Graficas y Tablas

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Graficas y tablas matematicas

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Graficas y tablasTablas: Una tabla es un conjunto de datos ordenados segn su origen de pertenencia. Los datos pueden obtenerse de una investigacin, de un enunciado o algn problema

Graficas: Las graficas son la representacion esquematica de aquellos datos o valores expuestos enuna tabla.Hay diferentes tipos de graficas las mas comunes son:De barrasDe puunto-linealGrafica geomtricaDe pastelPara las graficas de barra y punto-lineal se toma en cuenta dos ejes, el eje x y el eje yEje xCorresponde a los datos independientesSon los datos principales en los cuales su cambio no se realiza por otra condicin, valoro situacinEje yEn este eje se encuentra ubicado los datos dependientesSon aquellos que cambian con respecto a otros Grafica punto-lineal Para ubicar los datos en una grafica de punto-lineal es necesario primero escribir encada eje sus datos correspondientes, despues como en forma de cordenada ubicar elcruce del dato de las x con el dato correspondiente de las y, sealar con un puntodentro de la grafica mareando dicho cruce, asi sucesivamente con todos los puntostomando como inicio de salida o union el punto ceroGrafica de barrasPara la grafica de barras tambien se deben conocer los datos dependientes eindependientes su margen de ubicacin en la grafica abarca del final de un trazo alinicio de otro el final de cada trazo se define por el punto de ubicacin.En este caso sino se emplean diagonales, verticales y horizantalesGrafica de pastelLas graficas de pastel se emplean en encuestas donde se proporcionan datos enporcentajes, siendo que el 100% equivale al total de aquel dato principal que se requiereconocer, para realizar la grafica de pastel es necesario tabular en tres columnas losvalores de el dato que se quiere conocer, el porcentaje correspoondiente a cada dato ylos grados le corresponden para su ubicacin en la circunferencia.Para localizar el valor desconocido en la tabla sabiendo que pudiera encontrarse conlgica matemtica, es necesario realizar una regla de 3 o estequiomtrica.

1- Tablas de frecuencias Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para as realizar un mejor anlisis e interpretacin de ellos. Para construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, conociendo los intervalos, se debe determinar la frecuencia absoluta (fi) correspondiente a cada intervalo, contando la cantidad de datos cuyo valor est entre los extremos del intervalo. Luego se calculan las frecuencias relativas y acumuladas, si es pertinente. Si no se conocen los intervalos, se pueden determinar de la siguiente manera:- Se busca el valor mximo de la variable y el valor mnimo. Con estos datos se determina el rango.- Se divide el rango en la cantidad de intervalos que se desea tener, obtenindose as la amplitud o tamao de cada intervalo.- Comenzando por el mnimo valor de la variable, que ser el extremo inferior del primer intervalo, se suma a este valor la amplitud para obtener el extremo superior y as sucesivamente.Veamos como se resuelve el siguiente ejercicio del libro Santillana 8:En un centro comercial, se consult la edad a todas las personas que entraban entre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

- Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estn agrupados en ocho intervalos.1Para poder construir la tabla de frecuencias lo primero que debemos hacer es calcular el rango.El rangoda la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.El dato mayor y el menor lo hemos destacado con color rojo:Dato mayor - dato menor = 73 - 1 = 72Por lo tanto; Rango = 722 En el problema nos dicen que debemos agruparlo en 8 intervalos o clases,con este dato podemos calcular la amplitud o tamao de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener (en este caso son 8).

