Grado de Estabilidad Estática Longitudinal,EEL, Cessna 172N

ESTABILIDAD Y CONTROLTP N2 Grado de estabilidad esttica longitudinal

Hctor Carrasco S.Pablo Figueroa T. Felipe Medrano D.

VII Ao de Ingeniera Aeronutica

INDICEI. OBJETIVO3II.ECUACIONES Y CONDICIN DE LA ESTABILIDAD ESTTICA LONGITUDINAL3III.CONTRIBUCIONES A LA ESTABILIDAD5A.Contribucin del ala.5B.Contribucin del Empenaje Horizontal Mando Fijo6C.Contribucin del Fuselaje10D.Contribucin de la Potencia-Motor hlice14E.Cuadro resumen19IV. ANLISIS DE RESULTADOS20V.BIBLIOGRAFIA22

OBJETIVO

Para el avin en estudio, establecer los respectivos Grados de EEL, cuando se encuentra volando en rgimen de crucero (CR) y en las siguientes condiciones de peso y de posicin de Centro de Gravedad: Peso: 90% del Peso Mximo de Despegue (MTOW) CG: al 10%, 35% y 90% de la Cuerda Media Aerodinmica (CMA)ECUACIONES Y CONDICIN DE LA ESTABILIDAD ESTTICA LONGITUDINAL

Para establecer los respectivos Grados de estabilidad esttica longitudinal se calcular la contribucin de cada uno de los elementos del avin (a/c), como lo es el fuselaje (fus), el ala (w), la potencia propulsiva (Pot) y finalmente el empenaje (h), el cual mediante el principio de superposicin se determinar la caracterstica final de la aeronave.La superposicin a una determinada distancia del CG, se obtendr mediante la siguiente ecuacin:

Por otra parte, para realizar el proceso de clculo se tendrn las siguientes consideraciones:1. En la contribucin del ala, se considerar la contribucin del trmino de resistencia.2. En la contribucin del fuselaje, se emplear los mtodos de Gilruth y Multhopp y se compararn.3. En la contribucin de Potencia se tendrn en cuenta los efectos directos e indirectos.

CONDICIONES ESTABLECIDAS

Datos CESSNA 172 SKYHAWK

Velocidad crucero130 kts - 219,415 ft/s

Peso mximo de despegue2300 lbs

Peso al 90% del MTOW2070 lbs

CMA ala5,537 ft

CMA empenaje horizontal3,866 ft

CL Crucero0,25

Sw179,3 ft2

Sh43,059 ft2

Tabla 1 Datos Cessna 172Considerando que se analizarn 3 posiciones del CG. Condicin 1: 10% de Cuerda Media Aerodinmica (CMA) Condicin 2: 35% de Cuerda Media Aerodinmica (CMA) Condicin 3: 90% de Cuerda Media Aerodinmica (CMA)

A continuacin se observa la posicin del perfil alar y del empenaje en relacin al CG.

Ilustracin 1 Posicin del Perfil alar y EmpenajeCondiciones

1CG a 10% de la CMA-0,83 ft11,9827 ft-1,2488 ft2,676 ft

2CG a 35% de la CMA0,5537 ft15,02805 ft-1,2488 ft2,676 ft

3CG a 90% de la CMA3,599 ft16,4123 ft-1,2488 ft2,676 ft

Tabla 2 Datos Condiciones

CONTRIBUCIONES A LA ESTABILIDADContribucin del ala.

La contribucin del ala a la Estabilidad Esttica Longitudinal est dada por la siguiente ecuacin:

Donde el valor de Xw es la distancia horizontal entre el Centro Aerodinmico del ala y el centro de gravedad, A es la razn de aspecto del ala, e es el factor de oswald, c la cuerda media aerodinmica del ala, aw es la pendiente del ala y Zw es la distancia vertical entre el centro aerodinmico del ala y el centro de gravedad. Sin embargo y por propsitos prcticos de anlisis y debido al valor de bajos (CL crucero = 0,25) es posible utilizar la expresin antes mencionada quedando reducida en:

Se consideran relevantes los CL >1.Datos de Diseo Ala

bEnvergadura Alar36ft

SwSuperficie Ala179,3Ft2

iwrCalaje de Raiz0,014rad

iwtCalaje de Puntera-0,049rad

a0wPendiente de Sustentacin 2D5,730rad-1

Datos Ala

ARAlargamiento7,22810931

Ahusamiento0,7134424

CMAwCuerda Media Aerodinmica5,537ft

ewFactor de Oswald0,827

Tabla 3 Datos AlaPero como esta ltima ecuacin no considera los trminos de resistencia, se utilizar la primera ecuacin (1). Quedando los siguientes valores:Condicin 1Condicin 2Condicin 3

