Golpe de Ariete

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE HIDRULICA

CTEDRA DE "CONSTRUCCIONES HIDRULICAS"

ESTUDIO DE TRANSITORIOS: GOLPE DE ARIETE

VERSIN AL 22/08/2005

Ing. Luis E. PREZ FARRS Ing. Adolfo GUITELMAN

Construcciones Hidrulicas GOLPE DE ARIETE

2

IIINNNDDDIIICCCEEE

ECUACIONES Y CONCEPTOS BSICOS 3

DESCRIPCIN DEL FENMENO 3 CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENMENO 8 TEORA DE BASE DEL FENMENO 8

LAS ECUACIONES DE SAINT VENANT 8 INTERPRETACIN FSICA DE LAS ECUACIONES 9 TEORA DE ALLIEVI 10 SOBREPRESIONES EN LA FAZ DE GOLPE DIRECTO 12

DIAGRAMAS ENVOLVENTES DE PRESIONES MXIMAS Y MNIMAS 13 TRAMOS REGULADOS CON VLVULAS AL PIE 13 TRAMOS DE IMPULSIN 18 EJEMPLOS PRCTICOS 19

MTODOS NUMRICOS PARA EL CLCULO DE SOBREPRESIONES 22

METODO DE LAS CARACTERSTICAS 22 DEDUCCIN Y UTILIZACIN DEL MTODO 22 CONDICIONES DE BORDE 26

MTODOS DE ACOTAMIENTO 27

1. MTODO DE PUJOL 27 CLCULO DE LOS CAUDALES PARA CADA GRADO DE CIERRE 27 CLCULO DE LA SOBREPRESIN MXIMA PARA CADA GRADO DE CIERRE 29 VALORES DE "K" Y CARACTERSTICAS DE LAS DISTINTAS VLVULAS COMO RGANOS DE REGULACIN 29 RECOMENDACIONES Y CRITERIOS DE SELECCIN 30

2. MTODO DE LOS DIAGRAMAS TRIANGULARES DE SOBREPRESIONES MXIMAS 32 GENERALIDADES 32 CONCEPTOS Y ECUACIONES FUNDAMENTALES 33 PROCESO DE CLCULO Y DISEO 42

3. CRITERIO DE MENDILUCHE-ROSICH PARA TRAMOS DE IMPULSIN 46

MTODOS DE ATENUACIN 48

1- OSCILACIN DE MASA 48 2. CMARAS DE AIRE 53

CRITERIO DE PREDIMENSIONAMIENTO DE CMARAS DE AIRE 55 3. PROTECCIN DE IMPULSIONES CON VLVULAS DE AIRE Y VLVULA ANTICIPADORA DE PRESIN 57

NOCIONES BSICAS ACERCA DE LAS VLVULAS ANTICIPADORAS DE PRESIN 57 PROTECCIN DE IMPULSIONES 59

4. CMARAS COMPENSADORAS Y DEPSITOS DE DESCARGA 62

ANEXO I: DEDUCCIN DE LAS ECUACIONES DE SAINT VENANT 63

ANEXO II: CLCULO DE LA CELERIDAD DE LA ONDA EN EL CASO DE TUBOS DE PARED GRUESA 68

BIBLIOGRAFA 71


3

ESTUDIO DE TRANSITORIOS: GOLPE DE ARIETE

EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS YYY CCCOOONNNCCCEEEPPPTTTOOOSSS BBBSSSIIICCCOOOSSS

Se conoce con el nombre de transitorios a los fenmenos de variacin de presiones en las conducciones a presin, motivadas en variaciones proporcionales en las velocidades.

Cuando la variacin es tal que implica el impedimento de escurrir, es decir, velocidad final

nula, y cuando adems, las oscilaciones de presin por ese motivo son grandes, al fenmeno se lo denomina golpe de ariete.

Se podra definir al fenmeno de Golpe de Ariete como la oscilacin de presin por encima

o debajo de la normal a raz de las rpidas fluctuaciones de la velocidad del escurrimiento. En realidad, el fenmeno conocido como "Golpe de Ariete" es un caso particular del estudio

de los movimientos transitorios en las conducciones a presin. La diferencia se encuentra en que los transitorios implican variaciones de velocidad - y su correlacin con la transformacin en variaciones de presin - de pequea magnitud, mientras que el "Golpe de Ariete" implica las grandes variaciones, de velocidad y presin.

Las maniobras de detenimiento total, implican necesariamente los golpes de ariete de

mxima intensidad puesto que se pone de manifiesto la transformacin total de la energa de movimiento que se transforma en energa de presin.

DESCRIPCIN DEL FENMENO

Con el objetivo de analizar el fenmeno fsicamente, estudiaremos el caso del cierre instantneo del obturador, el que, a pesar de ser una abstraccin terica, posibilita una ms fcil comprensin del problema. Decimos que el cierre instantneo es una abstraccin, porque los rganos de cierre, por rpido que acten siempre demandaran un tiempo para completar la obturacin del caudal. Ello no obstante, en la realidad prctica se producen cierres que pueden adaptarse a ese criterio y que como se estudiar, no son deseables puesto que, como adelantamos, pueden producir sobrepresiones mximas.

En la Figura 1a representamos en una secuencia de dibujos, un conducto de dimetro D y

longitud L, conectado a un embalse de capacidad infinita l inclinado, para mayor generalidad. La conduccin puede ser regulada por el obturador O situado aguas abajo y las coordenadas l las medimos desde el mismo hasta el embalse M donde adquiere el valor L.

El primero de los dibujos esquematiza las condiciones previas al cierre instantneo del

obturador, es decir el rgimen permanente y uniforme. Los dibujos representan situaciones posteriores al cierre, el que se opera en un instante inicial t0.


