoacute al Centro Nacional de Metrologiacutea la revisioacuten y elaboracioacuten de Guiacuteas Teacutecnicas sobre Trazabilidad e Incertidumbre de las Mediciones Los Subcomiteacutes de evaluacioacuten de Laboratorios Acreditados de Calibracioacuten y de Ensayo de la entidad mexicana de acreditacioacuten se incorporaron a este proyecto transmitiendo sus conocimientos y experiencias relacionados con la trazabilidad e incertidumbre de sus mediciones El Centro Nacional de Metrologiacutea coordinoacute la elaboracioacuten de las Guiacuteas proponiendo criterios teacutecnicamente sustentados procurando que las opiniones de los Subcomiteacutes fueran apropiadamente consideradas y asegurando la coherencia de las mismas con otros documentos teacutecnicos de referencia Las Guiacuteas Teacutecnicas de Trazabilidad e Incertidumbre de las Mediciones observan lo establecido en documentos de referencia conocidos ampliamente en la comunidad internacional en los cuales se fundamentan las poliacuteticas de Trazabilidad e Incertidumbre de la entidad mexicana de acreditacioacuten Las Guiacuteas aportan criterios teacutecnicos que sirven de apoyo a la aplicacioacuten de la norma NMX-EC-17025-IMNC-2006 La coherencia de las Guiacuteas con esta norma y con otros documentos de referencia contribuye a asegurar la confiabilidad y uniformidad de las mediciones que realizan los laboratorios acreditados

Abril de 2008 Dr Heacutector O Nava Jaimes Mariacutea Isabel Loacutepez Martiacutenez Director General Directora Ejecutiva Centro Nacional de Metrologiacutea entidad mexicana de acreditacioacuten a c

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 3 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

AGRADECIMIENTOS La entidad mexicana de acreditacioacuten expresa su reconocimiento al Fondo de Apoyo para la Micro Pequentildea y Mediana Empresa (FONDO PYME) auspiciado por la Secretariacutea de Economiacutea por haber proporcionado los recursos financieros para la elaboracioacuten de este documento mediante el proyecto aprobado con folio FP2007-1605 de nombre ldquoElaboracioacuten de guiacuteas teacutecnicas sobre trazabilidad e incertidumbre para la medicioacuten que permitan el fortalecimiento del Sistema Nacional de Acreditacioacuten de Laboratorios de Ensayo y Calibracioacutenrdquo y por este medio hace patente su sincero reconocimiento y agradecimiento a la Secretariacutea de Economiacutea a la Subsecretariacutea para la Pequentildea y Mediana Empresa a la Direccioacuten General de Desarrollo Empresarial y Oportunidades de Negocio y a los profesionales que aportaron su tiempo y conocimiento en su desarrollo destacando a los responsables de la elaboracioacuten GRUPO DE TRABAJO Grupo de Trabajo que participoacute en la elaboracioacuten de esta Guiacutea

Dr Miguel Viliesid Alonso CENAM Ing Ramoacuten Zeleny Vaacutezquez Instituto de Metrologiacutea MITUTOYO AC Ing Reneacute Pichardo Vega CENAM Ing Mario Diacuteaz Orgaz CIDESI Ing Carlos Coliacuten Castellanos CENAM M en C Heacutector Gonzaacutelez Muntildeoz CENAM

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 4 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

IacuteNDICE

PRESENTACIOacuteN 2

AGRADECIMIENTOS 3

GRUPO DE TRABAJO 3

1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA 5

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA 6

3 PARTE A - RECOMENDACIONES ESPECIacuteFICAS PARA LA CALIBRACIOacuteN Y ESTIMACIOacuteN DE INCERTIDUMBRES EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 7

4 PARTE B - GUIacuteA TEacuteCNICA SOBRE TRAZABILIDAD Y ESTIMACIOacuteN DE LA INCERTIDUMBRE EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 15

5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 36

6 ANEXOS 38

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 5 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA

El presente documento llamado Guiacutea se ha dividido en dos partes cada una con un propoacutesito distinto Parte A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional bull Esta parte establece recomendaciones teacutecnicas especiacuteficas aplicables a la

calibracioacuten de instrumentos y patrones en Metrologiacutea Dimensional (MD) adicionales a los requisitos generales que establece la norma NMX-EC-170252006 [12] (en adelante 17025) en su capiacutetulo 5 referente a requisitos teacutecnicos Se estima que estas recomendaciones son las miacutenimas necesarias para aplicarse en forma general a cualquier laboratorio que calibre instrumentos o patrones de MD

bull Estas recomendaciones se emiten con la intencioacuten de que la Direccioacuten General de Normas (DGN) y la Entidad Mexicana de Acreditacioacuten (EMA) las adopten y las exijan como requisitos adicionales a la 17025 a los laboratorios acreditados o por acreditarse en MD

bull Las recomendaciones pueden ser complementarias en el sentido que precisen o interpretan alguacuten requisito de la 17025 para el campo de calibracioacuten en MD o bien suplementarias para el caso que se estime necesario alguacuten requisito adicional Estos uacuteltimos se mantienen en un estricto miacutenimo que se creen necesarios y de ninguna manera el presente documento pretende suplantar a la 17025 sino maacutes bien crear un adendum a la misma

bull Adicionalmente el presente documento favoreceraacute la consistencia y uniformidad de los balances1 de incertidumbre de los laboratorios que solicitan acreditacioacuten ante la EMA

bull Asimismo pretende homologar los criterios teacutecnicos para la estimacioacuten de incertidumbre de las mediciones entre los evaluadores y asiacute facilitar y evitar conflictos durante los procesos de evaluacioacuten

bull Esta Parte A una vez adoptada como requisitos da respuesta al requisito que establece al respecto el punto 712 b) de la norma 17011 [18] aplicado al campo especiacutefico de la MD y se elabora bajo los lineamientos y recomendaciones del Anexo B de la 17025

1 Tambieacuten llamado presupuesto de incertidumbres

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Parte B - Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

MD bull En esta parte se emiten comentarios lineamientos recomendaciones e incluso se

ilustra con algunos ejemplos aspectos relacionados con la trazabilidad y la estimacioacuten de incertidumbres con el fin de aclarar conceptos simplificar caacutelculos emitir advertencias y capacitar en estos dos temas a las personas relacionada con las actividades de calibracioacuten en MD

bull Esta ldquoGuiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea Dimensionalrdquo pretende facilitar la aplicacioacuten de las normas NMX-EC-17025-IMNC-2006 [12] y NMX-CH-140-IMNC-2002 [1] sin sustituirlas ni modificarlas

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA

El presente documento aplica a todo servicio de calibracioacuten o medicioacuten de MD ofrecido por un laboratorio de calibracioacuten acreditado o en proceso de acreditacioacuten por la EMA Se entiende por calibracioacuten o medicioacuten de MD a toda accioacuten que involucre la calibracioacuten de instrumentos o patrones de longitud distancia posicioacuten en el plano o el espacio forma o aacutengulo asiacute como todos los paraacutemetros relativos que se pudiesen definir como redondez alabeo concentricidad etc asiacute como los utilizados en acabado superficial La Parte A es aplicable a todos los servicios de calibracioacuten que pueden ser acreditados en MD La Parte B es una guiacutea para los laboratorios que calibran instrumentos y estaacute basada en la aproximacioacuten simplificada planteada en la referencia [2] Para los laboratorios que calibran patrones de alta exactitud2 se recomienda recurrir a informacioacuten maacutes especializada como las referencias [6] y [7] y que traten de apegarse maacutes a los meacutetodos de mayor rigor planteados en la referencia [1] Para ambos se recomienda estudiar y aplicar los conceptos de la referencia [3]

2 Como bloques patroacuten anillos patroacuten etc

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3 PARTE A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional

A continuacioacuten se enuncian los requisitos teacutecnicos especiacuteficos complementarios o suplementarios que se recomienda cumplan los laboratorios acreditados Entre pareacutentesis se indican los puntos del capiacutetulo 5 de la 17025 a los que se refiere3

31 Personal (52)

Se recomienda distinguir entre al menos dos tipos de personal el primero que llamaremos teacutecnico quien realiza las operaciones rutinarias de calibracioacuten el segundo que llamaremos gerente teacutecnico quien es responsable de los procedimientos de calibracioacuten utilizados de los balances de incertidumbres de los informes emitidos y de todas las actividades relacionadas con el servicio de calibracioacuten de cara al cliente Una sola persona puede tener ambas responsabilidades dependiendo de cada organizacioacuten y del tamantildeo de la misma En cuanto a los conocimientos de cada una de las categoriacuteas se recomienda

bull Teacutecnico- Deberiacutea manejar el equipo con destreza saber limpiarlo empacarlo inspeccionarlo y tomar lecturas Deberiacutea estar perfectamente familiarizado con la teacutecnica de medicioacuten y los instrumentos utilizados Deberiacutea operar bajo procedimientos y apegarse a ellos Deberiacutea haber recibido el entrenamiento adecuado para estas tareas y ser capaz de identificar cuando la temperatura las lecturas o alguna otra condicioacuten es incorrecta inconsistente o sospechosa Deberiacutea tener conocimientos baacutesicos de los principios de medicioacuten aplicados y al menos entender los conceptos de valor nominal desviacioacuten error de indicacioacuten exactitud repetibilidad incertidumbre y trazabilidad Siempre deberiacutea de recurrir al gerente teacutecnico cando surjan problemas por encima de su nivel de conocimientos

bull Gereacutente Teacutecnico4- Esta persona deberiacutea comprender el proceso completo de calibracioacuten Deberiacutea entender con claridad el principio de medicioacuten y ser responsable del procedimiento de calibracioacuten usado por el operador Deberiacutea tener conocimientos de estimaciones de incertidumbres ser responsable del balance de las incertidumbres correspondiente y poder explicarlo Se recomienda que supervise las calibraciones revise los informes expedidos y deberiacutea ser responsable de los resultados asentados en ellos ante el cliente Deberiacutea tener conocimientos de sistemas de calidad y de la 17025 [12] Deberiacutea apoyar al teacutecnico cuando eacuteste encuentre dificultades asiacute como ser capaz de confrontar los problemas que pudiesen surgir y tomar decisiones al respecto Deberiacutea haber recibido entrenamiento para las actividades antes mencionadas y mantenerse actualizado en el estado del arte de las calibraciones bajo su responsabilidad

3 No todos los incisos del capiacutetulo 5 requieren de requisitos complementarios o suplementarios 4 O como se le denomine

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

Mediciones [2] NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)-

Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

[5] EAL-1010 EA Guidelines on the determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing European co-operation for accreditation April 1999

[6] The Mutual recognition arrangement BIPM (1999) Tambieacuten en httpwwwbipmfrenconventionmra

[7] W Schmid R Lazos et al Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten wwwcenammx 2000

[8] W Schmid La incertidumbre expandida y los grados de libertad un anaacutelisis comparativo entre el meacutetodo recomendado por la GUM y meacutetodos simplificados Memorias del Simposio de Metrologiacutea 2002 CENAM wwwcenammx

[9] NISTSEMATECH e-Handbook of statistical methods (2571) httpwwwitlnistgovdiv898handbook

[10] W Link Metrologiacutea Mecaacutenica Expresioacuten de la incertidumbre de medicioacuten Publicado en espantildeol por Mitutoyo Mexicana SA de CV

[11] NMX-Z-0551996 IMNC Metrologiacutea ndash Vocabulario de teacuterminos fundamentales y generales equivalente al documento internacional Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology BIPM IEC IFCC ISO IUPAC IUPAP OIML 1993

[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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AGRADECIMIENTOS La entidad mexicana de acreditacioacuten expresa su reconocimiento al Fondo de Apoyo para la Micro Pequentildea y Mediana Empresa (FONDO PYME) auspiciado por la Secretariacutea de Economiacutea por haber proporcionado los recursos financieros para la elaboracioacuten de este documento mediante el proyecto aprobado con folio FP2007-1605 de nombre ldquoElaboracioacuten de guiacuteas teacutecnicas sobre trazabilidad e incertidumbre para la medicioacuten que permitan el fortalecimiento del Sistema Nacional de Acreditacioacuten de Laboratorios de Ensayo y Calibracioacutenrdquo y por este medio hace patente su sincero reconocimiento y agradecimiento a la Secretariacutea de Economiacutea a la Subsecretariacutea para la Pequentildea y Mediana Empresa a la Direccioacuten General de Desarrollo Empresarial y Oportunidades de Negocio y a los profesionales que aportaron su tiempo y conocimiento en su desarrollo destacando a los responsables de la elaboracioacuten GRUPO DE TRABAJO Grupo de Trabajo que participoacute en la elaboracioacuten de esta Guiacutea

Dr Miguel Viliesid Alonso CENAM Ing Ramoacuten Zeleny Vaacutezquez Instituto de Metrologiacutea MITUTOYO AC Ing Reneacute Pichardo Vega CENAM Ing Mario Diacuteaz Orgaz CIDESI Ing Carlos Coliacuten Castellanos CENAM M en C Heacutector Gonzaacutelez Muntildeoz CENAM

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 4 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