CONTRIBUCIN DEL ALA-0,1620,0880,638

Tabla 4 Contribucin del AlaContribucin del Empenaje Horizontal Mando Fijo

La contribucin del empenaje horizontal a la EEL se obtiene segn la siguiente ecuacin

Donde el trmino ah es la pendiente de sustentacin 3D del empenaje horizontal, aw es la pendiente sustentacin 3D del ala, es la derivada del downwash con respecto al ngulo de ataque o en otras palabras es el impacto de la estela vorticosa en el avin, es la eficiencia del empenaje horizontal y es el volumen de cola.Para la eficiencia del empenaje horizontal se considera el valor de 0,98. En el caso del volumen de cola:

Donde lh es la distancia del centro aerodinmico del empenaje horizontal al centro de gravedad. NCondicioneslhVh

1xw1Distancia del CG al CA del ala (10% de CMA)11,983ft0,520



Tabla 5 Distancia al Centro Aerodinmico al Empenaje horizontalPendiente de sustentacinPrimero se debe obtener el valor de las pendientes de sustentacin 3D, tanto del ala como del empenaje horizontal, que se alcanzan a partir de las caractersticas de su perfil (2D). Se considera que para alargamientos mayores a 5 se debe utilizar la ecuacin que a continuacin aparece.

Donde a0 corresponde a la pendiente de sustentacin de su perfil.Por otra parte, para alargamientos menores que 5 se recomienda utilizar la siguiente expresin:

Dnde: , g es el factor de correccin de superficie de control (1 en caso del ala y 0,85 en el caso del empenaje), 0,5 corresponde a la flecha de la superficie sustentadora al 50% de la cuerda.Por lo tanto, observando el valor de alargamiento del ala y empenaje.

AR Ala7,228

AR Empenaje Horizontal3,125

La pendiente de sustentacin 3D del ala ser obtenida por medio de la ecuacin (4), en cambio la pendiente de sustentacin 3D del empenaje ser obtenida mediante la ecuacin (5).Datos de Diseo

bhEnvergadura 11,600ft

shSuperficie43,059ft2

ihCalaje0,000rad-1

0hEficiencia0,980

a0hPendiente de Sustentacin 2D5,730rad-1

Datos Derivados

ArhAlargamiento3,125

hAhusamiento0,500

CMAhCuerda Media Aerodinmica3,866ft

Tabla 6 Datos EmpenajeConsiderando la velocidad crucero en 130 nudos, lo que equivale a un nmero Mach de 0,197, resolviendo para las pendientes de sustentacin 3D:(Pendiente de Sustentacin 3D)w4,575rad-1

(Pendiente de Sustentacin 3D)h2,513rad-1

Tabla 7 Pendiente de Sutentacin EmpenajeEfecto del Downwash: Para la estimacin de efectos de la red de vrtices generada agua abajo del ala se efectuar por tres medios analticos aproximados presentados en la asignatura, Elskar, Smetana y una estimacin rpida del valor.A continuacin se presentan los tres mtodos para determinar el efecto downwash en la contribucin a la estabilidad esttica longitudinal del empenaje horizontal.a. Mtodo de Elskar:

En la cual:

Siendo:

Resolviendo para este mtodo, considerando como el ahusamiento del ala, z es la distancia vertical del Centro aerodinmico del empenaje horizontal y el centro aerodinmico del ala y x es la distancia horizontal entre centros aerodinmicos del ala y empenaje horizontal, por lo tanto, se obtiene que: Downwash Mtodo Elskar

Kb0,73825638

x0,91934722

Z-0,19773253

/i11,95380453

Tabla 8 Efecto Downwash metdo ElskarSe obtiene finalmente:

b. Mtodo de Smetana:

Donde c es la cuerda media aerodinmica del ala, x la distancia horizontal entre los C.A del ala y empenaje y aw es la pendiente de sustentacin del ala expresada en 1/rad. Mediante este mtodo se obtiene le siguiente valor del efecto downwash.

c. Estimacin rpida

Resolviendo para este mtodo:

Resumiendo los tres mtodos en la siguiente tabla: d/dEfecto "Downwash"Elskar0,394

Smetana0,379

Mc. Cormik0,403

Tabla 9 Contribucin DownwashA continuacin se presenta la contribucin del empenaje horizontal a mando fijo, en las distintas condiciones.

