GUÍA DE ESTUDIO CÁLCULO DIFERENCIAL …...I.- Derivar las siguientes funciones algebraicas. 1. y...

Prof. ALBERTO ALAVEZ CRUZ Página 1

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS

“CUAUHTÉMOC”

GUÍA DE ESTUDIO

CÁLCULO DIFERENCIAL

FUNCIONES

I.- Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

1. 0102 x Sol. 5x

2. 0205 x Sol. 4x

3. 3253 xx Sol. 8x

4. 10524 xx Sol. 2x

5. 10372 xx Sol. 3x

6. 3639 x Sol. 31 x

7. 64

731

x Sol. 13 x

8. 613

2 x

Sol. 153 x

9. 2x Sol. , 22 xx

10. 10x Sol. ,1010,

11. 52 x Sol. 7,3

12. 12

37

x Sol.

3,

3

5

13. 25

32

x Sol.

2

7,

2

13

14. 0322 xx Sol. ,31,

15. 0792 2 xx Sol.

2

7,1


II.- Hallar el dominio y el contradominio de las siguientes ecuaciones e indicar si

corresponde a una función. Graficar.

1. 92 xy 2. 2522 yx 3. xy 2

4. xxy 62 5. 1 xy 6. xy 4

7. 216 xy 8. 252 xy 9. 4

2

xy

10. 5

92

x

xy 11. 2 xy

III.- Operaciones con funciones:

1.- Dado 2045)( 23 xxxxf , demostrar que

15732005121 - f , ff - , f , f f

2.- Si 2211024 42 - , f , f- , f , f, f x x - xf

3.- Si cos2)( senF , hallar )(),2/(),0( FFF

4.- Dado 622 y-yyf , demostrar que 22 1262 h)h(y-y- y hyf

5.- Dado xxxf 33 , demostrar que 322 313 hxhhxx-fhxf

6. )+(=)()( quedemostrar ,=)( Si v zyzyax

7.

yz

zyzy

x

xx

+1

+=)(+)( quedemostrar ,

+1

-1log=)( Si

8. 0hallar1Sea 23 ,hh

)F(x+h)-F(x , x F(x)=x

9. 0hallar1

1Sea

, h

h

f(x)h)f(x ,

x+ f(x) =

LÍMITES

I. Hallar los siguientes límites:


1.

)32(lim1

xx

Sol. 5

2.

)153(lim 2

0xx

x Sol. 1

3.

)143(lim 23

1xxx

x Sol. -7

4.

)256(lim 4

4x

x Sol. 0

5.

)3)(3(lim 22

3xx

x Sol. 72

6.

1

2lim

2

2

3 y

yy

y Sol.

10

3

7.

)4

1(lim 2

2

1x

x

Sol. 0

8.

9

27lim

2

3

3 x

x

x Sol. 0

9.

1

153lim

2

0 x

xx

x Sol. 1

10.

x

x

x 2

2lim

2 Sol. 0

11. =xx

xxx

x 23

24lim

2

23

0

Sol.

2

1

12.

2012

65lim

2

2

2 xx

xx

x Sol.

8

1

13.

2

4lim

2

2 x

x

x Sol. 4

14.

1

1lim

3

1 x

x

x Sol. 3

15.

253

103lim

2

2

2 xx

xx

x Sol. 1


16.

9157

4521lim

23

23

3 xxx

xxx

x Sol. 4

17.

qqx

ppx

x 22

22

0lim Sol.

p

q

18.

h

xhx

h

33

0

)(lim Sol. 23x

19.

x

xx

x

11lim

2

0 Sol.

2

1

20.

x

x

x

11lim

0 Sol.

2

1

21.

22

312lim

4 x

x

x Sol.

3

22

22.

1616173

810112lim

23

23

4 yyy

yyy

y Sol.

4

3

23.

32

54lim

x

x

x Sol. 2

24.

742

356lim

3

23

xx

xx

x Sol. 3

25.

124

132lim

3

4

xxx

xx

x Sol.

26.

2

105lim

2

x

xx

x Sol.

27. =yyy

y

y 132

74lim

23

2

Sol. 0

28.

