Algebra Moderna II.Grupos Solubles.

Definicion 1. Un grupo G es soluble si hay una cadena de subgrupos

{e} = H0 ⊆ H1 ⊆ . . . ⊆ Hn = G

tal que, para cada i, el subgrupo Hi es normal en Hi+1 y el grupo cocienteHi+1/Hi es abeliano.

Ejemplo 1.

a) Un grupo abeliano G es soluble, la cadena de subgrupos {e} ⊆ G satisfacela definicion.

b) Los grupos simetricos S3 y S4 son solubles considerando las cadenas {e} ⊂A3 ⊂ S3 y {e} ⊂ H ⊂ A4 ⊂ S4, respectivamente, dondeH = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}

c) Cualquier p-grupo es soluble. Si |G| = pn, hay una cadena de subgrupos

{e} ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ . . . ⊂ Nn = G

donde |Ni| = pi y Ni−1 es normal en Ni. Ası, Ni/Ni−1 tiene orden p; dedonde es cıclico y por lo tanto abeliano.

Definicion 2. Sea G un grupo. El conmutador de los elementos x, y ∈ G es

[x, y] = xyx−1y−1

Definicion 3. El subgrupo conmutador G′

de G es el subgrupo generado portodos los conmutadores.

Lema 1.

i) G′E G

ii) G/G′

es abeliano.

Prueba.

i) Si a ∈ G entonces a [x, y] a−1 =[axa−1, aya−1

].

ii) Sean x, y ∈ G entonces

(xG′)(yG′) = xyG′ = xy[(y−1x−1yx G′] = (xyy−1x−1yx)G′ = yxG′ = (yG′)(xG′)

.

1

Lema 2. Si H es un subgrupo normal de G, entonces G/H es abeliano si y solosi G′ ⊆ H.Prueba. Si G/H es abeliano, entonces para todo x, y ∈ G

xyH = xHyH = yHxH = yxH

de donde x−1y−1xy ∈ H; se sigue que G′ ⊆ H porque todo generador de G′ caeen H.Recıprocamente, si G′ ⊆ H entonces el tercer teorema de isomorfıa muestraque G/H es un grupo cociente del grupo abeliano G/G′ y por lo tanto G/H esabeliano.

Ejemplo 2. Encontrar el subgrupo conmutador de S3.Solucion. El subgrupo A3 = {(1), (123), (132)} es normal en S3 y el grupofactor S3/A3 es cıclico de orden 2. De donde por el lema 2 S

′

3 ⊆ A3. Pero|A3| = 3 y, por tanto S

′

3 = A3, o bien S′

3 = {(1)}. Como S3 es no abeliano,S

′

3 = A3.

Definicion 4. Definimos G(i) por recursion:

G(0) = G

G(i+1) = (G(i))′;

esto es, G(i+1) es el subgrupo conmutador de G(i).

Lema 3. Un grupo G es soluble si y solo si G(n) = {e} para algun n.Prueba. Si G es soluble, entonces hay una cadena de subgrupos

{e} = Hn ⊆ Hn−1 ⊆ . . . ⊆ H0 = G

tal que Hm+1 es normal en Hm y Hm/Hm+1 es abeliano para todo m. EntoncesG/H1 es abeliano, ası que G′ = G(1) ⊆ H1 por el lema 2. Ası, (G(1))

′ ⊆ H′

1.Como H1/H2 es abeliano, H

′

1 ⊆ H2. Por lo tanto, G(2) = (G(1))′ ⊆ H2.

Continuando el proceso vemos que G(n) ⊆ Hn = {e}, ası G(n) = {e}.Supongamos que G(n) = {e} para algun n. Entonces la cadena

{e} = G(n) ⊆ . . . ⊆ G(1) ⊆ G(0) = G

muestra que G es soluble.

Teorema 1. Si G es un grupo soluble entonces todo subgrupo y todo grupocociente de G son solubles.

Teorema 2. Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. Entonces G essoluble si y solo si N y G/N son solubles.

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Demostracion. ⇐) Sea G∗ = G/N , y sea

{e} = N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nn = N

una cadena de subgrupos de N tal que Ni E Ni+1 y Ni+1/Ni es abeliano,0 ≤ i < n y sea

{e}∗ = G∗0 ⊆ G∗1 ⊆ . . . ⊆ G∗m = G∗

una cadena de subgrupos de G∗ tal que G∗i E G∗i+1 y G∗i+1/G∗i es abeliano,

0 ≤ i < m. Por el teorema de la correspondencia hay subgrupos Gi de G conN ≤ Gi tal que Gi/N = G∗i y Gi E Gi+1, 0 ≤ i < m. Por el tercer teorema deisomorfıa

G∗i+1/G∗i = (Gi+1/N)/(Gi/N) ∼= Gi+1/Gi

Ası{e} = N0 E N1 E . . . / Nn = N = G0 E G1 E . . . E Gm = G

es una cadena de subgrupos de G tal que los sucesivos cocientes son abelianos.⇒) Teorema 1.

Lema 4. El grupo alternante An esta generado por los 3-ciclos.Prueba. Si α ∈ An, entonces α = τ1 . . . τm, donde cada τi es una transposiciony m es un numero par; de donde

α = (τ1τ2)(τ3τ4) . . . (τm−1τm)

Si τ2k−1 y τ2k no son disjuntas, entonces su producto es un 3-ciclo: τ2k−1τ2k =(ab)(ac) = (acb); si son disjuntos, entonces τ2k−1τ2k = (ab)(cd) = (ab)(bc)(bc)(cd) =(bca)(cdb). Por lo tanto α es un producto de 3-ciclos.