Condicin 1Condicin 2Condicin 3

CONTRIBUCIN EMPENAJEMtodo Elskar-0,170-0,213-0,232

CONTRIBUCIN EMPENAJEMtodo Smetana-0,174-0,218-0,238

CONTRIBUCIN EMPENAJEEstimacin rpida-0,167-0,209-0,229

Tabla 10 Contribucin Empenaje HorizontalComo conclusin, se utilizar el mtodo de Elskar porque brinda un mayor nmero de variables relacionadas al Downwash, lo que permitir tener un valor ms aproximado de la contribucin del empenaje.

Contribucin del FuselajeDe acuerdo al texto de Estabilidad y Control, la contribucin del fuselaje a la EEL es casi siempre desestabilizante y su magnitud suele ser significativa por lo cual se utilizan los dos mtodos descritos en la bibliografa los cuales permiten la estimacin del valor. Estos son el Mtodo de Gilruth, el cual es el ms simple de los dos pero a la vez menos exacto y el Mtodo de Multhopp que tiene una mayor exactitud.Se desarrollan a continuacin ambos mtodos.a. Mtodo de Gilruth

Donde es el mximo ancho del fuselaje, es su largo total, la superficie alar, la pendiente de sustentacin del ala expresada en 1/rad y c es su cuerda media aerodinmica.Los valores se presentan la tabla a continuacin:Datos Fuselaje

SwSuperficie Ala179.300ft2

LfLargo27.400ft

wfAncho Mximo3.800ft

awPendiente de Sustentacin 3D4.575rad-1

CCuerda Media Aerodinmica5.537ft

xf25%Posicin del 25% de Cr30.300%

Kf0.011

Tabla 11 Datos FuselajeDonde es un factor dependiente de la pasicion del 25% de la cuerda raz del ala respecto al fuselaje, expresada en porcentaje de y se obtiene del siguiente grfico o al reemplazar en la ecuacin correspondiente al misma.

Grfico 1 Kf vs %Lf Por lo tanto el valor de la contribucin del fuselaje basado en el mtodo Gilruth es:Condicin 1Condicin 2Condicin 3

CONTRIBUCIN DEL FUSELAJE MTODO GILRUTH0,0530,0530,053

Tabla 12 Contribucin Fuselaje Metdo Gilruth

b. Mtodo de Multhopp

El segundo mtodo utilizado es el mtodo de Multhopp, el cual es ms exacto debido a que toma en cuenta un mayor nmero de variables que afectan a la contribucin del fuselaje.Este propone:

De acuerdo a la bibliografa referida el primer trmino representa la variacin de momento del cuerpo fuselado respecto de la sustentacin del avin. El segundo trmino introduce un factor que tiene en cuenta el efecto del fuselaje sobre el momento de cabeceo del ala por presencia de aquel, el cual para la aeronave en cuestin es igual a cero ya que que el ancho del fuselaje entre el borde de ataque y el de fuga es constante. Por lo tanto la contribucin del fuselaje segn este mtodo aproximando el primer trmino es:

Para desarrollar la ecuacin y obtener el valor de la contribucin del fuselaje, de divide el fuselaje en secciones basado en el ejemplo del caso ECH-02 amcu de la bibliografa y se desarrolla una tabla con los valores necesarios para calcular la contribucin. A continuacin se muestran las secciones del aeronave seleccionada y detallan los valores en la tabla siguiente.

Ilustracin 2 Secciones del Fuselajetramox (ft)wf (ft)wf2 (ft2)x1 (ft)x/cd/dwf2 * d/d * x (ft3)

11.246152.7697.6694.3615380.7877078671.312.42319527

21.246153.612.9603.1153850.5626484772.133.91532308

31.246153.612.9601.8692310.3375890862.641.9904

41.246153.612.9601.2461540.2250593913.251.68049231

52.076922.0774.3141.0384620.0908619770.085920.769752868

62.076922.0774.3143.1153850.2725859320.257762.309258603

72.076922.0774.3145.1923080.4543098860.42963.848764338

82.076922.0774.3147.2692310.6360338410.601435.388270074

92.076922.0774.3149.3461540.8177577960.773276.927775809

102.076922.0774.31411.423080.999481750.945118.467281545

167.7205139

Tabla 13 Tabla Aproximacin Sumatoria

Con los datos necesarios presentados a continuacin:

Datos

SwSuperficie Ala179.300ft2

awPendiente de Sustentacin 3D4.575rad-1

CCuerda Media Aerodinmica5.537ft

[('f)2*(d/d)*X [ft3]]Aproximacin de sumatoria167.720514

Tabla 14 Datos calculo mtodo de Multhoop Reemplazando en la ecuacin mencionada anteriormente se obtiene el valor de la contribucin del fuselaje por el mtodo de Multhoop, la cual se considerar posteriormente debido a su mayor exactitud, esta es: Condicin 1Condicin 2Condicin 3