4

D

M U=0

para t = t0 + 3L/c + t

L-l

U

l O

D-D

M

para t = t0 + 2L/c + t

para t + t0 + L/c = t

M

c h

Dc

L-l

D

U

l

U=0

h

O

D-D

U=0

+

l

L-l

U

D

c

O

D+D

h

para t = t0 + t = t0 + l/c

M

l = c t

U=0

L-lU

D

c

O

D+D

+

h

M

L

U

para t = t0 + 3L/c

para t = t0 + 2L/c

M D

-U

O

+

para t = t0 + L/c

M

U=0

Obturador totalmente abierto - rgimen permanente

O

ho

O

D+D

h

D

O

M

para t = t0 + 4L/c

U

M D-D

O

U=0

h

Figura 1a Interpretacin fsica del golpe de ariete para el cierre instantneo


5

La primera capa de lquido en contacto con el mismo y de espesor diferencial, pasa de

velocidad U a velocidad nula. Necesariamente la energa cintica se transforma en potencial, elevndose la presin a un valor h y comprimindose el lquido en + .

Para un instante posterior (t0 + t) otra capa de lquido pasa por el mismo proceso, dando

como resultado que el fenmeno de aquietamiento de las capas y consecuentemente aumento de presin- se propague en el sentido de O a M con una cierta velocidad que llamaremos c celeridad de onda.

Como por otra parte el material de la conduccin tiene un mdulo de elasticidad E, se

deformar el conducto a causa del aumento de presin. En la Figura 1a se representa todo el proceso, hacindose la aclaracin que las

sobrepresiones por golpe de ariete, de acuerdo a lo dicho, deben representarse sobre el eje del conducto y no sobre su proyeccin como se hace en otros captulos de la hidrulica de las conducciones. Es por ello que en todos los casos se rebate la verdadera magnitud del conducto sobre la horizontal.

Transcurrido un tiempo t del cierre del obturador, el fenmeno alcanzar la seccin a la

distancia l = c t. La conduccin entre O y L se encontrar con una sobrepresin h y consecuentemente

dilatada en un D + D. Por otra parte el lquido se encontrar comprimido siendo su masa especfica + tal como se describe en la Figura 24. En la longitud L l las condiciones son las de antes del tiempo de cierre del obturador, puesto que el fenmeno an no ha llegado a esa regin.

En el tercer dibujo se esquematiza la situacin para el preciso instante en que la perturbacin

ha llegado, en virtud de su celeridad c, al punto M. Toda la tubera se encuentra dilatada en D + D, el lquido detenido (U = 0) y su masa especfica aumentada . Todo ocurre en el tiempo t0 + L/c.

Analizando la seccin M nos encontramos con que un infinitsimo dentro de la conduccin

reina la presin hM + h y un infinitsimo dentro del embalse la presin es hM. Esta situacin de no equilibrio se resuelve mediante una nueva conversin de energa, pero

ahora de potencial a cintica. Obviamente el sentido de la velocidad ser ahora de O a M y su magnitud igual a U, puesto que sta fue la causa de la generacin de h.

En un instante t

cLt 0 ++ , la situacin ser la del 5 dibujo. En el tramo L l tendremos

dimetro D, puesto que ha desaparecido la sobrepresin, el lquido a la masa especfica por la misma razn y a la velocidad U, propagndose el fenmeno de descompresin tambin con celeridad c.


6

Un infinitsimo antes del tiempo cL2t 0 + , esta situacin est llegando al obturador,

encontrndose la conduccin en el mismo estado que instantes previos al cierre del obturador, con la sola excepcin de la velocidad que tiene ahora signo opuesto.

Al llegar a la seccin del obturador (tiempo

cL2t 0 + ) la velocidad U no puede propagarse

puesto que ste est cerrado por lo que ocurre un proceso similar al del instante de cierre, con la diferencia que ahora U se convierte en depresin -h.

En el 6 dibujo se esquematiza el proceso para el instante tc

L2t 0 ++ , donde se aprecia que

hasta la seccin 1a la conduccin est sometida a una presin disminuida en h con respecto a la esttica, la masa especfica del lquido disminuida tambin en y el lquido detenido. El resto de la tubera se encuentra en condiciones normales a excepcin de la velocidad que tiene signo negativo.

En el instante

cL3t 0 + , la situacin anterior habr llegado al embalse siendo vlido el anlisis

hecho para el instante cLt 0 + (3 dibujo) a excepcin de los cambios de signo. En efecto, un

infinitsimo dentro del embalse la presin es hM y un infinitsimo dentro de la conduccin es hM - h. Esta situacin de no equilibrio se resuelve con una nueva conversin de energa de potencial en cintica, dando lugar nuevamente a la velocidad original U.

En el instante tc

L3t 0 ++ , esta perturbacin habr llegado en mrito a la celeridad c hasta la

seccin Ll , siendo de destacar que en ese tramo se ha llegado finalmente a las condiciones iniciales. Finalmente, en el instante

cL4t 0 + se vuelve a los parmetros iniciales, encontrndose el

obturador cerrado y reinicindose nuevamente el proceso, el que habr de continuar indefinidamente si no se tienen en cuenta los efectos amortiguadores de las prdidas de energa.

Ahora, dicho ciclo se repite una y otra vez, pudiendo ocasionar graves daos a la tubera. En

la prctica, la onda es amortiguada por las prdidas de friccin producidas por el escurrimiento, lo que hace que se extinga luego de un intervalo de tiempo que depende de cada situacin. Igualmente, mientras dura la onda, sus efectos son tan importantes que su estudio merece especial atencin.

En la Figura 1b se esquematiza el fenmeno en forma resumida. All se pueden observar las

sobrepresiones y las depresiones producidas en los distintos instantes de tiempo. El tiempo t0 corresponde al tiempo de cierre de la vlvula (t0 = 0 en este caso). Tambin puede observarse el sentido del escurrimiento y el sentido de avance de la onda (con celeridad c) para cada caso.