IacuteNDICE

PRESENTACIOacuteN 2

AGRADECIMIENTOS 3

GRUPO DE TRABAJO 3

1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA 5

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA 6

3 PARTE A - RECOMENDACIONES ESPECIacuteFICAS PARA LA CALIBRACIOacuteN Y ESTIMACIOacuteN DE INCERTIDUMBRES EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 7

4 PARTE B - GUIacuteA TEacuteCNICA SOBRE TRAZABILIDAD Y ESTIMACIOacuteN DE LA INCERTIDUMBRE EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 15

5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 36

6 ANEXOS 38

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 5 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA

El presente documento llamado Guiacutea se ha dividido en dos partes cada una con un propoacutesito distinto Parte A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional bull Esta parte establece recomendaciones teacutecnicas especiacuteficas aplicables a la

calibracioacuten de instrumentos y patrones en Metrologiacutea Dimensional (MD) adicionales a los requisitos generales que establece la norma NMX-EC-170252006 [12] (en adelante 17025) en su capiacutetulo 5 referente a requisitos teacutecnicos Se estima que estas recomendaciones son las miacutenimas necesarias para aplicarse en forma general a cualquier laboratorio que calibre instrumentos o patrones de MD

bull Estas recomendaciones se emiten con la intencioacuten de que la Direccioacuten General de Normas (DGN) y la Entidad Mexicana de Acreditacioacuten (EMA) las adopten y las exijan como requisitos adicionales a la 17025 a los laboratorios acreditados o por acreditarse en MD

bull Las recomendaciones pueden ser complementarias en el sentido que precisen o interpretan alguacuten requisito de la 17025 para el campo de calibracioacuten en MD o bien suplementarias para el caso que se estime necesario alguacuten requisito adicional Estos uacuteltimos se mantienen en un estricto miacutenimo que se creen necesarios y de ninguna manera el presente documento pretende suplantar a la 17025 sino maacutes bien crear un adendum a la misma

bull Adicionalmente el presente documento favoreceraacute la consistencia y uniformidad de los balances1 de incertidumbre de los laboratorios que solicitan acreditacioacuten ante la EMA

bull Asimismo pretende homologar los criterios teacutecnicos para la estimacioacuten de incertidumbre de las mediciones entre los evaluadores y asiacute facilitar y evitar conflictos durante los procesos de evaluacioacuten

bull Esta Parte A una vez adoptada como requisitos da respuesta al requisito que establece al respecto el punto 712 b) de la norma 17011 [18] aplicado al campo especiacutefico de la MD y se elabora bajo los lineamientos y recomendaciones del Anexo B de la 17025

1 Tambieacuten llamado presupuesto de incertidumbres

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 6 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

Parte B - Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

MD bull En esta parte se emiten comentarios lineamientos recomendaciones e incluso se

ilustra con algunos ejemplos aspectos relacionados con la trazabilidad y la estimacioacuten de incertidumbres con el fin de aclarar conceptos simplificar caacutelculos emitir advertencias y capacitar en estos dos temas a las personas relacionada con las actividades de calibracioacuten en MD

bull Esta ldquoGuiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea Dimensionalrdquo pretende facilitar la aplicacioacuten de las normas NMX-EC-17025-IMNC-2006 [12] y NMX-CH-140-IMNC-2002 [1] sin sustituirlas ni modificarlas

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA

El presente documento aplica a todo servicio de calibracioacuten o medicioacuten de MD ofrecido por un laboratorio de calibracioacuten acreditado o en proceso de acreditacioacuten por la EMA Se entiende por calibracioacuten o medicioacuten de MD a toda accioacuten que involucre la calibracioacuten de instrumentos o patrones de longitud distancia posicioacuten en el plano o el espacio forma o aacutengulo asiacute como todos los paraacutemetros relativos que se pudiesen definir como redondez alabeo concentricidad etc asiacute como los utilizados en acabado superficial La Parte A es aplicable a todos los servicios de calibracioacuten que pueden ser acreditados en MD La Parte B es una guiacutea para los laboratorios que calibran instrumentos y estaacute basada en la aproximacioacuten simplificada planteada en la referencia [2] Para los laboratorios que calibran patrones de alta exactitud2 se recomienda recurrir a informacioacuten maacutes especializada como las referencias [6] y [7] y que traten de apegarse maacutes a los meacutetodos de mayor rigor planteados en la referencia [1] Para ambos se recomienda estudiar y aplicar los conceptos de la referencia [3]

2 Como bloques patroacuten anillos patroacuten etc

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 7 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

3 PARTE A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional

A continuacioacuten se enuncian los requisitos teacutecnicos especiacuteficos complementarios o suplementarios que se recomienda cumplan los laboratorios acreditados Entre pareacutentesis se indican los puntos del capiacutetulo 5 de la 17025 a los que se refiere3

31 Personal (52)

Se recomienda distinguir entre al menos dos tipos de personal el primero que llamaremos teacutecnico quien realiza las operaciones rutinarias de calibracioacuten el segundo que llamaremos gerente teacutecnico quien es responsable de los procedimientos de calibracioacuten utilizados de los balances de incertidumbres de los informes emitidos y de todas las actividades relacionadas con el servicio de calibracioacuten de cara al cliente Una sola persona puede tener ambas responsabilidades dependiendo de cada organizacioacuten y del tamantildeo de la misma En cuanto a los conocimientos de cada una de las categoriacuteas se recomienda

bull Teacutecnico- Deberiacutea manejar el equipo con destreza saber limpiarlo empacarlo inspeccionarlo y tomar lecturas Deberiacutea estar perfectamente familiarizado con la teacutecnica de medicioacuten y los instrumentos utilizados Deberiacutea operar bajo procedimientos y apegarse a ellos Deberiacutea haber recibido el entrenamiento adecuado para estas tareas y ser capaz de identificar cuando la temperatura las lecturas o alguna otra condicioacuten es incorrecta inconsistente o sospechosa Deberiacutea tener conocimientos baacutesicos de los principios de medicioacuten aplicados y al menos entender los conceptos de valor nominal desviacioacuten error de indicacioacuten exactitud repetibilidad incertidumbre y trazabilidad Siempre deberiacutea de recurrir al gerente teacutecnico cando surjan problemas por encima de su nivel de conocimientos

bull Gereacutente Teacutecnico4- Esta persona deberiacutea comprender el proceso completo de calibracioacuten Deberiacutea entender con claridad el principio de medicioacuten y ser responsable del procedimiento de calibracioacuten usado por el operador Deberiacutea tener conocimientos de estimaciones de incertidumbres ser responsable del balance de las incertidumbres correspondiente y poder explicarlo Se recomienda que supervise las calibraciones revise los informes expedidos y deberiacutea ser responsable de los resultados asentados en ellos ante el cliente Deberiacutea tener conocimientos de sistemas de calidad y de la 17025 [12] Deberiacutea apoyar al teacutecnico cuando eacuteste encuentre dificultades asiacute como ser capaz de confrontar los problemas que pudiesen surgir y tomar decisiones al respecto Deberiacutea haber recibido entrenamiento para las actividades antes mencionadas y mantenerse actualizado en el estado del arte de las calibraciones bajo su responsabilidad

3 No todos los incisos del capiacutetulo 5 requieren de requisitos complementarios o suplementarios 4 O como se le denomine

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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IacuteNDICE

PRESENTACIOacuteN 2

AGRADECIMIENTOS 3

GRUPO DE TRABAJO 3

1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA 5

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA 6

3 PARTE A - RECOMENDACIONES ESPECIacuteFICAS PARA LA CALIBRACIOacuteN Y ESTIMACIOacuteN DE INCERTIDUMBRES EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 7

4 PARTE B - GUIacuteA TEacuteCNICA SOBRE TRAZABILIDAD Y ESTIMACIOacuteN DE LA INCERTIDUMBRE EN METROLOGIacuteA DIMENSIONAL 15

5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 36

6 ANEXOS 38

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1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA

El presente documento llamado Guiacutea se ha dividido en dos partes cada una con un propoacutesito distinto Parte A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional bull Esta parte establece recomendaciones teacutecnicas especiacuteficas aplicables a la

calibracioacuten de instrumentos y patrones en Metrologiacutea Dimensional (MD) adicionales a los requisitos generales que establece la norma NMX-EC-170252006 [12] (en adelante 17025) en su capiacutetulo 5 referente a requisitos teacutecnicos Se estima que estas recomendaciones son las miacutenimas necesarias para aplicarse en forma general a cualquier laboratorio que calibre instrumentos o patrones de MD

bull Estas recomendaciones se emiten con la intencioacuten de que la Direccioacuten General de Normas (DGN) y la Entidad Mexicana de Acreditacioacuten (EMA) las adopten y las exijan como requisitos adicionales a la 17025 a los laboratorios acreditados o por acreditarse en MD

bull Las recomendaciones pueden ser complementarias en el sentido que precisen o interpretan alguacuten requisito de la 17025 para el campo de calibracioacuten en MD o bien suplementarias para el caso que se estime necesario alguacuten requisito adicional Estos uacuteltimos se mantienen en un estricto miacutenimo que se creen necesarios y de ninguna manera el presente documento pretende suplantar a la 17025 sino maacutes bien crear un adendum a la misma

bull Adicionalmente el presente documento favoreceraacute la consistencia y uniformidad de los balances1 de incertidumbre de los laboratorios que solicitan acreditacioacuten ante la EMA

bull Asimismo pretende homologar los criterios teacutecnicos para la estimacioacuten de incertidumbre de las mediciones entre los evaluadores y asiacute facilitar y evitar conflictos durante los procesos de evaluacioacuten

bull Esta Parte A una vez adoptada como requisitos da respuesta al requisito que establece al respecto el punto 712 b) de la norma 17011 [18] aplicado al campo especiacutefico de la MD y se elabora bajo los lineamientos y recomendaciones del Anexo B de la 17025

1 Tambieacuten llamado presupuesto de incertidumbres

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Parte B - Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

MD bull En esta parte se emiten comentarios lineamientos recomendaciones e incluso se

ilustra con algunos ejemplos aspectos relacionados con la trazabilidad y la estimacioacuten de incertidumbres con el fin de aclarar conceptos simplificar caacutelculos emitir advertencias y capacitar en estos dos temas a las personas relacionada con las actividades de calibracioacuten en MD

bull Esta ldquoGuiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea Dimensionalrdquo pretende facilitar la aplicacioacuten de las normas NMX-EC-17025-IMNC-2006 [12] y NMX-CH-140-IMNC-2002 [1] sin sustituirlas ni modificarlas

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA

El presente documento aplica a todo servicio de calibracioacuten o medicioacuten de MD ofrecido por un laboratorio de calibracioacuten acreditado o en proceso de acreditacioacuten por la EMA Se entiende por calibracioacuten o medicioacuten de MD a toda accioacuten que involucre la calibracioacuten de instrumentos o patrones de longitud distancia posicioacuten en el plano o el espacio forma o aacutengulo asiacute como todos los paraacutemetros relativos que se pudiesen definir como redondez alabeo concentricidad etc asiacute como los utilizados en acabado superficial La Parte A es aplicable a todos los servicios de calibracioacuten que pueden ser acreditados en MD La Parte B es una guiacutea para los laboratorios que calibran instrumentos y estaacute basada en la aproximacioacuten simplificada planteada en la referencia [2] Para los laboratorios que calibran patrones de alta exactitud2 se recomienda recurrir a informacioacuten maacutes especializada como las referencias [6] y [7] y que traten de apegarse maacutes a los meacutetodos de mayor rigor planteados en la referencia [1] Para ambos se recomienda estudiar y aplicar los conceptos de la referencia [3]

2 Como bloques patroacuten anillos patroacuten etc

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3 PARTE A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional

A continuacioacuten se enuncian los requisitos teacutecnicos especiacuteficos complementarios o suplementarios que se recomienda cumplan los laboratorios acreditados Entre pareacutentesis se indican los puntos del capiacutetulo 5 de la 17025 a los que se refiere3

31 Personal (52)

Se recomienda distinguir entre al menos dos tipos de personal el primero que llamaremos teacutecnico quien realiza las operaciones rutinarias de calibracioacuten el segundo que llamaremos gerente teacutecnico quien es responsable de los procedimientos de calibracioacuten utilizados de los balances de incertidumbres de los informes emitidos y de todas las actividades relacionadas con el servicio de calibracioacuten de cara al cliente Una sola persona puede tener ambas responsabilidades dependiendo de cada organizacioacuten y del tamantildeo de la misma En cuanto a los conocimientos de cada una de las categoriacuteas se recomienda

bull Teacutecnico- Deberiacutea manejar el equipo con destreza saber limpiarlo empacarlo inspeccionarlo y tomar lecturas Deberiacutea estar perfectamente familiarizado con la teacutecnica de medicioacuten y los instrumentos utilizados Deberiacutea operar bajo procedimientos y apegarse a ellos Deberiacutea haber recibido el entrenamiento adecuado para estas tareas y ser capaz de identificar cuando la temperatura las lecturas o alguna otra condicioacuten es incorrecta inconsistente o sospechosa Deberiacutea tener conocimientos baacutesicos de los principios de medicioacuten aplicados y al menos entender los conceptos de valor nominal desviacioacuten error de indicacioacuten exactitud repetibilidad incertidumbre y trazabilidad Siempre deberiacutea de recurrir al gerente teacutecnico cando surjan problemas por encima de su nivel de conocimientos

bull Gereacutente Teacutecnico4- Esta persona deberiacutea comprender el proceso completo de calibracioacuten Deberiacutea entender con claridad el principio de medicioacuten y ser responsable del procedimiento de calibracioacuten usado por el operador Deberiacutea tener conocimientos de estimaciones de incertidumbres ser responsable del balance de las incertidumbres correspondiente y poder explicarlo Se recomienda que supervise las calibraciones revise los informes expedidos y deberiacutea ser responsable de los resultados asentados en ellos ante el cliente Deberiacutea tener conocimientos de sistemas de calidad y de la 17025 [12] Deberiacutea apoyar al teacutecnico cuando eacuteste encuentre dificultades asiacute como ser capaz de confrontar los problemas que pudiesen surgir y tomar decisiones al respecto Deberiacutea haber recibido entrenamiento para las actividades antes mencionadas y mantenerse actualizado en el estado del arte de las calibraciones bajo su responsabilidad