33

322

234

23lim

hxxh

hxxhh

h Sol.

x2

1


29. Dada f(x) = x2, hallar

x

xfxxf

x

)()(lim

0 Sol. x2

30. Dada S(t)=So + Vo t + ½ at2, hallar

t

tSttS

t

)()(lim

0 Sol. atVo

31. Dada f(x) = x3 + 2x2 + 5x +1, hallar

h

xfhxf

h

)()(lim

0 Sol. 543 2 xx

32. Dadax

xf1

)( , hallar

h

xfhxf

h

)()(lim

0 Sol.

2

1

x

33. Dada xxf )( hallar

Δx

f(x)Δx)f(x

Δx 0lim Sol.

x2

1

34. Dada nxxf )( , hallar

h

f(x)h)f(x

h 0lim Sol. 1nnx


REGLA GENERAL DE LOS CUATRO PASOS

I. Mediante la regla general de los cuatro pasos, verificar la derivada de las siguientes

funciones:

1. 2rA = Sol. rdr

dA2

2. 2

2

1atVotS Sol. atVo

dt

dS

3. 257)( xxf Sol. xxf 10)(

4. 3

3

4rV Sol. 24 rV

5. 123 tttS Sol. 123 2 ttS

6. x

xy

1

1 Sol.

2)1(

2

xy

7. 2

1

xy Sol.

2)2(

1

xy

8. dct

batS

Sol.

2)dct

bcadS

(

9. 52 xy Sol. 52

1

xy

10. 12 xy Sol. 12

x

xy

II. En los siguientes ejercicios, hallar y usando los valores de 1x y 2x dados:

11. 51153 21 .= , x , xx y Sol 5.1y

12. , , 1.225 212 xxxxy Sol. 91.0y


13. 712152 2123 . , x , xx+x+xy Sol. 367.2y

14. 3.3 , 3 , 1

= 212 xx

xy Sol. 0192.0y

15.- Un disco metálico de radio r =20cm. es expuesto al calor del Sol y su radio aumenta a

1.20r cm. , hallar el incremento en el área del disco. Sol. 01.4A cm2.

16.- Una bala de cañón de radio 10r cm. por efecto del calor, incrementa su radio 2.10

cm. Hallar el incremento en su volumen. Sol. 61.81V cm3

17.- Un cubo metálico por efecto de la temperatura, cambia cada uno de sus lados de 10 a

10.1cm. ¿Cuál es el incremento en su volumen?

Sol. 301.30V cm2

En los siguientes problemas, hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta

tangente a la curva en el punto indicado.

18. )3 ,2( ; 532 Pxxy Sol. 45,1 m

19. )8 ,3( ; 123

23

Pxx

y Sol. 562108,3 m

20. )1 ,2( ; 1

1P

xy

Sol. 135,1 m

21. )2 ,6( ; 2 Pxy Sol. 01214,4

1 m

DERIVADAS ALGEBRAICAS

I.- Derivar las siguientes funciones algebraicas.

1. 234 254 xxxy Sol. xxxy 41516 23

2. xxxy 41516 23 Sol. 43048 2 xxy

3. 2

3

xy Sol.

2)2(

3

xy


4. t

ctbtas

2 Sol.

2

3

22

tc

t

b

tt

as

5. ax

aaxy Sol.

axx

a

ax

ay

22

6. 32)32()( ttf Sol. 22)32(18)( tttf

7. 22

1

xay

Sol.

2/322 )( xa

xy

8. 5/3)52()( f Sol. 5/2)52(

3)(

f

9. bxaxy Sol. bxa

bxay

2

32

10. x

xay

22 Sol.

222

2

xax

ay

11. cx

cxy

1

1 Sol.

221)1( xccx

cy

12. t

btas

Sol.

btat

btas

22

2

13.- xxy 252 Sol. 225

)2(5

x

xxy

14.

3 bar

Sol.

3 22 )(3

23

ba

bar

15. 2)2( 22 xxy Sol. 2

8883

2

23

x

xxxy

16. 3372

32

ts Sol.

3432 3232

4// t)(t)(

s

17. )23)(12( xxxy Sol. )19(2 2 xxy

18. )36)(12( 2 xxxy Sol. 12266 2 xxy

19. 22

42

xb

xy

Sol.

)(

)2(422

223

xb

xbxy

20. 2

3

1)(

t

ttf

Sol.

22

22

)1(

)3()(

t

tttf


21. 3

)4()(

2

s

ssf Sol.

2)3(

)4)(2()(

s

sssf

22. 2

12

3

xx

xy Sol.

22

234

)2(

1262

xx

xxxxy

23. xaxay )( Sol. xa

xay

2

3

24. x

xy

1

1 Sol.

21)1(

1

xxy

25. 2

2

1

12

xx

xy

Sol.