7

Figura 1b Resumen del Fenmeno de Golpe de Ariete para cierre instantneo

t < t0 : Escurrimiento en rgimen permanente (vlvula totalmente abierta)

t = t0 + t

t = t0 + L/c + t

t = t0 + L/c

t = t0 + 2L/c

t = t0 + 2L/c + t

t = t0 + 3L/c

t = t0 + 3L/c + t

t = t0 + 4L/c

Movimiento Transitorio (Vlvula Cerrada)

h h

h h


8

CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENMENO Adems del caso ejemplificado anteriormente, existen diversas maniobras donde se induce

el fenmeno: Cierre y Apertura de Vlvulas. Arranque de Bombas. Detencin de Bombas. Funcionamiento inestable de bombas. Llenado inicial de tuberas. Sistemas de Proteccin contra Incendios.

En general, el fenmeno aparecer cuando, por cualquier causa, en una tubera se produzcan

variaciones de velocidad y, por consiguiente, en la presin. Como puede observarse del listado anterior todos estos fenmenos se producen en

maniobras necesarias para el adecuado manejo y operacin del recurso, por lo que debemos tener presente que su frecuencia es importante y no un fenmeno eventual.

TEORA DE BASE DEL FENMENO

Las Ecuaciones de SAINT VENANT Las ecuaciones que rigen los movimientos transitorios en conducciones a presin son las de

SAINT VENANT:

D.g.2U.U

ftU

g1

g.2UpZ

2

=

++

l

0tppU

c1U

2 =

+

+ ll

Donde:

- Z es la altura sobre un plano de comparacin arbitrario del eje de la conduccin.

- p/ es la altura de presin en cada seccin y en cada instante (p es la presin y el peso especfico del agua).

- U es la velocidad media en cada seccin y en cada instante. - g es la aceleracin normal de la gravedad. - j* es la "prdida unitaria de energa hidrulica.

1ra. ECUACIN DE SAINT VENANT

2da. ECUACIN DE SAINT VENANT

-j*


9

- t es el tiempo - l es el camino a lo largo del eje (coordenada curvilnea). - c es la celeridad o velocidad de propagacin del fenmeno transitorio, que

resulta (para tuberas de pared delgada):

cp

De E

=+

1 ..

En la que: - es el mdulo de compresibilidad del agua. - es la masa especfica del agua. - D es el dimetro interno de la conduccin. - e es el espesor de la misma. - E es el mdulo de elasticidad del material de la conduccin.

La deduccin de estas ecuaciones puede verse en el ANEXO I del presente trabajo. En el ANEXO II, adems, se detalla el clculo de la celeridad "c" para el caso de tubos de

pared gruesa y galeras excavadas en rocas.

Interpretacin Fsica de las Ecuaciones La elaboracin de las ecuaciones de SAINT VENANT, con el objeto de posibilitar una

mejor interpretacin fsica, y su integracin, lleva a las expresiones "de las caractersticas", dadas por:

==

llm

l

0h d*jQ.g

cZ

t.c

En la Figura 3 puede apreciarse la interpretacin fsica de referencia.

De las ecuaciones y la figura se deduce que en un instante dado el fenmeno "variacin de

velocidad y su correspondiente variacin de presin" es un fenmeno que se propaga con celeridad c. En un instante t, en la abscisa l, la sobrepresin por sobre el valor esttico, estar dado por:

h Z Zh ho=

Los trminos Zh a su vez estn dados por:

Z Z ph = +


10

Es decir, la suma de las alturas del eje sobre el plano de comparacin y la altura de presin en m.d.c. (metros de columna de agua).

Figura 1 Interpretacin Fsica de las Ecuaciones de Saint Venant

A su vez h resulta de la diferencia entre los segmentos dados por:

l

l0

d*jyQgc

El ltimo siempre sustractivo del primero, lo que indica el efecto amortiguador de las

"prdidas de energa.

Ntese que el primero puede escribirse:

( )VUgc

gV.c =

En la que:

- U es la velocidad media de escurrimiento permanente (es decir antes de la maniobra de obturacin).

- V es la velocidad media en cada una y todas las secciones para cada grado de

cierre del obturador.

Teora de Allievi

Zh

Zho

l = C t l' = C t'

Obturador

(Ley arbitraria)

j* d0

C Qg = h

Frente de ondaC


11

El estudio analtico de Allievi parte de las Ecuaciones de Saint Venant, introduciendo algunas simplificaciones que posibilitan su integracin, a la vez que acota el problema a las aplicaciones ingenieriles (grandes oscilaciones de velocidad y, consecuentemente, de presin). Las simplificaciones mencionadas consisten en que:

(1) Considera las prdidas de energa despreciables 0D.g.2

UUf*j =

(2) Tiene en cuenta nicamente variaciones violentas de velocidad en el tiempo, por lo que

pueden despreciarse los trminos convectivos ll

pUyUU frente a

tpUy

tUU

respectivamente.

Debe destacarse la validez de estas simplificaciones en nuestro anlisis ya que sera errnea

la idea de que las mismas se realicen pura y exclusivamente para simplificar la matemtica. El fin perseguido es ese, las simplificaciones propuestas estn avaladas empricamente y son vlidas, ya que:

(1) Las prdidas de energa son generalmente bajas en comparacin con las presiones que se manejan en el fenmeno del Golpe de Ariete. Adems, al no considerarlas estamos del lado de la seguridad ya que su efecto es puramente amortiguador.

