Grafos. Arboles · PDF fileU.N.S.L. MATEMATICA DISCRETA TRABAJO PRACTICO 2014 Grafos. Arboles...
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U.N.S.L. MATEMATICA DISCRETA TRABAJO PRACTICO 2014 Grafos. ´ Arboles 1. Hallar dos ´ arboles generadores diferentes en cada uno de los grafos G =(V,E). Describir cada paso de la construcci´ on. (a) G = K 3,3 . (b) G = W 7 . (c) V = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, E = {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {b, e}, {b, f }, {c, f }, {d, e}, {d, g}, {d, h}, {e, f }, {e, h}, {f,i}, {g,h}, {h, i}}. 2. Sea T =(V,E) un ´ arbol y sea e ∈ E(T ). Demostrar que el grafo T - e es un bosque con exactamente 2 componentes. 3. Demostrar que un grafo es conectado si y s´ olo si tiene un ´ arbol generador. 4. Demostrar que todo grafo tiene un bosque generador. 5. ¿Cu´ antos ´ arboles tiene el bosque generador de un grafo cualquiera? 6. ¿Cu´ antos lados deben quitarse de un grafo de orden n, tama˜ no m y con k componentes conectadas para obtener un bosque generador del grafo? 7. Sea G un bosque con k ´ arboles, ¿Cu´ antos lados pueden a˜ nadirse a G para obtener un ´ arbol? 8. Probar que cada ´ arbol generador de un grafo contiene a todos los lados incidentes en v´ ertices de grado 1. 9. Sea T un ´ arbol con dos o m´ as v´ ertices, probar que (a) T tiene al menos dos hojas. (b) si v es una hoja de T entonces T - v es un ´ arbol. 10. Probar que cada lado de un grafo conectado pertenece a al menos un ´ arbol generador. 11. Un grafo conectado G =(V,E) se dice minimalmente conectado si para cada e ∈ E, G - e es desconectado. Sea G es un grafo conectado. Probar que G es un ´ arbol si y s´ olo si G es minimalmente conectado. 12. Un grafo ac´ ıclico G =(V,E) se dice maximalmente ac´ ıclico si para cada x, y ∈ V tal que e = {x, y} 6∈ E, G + e tiene un ciclo. Sea G es un grafo. Probar que G es un ´ arbol si y s´ olo si G es maximalmente ac´ ıclico. 13. Demostrar que todo ´ arbol T tiene al menos Δ(T ) hojas. 14. Demostrar que todo ´ arbol T es bipartito. 15. Sean T y T 0 ´ arboles. (a) Si x, y ∈ V (T ) son tales que e := {x, y} 6∈ E(T ) entonces existen v,w ∈ V (T ) tales que f := {v,w}∈ E(T )y T - f + e es ´ arbol. (b) Si x, y ∈ V (T ) son tales que e := {x, y}∈ E(T ) entonces existen v,w ∈ V (T ) tales que f := {v,w} 6∈ E(T )y T - e + f es ´ arbol. (c) Sean T y T 0 ´ arboles generadores de un grafo conectado G. Sea e una arista de T que no est´ a en T 0 . Demostrar que existe una arista f en T 0 pero no en T tal que T - e + f y T 0 - f + e son ´ arboles generadores de G. 1
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U.N.S.L.MATEMATICA DISCRETA
TRABAJO PRACTICO2014
Grafos. Arboles
1. Hallar dos arboles generadores diferentes en cada uno de los grafos G = (V,E). Describir cada pasode la construccion.
(a) G = K3,3.
(b) G = W7.
(c) V = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, E = {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {b, e}, {b, f}, {c, f}, {d, e}, {d, g}, {d, h},{e, f}, {e, h}, {f, i}, {g, h}, {h, i}}.
2. Sea T = (V,E) un arbol y sea e ∈ E(T ). Demostrar que el grafo T−e es un bosque con exactamente2 componentes.
3. Demostrar que un grafo es conectado si y solo si tiene un arbol generador.
4. Demostrar que todo grafo tiene un bosque generador.
5. ¿Cuantos arboles tiene el bosque generador de un grafo cualquiera?
6. ¿Cuantos lados deben quitarse de un grafo de orden n, tamano m y con k componentes conectadaspara obtener un bosque generador del grafo?
7. Sea G un bosque con k arboles, ¿Cuantos lados pueden anadirse a G para obtener un arbol?
8. Probar que cada arbol generador de un grafo contiene a todos los lados incidentes en vertices degrado 1.
9. Sea T un arbol con dos o mas vertices, probar que
(a) T tiene al menos dos hojas.
(b) si v es una hoja de T entonces T − v es un arbol.
10. Probar que cada lado de un grafo conectado pertenece a al menos un arbol generador.
11. Un grafo conectado G = (V,E) se dice minimalmente conectado si para cada e ∈ E, G − e esdesconectado. Sea G es un grafo conectado. Probar que G es un arbol si y solo si G es minimalmenteconectado.
12. Un grafo acıclico G = (V,E) se dice maximalmente acıclico si para cada x, y ∈ V tal que e ={x, y} 6∈ E, G + e tiene un ciclo. Sea G es un grafo. Probar que G es un arbol si y solo si G esmaximalmente acıclico.
13. Demostrar que todo arbol T tiene al menos ∆(T ) hojas.
14. Demostrar que todo arbol T es bipartito.
15. Sean T y T ′ arboles.
(a) Si x, y ∈ V (T ) son tales que e := {x, y} 6∈ E(T ) entonces existen v, w ∈ V (T ) tales quef := {v, w} ∈ E(T ) y T − f + e es arbol.
(b) Si x, y ∈ V (T ) son tales que e := {x, y} ∈ E(T ) entonces existen v, w ∈ V (T ) tales quef := {v, w} 6∈ E(T ) y T − e + f es arbol.
(c) Sean T y T ′ arboles generadores de un grafo conectado G. Sea e una arista de T que no estaen T ′. Demostrar que existe una arista f en T ′ pero no en T tal que T − e + f y T ′ − f + eson arboles generadores de G.
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