GPS Posicionamiento Satelital

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GPS Posicionamiento Satelital

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Geodesia Espacial

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  • GPSPosicionamiento

    Satelital

  • iCONTENIDOS

    1. Introduccin

    1.1 Introduccin a la geodesia espacial I-11.1.1 El sistema Transit I-11.1.2 El Sistema de Posicionamiento Global GPS I-21.1.3 Tiempo I-31.1.4 Sistema GPS - Constitucin I-4

    1.2 Segmento espacial I-41.2.1 Constelacin I-61.2.2 Identificacin I-71.2.3 Relojes de los satlites I-71.2.4 Portadoras y cdigos I-8

    1.3 Segmento de control I-81.4 Segmento usuario I-9

    1.4.1 Informacin en el receptor I-111.5 Modernizacin del Sistema I-111.6 Magnitudes y unidades de medida I-121.7 Algunas definiciones I-13

    2. Nociones de Geodesia

    2.1 Introduccin II-12.2 Resea histrica II-22.3 Aspectos conceptuales bsicos II-62.4 Superficies de referencia II-8

    2.4.1 Geoide II.82.4.2 Elipsoide de revolucin II-10

    2.5 Geodesia Clsica II-122.5.1 Levantamiento geodsico II-132.5.2 Asignacin de coordenadas del origen P(B,L,h) II-13

    2.6 Geodesia Satelital II-152.7 Transformacin entre Marcos de referencia II-17

  • Contenidos iv

    2.8 Elipsoide equipotencial II-202.9 Modelos de geoide II-202.10 Representacin Plana II-22

    2.10.1 Fundamentos. Ecuaciones de representacin II-222.10.2 Representacin conforme. Deformaciones II-24

    3. La obtencin de coordenadas

    3.1 El problema de la pirmide III-13.1.1 Posicionamiento mediante cdigo C/A III-23.1.2 La seal del satlite III-23.1.3 Medicin de la distancia III-43.1.4 Relacin entre cdigo C/A, tiempo y distancia III-5

    3.2 Ecuaciones de observacin III-73.3 Precisin del posicionamiento III-8

    3.3.1 Consideracin de los errores III-93.3.2 Errores sistemticos III-103.3.3 Errores accidentales III-11

    3.4 Factor de configuracin III-113.5 Otros sistemas de posicionamiento satelital III-14

    3.5.1 Sistema GLONASS III-143.5.2 Descripcin y constitucin de GLONASS III-153.5.3 Sistemas europeos III-16

    3.6 El programa GALILEO III-193.6.1 La constelacin GALILEO III-203.6.2 Servicios GALILEO III-213.6.3 Atractivo del sistema GALILEO III-21

    4. Posicionamiento con Cdigo C/A

    4.1 Posicionamiento absoluto IV-14.1.1 Modo esttico IV-14.1.2 Modo mvil IV-14.1.3 Precisiones IV-2

    4.2 Posicionamiento Diferencial IV-24.2.1 Correccin de posicin IV-5

  • Contenidos iii

    4.2.2 Correccin de distancias IV-64.2.3 Simples y dobles diferencias IV-84.2.4 Conclusin IV-9

    4.3 Mtodos de operacin IV-94.3.1 Modo esttico IV-94.3.2 Modo mvil IV-10

    4.4 Precisiones IV-104.5 Aplicacin de la correccin diferencial IV-11

    4.5.1 Post-procesamiento IV-114.5.2 Correccin diferencial en tiempo real IV-124.5.3 WADGPS IV-12

    5. Posicionamiento con fase

    5.1 Introduccin V-15.2 Fases. Conceptos bsicos V-35.3 Caso satelital V-5

    5.3.1 Observable ideal V-65.3.2 Observable real V-10

    5.4 Posicionando Puntos con Fases de la Portadora V-115.5 Posicionamiento relativo esttico V-13

    5.5.1 Diferencias de fase V-145.5.2 La resolucin de ambigedades V-21

    5.6 Posicionamiento relativo dinmico V-235.6.1 Mtodo cinemtico puro V-235.6.2 Mtodo Stop & Go V-245.6.3 Mtodo OTF V-24

    5.7 Combinaciones lineales de fase V-265.8 Precisiones V-27

    5.8.1 Posicionamiento esttico V-275.8.2 Posicionamiento dinmico V-285.8.3 Mejoramiento de la precisin en vectores largos V-29

    5.9 Coordenadas en tiempo diferido o real V-30

  • Contenidos iv

    6. Georreferenciacin

    6.1 Conceptos bsicos VI-16.2 La medida VI-3

    6.2.1 Errores sistemticos VI-56.2.2 Errores accidentales VI-66.2.3 Precisin VI-66.2.4 Precisin del promedio VI-76.2.5 Tolerancia VI-86.2.6 Propagacin de errores y configuracin VI-8

    6.3 Ajuste o compensacin VI-96.4 Criterios en georreferenciacin con GPS VI-12

    7. Bibliografa VII-1

  • Captulo I I-1

    Introduccin

    1.1 Introduccin a la geodesia espacialSe puede decir que la era de la geodesia espacial fue efectivamen-

    te iniciada por la URSS en octubre de 1957 con el lanzamiento del primersatlite artificial de la Tierra: el Sputnik I.

    Posteriormente pudo observarse que determinando el corrimientoDoppler de las seales radiodifundidas por el Sputnik, desde estacionesde posicin conocidas, era posible establecer la rbita del satlite.

    Esto permiti el planteo inverso, es decir, si la rbita era conoci-da previamente sera posible obtener la posicin de un receptor en unaubicacin cualquiera. Para ello habra que realizar observaciones durantevarios pasos del satlite.

    Durante la dcada siguiente la investigaciones se orientaron adesarrollar y perfeccionar los mtodos bsicos de observaciones satelita-les y de clculo de rbitas encaminados a implementar sistemas de posi-cionamiento y de determinacin del campo de gravedad terrestre, lo quepermiti crear el primer sistema de posicionamiento geodsico.

    1.1.1 El sistema Transit

    Este sistema, concebido con fines exclusivamente militares, sebas en observaciones Doppler y entr en operaciones en el ao 1964.Posteriormente, en 1967, se comenz a utilizar en trabajos de tipo geod-sico tales como mediciones de redes geodsicas extensas, determinacinde parmetros entre sistemas geodsicos, y otras aplicaciones cientficasy tecnolgicas.

    Estuvo funcionando hasta el ao 1996. Su salida de operacin sedebi fundamentalmente a que un nuevo sistema estaba operando exito-samente superando importantes deficiencias que caracterizaban a su pre-decesor.

  • I-2 Introduccin

    Las principales deficiencias que presentaba el Sistema Transit eran:

    Dada la escasa altura de las rbitas, stas eran muy afec-tadas por las variaciones del campo de gravedad.

    La transmisin de la seal era fuertemente alterada porla refraccin atmosfrica debido a que la frecuencia deemisin era relativamente baja.

    Se producan huecos en las observaciones muy grandesdebido a la configuracin y al nmero reducido de satli-tes de la constelacin (entre 5 y 7).

    1.1.2 El Sistema de Posicionamiento Global GPS

    La implementacin del programa NAVSTAR, GPS (NavigationSystem Timing And Ranging, Global Positioning System) fue efectiva-mente iniciada en diciembre de 1973. El 22 de febrero de 1978 fue lanza-do el primer satlite de una serie de cuatro.

    La responsabilidad del desarrollo y mantenimiento del sistemarecae en el Departamento de Defensa de los Estados Unidos, DivisinSistema Espacial. Esa dependencia se deba a que el sistema fue concebi-do, igual que Transit, para uso militar.

    GPS es un sistema que tiene como objetivo la determinacin delas coordenadas espaciales de puntos respecto de un sistema de referenciamundial. Los puntos pueden estar ubicados en cualquier lugar del planeta,pueden permanecer estticos o en movimiento y las observaciones pue-den realizarse en cualquier momento del da.

    Para la obtencin de coordenadas el sistema se basa en la deter-minacin simultnea de las distancias a cuatro satlites (como mnimo)de coordenadas conocidas. Estas distancias se obtienen a partir de lasseales emitidas por los satlites, las que son recibidas por receptoresespecialmente diseados. Las coordenadas de los satlites son provistas alreceptor por el sistema.

  • Introduccin I-3

    Desde el punto de vista geodsico-topogrfico, el Sistema GPS res-ponde a dos requerimientos bsicos:

    Planteo directo o levantamiento: se tiene en el terreno un pun-to materializado, un pilar con placa y marca, un mojn, etc. Sepiden sus coordenadas en un sistema de referencia prefijado.

    Planteo inverso o replanteo: se dan las coordenadas de unpunto en un sistema de referencia determinado y se pide la locali-zacin de dicho punto, que, de no estarlo ya, ser materializadoen el terreno.

    La operatividad del sistema no implica un compromiso legal del go-bierno de Estados Unidos. Por lo tanto la Agencia Cartogrfica del Departa-mento de Defensa, NIMA (National Imagery and Mapping Agency) puedemodificar sin previo aviso su funcionamiento alterando, por ejemplo, el de-nominado mensaje de navegacin (en el que est incluida informacin esen-cial para el clculo como son las coordenadas de los satlites), limitando elacceso a uno o mas componentes de la seal, alterando el estado de los relo-jes, degradando la precisin de las rbitas, etc.

    De todos modos el acceso a las seales que emiten los satlites esde carcter pblico, no requirindose licencia o autorizacin alguna, almenos hasta el ao 2005.

    En la actualidad, el uso civil de GPS ha sobrepasado largamenteel uso militar, convirtindose de hecho en un servicio pblico de carctermundial de enorme importancia y con innumerables aplicaciones.

    Ante incesantes requerimientos, el gobierno de los Estados Uni-dos se ha comprometido a mantener operativo el sistema al menos hastael ao 2010.

    1.1.3 Tiempo

    El tiempo GPS est definido por el reloj atmico de Cesio de laEstacin de Control Maestra (ver 1.3).

  • I-4 Introduccin

    El origen de la escala de tiempo GPS se fij coincidente con elUTC (Tiempo Universal Coordinado), a las 0 horas del 6 de enero de1980. La unidad del UTC es el segundo atmico, pero est sometido aperidicos reajustes a causa del movimiento irregular de la Tierra, raznpor la cual la diferencia entre tiempo GPS y UTC, que se fij en cerosegundos en 1980, se fue modificando siendo el 1 de enero de 2005 de 13segundos.

    Una unidad de tiempo utilizada por el sistema es el nmero de se-mana GPS (NSGPS) equivalente a 604800 segundos. La cuenta de la semanaGPS comenz con el origen de la escala de tiempo GPS. Cuando se comple-t la semana 1023 la NSGPS se reinicializ, es decir, la medianoche de 21de agosto de 1999 se comenz a contar nuevamente desde 0.

    1.1.4 Sistema GPS - Constitucin

    Est constituido por tres segmentos fundamentales:

    Espacial De control Del usuario

    1.2 Segmento espacial

    Se puede observar en la Figura 1 la disposicin aproximada quetienen los satlites de la constelacin NAVSTAR, GPS que integran elsegmento espacial

    Debido a que la vida til de un satlite llega a trmino por enve-jecimiento de los paneles solares, falta de capacidad de los acumuladores,averas no reversibles en los sistemas electrnicos o agotamiento delcombustible de maniobra, se planific su reemplazo en bloques.

