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Grado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación

Universidad de Sevilla. Departamento de Matemática Aplicada II.

Matemáticas I.

Tema 1. Números Complejos.

1 Introducción.

En Bachillerato los alumnos han estudiado el cuerpo de los números reales y con ellos han resuelto

todos los problemas que les han surgido hasta ese momento, sin que quede la impresión de que existen

problemas donde es necesario utilizar otro tipo de números. Porque hasta ahora la idea que el alumno

tiene de número es la de una cantidad que puede estar asociada a una propiedad material, a una cuantía

económica, a una distancia recorrida, etc. Como mucho habrá usado la idea de número negativo pues

en el manejo de cantidades se asocia el signo + con la idea de poseer o avanzar y el signo �con la

idea de adeudar o retroceder (cuando se recorre una distancia desde un punto origen asociado con

el número 0, el signo + indica un avance en un sentido mientras que el signo � indica un retroceso

en sentido contrario). La cuestión de cuál de los dos sentidos se corresponde con el signo + es un

convenio que establece el usuario. Este tipo de números se conocen, por razones históricas que pueden

adivinarse, como números reales. En contraposición, otro tipo de números que surgieron por otros

motivos se llamaron números imaginarios, porque en un principio su naturaleza no estaba asociada a

una cantidad real y no pudieron ser interpretados ni física ni geométricamente. Sin embargo más tarde

sí se encontaron importantísimas aplicaciones de estos números, llamados complejos porque se forman

combinando los números imaginarios con los números reales. Mediante estas notas hemos intentado

que los alumnos de Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación entiendan que estos números son

fundamentales en su disciplina.

Si todas las cantidades imaginables en uno u otro sentido están ya representadas por los números

reales, ¿qué otra necesidad puede haber para crear nuevos tipos de números? La respuesta está en el

álgebra, concretamente en el problema de la factorización o descomposición de los polinomios. Este

problema es fundamental porque los polinomios están en la base de todas las aplicaciones matemáticas,

son las funciones más sencillas que se conocen y lo que se sabe sobre otras funciones importantes

(trigonométricas, exponenciales,...) suele ser a través de polinomios relacionados con ellas. Cuando se

1

divide un polinomio P (x) entre otro polinomio Q(x) de menor grado lo que hacemos es descomponer

de manera única P (x) mediante un cociente C(x) y un resto R(x) de grado menor que Q(x):

P (x) = Q(x)C(x) +R(x):

Cuando Q(x) = x�x1 es un polinomio de grado 1 entonces el resto debe tener grado 0, es decir, R(x)debe ser un número:

P (x) = (x� x1)C(x) +R:

Si evaluamos la expresión anterior en x = x1 se deduce que

P (x1) = R:

Este resultado se conoce como Teorema del Resto (el valor numérico de un polinomio en un punto x1 es

igual al resto de la división de dicho poliomio por x�x1). Este teorema nos dice porqué es importantesaber resolver las ecuaciones polinómicas: para tener una descomposición exacta P (x) = (x�x1)C(x)hay que encontrar un número que satifaga la ecuación P (x) = 0. Una vez encontrado dicho número

se aplica el mismo proceso a C(x) (que tiene un grado menos) y así sucesivamente con los nuevos

cocientes que vayan apareciendo. Como en cada paso el grado del cociente se va reduciendo en una

unidad, el último cociente obtenido en el proceso será una constante C. Para un polinomio P (x) de

grado n se obtendría una factorización

P (x) = anxn + � � �+ a1x+ a0 = (x� x1)(x� x2) � � � (x� xn)C:

La multiplicación de paréntesis se lleva cabo a través de la propiedad distributiva del producto y la

suma (coloquialmente �todos por todos�, es decir se toma un sumando de cada paréntesis y se agotan

todas las posibilidades):

(a+ b) (c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd:

A medida que aumenta el número de paréntesis, aumenta considerablemente el número de posibilidades

(de cada paréntesis hay que tomar uno de los dos sumandos de todas las formas posibles) y la fórmula

desarrollada de un producto (x� x1)(x� x2) � � � (x� xn) es muy complicada. Aunque hay sumandosque son fáciles de obtener. Por ejemplo, si se quiere obtener un término de grado máximo hay que

elegir siempre la x (pues xk es una constante), lo cual da una única posibilidad. Si tomamos x en cada

paréntesis (x� xk) el término que se obtiene es xn. Por lo tanto,

(x� x1)(x� x2) � � � (x� xn) = xn + términos de grado menor que n:

Aplicando el razonamiento anterior se deduce que

P (x) = anxn + � � �+ a1x+ a0 = (x� x1)(x� x2) � � � (x� xn)C

= Cxn + términos de grado menor que n) C = an:

2

El coe�ciente an se conoce como coe�ciente líder. Resumiendo, el problema de la factorización de

polinomios consiste en, dado P (x) = anxn + � � � + a1x + a0 un polinomio de grado n, encontrar n

números fx1; : : : ; xng llamados raíces del polinomio tales que

P (x) = an(x� x1)(x� x2) � � � (x� xn):

Es sabido que hay polinomios que no tienen raíces reales. Esto motiva que se busque un sistema

numérico más amplio que el sistema real donde los polinomios tengan garantizada la existencia de

todas sus raíces. Los números reales tradicionales vienen siendo utilizados desde los orígenes de las

primeras civilizaciones para resolver problemas �cotidianos�tales como numerar, fraccionar, calcular

distancias, etc. Esas aplicaciones básicas no necesitan los polinomios y por esa razón los números

complejos no aparecieron hasta el �nal del Renacimiento. En esa época ya eran conocidas ciertas

fórmulas para las raíces de los polinomios de grado 2 y 3. Estas fórmulas incluían radicales, con

lo cual carecían de sentido si el radicando era negativo. Los números complejos nacieron para que

dichas fórmulas proporcionaran todas la raíces, aunque fuesen expresiones formales sin interpretación.

El ejemplo más sencillo es el polinomio P (x) = x2 + 1, para encontrar una raíz necesitamos que

x =p�1. Como no existe �realmente�ningún valor de x cuyo cuadrado sea negativo, llamamos i a

un número imaginario que veri�ca:

i2 := �1:

Con lo cualp�1 está formado por los números imaginarios fi;�ig. De esta manera todos los poli-

nomios de grado 2 tienen dos raíces. Por ejemplo, las raíces del polinomio P (x) = x2 � 2x+ 5 son

x =2�p4� 202

=2�p�162

=2� 4i2

= 1� 2i.

Las raíces de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado también son conocidas desde el siglo

XVI mediante las fórmulas de Cardano-Tartaglia-Ferrari. Estas fórmulas (más complicadas que la de

la ecuación de segundo grado) también incluyen raíces cuadradas, por lo que el arti�cio de suponer

que i2 = �1 permite encontrar una fórmula para todas las raíces de todos los polinomios de gradomenor o igual que cuatro. Durante casi 300 años estuvo planteado el problema de encontrar una

fórmula general para calcular las raíces de los polinomios de grado mayor o igual que 5. Finalmente,

Galois demostró que dicha fórmula no existe, es decir, no existe una fórmula general para la resolución

de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coe�cientes del polinomio,

usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces (raíces

cuadradas, cúbicas, etc). El hecho de que estas raíces no puedan ser obtenidas mediante fórmulas no

signi�ca que las raíces no existan. En la misma época en que Galois demostró la inexistencia de las

fórmulas, Gauss demostró la existencia de las n raíces que puede poseer un polinomio de grado n. Lo

que convierte en genial la idea de de�nir i2 = �1 es que al combinar números reales con imaginarios

3

se consigue un cuerpo de números del tipo

a+ bi, donde a y b 2 R;

llamados números complejos (no porque sean complicados sino porque están compuestos por dos

números reales) y que dicho sistema de números cumple:

� Contiene a los números reales (tomando b = 0).

� Las operaciones suma y producto de números reales se pueden extender a una suma y un productode números complejos de manera que cumplan un sistema de propiedades algebraicas análogas

a las de los números reales, es decir, funcionan igual. De hecho, a priori no se sabe de�nir dichas

operaciones y se busca cómo hacerlo imponiendo las propiedades que se han de veri�car.

� Todo polinomio de grado n con coe�cientes complejos tiene exactamente n raíces complejas (quepudieran estar repetidas). Este resultado se conoce como Teorema fundamental del Álgebra.

Al principio, los matemáticos que trabajaron con la expresión a + bi no supieron interpretarla

geométricamente, ni de ninguna manera (por eso les llamaron imaginarios). Como los números reales

se representan en una recta y los números complejos son un conjunto más grande, no es extraño que

se intenten colocar en un plano conteniendo a la recta real (que puede ser el eje OX, por ejemplo).

Con esto lo que se consigue es interpretar z = a+ bi como

(a; b) = (a; 0)| {z }parte real = a

+ b

es iz }| {(0; 1) = a+ bi

4

A pesar de que se consiguiera interpretar el número a + bi como el punto (a; b), no se abandonó

la notación original porque tiene más aspecto de expresión numérica y por ello es más cómoda de

manejar. La ventaja de esta notación es que las operaciones entre números complejos no se de�nen

por capricho o probando, sino que vienen impuestas por la necesidad de que las leyes algebraicas de los

números reales sigan siendo las mismas para los números complejos. Si queremos que las operaciones

entre números complejos cumplan las propiedades distributiva (factor común) y asociativa (cambio de

paréntesis) sólo tenemos una posibilidad para de�nir la suma y el producto:

Suma: (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

Producto: (a+ bi)(c+ di) = (ac) + (bc+ ad)i+ bd i2|{z}=�1

= (ac� bd) + (bc+ ad)i:

Es obvio que la suma de dos números complejos da otro número complejo, que coincide con la suma

componente a componente de los vectores y los puntos del plano. El producto tiene una fórmula más

complicada que hace difícil en principio su interpretación geométrica.

2 El cuerpo de los números complejos.

El conjunto de los números complejos se denota por C. El conjunto C, dotado con sus dos operacionesinternas (suma y producto) es un sistema numérico que contiene a los números reales y cumple la

misma lista de propiedades algebraicas. Se dice por ello que forman un cuerpo de números. Las

propiedades a las que hacemos referencia son las leyes que nos permiten operar con los números:

� Conmutativa:z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1.

� Asociativa:z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, z1 (z2z3) = (z1z2) z3.

� Existencia de Elemento Neutro:z + 0 = z, z � 1 = z:

� Existencia de Elemento Simétrico: si z = a+ bi, se de�ne el opuesto de z como �z := �a� bi.Si además z 6= 0 se de�ne su inverso como

z�1 :=ap

a2 + b2� i bp

a2 + b2:

Estos elementos cumplen la propiedad del simétrico: z + (�z) = 0, z � z�1 = 1. Esta propiedades importante porque permite reducir las cuatro operaciones tradicionales (suma, resta, multi-

5

plicación y división) a sólo dos (suma y producto):

z1 � z2 := z1 + (�z2),z1z2:= z1 � z�12 :

� Distributiva del producto respecto de la suma ó propiedad del factor común:

z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3:

Estas leyes pueden ser demostradas fácilmente a partir de las de�niciones de las operaciones, es

un ejercicio sencillo que se deja al alumno.

Un aspecto a tener en cuenta y que suele crear confusión entre los alumnos es la cuestión del orden

en los números complejos. Se sabe que en el conjunto de los números reales hay un orden que veri�ca

dos propiedades esenciales relacionadas con las operaciones. Existe un conjunto de números reales

llamados positivos (x > 0). A partir de ellos se de�ne el orden x < y � y � x > 0. El orden cumpledos propiedades respecto de las operaciones:

x < y ) x+ c < y + c,x < y

c > 0

)) xc < yc:

Una relación de orden es un símbolo < que cumple dos propiedades axiomáticas:

� Para cualesquiera números, x e y, se cumple solamente una de las siguientes propiedades: o bienx < y, o bien y < x, o bien x = y.

� Si x < y e y < z; entonces x < z.

En C se pueden de�nir relaciones de orden. Por ejemplo, entre dos números complejos, z1 y z2; elmás pequeño es el que está más a la izquierda. Si ambos estuviesen en la misma recta vertical, el más

pequeño es el que está más abajo. Este criterio de�ne obviamente una relación de orden que parece

ser natural, en la cual los números reales están ordenados tal cual estaban. En ella, 1 > 0 e i > 0.

Pero las dos propiedades que hemos mencionado que cumple el orden real respecto de las operaciones

no se cumplen para esta relación de orden entre números complejos:

0 < i

i > 0

)) 0 = i � 0 < i � i = �1, o sea que � 1 > 0, esto es imposible.

Surge la pregunta de si es posible encontrar una relación de orden entre números complejos que

extienda la que hay entre números reales y conserve las dos propiedades respecto de las operaciones

mencionadas anteriormente. No lo vemos aquí, pero el alumno debe saber que tal relación de orden NO

EXISTE. Por tanto decimos que el conjunto de los números complejos no está ordenado, no pueden

existir expresiones con números complejos donde aparezca el símbolo <.

6

3 Conceptos básicos y notaciones.

Sea z = a+ bi un número complejo.

1. Parte real e imaginaria: se dice que a = Re z y que b = Im z. Con lo cual z = Re z + i Im z.

Cuando Re z = 0 se dice que z es imaginario puro.

2. Eje real e imaginario: el eje real está formado por los números complejos z 2 C tales que

Im(z) = 0, mientras que el eje imaginario está formado por los números complejos z 2 C talesque Re z = 0: En otras palabras, el eje real es el eje OX y el eje imaginario es el eje OY .

3. Módulo ó radio:

(módulo de z) jzj :=pa2 + b2:

Si z 6= 0 entoncesz

jzj =ap

a2 + b2+ i

bpa2 + b2

es un número complejo de módulo 1:

4. Argumento: Supongamos que z = a+ bi es un punto sobre la circunfencia unidad. Los alumnos

han estudiado los senos y cosenos como razones medidas sobre triángulos rectángulos (el seno

de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa). Conviene que aprenda a

relacionar las funciones seno y coseno con una circunferencia de radio 1. El concepto de ángulo

es sencillo, lo que pasa es que no está muy bien asimilado por el alumno, que no entiende el hecho

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de que se mida de diferentes formas (grados, radianes,...). Los grados se usan mucho (ángulos

de 45o, 90o, 180o, etc.) pero no son una medida natural para los ángulos porque las funciones

trigonométricas de los ángulos en grados no gozan de las propiedades naturales de las mismas

funciones con los ángulos en radianes. Por ejemplo, sabemos que la derivada de la función senx

es cosx, pero la x tiene que ser un ángulo medido en radianes, si son grados entonces eso no es

cierto. El ángulo no es otra cosa que una distancia recorrida dentro de la circuferencia unidad

para llegar desde un origen (situado por convenio en el punto (1; 0)) hasta un punto concreto.

