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I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA ¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…! CÓDIGO: PA-01-01 VERSIÓN: 2.0 FECHA: 19-06-2013 PÁGINA: 1 de 8 Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado:9º Periodo: 3º GUIA # 2 Docente: Duración: 10 HORAS Área: Matemáticas Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR: Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formula y soluciona problemas utilizando procedimientos de funciones exponenciales y logarítmicas. EJE(S) TEMÁTICO(S): FUNCIÓN EXPONENCIAL . *Definición *Análisis gráfica de las funciones exponenciales *Ecuaciones exponenciales FUNCIÓN LOGARÍTMICA *Concepto de logaritmo *Definición de función logarítmica *Análisis gráfico de la función logarítmica *Propiedades de los logaritmos *Ecuaciones logarítmicas *Sistemas de ecuaciones logarítmicas René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés. ORIENTACIONES 1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía (seguir correctamente las instrucciones dadas , 3)Explicación por parte del docente atención y concentración durante las explicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo o individual. leer comprensivamente, orden y pulcritud 5)Socialización del trabajo desarrollado. en el desarrollo de la guía ). 6) Se valorarán todos los momentos de la guía. EXPLORACIÓN Determine la alternativa que continúa en la secuencia de figuras mostradas . CONCEPTUALIZACIÓN

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GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

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CÓDIGO: PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

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Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado:9º

Periodo: 3º GUIA # 2

Docente: Duración: 10 HORAS

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR: Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas

y no matemáticas y para resolver problemas.

Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a

familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formula y soluciona problemas utilizando procedimientos de funciones

exponenciales y logarítmicas. EJE(S) TEMÁTICO(S): FUNCIÓN EXPONENCIAL .

*Definición *Análisis gráfica de las funciones exponenciales *Ecuaciones exponenciales

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

*Concepto de logaritmo *Definición de función logarítmica *Análisis gráfico de la función logarítmica

*Propiedades de los logaritmos *Ecuaciones logarítmicas *Sistemas de ecuaciones logarítmicas

René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.

ORIENTACIONES

1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía

(seguir correctamente las instrucciones dadas , 3)Explicación por parte del docente

atención y concentración durante las explicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo o individual.

leer comprensivamente, orden y pulcritud 5)Socialización del trabajo desarrollado.

en el desarrollo de la guía ). 6) Se valorarán todos los momentos de la guía.

EXPLORACIÓN

Determine la alternativa que continúa en la secuencia de figuras mostradas .

CONCEPTUALIZACIÓN

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FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial se define con una base constante cuyo

exponente es el valor variable, es decir:

f(x) = ax

Con a > 0 y a ≠ 1, x ∊ R

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número

real positivo y distinto de 1, a la función f:R R x →f(x) = a

x

Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee

«exponencial en base a de x».

Recordemos las propiedades de la potenciación

1. a° = 1 , 2.- ,

, 5.- ,

6) a-n

= 1/an

7)

Ejemplos de funciones exponenciales

1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2.

Algunos de los valores que toma esta función, f:R → R

f(-3) = 2-³ = 1/2³ = 1/8 , f(-1/2) = 2

-1/2 = 1/2

1/2 = 1/√2

f(1) = 2¹ = 2 ,

,;

2. La función y = 1/2x es una función exponencial de base 1/2.

Alguno de los valores que toma esta función, f: R → R , son:

f(-4) = 2-4

= 1/24 = 1/16

f(0) = (1/2)° = 1

f(2) = (1/2) ² = ¼

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

y = a x

1.- para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1

2.- para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a

Características de la función exponencial

Son de la forma y=ax, con a>0.

• Su dominio es R y el rango es R+

• Es continua.

• Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1.

• Corta al eje OY en (0,1),porque a0 = 1, y no tiene

intercepto en el eje x,pasa por (1,a)

• El eje OX es asíntota horizontal.

GRÁFICA FUNCIÓN EXPONENCIAL a) Si a > 0, la función es creciente en R

En este caso, para x = 0, y = a° = 1

para x = 1, y = a¹ = a

Para cualquier x, la función es creciente y siempre

positiva

Como caso particular se representa la función y = 2x.

b) Si la función 0 < a < 1, es decreciente en R

Para x = 0, y = a° = 1 Para x = 1, y = a¹ = a Para cualquier x la función es decreciente y siempre

positiva.

Como caso particular se representa la función y = (1/2)x.

RELACIONANDO LAS DOS FUNCIONES

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3.- la función es positiva para cualquier valor de

x: f(x ) > 0.Esto es debido a que la base de la potencia, a, es

positiva, y cualquier potencia de base positiva da como

resultado un número positivo.

4.- Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es

creciente.

5.- Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es

decreciente.

Crecimiento exponencial La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de

crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la

variable es el tiempo.

En el crecimiento exponencial, cada valor de y se

obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a.

Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a

es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.

Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial. Ejemplo.

En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se

multiplica por 2 cada día, ¿cuál es su crecimiento si el peso

inicial es 3 gr?