    Los primeros satlites puestos en rbita fueron los integrantes deldenominado Bloque I. Fueron lanzados desde la base Vandenberg, ubi-cada en el estado de California. El total de satlites puestos en rbita fue11 entre los aos 1978 y 1985, utilizndose para ello cohetes Atlas-F.

  • Introduccin I-5

    Estos primeros satlites tuvieron un peso de 845 Kg. y un promedio devida efectiva de 7.5 aos. Las rbitas descriptas tenan una inclinacin de63 grados respecto del Ecuador

    Figura 1

    Los satlites del Bloque I fueron sustituidos progresivamente porlos del denominado Bloque II. El primer satlite de este grupo fue lanza-do en el ao 1989 desde el Centro Espacial Kennedy en Cabo Caaveral,estado de Florida.

    Cabe mencionar que este nuevo bloque adiciona varias innova-ciones. Entre ellas la posibilidad de incorporar a la seal una perturbacindenominada SA (Selective Availability) que no es otra cosa que la dismi-nucin intencional de la precisin del sistema, tambin se estableci unalimitacin al acceso del denominado cdigo P. Estas caractersticas fue-ron impuestas a los usuarios civiles por cuestiones de inters militar.

    El peso de estos satlites es de 1500 Kg. con un perodo de vidade aproximadamente 10 aos. A partir de estos satlites se modific la

  • I-6 Introduccin

    inclinacin de las rbitas llevndolas a 55 grados. Se lanzaron un total de9 satlites.

    En 1990 se comenz con el lanzamiento de satlites que tenan ligerasdiferencias respecto de la primer versin de este bloque. Este fue el denomina-do Bloque IIA. La A significa Advanced. El 8 de diciembre de 1993 se habanpuesto en rbita 15 satlites adicionales de este bloque, totalizando as 24 sat-lites, fue entonces declarado al sistema en plena capacidad operativa.

    En 1996 fue lanzado el primer satlite del Bloque IIR. El agregadode R (replacement) se refiere a reemplazo o sustitucin, es decir, estos satli-tes fueron reemplazando a los satlites que salan de operacin. Esta versintiene un peso de 2000 Kg. y se distingue por las mejoras introducidas en losrelojes de a bordo.

    Finalmente se desarroll la cuarta generacin de satlites de este bloque,el denominado Bloque IIF con importantes mejoras en el sistema de navegacinde a bordo. El lanzamiento de estos satlites comenz en el 2001 y se prev queseguir hasta el 2010. Estn diseados para una vida til de 15 aos.

    Para la puesta en rbita de satlites de todas las versiones del BloqueII se utilizaron transbordadores espaciales, que transportan simultneamentetres satlites en cada viaje, con la consecuente reduccin de costos.

    Forman parte del equipamiento de cada satlite dos paneles solares yun sistema de propulsin

    Los paneles solares se utilizan para recargar los acumuladoresque permiten el funcionamiento mientras el satlite pasa por la sombra dela Tierra.

    Desde el sistema de control terrestre es posible activar los sistemasde propulsin con el objetivo de corregir las rbitas de cada satlite o inclusocambiar de posicin dentro de la misma rbita.

    1.2.1 Constelacin

    A fines de 1993 cuando fue completada la constelacin de satlites delsistema sus caractersticas eran las siguientes:

  • Introduccin I-7

    Compuesta por 24 satlites. Los satlites se ubican en 6 rbitas planas prcticamente circula-

    res, con inclinacin de 55 respecto al plano del Ecuador y conuna distribucin aproximadamente uniforme; con 4 satlites encada rbita.

    Se encuentran aproximadamente a 20180 km de altura. Tienen 12h de perodo de rotacin (en tiempo sidreo) u 11h 58m

    (en tiempo oficial). Tambin hay satlites en rbita que se encuentran desactivados y

    disponibles como reemplazo. Con la constelacin completa, se dispone, en cualquier punto y

    momento, entre 5 y 11 satlites observables, con geometra favo-rable.

    El tiempo mximo de observacin de un satlite es de hasta 4horas 15 minutos.

    Con la incorporacin de los satlites de los Bloques IIR y IIF la constelacintiene a principios del 2005, 29 satlites en rbita, distribuidos en los seisplanos orbitales. La cantidad de satlites por plano es 4, 5 6 segn la rbita.

    1.2.2 IdentificacinLa identificacin de los satlites puede hacerse de varias formas: por

    su orden de lanzamiento, por la rbita y posicin que ocupa en ella, o por suPRN o Ruido Pseudo Aleatorio (Pseudo Random Noise) caracterstico yexclusivo de cada satlite, el que ser ms adelante descripto en el CaptuloIII.

    1.2.3 Relojes de los satlitesLos relojes de los satlites, son en realidad osciladores atmicos, los

    que por su alta frecuencia y la gran estabilidad de la misma, permiten efec-tuar mediciones de tiempo con elevada precisin.

    La estabilidad se caracteriza por el valor f/f, donde f indica lavariacin de frecuencia posible en un perodo dado (por ejemplo un da)y f indica la frecuencia propia del reloj. A modo de ejemplo podemoscitar los siguientes valores (ver en Bibliografa: Leick A,1995).

  • I-8 Introduccin

    Tipo de reloj Estabilidad f/fRubidio 10-12Cesio 10-14Hidrgeno 10-15

    Si vinculamos la frecuencia con la medicin de tiempo es posibledemostrar que

    ft

    f t

    (t indica el tiempo transcurrido y t el error posible en la medicin de t)

    Esto nos permite afirmar que, considerando un reloj de rubidio yel tiempo que la seal tarda en recorrer la distancia satlite-receptor(aproximadamente 0.066 segundos), el valor t es del orden de 66 . 10-15segundos, y consecuentemente el error posible en la medicin de la dis-tancia no excedera las dos centsimas de milmetro

    1.2.4 Portadoras y cdigos

    Todos los satlites emiten dos ondas portadoras en la banda L(1000 Mhz a 3000 Mhz).

    La portadora L1 est modulada por dos cdigos (C/A y P) y la L2solo por el cdigo P. Ambas portadoras incluyen adems el denominadomensaje de navegacin. Ms adelante en el Captulo III se brindarn al-gunos detalles sobre la estructura de seal emitida.

    1.3 Segmento de control

    Las funciones principales del segmento de control, denominadointernacionalmente con las siglas OCS (Operational Control Segment) son:

    Monitoreo y control permanente de los satlites con el objeto dedeterminar y predecir las rbitas y los relojes de a bordo.

  • Introduccin I-9

    Sincronizacin de los relojes de los satlites con el tiempo GPS

    Transmisin, a cada satlite, de la informacin procesada.

    Est integrado por una Estacin de Control Maestra (MCS), va-rias Estaciones de Monitoreo (MS) y Antenas Terrestres (GA).

    Las estaciones de monitoreo tienen coordenadas conocidas congran precisin y estn equipadas con receptores GPS de doble frecuenciaL1/L2 y un reloj de Cesio. Su funcin es determinar las distancias a todoslos satlites visibles y transmitirlas a la estacin de control maestra juntocon los datos meteorolgicos de cada estacin.

    Con los datos recibidos de las estaciones monitoras, la estacinmaestra, ubicada en la Base de la Fuerza Area Schriever en el estado deColorado, calcula los parmetros orbitales y los de los relojes y poste-riormente los transmite a las antenas terrestres que los transfieren a lossatlites a travs de un enlace va banda S.

    Como se puede observar en la Figura 2, el segmento de controlest integrado por 10 estaciones.

    Estas estn ubicadas en: Colorado Springs (EUA) Isla Ascensin (Atlntico Sur) Diego Garca (ndico) Kwajalein (Pacfico Occidental) Hawaii (Pacfico Oriental) Quito (Ecuador) Buenos Aires (Argentina) Hermitage (Inglaterra) Bahrein (Golfo Prsico) Smithfield (Australia).

    1.4 Segmento usuario

    Est constituido por los instrumentos utilizados para recepcionary procesar la seal emitida por los satlites.

  • I-10 Introduccin

    BBueuneosnAoirsesAires

    Estos instrumentos estn integrados esencialmente por una ante-na y un receptor. Un equipo complementario es usado, en ocasiones, paratransferir datos entre receptores.

    Colorado SpringHermitage

    Hawaii

    Quito IslaAscensin

    Buenos Aires

    Bahrein

    DiegoGarcia

    Kwajalein

    Smithfield

    EstacionesdeControl

    Figura 2

    La antena est conectada por cable al receptor o en otros casosforman una sola unidad. Las coordenadas que se calculan corresponden alcentro radioelctrico de la antena.

    El receptor consta de un mnimo de 4 canales (generalmente 10 12) que permiten recepcionar y procesar simultneamente la seal decada satlite.

    Posee adems un oscilador de cuarzo que permite generar la fre-cuencia de referencia para realizar la observacin (ver 3.1.3).

    Un microprocesador interno con el software correspondiente calcula

  • Introduccin I-11

    las coordenadas de la antena y la velocidad y acimut si el aparato est enmovimiento.

    Posee adems una memoria para almacenar observaciones. Lacapacidad de esta memoria vara de acuerdo al tipo de receptor, pudiendollegar a almacenar informacin durante varias decenas de horas.

    Todo equipo adiciona una unidad de alimentacin elctrica quedeber brindar al receptor la autonoma necesaria.

    Los equipos estn en continuo desarrollo y su evolucin es com-parable a la experimentada en informtica durante las ltimas dcadaspara los ordenadores personales.

    1.4.1 Informacin en el receptorUna vez en funcionamiento, el receptor puede ofrecer al operador

    una muy amplia y diversa informacin sobre el proceso de observacin,mientras recibe las seales de los satlites.

    Aunque vara entre diferentes modelos, se suele disponer de lainformacin siguiente:

    Satlites localizados Satlites en seguimiento Intensidad de cada seal recibida Condicin de cada satlite en seguimiento Posicin : longitud, latitud, altitud Calidad de la geometra de observacin.

    Segn la precisin con que se pueden obtener los resultados, pode-mos clasificarlos en receptores: Geodsicos -Topogrficos- Navegadores.

    1.5 Modernizacin del SistemaEl departamento de defensa de EUA ha comunicado oficialmente,

    en el ao 2000, la decisin de modernizar el sistema

  • I-12 Introduccin

    En el comunicado anuncia como primera fase del proceso la in-corporacin del cdigo C/A a L2 con el objetivo de mejorar las presta-ciones para la comunidad civil.

    Posteriormente se prev adicionar un nuevo cdigo denominadoM sobre L1 y L2 para uso exclusivamente militar.

    En la prxima fase se proyecta la emisin de una nueva portadoradenominada L5 con una frecuencia nominal de 1176 MHz, con un nuevotipo de modulacin, la que ser utilizada en aplicaciones que requieranposicionamiento instantneo de precisin, por ejemplo, para casos denavegacin area.

    Se encuentra en etapa de definicin y diseo una nueva versinpara el sistema denominada GPSIII, cuyo objetivo ser responder a losrequerimientos tanto civiles como militares para los prximos 30 aos.Esta nueva versin presenta innovaciones tanto en la arquitectura de lossatlites como en el segmento de control.

    1.6 Magnitudes y unidades de medida

    A continuacin se muestran dos tablas. En la primera se listan losprefijos utilizados para designar los mltiplos y submltiplos que se utili-zarn (nombre, smbolo y valor).

    En la segunda se muestran las magnitudes utilizadas y ejemplosde cantidades.