Es una idea muy simple: si situamos a alguien en el punto (1; 0) y le hacemos andar sobre la

circunferencia unidad en sentido positivo (antihorario) entonces el primer valor �0 del ángulo de z

que aparece es la distancia medida sobre la circunferencia para llegar desde (1; 0) hasta z. Como

la longitud de una vuelta es 2�, los ángulos que se obtienen en principio están en el intervalo

[0; 2�). Cada una de las componentes del punto z son precisamente a = cos �0, b = sen �0, de

manera que z = cos �0+ i sen �0. Pero el movimiento sobre la circunferencia es cíclico y nada nos

impide seguir caminando, si continuamos andando sobre la circunfencia volveremos a situarnos

sobre z al cabo de una distancia igual a 2�. Igual que una recta tiene dos sentidos, izquierdo

y derecho, correspondientes a dos tipos de distancia, negativa y positiva respectivamente, una

circunferencia tiene dos sentidos, horario y antihorario, que se corresponden con los dos signos,

negativo y positivo respectivamente. De esta manera, si �0 2 [0; 2�) es el primer valor medidodel ángulo entonces los números �0 + 2� y �0 � 2� también son dos valores del ángulo de unnúmero complejo, el primero dando una vuelta más avanzando en sentido antihorario y el segundo

dando una vuelta más avanzando en sentido horario (después de haber llegado a z en sentido

antihorario). El conjunto formado por los in�nitos ángulos que se pueden obtener para el número

complejo z se llama argumento de z:

arg(z) = f� 2 R : z = cos � + i sen �g:

Por lo tanto, si z se puede escribir como z = cos �+ i sen � entonces diremos que � es un valor del

argumento de z. Además, si z = cos �0 + i sen �0 para un cierto valor �0; entonces el argumento

de z es

arg(z) = f�0 + 2k� : k = 0;�1;�2; : : :g

Si z es un número complejo no nulo, sabemos que z= jzj está sobre la circunferencia unidad. Portanto, para cualquier � que sea un argumento de z= jzj se cumple z= jzj = cos �+ i sen �. Despe-jando obtenemos z = jzj (cos � + i sen �) que es la representación polar o trigonométrica de unnúmero complejo. Se de�ne el argumento de z como el argumento de z= jzj. Esta representaciónes fundamental en las aplicaciones de los números complejos donde se utiliza el término fasor.

El módulo de z está relacionado con conceptos típicos de señales, como amplitud, intendidad

o energía mientras que el argumento está relacionado con otro concepto importantísimo sobre

señales que se denomina fase. Explicaremos esta nomenclatura en este tema un poco más ade-

lante y también en el Tema 3, cuando estudiemos la DFT, que son las siglas de Transformada

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Discreta de Fourier. Los fasores, y por tanto los números complejos, son el lenguaje habitual

en el estudio de las ondas acústicas y electromagnéticas, por lo que este tema se puede con-

siderar fundamental en ingeniería de telecomunicaciones. Ampliaremos esta información en las

siguientes secciones, de momento no está muy claro porqué se utilizan estos términos.

5. Conjugado: se denota por z y toma el valor a� bi.

Un número y su conjugado son simétricos respecto del eje real. La importancia de la conjugación

comienza con la fórmula

z z = (a+ bi) (a� bi) = a2 + b2 = jzj2 .

La fórmula anterior sugiere una forma de calcular el inverso de z, es decir un número complejo

w tal que zw = 1. La notación habitual para el inverso es w = z�1 y se tiene que

z�1 =z

jzj2:

6. Las propiedades fundamentales de la conjugación, respecto de las operaciones son:

z1 z2 = z1z2, z1 + z2 = z1 + z2.

4 Giros en el plano: fórmulas trigonométricas.

En esta sección vamos a obtener dos fórmulas trigonométricas muy importantes sobre suma de án-

gulos como una consecuencia muy sencilla de la linealidad de los giros en el plano. Estas fórmulas

serán esenciales para interpretar geométricamente las operaciones entre números complejos. De paso,

comenzamos a trabajar con matrices y vectores, cuya teoría es el objetivo esencial de la asignatura

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Matemáticas I. Lo que aparece en esta sección sobre matrices y vectores es un pequeño avance sobre

aspectos que tendrán una importancia fundamental y son ideas cuyo uso se repetirá de manera inten-

siva a lo largo de toda la asignatura. Mostramos aquí sólo las cuestiones sobre matrices y vectores,

especialmente de orden 2, que necesitamos en este momento para estudiar los giros en el plano. La

teoría general de matrices se desarrolla con mucho más detalle en el tema siguiente y sucesivos.

� Un vector es una columna de números. El espacio formado por todos los vectores de n com-ponentes se denota por Rn. Mediante la notación ek nos referimos a los vectores canónicos

cuyas componentes valen todas 0 excepto la componente k que vale 1. Por ejemplo, los vectores

canónicos en R2 son

e1 =

"1

0

#; e2 =

"0

1

#:

El plano complejo C se representa sobre el espacio R2, de manera que el número complejo a+ bise hace coincidir con el vector de componentes a y b. Pero no debemos confundir los números

complejos con los vectores del plano, son dos estructuras matemáticas con operaciones y usos

diferentes. El propio contexto, la notación y el lenguaje que se esté utilizando en cada momento

nos dirá si nos estamos re�riendo a una cosa o a la otra. La notación apropiada para vectores

es la de columnas de números, aunque en cursos más básicos también se utiliza la notación de

punto del plano en forma de �la: P = (a; b). Sólo utilizaremos la notación de punto en forma

de �la con paréntesis en ejemplos sencillos por comodidad en la escritura.

� Una combinación lineal de vectores es una suma de números multiplicados por vectores. Losnúmeros que multiplican a los vectores se llaman coe�cientes de la combinación lineal:

a1v1 + a2v2 + � � �+ akvk los aj son coe�cientes y los vj son vectores.

� El producto de una matriz por una columna de números es una combinación lineal de las colum-nas de la matriz y los coe�cientes son precisamente las componentes del vector. Por ejemplo,

para una matriz de orden 2:"a b

c d

#"x

y

#=

"ax+ by

cx+ dy

#= x

"a

c

#+ y

"b

d

#:

� La multiplicación por una matriz de�ne una aplicación o transformación asociada a dicha matriz.Por ejemplo, si A es una matriz cuadrada de orden n

T : Rn �! Rn

v �! T (v) = Av:

En ingeniería se suele utilizar la siguiente notación para estas transformaciones:

(in) v �! A �! y = Av (out).

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La matriz A modela el comportamiento de un cierto sistema físico lineal, el vector v representa

la entrada o estímulo al sistema y el vector y = Av representa la salida o respuesta del sistema

al vector v. No debe confundirse la aplicación con la matriz. La matriz es una caja de números

inactiva, �ja, por decirlo de alguna manera. La aplicación es una performance llevada a cabo

mediante el uso de dicha matriz, es una acción que transforma un punto en otro punto. Digamos

que la matriz es una herramienta y la aplicación correspondería a un uso que se da a dicha

herramienta.

� Se dice que una aplicación T : Rn �! Rn es lineal si T (�u + �v) = �T (u) + �T (v), para

todos los números �; � 2 R y para todos los vectores u; v 2 Rn: Las aplicaciones que vienendadas por matrices siempre son lineales, es una consecuencia inmediata de las propiedades de

las operaciones entre matrices:

A(�u+ �v) = �Au+ �Av:

Es muy fácil comprobar grá�camente que un giro de centro 0 es una aplicación lineal. Lo vemos

mediante dos dibujos que no mostramos aquí, el alumno debe obtener dichos dibujos a través de

la siguiente descripción:

�En el primero de ellos ponemos un vector v y otro proporcional 2v apuntando en el mismosentido. Si giramos esa �gura un cierto ángulo veremos que es lo mismo girar primero v

y luego multiplicar el vector girado por 2, que multiplicar primero v por 2 y luego girarlo.

Matemáticamente esa propiedad para un escalar cualquiera � es:

T (�v) = �T (v).

�En el segundo dibujo consideramos los vectores del primer cuadrante u = (2; 1) y v =

(1; 3), junto con la suma u + v = (3; 4). La suma forma la diagonal del paralelogramo

cuyos lados son los vectores u y v, junto con sus traslaciones paralelas. Llamemos F a

la �gura formada por los lados del paralelogramo junto con esa diagonal. Si con centro

en 0 giramos 90o nuestra �gura F obtendremos un segundo paralelogramo con las mismas

medidas de lados y ángulos, puesto que los giros son movimientos rígidos y no alteran estas

medidas. En este caso, podemos dibujar los vectores girados: T (u) = (�1; 2), T (v) =(�3; 1), T (u+ v) = (�4; 3). Si giramos la diagonal de la �gura F obtenemos exactamente

la diagonal del segundo paralelogramo, puesto que el giro mueve de manera rígida toda la

�gura. Matemáticamente esa propiedad es:

T (u+ v) = T (u) + T (v).

Este comportamiento no es exclusivo de estos dos vectores concretos, se puede trasladar a

dos vectores genéricos porque lo que estamos usando es nuestra imagen mental de qué es

un giro de centro 0.

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� Si aplicamos sucesivamente las dos propiedades anteriores queda demostrada la propiedadde la linealidad de los giros de centro 0. Los giros con centro en un punto distinto de 0

no son lineales. En los puntos siguientes todos los giros que se consideran son de centro 0

aunque no se indique:

� En el punto anterior hemos mencionado que las aplicaciones de�nidas por matrices son lineales.Recíprocamente, una aplicación lineal tiene que venir de�nida mediante la multiplicación por

una matriz:

T (

"x

y

#) = T (x

"1

0

#+ y

"0

1

#) = xT (e1) + yT (e2) = [T (e1) ; T (e2)]

"x

y

#:

En el cálculo anterior hemos usado precisamente la relación fundamental entre el producto de

una matriz por un vector y las combinaciones lineales de las columnas de dicha matriz. Por lo

tanto, la matriz de la aplicación lineal T es la matriz cuyas columnas son las imágenes de los

vectores canónicos.

� Sea G� el giro de centro 0 y ángulo �. Llegados a este punto podemos calcular la matriz de G�:sólo tenemos que girar los vectores canónicos, es decir obtener G�e1 y G�e2. En el siguiente

dibujo se ve que al girar el vector e1 un ángulo � obtenemos el vector G�e1 = (cos�; sen�), no

hay nada que demostrar, eso es la propia de�nición de senos y cosenos. Al girar el vector e2 un

ángulo � se obtiene G�e2 = (� sen�; cos�; ) porque se trata del mismo triángulo con los mismoslados, el cambio de signo del seno se debe a que la componente x de G�e2 está en la otra parte

12

del eje.

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.52

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

eje y

e2

eje xe1

Gα(e

2)

Gα(e1)

α

α

Gα(e

1)=(cos(α),sen(α))

Gα(e

2)=(sen( α),cos(α))

Por consiguiente la matriz del giro de centro 0 y radio � es

G� =

"cos� � sen�sen� cos�

#:

� Cuando dos transformaciones lineales se aplican de manera sucesiva, se obtiene una nueva trans-formación lineal cuya matriz es el producto de las dos:

v �! A �! Av �! B �! B(Av) = (BA)v

v �! BA �! (BA)v:

� Si giramos un vector v un ángulo � obtenemos G�v. Si a su vez giramos este último otro ángulo� obtendremos G� (G�v) = (G�G�) v. Girar un ángulo � y a continuación otro ángulo � es lo

mismo que girar un ángulo �+ �. Es decir,

G�G� = G�+� =

"cos (�+ �) � sen (�+ �)sen (�+ �) cos (�+ �)

#:

Si multiplicamos las matrices G� y G� e igualamos obtendremos una fórmula para las razones

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trigonométricas de la suma de ángulos:

G�G� =


#"cos� � sen�sen� cos�

#

=

"cos� cos�� sen� sen� � cos� sen�� sen� cos�sen� cos�+ cos� sen� � sen� sen�+ cos� cos�

#:

Por consiguiente,

cos (�+ �) = cos� cos�� sen� sen�;

sen (�+ �) = sen� cos�+ cos� sen�:

Es muy sencillo comprobar que la función seno es impar y la función coseno es par, es decir,

cos(��) = cos�, sen(��) = � sen�:

Aplicando esta fórmula se pueden deducir también las razones trigonométricas de la diferencia

de ángulos:

cos (�� ) = cos (�+ (��)) = cos(��) cos�� sen(��) sen� = cos� cos�+ sen� sen�;

sen (�� ) = sen (�+ (��)) = sen(��) cos�+ cos(��) sen� = cos� sen�� sen� cos�:

A partir de estas fórmulas se pueden deducir otras, por ejemplo las razones trigonométricas de

múltiplos de ángulos:

cos (2�) = cos (�+ �) = cos� cos�� sen� sen� = cos2 �� sen2 �;

sen (2�) = sen (�+ �) = sen� cos�+ cos� sen� = 2 sen� cos�:

Todas las fórmulas que hemos obtenido son muy importantes porque nos permitirán interpretar

geométricamente el producto y el cociente de números complejos. La fórmula de cos (�� )también es fundamental para interpretar geométricamente el producto escalar de vectores y

entender sus aplicaciones prácticas, cosa que estudiaremos en el Tema 3.

5 Operaciones entre números complejos: Interpretación geométrica.

La suma de números complejos equivale a la suma de vectores del plano cuyo resultado es la diagonal de

un paralelogramo, que físicamente es la resultante de dos fuerzas. Aunque la interpretación geométrica

más conveniente para la suma es la de una traslación. En esta última, uno de los vectores se interpreta

como punto y el otro vector se interpreta como vector libre:

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1 0 1 2 3 4 5 61

0

1

2

3

4

5

6

eje x

eje y

v

v

v

P1

P1

v +P1

v +P1

Figura F

Figura v+F

P2

P3

v +P2

v +P3

VectorLibre v

Sumar un v ector libre v a cada punto de una f igura Fequiv ale a trasladar la f igura según el v ector v .

Sin embargo, el producto de dos números complejos tiene una expresión más complicada y no

está claro a priori qué signi�cado geométrico tiene. Para averiguarlo vamos a considerar los números

complejos escritos en su forma trigonométrica, es decir:

z = jzj (cos � + i sen �) :

La clave para interpretar geométricamente el producto complejo está en estudiar la función que a cada

número real � le hace corresponder el número complejo

f(�) = cos � + i sen �.

