GUÍA DE ACTIVIDADES Nº 3 - CEITBA

Instituto Tecnológico de Buenos Aires Física III

1

GUÍA DE ACTIVIDADES Nº 3

1.- Exámenes rápidos: Capítulo 4: 4.1 – 4.2 – 4.3 – 4.4 – 4.5. Capítulo 6: 6.5. Nota: Las respuestas de los denominados exámenes rápidos se encuentran en uno de los apéndices. 2.- Preguntas: Capítulo 4: Objetivas 1 – 4 – 9 – 13. ; Conceptuales: 1 – 4 – 5. Capítulo 6: Objetivas 7. ; Conceptuales: 6. 3.- Ejemplos resueltos: Capítulo 4: 4.1 – 4.2 – 4.3 – 4.4 – 4.5 – 4.6 – 4.7 – 4.8. Capítulo 6: 6.8 – 6.9 – 6.10 – 6.11. 4.- Problemas: 4.1.- Dos pequeñas esferas de metal de radios a y b y cargas +q y -q respectivamente, están separadas por una distancia c de sus centros. Calcular la capacidad del condensador. Suponer c > a y c > b. ¿Esta suposición es suficiente? ¿Hay que hacer otras? ¿Porqué es/son necesaria/s hacerla/s? Demostrar que conforme c se aproxima al infinito, el resultado de la capacidad del condensador se reduce al que se obtiene para dos condensadores esféricos en serie.

Rta: C

a b c

=+ −

41 1 2

0πε

4.2.- En la figura, cada capacitor C3 = 3µF y cada C2 = 2µF. a) Calcular la capacidad equivalente de la red comprendida entre los puntos a y b. b) Hallar la carga de cada uno de los capacitores, cuando la diferencia de potencial Vab = 900 V. c) Calcular Vcd = cuando Vab = 900 V. Rta: a) 1 µF b) q1 = 900 µC ; q2 = 600 µC ; q3 = 300 µC; q4 = 200 µC ; q5 = 100 µC ; q6 = 100 µC ; q7 = 100 µC ; q8 = 300 µC ; q9 = 900 µC c) 100 V. 4.3.- Los capacitores de la figura están inicialmente descargados y se hallan conectados como indica el esquema, con el interruptor S abierto. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial Vab ? b) ¿Y el potencial del punto b después de cerrado el interruptor S? c) ¿Cuánta carga pasa a través de la llave cuando esta se cierra? Rta: a) 66,67 V b) 100 V c) 300 µC de a hacia b.


2

4.4.- Dos capacitores C1 = 1µF y C2 = 2µF, inicialmente descargados, se conectan en serie a una fuente de 1.200V. a) Encontrar la carga y la diferencia de potencial entre placas de cada capacitor. b) Los capacitores ya cargados se desconectan de la línea y también entre si, y se vuelven a conectar entre ellos con los terminales de igual signo unidos. Calcular la carga final y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno. Solución: a) Por estar conectados en serie resulta:

q1 = q2 = q y entonces 1 1 1 2

35 1 25

1 2

1 25C C C

CC C

C CC F= + ⇒ =

+⇒ =

.µ

Pero q = C5V ⇒ q = 800µC, ésta es la carga que recibe cada capacitor.

Los potenciales V1 y V2 son:

VqC

CF

V V

Vq

CC

FV V

11

1

22

2

8001

800

8002

400

= = ⇒ =

= = ⇒ =

µ

µ

µ

µ

b) Al volver a conectarlos ((+) con (+) y (-) con (-)), V1 disminuirá y V2 aumentará hasta llegar a una diferencia de potencial de equilibrio V’, para la cual C1 deberá perder carga que ganará C2. Como la carga total positiva y negativa se conserva es: qT = q 1 + q 2 = 1600µC. El capacitor paralelo equivalente es: Cp = C1 + C2 = 3µF. Por lo tanto:

V3,533'VF3

C1600Cq'V

p

t )=⇒

µ

µ==

Las cargas eléctricas q1’ y q2’ que les quedan a los capacitores son:

C6,1066q'VCq

C3,533q'VCq'22

'2

'11

'1

µ=⇒=

µ=⇒=)

)

