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Guía MatemáticaNOTACION ALGEBRAICA

profesor: Nicolas Melgarejo

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1. De la aritmetica al algebra

El concepto de los numeros aparece por primera vez en lospueblos primitivos entre el 25.000 y 5.000 antes de Cristo, comonecesidad basica de contar animales, medir distancias y tiempo.Pasaron muchos siglos para que el ser humano llegara a una ideamas abstracta y general de numero. En la aritmetica las cantidadesson representadas por sımbolos llamados numeros, los que signifi-can cantidades concretas o fijas. Por ejemplo, al decir que “eldıa tiene 24 horas”, el veinticuatro esta denotando un valor uni-co.

En el algebra lo que se busca es generalizar los valores, lossımbolos que se usan para estas cantidades son letras, las que repre-sentan a todos los valores. Ası, cuando decimos que un cuadradotiene lado a, este puede ser 1, 1 o 4

5 centımetros, pero debemos teneren cuenta que al asignar una letra a una variable en un problemaconcreto, no puede representar al mismo tiempo valores diferen-tes.

Algebra es la rama de la ciencia matematica que estu-dia la cantidad del modo mas general posible. Pode-mos entenderla como la generalizacion de la aritmeti-ca.

2. Notacion algebraica

En el algebra los sımbolos basicos son las letras y numeros, ademas estan los signos que representanoperaciones o relaciones entre ellos.

2.1. Numeros

Son usados para representar las cantidades conocidas y determinadas.

2.2. Letras

Son empleadas para expresar todo tipo de cantidades, tanto conocidas como desconocidas. Puedenser del alfabeto latino, griego u otro y se diferencia entre mayusculas y minusculas, es decir, la letra b esdiferente a B.

2.3. Cantidad conocida

Generalmente se usan las primeras letras del alfabeto latino a, b, c, . . .

2.4. Cantidad desconocida

Hay una tendencia a designar con las ultimas letras del alfabeto a los valores desconocidos: x, y yz. Debe quedar claro que estas son tendencias, pero no determinan un uso obligado, solo ayudan a unamejor lectura y orden al transcribir ideas del lenguaje cotidiano al algebraico.

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3. Expresiones algebraicas+¡Mira!

Tambien conocidas como formulas algebraicas1, son representaciones de reglas, principios o pro-piedades de modo general. Por ejemplo, en geometrıa podemos decir que el perımetro de un rectangulo

de lados a y b es P = 2a + 2b , o que el area de un triangulo equilatero de lado c es A =√34 c2 . Las

expresiones son validas independiente de las medidas de las figuras, aunque siempre debemos considerarlos contextos para no llegar a resultados absurdos.

Si en algun caso los lados del rectangulo son 12 y 4 centımetros, entonces su perımetro sera:

P = 2 · 1

2[cm] + 2 · 4[cm] = 1 + 8 = 9[cm]

Una expresion muy famosa es la expuesta por Albert Einstein, donde rela-ciona la energıa E, la masa m y la velocidad de la luz c en una sola expresion

algebraica: E = mc2 . Cuando las expresiones algebraicas estan contextualiza-das es importante considerar las limitaciones fısicas, por ejemplo, m no puedeser negativa porque representa la masa, c es una constante y E tampoco puedeser negativa.

3.1. Coeficiente

A cualquiera de los factores de una multiplicacion se le denomina coeficiente del otro factor. Porejemplo, en el producto 5c se dice que 5 es coeficiente de c, lo que significa que el termino c esta sumado5 veces, es decir, 5c = c + c + c + c + c. Esta relacion la podemos considerar al reves y decir que c escoeficiente de 5 y 5c = 5 + 5 + 5 + · · ·+ 5 c veces, en tal caso c es coeficiente de 5. Del ejemplo podemosdiferenciar dos tipos de coeficientes: literal y numerico.

3.2. ¿Positivo o negativo?