72 / 8 = 9Por lo tanto la amplitud de cada intervalo ser de 93 Ahora podemos comenzar a construir la tabla de frecuencias:

Responder las siguientes preguntas:a) Del total de personas encuestadas, cuntas personas tienen entre 31 y 40 aos?Respuesta: Observamos los datos obtenidos en la tabla y tenemos que:

El dato lo obtenemos de la columna de la frecuencia absoluta.Recuerda que:Frecuencia absolutaCorresponde a la cantidad de veces que se repite un dato. Denotamos este valor porfi.Por lo tanto la respuesta es 6 personas.b) Del total de personas encuestadas, cuntas personas tienen 60 o menos aos?Respuesta:Observamos los datos obtenidos en la tabla y tenemos que:

El dato lo obtenemos de la columna de frecuencia absoluta acumulada.Recuerda que:Frecuencia absoluta acumuladaes la suma de las frecuencias absolutas observadas hasta el intervalo i.En este caso es el intervalo 6. Por lo tanto la respuesta es 36 personas tienen 60 o menos aos.c) Cul es la probabilidad de, que al elegir al azar a un persona consultada, esta tenga entre 11 y 20 aos?Respuesta:Observamos los datos obtenidos en la tabla y tenemos que:

El dato lo obtenemos de la columna de frecuencia relativa.Recuerda que:Frecuencia relativa Corresponde a la probabilidad de pertenecer a cierta categora.Se puede expresar en tantos por ciento.En este caso es el intervalo 2, ya que es ah donde se encuentran las edades entre 11 y 20 aos.Entonces la respuesta es: La probabilidad es 14%.Por ltimo vamos a repasar el concepto de:Frecuencia relativa acumulada (Hi), Es la probabilidad de observar un valor menor o igual al valor que toma la variable en estudio en ese intervalo.Se calcula dividiendo Fi por el nmero total de datos. Tambin puedes calcularloSumando la frecuencia relativa de cada grupo con la frecuencia relativa acumulada del grupo anterior.Si haces correctamente estos clculos, el ltimo grupo tendr una frecuencia acumulada de 1, o muy cerca de 1, permitiendo redondear el error.Recuerda que este valor se puede expresar como porcentaje, para esto solo debes multiplicar el valor obtenido por 100 y listo!!!Este calculo te sirve en el caso de que te pregunten:d) Si le preguntas a una persona cualquiera Cul es la probabilidad de que tenga 50 aos o menos?

Respuesta: La probabilidad es de un 76%

REPRESENTACIN GRFICA DE DATOS Las tablas estadsticas representan toda la informacin de modo esquemtico y estn preparadas para los clculos posteriores. Los grficos estadsticos nos transmiten esa informacin de modo ms expresivo, nos van a permitir, con un slo golpe de vista, entender de que se nos habla, observar sus caractecticas ms importantes, incluso sacar alguna conclusin sobre el comportamiento de la muestra donde se esta realizando el estudio.

Los grficos estadsticos son muy tiles para comparar distintas tablas de frecuencia.

Los grficos estadsticos ms usuales son:

DIAGRAMA DE BARRAS.

Se utiliza para la representacin de variables cuantitativas discretas, cada valor de la variable se representa por un punto sobre el eje OX y sobre l se dibuja una barra de longitud igual o proporcinal a su frecuencia absoluta. Si la frecuencia absoluta que se utiliza es la acumulativa, el diagrama de barras que se obtiene es: diagrama de barras acumulativo

HISTOGRAMA.

Se utiliza para la representacin de variables cuantitativas continuas, cada intervalo se representa sobre el eje OX , este ser la base del rectngulo que se dibuja sobre l con altura igual o proporcional a su frecuencia absoluta. Como los intervalos son consecutivos, los rectngulos quedan adosados. Si se utilizarn rectngulos de amplitud diferente, el rea del rectngulo es la que tendra que ser proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente a ese intervalo. Histograma acumulativo, si se utiliza la frecuencia absoluta acumulativa.

POLGONO DE FRECUENCIAS.

Se utilizan para variables estadsticas cuantitativas, discretas o continuas.

Para una variable discreta, el polgono de frecuencias se obtiene uniendo por una poligonal, los extremos superiores de las barras.

Para una variable continua, el poligono de fecuencias se obtiene uniendo por una poligonal los puntos medios de la base superior de los poligonos del histograma.

Las escalas utilizadas para representar los polgonos de frecuencias influyen mucho por el impacto visual de los mismos.

DIAGRAMA DE SECTORES.

Se utiliza para todo tipo de variable estadstica, cuantitativa o cualitativa. Consiste en dibujar sectores sobre un crculo, siendo la amplitud de los sectores proporcional a su frecuencia absoluta, cada sector se rellena con un color diferente.

