Guía Homotecia (1°A, 1°B, 1°C)

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Objetivo: Resolver situaciones que involucren el concepto y propiedades de la homotecia de manera algebraica y geométrica.

Instrucciones: • El siguiente material, está compuesto por definiciones y ejercicios de la materia de “Homotecia”. •Debe ser resuelta y entregada en las dependencias del liceo, para posterior corrección y retroalimentación.

Homotecia Es una transformación geométrica que afecta a las longitudes de una figura en función de una determinada razón k y un punto fijo O llamado centro de homotecia Para aplicar una homotecia se deben considerar los siguientes elementos:

• Dos figuras, una figura inicial y una semejante a ella. • El centro de homotecia (𝑂), es un punto que se encuentra al trazar todas las rectas que une los

puntos correspondientes a cada vértice de la figura inicial e imagen. • La razón de homotecia (𝑘𝑘) es la razón de semejanza entre la figura imagen y la inicial.

La notación 𝑑(𝑂, 𝐴), corresponde a la distancia que existe entre el centro de homotecia y el punto inicial, o bien, puede o bien, puede aparecer 𝑑(𝑂,𝐴ʹ) que es la distancia entre centro de homotecia y el punto imagen.

Casos Al triángulo ABC se le aplica una homotecia de centro O y razón k, transformándose en el triángulo DEF.

Si k > 1, entonces todas las longitudes se multiplican por k y son mayores en relación al triángulo ABC.

Si 0 < k < 1, entonces todas las longitudes se multiplican por k y son menores en relación al triángulo ABC.

Actividad 1: selección múltiple.

1. Dos figuras son homotéticas: A) si al unir mediante segmentos sus lados correspondientes, estas concurren en un único punto. B) si al unir mediante segmentos sus vértices correspondientes, estas No concurren en un único punto C) si al unir mediante rectas sus lados correspondientes, estas concurren en más de un punto. D) si al unir mediante rectas sus vértices correspondientes, estas rectas concurren en un único punto. E) si al unir mediante rectas sus vértices correspondientes, estas rectas concurren en más de un punto. 2. El punto en donde concurren las rectas de la homotecia, se llama: A) Centro de Homotecia B) Punto de intersección C) Punto ciego D) Constante de homotecia E) Punto de inicio. 3. ¿Cuál de las siguientes alternativas NO es una homotecia de ampliación o reducción?: A) La proyección de una película en el cine. B) El reflejo de un espejo. C) La proyección de una imagen en la retina del ojo. D) La imagen de una cámara al sacar una foto a un paisaje. E) Mirar el punto de fuga de una carretera.

Actividad 2: desarrollo.

1. Se tiene que la homotecia tiene razón 3. Calcular las medidas pedidas.

Si k = − 1, entonces todas las longitudes se mantienen, obteniendo un triángulo DEF congruente a ABC.

Si k < − 1, entonces todas las longitudes se multiplican por |k| y son mayores en relación al triángulo ABC.

Si − 1 < k < 0, entonces todas las longitudes se multiplican por |k| y son menores en relación al triángulo ABC.

2. Dados los siguientes triángulos equiláteros homotéticos.

a. ¿Cuál crees que es el valor de la razón de homotecia? Justifica tu respuesta

b. Un estudiante plantea una estrategia para encontrar el área del triángulo A’B’C’, expresando algebraicamente de la forma.

Donde 𝑘 es la razón de homotecia.

¿Crees que dicha representación algebraica permite encontrar el área del triángulo A’B’C’?. Justifica tu respuesta

3. Dados los siguientes triángulos homotéticos y tabla con la información de la medida de los lados de cada triángulo. Responde.

¿Cuál es la razón de homotecia entre los triángulos A’B’C’ y ABC?

4. En la siguiente figura se observa una homotecia y su razón de homotecia es 2. a. Si el perímetro del ∆𝐴BCes 12 cm,

¿Cuál es el perímetro del ∆𝐴′B′C′?

b. Si el área del ∆𝐴BCes 6c𝑚2, ¿ Cuál es el área del ∆𝐴′B′C′?

5. En la figura, el cuadrilátero ABCD se aplica una razón de homotecia obteniendo el cuadrilátero A’B’C’D’ (utiliza como unidad de medida centímetro).