¿El termino literal a es positivo o negativo? La respuesta de la mayorıa de las personas es que a > 0.Como dijimos anteriormente, lo que busca el algebra es generalizar o abstraer y al decir que a es positivo,estamos restringiendo sus valores a priori. Si no hay contexto o limitaciones dadas por el mismo problemano podemos asegurar que a sea positivo, negativo o cero, es cualquier valor.

4. Relacion entre lenguaje algebraico y lenguaje natural

El algebra es una herramienta muy potente para resolver problemas. Su uso escapa a la misma cien-cia de donde nace, es ası como vemos la matematica aplicada en las ciencias naturales, la ingenierıa eincluso las ciencias sociales. Esta casi universalidad de su lenguaje se debe a su base en la logica y esla caracterıstica que la hace confiable y transferible. Para lograr resolver un problema desde el punto devista generalista, debemos reconocer las relaciones de las variables del problema concreto y traducirlasal algebra.

1Hemos decidido usar solo Expresiones algebraicas dado que formula incentiva una connotacion erronea sobre la ma-tematica y su supuesto aprendizaje memorıstico.

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4.1. Resolver problemas desde la mirada algebraica

La mayorıa de las veces que queramos resolver un problema con algebra tendremos que plantearecuaciones. Esta accion la podemos entender como traducir el lenguaje cotidiano al algebraico.

. Ejemplo

Las edades de Pablo y Carlos suman 42. Si la edad de Pablo es 6 veces la edad de Carlos, ¿que edad tienecada uno?

Solucion: Para resolverlo desde el algebra llamemos x a la edad de Carlos, entonces tendremos que:

La edad de Carlos es xLa edad de Pablo es 6xComo la suma es 42:

x + 6x = 42

7x = 42

x = 6

Entonces la edad de Carlos es 6 anos y la de Pablo 36 anos.

4.2. Relacion entre lenguaje cotidiano y lenguaje algebraico

Presentamos una serie de relaciones entre los dos lenguajes.

Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico

Sumar, aumentar, agregar, anadir +Restar, disminuir, diferencia, exceso −Distancia entre dos numeros |x− y|Por, factor, de, del, veces · o ×Dividido, razon, partido, repartido,es a

÷ o / o :

Un numero cualquiera xAntecesor de un numero x− 1Sucesor de un numero x + 1Multiplo de un numero n · x con n ∈ ZDoble de un numero 2yTriple de un numero 3zCuadruple de un numero 4xCuadrado de un numero y2

Cubo de un numero z3

Mitad de un numero, un medio de,el 50 % de

x

2o

1

2x

Tercera parte, un tercio de un nume-ro

x

3o

1

3x

Semi sumax + y

2

Semi diferenciax− y

2

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Otras frases de la aritmetica que podemos generalizar son

Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico

Inverso aditivo de un numero −xInverso multiplicativo de un numero

1

xcon x 6= 0

Numero par 2k con k ∈ ZNumero impar 2k + 1 o 2k − 1 con k ∈ ZNumero de 3 cifras 100a+10b+c con a, b, c dıgitos

5. Nomenclatura algebraica

Se llama expresion algebraica a la representacion de un sımbolo algebraico que tenga una o mas

operaciones algebraicas. Por ejemplo a, a2,√a + b,

(a + b)2

a2 − b2. Dentro de las expresiones algebraicas

podemos identificar las siguientes:

5.1. Termino

Expresion algebraica compuesta por uno o varios sımbolos, pero que no estan separados por suma

(+) ni resta (−). Algunos ejemplos de terminos son x, −2x, 3x2y,12ab

c

Los elementos de un termino son cuatro: el coeficiente, el signo, la parte literal y el grado.

Cabe destacar que podemos identificar dos tipos de grados de un termino: absoluto y con relacion auna letra.

5.1.1. Grado absoluto

Es la suma de los exponentes de los factores literales de un termino. Por ejemplo x y 2y son de primergrado, mientras que 2xy y a2 son de segundo grado.

5.1.2. Grado con respecto a una letra

Es el exponente de un factor literal en particular. Si el termino fuera a2bz3, el grado respecto de a es2, respecto de b es de primer grado y respecto de z es de tercer grado.