3 No todos los incisos del capiacutetulo 5 requieren de requisitos complementarios o suplementarios 4 O como se le denomine

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

Mediciones [2] NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)-

Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

[5] EAL-1010 EA Guidelines on the determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing European co-operation for accreditation April 1999

[6] The Mutual recognition arrangement BIPM (1999) Tambieacuten en httpwwwbipmfrenconventionmra

[7] W Schmid R Lazos et al Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten wwwcenammx 2000

[8] W Schmid La incertidumbre expandida y los grados de libertad un anaacutelisis comparativo entre el meacutetodo recomendado por la GUM y meacutetodos simplificados Memorias del Simposio de Metrologiacutea 2002 CENAM wwwcenammx

[9] NISTSEMATECH e-Handbook of statistical methods (2571) httpwwwitlnistgovdiv898handbook

[10] W Link Metrologiacutea Mecaacutenica Expresioacuten de la incertidumbre de medicioacuten Publicado en espantildeol por Mitutoyo Mexicana SA de CV

[11] NMX-Z-0551996 IMNC Metrologiacutea ndash Vocabulario de teacuterminos fundamentales y generales equivalente al documento internacional Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology BIPM IEC IFCC ISO IUPAC IUPAP OIML 1993

[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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1 PROPOacuteSITO DE LA GUIacuteA

El presente documento llamado Guiacutea se ha dividido en dos partes cada una con un propoacutesito distinto Parte A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional bull Esta parte establece recomendaciones teacutecnicas especiacuteficas aplicables a la

calibracioacuten de instrumentos y patrones en Metrologiacutea Dimensional (MD) adicionales a los requisitos generales que establece la norma NMX-EC-170252006 [12] (en adelante 17025) en su capiacutetulo 5 referente a requisitos teacutecnicos Se estima que estas recomendaciones son las miacutenimas necesarias para aplicarse en forma general a cualquier laboratorio que calibre instrumentos o patrones de MD

bull Estas recomendaciones se emiten con la intencioacuten de que la Direccioacuten General de Normas (DGN) y la Entidad Mexicana de Acreditacioacuten (EMA) las adopten y las exijan como requisitos adicionales a la 17025 a los laboratorios acreditados o por acreditarse en MD

bull Las recomendaciones pueden ser complementarias en el sentido que precisen o interpretan alguacuten requisito de la 17025 para el campo de calibracioacuten en MD o bien suplementarias para el caso que se estime necesario alguacuten requisito adicional Estos uacuteltimos se mantienen en un estricto miacutenimo que se creen necesarios y de ninguna manera el presente documento pretende suplantar a la 17025 sino maacutes bien crear un adendum a la misma

bull Adicionalmente el presente documento favoreceraacute la consistencia y uniformidad de los balances1 de incertidumbre de los laboratorios que solicitan acreditacioacuten ante la EMA

bull Asimismo pretende homologar los criterios teacutecnicos para la estimacioacuten de incertidumbre de las mediciones entre los evaluadores y asiacute facilitar y evitar conflictos durante los procesos de evaluacioacuten

bull Esta Parte A una vez adoptada como requisitos da respuesta al requisito que establece al respecto el punto 712 b) de la norma 17011 [18] aplicado al campo especiacutefico de la MD y se elabora bajo los lineamientos y recomendaciones del Anexo B de la 17025

1 Tambieacuten llamado presupuesto de incertidumbres

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Parte B - Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

MD bull En esta parte se emiten comentarios lineamientos recomendaciones e incluso se

ilustra con algunos ejemplos aspectos relacionados con la trazabilidad y la estimacioacuten de incertidumbres con el fin de aclarar conceptos simplificar caacutelculos emitir advertencias y capacitar en estos dos temas a las personas relacionada con las actividades de calibracioacuten en MD

bull Esta ldquoGuiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea Dimensionalrdquo pretende facilitar la aplicacioacuten de las normas NMX-EC-17025-IMNC-2006 [12] y NMX-CH-140-IMNC-2002 [1] sin sustituirlas ni modificarlas

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA

El presente documento aplica a todo servicio de calibracioacuten o medicioacuten de MD ofrecido por un laboratorio de calibracioacuten acreditado o en proceso de acreditacioacuten por la EMA Se entiende por calibracioacuten o medicioacuten de MD a toda accioacuten que involucre la calibracioacuten de instrumentos o patrones de longitud distancia posicioacuten en el plano o el espacio forma o aacutengulo asiacute como todos los paraacutemetros relativos que se pudiesen definir como redondez alabeo concentricidad etc asiacute como los utilizados en acabado superficial La Parte A es aplicable a todos los servicios de calibracioacuten que pueden ser acreditados en MD La Parte B es una guiacutea para los laboratorios que calibran instrumentos y estaacute basada en la aproximacioacuten simplificada planteada en la referencia [2] Para los laboratorios que calibran patrones de alta exactitud2 se recomienda recurrir a informacioacuten maacutes especializada como las referencias [6] y [7] y que traten de apegarse maacutes a los meacutetodos de mayor rigor planteados en la referencia [1] Para ambos se recomienda estudiar y aplicar los conceptos de la referencia [3]

2 Como bloques patroacuten anillos patroacuten etc

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3 PARTE A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional

A continuacioacuten se enuncian los requisitos teacutecnicos especiacuteficos complementarios o suplementarios que se recomienda cumplan los laboratorios acreditados Entre pareacutentesis se indican los puntos del capiacutetulo 5 de la 17025 a los que se refiere3

31 Personal (52)

Se recomienda distinguir entre al menos dos tipos de personal el primero que llamaremos teacutecnico quien realiza las operaciones rutinarias de calibracioacuten el segundo que llamaremos gerente teacutecnico quien es responsable de los procedimientos de calibracioacuten utilizados de los balances de incertidumbres de los informes emitidos y de todas las actividades relacionadas con el servicio de calibracioacuten de cara al cliente Una sola persona puede tener ambas responsabilidades dependiendo de cada organizacioacuten y del tamantildeo de la misma En cuanto a los conocimientos de cada una de las categoriacuteas se recomienda

bull Teacutecnico- Deberiacutea manejar el equipo con destreza saber limpiarlo empacarlo inspeccionarlo y tomar lecturas Deberiacutea estar perfectamente familiarizado con la teacutecnica de medicioacuten y los instrumentos utilizados Deberiacutea operar bajo procedimientos y apegarse a ellos Deberiacutea haber recibido el entrenamiento adecuado para estas tareas y ser capaz de identificar cuando la temperatura las lecturas o alguna otra condicioacuten es incorrecta inconsistente o sospechosa Deberiacutea tener conocimientos baacutesicos de los principios de medicioacuten aplicados y al menos entender los conceptos de valor nominal desviacioacuten error de indicacioacuten exactitud repetibilidad incertidumbre y trazabilidad Siempre deberiacutea de recurrir al gerente teacutecnico cando surjan problemas por encima de su nivel de conocimientos

bull Gereacutente Teacutecnico4- Esta persona deberiacutea comprender el proceso completo de calibracioacuten Deberiacutea entender con claridad el principio de medicioacuten y ser responsable del procedimiento de calibracioacuten usado por el operador Deberiacutea tener conocimientos de estimaciones de incertidumbres ser responsable del balance de las incertidumbres correspondiente y poder explicarlo Se recomienda que supervise las calibraciones revise los informes expedidos y deberiacutea ser responsable de los resultados asentados en ellos ante el cliente Deberiacutea tener conocimientos de sistemas de calidad y de la 17025 [12] Deberiacutea apoyar al teacutecnico cuando eacuteste encuentre dificultades asiacute como ser capaz de confrontar los problemas que pudiesen surgir y tomar decisiones al respecto Deberiacutea haber recibido entrenamiento para las actividades antes mencionadas y mantenerse actualizado en el estado del arte de las calibraciones bajo su responsabilidad

3 No todos los incisos del capiacutetulo 5 requieren de requisitos complementarios o suplementarios 4 O como se le denomine

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

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Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

[5] EAL-1010 EA Guidelines on the determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing European co-operation for accreditation April 1999

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[7] W Schmid R Lazos et al Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten wwwcenammx 2000

[8] W Schmid La incertidumbre expandida y los grados de libertad un anaacutelisis comparativo entre el meacutetodo recomendado por la GUM y meacutetodos simplificados Memorias del Simposio de Metrologiacutea 2002 CENAM wwwcenammx

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[10] W Link Metrologiacutea Mecaacutenica Expresioacuten de la incertidumbre de medicioacuten Publicado en espantildeol por Mitutoyo Mexicana SA de CV

[11] NMX-Z-0551996 IMNC Metrologiacutea ndash Vocabulario de teacuterminos fundamentales y generales equivalente al documento internacional Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology BIPM IEC IFCC ISO IUPAC IUPAP OIML 1993

[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 44 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 45 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 6 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

Parte B - Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

MD bull En esta parte se emiten comentarios lineamientos recomendaciones e incluso se

ilustra con algunos ejemplos aspectos relacionados con la trazabilidad y la estimacioacuten de incertidumbres con el fin de aclarar conceptos simplificar caacutelculos emitir advertencias y capacitar en estos dos temas a las personas relacionada con las actividades de calibracioacuten en MD

bull Esta ldquoGuiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea Dimensionalrdquo pretende facilitar la aplicacioacuten de las normas NMX-EC-17025-IMNC-2006 [12] y NMX-CH-140-IMNC-2002 [1] sin sustituirlas ni modificarlas

2 ALCANCE DE LA GUIacuteA

El presente documento aplica a todo servicio de calibracioacuten o medicioacuten de MD ofrecido por un laboratorio de calibracioacuten acreditado o en proceso de acreditacioacuten por la EMA Se entiende por calibracioacuten o medicioacuten de MD a toda accioacuten que involucre la calibracioacuten de instrumentos o patrones de longitud distancia posicioacuten en el plano o el espacio forma o aacutengulo asiacute como todos los paraacutemetros relativos que se pudiesen definir como redondez alabeo concentricidad etc asiacute como los utilizados en acabado superficial La Parte A es aplicable a todos los servicios de calibracioacuten que pueden ser acreditados en MD La Parte B es una guiacutea para los laboratorios que calibran instrumentos y estaacute basada en la aproximacioacuten simplificada planteada en la referencia [2] Para los laboratorios que calibran patrones de alta exactitud2 se recomienda recurrir a informacioacuten maacutes especializada como las referencias [6] y [7] y que traten de apegarse maacutes a los meacutetodos de mayor rigor planteados en la referencia [1] Para ambos se recomienda estudiar y aplicar los conceptos de la referencia [3]

2 Como bloques patroacuten anillos patroacuten etc

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 7 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

3 PARTE A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional

A continuacioacuten se enuncian los requisitos teacutecnicos especiacuteficos complementarios o suplementarios que se recomienda cumplan los laboratorios acreditados Entre pareacutentesis se indican los puntos del capiacutetulo 5 de la 17025 a los que se refiere3

31 Personal (52)

Se recomienda distinguir entre al menos dos tipos de personal el primero que llamaremos teacutecnico quien realiza las operaciones rutinarias de calibracioacuten el segundo que llamaremos gerente teacutecnico quien es responsable de los procedimientos de calibracioacuten utilizados de los balances de incertidumbres de los informes emitidos y de todas las actividades relacionadas con el servicio de calibracioacuten de cara al cliente Una sola persona puede tener ambas responsabilidades dependiendo de cada organizacioacuten y del tamantildeo de la misma En cuanto a los conocimientos de cada una de las categoriacuteas se recomienda

bull Teacutecnico- Deberiacutea manejar el equipo con destreza saber limpiarlo empacarlo inspeccionarlo y tomar lecturas Deberiacutea estar perfectamente familiarizado con la teacutecnica de medicioacuten y los instrumentos utilizados Deberiacutea operar bajo procedimientos y apegarse a ellos Deberiacutea haber recibido el entrenamiento adecuado para estas tareas y ser capaz de identificar cuando la temperatura las lecturas o alguna otra condicioacuten es incorrecta inconsistente o sospechosa Deberiacutea tener conocimientos baacutesicos de los principios de medicioacuten aplicados y al menos entender los conceptos de valor nominal desviacioacuten error de indicacioacuten exactitud repetibilidad incertidumbre y trazabilidad Siempre deberiacutea de recurrir al gerente teacutecnico cando surjan problemas por encima de su nivel de conocimientos

bull Gereacutente Teacutecnico4- Esta persona deberiacutea comprender el proceso completo de calibracioacuten Deberiacutea entender con claridad el principio de medicioacuten y ser responsable del procedimiento de calibracioacuten usado por el operador Deberiacutea tener conocimientos de estimaciones de incertidumbres ser responsable del balance de las incertidumbres correspondiente y poder explicarlo Se recomienda que supervise las calibraciones revise los informes expedidos y deberiacutea ser responsable de los resultados asentados en ellos ante el cliente Deberiacutea tener conocimientos de sistemas de calidad y de la 17025 [12] Deberiacutea apoyar al teacutecnico cuando eacuteste encuentre dificultades asiacute como ser capaz de confrontar los problemas que pudiesen surgir y tomar decisiones al respecto Deberiacutea haber recibido entrenamiento para las actividades antes mencionadas y mantenerse actualizado en el estado del arte de las calibraciones bajo su responsabilidad