La función f describe una circunferencia de centro 0 y radio 1 en el plano complejo y lo hace in�nitas

veces como si enrollara la recta real en la circunferencia, de manera que el número real � = 0 se

corresponde con el número complejo z = 1, el número real � = �=2 se corresponde con el número

complejo z = i, y así sucesivamente. Obviamente, cada intervalo de � de amplitud 2� se aplica sobre

15

una vuelta completa a la circunferencia.

La función f tiene la misma propiedad característica que una exponencial. Consideremos por

ejemplo la exponencial h(t) = 2t:

h(3)h(4) = 2324 = 2 � 2 � 2| {z }3 veces

� 2 � 2 � 2 � 2| {z }4 veces

= 23+4 = 27 = h(7) �! h(3)h(4) = h(3 + 4):

El enunciado de dicha propiedad es:

f (�1) f (�2) = f (�1 + �2) :

Geométricamente, signi�ca que si multiplicamos dos números complejos de módulo uno entonces se

obtiene un nuevo número complejo de módulo uno, cuyo ángulo es la suma de los dos anteriores. Por

lo tanto, el producto de números complejos está relacionado con los giros en el plano.

Es muy fácil demostrar la propiedad anterior, pues está basada en las fórmulas trigonométricas

para la suma de ángulos obtenidas en la sección anterior:

f (�1) f (�2) = (cos �1 + i sen �1) (cos �2 + i sen �2)

= (cos �1 cos �2 � sen �1 sen �2) + i (sen �1 cos �2 + cos �1 sen �2)

= cos (�1 + �2) + i sen (�1 + �2) = f (�1 + �2) .

La propiedad anterior es característica y exclusiva de las potencias; es fácil verlo para variables enteras:

f(n) = f(1 + � � �+ 1| {z }n veces

) = f(1) � � � f(1)| {z }n veces

= f(1)n:

Los siguientes comentarios están destinados a averiguar cómo es esa potencia y a escribirla de la

manera más adecuada. De la misma manera que los ángulos se pueden medir en grados pero su medida

�natural�es en radianes, la base que se utiliza para las potencias puede ser 2, 10, etc., pero hay una

base que se considera �natural�cuyo uso es preferente. Se trata del número e ' 2:7183. La funciónexponencial más importante en matemáticas es exp(x) = ex, que recorre todos los números positivos

cuando x recorre R. Cualquier número real positivo a es de la forma ek, donde k es precisamente ellogaritmo de a. Por eso, las potencias de cualquier base positiva se pueden pasar a la base e:

ax =�ek�x= ekx, donde k = log a:

Así pues, podemos decir que la familia paramétrica de funciones exponenciales

fk(x) = ekx; donde k 2 R,

16

genera todas las funciones exponenciales reales. Una propiedad fundamental de las funciones fk es

que cada una de ellas es la única solución de una ecuación diferencial con una condición inicial:(y0 = ky � ecuación diferencial,

y(0) = 1 � condición inicial.

No es difícil comprobar formalmente eso:

y0

y= k )

(integrando)log(y) = kx+c )

para x = 0, y = 1c = 0, y tomando exp se tiene que y(x) = ekx:

Si pretendemos encajar la función f(�) = cos �+ i sen � en una exponencial, vamos a ver qué ecuación

diferencial veri�ca (la derivada se lleva a cabo componente a componente):

f 0(�) = � sen � + i cos � = i (cos � + i sen �) = if (�) .

Como f(0) = 1, queda claro que la función f es la solución del problema(y0 = iy � ecuación diferencial,

y(0) = 1 � condición inicial.

Por lo tanto, la constante k que se busca es la unidad imaginaria i. Así pues, la de�nición de exponencial

compleja mediante la fórmula de Euler

eix = cosx+ i senx

no es una de�nición arbitraria, es necesario de�nirla así para que la función obtenida sea consistente

con la exponencial real y siga cumpliendo las mismas propiedades algebraicas y analíticas.

Como acabamos de ver, la manera natural de escribir los números complejos para comprender geo-

métricamente y manejar algebraicamente el producto de números complejos es la forma exponencial :

z = rei�.

La notación exponencial es, por la simplicidad de sus reglas, la que se utiliza fundamentalmente en

las aplicaciones de los números complejos al estudio de las señales.

Si multiplicamos dos números complejos observamos que los radios se multiplican y los ángulos se

suman:

z1z2 =�r1e

i�1��

r2ei�2�= (r1r2)

�ei�1ei�2

�= (r1r2) e

i(�1+�2):

17

Como todos los números complejos de la forma ei� tienen módulo 1 y su conjugado es e�i� (tenga en

cuenta que sen (��) = � sen � y cos (��) = cos �), se ve que el inverso tiene una formulación sencilla:

1

ei�=

ei�

jei�j2= e�i�:

Por lo tanto, la división compleja tiene también una sencilla interpretación geométrica: si dividimos

dos números complejos observamos que los radios se dividen y los ángulos se restan:

z1z2=r1e

i�1

r2ei�2=r1r2ei�1

1

ei�2=r1r2ei(�1��2):

Esta manera de interpretar el producto de números complejos es fundamental y tiene múltiples

aplicaciones algebraicas y geométricas:

� Cálculo de potencias:zn =

�rei�

�n= rnein�:

� Obtención de fórmulas trigonométricas, a partir de la conocida fórmula de De Moivre:�ei��n= ein� ) (cos � + i sen �)n = cos (n�) + i sen (n�) , n = 1; 2; 3; : : :

La idea es aplicar la fórmula del binomio de Newton al miembro izquierdo e igualar componente

a componente ambos números. Por ejemplo, si n = 2 se obtiene:

(cos � + i sen �)2 =

( �cos2 � � sen2 �

�+ i2 cos � sen � (elevando al cuadrado)

cos (2�) + i sen (2�) (fórmula de De Moivre)

))

)(cos (2�) = cos2 � � sen2 �sen (2�) = 2 cos � sen �

):

En la sección de Ejercicios, al �nal de este tema, se explica con detalle la fórmula del binomio

de Newton.

� A partir de la fórmula anterior puede ser obtenida también una fórmula de las razones del ángulomitad, sustituyendo � por �=2:

cos � = cos2 (�=2)� sen2 (�=2)1 = cos2 (�=2) + sen2 (�=2)

)) 1 + cos � = 2 cos2 (�=2)

1� cos � = 2 sen2 (�=2)

))

cos (�=2) =

r1 + cos �

2; sen (�=2) =

r1� cos �

2:

La elección del signo de la raíz cuadrada dependerá del cuadrante donde esté el ángulo �=2.

18

6 Raíces N-ésimas de números complejos.

Fijamos un número natural N 2 f1; 2; 3; : : :g. Consideramos la ecuación polinómica zN � 1 = 0.

Una raíz de esta ecuación es un número que elevado a N vale 1. Dichas raíces se denominan raíces

N -ésimas de 1, por la misma razón que decimos que �p3 son las raíces cuadradas de 3 por el hecho

de ser las raíces del polinomio P (z) = z2 � 3: Es obvio que z0 := 1 es una raíz N -ésima de 1. No esdifícil encontrar otra diferente: z1 := ei2�=N :�

ei2�N

�N= eiN

2�N = ei2� = cos (2�) + i sen (2�) = 1:

Si miramos el círculo unidad como una tarta, el número z1 forma con z0 un trozo equivalente a dividir

la tarta (2� radianes) en N partes iguales y tomar una parte. Como al multiplicar se suman los

ángulos, cada vez que multipliquemos por z1, se obtiene un nuevo número complejo que marca una

nueva porción de círculo. Esto ocurrirá con z21 , z31 ; : : : ; z

N�11 pero el siguiente, zN1 , repite ya el valor de

z0 = 1. Todas las demás potencias zN+11 = z1; zN+21 = z21 ; : : : repiten cíclicamente los mismos valores,

es decir, no se van a obtener más raíces diferentes.

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Plano complejo C

Todos los números complejos obtenidos de esta manera son raíces N -ésimas de 1:

si llamamos zk := zk1 ) zNk =�zk1

�N= zkN1 =

�zN1�k= 1k = 1.

19

Los N números complejos

fz0; z1; z2; : : : ; zN�1g , donde zk = ei2k�=N , para k = 0; 1; : : : ; N � 1;

constituyen los vértices de un polígono regular de N lados inscrito en la circunferencia unidad y son las

N raíces del polinomio P (z) = zN�1. Estos números pueden ser calculados a partir de N simplemente

evaluando las correspondientes funciones seno y coseno en los ángulos correspondientes.

Una función que recorre ciertos valores o posiciones numéricas es lo que se llama una señal. En las

señales analógicas la variable es el tiempo continuo, por ejemplo, z(t) = eit, t 2 [0; 2�]. En las señalesdigitales o discretas la variable es el subíndice:

z : f1; 2; : : : ; Ng ! Ck ! z(k) = zk

Además de la notación de funciones, para las señales discretas se utiliza la notación de vectores o listas

de números:

z =

266664z1

z2...

zN

377775 :La circunferencia unidad recorrida por la exponencial compleja es un patrón matemático de una señal

periódica, el más grá�co y sencillo. Una función que recorra toda la circunferencia unidad una sóla

vez en un cierto periodo de tiempo se considera una señal analógica de frecuencia 1. Mientras que

z1(t) = eit, t 2 [0; 2�] recorre la circunferencia una vez, la función z2(t) = z1(t)2 = ei2t, t 2 [0; 2�] la

recorre dos veces y es un patrón matemático de una señal de frecuencia 2. De esta manera la frecuencia

no es más que un número que multiplica al tiempo en el exponente de una exponencial compleja y

no tiene porqué tomar sólo valores enteros, pueden ser fracciones, números reales e incluso números

complejos. Observe que las raíces N -ésimas de la unidad forman una selección o muestra de N puntos

equidistribuidos en la circunferencia unidad recorridos una sóla vez. Por tanto, se utilizan como patrón

de señal discreta de frecuencia 1. Cuando estudiemos la DFT veremos que a partir de estos números

es matemáticamente muy sencillo conseguir patrones discretos de frecuencias superiores, sólo hay que

considerar potencias. La propiedad siguiente juega un importante papel en la construcción de la DFT.

En la sección dedicada a ejercicios se vuelve a comentar esta propiedad (Ejercicio 10).

Propiedad Importante. La suma de cualquier potencia s = 1; 2; : : : ; N � 1 de todas las raícesN -ésimas de 1 vale 0, es decir

N�1Xk=0

zsk = 0, para todo s = 1; 2; : : : ; N � 1.

20

Recordemos la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica de razón r 6= 1:

1 + r + r2 + � � �+ rN�1 = rN � 1r � 1 :

Si aplicamos esa fórmula:

N�1Xk=0

zsk =N�1Xk=0

�zk1

�s=N�1Xk=0

(zs1)k =

N�1Xk=0

zks =zNs � 1zs � 1

= 0, pues zNs = 1.

A partir de las raíces N -ésimas de 1 se pueden obtener, analíticamente y geométricamente, las

raíces N -ésimas de cualquier otro número complejo no nulo a = r0ei�0 . En la siguiente construcción

aparecerá lo que los telecos llaman un fasor y explicaremos porqué se utiliza esta palabra. Para ello,

consideremos el número

!0 := r1=N0 ei�0=N ,

donde r1=N0 es el único número real positivo que elevado a N vale r0. Es evidente que !N0 = a. Por lo

tanto, los números f!0z0; !0z1; !0z2; : : : ; !0zN�1g veri�can:

(!0zk)N = !N0|{z}

= a

zNk|{z}= 1

= a, k = 0; 1; : : : ; N � 1.

Con esto se obtiene una fórmula analítica para las raíces N -ésimas de a:

!0zk = r1=N0 ei

�0+2k�N , k = 0; 1; : : : ; N � 1.

Un sencillo razonamiento nos muestra cómo están dispuestas estas raíces en el plano complejo. Las

raíces fzkg forman una �gura F en el plano complejo. Cuando decimos que la �gura F se multiplica

por un número signi�ca que multiplicamos cada punto de F por dicho número, de esta manera la

�gura resulta transformada. Según sea el número que multiplica a la �gura se observan dos tipos de

transformaciones. Multiplicar una �gura por un radio positivo r1=N0 , consiste en una homotecia de

centro 0 y razón r1=N0 , en la cual todas las distancias quedan multiplicadas por dicho radio. Multiplicar

una �gura por un número complejo ei�0=N consiste en un giro de centro 0 y ángulo �0=N . Estas dos

transformaciones convierten el polígono regular F en otro polígono regular de N lados, con centro

en 0 y uno de cuyos puntos es !0 (que se consigue al multiplicar !0z0). Mostramos un ejemplo para

a = �10 y N = 6:

a = �10 = 10ei� ) r0 = 10, �0 = �, r1=60 = 101=6 ' 1:47, �0

6=�

6(equivale a 30o).

Las raíces sextas de 1 forman un hexágono regular inscrito en la circunferencia unidad cuyo primer

vértice es 1. Multiplicar dicho hexágono por 101=6 hace que todas las distancias se multipliquen por

dicha cantidad, se obtiene otro hexágono cuyo primer vértice es 101=6. Si a su vez este último hexágono

21

lo multiplicamos por ei�=6 resulta girado y el punto 101=6 se transforma en !0 := 101=6ei�=6:

4 3 2 1 0 1 2 3 4

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2

6.1 La exponencial compleja: frecuencia, amplitud, fase y fasor.

Para un exponente complejo z = a+ ib, se de�ne ez = eaeib = ea (cos b+ i sen b).

La importancia de las exponenciales complejas y las raíces N -ésimas radica en que se usan para dar

funciones �patrón�que de�nen matemáticamente el concepto de frecuencia de una señal, considerada

como una función del tiempo f(t). El papel del tiempo lo puede jugar cualquier otra magnitud

geométrica o física. Intuitivamente, la frecuencia es el número de veces que un hecho se repite en un

intervalo de tiempo determinado. No hay una �gura que represente mejor un movimiento repetido

que una rueda dando vueltas. La función z (t) = eit, da una vuelta a la circunferencia unidad mientras

que el tiempo recorre un intervalo t 2 [0; 2�], que se considera como una unidad de tiempo. Si esto nonos parece natural, siempre podremos transformar [0; 2�] en [0; 1] y entonces la función que recorre la

circunferencia una vez en una �unidad de tiempo�será z(t) = ei2�t; t 2 [0; 1]. Este estudio no va adepender de cuál sea el periodo de tiempo que consideremos como �unidad de tiempo�, que puede ser

un valor genérico T > 0. En este caso, la función que recorre una vez la circunferencia unidad en una

unidad de tiempo T será

z (t) = ei2�Tt, t 2 [0; T ].