Cuando un termino no tiene signo, siempre se asumeque le antecede un signo +. Esto quiere decir que elsigno + es tacito, al igual que el exponente 1 y elındice de una raız cuadrada.

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- Ejercicios 1

Obtener el grado absoluto de los siguientes terminos

1. 3b

2. −12xy2

3. 2ab2c3

4. 11x5az4

5. 18m2r3s7

6. −x11y12z13

Desafıo 1

Escribir un termino de dos factores literales, de grado 3 en relacion a x y de quinto

grado absoluto. Respuesta

5.2. Clasificacion de expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas pueden clasificarse segun el numero de terminos que lo componen.

à Monomio es una expresion algebraica que se compone de solo un termino. Por ejemplo 3x y1

2mn2

à Binomio es una expresion algebraica que se compone de dos terminos. Por ejemplo x + y y1

2mn2 +

√p

à Trinomio es una expresion algebraica que se compone de tres terminos. Por ejemplo 3x +1

2mn2 +

√p

à Polinomio es una expresion algebraica que se compone de 2 o mas terminos. Por lo que un binomioy trinomio son parte de esta clasificacion.

5.3. Orden de un polinomio

Un punto importante es el orden sugerido para escribir un polinomio, el que puede ser creciente y de-

creciente respecto a un factor literal. Por ejemplo, si queremos ordenar el polinomio −3x3 + 5x5 − 2x + x2

de forma decreciente, ordenamos los terminos segun su grado:

5x5 − 3x3 + x2 − 2x

Ahora si lo queremos ordenar de forma creciente:

−2x + x2 − 3x2 + 5x5

Si la expresion algebraica contiene mas de una parte literal debemos fijar el orden respecto de uno

de ellos. Por ejemplo, si ordenamos el termino −6a3b− 5a6 + 8a2b5 − b−7 respecto de a de maneradecreciente obtenemos:

−5a6 − 6a3b + 8a2b5 − b−7

Si ahora lo que queremos es ordenarlo de manera decreciente respecto de b se obtiene:

8a2b5 − 6a3b− 5a6 − b−7

El orden en los polinomios no es un contenido a evaluar en la PSU, pero nos ayuda a ser ordenados ala hora de operar con expresiones algebraicas.

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5.4. Terminos semejantes

Se dice que dos o mas terminos son semejantes si tienen la misma parte literal, esto quiere decir queson la misma letra y estan elevadas al mismo exponente. Algunos ejemplos de terminos semejantes son

a y1

2a; −10b2 y

√3b2; 5x2z y −x2z; tx−1 y −3tx−1

Debemos reconocer que no basta con que tengan iguales letras, por ejemplo 4x2y y 2xy2 no sonterminos semejantes, ya que tienen diferentes potencias.

. Ejemplo

Identificar en el polinomio 0, 4x2y + 31 +3

8xy2 − 0, 6y3 − 2

5x2y − 0, 2xy2 +

1

4y3 − 6 cuales son terminos

semejantes.

Solucion:

Los terminos sin parte literal como 31 y −6 son terminos semejantes.

−0, 6y3 y1

4y3 son semejantes porque tienen la misma parte literal y3, elevada al mismo exponente.

0, 4x2y y −2

5x2y son semejantes porque comparten en comun x2y

3

8xy2 y 0, 2xy2 son terminos semejantes porque tienen en comun xy2

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Desafıos resueltos

3 Desafıo I: Uno de los terminos literales debe ser x en grado 3, es decir, x3. El otro puede sercualquiera, por ejemplo y. Como el termino debe ser de quinto grado absoluto, el segundo factorliteral debe ser de segundo grado respecto de y, es decir y2. El termino finalmente es x3y2 Volver

Bibliografıa

[1 ] Algebra, Edicion 1983, CODICE S.A. Madrid (1983)Dr. Aurelio Baldor.

[2 ] Apuntes para la preparacion de la PSU Matematica, Segunda Edicion, 2009,Pamela Paredes Nunez, Manuel Ramırez.

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