(2) El fenmeno del Golpe de Ariete se hace importante, y merece atencin, cuando las

condiciones de cambio de velocidad son drsticas, pues es entonces cuando se generan las condiciones de sobrepresin ms peligrosas. Si esto no es as, el transitorio que se produce es generalmente soportable por cualquier tubera, por lo que no hace falta estudiarlo en profundidad. Se destaca, adems, que la mayor sobrepresin se logra en el cierre total puesto que as se pone de manifiesto toda la energa o impulso del cilindro de agua.

En los ejemplos que veremos ms adelante, quedar verificado lo anteriormente dicho. Con estas dos simplificaciones, las ecuaciones de Saint Venant quedan:

0tp

c1U

tU

g1pZ

2 =+

=

+

l

l

Si ahora derivamos la primera con respecto al tiempo (teniendo en cuenta que Zf(t)) y la

multiplicamos por y, por otro lado, derivamos la segunda con respecto al recorrido y la multiplicamos por c2:

0U

ct

p

0tU

tp

2

22

2

2

22

=+

=

+

ll

l


12

Restando una ecuacin de la otra:

2

22

2

2 UctU

l=

Repitiendo esta operacin pero al revs, es decir derivando la primera ecuacin respecto del

recorrido y la segunda respecto del tiempo, se obtiene:

2

22

2

2 pctp

l=

La que, si tenemos en cuenta que la variacin de la densidad en el recorrido y en el tiempo es

despreciable frente a la variacin de las alturas de la columna lquida, puede escribirse:

2

22

2

2 hcth

l=

Puede verse, si se recuerda la ecuacin de la Cuerda Vibrante de D'Alambert, que la

estructura matemtica de estas dos ecuaciones es idntica a la de aquella. Por lo que su integracin (por analoga) lleva a:

+

==

=

++

=

ctF

ctF

cgVUU

hhc

tFc

tFh

21

021

ll

ll

Donde:

F1 y F2 son dos funciones que se propagan del obturador al embalse y del embalse al obturador respectivamente, ambas con una celeridad c.

V es la velocidad del fluido cuando el obturador est parcialmente cerrado.

U es la velocidad del fluido cuando el obturador est totalmente abierto.

Sobrepresiones en la Faz de Golpe Directo La faz de golpe directo es aquella en la que la funcin F2 no acta. Como F2 tiene signo

contrario a F1, en esta faz se obtendrn las mximas sobrepresiones. Se denomina Tiempo de Fase al lapso que tarda la onda en ir y volver del obturador al

embalse:


13

cL2Tfase =

Donde L es la longitud de la tubera. Si hacemos, en las ecuaciones derivadas de la teora de Allievi, F2=0 obtenemos:

==

=

ctF

cgVUV

ctFh

1

1

l

l

Y, por lo tanto,

( )VUgc.p

gVUch =

=

Cuando se llega al "cierre total", V = 0, por lo que V = U, con lo que se obtiene la famosa

expresin de ALLIEVI, de la mxima sobrepresin posible por "golpe de ariete:

gc.UhMAX =

DIAGRAMAS ENVOLVENTES DE PRESIONES MXIMAS Y MNIMAS

Tramos Regulados con Vlvulas al Pie La teora y la prctica demuestran que las mximas sobrepresiones posibles se logran para

los casos en que la maniobra de cierre sea menor que el tiempo que tarda la onda en su viaje de ida y vuelta al obturador. Este tiempo lo denominaremos tiempo crtico Tc y vale:

cL2Tc =

Siendo : L : Longitud de la tubera. C : Celeridad de la onda. Esta se calcula como :

DeE1

c

+=

Donde:


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- es el Mdulo de Compresibilidad del lquido. - es la Masa Especfica del Lquido. - E es el Mdulo de Elasticidad del material de la tubera. - e es el espesor de la tubera. - D es el dimetro de la tubera.

Maniobra de Cierre Brusco La maniobra de cierre que denominaremos brusca cumple la condicin:

cL2TMCB <

Siendo TMCB el tiempo de cierre (brusco) del obturador.

Obviamente, el caso del cierre instantneo (TMCB = 0) entra dentro de esta apreciacin como

caso extremo particular. En este caso, el valor mximo de la sobrepresin resulta:

gUch mx =

En la que: - c es la celeridad de la onda en m/s. - U es la velocidad media en el rgimen uniforme. - g es la aceleracin normal de la gravedad.

La celeridad c representa valores del orden de 300 a 400 m/s en las conducciones de

materiales plsticos y de 980 a 1200 en las conducciones rgidas, siendo en general funcin del dimetro, del espesor y del mdulo de elasticidad del material del cao.

Ntese que fcilmente se obtienen, para el caso de los caos de materiales rgidos, valores de sobrepresin mxima que responden a la expresin aproximada:

U100h mx

La que se obtiene, considerando c 1000 m/s y g 10 m/s2. Con idntico criterio,

tendremos para los caos flexibles: U40h mx Una velocidad de diseo comn, o al menos el orden de magnitud es U = 1 m/s, por lo que

se deduce que son alcanzables sobrepresiones mximas del orden de los 100 m.d.c. de agua 10 atmsferas.


15

Las magnitudes de sobrepresin puestas en juego, justifican plenamente las posibilidades de colapso de conducciones de caos rgidos y la necesidad de que los ingenieros evalen y proyecten, criteriosamente, los rganos y maniobras de cierre.

Resulta interesante trazar el diagrama de envolventes de sobrepresiones mximas tal como

se indica en la Figura 3. Los desarrollos tericos y la experiencia demuestran que si el tiempo que tarda en cerrarse

el obturador es Tc, un tramo de conduccin dado por el valor cTMC no estar sometido a la mxima sobrepresin.

Figura 3

Diagrama de sobrepresiones para cierre brusco

De lo expuesto deben deducirse dos hechos importantes, el primero que si el cierre es instantneo; es decir TMC = 0, el diagrama de sobrepresin es h=hmx=cte. (diagrama rectangular) en toda la conduccin. El segundo es que, al crecer al tiempo de cierre, menor ser el tramo sometido a mxima sobrepresin, llegndose al caso extremo que para TMC = 2L/c la mxima sobrepresin slo actuar en la seccin del obturador.