22

En todo lo que sigue, consideramos T = 2� por simplicidad.

Al multiplicar números complejos, los ángulos se suman y los radios se multiplican. Por ello, si

consideramos que la función z es un patrón natural de algo que da una vuelta a la circunferencia unidad

(radio 1) y la asociamos a la frecuencia natural 1, entonces la función z2 da 2 vueltas (frecuencia 2), la

función z3 da 3 vueltas (frecuencia 3) y así sucesivamente, la función zn estará asociada a la frecuencia

natural n, pues da n vueltas mientras z da una vuelta. La frecuencia 0 debe ir asociada a algo que

no se mueva y por coherencia con lo anterior estará representada por la función z0 = 1: La función

f(t) = eit es lo que se llama una señal analógica o de tiempo continuo, pues t toma todos los valores

del tiempo en un intervalo.

Las señales discretas sólo están de�nidas en un cierta selección de valores de t, se representan

matemáticamente por secuencias numéricas y en la práctica suelen provenir de un muestreo de una

señal analógica seleccionando sólo ciertos valores del tiempo y descartando el resto. Las señales

discretas son usadas hoy en día por multitud de dispositivos electrónicos gracias a la potencia de los

procesadores actuales, aunque la teoría matemática necesaria para llevar a cabo esos cálculos se conoce

desde mucho antes de que se construyera el primer ordenador. Si muestreamos la señal eit en puntos

equidistantes obtendremos un buen patrón de una señal discreta de frecuencia 1. De esta manera,

dividiendo la circunferencia unidad en N partes iguales se obtienen justamente las raíces N -ésimas

de 1, lo que las convierte en una forma matemática adecuada de considerar un patrón de una señal

discreta de frecuencia 1.

3 2 1 0 1 2 31.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5Raíces Nésimas de 1

eje x

eje y

2π/N

2π/N

2π/N

z0=1

z1=exp(i2 π/N)

z2=exp(i4 π/N)

zN1

=exp(i2(N1) π/N)

Plano Complejo C

23

El mismo procedimiento empleado para muestrear z = z1 en la circunferencia unidad, seleccionando

estos valores concretos, se aplica a todas las demás potencias de z, es decir, cada uno de los vectores

Z0 =

2666641

1...

1

377775 ; Z1 =266664

z0

z1...

zN�1

377775 ; Z2 =266664

z20z21...

z2N�1

377775 ; : : : ; ZN�1 =266664zN�10

zN�11...

zN�1N�1

377775constituye un patrón para designar una señal discreta cuya frecuencia natural es 0; 1; 2; : : : ; N �1. Enprincipio, puede parecer que esta secuencia de vectores podría continuarse con frecuencias superiores

a N � 1, pero obtendríamos exactamente los mismos vectores de manera N -periódica ya que todas laspotencias zNk = 1 y por lo tanto

ZN =

266664zN0zN1...

zNN�1

377775 =2666641

1...

1

377775 = Z0; ZN+1 =

266664zN+10

zN+11...

zN+1N�1

377775 =266664

z0

z1...

zN�1

377775 = Z1; : : :

Y así sucesivamente.

Podemos comprobar lo anteriormente descrito en las tres siguientes grá�cas para N = 7. En

cada una de ellas hemos dibujado los puntos de un patrón, concretamente los que corresponden a

las frecuencias 1, 2 y 5. Como en todos los patrones los puntos siempre son los mismos (las 7 raíces

séptimas de 1) no es fácil contar las vueltas que dichos puntos están dando en cada momento, porque si

los dibujamos todos juntos aparecen mezclados y mirando el dibujo no sabríamos quién es cada punto.

Así que para distinguirlos bien hemos modi�cado el radio de cada punto, de manera que en la primera

circunferencia (la de radio más pequeño) dibujamos la primera componente de Zk, en la segunda

circunferencia dibujamos la segunda componente de Zk y así sucesivamente hasta el séptimo radio que

se corresponde con la última componente de Zk. De esta manera podemos seguirlos, marcarlos con su

correspondiente etiqueta (z0, z1, etc.) y contar sobre el dibujo el número de vueltas que está dando

cada muestra. Hay que insistir en que todos los puntos en realidad tienen radio 1, los hemos dibujado

así sólo para distinguirlos:

24

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z0

z1

z2

z3

z4

z5z6

Componentes del vector Z1 (1 vuelta)

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

Componentes del vector Z2 (2 vueltas)

25

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

Componentes del vector Z5 (5 vueltas)

En el estudio de las señales es común el uso de la palabra fase. Esta palabra tiene su origen en el

vocablo griego �phasis�que signi�ca mostrarse o aparecerse y es muy curioso cómo su raíz está presente

en muchas otras palabras, como por ejemplo desfasado o fantasma, por citar algunas. Todas las noches

la Luna nos muestra su cara y vemos cómo cambia su fase. En general, usamos la palabra fase para

nombrar el estado en que algo cambiante se nos muestra en un momento determinado. Cuando algo

o alguien repite el movimiento de otro pero a destiempo, decimos que está desfasado, lo típico de las

personas que usan una ropa que no corresponde con la moda del momento. Las matemáticas no son

un mundo aparte, cuando utilizan una palabra cotidiana lo suelen hacer con el mismo sentido. Si

miras las grá�cas de las funciones seno y coseno observarás que repiten los mismos valores aunque con

un desfase de �=2 en el tiempo, es decir, cos(t) = sen(t+ �=2):

0 2 4 6 8 10 12 14 16 181.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

t

f(t)

SenoCoseno

26

En el caso de las raíces sextas de 1 tenemos un punto que cambia de posición seis veces dentro de

la circunferencia unidad, cada una de estas posiciones es una fase del punto, igual que ocurre con la

Luna. En este ejemplo la posición inicial z0 = 1 es su fase inicial. Si sabemos que una secuencia de

puntos recorre los vértices de un polígono regular dentro de la circunferencia unidad y conocemos sólo

la fase inicial y el tamaño de la muestra entonces podemos dibujar todos los vértices del polígono, es

decir todas las demás fases están determinadas a partir de la fase inicial. Por este motivo la fase inicial

es la más importante y se conoce simplemente como fase. La posición inicial es un número complejo

de módulo 1, por tanto está determinado por el ángulo que forma dicho punto con el eje real, es decir

su argumento. Por este motivo, sólo necesitamos conocer el ángulo de la posición inicial y este ángulo

adquiere también el nombre de fase, pues determina a la verdadera fase. En la sección anterior hemos

visto que las raíces sextas de a = 10 se obtienen multiplicando la �gura F que forman las raíces sextas

de 1 por el número complejo !0 := 101=6ei�=6. Esta multiplicación hace el efecto de transformar dos

características del polígono original: su fase que ahora pasa a ser �=6 y su radio que ahora pasa a

ser 101=6. En las aplicaciones prácticas este radio se conoce como amplitud. La multiplicación por

el número complejo !0 ha ejercido una acción sobre la �gura F modi�cando su fase y su amplitud

original y por este motivo el número !0 se llama fasor, por la misma razón que una máquina que

tracciona se llama tractor.

Los fasores se pueden combinar linealmente para formar nuevas señales a partir de otras más

sencillas, esta es la base del análisis y la síntesis de señales. Una combinación lineal de vectores es

v = a1v1 + a2v2 + � � �+ anvn, donde ak son números y vk son vectores.

En las aplicaciones prácticas para señales, el vector v es una señal a estudiar o a fabricar, los vectores

vk suelen ser patrones de frecuencia y los números ak son los fasores. Cuando v se descompone de esa

manera decimos que estamos analizando la señal y cada fasor contiene como información la amplitud

y la fase correspondiente a cada frecuencia. Si por el contrario tenemos los fasores de cada patrón y

montamos la combinación lineal realizando las operaciones (suma y producto de números complejos)

decimos que la señal v obtenida se ha sintetizado. Dentro de estas combinaciones lineales se pueden

introducir paréntesis que separen unas partes de otras, cada una de las partes recibe el nombre de

canal. La función de un decodi�cador es analizar una señal recibida y separar los canales. A veces en

el proceso de transmisión las señales sufren alteraciones (ruido) y existen herramientas matemáticas

que eliminan estos ruidos porque se conocen los fasores que resultan afectados. La modi�cación de los

fasores para conseguir una nueva señal es la base del procesamiento digital de señales.

En el Tema 3, cuando estudiemos la DFT, veremos que los vectores fZ0, Z1; : : : ; ZN�1g son capacesde generar cualquier señal discreta de tamaño N . Es decir, cualquier lista de N datos, se puede poner

como combinación lineal del sistema de vectores fZkgN�1k=0 de manera que se conoce una fórmula para

los coe�cientes de dicha combinación lineal. La lista o vector formado por estos coe�cientes es lo

que se conoce como Tranformada Discreta de Fourier. El conocimiento de estos coe�cientes permite

su manipulación. Con coe�cientes retocados (no a ciegas, sólo los que correspondan a frecuencias

27

concretas) la señal de partida se puede reconstruir resultando una señal distinta de la original, se usa

el término procesada. Este tipo de manipulaciones es lo que se conoce como Procesamiento de Señales

Digitales y es muy importante en ingeniería de telecomunicaciones.

Para ilustrar los comentarios anteriores vamos a analizar la señal v = [1; 2; 3], encontrando los tres

fasores que se necesitan para modi�car los tres patrones y combinarlos de manera que el resultado

es la señal de partida. Tomamos las señales formadas por las tres primeras potencias (elemento a

elemento) del vector formado por las raíces cúbicas de 1:

Z0 =

264 z00z01z02

375 =264 111

375 , Z1 =264 z0

z1

z2

375 =264 1

ei2�=3

ei4�=3

375 =264 1

�0:5 + 0:86603i�0:5� 0:86603i

375 ,

Z2 =

264 z20z21z22

375 =264 1

�0:5� 0:86603i�0:5 + 0:86603i

375 :Consideremos los fasores

0 = 2ei0 = 2; 1 = 0:57735e

i2:61800; 2 = 0:57735ei3:66519:

Se puede comprobar que 264 123

375 = 0Z0 + 1Z1 + 2Z2:

Los números 0; 1 y 2 forman lo que se llama Transformada Discreta de Fourier de la señal (en

realidad no es exactamente así porque se multiplican todos los coe�cientes por una constante de nor-

malización que se verá más adelante con detalle). El porqué se usa el término transformada está claro:

si consideramos la matriz Z = [Z0; Z1; Z2] (escrita por columnas) entonces hay dos transformaciones

lineales, dadas por la matriz Z y por su inversa, que mediante multiplicación transforman un vector

en el otro (recuerda los comentarios de la sección 4):

v =

264 123

375 �! Z�1 �! =

264 0

1

2

375 = Z�1v (Transformada Discreta de Fourier),

=

264 0

1

2

375 �! Z �! v =

264 123

375 = Z (Transformada Discreta de Fourier Inversa).

El vector v se considera una señal en el �dominio del tiempo�, la señal contiene a los fasores, por

lo tanto, al contenido en amplitud y fase en cada frecuencia, por eso se dice que es la señal �vista en

28

el dominio de la frecuencia�. La transformada directa, cuya matriz es Z�1, es la que analiza porque

obtiene la señal en frecuencia a partir de la señal en el tiempo. Por el contrario la transformada inversa,

cuya matriz es Z, es la que sintetiza porque recupera la señal en el tiempo a partir de su contenido en

frecuencia. Hay que señalar que para obtener la transformada no hay que invertir ninguna matriz de

la manera en que el alumno ha estudiado en Bachillerato, si así fuera todo esto no serviría para nada

porque sería inviable ya que en la práctica las señales se muestrean en más de 1000 valores, con lo cual

Z tiene un millón de entradas. Como veremos más adelante gracias a la teoría de matrices, la inversa de

Z es gratis, no requiere ningún cálculo. Pero aunque Z�1 sea gratis, el cálculo Z�1v no lo es, requiere

del orden de N2 operaciones. Cooley y Tukey en 1965 encontraron un algoritmo que es capaz de

realizar ese cálculo con un número de operaciones casi del orden de N . El algoritmo de Cooley-Tukey,

conocido como FFT (Fast Fourier Transform), supuso un enorme avance en las aplicaciones prácticas

de la DFT pues un exceso de tiempo en el análisis (N comparado con N2 es como mil comparado

con un millón, o sea, mil veces menor) hacía inviable el paso del mundo análógico al mundo digital.

Nuestro mundo actual, tal como lo conocemos, es una consecuencia de este algoritmo.

Evidentemente, toda la terminología técnica propia de las telecomunicaciones que hemos expuesto

en estos apuntes es ampliamente estudiada en otras asignaturas especí�cas del grado, probablemente

desde otros puntos de vista y usando diversas notaciones. Hemos querido simplemente hacer ver que

el contenido de la asignatura Matemáticas I, la luz y comprensión que el punto de vista matemático

aporta sobre estos temas son muy convenientes para los alumnos que comienzan sus estudios de

telecomunicaciones. Reconocemos que no son temas sencillos para un alumno de Bachillerato que

está comenzando sus estudios, acostumbrado a un ritmo lento de estudio, a poca exigencia en la

comprensión teórica de los métodos, a una cierta obsesión en adquirir competencias en la realización

de ejercicios, a veces repetidos hasta la saciedad, sin saber muy bien donde radica su importancia.

La cantidad de ideas vertidas en este tema, al que se dedican apenas dos semanas, puede abrumar a

un alumno en estas condiciones. Le animamos a que haga un esfuerzo y mire la teoría con mejores

ojos que los ejercicios. Un mente entrenada en el pensamiento abstracto es mucho más poderosa que

una mente entrenada en la habilidad para repetir rutinas que ni siquiera comprende. Estudiar bien

la teoría, que al �n y al cabo es la parte importante de la asignatura, es una inversión a largo plazo.

Basar el estudio en la mera lectura de los ejercicios resueltos que ponemos a su disposición sin entender

bien los métodos y motivos que hay detrás de ellos puede ser el principio de un mal camino, a veces

de difícil retorno.

29

7 Ejercicios Resueltos.

Ejercicio 1. Resuelva las siguientes ecuaciones en el cuerpo de los números complejos. Factorice lospolinomios en producto de polinomios de grado 1 con coe�cientes complejos. Factorice los polinomios

en producto de polinomios de grado menor o igual que dos con coe�cientes reales (si son de grado 2

deben ser de la forma (x� a)2 + b2, con a; b 2 R.)