Observe que ahora es q’2 = 2 q’1 4.5.- Dos capacitores ya cargados, con las cargas indicadas en la figura, se conectan entre sí a una fuente de 600 V, siendo C1 = 4 µF y C2 = 2 µF. Calcular: a) La carga final en cada capacitor. La polaridad en cada placa. b) La diferencia de potencial entre placas de cada capacitor. Rta: a) Q1 f = 1600 µC (+ ; -) ; Q2 f = 400 µC (+ ; -) b) V1 f = 400 V ; V2 f = 200 V. 4.6.- Cuando el interruptor S se conecta a la izquierda en la figura, las placas del capacitor de capacidad C1 adquieren una diferencia de potencial V0. C2 y C3 están inicialmente descargados.

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3

Ahora el interruptor se conecta a la derecha. ¿Cuáles son las cargas finales q1, q2 y q3 en los correspondientes capacitores?

323121

032132

321321

0131211 CCCCCC

VCCCqq

CCCCCCVC)CCCC(

q :Rta++

==++

+=

4.7.- Dos condensadores plano-paralelos de igual capacidad C0 están conectados en paralelo a una fuente de tensión V0. Se desconecta la fuente y luego, mecánicamente, se disminuye la distancia entre las placas de uno de ellos hasta la mitad de su valor inicial. Determine la variación de la energía electrostática del sistema. Solución:

( )

( )

( )

200

200

200

2

00

2

00f

0212100

2

0

121

20

20f

20

20i

VC31UVC1

32U

VC32V

32C2

21V

32C

21U

V32'V'VQQQ2y

C2Q

CQ'V'VComo

2d'dqueya'VC221'VC

21U

VCVC221U

−=Δ⇒

−=Δ

=

+

=⇒

==⇒+==⇒=

=+=

==

Disminuye la energía potencial del sistema ya que se ha redistribuido la carga. 4.8.- Un capacitor cilíndrico se compone de un hilo largo de radio R1 y longitud L con una carga Q positiva y una corteza cilíndrica exterior de radio R2 longitud L y carga -Q. Hallar la energía total almacenada en el condensador y comparar el resultado con la obtenida a partir de U = (1/2)QV.

Rta:

πε

=1

2

0

2

RRln

L4qU

4.9.- Calcular la energía electrostática en el sistema de la figura, donde ρ es la densidad volumétrica de carga.

ρ = ρ0 r < R ; ρ = 0 r > R

Rta: UR

=4

150

2 5

0

πρ

ε

4.10.- Una esfera conductora de radio R en el vacío, tiene una carga q.

%


4

a) Calcular la energía electrostática total almacenada en el espacio circundante. b) ¿Cuál es el radio R0 de una superficie esférica tal que dentro de ella quede la mitad de la energía almacenada? Solución:

a) ∫∫∫∞∞

πε=π

επε=ωε=

R2

0

22

R42

02

2

0

ecircundantespacioeltodo

20 dr

r1

8qdrr4.

r16q

21dE

21U

Uq

rU

qRR

= −

⇒ =

∞2

0

2

081

8πε πε

b)

UU

Uq

R0 0

2

02 16= ⇒ =

πε (1)

Además es:

−

πε=⇒

−

πε=

00

2

0

R

R0

2

0 R1

R1

8qU

r1

8qU

0

(2)

Igualando los segundos miembros de (1) y (2) y simplificando, resulta: R0 = 2R 4.11.-Problema 77 del Capítulo 4 – Capacitancia y materiales dieléctricos. 4.12.- Problema 29 del Capítulo 4 – Capacitancia y materiales dieléctricos. 4.13.- En el capacitor de la figura se introduce el dieléctrico de constante dieléctrica relativa k hasta una distancia X. Calcular la fuerza que se debe ejercer para mantenerlo en ese lugar. Las placas tienen una superficie de LxH. Despreciar los efectos de borde.

Rta: iVdH)k(

21F 2

00(r

ε−ε−=

4.14.- a) Se rellena un capacitor de láminas plano - paralelas con dos dieléctricos de igual tamaño, como puede verse en la figura. Demostrar que la capacidad se ve aumentada en el factor: (K1 + K2) / 2.

b) Un capacitor de láminas plano - paralelas tiene una capacidad C0 y una separación entre las placas d. Se insertan entre las placas, como se indica en la figura, dos láminas dieléctricas de constantes K1 y K2 cada una de ellas de espesor d/2 y de la misma área que las placas. Demostrar que la

capacidad viene dada entonces por: CK K

K KC=

+

2 1 2

1 20 .

