Unidad 6.2 - 6.3Solucin numrica de ecuaciones diferenciales

Mtodo de la serie de Taylor

Mtodo de Euler

Integrantes: Ralf Funk Nico Epp

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o EDOsolamente tienen una variable independiente y unavariable dependiente

EDO de Primer Orden: La derivada de mayor ordenes la primera derivada de la variable dependiente

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Formato de las EDO:

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

En las EDO se buscan normalmente una funcin solucin f(x) que satisface la Ecuacin Diferencial para las variables dependientes.

Problemas con Valor Inicial: son un tipo de problemasdonde se provee una ecuacin diferencial y un punto inicial conocido, a partir del cual se busca una solucin dentro de un intervalo indicado

Mtodo de la Serie de Taylor

El mtodo de la Serie de Taylor obtiene el valornumrico de la funcin solucin para un punto especfico(un valor concreto para x)

Para obtener la funcin solucin: se puede obtener varios puntos y realizar una interpolacin para obteneruna funcin aproximada a la funcin solucin real de la ecuacin diferencial.

Mtodo de la Serie de Taylor

Hay cuatro formas!!!!!

Sacar por lo menos dos..

Mostrar solo las dos de la izquierda.

Mtodo de la Serie de Taylor

Al aplicar el mtodo se debe decidir hasta que trminode la serie se va a sumar. Tomando los n primeros trminos:

Mtodo de la Serie de Taylor

Interpretacin grfica Con un n mayor o sea sumando ms terminos de la serie,la funcin resultante se aproxima ms a la funcin buscada.

Mtodo de Euler

El mtodo de Euler es un caso particular del mtodo

de la Serie de Taylor

Solamente se suman los dos primeros trminos de la serie.

Se dice que el mtodo de Euler es una Serie de Taylor de orden 1

Mtodo de Euler

Mtodo de Euler

Para calcular todos los puntos de la funcin incgnita y = f(x)se usa:

Para calcular el respectivo siguiente valor yi+1, se necesitan:

yi el valor actual de la funcin

xi, xi+1 el valor actual y el siguiente

de la variable independiente

g(xi,yi) la funcin conocida evaluada en el punto actual

Mtodo de Euler

Interpretacin grfica El mtodo de Euler utiliza la pendiente de la funcinen un punto (la primera derivada en ese punto)para predecir el valor de la funcin en el punto siguiente.

Ejercicios
Mtodo de Euler

Ejercicio 1: Utilizar el mtodo de Euler para integrar numricamente la siguiente ecuacin:

de x = 0 hasta x = 4 con un tamao de paso de 0.5. La condicin incial en x = 0 es y = 1.

Ejercicios
Mtodo de Euler

Solucin 1: Usando la formula en donde y(0) = 1 y la aproximacin a la pendiente en x = 0 es:Por lo tanto,

Ejercicios
Mtodo de Euler

Solucin 1:Haciendo todas las iteraciones:

xy

0.01.0

0.55.25

1.05.875

1.55.125

2.04.5

2.54.75

3.05.875

3.57.125

4.07.0

Ejercicios
Mtodo de Euler

Ejercicio 2: Usando el metodo de Euler aproximar la solucin al problema de valor inicial:

con N = 10.

Ejercicios
Mtodo de Euler

Solucin 2: Como N = 10, h = 0.2, ti = 0.2i

para i = 0, 1, 2, , 9.

Ejercicios
Mtodo de Euler

Solucin 2: La siguiente tabla muestra la solucin de los valores para la funcin aproximada.

xy

0.00.5

0.20.8

0.41.152

0.61.5504

0.81.98848

1.02.458176

1.22.9498112

1.43.4517734

1.63.9501281

1.84.4281538

2.04.8657845

Anlisis del error

La solucin numrica de EDO incluye dos tipos de error:

Errores de redondeo: causados por el nmero limitado de cifras significativas usados en el clculo.

Errores de truncamiento: que tiene que ver con la cantidadde trminos de la serie (que es infinita) usados en el clculo.

Anlisis del error

Los errores de truncamiento se componen de dos partes:

Error de truncamiento local: resulta al aplicar el mtodo en cuestin en un paso.

Error de truncamiento global: resulta de losaproximaciones producidas en los pasos anteriores, sumado con el error local.

Anlisis del error

Anlisis del error

Podramos decir que el error de truncamiento es proporcional al tamao de paso elevado a la n+1

Se puede notar que el error de truncamiento depende mucho del tamao de paso h elegido. Un valor bastantemenor que 1 para h elevado a un numero n grande reducedrsticamente el error de truncamiento producido.

Anlisis del error

En el caso del mtodo de Euler, el error de truncamientoincluye todos los trminos a partir del trmino de orden 2

Ejercicios
Mtodo de Euler

Ejercicio 3: Utilizando la ecuacin

del ejercicio anterior, aproximar el error del mtodo de Euler en x=0 usando la serie de Taylor. La condicin incial en x = 0 es y = 1.

Ejercicios
Mtodo de Euler

Solucin 3:

Ejercicios
Mtodo de Euler

Solucin 3:

Observe que en nuestro caso la ecuacin Ev define completamente el error de truncamiento ya que se pueden omitir los trminos adicionales como en este caso son igual a cero.

Bibliografa

Chapra, Steven y Canale, Raymond. Mtodos Numricospara Ingenieros. Primera edicin. Editorial McGraw-Hill, Mxico. 1987.

Burden, Richard y Faires, Douglas. Anlisis Numrico. Sptima edicin. Editorial Thomson.

Santos, Bravo Yuste. Mtodos matemticos avanzadospara cientficos e ingenieros. Primera edicin. Universidad de Extremadura, Espaa. 2006.

Fin