CONTRIBUCIN DEL FUSELAJE MTODO MULTHOOP0,0580,0580,058

Tabla 15 Contribucin del Fuselaje, Mtodo del MulthoopContribucin de la Potencia-Motor hliceLa potencia propulsiva de la aeronave puede tener un significativo impacto para la ecuacin de equilibrio como en la ecuacin de estabilidad longitudinal del avin. La contribucin de la hlice a la Estabilidad esttica longitudinal se puede analizar tomando en cuenta dos tipos de efectos principales:Datos de Diseo Potencia-motor hlice

MCPrevRevoluciones al 75%2025RPM

DpDimetro Hlice6,25ft

dpDistancia entre Ala y Hlice8,1343ft

hDistancia entre Eje Traccin y CG0,7136ft

Derivados

SpSuperficie Disco de Hlice30,68ft2

lpDistancia entre Hlice y Ca ala7,625ft

NhpPotencia Rgimen Crucero145Bhp

NrevRgimen RPS de motor crucero33,750RPS

Tabla 16 Datos para calculo de contribucin de la PotenciaEfectos DirectosEste efecto es consecuencia de las fuerzas que genera la hlice misma. Las componentes de fuerza generadas por la hlice funcionando con cierto ngulo de ataque respecto del vector viento relativo incluyen una fuerza de traccin T a lo largo del eje de empuje y una fuerza normal Np, contenida en el plano de disco de la hlice. Como se observa a continuacin se presenta la configuracin del CESSNA 172.

Ilustracin 3 Configuracin Cessna 172Esta es la ecuacin obtenida para la contribucin de efectos directos de la potencia sobre la estabilidad esttica longitudinal.

Dnde: Cp es el coeficiente de potencia desarrollado por la hlice.

J es la relacin de avance, V la velocidad en vuelo, D el dimetro del avin y n las revoluciones de la hlice.

De esta manera se obtiene los siguientes datos:CpCoeficiente de Potencia de la Hlice0,113

JRazn de Avance1,040

dCp/dJ-0,100rad-1

Tabla 17 DatosPara obtener dCp/dJ se debe trabajar con el grfico de la hlice de 2 palas que aparece a continuacin:

Grfico 2 dCp/dJ. Hlice de 2 palasSe calcul el valor de J y Cp, de esta manera con ambos valores se intersectan en el grfico y posteriormente se obtiene la pendiente de la recta tangente a la curva que intersecta a ambos valores, de esta manera se obtiene el valor de dCp/dJPor ltimo se obtiene el valor del efecto upwash:

Este valor se obtiene del siguiente grfico:

Grfico 3 Calculo efecto upwash

X1Distancia desde la hlice al B. ataque6,360ft

X1/cRazn entre X1 y la CMA1,1486

dp/d0,650

d/dUpwash del ala1,650

Tabla 18 Datos Efecto UpwashPara obtener el valor de VT se realiza por la siguiente ecuacin:

Siendo constante para este caso, porque la posicin del centro de gravedad en la vertical no vara (h). El valor de .En la siguiente tabla resumen, aparecen las distancias lp, que hace referencia a la distancia que existe entre el centro de gravedad y la hlice, por otra parte se obtiene el valor de VN:

NCondicionesVN

1xw1Distancia del CG al CA del ala (10% de CMA)11,390 ft0,352



Tabla 19Por lo tanto, la contribucin de efectos directos de la potencia sobre la estabilidad esttica longitudinal es:Condicin 1Condicin 2Condicin 3

CONTRIBUCIN DIRECTA POTENCIA0,0090,0110,017

Tabla 20 Contribucin Directa de la PotenciaEfectos indirectos:Estos son los relacionados con la generacin del flujo a partir de la hlice y su interaccin con las superficies de las alas y empenaje. Estos efectos no son menos importantes que los directos pero su tratamiento analtico es ms complejo y no permiten predicciones muy exactas, por lo que se indicarn solo las mayores contribuciones de la estela vorticosa de la hlice a la estabilidad esttica longitudinal, la contribucin indirecta de la hlice se puede resumir en: a. Efectos de la hlice vorticosa sobre los momentos aerodinmicos del ala y del fuselaje.b. Efectos de la hlice vorticosa sobre la sustentacin total del ala.c. Efectos de la hlice vorticosa sobre la eficiencia del empenaje.d. Efecto downwash de la hlice vorticosa aguas abajo.