Tramo con hmx. (lo)

L - loTramo con h


16

Figura 4 Diagrama para distintos valores de TMC.

Maniobras de Cierre Lento La tendencia favorable en cuanto a hacer ms lenta las maniobras de cierre puede

extenderse a los casos en que stas sean mayores que el tiempo crtico Tc. En efecto, para estas maniobras que llamaremos maniobras lentas de cierre y en tiempos de cierre lento, debe verificarse que:

cL2TMCL >

La teora nos ensea que la mxima sobrepresin no llega al mximo y que est dada por la expresin de MICHAUD:

MCLTgUL2*h =

Ntese que al hacer TMCL lo suficientemente grande, se puede hacer tan pequeo como se

desee el valor de h*. El diagrama envolvente de sobrepresiones mximas resulta para el caso de maniobras de

cierre lentas, un tringulo como el esquematizado en la Figura 5.

Diagrama para TMCB = 0

Diagrama para TMCB < 2L/c

M

O

Diagrama para TMCB = 2L/c

h = cU/g


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Figura 5 Diagrama de sobrepresiones mximas para maniobras lentas de cierre

Notas Importantes Acerca de la Validez de los Diagramas Sin embargo, todos los elementos conceptuales hasta aqu vertidos se basan en una hiptesis

de difcil realizacin prctica, que es la denominada maniobra lineal de cierre del obturador. Esta maniobra es difcil de lograr en la prctica puesto que las vlvulas en general, afectan

al caudal recin a partir del 70% o ms de su carrera de cierre, por lo que podemos creer realizar una maniobra conducente al diagrama de la Figura 5 y en la realidad estamos ms cerca de un diagrama como el de la Figura 4. Este hecho se soluciona operando an mucho ms lentamente las vlvulas en los tramos finales de la carrera de cierre.

Por otro lado, es importante destacar que la Ley de MICHAUD slo es vlida para leyes de

cierre lineales (difciles de conseguir en la prctica). Es decir que se puede utilizar en casos de cierres de la forma graficada en lnea llena en la Figura 6.

Figura 2 Leyes de Cierre

Velocidad en el obturador

Tiempo

Tc0.8 Tc0.2 Tc

0.2 Uo

0.8 Uo

Uo LEY DE MICHAUD

O

L

h* = 2LUg TCL


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Si la maniobra de cierre produce una variacin de la velocidad del fluido en el obturador similar a la ejemplificada en lnea punteada superior, es decir que disminuye muy poco la velocidad en una porcin muy grande del tiempo de cierre (cayendo luego a cero en un lapso muy corto), sea cual sea el tiempo de cierre, las condiciones no sern las de MICHAUD y las sobrepresiones sern mayores que las previstas por ste.

Si, en cambio, se utiliza una maniobra de cierre como la ejemplificada en lnea punteada

inferior, la teora de MICHAUD nos deja del lado de la seguridad. Es importante prestarle atencin a este tema ya que suele traer confusiones dando la idea

errnea que, si Tc > 2L/c (cierre lento), las mximas sobrepresiones estarn dadas por la expresin de MICHAUD. Como vimos, no siempre es as.

Retomaremos el tema con mayor profundidad cuando estudiemos el "Mtodo de los

Diagramas Triangulares".

Tramos de Impulsin En las impulsiones, el fenmeno de Golpe de Ariete se presenta cuando, por alguna causa,

se produce un detenimiento de las bombas. La descripcin a travs de un detenimiento

instantneo resulta intuitiva pero es obvio que el detenimiento instantneo de la masa rotante del grupo motor-bomba es fsicamente imposible, por lo que el detenimiento tendr lugar en un tiempo T0. Sin embargo, en la realidad, el tiempo que interesa T es el que implica el cese del gasto impulsado por la bomba y es menor que T0.

En efecto, en la Figura 8 se grafican las

curvas H-Q de la instalacin y las sucesivas curvas caractersticas de una bomba para nmeros de revoluciones decrecientes (n0... n3).

Figura 3

Puntos de Funcionamiento para Distintas n Ntese que an con n3 r.p.m. el gasto Q se hace nulo. El tiempo que nos interesa es

justamente el necesario para que la masa rotante pase de n0 a n3 r.p.m. y deje de aportar gasto. Si este valor de T es menor que Tc=2L/c, nos encontramos en el caso de "cierre brusco" y

parte de la conduccin estar sometida a la mxima sobrepresin h=c.U/g. En cambio, si el tiempo de cierre es mayor, estamos en el caso de cierre lento, con sobrepresiones menores y que podemos calcular con la expresin de Michaud ya expuesta anteriormente.

Q = 0

H

Q

n

n

n

3Q

2 1Q

0Q

n0

1

2

3


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Ejemplos Prcticos Pasaremos a analizar tres ejemplos concretos de maniobra lineal para los diferentes tipos de

cierre. En todos los casos supondremos un tramo simple regulado aguas abajo y supondremos a la tubera horizontal para que H sea representativo de los trminos de presin sin necesidad de descontar el trmino Z. Por otra parte, no se considera el efecto amortiguador de las prdidas de energa, por lo que los resultados quedan del lado de la seguridad.

(1) Cierre Instantneo. Datos:

Tubera de Acero, 50 cm de dimetro, L=2000m, espesor 3 cm.

Ho = 50 m Uo = 2 m/s

- Calculamos la celeridad de la onda:

sm1356

3x10x1,250x10x2,21

10x16,2

e.ED.1

c

6

4

6

=+

=+

=

- La sobrepresin mxima (vlida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale:

m276gU.c

h 0 == .