Lema 5. El subgrupo conmutador de Sn es An.Prueba. Ya que Sn/An es abeliano (tiene orden 2), el lema 2 da S

′

n ⊆ An.Ya que An esta generado por los 3-ciclos, es suficiente probar que todo σ =(ijk) es un conmutador. Ya que σ tiene orden 3, σ = σ4 = (σ2)2. Peroσ2 = (ikj) = (ij)(ik), ası que σ = σ4 = (ij)(ik)(ij)(ik); y σ es un conmutadorporque (ij) = (ij)−1 y (ik) = (ik)−1.

Teorema 3. El grupo alternante An es el unico subgrupo de Sn que tiene ındice2.Prueba. Si [Sn : H] = 2, entonces H es normal en Sn, por los lemas 2 y 5 ten-emos que An = S

′

n ⊆ H (ya que Sn/H tiene orden 2, por lo tanto es abeliano).Pero |An| = n!/2 = |H| , y ası H = An.

Teorema 4. Sea G un grupo. Si G actua en un conjunto X y x ∈ X, entonces

|O(x)| = [G : Gx] = |G| / |Gx|

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Corolario 1. Si x ∈ G entonces

numero de conjugados de x=[G : Gx]

Lema 6.

i) Hay 20 3-ciclos en S5 y todos ellos son conjugados en S5

ii) Todos los 3-ciclos son conjugados en A5

Prueba.

i) El numero de 3-ciclos (abc) es (5× 4× 3)/3 = 20, y son conjugados entre sıpor tener la misma estructura cıclica en S5

ii) Sin perdida de generalidad sea α = (123) y CS(α) el centralizador de α enS5, por el corolario 1, 20 = [S5 : CS(α)]; de donde |CS(α)| = 6. Peropodemos exhibir los seis elementos que conmutan con α:

(1), α, α2, (45), (45)α, (45)α2

y solo los tres primeros son permutaciones pares, ası que |CA(α)| = 3,donde CA(α) es el centralizador de α en A5. Por el corolario 1, el numerode conjugados de α en A5 es [A5 : CA(α)] = |A5| / |CA(α)| = 60/3 = 20.Ası que todos los 3-ciclos son conjugados a α = (123) en A5 por i).

Definicion 5. Un grupo G es simple si |G| > 1 y los unicos subgrupos normalesde G son {e} y G.

Teorema 5. A5 es un grupo simple.Demostracion. Si H 6= {e} es un subgrupo normal de A5 y si σ ∈ H, entoncestodo conjugado de σ en A5 tambien cae en H. En particular, si H contieneun 3-ciclo, entonces contiene todos los 3-ciclos por el lema 6 ii); pero entoncesH = A5 por el lema 4.Sea σ ∈ H, σ 6= {e}. Sin perdida de generalidad podemos asumir que σ =(123), σ = (12)(34) o σ = (12345) (son las unicas estructuras cıclicas de per-mutaciones (pares) en A5).Si σ = (123), entonces H = A5 por la observacion anterior.Si σ = (12)(34), definimos τ = (12)(35); entonces

τστ−1 = (τ1τ2)(τ3τ4) = (21)(54)

y τστ−1σ−1 = (354) ∈ H.Finalmente, si σ = (12345), definamos τ = (132); entonces

στ−1σ−1 = (σ1σ2σ3) = (234)

y τστ−1σ−1 = (134) ∈ H.En cualquier caso, H debe contener un 3-ciclo. Por lo tanto, A5 no contiene

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subgrupos normales propios 6= {e} y ası es simple.

Lema 7. Si A y B son subgrupos de un grupo finito G, entonces

|AB| = |A| |B||A ∩B|

Corolario 2. Los unicos subgrupos normales de S5 son {e}, A5 y S5.Prueba. Sea H 6= {e} un subgrupo normal de S5. El segundo teorema de iso-morfıa nos dice que H ∩A5 es un subgrupo normal de A5, como A5 es un gruposimple (teorema 5) o H ∩A5 = A5 o H ∩A5 = {e}. En el primer caso, A5 ⊆ Hy H = A5 o H = S5. En el segundo caso, hay un h ∈ H con h /∈ A5 tal queHA5 = S5. Como H ∩A5 = {e}, el lema 7 nos dice que |H| = |S5| / |A5| = 2. Sih ∈ H, h 6= 1, entonces h = (ab) (los otros elementos de orden 2 tienen la forma(ab)(cd) y son permutaciones pares). Es facil encontrar un conjugado distintode h, y esto contradice la normalidad de H.

Teorema 6. Sn es soluble para n ≤ 4, pero no es soluble para n ≥ 5.Demostracion. Si m < n, entonces Sm es (isomorfo a) un subgrupo de Sn.Ya que todo subgrupo de un grupo soluble es ası mismo soluble (teorema 1), essuficiente mostrar que S4 es soluble y S5 no es soluble.S4 es soluble por el ejemplo 1 b).Si S5 fuera soluble, entonces su subgrupo A5 serıa soluble. Ya que A5 es simple(teorema 5), la unica cadena es {e} ⊂ A5, y el unico grupo factor es el grupono abeliano A5/{e} ∼= A5.

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