El clculo de la amplitud en grados sexagesimales del sector correspondiente se realiza as: ngulo = frecuencia relativa*360

Medidas de tendencia central: Media, Mediana, ModaxEl promedio de notas es muy importante.

Supngase que un determinado alumno obtiene 35 puntos en una prueba de matemtica. Este puntaje, por s mismo tiene muy poco significado a menos que podamos conocer el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba, saber cul es la calificacin menor y mayor que se obtiene, y cun variadas son esas calificaciones.

En otras palabras, para que una calificacin tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadsticos.

Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.

Volviendo a nuestro ejemplo, digamos que la calificacin promedio en la prueba que hizo el alumno fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificacin del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificacin promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusin sera muy diferente, debido a que se ubicara muy por debajo del promedio de la clase.

En resumen, el propsito de las medidas de tendencia central es:

Mostrar en qu lugar se ubica la persona promedio o tpica del grupo.

Sirve como un mtodo para comparar o interpretar cualquier puntaje en relacin con el puntaje central o tpico.

Sirve como un mtodo para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.

Sirve como un mtodo para comparar los resultados medios obtenidos por dos o ms grupos.

Las medidas de tendencia central ms comunes son:

La media aritmtica: comnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por una X con una lnea en la parte superior.

La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribucin. Se representa como Md.

La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribucin. Se representa Mo.xLa media, el mejor dato.

De estas tres medidas de tendencia central, la media es reconocida como la mejor y ms til. Sin embargo, cuando en una distribucin se presentan casos cuyos puntajes son muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda. (Porque dadas las caractersticas de la media, esta es afectada por los valores extremos).

La media es considerada como la mejor medida de tendencia central, por las siguientes razones:

Los puntajes contribuyen de manera proporcional al hacer el cmputo de la media.

Es la medida de tendencia central ms conocida y utilizada.

Las medias de dos o ms distribuciones pueden ser fcilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian.

La media se utiliza en procesos y tcnicas estadsticas ms complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.

Cmo calcular, la media, la moda y la medianaMedia aritmtica PyE_001o promedio

Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras ms simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el nmero total de dichos datos.

PyE_002

Ejemplo 1:

En matemticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3

n = 6 (nmero total de datos)

PyE_003

La media aritmtica de las notas de esa asignatura es 4,8. Este nmero representa el promedio.

Ejemplo 2:

Cuando se tienen muchos datos es ms conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmtica. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra.

Largo (en m)

Frecuencia absoluta

Largo por Frecuencia absoluta

5

10

5 . 10 = 50

6

15

6 . 15 = 90

7

20

7 . 20 = 140

8

12

8 . 12 = 96

9

6

9 . 6 = 54

Frecuencia total = 63

430

PyE_004

Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuntas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera ms corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).Moda (Mo)

Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite ms.

Ejemplo 1:

Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de nias de un Jardn Infantil.

5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3

La edad que ms se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)

Ejemplo 2:

20, 12, 14, 23, 78, 56, 96

En este conjunto de datos no existe ningn valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.Mediana (Med)

Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al nmero del caso que representa la mediana de la distribucin.

Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual nmero de valores antes y despus de l en un conjunto de datos agrupados.

Segn el nmero de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:

Si el nmero de valores es impar, la Mediana corresponder al valor central de dicho conjunto de datos.

Si el nmero de valores es par, la Mediana corresponder al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Ejemplo 1:

Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2

Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10

El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

Ejemplo 2:

El siguiente conjunto de datos est ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med ser el promedio de los valores centrales.