    Nombre Smbolo ValorExponente de 10Giga G 9Mega M 6Kilo K 3Mili m -3Micro -6Nano n -9Pico p -12

  • Introduccin I-13

    Magnitud Unidad Algunas cantidadesTiempo 1 s Lapso del cdigo C/A = 1 ms

    Longitud 1 m Longitud de onda de L1 ~ 0.19 mVelocidad 1 m/s C ~ 300000 km/s = 0.3 m/nsFrecuencia 1 hz = 1 ciclo/s Frecuencia de L1 ~ 1.5 Ghz

    1.7 Algunas definiciones

    Definimos como Efemrides al conjunto de parmetros que per-miten calcular la rbita de cada satlite y su posicin dentro de la misma,es decir, sus coordenadas; podemos distinguir entre:

    Efemrides transmitidas: el usuario las recibe en el instante de observa-cin, contenidas en la seal del satlite. Consisten en un conjunto de pa-rmetros que permiten extrapolar la ubicacin del satlite durante cuatrohoras (2 hs. antes y 2 hs. despus del tiempo de referencia). La estacinde control maestra las enva al satlite y ste al usuario.

    Efemrides precisas: son calculadas a posteriori, por interpolacin, conside-rando la efectiva posicin de cada satlite obtenida mediante las observacio-nes efectuadas desde las estaciones de control. El usuario las puede tenerdisponibles desde varias fuentes a travs de Internet. Estas efemrides pro-porcionan coordenadas ms precisas que las transmitidas.

    Almanaque: es la versin simplificada de las efemrides, permite calcularlas coordenadas de los satlites en forma aproximada; su validez es deseis meses, aunque es recomendable su actualizacin semanal.

    Datum: en algunos receptores aparece este trmino, que se refiere a losparmetros que definen el Sistema de Referencia utilizado por el receptor,por lo tanto debe prestarse especial atencin a su configuracin.

    Escalas de tiempo

    Definidas por la rotacin de la Tierra:

  • I-14 Introduccin

    Tiempo Universal o Solar (UT) Tiempo Sidreo (ST)

    Definidas por osciladores atmicos:

    Tiempo Universal Coordinado (UTC) Tiempo GPS (GPST)

    Convenciones locales:

    Tiempo oficial local (HL=UTC-K)

    K: constante definida por cada pasBuenos Aires, 2005; K = - 3 hs.

  • Captulo II II-1

    Nociones de Geodesia

    2.1 IntroduccinSegn Friedrich Robert Helmert (1880), la geodesia es la ciencia

    encargada de la medicin y representacin cartogrfica de la superficieterrestre. Esta definicin involucra no solamente la determinacin de laforma y dimensiones de la Tierra sino tambin la determinacin del cam-po de gravedad terrestre. El concepto de geodesia fue posteriormenteextendido y actualmente su estudio incluye la medicin de los fondosocenicos estando adems ligada a la exploracin espacial lo que permiteestudiar, en el sentido geodsico, otros cuerpos celestes (por ejemplo: laLuna). Constituye tambin un tema importante de la geodesia moderna,el estudio de las variaciones temporales, tanto de las coordenadas de lospuntos fijos como del campo de gravedad.

    En algunos aspectos (geomtricos), se puede pensar a la geodesiacomo una continuacin de la topografa. Desde ese punto de vista ambastienen como objetivo comn la determinacin de las

    FormasDimensionesUbicacin

    de una parte de la superficie terrestre.

    Mientras la topografa se ocupa de pequeas extensiones (lo quepermite el uso de mtodos de medicin y clculo simplificados), la geo-desia tiene como meta grandes extensiones (una regin, una provincia oincluso todo el planeta).

    Recordemos adems que la topografa se ocupa del levantamientode los detalles (relleno) que configuran la superficie terrestre (sean estosnaturales o artificiales), mientras que la geodesia tiene como objetivoprincipal el apoyo o control horizontal y vertical para tareas de levanta-miento y replanteo (Figura 1) en distintas reas de aplicacin como: ca-

  • II-2 Nociones de Geodesia

    tastro, construccin de grandes obras de ingeniera, exploracin geofsica,lneas de conduccin elctrica, vas de comunicacin, saneamiento, mi-crogeodesia en la construccin y en la industria, cartografa bsica.

    Figura 1

    Cabe destacar adems el importante papel que cumplen las redesgeodsicas en la construccin de los sistemas de informacin geogrficos(GIS) al posibilitar la correlacin de informacin de distinto origen atravs de su georreferenciacin (Figura 2).

    2.2 Resea histricaDesde tiempos muy remotos el hombre se ha planteado interro-

    gantes tales como Cul es la forma de la Tierra? Cules son sus dimen-siones? Estas preguntas dieron origen a la Geodesia.

    Eratstenes, director de la biblioteca del Museo de Alejan-dra, realiz la primera medicin de la circunferencia de la Tierrausando una tcnica extremadamente simple. La experiencia consistien lo siguiente: en el momento en que el Sol estaba directamentesobre Siena (hoy Asuan) de modo tal que el fondo de un pozo fueratotalmente iluminado por los rayos solares, en Alejandra se efectula medicin de la sombra proyectada por una varilla vert ical (s) dealtura conocida (h) (Figura3).

  • Nociones de Geodesia II-3

    Industrias

    Valuaciones

    Salud

    Poblacin

    Suelos

    Geofsica

    Geologa

    Redes

    Carta Catastral

    Plano Topogrfico

    Apoyo Geodsico

    Figura 2

    A partir de la relacin s/h, Eratstenes dedujo que en Alejandra elSol estaba a 1/50 de crculo debajo del cenit mientras en Siena estaba enla vertical. As calcul la circunferencia de la Tierra multiplicando la distan-cia entre Alejandra y Siena por cincuenta. La distancia fue estimada en5.000 estadios, a partir del tiempo que demand el viaje entre ambas pobla-ciones (50 das en camello), por lo que la circunferencia terrestre debera ser250.000 estadios. Aunque la longitud del estadio (unidad utilizada en Egiptoen esa poca) en trminos de unidades modernas es bastante incierta, estodara como resultado un permetro de 39.820 km. correspondiente a un radiode 6.338 km., muy cerca del valor verdadero. No obstante actualmente secree que los resultados obtenidos fueron afortunados, ya que existieronelementos de juicio equivocados en esa determinacin, a pesar de lo cualesa medicin del tamao de la Tierra fue un importante progreso para lapoca.

    Durante los prximos siglos, incluida la Edad Media completa, losestudios sobre la forma de la Tierra y sus dimensiones fueron abandonados.

  • II-4 Nociones de Geodesia

    ~

    hs d

    R

    R d._hs

    Figura 3

    Una nueva poca en el estudio de la forma y dimensiones de laTierra (siglo XVII) comenz despus que la ley de gravitacin universalfuera enunciada por Newton.

    Partiendo de la suposicin de que nuestro planeta en otros tiem-pos estuvo en un estado de lquido incandescente, Newton postul que laTierra debera tener una forma de esferoide aplastada en los Polos debidoal movimiento de rotacin terrestre que genera una fuerza centrfuganormal al eje, que adquiere un valor mximo en el Ecuador hasta anularseen los Polos.

    Esta teora se poda comprobar determinando la longitud de arcosde meridianos correspondiente a una variacin de latitud de un grado. Sila longitud de un arco de meridiano determinado, resultara mayor queotro mas alejado del Ecuador, quedara demostrado el achatamiento de laTierra en los polos.

  • Nociones de Geodesia II-5

    En esa poca Snellius (Holanda) inicia una nueva etapa en laGeodesia al introducir el mtodo de triangulacin en los trabajos geodsi-cos, superando as las dificultades que ofrecan las mediciones de distan-cias sobre la superficie terrestre, produciendo adems un considerableaumento en las precisiones.

    Cassini (Francia) a partir de mediciones errneas anuncia un esfe-roide alargado en los polos (Figura 4). Se produce entonces una fuertecontroversia entre ambos cientficos.

    NEWTON (Inglaterra) CASSINI (Francia)d

    r

    D

    R

    d RD

    r

    Figura 4

    En el siglo XVIII se resuelve la controversia a partir de dos expe-diciones geodsicas que dispone realizar la Academia de Ciencias dePars: una a Laponia cercana a la latitud 66; otra al Per cercana alEcuador. Los resultados de estas expediciones confirmaron la concepcinde Newton.

    Durante los siguientes 200 aos las determinaciones del radio yaplastamiento de la Tierra se convirtieron en ms precisas a medida quelas tcnicas geodsicas se fueron refinando.

    En la primera mitad del siglo XX el mtodo utilizado para loslevantamientos geodsicos fue fundamentalmente el de triangulacin

  • II-6 Nociones de Geodesia

    basado en la trabajosa medicin de una base con hilos invar y en medi-ciones angulares. En la segunda mitad del siglo XX irrumpieron los elec-trodistancimetros, facilitando notablemente la medicin de distanciascon adecuada precisin. Esto produjo una predileccin por la trilatera-cin (Figura 5).

    Hilos invar

    Electrodistancimetros

    Figura 5

    Sobre fines del siglo XX los geodestas tienen acceso masivo alSistema de Posicionamiento Global que permite el posicionamiento pre-ciso de puntos terrestres a partir de seales provenientes de satlites arti-ficiales diseados para ese fin.

    2.3 Aspectos conceptuales bsicosComo ya se mencion, la topografa y la geodesia (en su aspecto

    geomtrico) se plantean como cuestin fundamental la determinacin delas formas, dimensiones y ubicacin de un sector de la superficie terres-tre. Este sector puede corresponder a un rea muy pequea (algunas de-

  • Nociones de Geodesia II-7

    cenas de metros cuadrados) o a una muy grande (con extensin continen-tal o mundial).

    Cuando se trata de definir la forma, dimensiones y ubicacin deun objeto irregular, (es el caso de la superficie de la Tierra) podemospensar en reducir el problema a la determinacin de la posicin espacialde puntos adecuadamente elegidos de ese objeto, a partir de los cualespodemos inferir un resultado. Es decir que la discretizacin del problemaplanteado permite obtener una solucin, que ser tanto ms precisa cuan-do mayor sea la densidad y la calidad de los puntos seleccionados.

    Justamente en topografa y geodesia, el punto es la entidad gene-radora de la superficie terrestre.

    El problema tal cual est planteado queda entonces resuelto si de-terminamos las coordenadas espaciales de los puntos mencionados (Figu-ra 6). Las coordenadas pueden ser, por ejemplo, las cartesianas ortogona-les x, y, z o las polares , , correspondientes a una terna de ejes.

    z

    P

    z

    y

    xy

    x

    Figura 6

    Es necesario entonces definir un sistema de coordenadas terres-tres, ello implica establecer la ubicacin del origen del sistema y la orien-tacin de por lo menos dos de los ejes de tal manera que el sistema per-manezca fijo respecto de la Tierra. Se define as un sistema trirrectangu-lar de mano derecha con origen en el centro de masas de la Tierra, con su

  • II-8 Nociones de Geodesia

    eje Z apuntando al Polo Norte Convencional y su eje X pasando por lainterseccin del plano del Ecuador y del meridiano de Greenwich.

    Una vez concebido el sistema de referencia, se presenta un pro-blema adicional: Cmo utilizar en la prctica el sistema previamentedefinido? La manera de hacerlo es a travs de un conjunto de puntos fijosque previamente se materializan en forma permanente sobre la superficieterrestre y cuyas coordenadas en dicho sistema son conocidas. Estos pun-tos constituyen un marco de referencia geodsico. Entonces, el problemaprctico de posicionamiento se reducir a la determinacin de la ubica-cin relativa de puntos respecto del marco de referencia mencionado.