322

2

)1(

41

xx

xy

26. xxxy Sol.

xxxxxxy

2

11

2

11

2

1

II.-Emplear la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones:

1. , 143 235 xxxuuy Sol. )463(5 24 xxuy

2. xuuy 454 , Sol. x

uy

4

8 3

3. 211

1xu

u

uy

, Sol.

2)1(

2

uu

xy

4. xxxuu

y 841 24 , Sol. )884(

2

1 3 xxu

y

5. , 1

1

x

xuuy Sol.

2)1(

1

xuy

6. xxuuuy - , 322 Sol. 132

2

1 Sol. 2

xu

u

7. xb

xbu

ua

uay

, Sol.

22)(

4

xbua

aby

III.- Derivar las siguientes funciones implícitas.

1. 222 ryx Sol. y

xy


2. 222222 bayaxb =- Sol. ya

xby

2

2

3. ayx =+ Sol. x

yy

4. 3/23/23/2 ayx =+ Sol. 3x

yy

5. 03 33 yaxyx Sol. 2

2

yax

xayy

6. 3323 3 ayyxx = Sol. 22

2 2

yx

xyxy

7. 204 434 y +yx+x Sol. 33

23 3

yx

yxxy

8. 6y

x

x

y Sol.

x

yy

9. 12 22 yxyx Sol. xxyy

yxyxy

2

2

10. 62 22 yxyxx Sol. 28

34

xxyy

xyxyxy

IV. En las siguientes funciones, hallar la derivada que se indica

1. 2

2234 1623

dx

ydxxxxy ; Sol. 121236 2

2

2

xxdx

yd

2. yxy ; 5 3 Sol. 5

12

125

42 xy

3. yx

Cy

n ; Sol.

2

)1(

nx

Cnny

4. yxay ;22 Sol.

2222

2

)( xaxa

ay

5. yx

xy

;

1

3

Sol. 4)1(

24

xy


6. 2

22

dx

yd

xa

xy ;

Sol.

3

2

2

2 2

xa

a

dx

yd

7. 2

2

12 dt

sd

t

ts ;

Sol.

2/52

2

12

2

t

t

dt

sd

8. 2

233 1

dx

ydyx ; Sol.

52

2 2

y

x

dx

yd

9. 2

24224 ;2

dx

ydayxx Sol.

32

4224

2

2 2

yx

xyxy

dx

yd

10. 2

222 12

dx

ydbycxyax ; Sol.

3

2

2

2

bycx

abc

dx

yd

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

I. Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1.- ts 2cos= t

tsens

2cos

2= Sol.

2.- 3 tan3= 3

2

2

)3(tan

3sec Sol.

y

3.-

cos1

sen=

cos1

1 Sol.

4.-3

3 asenr 3

cos3

Sol. 2

asen

d

dr

5.-senx

senxy

1

1

2)1(

cos2 Sol.

senx

xy

6.- tantan 1/3= 3 4tan Sol.

7.-

22

2cos1

xay

2cos

22 Sol. 3 xx

aseny

8.-x

xy

sec

1tan xsenxy cos Sol.


9.-xxsen

xxseny

cos

cos

2) cos (

2 Sol.

xxseny

10.- )cos()( axaxseny )(2cos Sol. axy

11.- ttseny cos3 )cos3( Sol. 222 tsenttseny

12.-senx

senxy

1

1

senxy

1

1 Sol.

13.- )cos()()( aasenf 2cos)( Sol. f

14.-1tan

1tan

x

xy

2

2

)tan1(

sec2Sol.

x

xy

15.- 2cot)( xxxf )csc(cotcot2)(Sol. 2 xxxxxxf

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

I.-Hallar la derivada de las siguientes funciones

1.-a

xarcseny

22

1 Sol.

axy

2.-2)(arcsenxy

21

2 Sol.

x

arcsenxy

3.-21

2arctan

x

xy

21

2 Sol.

xy

4.- )arccos( 2xy 41

2 Sol.

x

xy

5.-x

xy

arccos

22

2

1

)arccos1( Sol.

xx

xxxy

6.-2

1

xarcseny

221

1 Sol.

xxy

7.-a

xarcsenaxaxy 222 222 Sol. xay

8.-av

avy

1arctan

21

1 Sol.

vy


9.- senxarcsenxf )( xsensenx

xy

22

cos Sol.