3 No todos los incisos del capiacutetulo 5 requieren de requisitos complementarios o suplementarios 4 O como se le denomine

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

Mediciones [2] NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)-

Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

[5] EAL-1010 EA Guidelines on the determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing European co-operation for accreditation April 1999

[6] The Mutual recognition arrangement BIPM (1999) Tambieacuten en httpwwwbipmfrenconventionmra

[7] W Schmid R Lazos et al Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten wwwcenammx 2000

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[9] NISTSEMATECH e-Handbook of statistical methods (2571) httpwwwitlnistgovdiv898handbook

[10] W Link Metrologiacutea Mecaacutenica Expresioacuten de la incertidumbre de medicioacuten Publicado en espantildeol por Mitutoyo Mexicana SA de CV

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[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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3 PARTE A - Recomendaciones Especiacuteficas para la Calibracioacuten y Estimacioacuten de

Incertidumbres en Metrologiacutea Dimensional

A continuacioacuten se enuncian los requisitos teacutecnicos especiacuteficos complementarios o suplementarios que se recomienda cumplan los laboratorios acreditados Entre pareacutentesis se indican los puntos del capiacutetulo 5 de la 17025 a los que se refiere3

31 Personal (52)

Se recomienda distinguir entre al menos dos tipos de personal el primero que llamaremos teacutecnico quien realiza las operaciones rutinarias de calibracioacuten el segundo que llamaremos gerente teacutecnico quien es responsable de los procedimientos de calibracioacuten utilizados de los balances de incertidumbres de los informes emitidos y de todas las actividades relacionadas con el servicio de calibracioacuten de cara al cliente Una sola persona puede tener ambas responsabilidades dependiendo de cada organizacioacuten y del tamantildeo de la misma En cuanto a los conocimientos de cada una de las categoriacuteas se recomienda

bull Teacutecnico- Deberiacutea manejar el equipo con destreza saber limpiarlo empacarlo inspeccionarlo y tomar lecturas Deberiacutea estar perfectamente familiarizado con la teacutecnica de medicioacuten y los instrumentos utilizados Deberiacutea operar bajo procedimientos y apegarse a ellos Deberiacutea haber recibido el entrenamiento adecuado para estas tareas y ser capaz de identificar cuando la temperatura las lecturas o alguna otra condicioacuten es incorrecta inconsistente o sospechosa Deberiacutea tener conocimientos baacutesicos de los principios de medicioacuten aplicados y al menos entender los conceptos de valor nominal desviacioacuten error de indicacioacuten exactitud repetibilidad incertidumbre y trazabilidad Siempre deberiacutea de recurrir al gerente teacutecnico cando surjan problemas por encima de su nivel de conocimientos

bull Gereacutente Teacutecnico4- Esta persona deberiacutea comprender el proceso completo de calibracioacuten Deberiacutea entender con claridad el principio de medicioacuten y ser responsable del procedimiento de calibracioacuten usado por el operador Deberiacutea tener conocimientos de estimaciones de incertidumbres ser responsable del balance de las incertidumbres correspondiente y poder explicarlo Se recomienda que supervise las calibraciones revise los informes expedidos y deberiacutea ser responsable de los resultados asentados en ellos ante el cliente Deberiacutea tener conocimientos de sistemas de calidad y de la 17025 [12] Deberiacutea apoyar al teacutecnico cuando eacuteste encuentre dificultades asiacute como ser capaz de confrontar los problemas que pudiesen surgir y tomar decisiones al respecto Deberiacutea haber recibido entrenamiento para las actividades antes mencionadas y mantenerse actualizado en el estado del arte de las calibraciones bajo su responsabilidad

3 No todos los incisos del capiacutetulo 5 requieren de requisitos complementarios o suplementarios 4 O como se le denomine

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

Mediciones [2] NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)-

Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

[5] EAL-1010 EA Guidelines on the determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing European co-operation for accreditation April 1999

[6] The Mutual recognition arrangement BIPM (1999) Tambieacuten en httpwwwbipmfrenconventionmra

[7] W Schmid R Lazos et al Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten wwwcenammx 2000

[8] W Schmid La incertidumbre expandida y los grados de libertad un anaacutelisis comparativo entre el meacutetodo recomendado por la GUM y meacutetodos simplificados Memorias del Simposio de Metrologiacutea 2002 CENAM wwwcenammx

[9] NISTSEMATECH e-Handbook of statistical methods (2571) httpwwwitlnistgovdiv898handbook

[10] W Link Metrologiacutea Mecaacutenica Expresioacuten de la incertidumbre de medicioacuten Publicado en espantildeol por Mitutoyo Mexicana SA de CV

[11] NMX-Z-0551996 IMNC Metrologiacutea ndash Vocabulario de teacuterminos fundamentales y generales equivalente al documento internacional Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology BIPM IEC IFCC ISO IUPAC IUPAP OIML 1993

[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 41 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

Guiacutea Teacutecnica sobre Trazabilidad e Incertidumbre en Metrologiacutea DimensionalAbril 2008 43 de 45 Fecha de emisioacuten 2008-04-10 fecha de entrada en vigor 2008-07-01 revisioacuten 01

Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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32 Instalaciones y Condiciones Ambientales (53)

Se debe contar con un aacuterea suficientemente grande para poder operar con comodidad los patrones e instrumentos sin riesgo para ellos ni para los operarios Un miacutenimo de 10 m2 es generalmente suficiente para calibrar instrumentos de medicioacuten (calibradores microacutemetros indicadores etc) con un operador En caso de calibracioacuten de equipo con intervalos de medicioacuten superiores a 300 mm (como medidores de alturas reglas o cintas etc) se deben tener instalaciones maacutes grandes Asimismo el volumen del recinto debe ser lo suficientemente grande para que el calor humano y de los equipos no afecte mayormente la temperatura de las aacutereas donde se trabaja Es recomendado no tener ventanas al exterior y de haberlas la luz no debe incidir directamente sobre el aacuterea de calibracioacuten El acceso al laboratorio debe permanecer cerrado durante la calibracioacuten Si hay poco espacio la presencia de maacutes de dos personas durante la calibracioacuten debe evitarse para prevenir accidentes al manipular los equipos y para evitar perturbaciones de temperatura Por supuesto se puede trabajar en un aacuterea maacutes grande siempre y cuando el resto de los requisitos se cumplan Si se llevan a cabo otras actividades en el mismo lugar eacutestas no deben interferir con la calibracioacuten en cuestioacuten La temperatura es la variable de influencia maacutes relevante en MD La temperatura de referencia normalizada [17] es de 20 degC y en general cualquier laboratorio de MD deberaacute garantizar esta temperatura en plusmn 2 degC dentro del recinto del laboratorio y a lo largo del diacutea Para esto el laboratorio debe contar con instrumentacioacuten para monitorear la temperatura ambiente con una resolucioacuten de al menos 05 degC al menos en la zona de trabajo y para demostrarlo que guarde un registro de varias lecturas por hora que permita elaborar graacuteficas En caso de que el laboratorio apague la climatizacioacuten durante los fines de semana u otro periodo deberaacute especificar en sus procedimientos el tiempo de estabilizacioacuten necesario para poder comenzar a calibrar Este tiempo no podraacute ser inferior a dos horas y en caso de utilizar instrumentos de grandes dimensiones o mayor exactitud especificaraacute tiempos mayores En caso de calibracioacuten de patrones o instrumentos de alta exactitud como bloques o anillos patroacuten por ejemplo es necesario un control de temperatura en la zona de calibracioacuten mejor que plusmn 05 degC recomendaacutendose ademaacutes monitorear este control con un instrumento calibrado con resolucioacuten de 005 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta de acuerdo al tipo de instrumento o patroacuten bajo calibracioacuten y a la incertidumbre que de dicho servicio se declare

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

Mediciones [2] NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)-

Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

[5] EAL-1010 EA Guidelines on the determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing European co-operation for accreditation April 1999

[6] The Mutual recognition arrangement BIPM (1999) Tambieacuten en httpwwwbipmfrenconventionmra

[7] W Schmid R Lazos et al Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten wwwcenammx 2000

[8] W Schmid La incertidumbre expandida y los grados de libertad un anaacutelisis comparativo entre el meacutetodo recomendado por la GUM y meacutetodos simplificados Memorias del Simposio de Metrologiacutea 2002 CENAM wwwcenammx

[9] NISTSEMATECH e-Handbook of statistical methods (2571) httpwwwitlnistgovdiv898handbook

[10] W Link Metrologiacutea Mecaacutenica Expresioacuten de la incertidumbre de medicioacuten Publicado en espantildeol por Mitutoyo Mexicana SA de CV

[11] NMX-Z-0551996 IMNC Metrologiacutea ndash Vocabulario de teacuterminos fundamentales y generales equivalente al documento internacional Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology BIPM IEC IFCC ISO IUPAC IUPAP OIML 1993

[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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Para los servicios en sitio es necesario contar con un termoacutemetro con resolucioacuten de 01 degC con buena exactitud estabilidad y tiempo de respuesta para registrar durante el proceso de calibracioacuten al menos la temperatura del patroacuten y del equipo bajo calibracioacuten El laboratorio debe mantenerse siempre limpio y debe cuidarse que el sistema de aire acondicionado inyecte aire limpio5 El aire al interior del laboratorio no debe ser agresivo ni corrosivo y la humedad debe mantenerse entre 35 y 65 HR6 Para el monitoreo de la humedad bastaraacute con un higroacutemetro con una resolucioacuten 5 RH La iluminacioacuten debe ser suficientemente buena para llevar a cabo las operaciones con facilidad considerando 800 Lux como miacutenimo en el aacuterea de trabajo sin ser necesario medirlo Se prefiere la luz fluorescente respecto a la incandescente pues produce menos calor Se deberaacute trabajar sobre mesas de trabajo robustas o en caso de ser necesario mesas masivas libres de perturbaciones como golpes o vibraciones7 Por lo tanto se recomienda establecer el laboratorio lejos de fuentes de perturbaciones como maacutequinas viacuteas de ferrocarril o calles cercanas con traacutefico pesado El laboratorio debe mantenerse en orden en todo momento Se deben colocar tantas etiquetas y letreros como se requieran Se recomienda indicar claramente el lugar donde se coloca el equipo para estabilizarse teacutermicamente asiacute como doacutende colocar los patrones de referencia para evitar confusioacuten

33 Validacioacuten de meacutetodos de calibracioacuten (54) 331 Seleccioacuten de los meacutetodos (542)

En MD existen pocos meacutetodos de calibracioacuten normalizados Cuando estos existan el laboratorio deberaacute apegarse a dichos meacutetodos No obstante se considera como meacutetodo normalizado aquel que represente la praacutectica comuacuten y el consenso de la especialidad para calibrar determinado tipo de instrumentos Por ejemplo calibracioacuten de un calibrador mediante bloques patroacuten Cuando se utilice un meacutetodo novedoso que no es parte de la praacutectica comuacuten el grupo evaluador podraacute solicitar si lo considera necesario la validacioacuten del meacutetodo

332 Meacutetodos desarrollados por el laboratorio(543 545)

5 Sin embargo no se requiere de ninguacuten tipo de filtrado especial a parte del que comuacutenmente incorporan los sistemas de aire acondicionado 6 El control de humedad solamente es necesario para evitar oxidacioacuten de equipo de acero o cuando se hacen mediciones interferomeacutetricas En este uacuteltimo caso la HR deberaacute ser medida 7 Las lecturas inestables de un instrumento pueden ser la mejor indicacioacuten de que existen perturbaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

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Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

[4] Ted Doiron and John Stoup Uncertainty and Dimensional Calibrations Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology Volume 102 Number 6 November-December 1997

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[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

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[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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Los laboratorios son libres de desarrollar sus propios meacutetodos de calibracioacuten que pueden diferir sustancialmente de la praacutectica comuacuten y del consenso Sin embargo deberaacuten sustentar dichos meacutetodos en publicaciones cientiacuteficas que lo validen o en caso de no existir en un ensayo de aptitud que lo valide como una comparacioacuten yo una prueba por artefactos8