    2.4 Superficies de referencia

    2.4.1 Geoide

    Si bien la superficie fsica de la Tierra puede ser representadapunto a punto por medio de coordenadas como las descriptas hasta aqu,existen una gran cantidad de requerimientos prcticos (la mayora vincu-lados a la determinacin de la direccin de escurrimiento del agua) queimponen la determinacin de alturas respecto de una superficie de nivel(superficie horizontal).

    Cabe sealar que las coordenadas espaciales de un punto consti-tuyen una referencia puramente geomtrica mientras que las alturas refe-ridas en ltimo trmino dependen del campo de gravedad terrestre, el quea su vez depende de la distribucin de masas en el interior del planeta,adquiriendo as un significado fsico.

    Inmediatamente surgen dos preguntas:

    a) Qu es una superficie de nivel?b) Por qu es necesario determinar la distancia de los puntos a esa

    superficie?Se define como superficie horizontal, o superficie de nivel o superfi-

    cie equipotencial del campo de gravedad a aquella que en todos sus pun-tos es normal a la direccin de la vertical del lugar, la cual coincide con la

  • Nociones de Geodesia II-9

    direccin de la gravedad en cada punto y es la direccin de la resultantede la fuerza de atraccin de la masa terrestre y la fuerza centrfuga produ-cida por la rotacin terrestre (Figura 7).

    Eje de rotacin Vertical

    Figura 7

    La Tierra aparecer entonces, laminada por superficies equipo-tenciales o de nivel de las cuales se destaca una, la que mejor se ajusta alnivel medio del mar; es el geoide.

    Todas estas superficies tienen la propiedad comn de que si sedeposita sobre ellas una partcula de agua, sta no sufrir ningn despla-zamiento. Es ahora sencillo entender por qu ese requerimiento adicional,claro, la determinacin de la distancia (segn la direccin de la vertical)entre puntos de la superficie terrestre y una superficie de nivel tomadacomo superficie de referencia nos permitir definir, en principio, la di-reccin y velocidad del escurrimiento del agua entre dichos puntos.

    A esta altura del anlisis del problema ya se pueden identificardos componentes de origen independiente:

    a) Una componente geomtrica (coordenadas espaciales)

  • II-10 Nociones de Geodesia

    b) Una componente fsica vinculada al campo gravitatorio terrestre(vertical o superficie de nivel).

    Desde ya se puede mencionar que un problema central es definircorrectamente las superficies de nivel. Como ya se adelant la configura-cin de estas superficies de nivel, depender de la distribucin de masasen el interior de la Tierra, que es desconocida.

    2.4.2 Elipsoide de revolucin

    Desde el punto de vista geomtrico, las coordenadas cartesianas,aunque adecuadas para el clculo, no proporcionan una idea clara e in-mediata de la posicin de los puntos sobre la superficie terrestre. Por esarazn, en geodesia, es usual referir la posicin espacial de puntos a unasuperficie que aproxime la forma de la Tierra. En ese sentido se definecomo superficie geomtrica de referencia la que corresponde a un elip-soide de revolucin.

    La forma y dimensin del elipsoide de revolucin terrestre quedadeterminada por dos parmetros (por ejemplo, a: semieje mayor y b: se-mieje menor), adems es necesario definir su ubicacin y orientacin.

    Tanto su forma y dimensiones, dadas por a y b, como su ubica-cin y orientacin se obtienen tratando de ajustarlo de la mejor maneraposible al geoide. El centro del elipsoide coincide as con el origen delsistema cartesiano y el semieje menor con el eje Z. Es posible entoncesobtener las coordenadas elipsidicas o geodsicas B, L y h (Figura 8).

    De esta manera cada sistema de referencia geodsico tendr aso-ciado un elipsoide de revolucin.

    Las coordenadas geodsicas del punto P se definen de la siguien-te manera:

    La latitud geodsica B es el ngulo entre el plano del Ecuador yla normal al elipsoide que pasa por el punto P medida en el planodel meridiano del punto. El origen de las latitudes es el Ecuador yvara entre 0 y 90 en el hemisferio norte y entre 0 y -90 en elhemisferio sur.

  • Nociones de Geodesia II-11

    z

    Y

    Polo convencionalterrestre normal al elipsoide

    P (punto ah posicionar)

    Meridiano de P Greenwich b

    Centro de masasterrestre B

    La

    x Ecuador

    Figura 8

    La longitud geodsica L es el ngulo del diedro determinado porel meridiano de Greenwich, es decir el plano (x, z) y el meridianoque contiene al punto P. La longitud vara entre 0 y 180 medidadesde el meridiano de Greenwich hacia el este y 0 y -180 me-dida desde el meridiano de Greenwich hacia el oeste.

    La altura geodsica h es la distancia entre el punto y el elipsoidemedida a lo largo de la normal al elipsoide. La altura es positivapor encima del elipsoide y negativa por debajo de l.

    La utilizacin de este ltimo tipo de coordenadas permite ubicaral punto en altura por medio de h (en este caso respecto del elipsoideadoptado) y determinar la posicin de su proyeccin sobre el elipsoidepor medio de B y L.

    Resumiendo se puede decir que tanto las coordenadas cartesianasgeocntricas (x, y, z), las polares (, , ) como las coordenadas geodsicas(B, L, h) representan formas distintas de expresar la posicin espacial de unpunto. Existen frmulas que permiten realizar las conversiones entre estosdiferentes tipos de coordenadas (ver en Bibliografa: Leick A., 1997)

  • II-12 Nociones de Geodesia

    A modo de ejemplo se puede decir que tpicamente las coordena-das cartesianas rectangulares se utilizan en geodesia espacial y en micro-geodesia, las polares en campo de gravedad, las coordenadas elipsidicasse utilizan en geodesia clsica y sus representaciones planas en cartografa.

    2.5 Geodesia ClsicaLa geodesia clsica realizaba sus levantamientos a partir de un

    punto origen al que previamente se le asignaban coordenadas elipsidicascon el auxilio de la astronoma geodsica y de la nivelacin geomtricade precisin (2.5.2). Este origen tiene asociado tambin una orientacin(acimut) necesaria para el posterior levantamiento de puntos. A partir deese origen se transportaban las coordenadas B y L a otros puntos de lared basndose en mediciones angulares, de distancias y del clculo elip-sidico correspondiente.

    La tercer coordenada geodsica h (altura elipsidica), aunqueconjuntamente con B y L permiten ubicar unvocamente un punto en elespacio, en general, para la geodesia clsica fue imposible determinarla,es decir, que se trataba de levantamientos bidimensionales.

    Junto con las coordenadas geodsicas B y L era usual que se pu-blicara la altitud medida respecto de una superficie equipotencial, usual-mente el geoide, denominada ortomtrica, la cual puede obtenerse en unaprimera aproximacin por medio de nivelacin geomtrica de precisin.

    Por esta razn, en la Repblica Argentina, con el uso de la geo-desia clsica se han materializado sobre el territorio las siguientes redes:

    Por un lado, la red de puntos trigonomtricos (con sus correspon-dientes pilares de acimut) constituida por un conjunto de puntosmonumentados con las coordenadas geodsicas B (latitud) y L(longitud) correspondientes.

    Por otro, las redes de nivelacin, referidas a las alturas de algunasestaciones mareogrficas (que definen el nivel medio del mar),tambin materializadas por un conjunto de mojones de los cualesse determinaron las alturas ortomtricas aproximadas H.

  • Nociones de Geodesia II-13

    2.5.1 Levantamiento geodsico

    Para la geodesia clsica ha sido imposible definir un Sistema deReferencia nico para todo el planeta. As es que existen mltiples mar-cos de referencia geodsicos en los que el ajuste entre elipsoide y geoidese planteaba a nivel regional, con un origen que en general se encontrabadesplazado respecto del geocentro.

    El procedimiento utilizado para definir este tipo de marcos de re-ferencia regionales ha sido el siguiente:

    En un punto elegido como origen del levantamiento

    a) Se determinaba la altura H sobre el nivel medio de mar me-diante nivelacin geomtrica de precisin.

    b) Se determinaban las coordenadas astronmicas: latitud , y lalongitud mediante Astronoma Geodsica.

    c) Se determinaba un acimut astronmico de orientacin en elarranque mediante Astronoma Geodsica.

    d) Se realizaba la medicin de una longitud denominada base.

    2.5.2 Asignacin de coordenadas del origen P (B, L, h)

    B = aproximacin vlida en el orden de 200 mL = - aproximacin vlida en el orden de 200 m

    El orden de las aproximaciones indicadas anteriormente se debe aque mientras las coordenadas astronmicas estn referidas a la direccinde la vertical, las coordenadas geodsicas estn referidas a la direccin dela normal, el ngulo entre ambas direcciones es el denominado desvo dela vertical.

    h = H aproximacin vlida en el orden de 50 m.

    El orden de la aproximacin anterior se debe a que la altura or-tomtrica est referida al geoide mientras que la altura elipsidica estreferida al elipsoide.

  • II-14 Nociones de Geodesia

    En la Figura 9 se puede visualizar el significado de la asignacinanterior, supuesto por comodidad el desvo de la vertical en el plano deldibujo. De ella deducimos que las coordenadas asignadas a P son en rea-lidad las coordenadas geodsicas de un punto P1 necesariamente prximoa P (para tener una idea, como ya se dijo, 100, 200 300 metros).

    normal n1 vvertical v normal n(B,L)

    P1 h

    PH

    Geoide

    H N

    Elipsoide terrestre

    Figura 9

    Esto es equivalente entonces, a desplazar en el arranque, el elip-soide terrestre centrado en el centro de masas de la Tierra, segn el vec-tor P1P, lo que significa que entre el elipsoide y el geoide existe un puntode contacto en el cual ambas superficies son tangentes.

    En resumen se puede decir que en la geodesia clsica las redesson calculadas sobre un elipsoide propio no centrado cuya ubicacin yorientacin depender del punto de arranque elegido.

    En la Repblica Argentina durante las ltimas dcadas y hastamayo de 1997 el marco de referencia oficial fue el denominado CampoInchauspe 1969 (CAI69), el que fuera definido mediante los procedi-mientos indicados y que son propios de la geodesia clsica. El elipsoideasociado a dicho marco es el de Hayford. Su origen y orientacin espacialse ajustaron para que fuera tangente al geoide en el paraje Campo In-chauspe ubicado en la provincia de Buenos Aires.

  • Nociones de Geodesia II-15

    Los parmetros geomtricos correspondientes al elipsoide deHayford son:

    semieje mayor a = 6378388 m

    aplastamiento a ba

    1

    297

    donde b es el semieje menor

    Cabe sealar que el marco de referencia CAI69 cuenta con,aproximadamente, 18000 puntos.

    2.6 Geodesia Satelital

    A partir de las observaciones satelitales es posible determinar laposicin espacial de puntos terrestres a travs de tres coordenadas queestarn referidas a un sistema de referencia global.

    Segn la definicin convencional adoptada por la AsociacinInternacional de Geodesia y por la Unin Astronmica Internacional, elSistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRS) es una terna trirrec-tangular de mano derecha, de ejes x, y, z, cuyo origen coincide con elcentro de masas de la Tierra, su eje z pasa por el polo convencional te-rrestre definido por el Servicio Internacional de Rotacin de la Tierra(IERS). Los ejes x e y son perpendiculares al eje z, con el eje x definidopor la interseccin del meridiano de Greenwich, tambin definido por elIERS, y el plano del ecuador terrestre.