10.-

22

a

aarcsenr

2

22

Sol.

a

d

dr

11.- 221cos xaxa

xarcay

x

xaxy

22Sol.

12.-a

xarcaaxy sec 22 Sol.

x

axy

22

13.- x

xarcy

1

22csc

2

Sol.21

1

xy

14.- xba

xaby

cos

cosarccos

Sol.

xba

bay

cos

22

DERIVADAS LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

Aplicando las fórmulas correspondientes, verificar las siguientes derivadas.

x

xy

1

1ln.1 Sol.

21

2

xy

)ln( -2. 2 xxy Sol.xx

xy

2

12

xy 3ln -3. Sol.x

xy

2ln3

) 1ln( -4. 2xxy Sol.21

1

xy

x

xy

1

1ln -5. Sol.

21

1

xy

xx

xxy

1

1ln.6

2

2

Sol.21

2

xy

x

xaaaxay

2222 ln -7.

Sol.

x

xay

22

2tanln

2

1

2

cos.8

2

x

xsen

xy Sol.

xseny

3

1

)ln(ln.9 xy Sol.xx

yln

1


)ln( -10. xaaxy Sol.)(2

32

xax

xay

32.11 xey Sol.

322 xey

xxy 22

7-12. Sol. xxxy 22

7)1(2

xaey .13 Sol. xe

x

ay

2

)1( -14. 2xey x Sol. )21( 2xxey x

1

1.15

x

x

e

ey Sol.

2)1(

2

x

x

e

ey

x

x

e

ey

1ln -16. Sol.

xey

1

1

senxey x ln -17. Sol. )ln(cot senxxey x

senxxy .18 Sol.

xx

x

senxxy senx lncos

RAZÓN DE CAMBIO

La posición de una partícula sobre una recta horizontal está determinada por la función

dada. Hallar: a) la velocidad media en el intervalo de tiempo indicado, b) la velocidad

instantánea y c) la aceleración de la partícula en el instante t.

1.- 3 , 0,5 , 1123)( 2 ttttS Sol. a) 3, b) 6, c) 6

2.- 1 , 1,4 , 4

)( tt

ttS Sol. a) 0, b) -3, c) 8

3.- 2 , 1,3 , 6-2)( 23 ttttS Sol. a) 2, b) 0, c) 12

4.- 3 , 2,5 ; )2()1()( 2 ttttS Sol. a) 16, b) 8, c) 10

5.- 4 , 1,9 , 4)( ttttS Sol. a) 0, b) 0, c) 9/8

6.- La altura h, sobre el nivel del suelo, de una pelota que se deja caer desde la parte

superior de la Torre Eiffel, está dada por h (t) = - 4.9t2 +320.75, donde h se mide en metros

y t en segundos.

a) Determinar la altura de la pelota cuando t = 2 s.


Sol. 300.4 m

b) Hallar el tiempo que tarda en caer al suelo.

Sol. 8.09 s

c) Determinar la altura de la torre.

Sol. 320.75 m

d) Encontrar la velocidad instantánea de la pelota cuando t = 4 s.

Sol. -39.2 m/s

e) Hallar la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo. Sol. -79.2 m/s

7.- La altura de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo está dado por

ttth 25616)( 2 , en donde S se mide en pies y t en segundos.

a) Determine la altura del proyectil cuando t = 2 s. Sol. 448 m

b) Demuestre que es cero la velocidad media entre t = 7 s y t =9 s. Interprete físicamente.

c) ¿En qué instante choca el proyectil contra el suelo? Sol. 16 s.

d) ¿Cuál es la velocidad de impacto? Sol. -256 pies/s

e) ¿Cuál la altura máxima que alcanza el proyectil? Sol. 1024 pies

8.- El gas de un globo esférico se escapa a razón de 3cm 1000 por minuto. En el instante en

que el radio es de 25 cm. a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio?,b) ¿Con qué rapidez

disminuye el área de la superficie?

Sol. - 0.127 cm / min

9.- El ancho de un rectángulo es la mitad de su longitud. ¿Con qué rapidez aumenta su

área si su ancho mide 10 cm y aumenta 0.5 cm/s?

Sol. /scm20 2

10.- Un persona de 1.5 m de estatura, corre con una velocidad de 3 m/s, alejándose de un

poste de alumbrado que tiene una altura de 9 m. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de


su sombra sobre el suelo cuando la persona se encuentra a 10 metros de la base del poste de

alumbrado?