1. x2 � 2x+ 2 = 0:

2. x2 + x+ 1 = 0:

3. x3 � 6x2 + 21x� 26 = 0:

4. x4 � 3x3 � 2x2 + 10x� 12 = 0:

Solución.

1. Las raíces son

x =2�p4� 82

=2� 2i2

= f1 + i; 1� ig :

La factorización en producto de polinomios de grado 1 es

x2 � 2x+ 2 = (x� (1 + i))(x� (1� i)):

La factorización en producto de polinomios de grado menor o igual que dos con coe�cientes

reales es (los de grado 2 de la forma (x� a)2 + b2)

x2 � 2x+ 2 = ((x� 1)� i)((x� 1) + i) = (x� 1)2 � i2 = (x� 1)2 + 12:

2. Las raíces son

x =�1�

p1� 4

2=�1�

p3i

2=

(�12+

p3

2i;�12�p3

2i

):


x2 + x+ 1 =

x�

�12+

p3

2i

!! x�

�12�p3

2i

!!:



x2+x+1 =

�x+

1

2

�+

p3

2i

! �x+

1

2

��p3

2i

!=

�x+

1

2

�2� p

3

2i

!2=

�x+

1

2

�2+

p3

2

!2:

30

3. Buscamos raíces por el método de Ru¢ ni. Encontramos x = 2 y la factorización

x3 � 6x2 + 21x� 26 =�x2 � 4x+ 13

�(x� 2) :

Resolvemos la ecuación x2 � 4x+ 13 = 0 y obtenemos las raíces

x = 2�p4� 13 = 2� 3i = f2 + 3i; 2� 3ig :


x3 � 6x2 + 21x� 26 = (x� 2) (x� (2 + 3i)) (x� (2� 3i)) :



x3 � 6x2 + 21x� 26 = (x� 2) ((x� 2)� 3i) ((x� 2) + 3i) = (x� 2)�(x� 2)2 + 32

�:

4. Buscamos raíces por el método de Ru¢ ni. Encontramos x = f�2; 3g y la factorización

x4 � 3x3 � 2x2 + 10x� 12 = (x+ 2) (x� 3)�x2 � 2x+ 2

�:

Las raíces de x2 � 2x+ 2 ya fueron obtenidas en el apartado 1. Sólo tenemos que importar lasfactorizaciones:

x4 � 3x3 � 2x2 + 10x� 12 = (x+ 2) (x� 3) (x� (1 + i))(x� (1� i)) =

= (x+ 2) (x� 3)�(x� 1)2 + 12

�:

Ejercicio 2. Compruebe las siguientes igualdades.

1. (p2� i)� i(1�

p2i) = �2i:

2.1 + 2i

3� 4i +2� i5i

=�25:

3.5

(1� i) (2� i) (3� i) =i

2:

4. (1� i)4 = �4:

5. (2 + i)2 = 3� 4i:

Solución.

1. (p2� i)� i(1�

p2i) =

p2� i� i+

p2i2 = �2i:

31

2. Para dividir números complejos se multiplica numerador y denominador por el conjugado del

denominador:

1 + 2i

3� 4i +2� i5i

=(1 + 2i) (3 + 4i)

32 + 42+(2� i) (�5i)

52=�5 + 10i� 10i� 5

25=�25:

3. Efectuamos primero los productos

(1� i) (2� i) (3� i) = (1� 3i) (3� i) = �10i:

Ahora usamos que 1=(�i) = i:

5

(1� i) (2� i) (3� i) =5

�10i =i

2:

4. Usamos el binomio de Newton (ver Ejercicio 8).

(1� i)4 = 1 + 4 (�i)1 + 6 (�i)2 + 4 (�i)3 + (�i)4 = 1� 6 + 1 + i (�4 + 4) = �4:

5. Calculamos primero el cuadrado:

(2 + i)2 = 4� 1 + 4i = 3 + 4i = 3� 4i:

Ejercicio 3. Razone las respuestas.

1. ¿Existe algún número real x que veri�que jx� 2ij = 1?

2. ¿Existe algún número real x que veri�que Arg(x+ 2i) = �=3?

3. Ponga un ejemplo de número complejo z veri�cando la condición en cada caso.

(a) jz � 1� ij = 2:

(b) jz � 1� ij > 2:

(c) jz � 1� ij < 2:

Solución.

1. Los ejercicios se pueden resolver analíticamente (haciendo operaciones) o geométricamente (plan-

teando dibujos). A veces un pequeño razonamiento conduce rápidamente a una solución geomé-

trica, por lo que se recomienda pensar un poco antes de lanzarse a hacer operaciones. En este

caso ocurre eso: jx� 2ij es la distancia entre x y 2i. Por tanto, la ecuación jx� 2ij = 1 tiene

como solución todos los números complejos que distan 1 de 2i, es decir, todos los puntos de la

circunferencia de centro 2i y radio 1. Si la trazamos vemos que dicha circunferencia no corta al

32

eje real, por lo que la respuesta a la pregunta es "no". Si planteamos el problema analíticamente,

para un x 2 R se tiene que

jx� 2ij =px2 + 4 = 1) x2 + 4 = 1) x2 = �3) x =2 R:

2. En la sección "Conceptos Básicos y Notaciones" se ha estudiado el argumento de un número

complejo y se ha visto que es un conjunto formado por in�nitos valores del ángulo, todos ellos

separados por un múltiplo entero de 2�. Por lo tanto, cada intervalo de amplitud 2� (quitando

uno de sus extremos) sólo contiene un valor del argumento de cada número complejo. Se llama

argumento principal, y se denota por Arg(z), a aquel valor del argumento que está en el intervalo

(��; �]. En este caso, los números complejos cuyo argumento principal es �=3 son los de lasemirrecta que parte de 0 y forma un ángulo de �=3 con el eje real. Si x es real entonces el

número x + 2i tiene parte real x y parte imaginaria 2, por tanto está situado en la recta de

ecuación y = 2. El corte de la recta y = 2 con la semirrecta antes mencionada, cuya ecuación es

y =p3x (pues la tangente de �=3 es

p3), es el punto (2=

p3; 2). Por lo tanto la respuesta es:

"existe una única solución x = 2=p3".

3. Razonando como en el apartado 1, sabemos que jz � 1� ij = 2 es una circunferencia de centro1 + i y radio 2. La región jz � 1� ij > 2 correspondería al exterior de dicha circunferencia y

jz � 1� ij < 2 correspondería al interior. Si dibujamos la circunferencia es muy fácil obtener

puntos que cumplan la condición exigida:

(a) jz � 1� ij = 2: Por ejemplo, 1 + 3i, 1� i, 1�p3,�1�p3�i

(b) jz � 1� ij > 2:Por ejemplo, 1 + 4i, 1� 2i, 1� 2p3,�1� 2

p3�i

(c) jz � 1� ij < 2. Por ejemplo, 1 + i, 1 , 1�p3=2,

�1�p3=2�i

Ejercicio 4.

1. Demuestre que la ecuación jz � z0j = R; de la circunferencia de centro z0 y radio R, se puede

escribir de la forma

jzj2 � 2Re(zz0) + jz0j2 = R2:

2. Pruebe que las soluciones de z2 + z2 = 2 son los puntos de la hipérbola x2 � y2 = 1:

Solución.

1. La ecuación equivale a jz � z0j2 = R2. Usando que jz � z0j2 = (z � z0) (z � z0) y las propiedadesde la conjugación:

(z � z0) (z � z0) = (z � z0) (z � z0) = zz � zz0 � zz0 + z0z0 = jzj2 � 2Re(zz0) + jz0j2 :

Hemos usado las igualdades

zz0 = zz0 z + z = 2Re(z):

33

2. De nuevo usamos las propiedades de la conjugación:

z2 + z2 = z2 + z2 = 2Re(z2) = 2�x2 � y2

�:

Ejercicio 5. Demuestre que si a0; a1; : : : ; an son números reales entonces

a0 + a1z + � � �+ anzn = a0 + a1z + � � �+ anzn:

Concluya que las raíces complejas no reales de un polinomio con coe�cientes reales siempre apare-

cen por parejas, una y su conjugada. Mediante un ejemplo compruebe que esto no es cierto si los

coe�cientes no son todos números reales.

Solución. Basta aplicar las propiedades de la conjugación con respecto a la suma y al producto(sección "Conceptos Básicos y Notaciones"):

a0 + a1z + � � �+ anzn = a0 + a1z + � � �+ anzn = a0 + a1z + � � �+ anzn:

Si un polinomio P (z) = a0 + a1z + � � �+ anzn tiene coe�cientes reales entonces

a0 + a1z + � � �+ anzn = a0 + a1z + � � �+ anzn:

Por lo tanto, si P (z) se anula en z entonces también se anulará en z: Esta propiedad no es cierta si

P (z) tiene algún coe�ciente no real, por ejemplo P (z) = x2 � ix tiene raíces f0; ig, que no son unaconjugada de la otra.

Ejercicio 6. Demuestre geométricamente que la ecuación jz � 1j = jz + ij representa la recta dependiente �1 que pasa por el origen.

Solución. Los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados es la mediatriz (perpendicular porel punto medio) del segmento formado por dichos puntos. También se puede resolver analíticamente,

usando la fórmula del ejercicio 4:

jz � z0j2 = jzj2 � 2Re(zz0) + jz0j2 :

Por lo tanto,

jzj2 � 2Re(z) + j1j2 = jz � 1j2 = jz + ij2 = jzj2 � 2Re(iz) + j�ij2 ()

() Re(z) = Re(iz)() x = �y, donde z = x+ iy:

Ejercicio 7. Calcule, en notación compleja, en notación real y en notación matricial, las ecuacionesde la simetría respecto de la recta que pasa por (0; 1) con pendiente 1. Para ello, sea z un número

34

complejo arbitrario y sea w su simétrico respecto de dicha recta. Transforme mediante traslaciones

y rotaciones la �gura formada por la recta junto con los puntos z y w, hasta conseguir una relación

conocida entre los puntos obtenidos. De esa relación puede despejar w en función de z.

Solución. En los siguientes dibujos se detallan las transformaciones que realizamos:

z

i

0

i

i

recta r

i

i

wTraslación sumandoa toda la figura elnúmero i

zi

wi

0

π/4

π/4

ei π/4

Rotación de ángulomediante la multiplicaciónde toda la figura por

(wi)e i π/4

(zi)e i π/4

(wi)e i π/4 = (zi)e i π/4

La recta r original se hatransformado en el eje real.

Los puntos z y w originales se hantransformado en estos otros:

Se observa que los númerosobtenidos son conjugadosentre sí:

0Eje Real

Eje Imaginario

Imponemos que dichos números son uno conjugado del otro y despejamos w en función de z:

(w � i) e�i�4 = (z � i) e�i�4 = (z + i) ei

�4 ) w = i+ (z + i) ei

�2 )

35

) w = i+ (z + i) i = �1 + i+ iz.

Conviene hacer comprobaciones cada vez que se pueda para detectar posibles errores que se hayan

cometido. Por ejemplo, en este caso conocemos los simétricos de tres puntos, z = 0;�1 e i, queson respectivamente w = �1 + i, �1 e i. Si sustituimos esos valores de z en la fórmula anteriorobservaremos que se obtienen justamente esos valores de w.

Sea w = u + iv, z = x + iy. A partir de la expresión compleja de la simetría podemos obtener

otras expresiones reales. Sustituimos en la fórmula anterior e igualamos las partes real e imaginaria

entre sí:

u+ iv = w = �1 + i+ iz = (�1 + y) + i(1 + x))(u = �1 + yv = 1 + x

)

)"u

v

#=

"�11

#+

"0 1

1 0

#"x

y

#:

Se deja al alumno hacer las mismas comprobaciones en la fórmula anterior, escribiendo los puntos en

notación de columna en lugar de en notación compleja.

Ejercicio 8. Calcule una fórmula para las razones trigonométricas del ángulo 3� de dos manerasdistintas:

1. Multiplicando tres veces la matriz de un giro.

2. Mediante la fórmula de De Moivre.

Solución. En la sección "Operaciones entre números complejos: Interpretación geométrica" se estudióla fórmula de De Moivre, que es consecuencia de las propiedades de la exponencial compleja:�

ei��n= ei� � ei� � � � � � ei�| {z }

n veces

= ei�+��+i� = ein� ) (cos � + i sen �)n = cos (n�) + i sen (n�) :

Por otro lado tenemos la fórmula del binomio de Newton:

(a+ b)n =�n0

�an +

�n1

�an�1b+ � � �+

�nk

�an�kbk + � � �+

�nn

�bn =

nXk=0

�nk

�an�kbk:

Los coe�cientes�nk

�se llaman números combinatorios y su valor es

�nk

�=

n!

k!(n� k)! , donde m! = m(m� 1) � � � 3 � 2 � 1 y 0! := 1.