333 Validacioacuten de meacutetodos no normalizados (5452) En caso de requerir la validacioacuten de alguacuten nuevo meacutetodo por lo general el laboratorio puede optar por alguno de los siguientes ensayos de aptitud

bull Si es posible una prueba por artefactos con el CENAM bull Una comparacioacuten directa con el CENAM (en caso de tener incertidumbres muy

pequentildeas) bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel nacional de alguacuten proveedor de ensayos

de aptitud reconocido por la EMA bull Participacioacuten en ensayos de aptitud de nivel internacional coordinados por alguacuten otro

proveedor de ensayos de aptitud reconocido bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios internacionales bull Comparacioacuten con resultados de otros laboratorios nacionales acreditados bull Comparacioacuten documentada con alguna otra teacutecnica que siacute esteacute probada y reconocida bull Los otros puntos indicados en 5452 de NMX-EC-17025-IMNC-2006

Se prefiere el orden mencionado debiendo estar apropiadamente documentada la actividad los resultados obtenidos y las acciones correctivas aplicadas en caso de que los resultados no hayan sido satisfactorios de acuerdo a la Poliacutetica de Ensayos de Aptitud de la EMA

34 Estimacioacuten de la incertidumbre (546) 341 Se establecen a continuacioacuten los requisitos miacutenimos indispensables para la

estimacioacuten de incertidumbres 342 Los laboratorios acreditados o por acreditarse deben contar con los balances

de incertidumbres documentados de cada uno de los servicios de calibracioacuten incluidos o por incluir en el alcance de la acreditacioacuten Estos documentos deben estar a disposicioacuten de los evaluadores en todo momento

343 En caso de patrones e instrumentos de alta exactitud9 se debe considerar un modelo matemaacutetico expliacutecito del mensurando y combinar las incertidumbres

8 Por ejemplo para calibrar bloques patroacuten contra bloques de nominales distintos se deberaacute efectuar una prueba por artefactos o comparacioacuten que demuestre que los valores obtenidos estaacuten dentro de las incertidumbres especificadas 9 A manera de ejemplo los microacutemetros calibradores indicadores de caraacutetula etc estaacuten considerados como instrumentos de media y baja exactitud mientras que los patrones (bloques patroacuten anillos etc) o los interferoacutemetros laacuteser y algunos otros sistemas de medicioacuten como de alta exactitud El establecimiento de un instrumento en alguna de las dos categoriacuteas se hace a criterio conforme a las aplicaciones para las que se utilice el mismo Sin embargo como regla praacutectica se consideran de alta exactitud a los instrumentos cuyo cociente Resolucioacuten del Instrumento Intervalo de Medicioacuten sea inferior a 1 x 10 ndash5

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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5 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS [1] NMX-CH-140-IMNC-2002 Guiacutea para la Expresioacuten de la Incertidumbre en las

Mediciones [2] NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)-

Inspeccioacuten por Medicioacuten de Piezas de Trabajo y Equipo de Medicioacuten Parte 2 Guiacutea para la Estimacioacuten de la Incertidumbre en Medicioacuten de GPS en la Calibracioacuten de Equipo de Medicioacuten y en Verificacioacuten de Producto

[3] NMX-EC-16015-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS)- Errores Sistemaacuteticos y Contribuciones a la Incertidumbre de Medicioacuten de Mediciones Dimensionales Lineales Debidas a Influencias Teacutermicas

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[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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con los coeficientes de sensibilidad correspondientes como lo propone la referencia [1] y concretamente el ejemplo H1 de dicha referencia Para instrumentos de media y baja exactitud el modelo matemaacutetico de medicioacuten se simplifica de modo que basta considerar la combinacioacuten cuadraacutetica de las incertidumbres con coeficientes de sensibilidad simplificados10 como lo propone la referencia [2]

344 El balance de incertidumbres debe mostrar los contribuyentes11 de la incertidumbre considerados la forma coacutemo se estima cada uno de ellos coacutemo se combinan coacutemo se calcula la incertidumbre expandida y coacutemo se declara la incertidumbre en el informe final (veacuteanse secciones 42 y 43)

345 Para cada servicio especificado en el alcance de la acreditacioacuten debe elaborarse la memoria de caacutelculo de la estimacioacuten de la incertidumbre con valores reales (veacuteanse ejemplos en la seccioacuten 43)

346 Al final de cada estimacioacuten debe presentarse un resumen del balance de incertidumbre en forma tabular que contenga para los instrumentos de media y baja exactitud como miacutenimo las columnas especificadas en la siguiente tabla

10 La forma maacutes sencilla de combinar incertidumbres en la calibracioacuten de instrumentos supone un modelo impliacutecito de medicioacuten de la forma

l = lp + d + ε1 + ε2 + ε3 ++ εn donde l es el mensurando es decir la longitud medida lp es la longitud del patroacuten con el que se compara

d es la desviacioacuten determinada es decir la diferencia entre el mensurando y la longitud del patroacuten determinada al hacer la calibracioacuten y las εi son los errores correspondientes a cada uno de los contribuyentes considerados

Usualmente se considera que estos errores no identificados tienen una determinada distribucioacuten simeacutetrica en torno a cero por lo que no se hacen correcciones adicionales Al aplicar la ecuacioacuten para el caacutelculo de la incertidumbre estaacutendar combinada uc se obtienen una expresioacuten con coeficientes de sensibilidad iguales a uno de la forma

uc2 = u1

2 + u22 + u3

2 + un2

donde uc es la incertidumbre estaacutendar combinada y las ui son las incertidumbres correspondientes a los errores εi

11 A los contribuyentes de la incertidumbre tambieacuten se les llama componentes fuentes de incertidumbre variables de influencia o magnitudes de entrada

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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Balance de Incertidumbres

No Contribuyente incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten uLabi(y) microm

Contribucioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 Contribucioacuten ()12

1 2

hellip n

Suma de varianzas (sumui2) = 100

Incert Estaacutendar Combinada (u) = Incert Expandida (U) =

U redondeada

Tabla 1- En la primera columna se enumeran los contribuyentes de incertidumbre En la

segunda columna se describe claramente el contribuyente considerado (patroacuten utilizado paralelismo expansioacuten teacutermica etc) En la tercera columna aparece el tipo de distribucioacuten (normal rectangular U etc) En la cuarta columna aparecen los contribuyentes del laboratorio esto es son aquellos contribuyentes que son inherentes o fijos del laboratorio En la quinta columna el valor numeacuterico de la contribucioacuten a la incertidumbre de cada contribuyente expresada como incertidumbre estaacutendar13 En la sexta columna la varianza del contribuyente La seacuteptima columna indica el porcentaje de contribucioacuten de cada varianza a la suma de las varianzas En la parte inferior se mostraraacute la suma de las varianzas (correspondiente al 100 ) seguido verticalmente de la incertidumbre estaacutendar combinada y de la incertidumbre expandida obtenida y al lado derecho de estos valores el valor redondeado de la incertidumbre expandida como resultado

347 Correccioacuten de Errores Hay algunos casos de calibracioacuten en las cuales por

razones praacutecticas o porque no son muy relevantes no se efectuacutean correcciones de errores que puedan identificarse o incluso esteacuten identificados Esto es una praacutectica establecida y se puede hacer siempre y cuando se considere este hecho al estimar la incertidumbre A la incertidumbre expandida de la medicioacuten correspondiente estimada como si se hiciese dicha correccioacuten se le debe sumar aritmeacuteticamente14 el error maacuteximo que no se estaacute corrigiendo Esto daraacute un valor mayor de la incertidumbre que compensa precisamente el hecho de no haber efectuado la correccioacuten En el anexo A se da una explicacioacuten justificativa graacutefica

12 La varianza se define como el cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar ui 13 En el caso de instrumentos de alta exactitud en los que se considera los coeficientes de sensibilidad de cada contribuyente se recomienda insertar dos columnas maacutes despueacutes de la del la incertidumbre del contribuyente En la primera donde aparezca el valor numeacuterico del coeficiente de sensibilidad y en la segunda el producto de dicho coeficiente con la incertidumbre del contribuyente 14 Este acuerdo de tipo praacutectico no estaacute en estricto apego a [1] ni es matemaacuteticamente consistente pero [3] asiacute lo recomienda

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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DFhDOX lowast

=

donde

X error al leer la escala DO Distancia maacutexima en paralelo a la escala en la que posiblemente el operador se aleje de la perpendicular a la escala (valor estimado en 4 cm) DF Distancia focal de observacioacuten (distancia de la escala del instrumento al ojo del operador se estima en 25 cm) h Altura que separa los planos del tambor y del husillo (por norma es de 04 mm o menos)

Figura 9- Esquema que ilustra el error de paralaje a la lectura de la escala de un microacutemtro analoacutegico

A su vez sabemos que una revolucioacuten completa del tambor corresponde a un desplazamiento del husillo de 500 microm y si el diaacutemetro del microacutemetro es de 10 mm (valor normalizado) a X corresponderaacute un error de lectura epar

donde R es el desplazamiento del husillo por revolucioacuten del tambor y φ es el diaacutemetro del husillo

Si suponemos que este error se distribuye rectangularmente y sustituyendo valores

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bull Incertidumbre debida a falta de contacto de las puntas de medicioacuten ucont Al verificar la planitud de las superficies de contacto mediante un plano oacuteptico y una luz monocromaacutetica de sodio no se aprecian franjas Por lo tanto la falta de contacto podraacute ser de una franja cuando mucho La luz monocromaacutetica de sodio tiene una longitud de onda de 059 microm por lo tanto una franja corresponde a la mitad 030 microm44 Asumiendo una distribucioacuten rectangular 03 microm radic3 = 017 microm

bull Incertidumbre debida a fuerza de medicioacuten

Considerando que el microacutemetro cuenta con un sistema de control de fuerza (ldquotrinqueterdquo por ejemplo) la variacioacuten de eacutesta estaacute entre 5 y 15 N La diferencia de deformacioacuten correspondiente a la variacioacuten de fuerza del bloque es inferior a 10 nm Este valor es despreciable comparada con las otras fuentes

Combinando las incertidumbres individuales45

22222contparTpresc uuuuuu ++++= ∆

22222 170590170350580 ++++=cu

uc = 093 microm

U = 2 (093) = 186 microm

Redondeando hacia arriba da una incertidumbre a reportar con correccioacuten de U = 2 microm

44 La norma [20] admite hasta 1 microm de planitud correspondiente a 3 franjas Dependiendo del nuacutemero de franjas obtenidas seraacute el valor de esta incertidumbre 45 Para efectos didaacutecticos se consideraron 5 fuentes de incertidumbre No obstante el caacutelculo pudo haber despreciado las dos fuentes de incertidumbre menores y considerar solo 3 conforme a la recomendacioacuten 41 cuarto inciso En este caso el resultado final de la incertidumbre expandida seriacutea de U = 180 microm sensiblemente el mismo y tras el redondeo seriacutea exactamente el mismo U = 2 microm

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Esta es la incertidumbre instrumental es la que se debe considerar si el operador que utilice despueacutes este microacutemetro efectuacutea la correccioacuten de lecturas considerando la desviacioacuten de 05 microm que tiene este instrumento y que estaacute reportada en el certificado del mismo Esto no es praacutectico y por lo general no se hace en la industria como se mencionoacute en la seccioacuten 347 Por lo tanto se debe de adicionar al valor de incertidumbre obtenido el error no corregido de 05 microm encontrado al calcular la repetibilidad conforme a lo indicado en esa seccioacuten

Finalmente este error lo redondeamos hacia arriba

Incertidumbre a reportar sin correccioacuten U = 3 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la tabla 3

No

Contribuyente

de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contri-bucioacuten

uLabi(y) microm

Contri-bucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep

Normal No consi-derada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 058 0336 3 Patroacuten up Rectangular 035 035 0123

4 Error de Paralaje uPar

Rectangular 059 059 0348

5 Incertidumbre por Temperatura u∆T

Rectangular 017 017 0029 -

6 Incertidumbre por falta de contacto

Rectangular 017 0029 -

7 Incertidumbre por fuerza de medicioacuten

Rectangular Despre-ciable - -

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Σ[uLabi (y)]2 0500 Σ[ui (y)]2 0865 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

071 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

0930

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

141 microm46 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) 186 microm

La Incertidumbre Expandida Corregida a informar con k = 2 es de Ucorr = 2 microm Unocorr = 3 microm

Tabla 3- Balance de incertidumbres para un microacutemetro analoacutegico con intervalo de medicioacuten de 0 mm a 25 mm y resolucioacuten de 001 mm

46 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio

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[11] NMX-Z-0551996 IMNC Metrologiacutea ndash Vocabulario de teacuterminos fundamentales y generales equivalente al documento internacional Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology BIPM IEC IFCC ISO IUPAC IUPAP OIML 1993

[12] NMX-EC-17025-IMNC-2006 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y de calibracioacuten