21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3

PyE_005

Ejemplo 3:

estadstica004

Interpretando el grfico de barras podemos deducir que:

5 alumnos obtienen puntaje de 62

5 alumnos obtienen puntaje de 67

8 alumnos obtienen puntaje de 72

12 alumnos obtienen puntaje de 77

16 alumnos obtienen puntaje de 82

4 alumnos obtienen puntaje de 87

lo que hace un total de 50 alumnos

Sabemos que la mediana se obtiene haciendo

estadistica004a

lo cual significa que la mediana se ubica en la posicin intermedia entre los alumnos 25 y 26 (cuyo promedio es 25,5), lo cual vemos en el siguiente cuadro:

puntaje

alumnos

62

1

62

2

62

3

62

4

62

5

67

6

67

7

67

8

67

9

67

10

72

11

72

12

72

13

72

14

72

15

72

16

72

17

72

18

77

19

77

20

77

21

77

22

77

23

77

24

77

25

77

26

77

27

77

28

77

29

77

30

82

31

82

32

82

33

82

34

82

35

82

36

82

37

82

38

82

39

82

40

82

41

82

42

82

43

82

44

82

45

82

46

87

47

87

48

87

49

87

50

El alumno 25 obtuvo puntaje de 77

El alumno 26 obtuvo puntaje de 77

Entonces, como el total de alumnos es par debemos promediar esos puntajes:

estadistica005a

La mediana es 77, lo cual significa que 25 alumnos obtuvieron puntaje desde 77 hacia abajo (alumnos 25 hasta el 1 en el cuadro) y 25 alumnos obtuvieron puntaje de 77 hacia arriba (alumnos 26 hasta el 50 en el cuadro).

En matemticas y estadstica, la media aritmtica (tambin llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de nmeros es el valor caracterstico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemtica o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el nmero de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadsticos muestrales.Expresada de forma ms intuitiva, podemos decir que la media (aritmtica) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observacin.Por ejemplo, si en una habitacin hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sera el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la informacin de una distribucin (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observacin (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.

El conocimiento de la forma de la distribucin y del respectivo promedio de una coleccin de valores de una variable, puede servir para tener una idea bastante clara de la conformacin, pero no de de la homogeneidad de cada una de los valores con respecto a la medida de tendencia central aplicada.

En el caso de las variables con valores que pueden definirse en trminos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersin o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.

A estos indicadores les llamamos medidas de dispersin, por cuanto que estn referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que si no hubiere variabilidad o dispersin en los datos inters, entonces no habra necesidad de la gran mayora de las medidas de la estadstica descriptiva.

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersin nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como sntesis de la informacin. Las medidas de dispersin cuantifican la separacin, la dispersin, la variabilidad de los valores de la distribucin respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersin absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirn comparar varias muestras.

LA DISPERSIN.

Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos, la media, la mediana y la moda slo nos revelan una parte de la informacin que necesitamos acerca de las caractersticas de los datos. Para aumentar nuestro entendimiento del patrn de los datos, debemos medir tambin su dispersin, extensin o variabilidad.

La dispersin es importante porque:

Proporciona informacin adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posicin central es menos representativa de los datos. Ya que existen problemas caractersticos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersin antes de abordar esos problemas. Quiz se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersin de valores con respecto al centro de distribucin o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones ms grandes.

Pero si hay dispersin en la mayora de los datos, y debemos estar en capacidad de describirla. Ya que la dispersin ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, cmo medimos la variabilidad de una distribucin emprica?. Vamos a considerar slo algunas medidas de dispersin absolutas: el rango, la varianza, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.1.1.- EL RANGO O RECORRIDO ( R ):

Es la medida de variabilidad ms fcil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor ms alto (Xn Xmax.) y el mas bajo (X1 Xmin) en un conjunto de datos.

Rango para datos no agrupados;

R = Xmx.-Xmn = Xn-X1

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier ao, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmtica (promedio de las edades, se tiene que:

R = Xn-X1 ) = 34-18 = 16 aos

Con datos agrupados no se saben los valores mximos y mnimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los lmites de clases. Se aproxima el rango tomando el limite superior de la ltima clase menos el limite inferior de la primera clase.

Rango para datos agrupados;

R= (lim. Sup. de la clase n lim. Inf. De la clase 1)

Leer ms: http://www.monografias.com/trabajos43/medidas-dispersion/medidas-dispersion.shtml#ixzz3oAcGdvlW