- El diagrama envolvente ser:

h MX= 276 m.

Ho = 50 m.

10.33 m.

Acero: e = 3 cm.

2000 m.


20

(2) Cierre Brusco. Datos: Tubera de Asbesto Cemento, 60 cm de dimetro,

L=3000m, espesor 5 cm. Ho = 60 m Uo = 1 m/s Tiempo de cierre: Tc = 4 seg

- Calculamos la celeridad de la onda: sm980

5x10x1,260x10x2,21

10x16,2

e.ED.1

c

5

4

6=

+=+

=

- Calculamos 2L/c = 2x3000/980 = 6,1 seg > Tc Cierre brusco.


m100gU.c

h 0 = .


(3) Cierre Lento. Datos:

h =100 m.

Ho = 60 m.

10.33 m. Asbesto Cemento: e = 5 cm.

3000 m.

1/2 c Tc = 1960 m.


21

Galera excavada en roca, L=1000m, E=200000 kg/cm2. Ho = 70 m Uo = 2 m/s Tiempo de cierre: Tc = 4 seg

- Calculamos la celeridad de la onda (aplicamos la frmula del Anexo 2):

( ) sm1318

cmkg200000

)1,01(2x10x2,21

10x16,2

12E

1c

2

4

6=

++=

++

=

- Calculamos 2L/c = 2x1000/1318 = 0,52 seg < Tc Cierre lento.


m204Tc.gU.L.2h 0 == .


h =204 m.

Ho = 70 m.

10.33 m.

1000 m.


22

MMMTTTOOODDDOOOSSS NNNUUUMMMRRRIIICCCOOOSSS PPPAAARRRAAA EEELLL CCCLLLCCCUUULLLOOO DDDEEE SSSOOOBBBRRREEEPPPRRREEESSSIIIOOONNNEEESSS

METODO DE LAS CARACTERSTICAS

Deduccin y Utilizacin del mtodo

El mtodo de las caractersticas consiste esencialmente en la resolucin numrica, con las condiciones de borde impuestas por cada problema.

Es importante destacar que el mtodo de las caractersticas es el ms general que se dispone

para resolver el problema, no habiendo simplificaciones que distorsionen los resultados y siendo, adems, el ms difundido.

El mtodo parte de las dos ecuaciones de Saint Venant introduciendo la siguiente definicin

para simplificar matemticamente:

+=pZH ( )ZHp =

=

= lllll

ZHg.ZHp ;

=

=

tZ

tHg.

tZ

tH

tp

Veamos, entonces, cmo se transforman las ecuaciones al efectuar el reemplazo:

1 ECUACIN DE SAINT VENANT:

La ecuacin original es:

D.g.2U.U

ftU

g1

g.2UpZ

2

=

++

l

0D.g.2U.U

ftU

g1U

gUp

g.1Z =+

++

+

lll Haciendo el reemplazo:

0D.g.2U.U

ftU

g1U

gUZHZ =+

++

+

llll

Multiplicando entonces por g, llegamos a:

0UUD.2f

tUUUHg =+

++

ll

2 ECUACIN DE SAINT VENANT

L2


23

La ecuacin original es:

0tppU

c1U

2 =

+

+ ll

0tp

c1p

cUU

22=

++

ll

Multiplicando por c2,

0tppUUc2 =

++

ll

Efectuando el reemplazo,

0tZ

tHg.ZHg..UUc2 =

+

+ lll

Ahora, considerando que 0tZ =

y que = senZl , la ecuacin se transforma en:

0tHg.senU.g.HU.g.Uc2 =

+++

ll Por ltimo, si dividimos por .g se llega a que:

0senUtHHUU

gc2 =+

++

ll

Estas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (L1 y L2) no lineales en U y en H en

funcin de l y t no responden a ninguna solucin general, pero s se pueden resolver aplicando el mtodo de las caractersticas y adecuarlas a una solucin en diferencias finitas en computadora.

Esto ltimo es lo que nos ocupar a continuacin. Las ecuaciones L1 y L2 contienen dos incgnitas: U y H. Adems, estas ecuaciones se

pueden relacionar a partir de un multiplicador desconocido:

L = L1 + . L2 Ahora, un par de valores cualquiera, reales y distintos, da un par de ecuaciones en U y H

que conservan el significado fsico dado por las ecuaciones de L1 y L2.

L1


24

Para hallar esos valores de , calculamos L:

( ) 0D.2U.U

f.sen.UtU

.gcUU

tHg.UHL

2=++

+

++

++

= ll

Y, teniendo en cuenta que:

tU

tdU

dtdUy

tH

tdH

dtdH

+

=+

= ll

ll

Podemos deducir que:

g.cU

t

g.Ut

2

+=

+=

l

l

Y, por lo tanto,

+=+ .gcUg.U

2

gc=

Estos dos valores de reales y distintos convierten a las ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales en un par de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir:

cUdtd

0U.UD.g.2

f.csen.UdtdU

gc

dtdH

cUdtd

0U.UD.g.2

f.csen.UdtdU

gc

dtdH

=

=+

+=

=+++

l

l

Para comprender fsicamente estas cuatro ecuaciones, es conveniente considerar que la

solucin se obtiene en un diagrama l ,t.

c+

c-


25

Consideramos que se conocen U y H en R y en S. En la interseccin de las curvas c+ y c- las

ecuaciones son vlidas y pueden dar Up y Hp. En ese punto p las ecuaciones nos dan tambin l y t.

Por lo tanto, se obtienen as las soluciones a

lo largo de las caractersticas, partiendo de condiciones conocidas y hallando nuevas intersecciones de forma de obtener alturas y velocidades para tiempos posteriores.