Aplicaciones

La función exponencial sirve para describir cualquier

proceso que evolucione de modo que el aumento (o

disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea

proporcional a lo que había al comienzo del mismo.

A continuación se ven tres aplicaciones:

• Crecimiento de poblaciones.

• Interés del dinero acumulado.

• Desintegración radioactiva.

Ejemplo.

Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece

anualmente un 3%.

• ¿Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años?

P = 600 ⋅1.038 ≈ 760

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

EXPONENCIALES.

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como

exponente son ecuaciones exponenciales.

No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver

cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a

decidir, en cada caso, qué camino tomar.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos

7) 8) ( )

9)

Ejercicio: solución de ecuaciones exponenciales

1) Resolver = 1/8

SOLUCIÓN:

Expresando 1/8 como potencia de 2: = 1/23

= 2-

- x ² = -3

Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.

1 - x ² = -

2)Resolver

4x+1

+ 2x+3

= 320

SOLUCIÓN:

En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de

variable para su resolución.

Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la

ecuación puede escribirse:

4.4x + 2³·2

x = 320 4.4

x + 8·2

x = 320

Expresando 4x como potencia de dos,

4.2 ².x + 8.2

x = 320

Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 2 ².

x = y

²) y se obtiene: 4 y ² + 8 y = 320

Basta ahora con resolver esta ecuación:

y ² + 2 y - 80 = 0

Peso inicial: 3 gr

Crecimiento: por 2

x f(x)

0 3·1=3

1 3·2=6

2 3·4=12

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resultados y propiedades:

1) ax = a

y x = y 2)

3) am

.an = a

m+ n 4)

5) √

6)

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función inversa de la exponencial

La función logarítmica en base “a” es la función inversa de la

exponencial en base “a”.

( ) con

En la figura se puede ver la inversa de la función exponencial.

Nota:

El logaritmo cuya base es e (número irracional = 2.7183…..)

lo llamamos logaritmo neperiano o logaritmo

natural y se escribe como Ejemplos:

1) ( )

5 10

-10

-5

5

x

y

2) ( )

Se deshace ahora el cambio y = 2x

y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique

esta condición (2x es siempre positivo)

y2 = 8 = 2x

La solución es, por tanto, x = 3 Resolver

Resolución:

Al observar estas gráficas podemos concluir que:

El dominio de la función logarítmica es: ……………..

El recorrido de la función logarítmica es:……………..

Gráfica función logarítmica a) Si a la función es creciente para x > 0.

b) Si 0 < a < 1la función es decreciente para x > 0.

Funciones logarítmicas

Son las que asocian a cada número x su logaritmo en

una cierta base, a, y= logax.

• Su dominio son los reales positivos y el recorrido es IR

• Es continua

• Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1.

• Corta al eje OX en (1,0) y pasa por (a,1)

• El eje OY es asíntota vertical.

Observa que si la base de la función logarítmica es un

número mayor que 1 la gráfica es CRECIENTE y si

0<a<1 es un número menor que 1 la gráfica será es

DECRECIENTE.

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5 10

-10

-5

5

x

y

)

) en particular

si tenemos (ya que la base de ln es e)

)

6)Logaritmo de la raíz . Loga√

=

a b

Logaritmos decimales Son aquellos logaritmos que tienen base 10, el cual al ser

escrito suele omitirse, es decir:

Log10x = log X

log 10 = log 101=1

log 100 = log 102=2

log 1000 = log 103

= 3

log 10000 = log 104

= 4 ,

…etc

Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base

tenemos que recurrir a la fórmula del cambio de

base

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita

aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la

incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza la siguiente

propiedad:

1) Para resolverlas se deben igualas los logaritmos, es

decir, que tengan ambas bases iguales.

Loga b = loga c b= c

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado

por ecuaciones logarítmicas.

Por ejemplo, log x + log y³ = 5

log x/y = 1

b) Si la función es decreciente para… .

a) Si la función es creciente para . …

LOGARITMOS

DEFINICIÓN:

El logaritmo se define como: n= con

, b > 0 y a ≠ 1

Se lee de la forma n es el logaritmo de b en base a.

Ejemplos:

(Si la base no aparece es 10)

PROPIEDADES: ) ( ) ) ( )

Resuelve la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).

solución:

log x² = log 10 + log (x - 0´ 9)

log x² = log [10 (x - 0´ 9)] x ² = 10 (x - 0´ 9)

x² = 10. x - 9 x² - 10 x + 9 = 0

aplicando la fórmula general x= √

x = (10 ± √100 - 4.9)/2 = (10 ± √64)/2 = (10 ± 8)/2 = 5 ±

4

Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1

Ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando

logaritmos

Resolver la ecuación 2x = 57.

Solución:

Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57

x.log 2 = log 57 x = log 57/log 2 x = 1,7558/0,3010

= 5,8332

Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas

1) Resolver el sistema: log x + log y³ = 5

log x/y = 1

Solución:

log xy³ = log 105 xy³ = 10

5

log x/y = log 10 x/y = 10 x = 10.y

10 y4 = 10

5 y

4 = 10

4 y = 10 (El resultado y = -10 no

tiene sentido.)