    Con el aporte de los servicios cientficos de la Asociacin Inter-nacional de Geodesia, ha sido posible materializar sobre la superficieterrestre sistemas de referencia geocntricos en los cuales el ajuste entreelipsoide y geoide se plantea a nivel global. Cada uno de estos serviciosutiliza una tcnica de observacin distinta:

    Servicio Internacional de GPS (International GPS Service. IGS) Servicio Internacional de rastreo lser (International Laser Ran-

    ging Service. ILRS)

  • II-16 Nociones de Geodesia

    Servicio Internacional de Interferometra sobre lneas base muylargas para geodesia y astronoma (International VLBI Servicefor Geodesy and Astrometry. IVS).

    Red Posgar 94

    Puntos Posgar

    Figura 10

  • Nociones de Geodesia II-17

    Cabe mencionar que a partir de mltiples recomendaciones, en laRepblica Argentina se decidi adoptar el Sistema de Referencia WGS84(World Geodetic System 1984), de origen satelital. Para materializarlo sedesarroll el proyecto Posgar (Posiciones Geodsicas Argentinas). Setrata de una red constituida por 127 puntos (Figura 10) distribuidos ms omenos regularmente sobre el territorio nacional (la distancia promedioentre puntos es de aproximadamente 200 Km.) y est basada en medicio-nes GPS. En mayo de 1997, luego de realizadas las observaciones y elclculo correspondiente, fue adoptado oficialmente a travs de la resolu-cin 13/97 del Instituto Geogrfico Militar, el nuevo marco de referenciageodsico en la Argentina que recibe el nombre POSGAR 94.

    Este marco usa el elipsoide denominado WGS84 definido por lossiguientes parmetros:

    semieje mayor a = 6378137 maplastamiento = 1/298.257223563.

    2.7 Transformacin entre Marcos de Referencia

    Dado un punto P cuyas coordenadas cartesianas son conocidas enun marco de referencia, muchas veces es necesario calcular las coordena-das de dicho punto en otro marco.

    Dos marcos quedan vinculados a travs de siete parmetros: tres tras-laciones, tres rotaciones y un factor de escala. Conocidos los siete parmetros,existen expresiones que permiten realizar la transformacin sealada.

    Los primeros parmetros de transformacin conocidos entre CampoInchauspe 69 y WGS84 fueron las tres componentes del desplazamiento entrelos orgenes de ambos sistemas, determinados por la Agencia Cartogrfica delDepartamento de Defensa (DMA) de los Estados Unidos de Amrica (hoydenominado NIMA) en el ao 1991 a partir de observaciones realizadas por elSistema Transit en Argentina. Estos valores son:

    x = -148 my = 136 mz = 90 m

  • II-18 Nociones de Geodesia

    y fueron determinados con una incertidumbre del orden de los 5 metros.

    Las coordenadas en el nuevo marco se calculan con:

    x x' x ' y y y

    z z ' z

    Esta transformacin al realizarse con solo tres parmetros, suponeque el factor de escala es igual a la unidad y que las tres rotaciones sonnulas (Figura 11).

    z'

    z

    b'b

    o' y 'o y

    a '

    a

    x' Desplazamiento ~ 220 m.x

    Figura 11

    La transformacin de siete parmetros se realiza con la expresin:

    x 1 Rz Ryx' x '

    (II-1)y (1 k)- Rz 1 Rx y yz Ry Rx 1 z ' x

  • Nociones de Geodesia II-19

    donde:

    x, y, z : son las componentes del desplazamiento del origenRx, Ry, Rz: son las rotaciones de los ejesk: es el factor de escala

    La expresin (II-1) es vlida para Rx, Ry, y Rz pequeos, los queestn expresados en radianes.

    En junio de 1996, C. Brunini, J. Olondriz y R. Rodrguez, ensu trabajo Determinacin de parmetros de transformacin entre lossistemas de Campo Inchauspe 1969 y WGS84 en Argentina, determi-naron nuevos parmetros utilizando 50 puntos con coordenadas co-nocidas en ambos marcos. Se calcularon los parmetros consideran-do slo las tres componentes del desplazamiento del origen; se reali-z tambin el clculo adicionando el factor de escala y las rotacionesde los ejes (Figura 12) y finalmente se determinaron los coeficientescorrespondientes a las frmulas de regresin mlt iple para la latitudy longitud (bidimensional).

    z'Rz

    z

    b' y 'b

    o' Ryo y

    a'a

    x x' Rx

    x,y, z

    Figura 12

  • II-20 Nociones de Geodesia

    Los autores mencionados determinaron adems, a travs del ajus-te correspondiente, la desviacin estndar de los residuos correspondien-tes a las coordenadas horizontales.

    Respecto de la determinacin de estos parmetros es importanterecordar que en el marco CAI69 no se dispone de alturas elipsidicas, esdecir, tiene carcter bidimensional. Si adems se tienen en cuenta loserrores propios de cada marco se puede decir que para la coordenada h, latransformacin, slo permite obtener un valor aproximado cuyo errorsera difcil precisar.

    2.8 Elipsoide equipotencial

    As como se define un elipsoide de revolucin como superficie dereferencia geomtrica, para modelizar el campo de gravedad externo de laTierra, la geodesia adopta el mismo elipsoide al cual le asigna la masatotal y la velocidad angular de la Tierra requirindose adems que la su-perficie del elipsoide sea una superficie equipotencial de su propio campode gravedad. Al campo de gravedad generado por este modelo se lo de-nomina campo de gravedad normal. De acuerdo al Teorema de Stokes-Poincar, el campo de gravedad normal queda unvocamente determinadoen el espacio exterior del elipsoide.

    2.9 Modelos de geoide

    Nivelando con GPS?

    En la prctica la expresin h = H + N (Figura 13) se puede consi-derar como vlida ya que el desvo de la vertical (i) es un valor muy pe-queo (nunca se encontr un valor que supere los 30). Como se ver en elCaptulo III, con GPS se pueden determinar las coordenadas cartesianas x,y, z de un punto, luego aplicando las frmulas de conversin correspon-dientes se podrn calcular inmediatamente las coordenadas geodsicas B, Ly h. Posteriormente se podr calcular la cota ortomtrica H (la que interesaen nivelacin) si el valor de N en ese punto es conocido, donde N represen-ta la distancia geoide-elipsoide denominada ondulacin del geoide.

  • Nociones de Geodesia II-21

    Terreno

    P

    NGeoide

    Elipsoide de Referencia

    Figura 13

    Si se trata de determinar la direccin del escurrimiento del aguaentre dos puntos es necesario determinar la diferencia de alturas ortom-tricas (en primera aproximacin, ya que solo las cotas dinmicas poseenesta propiedad). Ms precisamente, podremos decir que si se consideranlos puntos P y Q, resulta:

    hQ = HQ+NQhP = HP+NP

    HQ - HP = (hQ - hP) - (NQ - NP)

    es decir, que la diferencia de nivel ser igual a la diferencia de altura elip-sidica slo si la diferencia de ondulacin es nula, de lo contrario habrque conocer la diferencia de ondulacin.

    Cabe sealar que en la prctica existen mltiples aplicaciones,fundamentalmente las de orden topogrfico, en las cuales, bajo determi-nadas condiciones resulta vlido despreciar la diferencia de ondulacin.

    El problema inverso consistir en determinar ondulaciones en

  • II-22 Nociones de Geodesia

    puntos discretos de una regin que permitan inferir (por interpolacin) laondulacin en cualquier punto. Es lo que se llama Modelo de geoide.

    Una forma de modelizar el geoide consiste en determinar h sobrepuntos de cota ortomtrica conocida o recprocamente nivelar entre pun-tos de altitud elipsidica conocidas, entonces se podrn determinar dife-rencias de ondulacin con:

    NQ - NP = (hQ - hP) - (HQ + HP)

    En la Repblica Argentina se han elaborado modelos de geoideregionales en base a mediciones realizadas con GPS sobre puntos de ni-velacin. Estos trabajos permitiran obtener valores de ondulaciones, conprecisiones centimtricas, como es el caso de modelos obtenidos para laProvincia de Buenos Aires (Perdomo R. y otros. Nuevos avances en ladeterminacin de un modelo de transformacin de alturas para la pro-vincia de Buenos Aires. A.A.G.G. 2002).

    Existen tambin modelos globales de geoide como OSU91 de laUniversidad de Ohio y EGM96 (Nasa GSFC y DMA) que permiten cal-cular las ondulaciones del geoide desde un desarrollo en armnicos esf-ricos del potencial gravitacional terrestre. Estos modelos, aunque carecende resolucin suficiente para muchas aplicaciones resultan tiles comoreferencia para modelos regionales.

    2.10 Representacin Plana

    2.10.1 Fundamentos. Ecuaciones de representacin

    Como ya se vio en el desarrollo de los captulos precedentes lascoordenadas geodsicas B, L y h, es decir la latitud, longitud y alturaelipsidicas respectivamente, determinan unvocamente la posicin espa-cial de puntos respecto de un elipsoide de revolucin tomado como super-ficie geodsica de referencia. Aunque la utilizacin de este tipo de coor-denadas resulta de gran utilidad en geodesia, su uso resulta incmodopara emplearlo en determinadas aplicaciones.

    En efecto, teniendo en cuenta que las coordenadas horizontales B

  • Nociones de Geodesia II-23

    y L de los puntos se expresan en unidades angulares (grados, minutos ysegundos de latitud y longitud), cuando se pretende determinar distanciasentre puntos o direcciones definidas por stos, se presentan inconvenien-tes tales como que el valor lineal equivalente a las unidades angularesmencionadas depende de la posicin del punto, o que las direcciones delos meridianos no son paralelas.

    Se tiene entonces que aun para pequeas extensiones los clculosque se realizan a partir de coordenadas geodsicas requieren, en muchoscasos, la intervencin de un profesional con conocimientos especializadosen clculo geodsico. En algunas aplicaciones los clculos pueden reali-zarse con software existente.

    Resulta particularmente til, mediante una adecuada transforma-cin, reemplazar las coordenadas elipsidicas B y L por coordenadasplanas rectangulares con las consecuentes ventajas que ello implica.

    La transformacin anterior implica definir la relacin analticaentre las coordenadas geodsicas horizontales (B, L) del punto genricoQ y las correspondientes (X, Y) de su imagen en el plano, es decir, Q(Figura 14).

    z normal al elipsoide

    Q (B,L) Conversin (X,Y)Y Q'

    X

    B yL

    x

    Figura 14

  • II-24 Nociones de Geodesia

    '

    Estas relaciones analticas estn expresadas genricamente en lassiguientes ecuaciones:

    X = f1 (B, L, a, b)Y = f2 (B, L, a, b)

    donde :B, L: son las coordenadas geodsicas que determinan la

    posicin de un punto sobre el elipsoide

    X, Y: son las coordenadas rectangulares que determinanla posicin del punto imagen sobre el plano

    a : semieje mayor del elipsoide terrestre

    b : semieje menor del elipsoide terrestre.

    Definir el tipo de representacin es encontrar las funciones f1 y f2en base a determinadas condiciones que se imponen a priori. Existennumerosos autores que desarrollan minuciosamente este tema usandocomo criterio general minimizar la distorsin entre las figuras en la super-ficie origen y su representacin plana.