En los clculos usuales c>>U y podemos despreciar U en comparacin con c y, as, las

lneas caractersticas son ahora rectas de pendiente c en el diagrama.

Figura 4 Ahora, recordando que, en diferencias finitas:

dH = Hp(I) - H(I-1) ; dU = Up(I) - U(I-1) ; dt = t

Las ecuaciones, entonces, quedan:

( ) 0)1I(U)1I(UtD.g.2

f.ct.sen).1I(U)1I(U)I(Upgc)1I(H)I(Hp =+++

( ) 0)1I(U)1I(UtD.g.2

f.ct.sen).1I(U)1I(U)I(Upgc)1I(H)I(Hp =+++++

Sumando estas dos ecuaciones se elimina Up(I), y queda:

RS

P

c+ c-

t

l

t

t

Condicin de borde Aguas

Arriba Condicin de borde Aguas

Abajo

Condiciones iniciales

Figura 28


26

[ ] [ ] [ ][ ])1I(U).1I(U)1I(U).1I(Ut

D.g.2f.c

)1I(U)1I(U.t.sen)1I(U)1I(Ugc)1I(H)1I(H5,0)I(Hp

++

++++++=

Anlogamente, al restar se obtiene:

[ ] [ ] [ ][ ])1I(U).1I(U)1I(U).1I(Ut

g.2f

)1I(U)1I(U.t.sen)1I(H)1I(Hcg)1I(U)1I(U5,0)I(Up

+++

++++++=

Estas dos ltimas ecuaciones se emplean en los puntos intermedios para obtener los valores

de Up y Hp. Despus se aplican las condiciones de borde para obtener Hp(0), Up(0), Hp(N) y Up(N).

Obtenido esto se reemplaza U(I) y H(I) por Up(I) y Hp(I), se incrementa el tiempo y se

repite el proceso.

Condiciones de Borde En general, las condiciones de borde dependen del problema y del tramo en estudio. En el caso de un tramo regulado con vlvula al pie, las condiciones de borde son, aguas

arriba (en el depsito),

( )g.2)0(Up)0(HpH

2

D += Para el flujo hacia la tubera. HD = Hp(0) Para el flujo hacia el depsito. Y, aguas abajo,

( ) 00vd0 H.g.2..cU. =

Donde: = rea de la tubera. H0 = carga en la vlvula. (Cd.v)0 = rea del orificio por el coeficiente de descarga. V0 = velocidad en rgimen permanente en la tubera.

En general:

( ) )N(Hp.g.2..c)N(Up. 0vd =

Dividiendo una por otra: 00 H

)N(HpU

)N(Up =


27

Donde es el coeficiente adimensional de apertura de vlvula:

m

ctt1

=

MMMTTTOOODDDOOOSSS DDDEEE AAACCCOOOTTTAAAMMMIIIEEENNNTTTOOO

1. MTODO DE PUJOL Este mtodo permite trazar los diagramas envolventes de sobrepresiones en el caso de

caudales regulados aguas abajo con vlvulas tradicionales. Su objetivo es disear la maniobra de cierre de manera tal que los espesores de las tuberas surjan del acotamiento de las sobrepresiones mximas.

Para lograr el objetivo mencionado, se determinan los valores del caudal Q, la velocidad U

y el valor de la sobrepresin mxima h para varios grados de cierre de las vlvulas trazando luego, a partir de estos valores, los correspondientes diagramas envolventes para cada caso. Entonces, de la superposicin de los mismos, podr obtenerse el diagrama envolvente global para todo el cierre.

Por otro lado, el mtodo considera el efecto amortiguador producido por las prdidas de

carga en la conduccin adoptando como lnea de referencia (para dibujar los diagramas envolventes) la que se obtiene de considerar la mitad de la prdida total (J*/2).

De la evaluacin de los diagramas, el proyectista podr deducir la ley de cierre ms

conveniente, dando tiempos a la maniobra entre cada grado de cierre y manteniendo as acotados los valores mximos de sobrepresin en toda la conduccin. Por lo tanto, el mtodo posibilita el proyecto de una ley de cierre compatible con la conduccin y, en especial, con el diseo econmico de la misma.

Clculo de los Caudales para cada Grado de Cierre Veamos la forma de clculo considerando el caso de un conducto a gravedad alimentado

por un depsito de capacidad infinita regulado aguas abajo mediante un rgano de maniobra (vlvula tipo aguja, mariposa o esclusa), segn se esquematiza en la Figura 9.


28

Figura 5

Tramo Regulado Aguas Abajo

De la figura se deduce que:

J*+Jv = H En la que:

J* es la prdida por frotamiento en el conducto. sta, como seguramente recordar, se puede calcular sencillamente mediante la conocida expresin de Hazen y Williams:

85,4

85,1

85,1 DQ

)C*275,0(L*J =

Jv es la prdida localizada en el rgano de cierre, la que puede evaluarse con

la tradicional funcin cuadrtica:

4

23

2

DQk.10x6,82

g.2UkJv ==

Donde k es una constante adimensional que depende del grado de cierre del rgano de maniobra.

H es la altura disponible.

Esttica

Q, j

V.E. T

T

2

1

hv

J*

H


29

Como, evidentemente, J* y Jv varan con el caudal, la ecuacin anterior puede ser resuelta mediante la interseccin, en el plano Q-H, de las curvas correspondientes, tal como se representa en la Figura 10.

Figura 6 Caudal en el Punto de Funcionamiento

Reemplazando los valores de J* y Jv, la expresin a resolver ser:

0HQ.BQ.A 285,1 =+

Siendo:

43

85,485,1 Dk.10x6,82B;

D.)C*275,0(LA ==

Entonces, nuestro problema consistir en resolver esta ecuacin, por el mtodo de Raphson-

Newton por ejemplo, para cada grado de cierre de la vlvula (caracterizado por el valor de k, que se extrae de las tablas correspondientes), obteniendo el caudal y, a partir de ste, la velocidad en cada caso.