[13] NOM-008-SCFI Sistema General de Unidades de medida [14] NMX-CC-10012-IMNC-2003 Sistema de gestioacuten de las mediciones ndash Requisitos para

procesos de medicioacuten y equipos de medicioacuten [15] Poliacutetica referente a la trazabilidad de las mediciones ema

httpwwwemaorgmx [16] Poliacutetica referente a la incertidumbre de mediciones ema

httpwwwemaorgmx

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[17] NMX-CH-001-IMNC-2004 Especificaciones Geomeacutetricas de Producto (GPS) ndash Temperatura de referencia normalizada para especificacioacuten y verificacioacuten geomeacutetrica de producto

[18] ISOIEC 170112004 (E) Conformity Assessment ndash General requirements for accreditation bodies accrediting conformity assessment bodies ISOIEC Ginebra Suiza 2204

[19] M Viliesid y F Hernaacutendez Encuentros y Desencuentros con la 17025 en memorias Simposio de Metrologiacutea 2004 Quereacutetaro CENAM 2004

[20] NMX-CH-099-IMNC-2005 Microacutemetros de Exteriores

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6 ANEXOS Anexo A Estimacioacuten de la incertidumbre cuando no se hacen correcciones Cuando se estime la incertidumbre de calibracioacuten de un instrumento con un patroacuten la contribucioacuten de la incertidumbre del patroacuten puede considerarse de varias maneras dependiendo del grado de exactitud deseada Supoacutengase que Lo es el valor nominal Lp es la desviacioacuten del patroacuten respecto al valor nominal y Up la incertidumbre expandida del valor del patroacuten de acuerdo al informe o certificado de de dicho patroacuten Ademaacutes L es el mejor estimado de las lecturas del instrumento Veacutease figura 1 Entonces se tienen las siguientes opciones bull Se corrigen las lecturas L del instrumento por la desviacioacuten δ respecto al patroacuten

Como la longitud del patroacuten estaacute expresada como Lo +δp el mejor estimado es L2 = Lo + δp contribucioacuten a la incertidumbre de L2 en la calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten es Up

Este es el procedimiento riguroso y se aplica normalmente a los instrumentos de alta exactitud

Las siguientes dos opciones son aplicables a calibraciones de instrumentos de baja exactitud

A) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten Se verifica que la suma de la desviacioacuten δp maacutes la incertidumbre expandida del patroacuten Up sea menor o igual al Error Maacuteximo Tolerado plusmn T2 para la clase de exactitud del patroacuten De ser cierto se asume entonces que la distribucioacuten de valores del patroacuten obedece una distribucioacuten uniforme de ancho T esto es si δp + Up le T2 entonces la contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se supone como

3TU p =prime

B) Se calibra contra el valor nominal del patroacuten La contribucioacuten a la incertidumbre de calibracioacuten del instrumento debida al patroacuten se asigna como Ursquop = Up+ δp

Noacutetese que la figura A1 muestra el resultado como el valor nominal corregido por la desviacioacuten encontrada respecto al patroacuten

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Figura A1 Algunos esquemas para considerar la incertidumbre del patroacuten en una calibracioacuten

Lopatroacuten

( )Up

δp

instrumentoδ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )

( )

T2

( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

Lopatroacuten

( )( )Up

δp

instrumentoδ δ

( ) 22 +plusmnminus= pULL

( ) ppp ULL plusmn+= δ0

3

2

02 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn= TLL B

( )( )

( )( )

T2

( )( )( ) 2

02 ++plusmn= ppC ULL δ

A

B

C

si Up + δp le T2

T2

Lp

L

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Anexo B Expresioacuten de la incertidumbre en metrologiacutea dimensional La expresioacuten de la incertidumbre mediante una ecuacioacuten de la forma U = a + b L permite presentar de una manera maacutes conveniente el alcance de la acreditacioacuten de un laboratorio de calibracioacuten del aacuterea dimensional sin perder la fidelidad de la informacioacuten proporcionada

Ejemplo Para el caso de microacutemetros de exteriores de 0 a 300 mm

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de Exteriores

0 ndash 25 25-50 50-75 75-100 100 ndash125 125 ndash 150 150 ndash 175 175 ndash 200 200 ndash 225 225 ndash 250 250 ndash 275 275 ndash 300

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

plusmn 30 plusmn 35 plusmn 40 plusmn 45 plusmn 50 plusmn 55 plusmn 60 plusmn 65 plusmn 70 plusmn 70 plusmn 75 plusmn 80

La informacioacuten puede ser expresada como

Magnitud Intervalo

mm Resolucioacuten microm

Incertidumbre k = 2 microm

Microacutemetro de exteriores

0 - 300 1 plusmn (3 + 5L300)

La expresioacuten de otras caracteriacutesticas metroloacutegicas como el Error maacuteximo permisible mediante una foacutermula del tipo a + bL es comuacuten en el aacuterea de la metrologiacutea dimensional encontraacutendose frecuentemente en normas cataacutelogos o folletos Aunque el comportamiento real puede no ser completamente lineal se acepta la aproximacioacuten lineal (veacutease la figura B1)

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FigB1 De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L grande = 8 microm De la tabla anterior se tiene incertidumbre para L pequentildea = 3 microm

Restando las dos se tiene 8 ndash 3 = 5 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 300 mm

Quedando finalmente como plusmn (3 + 5L300) microm con L en mm

Ejemplo adicional Supoacutengase que se tiene una incertidumbre de 3 microm para L de 600 mm y de 15 microm para L de 200 mm

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Restando las dos se tiene 30 microm ndash 15 microm = 15 microm valor que se multiplica por L y se divide entre la longitud que existe entre los dos puntos considerados en nuestro ejemplo 600 mm ndash 200 mm = 400 mm obtenieacutendose que 15L400 = 000375 microm con L en mm Si L = 200 mm nos da una incertidumbre de plusmn 075 microm que restaacutendolo a 15 microm nos da igual a 075 microm quedando finalmente plusmn (075 + 000375L) o lo que es lo mismo plusmn (075 + 15L400) microm con L en mm

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Anexo C Implicaciones del uso de NMX-CH-14253-2-IMNC-2004 Este anexo ilustra brevemente algunos puntos que son mencionados en NMX-CH-14253-2-2004 que actualmente estaacuten en discusioacuten dentro del grupo de trabajo que desarrollo la guiacutea y por lo tanto soacutelo tienen caraacutecter informativo C1 Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) y la resolucioacuten (ures) Cuando el nuacutemero n de repeticiones es pequentildeo los valores estimados de la desviacioacuten estaacutendar pueden ser erroacuteneos y posiblemente demasiado pequentildeos por esta razoacuten se utiliza un factor de seguridad h47 El factor de seguridad h (calculado sobre la base del factor t de Student) puede verse en la tabla 2 de la referencia [2] de tal suerte que la ecuacioacuten dada en 42 se convierte en

urep = n

sh

La repetibilidad es un contribuyente de incertidumbre obtenido a partir de datos experimentales La repetibilidad no es independiente de la resolucioacuten se calcularaacute por separado la incertidumbre estaacutendar debida a la repetibilidad y la resolucioacuten y se toma soacutelo la mayor de las dos48 (veacutease la referencia [2]) C2 Ejemplo numeacuterico Considerando que soacutelo se tomaron las primeras 5 lecturas del ejemplo numeacuterico dado en 74 para cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 5 lecturas dan los siguientes valores Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 -001 -001 000 -001 000548

Del punto C1 urep = n

sh = 5

4)000548(1 = 000343 mm = 343 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

47 El valor de la h se obtiene de tablas (veacutease la tabla 2 de [2]) Para n ge 10 puede considerarse h = 1 48 Aunque la repetibilidad sea tiacutepicamente nula para un determinado tipo de instrumento esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar el resultado precedente y evitar asiacute un error de lectura

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Del punto 734 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 = 289 microm

Solo se tomaraacute la mayor de las dos en este caso 343 microm Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla C149

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribucioacuten

ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal 343 2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 343 1176 5521

3 Patroacuten up Normal 216 467 2192 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 223 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 003 014

6 DifTempPatroacuten y Mensurando uδT Rectangular 030 009 042

Σ[ui (y)]2 2130 INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA 462

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 924 microm

La Incertidumbre expandida a informar conk = 2 es de U = plusmn 001 mm

Tabla C1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

49 Esta tabla no incluye la contribucioacuten del laboratorio que si se debe incluir de acuerdo a los requerimientos de la EMA

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IDENTIFICACIOacuteN DE CAMBIOS INCISO PAacuteGINA CAMBIO(S)

Todos Todas Se modifico el documento en su totalidad Observaciones

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348 Repetibilidad y Resolucioacuten Para instrumentos de baja resolucioacuten y en buen estado de funcionamiento puede ocurrir que la repetibilidad sea nula o casi nula En estos casos se consideraraacute la resolucioacuten del instrumento15 en el lugar de la repetibilidad en el balance de incertidumbres Para instrumentos de mayor resolucioacuten que permitan obtener valores de repetibilidad distintos de cero se deberaacute calcular eacutesta comparar su contribucioacuten con la de la resolucioacuten y considerar uacutenicamente la mayor de las dos en el balance de incertidumbres

349 Calibracioacuten contra nominales Una situacioacuten comuacuten tambieacuten es la calibracioacuten de instrumentos contra los valores nominales de patrones utilizados16 Esto se puede hacer y existen dos maneras de considerar la incertidumbre del patroacuten

a Considerar la tolerancia de la clase o grado del patroacuten utilizado para su estimacioacuten y suponer una distribucioacuten rectangular17 es decir

3TU p =prime

donde Ursquop es la incertidumbre expandida sin correccioacuten y

T es la tolerancia de clase o grado

b Considerar la incertidumbre de calibracioacuten y las desviaciones obtenidas del patroacuten de referencia y calcular las incertidumbres sin aplicar correcciones como se describe en el punto 347

En el anexo A se da una explicacioacuten graacutefica de ambos meacutetodos

35 Trazabilidad de las mediciones (56) 351 Toda calibracioacuten debe efectuarse con patrones e instrumentos calibrados y

con trazabilidad a la definicioacuten de la unidad de longitud del SI el metro siempre que sea posible18

352 La trazabilidad puede ser ilustrada mediante cartas de trazabilidad pero deberaacuten existir los documentos probatorios tales como certificados emitidos por el CENAM o informes de calibracioacuten de un laboratorio con acreditacioacuten vigente al momento de realizar la calibracioacuten

353 La trazabilidad puede ser alcanzada de varias maneras bull Calibrando directamente el patroacuten utilizado en la calibracioacuten en el

CENAM

15 Esto no exime al laboratorio de la necesidad de verificar dicha repetibilidad mediante mediciones repetidas para a) verificar que el instrumento estaacute en buen estado y b) confirmar la lectura precedente y evitar asiacute cualquier error de lectura 16 Es el caso de calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten por ejemplo 17 Es la maacutes conservadora pero maacutes sencilla de calcular 18 Un ejemplo claro en MD es el de medicioacuten de planitud de superficies de contacto por ejemplo las de un microacutemetro donde la trazabiliad es muy difiacutecil de alcanzar Ver referencia [19] para una explicacioacuten detallada del problema

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bull Calibrando en otro Instituto Nacional de Metrologiacutea (NMI19) extranjero que haya firmado el Arreglo de Reconocimiento Mutuo (MRA20) [6] del CIPM21 y que tenga dicho servicio especiacutefico de calibracioacuten en el Apeacutendice ldquoCrdquo del MRA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico por la EMA

bull Calibrando el patroacuten utilizado en un laboratorio de calibracioacuten acreditado para ese servicio especiacutefico nacional o extranjero por un organismo acreditador que figure como signatario del MRA de la Cooperacioacuten Internacional sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios (ILAC22) y de la Cooperacioacuten sobre la Acreditacioacuten de Laboratorios de Asia Paciacutefico (APLAC23)

354 Todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

355 Puede suceder que el CENAM no cuente con un determinado servicio de calibracioacuten o no pueda ofrecer la incertidumbre requerida por el cliente24 En este caso deberaacute buscarse un NMI extranjero que cumpla con los requisitos del segundo punto del inciso 352 de este documento que siacute lo ofrezca

356 Puede suceder tambieacuten que ninguacuten laboratorio ofrezca un determinado servicio de calibracioacuten En este caso deberaacute procederse al menos a comparaciones de la misma medicioacuten por distintas teacutecnicas para demostrar compatibilidad de resultados Esto debe quedar debidamente documentado

357 Los instrumentos que midan variables de influencia significativas cuyas lecturas sean utilizadas para efectuar correcciones deben ser calibrados con trazabilidad Es el caso particular de la temperatura en MD Los termoacutemetros deben estar calibrados con trazabilidad

358 No es imprescindible que los instrumentos de monitoreo en particular los higroacutemetros esteacuten calibrados y en menor medida los termoacutegrafos a menos que

19 Del ingleacutes National Metrology Institute 20 Del ingleacutes Mutual Recognition Arrangement 21 Conferencia Internacional de Pesas y Medidas 22 Del ingleacutes International Laboratory Accreditation Cooperation 23 Del ingleacutes Asia Pacific laboratory Accreditation Cooperation 24 E el caso por ejemplo de calibracioacuten de regletas de vidrio que requieran de incertidumbres mejores que 15 microm en 150 mm (k = 2)

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de ellos se esteacuten tomando lecturas para efectuar correcciones No obstante se debe verificar que esteacuten funcionando correctamente (que registren)25