4.15.- Cuando se utiliza un cable coaxial para transmitir energía eléctrica, el radio del conductor interior queda determinado por la corriente eléctrica de carga, y el tamaño total por la diferencia de

XL

k Vvacíod


5

potencial y el tipo de material aislador que se utilice. Si se sabe que el radio del conductor interno es 2 mm y que el material aislador es poliestireno (k = 2,6), calcular el radio interior r del conductor externo para que el cable coaxial funcione a 10 kV. Considerar que para evitar la ruptura del dieléctrico, por posibles condiciones anómalas externas de trabajo, la intensidad máxima de campo eléctrico en el poliestireno no debe superar el 25% de su rigidez dieléctrica (20 x 106 V/m). Solución: Si se aplica la ley de Gauss resulta:

klr2QEQlr2E

0επ=⇒

ε=π

Por otro lado

∫

επ==

επ−=

b

a 00ab a

blnkl2

Q)kV(10drklr2

QV (1)

Si se tiene en cuenta que el máximo módulo del vector campo eléctrico se establece en r = a

mm4,5babe

1ka2)

mV(10x2025,0

k2)kV(10abln)1(de

k2)mV(102025,0

lQ

kla2Q)

mV(10x2025,0E

06

0

06

0

6)a(

=∴=

=επ⋅

επ=

επ=⇒επ

=⋅=

4.16.- Problema 52 del Capítulo 4 – Capacitancia y materiales dieléctricos. 4.17.- Problema 78 del Capítulo 5 – Corriente y Resistencia. 4.18.- En el circuito de la figura el capacitor está inicialmente descargado estando abierto el interruptor. En el instante t = 0 se cierra el interruptor. a) ¿Cuál es la corriente suministrada por la fem en el momento en que se cierra el interruptor? b) ¿Cuál es la corriente una vez transcurrido un tiempo bastante largo después de haber cerrado el interruptor? c) Deducir una expresión que nos dé la corriente que circula a través de la fem durante un instante cualquiera después de haber cerrado el interruptor. d) Después de que ha transcurrido un tiempo largo t" se abre de nuevo el interruptor. ¿Cuánto tiempo se tarda en que la carga del condensador disminuya hasta el 10 % del valor que tiene en t = t", si R1 = R2 = 5 kΩ y C = 1 µF ?

Rta: a) iR R

R R=

+1 2

1 2ε b) i R= ε / 2 c)

+ε= − CR/t

12

1eR1

R1)t(i d) 2,3 x 10-2 s.


6

4.19.- Los condensadores del circuito están inicialmente descargados. El interruptor S2 se cierra primero y después se cierra S1. a) ¿Cuál es la potencia eléctrica

entregada por la fuente inmediatamente después de cerrar S1?

b) ¿Cuál es la energía almacenada en C1 y C2 “mucho tiempo” después de cerrar ambos interruptores?

c) Estando el circuito en el régimen establecido en el ítem b se abre nuevamente el interruptor S2. Calcular la energía disipada en forma de calor en la resistencia después de transcurridos 10 ms de abierto S2.

Rta: a) 1.44 (W) b) 320 (µJ) ; 900 (µJ) c) 8,3 x 10-4 (J) 4.20.- En el circuito de la figura se cierra la llave cuando el condensador C1 posee una carga Q0 y el condensador C2 está descargado. Determine la corriente que circula y la carga de cada condensador como funciones del tiempo. Grafique los resultados obtenidos.

Rta: ∫∫ =−=+==− t

02

t

001

21

RCt

1

0 dtiQ;dtiQQ;C1

C1

C1dondee

RCQi

4.21.- Problema 41 del Capítulo 4 – Capacitancia y materiales dieléctricos.

S1 S2100 Ω150 Ω

50 Ω

12 VC1= 10 µf

C2= 50 µf

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GUÍA DE ACTIVIDADES Nº 3 - CEITBA

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