Sol. 0.6 m/s

11.- Un papalote se desplaza en el aire horizontalmente a una altura de 100 metros y a

razón de 0.5 m/s, alejándose de la persona que sostiene la cuerda del papalote, al nivel de

piso. ¿A qué razón se está soltando cuerda cuando ya se soltaron 250 metros de ella?

Sol. 0.458 m

12.- Una escalera de 41 pies de longitud ha sido apoyada contra un muro vertical. La

escalera ha comenzado a resbalar de modo que su tope se desliza hacia abajo del muro

mientras su base se mueve sobre el suelo a una velocidad de 10 pies/s. ¿Con qué rapidez se

mueve el tope de la escalera cuando está a 9 pies sobre el suelo? Sol. -44.44 pies /s

13.- Una sonda climatológica se eleva verticalmente y está siendo observada desde un punto

en el suelo a 300 metros del punto que está directamente debajo de la sonda. ¿A qué razón

se eleva ésta, cuando el ángulo formado por el suelo y la línea visual del observador es 40 y

aumenta 2 por segundo?

Sol. 17.84 m /s

14.- Un aeroplano vuela en dirección horizontal a una altura de 3 millas, con una velocidad

de 480 mi/h y pasa directamente arriba de un observador en el suelo. ¿Con qué rapidez

aumenta la distancia del observador al aeroplano 30 segundos más tarde?

Sol. 384 mi /h

15.- Un recipiente de agua tiene la forma de un cono truncado con una altura de 2 pies y

radios de la base inferior y superior 6 y 12 pulgadas respectivamente. El agua está

escapando del recipiente a /minin 10 3. ¿A qué razón baja el nivel del agua cuando su

profundidad en el recipiente es de 1 pie?. El volumen del cono truncado es

22 3

1RrRrhV .

Sol. -0.039 pul /min

17.- Una alberca mide 30 metros de largo por 20 de ancho. Su profundidad varía

uniformemente desde 1metro en el extremo poco profundo hasta 3 metros en el más hondo.

Suponga que se llena la alberca a razón 2000 litros/min. ¿A qué razón aumenta la

profundidad del agua en el extremo hondo cuando es de 2 m?

Sol 0.003 m /min


18.- Está cayendo arena de una tolva a razón de /spies 120 3 . La arena que cae forma una

pila cónica sobre el suelo, además la altura del cono es siempre 1/3 del radio de su base

.¿Con qué rapidez aumenta la altura cuando la pila mide 20 pies de altura? Sol. 0.033 pies /s

RECTA TANGENTE Y NORMAL

Dado el punto de tangencia T, obtener las ecuaciones de la recta tangente y la recta

normal, así como las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal.

1. T(2,-6) ,36 2xy Sol. 066 yx , 0386 yx , 37 , 376 ,1,36

2. )T(1,1 , 132 23 xxxy Sol. 012 yx , 032 yx ,2

5, 5 ,

2

1,2

3. T(5,5) , 5xy Sol. 052 yx , 0152 yx , 55 , 52

5,10,

2

5

4. T(3,5) , 42

13

x

xy Sol. 03127 yx , 02972 yx ,

7

535,

2

535,

7

10,

2

35

5. T(2,1/2) , 1

xy Sol. 044 yx , 01528 yx ,

2

17,

8

17,2,

8

1

6. T(2,3) , 7249 22 yx Sol. 01223 yx , 0532 yx , 13 , 2

133, 2,

2

9

7. T(4,3), 25=+ 22 yx Sol. 02534 yx , 043 yx ,4

15, 5,

4

9, 4

8. T(1,-2) , 0=4+ 4- 2+2 xyy Sol. 02 yx , 052 yx , 5 , 52 , 1, 4

9. T(9,6),)1(2 3/2 xy Sol. 093 yx , 0333 yx , 106 , 102 , 18, 2

10. T(1,0) , ln xy Sol. 0 yx , 0 yx ,0, 0, 0, 0

11. T(3,-2) , 0=2+2yxy Sol. 042 yx , 072 yx , 5 , 52 , 1, 4


12. T(3,2) , 162 22 yxyx Sol. 03210 yx , 01710 yx ,5

101, 1012 ,

5

1, 20

13.- Hallar las ecuaciones de las tangentes al círculo 5822 yx que son paralelas a la

recta 01973 yx . Sol. 05873 yx , 05873 yx

14.- Hallar las ecuaciones de las normales a la hipérbola 364 22 yx paralelas a la recta

0452 yx . Sol. 05052 yx , 05052 yx

15,- Hallar las ecuaciones de las dos tangentes a la elipse 724 22 yx que pasan por el

punto (4,4) Sol. 0122 yx , 06014 yx

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Dadas las siguientes funciones, hallar los intervalos en donde es creciente o decreciente.