Por lo tanto se considerarn para esto tres casos:

La eficiencia del estabilizador horizontal se obtiene mediante la siguiente ecuacin:

Eficiencia estabilizador horizontal0,156

Downwash de la hlice es obtenido por las ecuaciones siguientes:

Se ocupar el reemplazando en:

Se obtiene que CD = 0,025 de esta manera, KT = 0,146. Reemplazando para la siguiente ecuacin:

Reemplazando los valores anteriores en la ecuacin que aparece a continuacin:

Contribucin del empenaje horizontal a la EEL modificada por los efectos indirectos de la potencia:

h0,071rad

0,022rad

dp0,012rad

iw-0,049rad

w0,055rad

ih0,000rad

Tabla 21 Datos contribucin indirectaReemplazando:Condicin 1Condicin 2Condicin 3

CONTRIBUCIN INDIRECTA POTENCIA0,1340,1680,184

Tabla 22 Contribucin Indirecta de la PotenciaCuadro resumen:Condicin 1Condicin 2Condicin 3

CONTRIBUCIN DEL ALA-0,1620,0880,638

CONTRIBUCIN EMPENAJEMTODO ELSKAR-0,170-0,213-0,232

CONTRIBUCIN DEL FUSELAJE MTODO MULTHOOP0,0580,0580,058

CONTRIBUCIN DIRECTA POTENCIA0,0090,0110,017

CONTRIBUCIN INDIRECTA POTENCIA0,1340,1680,184

Tabla 23 Cuadro Resumen de Contribuciones

Con los valores seleccionados se obtiene el grado de estabilidad del avin para cada una de las condiciones de posicin de CG establecidas en el trabajo como se muestra a continuacin:GRADO DE ESTABILIDAD DEL AVIN-0,1310,1120,665

Tabla 24 Grados de Estabilidad del avinAnlisis de resultados

Con el desarrollo de este trabajo es posible corroborar de manera terica la materia expuesta en clases, y tal como se ense en sta, se aprecia que a medida que el centro de gravedad se desplaza hacia la parte trasera del avin, su grado de estabilidad va disminuyendo, por lo tanto, podramos decir que el aeronave es cada vez es ms inestable pero a la vez es ms maniobrable, aunque para este tipo de aeronave de uso civil, no es requerida una maniobrabilidad elevada, ya que limitara su uso a pilotos experimentados y el sistema de control debiese ser similar al utilizado en aviones de combate con sistemas de control flight by wire que entregan al piloto una estabilidad simulada.De acuerdo a los valores obtenidos podemos observar que el avin se comporta de forma estable con su CG a una distancia del 10% de la cuerda aerodinmica al poseer un valor de pendiente negativo y que al superar 35% de esta distancia se vuelve inestable al poseer una pendiente positiva.Anlisis del grado de estabilidad EEL en el ala: La contribucin del ala est fuertemente afectada con la posicin del CG del avin con respecto a la posicin del C.A, tal como se aprecia en los resultados obtenidos, para el 10% la contribucin es un aporte al grado de estabilidad haciendo el aeronave ms estable a diferencia de los casos de 35% y 90% donde la contribucin del ala es cada vez es ms desestabilizante a medida que su CG se desplaza hacia la parte trasera del avin. Anlisis del grado de estabilidad EEL en el empenaje horizontal: Tal como se discuti en clases la contribucin del empanje cumple un rol fundamental ya que este es el que aporta en gran parte el valor del grado de estabilidad total de la aeronave, al haber desarrollado el clculo de esta contribucin por los tres mtodos propuestos en la bibliografa, se decide utilizar el de Elskar ya que considera un mayor nmero de variables relacionadas a la contribucin del empenaje obteniendo una aproximacin ms exacta del grado de estabilidad en comparacin con los otros mtodos.Anlisis del grado de estabilidad EEL en el fuselaje: Se corrobora la teora mencionada en la bibliografa la cual indica de su condicin desestabilizante y su magnitud significativa, tambin se aprecia que su contribucin al grado de estabilidad no vara al cambiar la posicin del CG en la aeronave, adems de acuerdo a lo mencionado durante el clculo de esta contribucin se selecciona el mtodo de Anlisis del grado de estabilidad EEL para la potencia: Como menciona la bibliografa el clculo de este grado se realiz considerando los efectos directos e indirectos como consecuencia de las fuerzas que genera la hlice como la generacin e interaccin del flujo con las superficies de las alas y empenajes.

BIBLIOGRAFIA

Astica, Pablo. Apuntes de Estabilidad y Control 2006. 2

Grado de Estabilidad Estática Longitudinal,EEL, Cessna 172N

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