    2.10.2 Representacin conforme. Deformaciones

    Si al elemento de arco ds de la curva C de la superficie S, le co-rresponde en el plano un elemento de arco ds de la curva imagen C, a larazn

    m dsds

    se la denomina coeficiente de deformacin lineal.

    La representacin plana de la superficie S se llama conforme si ladeformacin lineal m slo depende de la posicin del punto P, pero fijadoste, es la misma para todas las direcciones. El resultado de esa condicinde conformidad es que un ngulo sobre la superficie es preservado en elplano, es decir, la representacin es isogonal.

  • Nociones de Geodesia II-25

    Dos superficies se llaman isomtricas si puede establecerse entresus puntos una correspondencia biunvoca que conserve las longitudes, esdecir:

    ds = ds

    o sea m = 1

    Planteado el problema en trminos matemticos se demuestra queen general ser imposible encontrar dos funciones que cumplan simult-neamente con las condiciones de conformidad e isometra, salvo que lasuperficie a representar verifique condiciones especiales. Se puede de-mostrar que la condicin necesaria que debe cumplir la superficie, paraque su representacin plana sea conforme e isomtrica es que sea desa-rrollable.

    Debido a que el elipsoide de revolucin no es una superficie de-sarrollable, las figuras planas sern siempre heteromorfas de las corres-pondientes figuras que representan, es decir, que al pasar de la superficiede referencia al plano la deformacin es inevitable (Figura 15).

    elipsoide plano

    Deformaciones

    Figura 15

    Con la finalidad de realizar este tipo de transformaciones se handesarrollado mltiples sistemas de representacin (proyecciones). Engeodesia se utilizan representaciones conformes. Cabe sealar que una delas caractersticas, que justifica el uso de este tipo de proyecciones es que

  • II-26 Nociones de Geodesia

    para una figura de extensin limitada, su representacin plana resultasemejante.

    En general se puede decir que el tipo de proyeccin a utilizar de-pende de las caractersticas del rea a representar. Por ejemplo en territo-rios extendidos preferentemente en la direccin N-S como la RepblicaArgentina, son adecuadas las proyecciones cilndricas transversales. Enellas se utiliza como superficie intermedia un cilindro tangente a la super-ficie de referencia terrestre a lo largo de un meridiano llamado meridianode tangencia o meridiano central.

    Si se considera que el aplastamiento de la elipse es nulo, los me-ridianos sern circulares y estaremos en el caso de la proyeccin cilndri-ca transversal de Lambert, cuyo desarrollo es particularmente sencillo. Engeodesia el cilindro ser elptico ya que los meridianos tambin lo son.

    Como ejemplo se brindan algunos detalles sobre el tipo de repre-sentacin utilizada en la Repblica Argentina. En este pas se adopt enel ao 1925 la proyeccin conforme Gauss Krger (cilndrica transversalconforme) como sistema de representacin plano.

    Fijado un meridiano central (meridiano de tangencia), las absci-sas se miden sobre el meridiano central desde el polo sur hasta el pie de laproyeccin ortogonal del punto. Las ordenadas se miden desde el meri-diano de tangencia creciendo de Oeste a Este (Figura 16).

    yQ(B,L) m.c. Q'Y

    xX=x

    Meridianocentral (m.c.)

    Figura 16

  • Nociones de Geodesia II-27

    Adems de la condicin de conformidad, se establece que lospuntos del meridiano central sean representados sin deformacin, es de-cir, que cada elemento del eje de las abscisas en el plano es igual al arcoelptico del meridiano que representa.

    Las deformaciones lineales crecen rpidamente con la distancia almeridiano central, por lo que representar los puntos de toda una superfi-cie elipsidica muy extendida en direccin E-O no es aconsejable, ya quelas deformaciones (aunque calculables) seran demasiado grandes y estodistorsionara apreciablemente las figuras. En este sentido, y con la fina-lidad de limitar las deformaciones, es recomendable la divisin de la su-perficie en zonas, que tendrn una representacin plana independienteuna de otra.

    Como resultado de lo anteriormente mencionado el territorio dela Repblica Argentina se divide en 7 fajas meridianas de 3 de anchocada una, con meridianos centrales en las longitudes 72, 69, 66, 63,60, 57, 54 al oeste de Greenwich.

    Para distinguir por sus ordenadas cada una de las fajas,empleando adems slo nmeros positivos se asignan a los meridianoscentrales las siguientes ordenadas.

    Al meridiano 72 de la 1a faja, la ordenada 1.500.000 metrosAl meridiano 69 de la 2a faja, la ordenada 2.500.000 metrosAl meridiano 66 de la 3a faja, la ordenada 3.500.000 metrosAl meridiano 63 de la 4a faja, la ordenada 4.500.000 metrosAl meridiano 60 de la 5a faja, la ordenada 5.500.000 metrosAl meridiano 57 de la 6a faja, la ordenada 6.500.000 metrosAl meridiano 54 de la 7a faja, la ordenada 7.500.000 metros

    Debe tenerse en cuenta que en la representacin plana de una re-gin con ms de una faja meridiana se pierde la continuidad espacial porlo que carece de sentido integrar puntos cuyas coordenadas planas fueroncalculadas con distintos meridianos centrales. En estos casos, ser necesa-rio recalcular las coordenadas proyectivas de los puntos mencionadosutilizando un nico meridiano central.

  • II-28 Nociones de Geodesia

    Tngase en cuenta que las coordenadas Gauss Krger de un pun-to estarn siempre asociadas a un marco de referencia geodsico ya queson funcin de las coordenadas B y L del punto que dependern del mar-co de referencia en el que estn expresadas.

  • Captulo III III-1

    La obtencin de coordenadas

    3.1 El problema de la pirmide

    Para determinar la posicin de un punto en el espacio, es suficien-te conocer las distancias a tres puntos de coordenadas conocidas. Se tratade una interseccin espacial inversa. Es un problema geomtrico relativa-mente simple, ms all de las dificultades que su clculo suponga. Se tra-ta, en definitiva de una pirmide de base triangular.

    En la Figura 1, las letras S indican la posicin de los satlites y laletra P la del punto cuyas coordenadas se quiere conocer, es decir la ubi-cacin del receptor GPS.

    S1 1 S2 S3

    2 3

    E1

    NO!

    S3S1 S2

    P

    E2E3

    E1 E2

    C!1 2

    S1 S2

    PC E3

    Figura 1

    Desde el punto de vista geomtrico el problema tiene dos solucio-nes, pero es fcil elegir la correcta, puesto que la otra est ubicada a unos40.000 km. de la superficie terrestre.

  • III-2 La obtencin de coordenadas

    El punto P se corresponde con la interseccin entre las tres esferasque tienen por radios, respectivamente, las distancias PS1; PS2 y PS3.

    3.1.1 Posicionamiento mediante cdigo C/A

    Cuando se dise GPS se estableci que el cdigo C/A (cdigo deadquisicin comn) fuera de libre adquisicin, es decir no reservado parauso militar.

    El problema a resolver es MEDIR LAS DISTANCIAS entre sa-tlites y receptor. Para ello vamos a utilizar el llamado cdigo C/A.

    Recordemos el mtodo aplicado en los distancimetros electrni-cos: el aparato emite una onda homognea de frecuencia conocida, la cualse refleja en un prisma colocado en el otro extremo del segmento a medir;el rebote es recibido por el aparato, el cual mide el desfasaje, lo convierteen tiempo y por lo tanto en distancia equivalente. Dejamos de lado aspec-tos particulares de la distanciometra electrnica que no vienen al caso.

    En GPS la medicin es de va nica, es decir no hay reflexin.Debe medirse el tiempo necesario para que la seal recorra la distanciasatlite - receptor. Puesto que se trata de medir tiempos es necesario contarcon relojes adecuados tanto en los satlites como en el receptor.

    En realidad son instrumentos que distan mucho de la nocin usualde reloj. Se trata de osciladores de frecuencias muy estables capaces desealar medidas de tiempo del orden de 10-13 segundos (o 10-14) en los sat-lites y 10-8 segundos en los receptores.

    3.1.2 La seal del satlite

    Hay una frecuencia fundamental, generada por el oscilador delsatlite, de ella se derivan todas las dems frecuencias que el satlite utili-za para emitir. Se emiten dos ondas portadoras, llamadas L1 y L2 ; sobreuna de ellas, L1, se monta la modulacin correspondiente al cdigo C/A.

    En la Figura 2 se intenta esquematizar, de alguna manera, el tipode seal que emiten los satlites y los componentes de la misma.

  • La obtencin de coordenadas III-3

    Longitud de onda 30 m.

    Longitud de onda 300 m.

    P

    C/A

    Pseudo ruido

    MENSAJE(Efemrides, etc.)

    L1Longitud de onda 19 cm.

    Longitud de onda 24 cm. L2

    Cdigos (P y C/A), Portadoras (L1 y L2)Figura 2

    Por ahora nos remitiremos casi exclusivamente al CDIGO C/A co-mo medio para efectuar la medicin de las distancias que nos interesan.

    Supongamos un satlite en particular:

    Al cdigo lo podemos imaginar como una serie de ceros y unos, obien de (+1) y (-1), en un cierto orden. Al multiplicar la onda portadorapor el cdigo, aquella no se altera cuando se encuentra con los (+1), perose invierte donde aparecen los (-1). Todo ello da como resultado una ondadeformada, un seudo ruido aparentemente aleatorio, que es lo que llega alreceptor.

    Lo que graficamos en la Figura 3 es un croquis totalmente fuerade escala, slo vlido con fines didcticos. La seal emitida es elresultado de multiplicar a la onda portadora por el cdigo.

  • III-4 La obtencin de coordenadas

    SEAL, PORTADORA, CDIGO

    seal emitida

    onda portadora

    Figura 3

    cdigomodulador

    cada satlite cuenta con un cdigo C/A diferente, lo que genera unamodulacin especfica de la seal, propia y exclusiva de ese satlite

    de tal modo se obtiene un PRN (ruido seudo aleatorio) distintivode ese satlite

    si queremos hacer una analoga grfica podramos decir que es undibujo caracterstico de ese satlite.

    Pero adems, ese dibujo, va asociado al tiempo; se repite cadamilisegundo y le corresponde un instante determinado para comenzar cadarepeticin; ese instante no puede ser cualquiera, debe ser comn a todo elsistema.

    3.1.3 Medicin de la distancia

    Cada receptor tiene almacenadas en su memoria las rplicas detodos los PRN. As cuando recibe la emisin satelital puede efectuar elreconocimiento del satlite correspondiente. A continuacin, procesando laseal, recupera el cdigo con el que fue modulada y, a la vez, genera inte-

  • La obtencin de coordenadas III-5

    riormente una rplica del cdigo recibido, pero obviamente desfasado,puesto que el recibido debi viajar por el espacio, siendo recibido con unretardo (Figura 4).

    Cdigo Transmitido

    Cdigo Recibido

    RetardoCdigo Local

    TiempoTUC o TGPS

    Retardo = Range (distancia)Incgnitas: x y z (Coordenadas de la antena)

    Figura 4

    La operacin siguiente consiste en correlacionar los cdigos (reci-bido y autogenerado o local), lo que permite medir el tiempo y por lotanto la distancia (considerando conocida la velocidad de la luz en el espa-cio).