1.- 14)( xxf Sol. Creciente en ,

2.- 22)( xxf Sol. Decreciente en ,

3.- 54)( 2 xxxf Sol. Decreciente en 2,

Creciente en ,2

4.- 22)( 2 xxxf Sol. Creciente en 1,

Decreciente en ,1

5.- xxxxf 102

3

3

1)( 23 Sol. Creciente en ,52,

Decreciente en 5,2

6.- 31292)( 23 xxxxf Sol. Creciente en ,21,

Decreciente en 2,1

7.- 112

1)( 3 xxxf Sol. Creciente en ,22,

Decreciente en 2,2

8.- 106)( 24 xxxf Sol. Creciente en ,30,3

Decreciente en 3,03,

9.- 3223)( xxxf Sol. Creciente en ,22,1

Decreciente en 1,33,


10.- xsenxf )( , 20 x Sol. Creciente en

2,

2

3

2,0

Decreciente en

2

3,

2

11.- xexf )( Sol. Creciente en ,

Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.

12.- 154)( 2 xxxf Sol. Cóncava en ,

No hay puntos de inflexión

13.- 142)( 2 xxxf Sol. Convexa en ,

No hay puntos de inflexión

14.- 164)( 234 xxxxf Sol. Cóncava en ,11,

Punto de inflexión en 2,1

15.- 196)( 23 xxxxf Sol. Cóncava en ,2 ,convexa en 2,


16.- 373)( 23 xxxxf Sol. Cóncava en ,1 ,convexa en 1,


17.- 3)1()( xxf Sol. Cóncava en ,1 ,convexa en 1,


18.- 1

2)(

2

xxg Sol. Cóncava en

,

3

1

3

1, ,

Convexa en

3

1,

3

1

Punto de inflexión en

2

3,

3

1

19.- 4

)(2

x

xxf Sol. Cóncava en ,120,12 ,

Convexa en 12,012,

Puntos de inflexión en

8

3,12 ,

8

3,12

20.- Si 23)( bxaxxf , determine a y b de manera que la gráfica de )(xf tenga un punto de

inflexión en (1,2). Sol. 3,1 ba


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

I.- Dadas las siguientes funciones, hallar: a) los valores críticos, b) los máximos y mínimos

relativos, c) la gráfica.

1.- 3159)( 23 xxxxf Sol. Mínimo en )22,5(

Máximo en )10,1(

2.-32 231210)( xxxxf Sol. Mínimo en )10,2(

Máximo en )17,1

3.- 20152)( 23 xxxxf Sol. Mínimo en

27

940,

3

5

Máximo en 16,3

4.- 1+2-)( 24 xxxf Sol. Mínimo en 0,1

Mínimo en 0,1

Máximo en 1,0

5.- 81243)( 234 xxxxf Sol. Mínimo en 3,1

Máximo en 8,0

Mínimo en 24,2

6.- 154)( 23 xxxxf Sol. Mínimo en

27

77,

3

5

Máximo en 3,1

7.- 1223

)(23

xxx

xf Sol. Mínimo en

3

7,2

Máximo en

6

13,1

8.-23

23)(

2

2

xx

xxxf Sol. Mínimo en

2

234,2

2

Máximo en

2

234,2

2

9.- 32 )1()2()( xxxf Sol. Mínimo en

3125

26244,

5

4

Inflexión en 0,2

Inflexión en 0,1


10.-22 )()( xaxxf Sol. Mínimo en 0,a

Máximo en

16,

2

4aa

11.-3/2)1(2)( xxf Sol. No hay máximos

No hay mínimos

12. xxxxf 21601253)( 35 Sol. Mínimo en 3834,3

Mínimo en 3712,4

Máximo en 3712,4

Máximo en 3834,3

13.- xxxxf 60253)( 35 Sol. Mínimo en 38,1

Mínimo en 16,2

Máximo en 16,2

Máximo en 38,1

14.- xxxf 1)( Sol. Máximo en

4

5,

4

3

15.-xx eexf )( Sol. No hay máximos

No hay mínimos

II.- Aplicaciones de los máximos y mínimos

1.- Dividir el número 100 en dos partes, tales que su producto sea máximo.