359 Existen otros contribuyentes a la incertidumbre cuya influencia es pequentildea o despreciable y por lo tanto no es imprescindible que los patrones de los que dependen esteacuten calibrados con trazabilidad Es el caso de los planos y paralelas oacutepticas para la verificacioacuten de las caras de medicioacuten de microacutemetros26 (ver [18])

4 PARTE B - Guiacutea teacutecnica sobre trazabilidad y Estimacioacuten de la Incertidumbre en

Metrologiacutea Dimensional 41 Comentarios Generales

bull Haciendo eacutenfasis en lo que se mencionoacute en la seccioacuten 353 todas las calibraciones en MD exceptuando las calibraciones que se realizan por interferometriacutea se hacen por comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento ldquometroloacutegicamente superiorrdquo es decir de mayor exactitud y con menor incertidumbre Para las calibraciones tiacutepicas maacutes conocidas en general estaacute bien establecida la superioridad metroloacutegica del patroacuten utilizado respecto del instrumento calibrado Por ejemplo en el caso de la calibracioacuten de un microacutemetro con bloques patroacuten Sin embargo para casos menos comunes esta superioridad no es clara y se debe demostrar

bull Los contribuyentes de incertidumbre tiacutepicos en MD para calibracioacuten por

comparacioacuten contra un patroacuten o instrumento de referencia son los siguientes27 a Incertidumbre por resolucioacuten o por repetibilidad b Incertidumbre del patroacuten o instrumento de referencia c Incertidumbres por ldquoError de Abberdquo d Incertidumbre por ldquoError de Cosenordquo e Incertidumbre por ldquoError de Paralajerdquo f Incertidumbres por efectos de temperatura g Incertidumbre debida a la fuerza de contacto h Incertidumbres debidas a la planitud y paralelismo entre caras de medicioacuten i Incertidumbre por apilamiento de patrones

25 Exceptuado las mediciones interferomeacutetricas la humedad no es una variable de influencia y se requiere controlar uacutenica y exclusivamente para que no sufran de oxidacioacuten los patrones e instrumentos de acero 26 El acuerdo al que se llegoacute es que estos dispositivos deberaacuten ser calibrados al menos una vez durante su vida uacutetil y deberaacuten ser dechados cuando se observe que esteacuten rayados o despostillados 27 En casos particulares pueden existir otras fuentes de incertidumbre no consideradas en esta lista

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No todas ellas aplican para todos los instrumentos Por ejemplo un microacutemetro comuacuten no presenta ldquoError de Abberdquo y un instrumento digital no presenta ldquoError de Paralajerdquo Por otro lado algunos de estos contribuyentes pueden ser despreciados a priori por tener un valor muy pequentildeo en relacioacuten con otros contribuyentes Por ejemplo la incertidumbre por fuerza de contacto en el caso de un microacutemetro

bull La incertidumbre por repetibilidad se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la

desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal

urep = ns

(1)

donde n es el nuacutemero de mediciones realizadas en un punto y s es la desviacioacuten estaacutendar de las n mediciones28

Si el nuacutemero de repeticiones es bajo debe darse un tratamiento estadiacutestico apropiado veacuteanse por ejemplo las referencias [2] y [8]

bull Se debe considerar que al sumar incertidumbres en forma cuadraacutetica (varianzas)

algunos sumandos resultan con valores muy pequentildeos respecto a los que tienen los valores maacutes grandes por lo que pueden ser despreciadas antes de combinarse asiacute como en caacutelculos subsecuentes Por lo general entre tres y seis contribuyentes de incertidumbre ldquodominanrdquo el balance es decir contribuyen en conjunto con maacutes del 90 del valor de la incertidumbre estaacutendar combinada No obstante conviene documentar que se han considerado tales efectos auacuten cuando sus efectos en el caacutelculo no sean relevantes con la finalidad de conservar dicho conocimiento

bull La temperatura es de primordial relevancia como contribuyente a la incertidumbre

en MD29 En mediciones de media y baja exactitud la temperatura ambiente simplemente se monitorea no se mide la temperatura de los instrumentos y patrones y no se efectuacutean correcciones debidas a las dilataciones teacutermicas Sin embargo esto no significa que las incertidumbres correspondientes a dichos efectos sean despreciables Existen al menos dos contribuciones a la

28 La desviacioacuten estaacutendar de una muestra de n mediciones se define coacutemo ( )

1

2

minus

minus= sum

nxx

si

Este es el

valor que por lo general calculan las calculadoras de bolsillo o las hojas de caacutelculo 29 Cuando es necesario hacer correcciones por efectos teacutermicos la temperatura debe ser medida y monitoreada

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incertidumbre por efectos teacutermicos que no pueden ser soslayadas y deben considerarse la incertidumbre debida a la expansioacuten teacutermica por llevar a cabo la calibracioacuten a una temperatura T distinta de T0 la temperatura de referencia y la incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre patroacuten y mensurando

42 Ejemplo de la estimacioacuten de la incertidumbre en la calibracioacuten de un calibrador

digital electroacutenico 421 Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un calibrador digital electroacutenico (Fig 2) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 0 mm a 150 mm mediante un maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes (Fig 3) como patroacuten de referencia

Figura 2- Calibrador digital electroacutenico

Figura 3- Maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes 422 Contribuyentes a la incertidumbre considerados

Tipo A Incertidumbre por repetibilidad Tipo B Incertidumbre por resolucioacuten del calibrador digital

Incertidumbre del patroacuten utilizado (maestro de longitudes fijas con pasos no-uniformes) Incertidumbre por ldquoerror de Abberdquo Incertidumbres por efectos teacutermicos

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423 Incertidumbre por Repetibilidad urep La repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas en un punto considerando que la distribucioacuten es normal (1)

urep = ns

Este caacutelculo se repite en cada punto donde se calibre el instrumento y se toma la mayor de todas 424 Incertidumbre debida a la Resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico ures La incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten del instrumento Suponiendo una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 32

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

Res es la resolucioacuten del calibrador Se tomaraacute en cuenta en el balance el valor maacutes grande entre repetibilidad y resolucioacuten

425 Incertidumbre del Maestro de Longitudes Fijas de Pasos No-Uniformes up Este es un caso tiacutepico de calibracioacuten contra nominales30 Aplicaremos la opcioacuten b del apartado 34931

up = Desv Maacutex + upc

donde up 32 es la incertidumbre estaacutendar (k = 1) del maestro de longitudes fijas de pasos no uniformes y

30 Calibrar contra valores nominales significa no aplicar ninguna correccioacuten del certificado de calibracioacuten del patroacuten 31 Este proceder de tipo praacutectico considera la suma de incertidumbres con errores lo cual no es rigurosamente correcto y no estaacute en estricto apego a la NMX-CH-140-IMNC-2002 32 Este caacutelculo supone que la incertidumbre estaacute expresada con k = 2

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upc es la incertidumbre estaacutendar obtenida de la incertidumbre

expandida (Up) de los informes de calibracioacuten como upc =2

Up 33

Desv Maacutex es la desviacioacuten maacutexima del patroacuten dentro del intervalo de medicioacuten del instrumento por calibrar (obtenida tambieacuten del informe de calibracioacuten)

426 Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo uAb

34 La incertidumbre queda determinada por la siguiente ecuacioacuten

uAb = 3AbE

donde EAb = ( )L

ah sdot es el ldquoError de Abberdquo Este se deduce de la fig 4

donde h es la altura de la mordaza de medicioacuten (40 mm)

a es el juego entre el cuerpo del calibrador y el cursor (001 mm)

l es la longitud del cursor

427 Incertidumbres debidas a los Efectos Teacutermicos Existen dos contribuyentes de incertidumbre por dilatacioacuten teacutermica a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T0 y b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando

a) Por diferencia de la temperatura T con la temperatura de referencia T035

33 Suponiendo una distribucioacuten normal 34 Para los calibradores como para muchos otros instrumentos de medicioacuten cuya escala no se encuentra sobre la misma liacutenea que la del objeto a medir se genera un error llamado Error de Abbe 35 Las expresiones obtenidas aquiacute no corresponden a la estimacioacuten rigurosa de este contribuyente de incertidumbre ni son consistentes Se trata de un caacutelculo aproximado simplificado que no obstante arroja valores cercanos al caacutelculo riguroso

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Figura 4- Ilustracioacuten del Error de Abbe

Figura 5- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura

De la figura 5 tenemos que

E1 = ∆LP - ∆LM (1) ∆LP = L αP ∆T (2) ∆LM = L αM ∆T (3)

α α

∆L ∆

L

E

20degC

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donde E1 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia entre la temperatura a la que se calibra T y la temperatura de referencia T0 ∆Lp es la dilatacioacuten del patroacuten ∆LM es la dilatacioacuten del mensurando ∆T = T ndash T0 es la diferencia de temperatura respecto a la de referencia αp es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del patroacuten αM es el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del mensurando

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene

E1 = L αP ∆T - LαM ∆T E1 = L ∆α ∆T (4)

donde ∆α = αP - αM Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (4) se puede derivar una expresioacuten formal Sin embargo una aproximacioacuten simplificada resulta maacutes praacutectica para este tipo de instrumentos Esta expresioacuten seriacutea

u∆T = 3

∆Τsdot∆sdot αL (5)

Sin embargo para utilizar adecuadamente esta expresioacuten tendraacute que tenerse en consideracioacuten que cuando ∆α es cero por ejemplo si los materiales son iguales la aproximacioacuten supuesta en la ec 5 debe considerar la incertidumbre del coeficiente de expansioacuten teacutermica y asumir que ∆α = 2 uα donde uα es la incertidumbre de α

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b) Por la diferencia de temperatura entre el patroacuten y el mensurando uδt

Figura 6- Diferencia de dilatacioacuten entre patroacuten y mensurando debida a la diferencia de temperatura entre ellos De la figura 6 se tiene que

E2 = ∆LP - ∆LM (6) ∆LP = LαP (tP - 20) (7) ∆LM = LαM(tM - 20) (8)

donde E2 es la diferencia de expansioacuten entre el patroacuten y el mensurando debido a la diferencia de temperatura entre ambos tp es la temperatura del patroacuten tM es la temperatura del mensurando

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se tiene

E2 = LαP (tP - 20) - LαM (tM - 20)

αP

αM

∆LP ∆L

M

E2

20 degC

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E2 = L[αP(tP - 20) - αM (tM - 20)] (9)

En los casos en que ambos sean del mismo material puede considerarse αP = αM quedando entonces

E2 = Lαprom δt (10) donde

δt = (tp - tM)

αprom = ( )2

p Mαα +

Para estimar la incertidumbre de la expresioacuten (10) se puede usar la siguiente foacutermula

uδt = Lαprom δt radic3 (11) 428 Otros Contribuyentes Existen otros contribuyentes como los correspondientes a los apartados 7228 7229 y 72210 Sin embargo no se toman en cuenta pues se saben de antemano despreciables frente a los que ya hemos calculado 429 Caacutelculo de la Incertidumbre Estaacutendar Combinada u Considerando las fuentes de variacioacuten antes descritas la incertidumbre estaacutendar combinada estaraacute dada por la raiacutez cuadrada de la suma de los cuadrados de todas ellas

u = radic [( urep oacute ures)2 + up

2 + uAb2 + u∆T 2 + uδt

2 ] (12) 4210 Contribuciones debidas al laboratorio ulab Es necesario al mostrar el balance final de la incertidumbre mostrar en una columna aparte la contribucioacuten del laboratorio obtenida de la consideracioacuten de las componentes que son imputables a eacuteste es decir en este caso _______________

ulab = radic ( up2 + u∆T 2 + uδt

2 ) (13) 4211 Caacutelculo de la Incertidumbre Expandida La incertidumbre expandida se obtiene empleando un factor de cobertura k = 2 (al que corresponde un intervalo de confianza de aproximadamente 95 36 para asiacute obtener 36 Se considera este caacutelculo simplificado como suficiente para el nivel de exactitud de instrumentos de media y baja exactitud como este Una estimacioacuten rigurosa requeririacutea de la estimacioacuten de la t-Student y la correccioacuten

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U = 2 u (14) 43 Ejemplos Numeacutericos 431 Ejemplo Numeacuterico de la Estimacioacuten de la Incertidumbre en la Calibracioacuten de

un Calibrador Digital Electroacutenico Determinacioacuten de la incertidumbre para un calibrador digital electroacutenico con resolucioacuten de 001 mm e intervalo de medicioacuten de 0 a 150 mm bull Incertidumbre debida a la repetibilidad (urep) Se toman 10 lecturas de cada una de las longitudes fijas de la escala correspondiente del maestro de longitudes fijas Suponemos que la desviacioacuten estaacutendar maacutes elevada se presenta a los 150 mm y que las 10 lecturas dan las siguientes diferencias Patroacuten 1 2 3 4 5 s (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 15000 000 001 -001 000 -001 6 7 8 9 10 (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 001 001 000 000 -001 00082

Del punto 423 urep = ns =

1000082 = 000259 mm = 260 microm

bull Incertidumbre debida a la resolucioacuten del calibrador digital electroacutenico (ures)