Estos números cumplen las siguientes propiedades que son fácilmente comprobables:�n0

�=�nn

�= 1,

�nk

�+

�n

k + 1

�=

�n+ 1

k + 1

�:

36

En virtud de la propiedad anterior, si colocamos todos los números combinatorios de un n �jo en una

�la �n0

� �n1

��

�n

n� 1

� �nn

�entonces los números combinatorios de la siguiente �la, la de n+1, se obtienen sumando dos números

consecutivos de la �la anterior. De esta manera se obtiene el triángulo de Pascal-Tartaglia que va

produciendo todos los números combinatorios

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Estos números parecen extraños pero aparecen de forma natural cuando se multiplica una suma, a+b,

por sí misma usando la propiedad distributiva o del factor común. Lo comprobamos en las potencias

2 y 3:

Observe cómo aparece la tercera �la del triángulo de Pascal�2

k

�, k = 0; 1; 2:

(a+ b)(a+ b) = (a+ b)a+ (a+ b)b = a2 + ba+ ab+ b2 = 1 a2 + 2 ab+ 1 b2

Observe cómo aparece la cuarta �la del triángulo de Pascal�3

k

�, k = 0; 1; 2; 3:

(a+ b)(a+ b) (a+ b) = (a2 + 2ab+ b2)(a+ b) = (a2 + 2ab+ b2)a+ (a2 + 2ab+ b2)b =

= a3 + 2a2b+ b2a+ a2b+ 2ab2 + b3 = 1 a3 + 3 a2b+ 3 ab2 + 1 b3:

Como se puede ver, el cálculo de las potencias se va complicando conforme aumenta el exponente y el

número combinatorio no es más que una forma elegante de contar cuántas veces aparece el sumando

an�kbk en el cálculo de (a+ b)n. La aplicación de la propiedad distributiva a este producto lo que nos

dice es que se multiplican "todos por todos", es decir, en cada factor (a+ b) se toma uno de los dos,

a ó b, y esto se hace de todas las maneras posibles. De esta manera aparecen "palabras" de n letras

formadas con las letras a y b:

abaaab � � � bbaaa| {z }n letras en total

:

Si suponemos que a aparece n� k veces y b aparece k veces entonces la "palabra" da como resultadoan�kbk y la pregunta es ¿cuántas combinaciones posibles o palabras distintas pueden aparecer? Si se

tratase de n símbolos diferentes el resultado sería n!, que es el número de veces que se pueden permutar

n símbolos. Pero al haber coincidencias, todas las permutaciones del símbolo a dan la misma palabra,

por ese motivo se divide por el número de permutaciones de a, es decir, por (n� k)!. Análogamente,

37

si intercambiamos una b con otra b, obviamente queda la misma palabra y como eso se puede hacer

k! veces, hay que dividir también por k!. Así es como aparece el valor

n!

k!(n� k)! :

Simpli�cando factores comunes en numerador y denominador se puede comprobar que la fracción

anterior equivale a esta otra:

n!

k!(n� k)! =

k factoresz }| {n(n� 1) � � � (n� k + 1)

(n�k)!z }| {(n� k) � � � 3 � 2 � 1

k!(n� k)! =

k factoresz }| {n(n� 1) � � � (n� k + 1)

k!:

1. La matriz de un giro es

G� =


#:

Al aplicar tres veces un giro de ángulo � hacemos un giro de ángulo 3�, por lo que"cos 3� sen 3�

sen 3� cos 3�

#= G3� =




#=

"cos2 �� sen2 � �2 cos� sen�2 cos� sen� cos2 �� sen2 �


#=

=

"cos3 �� 3 sen2 � cos� �3 cos2 � sen�+ sen3 �3 cos2 � sen�� sen3 � cos3 �� 3 sen2 � cos�

#Igualando entrada a entrada se obtienen las igualdades

cos 3� = cos3 �� 3 sen2 � cos�;sen 3� = 3 cos2 � sen�� sen3 �:

2. Aplicando la fórmula de De Moivre junto con el binomio de Newton (i2 = �1, i3 = �i):

cos 3�+ i sen 3� = (cos�+ i sen�)3 =

=

�3

0

�cos3 �+

�3

1

��cos2 �

�i sen�+

�3

2

�(cos�) (i sen�)2 +

�3

3

�(i sen�)3 =

= cos3 �� 3 cos� sen2 �+ i�3 cos2 � sen�� sen3 �

�:

Igualando parte real e imaginaria en cada número se obtiene

cos 3� = cos3 �� 3 sen2 � cos�;sen 3� = 3 cos2 � sen�� sen3 �:

38

Ejercicio 9. Calcule el módulo y el argumento de cada uno de los siguientes números complejos

usando la interpretación geométrica del producto y el cociente.

1.�2

1 +p3i:

2.i

�2� 2i :

3.�p3� i

�6:

4. (1 + i)8

Solución.

En este ejercicio vamos a usar la expresión del producto y el cociente en forma exponencial:

r1ei�1r2e

i�2 = r1r2ei(�1+�2),

r1ei�1

r2ei�2=r1r2ei(�1��2):

No hay muchos ángulos cuyas razones trigonométricas sean conocidas de manera exacta sin necesi-

dad de usar una calculadora, son los habituales que los alumnos han estudiado en bachillerato: 0o,

30o, 45o, 60o y 90o junto con sus homólogos en el resto de cuadrantes. Usando las distintas fórmulas

trigonométricas también se pueden hacer cálculos exactos con otros ángulos obtenidos a partir de los

anteriores mediante sumas, mitades, etc. Por ejemplo, se puede obtener una expresión exacta de las

razones trigonométricas del ángulo de 15o, porque es la mitad de 30o, o las del ángulo de 50o porque

es la suma 45o más 15o. En los exámenes de esta asignatura es habitual que no se permita usar la

calculadora, por ello los alumnos deben estar familiarizados con estas razones y también se exige que

no se usen los grados como medida de los ángulos sino los radianes. Obviamente en la práctica apare-

cen todo tipo de ángulos y radios cuyo valor sólo puede ser aproximado por una expresión decimal,

como se vio en el ejemplo del análisis de la señal [1; 2; 3] en términos de las tres primeras frecuencias.

Los cálculos en la realidad sólo pueden ser llevados a cabo por máquinas pero no es el manejo de

máquinas lo que está en cuestión en esta asignatura, sino la comprensión de los conceptos, los teore-

mas, el fundamento matemático y para eso no se necesita una calculadora. Una vez adquiridos esos

fundamentos, en otras asignaturas de cursos superiores obviamente sí se hacen todos los cálculos con

paquetes informáticos, como por ejemplo Matlab.

Puede ser de utilidad la siguiente regla nemotécnica para recordar fácilmente las razones de los

ángulos antes mencionados. Esta regla combinada con los correspondientes dibujos de los ángulos

sobre la circunferencia unidad ayudará a resolver más rápidamente los ejercicios. Por ejemplo, si el

alumno dibuja un ángulo de 120o inmediatamente observará que se corresponde con un ángulo de 90o

más otro de 30o sobre el segundo cuadrante. Por simetría relacionará dicho ángulo con el de 60o en el

primer cuadrante y de ahí deducirá las razones del ángulo de 120o.

39

�! seno �!

0 30 45 60 90p0=2

p1=2

p2=2

p3=2

p4=2

90 60 45 30 0

!0 30 45 60 90

0 1=2p2=2

p3=2 1

90 60 45 30 0

� coseno �

Insistimos en que los cálculos se llevan a cabo más rápidamente si se observan las representaciones

geométricas de los puntos y su posición relativa respecto de la circunferencia unidad para conocer los

radios y los argumentos de los números complejos que nos aparecen en los ejercicios. En los siguientes

apartados no se incluyen los dibujos, pero el alumno debe saber que el profesor ha usado muy poco el

cuadro anterior para calcular el ángulo y bastante más los dibujos.

1. Usando los comentarios anteriores sabemos que �2 = 2ei�, 1 +p3i = 2ei�=3. Por lo tanto

�21 +p3i=

2ei�

2ei�=3= ei2�=3 ) r = 1, � =

2�

3:

2. i = ei�=2, �2� 2i = 2p2ei5�=4. Por lo tanto

i

�2� 2i =ei�=2

2p2ei5�=4

=

p2

4e�i3�=4 =

p2

4ei2��i3�=4 =

p2

4ei5�=4 ) r =

p2

4, � = �3�

4ó5�

4:

Hay que recordar que el argumento toma in�nitos valores y en cada intervalo semi-abierto de

amplitud 2� sólo tiene uno. En cada ejercicio hay que dar como valor del argumento uno

cualquiera, si es que el enunciado no indica nada, y dar el que pertenece a un intervalo concreto

si el enunciado especi�ca en qué intervalo hay que tomar el argumento. No es correcto decir que

�3�4=5�

4

porque esos dos números no son iguales. Lo que sí es cierto es

e�i3�=4 = ei5�=4

Otro error común es olvidar la i en las exponenciales, no simpli�car los resultados, etc. El alumno

debe expresarse con rigor matemático porque eso es un indicio de que entiende los conceptos.

Hacemos estos comentarios aquí porque los criterios de corrección en los exámenes tienen en

cuenta estas cuestiones. Otro error común es pensar que los únicos ángulos que existen son los

del cuadro anterior, por ejemplo, el número complejo 1 + 2i "parece" que forma un ángulo de

60o pero no es así, en este caso no podemos calcular rápidamente el ángulo a no ser con una

calculadora:

� = arctan 2 = arccos1p5= arcsen

2p5:

40

Si en algún ejercicio no se puede usar calculadora basta dejar indicado el valor mediante alguna

expresión de ese tipo, solamente en los casos en que no sea posible calcularlo de manera exacta

usando los comentarios anteriores (tabla, sumas/restas de ángulos, ángulo mitad,...).

3.p3� i = 2ei11�=6 )

�p3� i

�6= 26ei11� = 64ei10�ei� = 64

�ei2�

�5ei� = 64ei� ) r = 64, � = �,

ya que ei2� = 1.

4. 1 + i =p2ei�=4 ) (1 + i)8 = 24ei2� = 16:

Ejercicio 10. Calcule geométrica y analíticamente (en forma exponencial y binómica):

1. Las raíces cúbicas de �8i:

2. Las raíces cúbicas de �4p2 + 4

p2i:

3. Las raíces cuartas de�4

1�p3i:

4. Las raíces sextas de �1. Use el resultado para descomponer el polinomio x6 + 1 en producto detres polinomios de segundo grado con coe�cientes reales.

5. Demuestre que si las raíces cuadradas de un número complejo z son fw;�wg entonces las raícesde z son fw;�wg. Utilice esta propiedad para factorizar el polinomio x4 � 4x2 + 5 de la mismamanera que se pide en el Ejercicio 1. Se pide no escribir las raíces en términos de senos y cosenos,

sino usando radicales. Para ello utilice las fórmulas trigonométricas

z = a+ bi = rei� ) cos � =ap

a2 + b2, sen � =

bpa2 + b2

2 cos2�

2= 1 + cos �, 2 sen2

�

2= 1� cos �

Solución.

1. El cálculo analítico sería: �8i = 8ei3�=2 ) 3p�8i =

�!k = 8

1=3ei(3�=2+2k�)=3 : k = 0; 1; 2=�

2ei(3�=2+2k�)=3 : k = 0; 1; 2. Los números anteriores se pueden calcular evaluando ei(3�=2+2k�)=3

directamente ó multiplicando ei�=2ei2k�=3, según cuáles conozcamos mejor. Calculamos la forma

exponencial (rei�) y la binómica (a+ bi).

(a) Directamente:

k = 0! !0 = 2ei�=2 = 2i:

k = 1! !1 = 2ei(�=2+2�)=3 = 2ei7�=6 = 2

�p3

2� i12

!= �p3� i:

k = 2! !2 = 2ei(�=2+4�)=3 = 2ei11�=6 = 2

p3

2� i12

!=p3� i:

41

Las razones de los ángulos 7�=6 y 11�=6 se conocen porque cada �=6 son 30o y basta ir

abarcando dicho ángulo en la circunferencia unidad para relacionar sus razones con las del

ángulo de 30o, 60o, etc.

(b) Multiplicando !0 por las raíces cúbicas de la unidad:

k = 0! !0 = 2ei�=2 = 2i:

k = 1! !1 = !0z1 = 2iei2�=3 = 2i

�12+ i

p3

2

!= �p3� i:

k = 2! !2 = !0z2 = 2iei4�=3 = 2i

�12� ip3

2

!=p3� i:

(c) Cálculo geométrico de las raíces. Dibujamos las tres raíces cúbicas de 1 y multiplicamos la

�gura que forman por !0, lo que supone una homotecia de razón 2 y un giro de ángulo �=2.

A partir del dibujo se puede obtener también el valor de las tres raíces, pues se observa que

!0 cae sobre el eje imaginario y tiene radio 2, por tanto no puede ser otro que 2i. Lo mismo

ocurre con !1; se ve claramente que forma un ángulo de 30o con el eje real negativo (porque

procede de girar 90o el punto z1 que forma un ángulo de 30o con el eje imaginario superior)

y con esa información podemos saber las coordenadas porque las razones de un ángulo de

30o se conocen (ver cuadro nemotécnico) y se pueden transportar a otros cuadrantes. Por

último, !2 se observa que está en la misma horizontal que !1 y es simétrico de !1 respecto

del eje Oy, por lo tanto es obvio deducir el valor de !2 a partir del valor de !1.

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

z1

z2

θ0/3

2π/3

ω2

ω0

ω1

z0

2

42

2. �4p2 + 4

p2i = 8ei3�=4. Este ejercicio se hace exactamente igual que el anterior, sólo que al

hacerlo directamente necesitamos las razones de un ángulo de 75o, que no están en el cuadro

nemotécnico. Así pues lo resolvemos como en el apartado b) anterior. El resultado es:

!0 = 2ei�=4, !1 = !0z1 =

p2

2(1 + i)

��1 + i

p3�=

p2

2

��1�

p3 + i

��1 +

p3��

!2 = !0z2 =

p2

2(1 + i)

��1� i

p3�=

p2

2

��1 +

p3 + i

��1�

p3��

:

La grá�ca de las tres raíces se obtiene también igual, sólo que el giro esta vez es de 45o. Se deja

al alumno hacer la grá�ca y comprobar que !1 forma un ángulo de 15o con el eje real negativo

y !2 también forma 15o con el imaginario inferior.

3. En el ejercicio 9 se han hecho consideraciones similares para conocer el radio y el argumento de

�4=�1�p3i�:

�41�p3i= 2ei4�=3:

Por lo tanto, !0 = 21=4ei�=3 = 21=4�1=2 + i

p3=2�(aproximamos 21=4 ' 1:2). Así pues, sólo

tenemos que girar 60o el cuadrado que forman las raíces cuartas de la unidad y expandir el radio

hasta 21=4. Las otras tres raíces son:

!1 = !0z1 = 21=4��p3=2 + i=2

�, !2 = !0z2 = �21=4

�1=2 + i

p3=2�,

!3 = !0z3 = 21=4�p3=2� i=2

�.

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

z1

z2

z3

z0

ω0

ω1

ω2

ω3

21/4

43

4. Las raíces sextas de 1 ya se han representado anteriormente cuando se ha calculado 6p�10. Como

�10 y �1 tienen el mismo argumento, el dibujo es el mismo sólo que cambiando el radio 101=6

por 1. En dicho dibujo se puede ver que las simetrías entre los puntos permiten calcular muy

fácilmente las seis raíces conociendo únicamente !0:

!0 =

p3

2+ i1

2, !1 = i, !2 = �

p3

2+ i1

2,

!3 = �p3

2� i12, !4 = �i, !5 =

p3

2� i12.