    3.1.4 Relacin entre cdigo C/A, tiempo y distancia

    - cdigo completo 1 milisegundo = 10-3 segundos ~ 300.000 m

    - un elemento (*) 1 microsegundo = 10-6 segundos ~ 300 m- apreciacin (**) 10 nanosegundos = 10-8 segundos ~ 3 m(*) es la milsima parte del cdigo completo

    (**) en la correlacin entre el cdigo recibido y el cdigo local, se puedeapreciar una centsima parte de un elemento

  • III-6 La obtencin de coordenadas

    Pero se miden SEUDODISTANCIAS

    Y ello es lgico porque la sincronizacin de los relojes (el del sat-lite y el del receptor) no puede ser perfecta. Para comprenderlo bastaratan slo tener en cuenta la diferencia existente entre la precisin que carac-teriza al reloj del satlite y la del reloj del receptor.

    La consecuencia es que la distancia observada no es la real, sinoun valor prximo que difiere en una longitud d = c . (-R) (donde c =velocidad de la luz).(Figura 5)

    RCdigo Transmitido

    Cdigo Recibido

    RangeRetardo Cdigo Local

    TiempoTUC o TGPS

    Retardo = Range + Error de relojIncgnitas: x y z (Coordenadas de la antena)

    R Error del reloj del receptorFigura 5

    Surge as una incgnita imprevista: R es una incgnita que repre-senta el error del reloj del receptor respecto al sistema de tiempo GPS.

  • La obtencin de coordenadas III-7

    Cul es la solucin a este inconveniente? Muy sencilla, comotodas las soluciones geniales. El propio sistema nos la brinda.

    Hay 4 incgnitas3 de posicin (xp, yp, zp)

    1 de reloj (R)

    Se resuelve observando 4 satlites en vez de 3 y resolviendo unsistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas. Eso simplifica enormemente lascosas porque permite utilizar en los receptores osciladores menos precisosque los de los satlites y obviamente con muchsimo menor costo.

    Como vemos es el propio sistema el que controla, y corrige, elestado de los relojes de los receptores.

    3.2 Ecuaciones de observacin

    De la Figura 6 surge inmediatamente la ecuacin posterior

    S(satlite)

    (posicin)P

    Figura 6

    Coordenadas de S (satlite): xs, ys, zsCoordenadas de P (posicin) xp, yp, zp

  • III-8 La obtencin de coordenadas

    2 = (xs - xp)2 + (ys - yp)2 + (zs - zp)2

    donde = sd + d y d = c . (-R) (donde c = velocidad de la luz)

    (sd + d)2 = (xs -xp)2 + (ys - yp)2 + (zs - zp)2 (III-1)

    tendremos una ecuacin de este tipo por cada satlite observado.

    Para efectuar el clculo debe efectuarse cierta manipulacin de esaecuacin, cuestin que no pretendemos desarrollar aqu; basta con saberque es posible calcular (xp, yp, zp, d), lo que constituye la solucin delsistema de ecuaciones antes mencionado

    - Observacin:

    Para trabajar en 3 dimensiones (basta con) sistema de 4 ecuacionescon 4 incgnitas

    Para trabajar en 2 dimensiones (basta con) sistema de 3 ecuacionescon 3 incgnitas

    En ocasiones puede ser conveniente trabajar en dos dimensiones, porejemplo en casos que se tiene un valor aproximado de la altura o cuando exis-ten dificultades para observar 4 satlites (arboleda, edificios, etc.). En talescondiciones con slo 3 satlites se puede obtener un buen posicionamientohorizontal, es decir latitud y longitud.

    Probablemente vale la pena recordar que cuando hablamos de altura,nos estamos refiriendo a la que corresponde sobre el geoide (H) o sobre elelipsoide (h). Recordemos que la coordenada geocntrica Z no indica altura.

    3.3 Precisin del posicionamiento

    Analicemos la ecuacin (III-1)

  • La obtencin de coordenadas III-9

    2 2 2 2

    d

    (sd d ) (xs - xp )

    xs

    (ys - yp ) (zs - z p )

    xp

    incgnitas y datos sd observacinyp

    z p

    s zs

    Si tenemos en cuenta que:

    a) la distancia que observa el aparato es en realidad la seudodistancia,pero afectada por una serie de errores (cuyas causas se analizarn de in-mediato)

    seudodistancia = distancia observada menos una sumatoria de errores

    sd = dobs - e

    b) los datos que tenemos sobre las coordenadas de los satlites (a travs delas efemrides) tambin estn afectados por errores, puesto que las rbitassurgen de mediciones y extrapolaciones.

    xs = xst - exs donde xst significa coordenada transmitiday exs el error de la misma

    reemplazando en (III-1), podemos expresar

    (dobs - e + d)2 = (xst - exs - xp)2 + (yst - eys - yp)2 + (zst - ezs - zp)2 (III-2)

    3.3.1 Consideracin de los errores

    En primer lugar debe distinguirse claramente entre los errorespropios de la medicin y las equivocaciones o errores groseros. Estos lti-mos no dependen de la tcnica o el instrumental de medicin; son productode la impericia, el cansancio, o incluso de una accin intencional.

  • III-10 La obtencin de coordenadas

    Ahora bien, entre los errores de medicin, debemos separar por unlado a los llamados sistemticos, cuya causa responde a alguna ley fsicams o menos conocida, y los llamados accidentales, inevitables en todamedicin, cuyo comportamiento ha sido caracterizado mediante la famosacampana de Gauss.

    Vamos a intentar una esquematizacin de las principales causas deerror en GPS y mencionar algn criterio de tratamiento de los mismos,reducindonos exclusivamente a la medicin con cdigo C/A. En la Figura7 tenemos una idea aproximada de la magnitud que el error puede llegar aalcanzar en cada caso.

    "Errores" de medicin(seudodistancia)

    Posicin REAL

    Posicin TRANSMITIDA

    IONOSFERA2 a 100m

    TROPOSFERAdms

    reloj 1mrbita 5m

    SA 100m

    5m

    FUENTE: G. Seeber - 1994 RUIDO .3 a 3m

    Nota: en 1994, G. Seeber sealaba la "disponibilidad selectiva" (S.A.), hoyinexistente, como principal causa de error en aquel entonces.

    Figura 7

    3.3.2 Errores sistemticos

    a) efemrides y reloj de satlite: su influencia no es demasiadosignificativa para cdigo C/A. En otros mtodos de medicin se mejoran

  • La obtencin de coordenadas III-11

    los resultados utilizando las efemrides precisas, es decir coordenadasde los satlites calculadas a posteriori con mayor precisin.

    b) influencia de la atmsfera: es una fuente de error muy impor-tante; con un solo receptor es inevitable, no obstante existen mtodos, queabordaremos ms adelante, que reducen notoriamente su influencia.

    c) ondas reflejadas o multicamino: las ondas reflejadas, llamadastambin efecto multipath, se controlan tratando de evitar, en lo posible, elestacionamiento del receptor prximo a superficies reflectantes.

    3.3.3 Errores accidentales

    En este caso surgen al medir mediante la tcnica de correlacin delos cdigos. El ruido propio de la medicin es aquella medida por debajode la cual el instrumental no puede efectuar determinaciones certeras, esdecir expresa la incertidumbre propia de la medicin.

    Su tratamiento responde a los cnones clsicos; apelar a la so-breabundancia de observaciones y a la bsqueda del valor ms proba-ble, mediante el clculo llamado de compensaciones o ajustes.

    La suma de (si se permite la expresin) electrnica + informti-ca, facilita efectuar y acumular un gran nmero de observaciones. Elloexplica la conveniencia de prolongar la medicin por cierto lapso de tiem-po a los efectos de mejorar la precisin.

    Veremos que ese lapso de tiempo se justifica tambin por otrasconsideraciones.

    3.4 Factor de configuracin

    Recordemos que estamos tratando una interseccin espacial. Laprecisin de la misma depende tanto de la calidad de la medicin comotambin de la configuracin del sistema.

  • III-12 La obtencin de coordenadas

    Veamos un ejemplo en interseccin plana desde dos puntos. Mi-diendo las distancias a dos referencias (puntos de coordenadas conocidas),podemos calcular la posicin del punto P en el plano.A, B, C y D son puntos de coordenadas conocidas

    B

    A

    CP

    DFigura 8

    Pares de puntos a utilizar como referencias:Convenientes Inconvenientes

    B y C A y DA y B A y CB y D C y D

    Es fcil ver, intuitivamente, que segn sea el par de puntos elegi-dos para referenciar la interseccin, obtendremos resultados de diferenteprecisin. Es evidente que cuando los puntos de referencia estn muyprximos entre s (en el ejemplo C y D) se obtiene una interseccin en Ppoco confiable; algo similar pasa cuando las referencias adoptadas estnubicadas aproximadamente en una misma alineacin con el punto P (en elejemplo A y C o A y D).

    En GPS, para efectuar la interseccin espacial que nos brinda lascoordenadas de la antena del receptor, nos apoyamos en un grupo de satlites(en general 4 como mnimo), lo que llamamos la constelacin. Esos satlites

  • La obtencin de coordenadas III-13

    estn distribuidos en el espacio, en el momento de la medicin, de una determi-nada forma, que es lo que llamamos la configuracin.

    Si apelamos a la analoga con las mediciones terrestres, los satli-tes juegan el papel tradicionalmente desempeado por los puntos fijos,lo que resulta paradojal, pues si algo caracteriza a los satlites es su movi-lidad permanente, es decir la incesante e instantnea variacin de sus co-ordenadas.

    Pero eso explica por qu es conveniente prolongar las observacio-nes durante cierto tiempo. De ese modo, manteniendo la constelacin,cambia la configuracin, es decir no estamos tan solamente reiterando lamedicin anterior, sino efectuando una medicin distinta, con otros pun-tos fijos, lo cual es muy importante para mejorar la precisin de los resul-tados.

    En GPS la influencia de la configuracin se expresa matemtica-mente mediante un factor, del siguiente modo:

    p = d . DOP

    donde p : desvo standard en la posicin obtenidad : desvo standard en la medicin de las distanciasDOP : factor de dilucin de la precisin

    El software disponible en todo equipamiento GPS, permite calcu-lar rpidamente el factor de dilucin una vez fijada la configuracin. Estovale tanto para programar una medicin, es decir determinar a priori, congran aproximacin, cul ser el factor de dilucin, como vale para lasmediciones ya realizadas, donde ese factor surge de los propios datos demedicin.

    En el caso que fuera necesario, la influencia del factor de configu-racin se puede expresar mediante lo que seran sus componentes, as esposible obtener:

    HDOP para estimar el error en el posicionamiento horizontal

  • III-14 La obtencin de coordenadas

    VDOP para estimar el error en el posicionamiento verticalPDOP para estimar el error en el posicionamiento tridimensional

    Se utiliza el PDOP para validar las constelaciones, es decir acep-tar o no la medicin efectuada o a efectuarse en esas condiciones, para locual se establecen mximos admisibles o valores de tolerancia.

    Es bastante conocido que en GPS se obtiene siempre menor preci-sin en vertical que en horizontal (la relacin es del orden de 1,5 2).

    Ello se explica justamente por el factor de configuracin, puestoque es imposible obtener una adecuada configuracin para la altura.

    Mientras tengamos la Tierra debajo de nosotros es imposible ob-servar satlites que estn abajo, por lo que debemos conformarnos conlos de arriba.

    Dado que pueden presentarse situaciones, no muy comunes peroposibles, en que la visibilidad de satlites sea muy restringida, habr quecerciorarse que el PDOP sea aceptable. De lo contrario debe programarsela medicin para el da y hora en que ello se produzca.

    En definitiva, se puede obtener una precisin del orden de los 15 me-tros, con un solo receptor, efectuando una sola observacin, con resul-tado instantneo y en el 95% de los casos.

