UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

ESCUELA DE INFORMÁTICA

PROYECTO DE MATEMÁTICA IV

TEMA:

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

DE PRIMER ORDEN

CURSO:

CUARTO QUIMESTRE “B”

INTEGRANTES:

EDUARDO ABALO

JHONNY MIÑAN

DOCENTE:

ING. CARLOS SÁNCHEZ

AÑO LECTIVO:

2010 - 2011

ECUACION LINEAL DE PRIMER ORDEN

Realizar las siguientes ecuaciones lineales de primer orden con el método de:

���� + � = �

Pues bien entonces vamos a resolver el ejercicio propuesto para visualizar el método de

resolución de los ejercicios:

1) ��� + � = �� �

Dividimos para x para eliminar la x que se encuentra multiplicando a ��

���

� + 2 �� = ��� �

�

Simplificamos la x y remplazamos �� por ���� :

���� + 2 �

� = �����

Para llegar a la función que queremos decimos que P = 2 �� y Q =

���� por lo tanto utilizando la

formula:

� ���� + � ��

�� + � = �

Remplazando los valores tenemos que:

� ���� + � ��

�� + 2 �� = ����

�

Decimos que y = u.z para la aplicación del método:

� ���� + � ��

�� + 2 ��� = ����

�

Sacamos factor común de z y nos queda el siguiente resultado:

� ���� + � � ��

�� + 2 �� � = ����

�

Utilizamos la parte entre paréntesis para poder sacar el valor de u:

���� + 2 �

�

Ahora solo despejamos las variables para que estén en función de x y en función de u

���� = −2 �

�

��� = −2 ��

�

El resultado de la integral es:

ln u = - 2 ln x

Resolviendo los logaritmos de la resolución de la integral nos da que:

ln u = ln � !

u = � !

" = ��

Ahora procederemos a resolver el ejercicio para obtener el valor de z:

� ���� = ����

�

Remplazamos el valor de u que ya encontramos en la anterior integral:

1�! ��

�� = �����

Pasamos el �

�$ al otro lado para empezar poder integrar en función de x y en

función de z:

�� = �%��� ��

La respuesta de la integral es:

z = x cosx – senx + c

X Sen x

1

0

Cosx

- Senx

Ahora procederemos al remplazo en la formula general que es y = u.z

� = 1

�! &x cosx – senx � c.

Despejando y este resultado nos queda:

� � � � /0� � ��� � /

Realizando las graficas en el programa winplot luego de haber realizado el ejercicio:

Segundo Ejercicio de Ecuaciones Lineales de Primer Orden

1) Y’=3x+2y

Y’-2y=-3x y=uz

Ecuación general:

dy = udz + zdu dx dx udx + - 2u z = -3x du - 2u = 0 dx du = 2u dx Agrupamos las x con dx y las u con du y procedemos a Integrar: du = 2 dx U ln u = 2x

Remplazando el valor de u en la siguiente ecuación obtendremos el valor de z:

u dz = - 3x dx

�� ��3� ��

�!�

Procedemos a la integración para hallar el valor de z:

�� = −3� ���!�

du dx

u= e2x

�� � �3� � !� ��

� � �3 2�� !�2 � � !�

4 � 45

Como anteriormente y=uz remplazaremos los valores de u y de z y obtendremos el valor de Y:

� � �!� 6� 7�89$:! � 789$:

; � 4<

Luego de haber realizado el ejercicio podemos realizar la grafica con las soluciones planteadas:

Cuando damos valores a c la grafica se nos muestra de la siguiente manera:

Integración Derivación

� � !�

1 �2� !�

0 4� !�

� � � 3�� !�2 � 3� !�

4 � 4

� � 4�!� � 3�2 � 3

4

C= 2 y C=6 C= 2 ; C=4 ; C=6 ; C=8