Como x = 10 y x = 10·10 = 100

APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS A LAS

ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación exponencial puede ser resuelta cuando sus

bases son iguales, cuando no son iguales, se pueden usar

logaritmos para resolver estas ecuaciones.

Ej.: 2 = 3x

Como las bases no son iguales se aplica logaritmo a

ambos lados de la igualdad; log 2 = log 3x

Por propiedad de logaritmo de una potencia: log 2 = x.

log 3

Por otra parte:

log 0,1 = log 10-1 = -1

log 0,01 = log 10-2 = -2

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Ecuaciones con logaritmos

Resuelve la ecuación: 4·logx=2·logx+log4+2

4·logx - 2·logx =log4+log100

2·logx = log400 logx2=log400

x2=400 ⇒ x=±20

Despejando x resulta:

Ejemplo

Representa y estudia las funciones

a) f(x)=2·log3x

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

1.-Determina el valor de x:

a)3log2 x

b)0log5 x

c)2log 3,0 x

d) 2

1log2 x

e)327log x

f)2

4

1log x

g) 2

1

3

1log x

h)x32log2

i)x

81

1log3

j) 2

3log4 x

k) 5

24log x

2)Desarrolla aplicando las propiedades de los logaritmos:

a) log (2ab) b) 4

3log

a

c) 3

2log

2a

d)45log ba

e) ab

2log f) ablog

g)y

x

2log

h) ba2log i) c

ba33log

j) Calcula: log5

3)Calcula el número:

a) cuyo logaritmo en base 6 es 3.

b) cuyo logaritmo en base 4 es -3.

c) cuyo logaritmo en base 10 es 2.

d) cuyo logaritmo en base 1/2 es -3.

e) cuyo logaritmo en base 1/5 es 2.

4)Representa y estudia las funciones

a) f(x)=4·2x

b) f(x)=2·3-x

+1

a) f(x)= =log3 x +1

5)Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a) 32-9x+9

=16 b) 272x+3

=93

c) 4-3x+8

=8 d) 98x-7

=1

e) 25-5x-5

=1

6)Aplicando las propiedades de los

logaritmos resuelve las ecuaciones:

a) log(32+x2) – 2·log(4-x) = 0

b) 2·logx – log(x-16) = 2

10)El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por

cada 30 minutos. Si suponemos que el cultivo tiene

inicialmente 5 millones de bacterias,¿dentro de cuántas

horas tendrá 320 millones de bacterias?.

11)En qué se convierte al cabo de 15 años

un capital de $ 230000 al 5,5% anual?

12)¿Para qué valores de x la función indicada es

decreciente?:

a) f(x)=

b) f(x)= - -

13)Calcula x en cada caso aplicando la definición de

logaritmo:

f) log1/81=x c) log381=x g) log1/525=x

d) log3(1/9)=x h) log1/2(1/16)=x

14)Representa y estudia las funciones

a) f(x)= =log3x +1

15. ¿Cuál es el área de los rectángulos de la figura?

Área = base x altura

16. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación

Dominio=(0,+∞)

Recorrido=

Asíntota: x=0

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c) logx2 – log

= -2

d) 2)16log(log2 xx

e) 10

log3log2x

x

7) Solucionar el sistema:

log x + log y = 2

x - y = 20

8)Construye una tabla de valores de una función

exponencial en cada caso y escribela expresión algebraica.

a) f(-2)=2/9, y constante de crecimiento 3

b) f(0)=3, y constante de decrecimiento ¼

9)Calcula en cuánto se convierte un capital de $ 900000

colocado al 4,5% anual durante 3 años.

5x +

5x +1

+ 5x +2

= 155?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 1/3

E) -3

17. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) El logaritmo de 1 en cualquier base, siempre es 0.

B) x. loga ax = x

2

C) La base de un logaritmo no puede ser negativa

D) El logaritmo de una suma es el producto de los

logaritmos

E) El logaritmo de un cociente es la diferencia de los

logaritmos

SOCIALIZACIÓN

1) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas.

3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes.

5) Revisión de corrrecciones. 6) Revisión del trabajo desarrollado

COMPROMISO

1)Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 112 x

2) 215 1 x

3) 6.12334 xe

4) 1255 2 x

5) 64222 11 xxx

2)Resolver la ecuación

3.log x - log 32 = log x/2

3)Reduce a un solo logaritmo

a) log a + log b

b) log x – log y

c) yx log2

1log

2

1

d)

4)Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2

5)Resolver la ecuación = 1/40

6)Resolver 4³.x = 8

x + 6.

7)Desarrolla aplicando las propiedades de los logaritmos:

a)log (2ab) = log 2 + log a + log b

b)43

4

3logaloglog

alog

c)blogalogbalog 4545

8)

Resolver el sistema: 2

x + 2

y = 24

2x.2

y = 128

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ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

YAIRA RINCON

ALEXANDRA URIBE

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

19 06 2014 19 06 2014