    3.5 Otros sistemas de posicionamiento satelital

    3.5.1 Sistema GLONASS

    (informacin extractada de: M. Holanda y J. Bermejo, G.P.S. yGLONASS, Madrid, 1998 - Actualizada a noviembre de 2004 ITAR-TASS Agency reports)

    El sistema ruso GLONASS fue desarrollado desde principios delos aos 70 por el entonces Ministerio de Defensa Sovitico. Es similar enmuchos aspectos al GPS , tambin presenta diferencias.

  • La obtencin de coordenadas III-15

    Los planes de GLONASS permiten proporcionar dos servicios: elCSA (Channel of Standard Accuracy) disponible para uso civil, y el CHA(Channel of High Accuracy) para usos autorizados.

    El GLONASS CSA fue aceptado desde 1996 por la OrganizacinInternacional de Aviacin Civil.3.5.2 Descripcin y constitucin de GLONASS

    Sector de control: la central se encuentra en Mosc y tiene una redde estaciones de seguimiento y control ubicadas en todo el territorio ruso.Las mismas, como en GPS, deben seguir y vigilar el estado de los satlites,determinar efemrides y errores de los relojes.

    GLONASS proporciona a los usuarios civiles una precisin, entiempo real y posicionamiento absoluto, midiendo con cdigo, de unos 60metros en horizontal y 75 metros en vertical (99,7% de los casos) segn elgobierno de la Federacin Rusa, no estando prevista ninguna degradacinintencional.

    Sector espacial: tiene semejanzas con el de GPS. Cuando se com-plete estar compuesto por una constelacin de 24 satlites ubicados entres planos orbitales inclinados aproximadamente 65 respecto del Ecua-dor. Cada plano contendr 8 satlites, a unos 19.100 Km de altura, asegu-rando una cobertura de adecuada geometra, con 5 satlites como mnimo,en cualquier instante y lugar de la Tierra.

    El primer satlite fue lanzado en 1982. A diferencia de GPS todoslos satlites transmiten el mismo cdigo, pero se diferencian en la frecuen-cia de la portadora.

    La informacin de las efemrides no rene las condiciones ade-cuadas para los trabajos de gran precisin. Esto y la cantidad de satlites,es la principal limitacin de este sistema respecto a GPS.

    Sector usuario: los receptores tienen caractersticas similares a losde GPS. En el mercado existen marcas y modelos con capacidad de recibirseales de ambos sistemas. As el usuario podr tener acceso a un sistema

  • III-16 La obtencin de coordenadas

    combinado con mayor cantidad de satlites. Para ello es necesario conocersus posiciones en el mismo sistema de referencia y establecer la relacinentre las dos escalas de tiempo.

    Datum PZ90: el Datum Geodsico Parametry Zemli 1990 (oPZ90) es el sistema de referencia terrestre adoptado por GLONASS. Haydiferencias en el origen, en la orientacin de los ejes y en la escala respectoal WGS84.

    La red de estaciones existentes en diversos pases permite obtenerlos parmetros de transformacin del sistema de referencia PZ90 al siste-ma WGS84.

    Hasta el ao 2004, el estado de la constelacin GLONASS, no seha modificado, es decir, tiene operativos 10 satlites en rbita, de los 24previstos.

    A esa fecha el sistema era operado y gestionado por las FuerzasEspaciales Rusas dependientes del ministerio de Defensa. Posee un nivelde precisin de acceso abierto y una mejor precisin pero de uso restringi-do, tal como sucede en el sistema norteamericano.

    Durante su vida operativa se han lanzado 77 satlites, aunque,desde 1995 hasta la fecha, el programa ha sufrido retrasos y cancelacio-nes. Por este motivo, su estado operacional es muy limitado. Con solamen-te 10 satlites operativos, GLONASS no garantiza, a fines del 2004, nin-gn nivel aceptable de servicio. Para fines de 2005 tienen previsto tener enrbita entre 16 y 18 satlites.

    De todos modos, no se duda de su continuidad, ya que forma partede diversos proyectos de navegacin por satlite, entre ellos GNSS-1. Porotra parte, esto fue reafirmado en un comunicado oficial del Gobierno dela Federacin Rusa, de fecha 29 de marzo de 1999 y confirmado a princi-pios del 2004.

    3.5.3 Sistemas europeos

  • La obtencin de coordenadas III-17

    (Informacin extractada del "Comunicado Oficial de la Comisin Euro-pea, Divisin de Navegacin por Satlite GNSS", publicado por AENA,Espaa y de publicaciones especializadas, como la revista GPS World).

    Segn la Comisin Europea, los sistemas GPS y GLONASSpresentan una serie de limitaciones tcnicas e institucionales que se puedenresumir en:a) No satisfacen todos los requisitos de navegacin exigidos por la avia-cin civil, y como consecuencia de ello, su uso adolece de una serie derestricciones y en la prctica se limita a las fases de vuelo menos exigen-tes.

    b) Estn bajo control militar por lo que, en caso de conflicto blico, ladisponibilidad del servicio no est asegurada.

    c) No existe ningn tipo de garanta legal o de seguridad sobre el funcio-namiento de los sistemas.

    d) No existe un marco de responsabilidad legal claramente definido encaso de accidentes provocados por estos sistemas.

    Como consecuencia de estas limitaciones, es necesario comple-mentar a GPS y/o GLONASS con sistemas adicionales. Estos sistemas seconocen en la terminologa de la OACI (Organizacin de Aviacin CivilInternacional) como "aumentaciones", y tienen por objeto mejorar el servi-cio bsico ofrecido por GPS y GLONASS.

    Siguiendo las recomendaciones emitidas en 1992 por el ComitFANS (Future Air Navigation Systems) de la OACI, la implantacin delGNSS se aborda en dos etapas, que se denominan GNSS-1 y GNSS-2.

    Las presentaciones de los sistemas GNSS se establecen siguiendocuatro parmetros bsicos: Precisin - Integridad (Confianza) - Continui-dad -Disponibilidad.

    3.5.3.1 GNSS-1

  • III-18 La obtencin de coordenadas

    Esta etapa se basa en el mximo aprovechamiento posible de lasconstelaciones GPS y GLONASS, las cuales no obstante deben ser com-pletadas con "sistemas de aumentacin". Las "aumentaciones" tienen unobjetivo doble: en primer lugar, mejorar las prestaciones de GPS y/oGLONASS y, en segundo lugar, posibilitar la definicin de un marco legale institucional de uso del que carecen hoy da. Se han contemplado tresposibles tipos.

    Uno de stos es SBAS (Satellite Based Augmentation System), de-finida como "sistema de aumentacin de cobertura amplia en los cuales elusuario recibe la informacin de aumentacin a travs de un transmisorembarcado en un satlite", que proporciona importante servicios, por ejem-plo informacin relativa al estado de funcionamiento y calidad de las sea-les emitidas por todos los satlites GNSS-1 (incluye GPS y/o GLONASSjunto con los satlites adicionales SBAS).

    Mediante este servicio se mejoran las prestaciones de navegacindesde el punto de vista de la integridad, pues se dota a GPS y GLONASSde una funcin de monitoreo de su funcionamiento de la que ahora carecen

    En la actualidad existen tres iniciativas a nivel mundial de implan-tacin de sistemas SBAS: EGNOS en Europa, WAAS en Estados Unidosy MSAS en Japn. Los tres sistemas, aunque de mbito regional y des-arrollados de forma independiente, proporcionarn servicios similares ycompatibles entre s. Mediante el uso conjunto e inter-operable de estossistemas y futuras extensiones de los mismos, se espera poder llegar aproporcionar un servicio uniforme de navegacin con cobertura mundial.

    3.5.3.2 El programa EGNOS

    (European Geostationary Navigation Overlay Service - Contribucineuropea al GNSS-1)

    EGNOS responde al esquema de aumentacin SBAS definido porla OACI. Su rea de servicio es la regin europea, y proporciona comosatlites adicionales los geoestacionarios INMARSAT AOR-E,INMARSAT IOR y ARTEMIS. Para generar los diferentes servicios

  • La obtencin de coordenadas III-19

    SBAS de aumentaciones utilizan, adems de estos tres satlites, una red deinstalaciones terrestres distribuidas por toda Europa.

    La gestin institucional y tcnica del Programa EGNOS estsiendo llevada a cabo por el llamado Comit Tripartito, formado por laComisin Europea.

    EGNOS ofrecer mltiples beneficios e introducir mejoras con-siderables en cuanto a calidad y seguridad en todos los modos de transpor-te: areo, martimo, terrestre por carretera o ferrocarril.

    Asimismo, abrir nuevos campos en toda una multitud de diferen-tes aplicaciones tales como agricultura, pesca, geodesia, etc. Entre otrasmejoras, permitir una gestin y seguimiento ms eficaz y flexible de losservicios de transporte comercial y privado gracias a la posibilidad delocalizar vehculos de forma precisa y en tiempo real, monitoreando surecorrido.

    De acuerdo con la planificacin inicial, el desarrollo del sistemaEGNOS debera haber finalizado a principios del ao 2003. A noviembrede 2004, continuaba en etapa de experimentacin avanzada. La AgenciaEspacial Europea, ha creado a partir del mes de julio de 2004, un sitioWeb dedicado a especialistas del tema, para la colaboracin de los mismosen esta instancia, pudiendo tener, por ejemplo, acceso a la informacintcnica detallada de la versin experimental .

    3.5.3.3 GNSS-2

    Se prev que GNSS-1 evolucione hacia un sistema de navegacinmultimodal, que contemple usuarios de todo tipo, de mejores prestacionesy bajo control civil, denominado GNSS-2.

    3.6 El programa GALILEO

    La componente principal del sistema es una constelacin de satli-tes con una cobertura global. Dirigido por la Unin Europea y por la

  • III-20 La obtencin de coordenadas

    Agencia Espacial Europea, la fase de definicin del sistema empez en1999.

    El proyecto Galileo, que garantizar la autonoma europea en ma-teria de posicionamiento satelital, dar a las empresas de la regin grandesoportunidades comerciales e incluir el despliegue de una constelacin de30 satlites de navegacin bajo control civil y cobertura mundial. La plani-ficacin se ha establecido en varias fases: definicin, desarrollo y valida-cin, despliegue y operacin. En la primera, que empez en junio de 1999y finaliz en 2001, se defini el sistema, la organizacin para su gestin yla viabilidad econmica a largo plazo.

    Durante el 2004, ESA firm acuerdos para lanzar dos satlitesexperimentales de Galileo a bordo de la nave espacial Soyuz. El primeropartir del cosmdromo de Baikonur antes de fines del 2005.

    Mientras tanto, la investigacin, el desarrollo y la tecnologa delespacio de la Agencia Espacial Europea (ES) se centran en Nordwijk, enlos Pases Bajos, en donde se est probando actualmente el modelo estruc-tural del primero de los dos satlites experimentales citados.

    La tercera fase de despliegue de la constelacin se extender desde2006 hasta 2008 y a partir de entonces est previsto el ltimo perodo. Elpleno funcionamiento del programa, sin embargo, se alcanzar entre 2016y 2020, cuando funcione la red de los 30 satlites y las estaciones terres-tres.

    Lneas principales de desarrollo del programa GALILEO :

    Es independiente de los sistemas GPS y GLONASS pero comple-mentario e interoperable.

    Est abierto a la contribucin de capital privado internacional.

    Explotar las nuevas capacidades en un sistema civ