Es evidente que aparecen por parejas de conjugados (en el dibujo se ve igualmente claro). En la

factorización del polinomio se pueden agrupar dos factores que contengan raíces conjugadas:

(x� (a+ bi))(x� (a� bi)) = (x� a)2 + b2:

Si hacemos eso con las tres parejas obtenemos la factorización:

x6 + 1 =

8<: x�p3

2

!2+1

4

9=;�x2 + 1�8<: x+

p3

2

!2+1

4

9=; :

5. Si w2 = z entonces w2 = z, por las propiedades de la conjugación. Luego, las raíces son las

conjugadas. La ecuación x4 � 4x2 + 5 = 0 es bicuadrada y sus raíces se calculan:

x2 = 2�p2� 5 = 2�

p3i:

Usando la propiedad anterior sólo tenemos que calcular las dos raícesp2 +p3i, pues las otras

dos son las conjugadas. Además, el cálculo de las dos raíces cuadradas de 2+p3i se reduce a un

sólo número pues el otro es su opuesto. En este caso tenemos el problema de que el argumento

de 2 +p3i no es de los conocidos (tabla nemotécnica). Aunque lo que necesitamos no es el

argumento, sino sus razones y ésas sí las conocemos:

rei� = 2 +p3i =

p7

2p7+ i

p3p7

!) cos � =

2p7, sen � =

p3p7:

Sabemos que � es un ángulo del primer cuadrante por lo tanto �=2 también y por ello sus razones

son los valores positivos de la raíz cuadrada:

cos�

2=

s1 + 2p

7

2=

s7 + 2

p7

14=: �0, sen

�

2=

s7� 2

p7

14=: �0:

44

Se puede comprobar (usar propiedades de radicales) que

71=4�0 =

sp7 + 2

2=: �; 71=4�0 =

sp7� 22

=: �, r1=2ei�=2 = �+ i�:

Las cuatro raíces del polinomio son

z1 = �+ i� = r1=2ei�=2, z2 = �z1, z3 = z1, z4 = �z1:

La factorización del polinomio en polinomios de grado 1 con coe�cientes complejos es

x4 � 4x2 + 5 = (x� z1) (x� z2) (x� z3) (x� z4) :

La factorización del polinomio en polinomios de grado 2 con coe�cientes reales es

x4 � 4x2 + 5 =�(x� �)2 + �2

��(x+ �)2 + �2

�;

donde � y � son los números expresados anteriormente.

Ejercicio 11.

1. Demuestre la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica

1 + z + z2 + � � �+ zn = 1� zn+11� z ; (z 6= 1).

2. Demuestre la fórmula trigonométrica

cosu� cos v = �2 sen u+ v2

senu� v2

:

3. Aplique la fórmula del primer apartado para z = ei� y el apartado anterior para deducir la

identidad de Lagrange

1 + cos � + cos 2� + � � �+ cosn� = 1

2+sen��n+ 1

2

��

2 sen��2

� (0 < � < 2�):

4. Use la fórmula del primer apartado para deducir que si c es una raíz n-ésima de la unidad, c 6= 1,entonces

1 + c+ c2 + � � �+ cn�1 = 0:

Nota: La propiedad anterior es equivalente a otra que ya se demostró directamente cuandose estudiaron las raíces N -ésimas de los números complejos: La suma de cualquier potencia

45

s = 1; 2; : : : ; N � 1 de todas las raíces N -ésimas de 1 vale 0, es decir

N�1Xk=0

zsk = 0, para todo s = 1; 2; : : : ; N � 1.

Esto es así porque el subíndice y el superíndice es intercambiable en esta notación, es decir,

zsk = zks = ck. Esta propiedad de suma cero es importante porque nos viene a decir que los

vectores que se usan para la DFT

Zs =

266664zs0zs1...

zsN�1

377775 , s = 1; 2; : : : ; N � 1

contienen una muestra equilibrada dentro de la circunferencia unidad, pues el centro de gravedad

de una nube de N puntos fPkgNk=1 es su media aritmética:

Centro de Gravedad =1

N

NXk=1

Pk

Solución.

1. Multiplicamos:

�1 + z + z2 + � � �+ zn

�(1� z) = 1 + z + z2 + � � �+ zn �

�z + z2 + � � �+ zn + zn+1

�= 1� zn+1:

Si z 6= 1 entonces se puede dividir en ambos miembros y queda la igualdad que se pide demostrar.

2. Utilizamos las fórmulas trigonométricas deducidas en la sección de los giros:

cos (�+ �) = cos� cos� � sen� sen�

cos (�� ) = cos� cos� + sen� sen�:

Si restamos las dos fórmulas anteriores:

cos (�+ �)� cos (�� ) = �2 sen� sen�:

Hacemos el cambio de variables

�+ � = u

�� = v

),

8<: � =u+ v

2

� =u� v2

:

46

Sustituyendo queda

cosu� cos v = �2 sen u+ v2

senu� v2

:

3. Aplicando la fórmula del apartado anterior a z = ei� se obtiene:

1 + z + z2 + � � �+ zn = 1 + ei� + ei2� + � � �+ ein� =

1 + cos � + cos 2� + � � �+ cosn� + i (sen � + sen 2� + � � �+ senn�) = 1� ei(n+1)�1� ei� ;

exceptuando aquellos valores de � para los cuales ei� = 1, que son � = 0; 2�. Si tomamos parte

real en cada miembro de la igualdad anterior nos queda:

1 + cos � + cos 2� + � � �+ cosn� = Re 1� ei(n+1)�

1� ei� :

Para dividir dos números complejos se multiplica numerador y denominador por el conjugado

del denominador, es decir, 1� ei� = 1� e�i�. Calculamos dichos productos:�1� ei�

��1� ei�

�=�1� ei�

��1� e�i�

�= 1� ei� � e�i� + 1 = 2� 2 cos �;

�1� ei(n+1)�

��1� ei�

�=�1� ei(n+1)�

��1� e�i�

�= 1� ei� � ei(n+1)� + ein�

Por lo tanto,

Re1� ei(n+1)�1� ei� =

1

2� 2 cos � Re�1� ei� � ei(n+1)� + ein�

�=1� cos � � cos (n+ 1) � + cosn�

2� 2 cos � =

=1� cos �2� 2 cos � +

cosn� � cos (n+ 1) �2� 2 cos � =

1

2+cosn� � cos (n+ 1) �

2� 2 cos �Así pues, tenemos que demostrar la igualdad

cosn� � cos (n+ 1) �2� 2 cos � =

sen��n+ 1

2

��

2 sen��2

� :

Aplicamos la fórmula del apartado 2 al numerador y al denominador:

cosn� � cos (n+ 1) � = �2 sen (2n+ 1) �2

sen��2= 2 sen

��n+

1

2

��

�sen

�

2;

2� 2 cos � = 2 (cos 0� cos �) = �4 sen �2sen��2= 4 sen2

�

2:

Basta dividir las dos expresiones obtenidas para obtener la identidad que se pide demostrar.

4. Esta propiedad de las raíces n-ésimas de 1 es directa a partir de la fórmula obtenida en el primer

apartado, pues cn = 1:

1 + c+ c2 + � � �+ cn�1 = 1� cn1� c = 0:

47

Obviamente, si c = 1 entonces la fórmula no es cierta, pues la suma no es 0 sino n.

Ejercicio 12. Pruebe que dos números complejos z1 y z2 tiene igual módulo si y sólo si existennúmeros complejos c1 y c2 tales que z1 = c1c2 y z2 = c1c2:

Solución. Veamos en primer lugar la implicación hacia la derecha. Sean z1 y z2 tales que jz1j = jz2j =r. Entonces z1 = rei� y z2 = rei�. La siguiente elección puede parecer una idea feliz, pero no dude el

alumno de que la idea ha surgido del estudio del dibujo formado por la circunferencia de radio r en la

cual situamos los números z1, z2 junto con el punto medio entre ellos (no sobre el segmento, sino sobre

el arco de circunferencia), de pensar en los ángulos como distancias, de pensar en las consecuencias

geométricas de la multiplicación:

c1 = r1=2ei(�+�)=2, c2 = r1=2ei(��)=2:

Comprobamos:

c1c2 = r1=2ei(�+�)=2ei(��)=2 = rei� = z1;

c1c2 = r1=2ei(�+�)=2ei(��+�)=2 = rei� = z2:

La implicación hacia la izquierda es más sencilla, pues un número complejo y su conjugado tienen el

mismo módulo:

jz1j = jc1c2j = jc1j jc2j , jz1j = jc1c2j = jc1j jc2j = jc1j jc2j .

Ejercicio 13. Determine k 2 R para que el cociente z = �2 + kik � i sea:

1. Un número real. ¿Qué número z resulta?

2. Un número imaginario puro. ¿Qué número es z?

3. Un número complejo de módulop3. ¿Qué número complejo es z? Escríbalo en forma trigonométrica

y exponencial (el argumento de z no es un ángulo de los "conocidos", déjelo indicado como

� = arctanm, para cierto valor de m). Represéntelo geométricamente.

4. Demuestre que para cada r 2 (1; 2] siempre existe un valor de k de manera que z tiene módulor. Deduzca que fuera de esta corona no puede haber ningún número z con esa expresión.

Solución. Calculamos en primer lugar una expresión del número donde apreciemos mejor sus partesreal e imaginaria:

z =�2 + kik � i =

(�2 + ki) (k + i)(k � i) (k + i) =

�3k + i�k2 � 2

�1 + k2

=�3k1 + k2

+ ik2 � 21 + k2

:

48

1. z 2 R, k2�21+k2

= 0, k2 = 2, k = �p2. En estos casos,

z =�3k1 + k2

+ ik2 � 21 + k2

��k=�

p2

=�3p2

3= �p2:

2. z es imaginario puro , �3k1+k2

= 0, k = 0. En estos casos,

z =�3k1 + k2

+ ik2 � 21 + k2

��k=0

= i�21= �2i:

3. Es más sencillo evaluar el módulo de z en la expresión del enunciado que en la que hemos

obtenido después:

jzj =��2 + kik � i

�� = j�2 + kijjk � ij =

p4 + k2p1 + k2

=p3, 4 + k2 = 3 + 3k2 , k = � 1p

2:

En estos casos,

z =�3=p2

1 + 1=2+ i1=2� 21 + 1=2

= �p2� i:

Para escribir z en su forma trigonométrica lo dividimos por su módulo:

cos � + i sen � = �p2p3� i 1p

3:

Observamos que estas razones no �guran en el cuadro nemotécnico de ángulos, por tanto no

podemos calcular � a no ser con una calculadora (que nunca obtendrá � de manera exacta, sino

una aproximación). Lo dejamos indicado:

�1 = 2� � arctan(1=p2), �2 = � + arctan(1=

p2):

Tenga en cuenta que los valores de z están en el tercer y cuarto cuadrante, por eso hemos

adecuado el valor de la arcotangente. Para estos valores de � se cumplen las igualdades

zi =p3 (cos �i + i sen �i) (forma trigonométrica); zi =

p3ei�i (forma exponencial), i = 1; 2.

4. Fijamos un número r 2 (1; 2], es decir, 1 < r � 2. Este valor de r debe ser el módulo de uncierto z, es decir,

r =

p4 + k2p1 + k2

:

Si trabajamos con la ecuación anterior:

r2 =4 + k2

1 + k2= 1 +

3

1 + k2, r2 � 1 = 3

1 + k2, 3

r2 � 1 = 1 + k2 , 4� r2

r2 � 1 = k2:

Observe que si 1 < r � 2 entonces tanto el numerador como el denominador son positivos, por

49

lo tanto puedo calcular

k :=

r4� r2r2 � 1 :

Al sustituir dicho valor de k en la expresión de z obtendríamos un número z cuyo módulo es

obviamente r. Por otro lado, si r 2 [0; 1] entonces 4� r2 > 0 pero r2� 1 � 0 y resulta imposibleextraer la raíz cuadrada o dividir. Si r > 2 entonces 4� r2 < 0 al mismo tiempo que r2� 1 > 0,con lo cual el cociente es negativo y tampoco podríamos extraer la raíz cuadrada del cociente.

Ejercicio 14.

1. Resuelva la ecuación z2 = z de dos maneras distintas:

(a) Escriba z = a+ bi y resuelva las ecuaciones resultantes.

(b) Si z 6= 0, se puede multiplicar en ambos miembros por jzj�2. Recuerde que z= jzj2 = z�1.

A partir de ahí se puede deducir que z3 = 1:

2. ¿Cuál de los dos métodos anteriores cree que le permitiría resolver la ecuación zn = z? Resuelva

la ecuación.

Solución.

1. Resolvemos la ecuación mediante los métodos propuestos:

(a) Sea z = a+ bi. Entonces:

z2 = z , a2 � b2 + 2abi = a� bi:

Igualando las partes real e imaginaria queda el sistema fa2 � b2 = a, 2ab = �bg. Si b = 0se cumple la segunda ecuación y de la primera se deduce que a = 0 ó 1. Si b 6= 0 podemosdividir la segunda ecuación por b y resulta a = �1=2. Sustituyendo en la primera se obtieneb = �

p3=2. Las soluciones obtenidas son:(

0; 1;�12+ i

p3

2;�12� ip3

2

):

Observe que se trata de las tres raíces cúbicas de 1, además del 0.

(b) Si z = 0 entonces se veri�ca la ecuación. Si z 6= 0 entonces podemos dividir la ecuación porjzj2 y quedan ecuaciones equivalentes:

z2

jzj2=

z

jzj2=1

z, z3

jzj2= 1, z3 = jzj2 .

Tomando módulo en la segunda ecuación se deduce que jzj = 1. Sustituyendo en la terceraecuación se obtiene z3 = 1, por lo tanto las soluciones son las raíces cúbicas de la unidad,

además del 0.

50

2. Obviamente el método aplicado en el apartado (a) no se puede aplicar en este caso general,

porque la expresión (a+ bi)n es la de un binomio de Newton y es muy complicada. Sin embargo,

el camino seguido en el apartado (b) se puede extender fácilmente a este caso, cambiando 2 por

n y 3 por n+ 1. Las soluciones de la ecuación son las raíces (n+ 1)-ésimas de 1, además del 0.

Ejercicio 15.

1. El número complejo 4 + 3i es una raíz cuarta de un cierto número complejo z. Encuentre z y

las otras tres raíces.

2. ¿Pueden ser 2 + i, �2 + i, �1 � 2i y 1 � 2i las cuatro raíces cuartas de un número complejo?Justi�que la respuesta.

3. Sean z1, z2 dos números complejos distintos. Encuentre dos números complejos � y � tales que

fz1; z2g = �+p�.

Solución.

1. Que 4 + 3i sea una raíz cuarta de z equivale a decir (4 + 3i)4 = z. Escribimos 4 + 3i en forma

exponencial:

4 + 3i = 5ei�, donde � cumple cos � =4

5, sen � =

3

5:

No es que � sea totalmente desconocido, porque si tomamos una calculadora obtendremos una

aproximación de � = 0:6435, pero no es uno de los ángulos "conocidos", en caso de no disponer

de calculadora dejaríamos indicado el valor diciendo � = arccos�45

�. Hay que tener en cuenta

que la función arccos(x) sólo toma valores en el intervalo [0; �] y la función arcosen (x) los toma

en el intervalo [��=2; �=2]. Si el ángulo que necesitamos no está en esos cuadrantes habrá quehacer las traslaciones necesarias para conseguirlo. El número z que buscamos es z = 54ei4� y las

otras tres raíces cuartas de z son:

!1 = 5ei�ei2�=4 = 5ei�i = �3 + 4i, !2 = 5ei�ei4�=4 = 5ei�(�1) = �4� 3i;

!3 = 5ei�ei6�=4 = 5ei� (�i) = 3� 4i:

2. Si dibujamos los cuatro números en el plano complejo observamos que no forman un cuadrado

regular centrado en 0, por tanto no pueden ser las cuatro raíces cuartas de ningún número

complejo.

