Participante: Cinthya Viridiana Rodríguez Correa

Matrícula: 11190655

Cuatrimestre: Tercero

Grupo: 302

Facilitador: Ing. Rafael Luna Antonio

Materia: Maquinas y Mecanismos

Trabajo: Investigación(grados de libertad)

Nanchital, Veracruz A 11 de junio del 2012.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL SURESTE DE VERACRUZ

Técnico Superior Universitario en Mantenimiento Industrial

Grados de libertad

El número de grados de libertad en un sistema físico se refiere al

número mínimo de números reales que es necesario especificar para

determinar completamente el estado físico. El concepto aparece en

mecánica clásica y en termodinámica.

En mecánica, por cada partícula libre del sistema y por cada dirección

en la que ésta es capaz de moverse existen dos grados de libertad,

uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad.

El número de grados de libertad de un sistema cuando existen

ligaduras entre las partículas, será el número total de variables,

menos el número de ligaduras que las relacionan.

Obsérvese que esta definición no coincide ni con la definición de

grados de libertad que se usa en ingeniería de máquinas, ni con la que

se usa en ingeniería estructural

Grados de libertad en mecánica clásica

En mecánica hamiltoniana el número de grados de libertad de un

sistema coincide con la dimensión topológica del espacio de fases del

sistema. En mecánica lagrangiana el número de grados de libertad

coincide la dimensión del fibrado tangente del espacio de

configuración del sistema.

Un conjunto de N partículas intereactuantes pero moviéndose sin

restricciones en el espacio tridimensional tiene 6N grados de libertad

(tres coordenadas de posición y tres velocidades). Si el conjunto de

partículas se mueve sobre un estado d-dimensional el número de

grados de libertad es 2d·N.

Si existen ligaduras entre las partículas el número de grados de

libertad será

Ejemplos

Partícula libre

Una sola partícula libre tiene 6 grados de libertad

Partícula obligada a moverse sobre una superficie

La superficie supone una ligadura para las posiciones, ya que debe

cumplirse

y otra para las velocidades, ya que la velocidad debe ser en todo

momento tangente a la superficie, por lo que

por tanto el número de grados de libertad es

valor que coincide con lo que se espera para un movimiento en una

variedad bidimensional.

Ejemplo: Diferentes formas de visualizar los 3 grados de libertad de

una molécula diatómica en forma de pesa. (CM: centro de masas del

sistema, T: movimiento traslacional, R: movimiento rotacional, V:

movimiento vibracional.)

Dos partículas en los extremos de una varilla

Por tener dos partículas tenemos 12 grados de libertad, pero la

condición de que la distancia entre las partículas sea fijada supone

una ligadura para sus posiciones y otra para sus velocidades, lo que

nos da

Estos grados de libertad se pueden representar por variables

diferentes (las tres coordenadas del centro de la varilla y los dos

ángulos que dan la orientación de ésta, con sus correspondientes

velocidades).

Un sólido rígido

Un sólido formado por partículas posee en principio variables.

Pero el número de ligaduras es:

o Para la primera partícula, ninguna

o Para la segunda partícula, 2 (la distancia a la primera y su

velocidad, como en el caso de dos partículas unidas por

una varilla)

o Para la tercera partícula, 4 (las distancias a las dos

primeras partículas y sus correspondientes velocidades)

o Para la cuarta y siguientes, 6, ya que una vez dada la

distancia a tres partículas, la distancia a todas las demás

está también fijada).

Por tanto el número de grados de libertad es

Que se pueden representar por seis variables (la posición del centro

de masa y los ángulos de Euler) y sus correspondientes velocidades.

En general, no todas las ligaduras pueden representarse mediante

una reducción en el número de variables (aunque sí en el número de

variables independientes). Cuando tenemos un sistema en el cual las

ligaduras no son integrables, se dice que el sistema es no holónomo.

Es importante señalar que la convención para contabilizar los grados

de libertad en ingeniería mecánica es diferente, siendo justamente la

mitad que en los casos (1) y (2).

Grados de libertad en mecánica estadística

Teorema de equipartición de la energía

Artículo principal: Teorema de equipartición.

En el límite clásico de la mecánica estadística la energía de un sistema

en equilibrio térmico con n grados de libertad cuadráticos e

independientes es:

Donde:

Es la constante de Boltzmann

Es la temperaturaEs el número de grados de libertad del sistema