Del punto 424 se tiene ures = 32

Res = 32

001 = 000289 mm = 289 microm

correspondiente o mejor auacuten el caacutelculo de los grados de libertad efectivos mediante la relacioacuten de Welch-Satterthwaite a partir de la estimacioacuten de los grados de libertad de cada fuente de incertidumbre de donde se obtiene el factor k (cercano a 2) por el que hay que multiplicar para tener el 9545 de intervalo de cobertura Como en este caacutelculo se estaacute considerando un modelo simplificado es suficiente tomar el factor de cobertura k = 2

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De las dos anteriores se debe escoger la mayor En este caso la debida a la resolucioacuten de 289 microm bull Incertidumbre debida al patroacuten de calibracioacuten (up)- De acuerdo al punto 425 de esta guiacutea tomamos la incertidumbre de calibracioacuten del patroacuten y la desviacioacuten maacutexima obtenida y sumamos aritmeacuteticamente ambas para obtener la incertidumbre debida al patroacuten

up = Desv Maacutex + upc Del informe de calibracioacuten tenemos Up = (250+05L) nm con L en mm

Para L = 150 mm tendremos la incertidumbre maacutexima Up = 0325 microm Del mismo informe observamos que la desviacioacuten maacutexima que ocurre a los 50 mm es

Desv Maacutex = 183 microm Sumando aritmeacuteticamente estas dos cantidades up = 216 microm bull Incertidumbre debida al ldquoError de Abberdquo (uAb) Usando la expresioacuten dada en 426 y considerando que los los valores tiacutepicos de este tipo de instrumentos son h = 20 mm a = 001 mm y L = 53 mm Por lo tanto

uAb = ( )3Lah sdot = 218 microm

En la Fig 4 se muestra h = 40 mm Esta distancia sin embargo es al extremo de las puntas de medicioacuten Considerando que se trata de una calibracioacuten y que por lo tanto se trata de reducir al miacutenimo los errores se colocan las puntas de medicioacuten lo maacutes al fondo posible por lo que el valor considerando para h es de 20 mm bull Incertidumbres debidas a los efectos teacutermicos De 427 a) Incertidumbre debida a la diferencia entre la temperatura ambiente y la de referencia (u∆T) Tomamos ∆T = 1 ordmC la maacutexima diferencia permisible dentro de los liacutemites de operacioacuten del laboratorio El fabricante del patroacuten estipula el coeficiente de dilatacioacuten αp con su incertidumbre Estimamos el del calibrador αc

37 Los valores son los siguientes αp = 11 x 10-6 ordmC αc = 12 x 10-6 ordmC por lo tanto ∆α = 1 x 10-6 ordm C αmax = 12 x 10-6 ordmC

37 Conociendo el tipo de acero que probablemente es obtenemos el valor de un manual de materiales

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Aplicando la foacutermula del inciso 5 de la parte 2

u∆T = 3∆Τsdot∆sdot αL = ( ) ( )3

Cordm 1 1012150 6 sdotsdot minusx mm = 017 microm

de 427 b) Incertidumbre debida a la diferencia de temperatura entre artefactos (u∆L)- Estimamos que la diferencia es de δ T = 03 ordmC De los datos del inciso anterior tenemos que αprom = 115 x 10-6 ordmC Aplicando la foacutermula (11) de la parte 2

uδL = 3

Τsdot sdot δαpromL = 0000299 mm = 030 microm

bull Incertidumbre Estaacutendar Combinada (u)- Despreciamos los dos uacuteltimos valores de 017 y 030 microm pues son un orden de magnitud menores al resto de los valores38 De la ecuacioacuten del inciso 12 tenemos ___________________________ u = radic ures

2 + up2 + uAb

2 + u∆T 2 + uδL2

___________________ u = radic (289 2 + 216 2 + 218 2) = 422 microm

Noacutetese que se ignoraron las dos contribuciones por temperatura u∆T y uδT debido a que su valor numeacuterico es despreciable frente a los otros 3 valores39

38 Para este ejemplo los valores de las incertidumbres consideradas resultaron pequentildeas sin embargo la influencia de estos valores otros casos es maacutes importante 39 Si se consideran los cinco contribuyentes el valor obtenido es de 423 microm es decir 001 microm de diferencia

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Tabla 1- Balance de incertidumbres para un calibrador digital electroacutenico con intervalo de medicioacuten

de 0 mm a 150 mm y resolucioacuten de 001 mm bull Incertidumbre Expandida (U)

U = 2 (422) = 844 que puede ser redondeado a 9 microm41 o incluso a 10 microm

El resumen del balance de incertidumbres en forma de tabla como se pide en 346 de los Requisitos para la Estimacioacuten de la Incertidumbres se presenta a continuacioacuten en la Tabla 1 La tabla 1 refleja el balance de incertidumbres en el punto con mayor incertidumbre correspondiente a la longitud L maacutexima El laboratorio podraacute declarar eacutesta como la incertidumbre de todo el intervalo pues estaraacute estipulando una incertidumbre conservadora Tambieacuten podraacute redondear hacia arriba como se ha hecho en la incertidumbre a informar de la tabla En vez de redondear a 00085 mm o 0009 mm lo hace a la centeacutesima de miliacutemetro

40 Esta incertidumbre refleja de cierto modo la calidad metroloacutegica del servicio de calibracioacuten del laboratorio Cuanto menor sea esta contribucioacuten mejor seraacute el servicio prestado por ese laboratorio 41 Observar que se redondea hacia arriba (en exceso) siempre

No

Contribuyente de incertidumbre

Tipo de distribucioacuten

Contribu-

cioacuten uLabi(y) microm

Contribu-

cioacuten ui(y) microm

[ui(y)]2 de

contribucioacuten en varianza

1 Repetibilidad urep Normal No considerada - -

2 Resolucioacuten ures Rectangular 289 835 3495 3 Patroacuten up Normal 216 216 467 1954 4 Error de Abbe uAb Rectangular 218 475 1988 5 Dif Temp20 u∆T Rectangular 017 Despreciable - -

6 DifTempPatron y Mensurando uδT Rectangular 030 Despreciable - -

[uLabi (y)]2 [ui (y)]2 1777 Incertidumbre estaacutendar del laboratorio

219 microm INCERTIDUMBRE ESTAacuteNDAR COMBINADA

422

Contribucioacuten del Lab a la Inc Expandida

44 microm40 INCERTIDUMBRE EXPANDIDA (k = 2) plusmn 844 microm

La Incertidumbre expandida a informar con k = 2 es de U = plusmn 001 mm

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Esto se suele hacer simplemente por hacer la incertidumbre consistente con la resolucioacuten del instrumento42 y con la recomendacioacuten de la referencia [1] de expresar la incertidumbre con dos diacutegitos significativos como maacuteximo Ahora bien dependiendo del tipo de instrumento y su intervalo de medicioacuten el procedimiento anterior puede atribuir valores de incertidumbre a informar demasiado grandes respecto de la incertidumbre real para los valores pequentildeos del intervalo No es el caso del ejemplo anterior pues los contribuyentes dependientes de la longitud fueron en dos casos despreciados (uδT u∆T) y en el caso de la incertidumbre del patroacuten tambieacuten se tomoacute el caso maacutes desfavorable que es el de la maacutexima longitud Se debe de tener presente que no siempre es el caso Queda claro que se le estaacute atribuyendo un valor de incertidumbre a informar grande para los valores del intervalo inferiores a 150 mm En este caso conviene expresar la incertidumbre en funcioacuten de la longitud ya sea por intervalos o mediante una ecuacioacuten lineal dependiente de la longitud L (veacutease el anexo 2) 432 Estimacioacuten de Incertidumbre de un microacutemetro de exteriores analoacutegico con

divisioacuten miacutenima de 001 mm bull Objetivo Determinar la incertidumbre de calibracioacuten de un microacutemetro de exteriores analoacutegico (Fig 7) con resolucioacuten de 001mm e intervalo de medicioacuten de 25 mm mediante bloques patroacuten (Fig 8) como patroacuten de referencia El balance de incertidumbre no se basa en un modelo matemaacutetico expliacutecito simplemente considera la suma cuadraacutetica de las fuentes de incertidumbre con todos los coeficientes de sensibilidad igual a uno de acuerdo a 343 bull Contribuyentes de incertidumbre considerados

bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten bull Incertidumbre debida al Patroacuten bull Incertidumbre debida a la Temperatura bull Incertidumbre debida al Paralaje

42 Para instrumentos de media y baja exactitud que no tengan un intervalo de medicioacuten muy grande como este caso la incertidumbre final obtenida siempre es ligeramente mayor o ligeramente menor a la resolucioacuten de la lectura pero del mismo orden de magnitud

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bull Incertidumbre debida a la Falta de contacto de las puntas de medicioacuten bull Incertidumbre debida a la Fuerza de medicioacuten

Fig 7 bull Incertidumbre debida a la Repetibilidad urep Dado que se trata de un instrumento analoacutegico un operador puede estimar lecturas por debajo de la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento Se considera razonable que un operador con una agudeza visual normal pueda estimar hasta 15 de la lectura entre trazos Considerando esto y que se toman 10 lecturas para cada uno de los nominales medidos se obtiene la tabla 2 que muestra las diferencias con respecto al valor nominal con una resolucioacuten de 2 microm

Tabla 2- Desviaciones obtenidas para 10 mediciones de un microacutemetro para cada valor nominal calibrado La serie de valores nominales es la serie utilizada por norma [20]

De la misma forma que en el ejemplo anterior la repetibilidad de la medicioacuten se evaluacutea con el estimador estadiacutestico de la desviacioacuten estaacutendar de la media a partir de mediciones repetidas considerando que la distribucioacuten es normal

Fig 8

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urep = ns

Se repite el caacutelculo para cada nominal medido y se informa como valor de repetibilidad a la mayor desviacioacuten estaacutendar obtenida (la peor repetibilidad) que ocurre en este caso a los 25 mm

urep = n

s mm25 = 10

00010 = 000033 mm = 033 microm

Cabe mencionar que eacuteste microacutemetro presenta un error desviacioacuten o sesgo que es maacutes o menos constante43 a lo largo de su intervalo de medicioacuten Se puede calcular una estimacioacuten de eacuteste como la media de las medias obtenidas para cada nominal de la tabla 2 Efectuando este caacutelculo se obtiene un error de 05 microm en exceso del valor de referencia El microacutemetro debiese ser reparado o ajustado fiacutesicamente sus lecturas corregidas o bien se debe considerar este error dentro de la incertidumbre de acuerdo a lo recomendado en 347 Estas dos opciones seraacuten explicadas al final del caacutelculo

bull Incertidumbre debida a la Resolucioacuten ures

De acuerdo a lo descrito en el punto anterior esta incertidumbre queda determinada por la miacutenima divisioacuten de la escala del instrumento y la capacidad del operador para leer entre trazos de la escala de eacuteste Un operador puede distinguir hasta una quinta parte de la resolucioacuten del instrumento Considerando esto y una distribucioacuten rectangular queda de la siguiente manera

ures = 325

Res

donde ures es la incertidumbre estaacutendar por resolucioacuten del calibrador

res es la resolucioacuten del calibrador

43 Un error constante de este tipo es un error de ldquoaceradordquo o de ajuste acero Algunos microacutemetros permiten ajustarlo fiacutesicamente y asiacute corregirlo Sin embargo en muchos acaso si el error es pequentildeo como en este caso no se corrige

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ures = mmicro580325

10=

De ambos valores se toma el mayor de los dos es decir la incertidumbre por resolucioacuten de 058 microm bull Incertidumbre debida a los patrones utilizados up

En este caso se calibra contra el valor nominal del bloque de tal suerte se consideraraacute la tolerancia del bloque para esa longitud conforme a lo que se indica en la seccioacuten 349 a Suponiendo que se trata de bloques ISO grado 2 para una longitud de 25 mm donde suponemos ocurre la peor repetibilidad la tolerancia de grado es de 06 microm Suponemos a su vez una distribucioacuten rectangular en este caso de tal suerte que la incertidumbre del patroacuten seriacutea

up micrommicrom 3503

60==

bull Incertidumbre debida a la Temperatura u∆T

Se refiere a la variacioacuten de temperatura durante la medicioacuten y se aproxima a un comportamiento simeacutetrico y rectangular la expresioacuten queda

33tU ∆lowastlowast

=lα

donde minusl es la longitud maacutexima calibrada en mm

∆t es la diferencia maacutexima de temperatura registrada durante la calibracioacuten Para un laboratorio secundario un valor tiacutepico es plusmn1degC α es el coeficiente de expansioacuten teacutermica del acero 115x10-6 degC-1

U3 = [(115x10-6 degC-1)(0025 m)(1degC)]radic3 = 017x10-6m = 017microm

bull Incertidumbre debida al Paralaje upar

Se refiere al error que se comete debido a que el trazo graduado del husillo no estaacute a la misma altura que el trazo graduado del tambor respecto al observador y eacuteste posiblemente no mira en direccioacuten perfectamente perpendicular Consideacuterese la Figura 9 para comprender el error de paralaje epar Para estimar la incertidumbre suponemos que dicho error se da en forma rectangular sobre un valor de error maacuteximo que calcularemos De la figura 9 se puede calcular el error al leer la escala por triaacutengulos semejantes

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