3. Sea z0 = rei� un número complejo no nulo. Entonces las dos raíces cuadradas de � = r2ei2� = z20son fz0;�z0g pues son dos números complejos distintos que elevados al cuadrado dan �. Por otrolado, si consideramos la �gura formada por el segmento que une los puntos z1 y z2 y trasladamos

51

dicha �gura sumándole el opuesto del punto medio del segmento (que es z3 = (z1 + z2) =2)

entonces obtenemos un segmento centrado en 0 cuyos extremos son dos puntos opuestos

z0 = z1 � z3 = z1 �z1 + z22

=z1 � z22

, � z0 = z2 �z1 + z22

=z2 � z12

:

De nuevo, mediante razonamientos geométricos y no mediante cálculos analíticos, hemos con-

cluido que los números � y � que buscamos son:

� =z1 + z22

, � = z20 =

�z1 � z22

�2:

Ejercicio 16.

1. Explique geométricamente la inversión 1=z. Para ello siga los siguientes pasos:

(a) Dibuje la circunferencia unidad y sobre ella marque un punto P = (x0; y0) en el primer cuadrante.

Considere la recta tangente a la circunferencia en el punto P . Obténgala usando la función que

describe dicha grá�ca: f(x) =p1� x2:

(b) Compruebe que el corte entre la recta tangente y el eje Ox es el punto 1=x0.

(c) Resumen de la construcción geométrica anterior:

i. Tomamos x0 en eje real, dentro del círculo unidad. Trazamos la perpendicular al eje real

por x0 hasta cortar a la circunferencia unidad.

ii. Trazamos la tangente a la circunferencia en dicho corte. El punto de corte de la tangente

con el eje Ox es el punto 1=x0.

iii. Haga la construcción anterior para distintos valores de x0, más o menos próximos a 0,

comprobando que conforme x0 se acerca a 0, el punto 1=x0 se aleja, pues la tangente se va

haciendo más paralela al eje Ox.

(d) Sea z0 = r0ei�0 un número complejo no nulo dentro del círculo unidad (por simplicidad en el

primer cuadrante). Para construir geométricamente el número complejo 1=z0 usamos que

1

z0=1

r0e�i�0 :

i. Construimos primero el número (1=r0)ei�0 que tiene el mismo argumento que z0, por lo

tanto está en la misma semirrecta que une 0 con z0. Para conocer a qué distancia está 1=r0realice la misma construcción que hemos hecho antes con x0, cambiando el papel del eje

Ox por la mencionada semirrecta.

ii. El número complejo 1=z0 es el conjugado del que se ha construido en el apartado anterior,

por lo tanto sólo falta obtener el simétrico de dicho punto respecto del eje real.

52

2. Sea T la región triangular cuyos vértices son 0, 1=2 e i=2. Use el apartado anterior para obtener

geométricamente la región transformada de T mediante la transformación 1=z. Indicación: Utilice que

la inversión transforma una recta que no pase por 0 en una circunferencia.

Solución.

1. Seguimos los pasos:

(a) La circunferencia tiene ecuación x2 + y2 = 1. Despejando y tenemos que la función y = f (x) =p1� x2 describe la mitad de la circunferencia que está en el semiplano superior. Por simplicidad

nos �jamos sólo en el primer cuadrante. La derivada de esta función es f 0(x) = �x=p1� x2.

Por lo tanto, la ecuación punto-pendiente de la recta tangente es

y �p1� x20

x� x0= � x0p

1� x20:

(b) El eje Ox tiene ecuación y = 0. Si resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones podremos

obtener el punto de corte:(y �

p1� x20

x� x0= � x0p

1� x20, y = 0

), x = x0 +

1� x20x0

=1

x0:

(c) Interpretación geométrica del inverso de un número real x0 2 (0; 1):

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x0 1/x0

Construcción del inv erso de un número real

53

d. Para construir el inverso de un número complejo hacemos una construcción análoga cambiando

el papel de x0, en la construcción del apartado anterior, por r0 y el papel del semieje Ox por el

semieje que une 0 con z0: Los triángulos rectángulos de la �gura son exactamente los mismos,

por tanto las distancias también tienen que ser las mismas. Considerando los números complejos

como vectores del plano R2, el vector que genera dicha semirrecta es v = ei�0 y tiene norma 1,

por tanto la distancia 1=r0 medida sobre la nueva semirrecta viene determinada por el vector

(1=r0)v.

(i) De esta manera construimos primero el punto (1=r0)ei�0 , que aún no es el inverso.

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

θ0

v=e iθ0

r0v

(1/r0)v

Paso 1. Construcción del vector (1/r0)v

(ii) Para construir el inverso de z0 = r0ei�0 sólo nos falta conjugar el número obtenido en el

paso anterior:1

z0=1

r0e�i�0 =

1

r0ei�0 :

Geométricamente la conjugación equivale a una simetría respecto del eje real, de esta ma-

54

nera la interpretación de la inversión compleja queda ya patente en el siguiente dibujo:

1 0 1 2 3 42.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Construcción del inverso de un número complejo z 0≠ 0(z0=r0eiθ

0)

r0eiθ

0

(1/r0)eiθ0

1/z0=(1/r

0)ei θ

0

2. Si A y B son dos puntos del plano entonces el segmento AB viene dado por los puntos

A+ t��!AB = A+ t(B �A) = (1� t)A+ tB, donde t 2 [0; 1]:

Si calculamos los inversos de los puntos del segmento que une 1=2 con i=2 en el plano complejo, junto

con el inverso del punto medio de dicho segmento obtenemos:

z =1

2! 1

z= 2, z =

i

2! 1

z= �2i, z = 1

4+ i1

4! 1

z= 2(1� i):

Usando la indicación del ejercicio, sabemos que los tres puntos obtenidos pertenecen a una circun-

ferencia. Para calcular el centro de esta circunferencia usamos la propiedad de que la mediatriz del

segmento que une dos puntos sobre una circunferencia siempre pasa por el centro de la circunferencia.

Si representamos grá�camente los puntos f2;�2i; 2� 2ig vemos inmediatamente que las dos mediatri-ces se cortan en 1 � i. Así pues, ya tenemos que el centro de la circunferencia es 1 � i y el radio es

55

p2 (distancia de uno de ellos al centro) . El segmento que une 1=2 con i=2 viene dado por los puntos

(1 � t)12 + t i2 , donde t 2 [0; 1]. Dicho segmento se transforma mediante 1=z en 2= (1� t+ it), dondet 2 [0; 1]. Podemos comprobar que efectivamente esos puntos siempre distan

p2 de 1� i, es decir:�� 2

1� t+ it � (1� i)�� = p2:

Operando dentro del módulo eso equivale a comprobar:��2� (1� i) (1� t+ it)(1� t) + it

�� = ��1� i (�1 + 2t)(1� t) + it

�� = p2:O lo que es igual,

j1� i (�1 + 2t)j =��p2 (1� t) + itp2�� :

Se comprueba que efectivamente j1� i (�1 + 2t)j =��p2 (1� t) + itp2�� = p4t2 � 4t+ 2. A partir de

aquí y razonando sobre cómo la inversión transforma los puntos se deduce que el transformado de la

región triángular T es la región del cuarto cuadrante que es exterior a la circunferencia de centro 1� iy radio

p2:

2 1 0 1 2 3 44

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

R

0

1/z

1i

1/z0

z0

T

Ejemplo: z0=(1/6)(1+i) → 1/z0=33iEl punto z=0 no tiene transformado, los puntoscercanos a 0 se transforman en puntos lejanos(tienden al infinito del plano, por lo que la zonaverde ocupa todo el resto del cuarto cuadrante.

Transformado de la región triangular T mediante 1/z

→ RT →

Transformación

1/z

56

Ejercicio 17. Mediante razonamientos geométricos, explique cómo transforma ez la región rectangular[0; 1]� [0; 2].

Solución. La exponencial compleja se de�ne en cada número complejo z = x+ iy mediante

ez = exeiy = ex(cos y + i sen y).

Si consideramos x constante y hacemos variar y entonces los puntos ex(cos y+ i sen y) tienen un radio

constante r = ex. Recordemos que la función exponencial real sólo puede tomar valores positivos y

que su inversa es la función logaritmo neperiano (denotada indistintamente por log ó ln):

2 1 0 1 2 3 4 5 620

10

0

10

20

30

40

50

60

x

f(x)

función exponencial

x0

log(y0)

y0

ex0

← explog →

0

elog(y0)=y0

camino de ida y vuelta,desde y0 hasta y0.

eje x

eje y

Por lo tanto, a medida que y recorra los valores de un intervalo [a; b], los puntos ez = ex(cos y+ i sen y)

irán recorriendo un arco de circunferencia de centro 0 y radio ex > 0, en sentido positivo de giro

(antihorario), desde el punto correspondiente al ángulo a hasta el punto correspondiente al ángulo b.

Si [a; b] está contenido en un intervalo semiabierto de amplitud menor o igual que 2� entonces ez no

repetirá valores. Por el contrario, si [a; b] abarca una amplitud mayor que 2� entonces la función ez sí

recorrerá los mismos valores para diferentes valores de y. Por otro lado, si consideramos y constante y

hacemos variar x entonces los puntos ex(cos y + i sen y) tienen un ángulo constante � = y, por lo cual

pertenecen a la misma semirrecta que parte de 0. A medida que x recorra los valores de un intervalo

[a; b], los puntos ez = ex(cos y+i sen y) irán recorriendo un segmento dentro de la semirrecta que forma

un ángulo y con el eje Ox, desde el punto correspondiente al radio ea hasta el punto correspondiente

al radio eb. Observamos también que, al igual que ocurre con la exponencial real, la exponencial

compleja nunca puede tomar el valor 0. Recogemos estos comentarios en el siguiente dibujo:

57

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1

2i

Líneas y=constante

Líneas x=constante

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Transf ormadas de las líneas x=constante

θ=2

Región transf ormada del rectángulo [0,1]x[0,2] mediante f (z)=exp(z)

Transf ormadas de las líneas y =constante

Al igual que la exponencial real tiene una función inversa que llamamos logaritmo neperiano,

la función exponencial compleja también tiene una inversa, en realidad tiene muchas inversas. La

exponencial real tiene una única inversa porque es un función 1-1 de R en (0;+1), es decir, dadox 2 R existe un único t 2 (0;+1) tal que ln(t) = ex y recíprocamente, dado t 2 (0;+1) existeun único x 2 R tal que ex = ln(t). Sin embargo, con la exponencial compleja no ocurre esto. Lo

que ocurre es que, dado un número complejo w 6= 0 existen in�nitos valores de z tales que ez = w.

Al conjunto de todos estos valores de z se llama logaritmo complejo de z, y se escribe log(w). Es

inmediato comprobar que

log(w) = ln (jwj) + i arg(w):

En efecto, si � 2 arg (w) entonces w = jwj (cos � + i sen �). Por lo tanto,

elog(w) = eln(jwj)ei arg(w) = jwj (cos � + i sen �) = w.

Si seleccionamos un valor concreto del argumento, restringiéndolo a un intervalo de amplitud 2� como

por ejemplo � 2 [0; 2�), entonces se obtendrá un único valor del logaritmo complejo, que se llamarama del logaritmo complejo:

w = jwj (cos � + i sen �)! f = rama del logaritmo complejo ! f (w) = ln (jwj) + i�.

Cuando el valor del ángulo se �ja en el intervalo (��; �] (es decir, se toma el argumento principalArg), la rama del logaritmo que se obtiene se llama logaritmo principal y se denota por Log:

Log (w) = ln (jwj) + iArg (w) , para cada w 6= 0.

58

Observe que mientras que el logaritmo neperiano clásico de�nido como función real sólo está de�nido

para valores positivos de la variable, todas las ramas del logaritmo complejo están de�nidas en cualquier

número complejo, con la única excepción del 0 (porque el 0 nunca es un valor tomado por la exponencial

compleja).

Ejercicio 18. Pruebe que los números complejos z1, z2, z3 están sobre una misma recta si y sólo si

z2 � z1z3 � z1

2 R.

Solución. Esta propiedad se puede demostrar grá�camente de manera sencilla, pues si consideramoslos números complejos como puntos y/o vectores del plano R2 entonces la diferencia entre dos puntosdel plano es el vector que une dichos puntos:

z1

z2

z3

z3z

1

z2z

1

Alineación de puntos en el plano complejo: la diferenciade dos puntos en una recta es un vector director de dicharecta. Todos los vectores directores de una recta sonproporcionales entre sí.

Si existe t 2 R tal quez2 � z1z3 � z1

= t

entonces z2 � z1 = t(z3 � z1), es decir, los vectores son proporcionales. Si el número t fuese complejo,no real, entonces ejercería un giro (de ángulo � 6= 0; �) sobre el número complejo al que multiplica, demanera que z2 � z1 y z3 � z1 ya no tendrían la misma dirección.

59

En este punto conviene remarcar que la división es una operación entre números complejos y no

entre vectores. Algebraicamente no existe la división entre matrices ni entre vectores (se verá más claro

en el tema siguiente). Si bien el plano posee estructura numérica a través de los números complejos y

un punto del plano puede ser considerado como número complejo o como vector, según convenga, esta

posibilidad no existe para vectores de más componentes ya que no es posible dotar a R3, R4,...etc. deuna estructura numérica similar a como se ha hecho en R2.

El alumno interesado puede encontrar más información en el texto �Variable Compleja y Apli-

caciones�, de R.V. Churchill/J.W. Brown (Ed. McGraw-Hill). Este libro consta de doce capítulos

dedicados a la teoría de funciones de variable compleja y el material que hemos incluido en estos

apuntes corresponde sólo al primer capítulo, aunque ciertamente es una parte muy importante. Ad-

vertimos de que el nivel de este libro es demasiado avanzado para un alumno que comienza sus estudios

en esta titulación.

También es interesante (y más básico) el material que se encuentra en la URL

http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/complejos.pdf.

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Grado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación ... · Si todas las cantidades...

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