Sol. 50, 50

2.- Con una hojalata cuadrada de lado a es preciso hacer una caja abierta por arriba que tenga el

volumen máximo. Se recortan cuadrados en las esquinas de la hojalata y se doblan las salientes

para formar el cajón. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados recortados?

Sol. 6

a

3.- Demostrar que de todos los rectángulos que puedan inscribirse en un círculo de radio r, el

cuadrado tiene el área máxima. Demostrar que el cuadrado tendrá también el perímetro máximo.

Sol. Lado del cuadrado: r2

4.- Demostrar que de todos los triángulos isósceles inscritos en un círculo de radio r, el triángulo

equilátero tiene el perímetro máximo. Sol. Lado del triángulo: r3


5.- Hallar las dimensiones de un cilindro recto de volumen máximo, inscrito en una esfera de

radio R.

Sol. Rr3

2 , Rh

3

2

6.- Hallar las dimensiones de un cono recto de volumen mínimo, circunscrito alrededor de una

esfera de radio R.

Sol. Rr 2 , Rh 4

7.- El interior de un recipiente con el fondo cuadrado y abierto por arriba debe revestirse con

plomo. Si el volumen del recipientes igual a 32 litros, ¿cuáles deben ser sus dimensiones para

que sea mínima la cantidad de plomo?

Sol. base: 40cm x 40 cm.

altura: 20 cm.

8.- Un barco se encuentra anclado a 9 km de un punto “P” más próximo a la costa. Es preciso

enviar un mensajero a un campamento situado a 15 km del punto “P”a lo largo de la costa. El

mensajero, andando a pie, hace 5km/hora y remando, 4km/h. ¿A qué distancia del punto “P”,

sobre la costa, debe desembarcarse el mensajero para llegar al campamento en el menor tiempo

posible?

Sol. 12 Km

9.- Se desea cortar un segmento de una hoja circular de radio R. Este segmento debe ser tal que

al enrollarlo se obtenga un embudo de capacidad máxima. Hallar las dimensiones del cono.

Sol. 3

Rh ; Rr

3

2

10.-Un pabellón deportivo cubierto, consta de una zona rectangular y un semicírculo en cada uno

de sus extremos. Si el perímetro del pabellón ha de ser una pista de 200 metros, calcular las

dimensiones que hacen máxima el área de la zona rectangular.

Sol. largo: 50 m ; ancho:

100m

11.- Una página ha de contener 30 pulgadas cuadradas de texto. Los márgenes superior e inferior

son de 2 pulgadas y los márgenes laterales de 1 pulgada. Hallar las dimensiones de la página que

ahorra más papel.

Sol. Largo: 1522 pulgadas; ancho: 152 pulgadas

12.- Una viga de madera tiene sección rectangular. La resistencia de la viga es directamente

proporcional a la anchura w y al cuadrado de la altura h. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga

más resistente que puede cortarse de un tronco de 24 pulgadas de diámetro?

Sol. Largo: 68 pulgadas; ancho: 38 pulgadas.


13.- Un envase de lata en forma de cilindro circular recto, deberá tener un volumen de 16 cm3

¿Cuál debe ser el radio r y la altura h del cilindro para minimizar su área total (incluyendo tapa y

fondo).

Sol. 2r cm ; 4h cm

14.- La iluminación de una lámpara es directamente proporcional a su intensidad e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia a la lámpara. Dos lámparas de intensidades I1 e I2 están

separadas por una distancia d. ¿En qué punto del segmento recto que las une es mínima la

iluminación?

Sol. A una distancia: 3

23

1

31

II

dI

a partir de 1I

15.- El metal usado para hacer la tapa y el fondo de una lata cilíndrica cuesta 4 centavos por

cm2, mientras que el de los lados cuesta 2 centavos por cm2. El volumen de la lata será de 1000

cm3. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lata para minimizar su costo?

Sol. 32

5

r , 32

20

h

GUÍA DE ESTUDIO CÁLCULO DIFERENCIAL …...I.- Derivar las siguientes funciones algebraicas. 1. y...

Documents

Transcript of GUÍA DE ESTUDIO CÁLCULO DIFERENCIAL …...I.- Derivar las siguientes funciones algebraicas. 1. y...