Clculo de la Sobrepresin Mxima para cada Grado de Cierre El valor de h se calcula a partir de la frmula de Allievi para la mxima sobrepresin

posible, si el cierre es brusco, o a partir de la frmula de Michaud si el cierre es lento. Se recomienda considerar como cierres bruscos a los que se produzcan a partir de cada

posicin de la vlvula.

Valores de "k" y Caractersticas de las Distintas Vlvulas como rganos de Regulacin

Jv = f2(Q)

J* = f1(Q)

Q

h

H

Nivel Esttico (Nivel en T1)

Nivel en T2


30

Los valores de "k" a adoptar deben ser suministrados por el fabricante de la vlvula ya que, en general, dependen fundamentalmente del diseo del rgano.

Donde la importancia del caso lo requiera, tambin podrn ser investigados

experimentalmente mediante ensayos sobre prototipos del fabricante. Poco confiables son los datos correspondientes a la vlvula esclusa convencional, debido a

que este diseo es el menos apropiado para la regulacin de caudales. Su funcin debe ser limitada a la del rgano de seccionamiento y es absolutamente desaconsejable su uso como rgano de regulacin. Ello no obstante, se transcriben a continuacin los datos extrados de manuales de uso corriente. En general, las vlvulas esclusas necesitan un 90% de su carrera de cierre para disminuir el gasto en valores del orden del 20%.

La marcada falta de proporcionalidad entre la carrera y el caudal es un efecto indeseable en

las maniobras de cierre y apertura, y constituye la causa de una variacin no lineal de la velocidad.

A continuacin se dan valores de "k" correspondientes a dos acreditados diseos que se

construyen en el pas bajo licencia.

Porcentaje de Carrera Total

Vlvula Aguja

Vlvula Mariposa

Cerrado 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90

Abierto

0,0 850,0 380,0 185,0 122,0 90,0 67,0 47,0 29,0 20,0 15,0 12,5 11,0 10,8 10,2 10,0 9,5 9,0

0,00 1000,00 400,00 200,00 150,00 80,00 50,00 35,00 25,00 15,00 10,00 6,00 4,00 2,80 1,90 1,00 0,40 0,07

Recomendaciones y Criterios de Seleccin Tal como adelantramos oportunamente, debe ser analizada en profundidad la ley de cierre

y deber extremarse el cuidado en cuanto a la aplicacin de las teoras sobre regmenes impermanentes, que presuponen una variacin lineal del gasto y de la velocidad.

Porcentaje de Carrera Total

Vlvula Esclusa

Cerrada 18,1 19,4 20,8 25,0 33,3 37,5 41,7 45,0 50,0 58,3 66,7

Abierta

0,00 41,21 35,35 31,35 22,68 11,89 8,63 6,33 4,57 3,27 1,55 0,77 0,00


31

A fin de lograr leyes de cierre lo ms parecidas a la ley lineal, ser necesario disear con

ms detenimiento el rgano de regulacin o, por lo menos, programar su maniobra. Se mencionan, a continuacin, algunas propuestas en ese sentido: (a) Reducir el dimetro nominal de la vlvula reguladora. Pese a que ello origina una

prdida adicional, por lo general sin importancia, el comportamiento de la vlvula mejora cuando se la trabaja a mayor velocidad. Si el factor de reduccin de dimetros es "n", tendremos:

2

1DDn =

Por lo que:

4

243

22

DQk.n10x6,82

g.2)U.n(kJv ==

(b) Utilizar actuadores programables. Con ellos ser posible adoptar por lo menos dos

velocidades de cierre de manera tal que la ms lenta corresponda a la zona de vlvula cerrada 20%, tal como se indica en el diagrama de la Figura 11.

Figura 7 Cierre con Velocidades Programables

Para el clculo de sobrepresiones ser necesario estudiar dos puntos crticos en M y N, calculando la mayor variacin de velocidad que puede darse durante un tiempo de maniobra de 2L/c.

(c) Instalacin de rganos de Regulacin Compuestos. Se conecta en paralelo con la vlvula principal un "by pass" de menor dimetro, debiendo hacer secuencial la maniobra. Un cierto equilibrio tcnico-econmico se logra adoptando una vlvula mariposa para la vlvula principal y una vlvula aguja para el by pass. Los tiempos

Cerrada - 0%

Abierta - 100%

20%

50%

Tiempo de Maniobra Completa

Grado de Cierre

t

M

N


32

individuales de maniobra y la relacin de dimetro abren posibilidad a un gran nmero de variantes.

En general, para la seleccin de rganos de regulacin, recomendamos lo siguiente: Si la contrapresin aguas debajo de la vlvula no existe o es dbil (por ejemplo,

llegada a cisterna) adoptar vlvula aguja. Si hay considerable contrapresin (llegada a tanque elevado) adoptar la vlvula

mariposa.

En todos los casos debe desecharse la vlvula esclusa. Este caso se analiza con mayor profundidad en el Mtodo de las Caractersticas.

2. MTODO DE LOS DIAGRAMAS TRIANGULARES DE SOBREPRESIONES MXIMAS

Generalidades Este mtodo se aplica para analizar la ley de cierre de acueductos regulados aguas abajo con

vlvulas tradicionales. Se propone el cierre secuencial con varios ramales en paralelo de dimetros decrecientes y

con sus correspondientes vlvulas. El mtodo a describir puede ser utilizado para un nmero n arbitrario de ramales. Ello no

obstante es oportuno aclarar que una regulacin muy fina puede obtenerse, para grandes dimetros con 3 ramales y para dimetros menores de 500 mm con 2 ramales.

El fundamento del mtodo se encuentra en la "Teora de los diagramas envolventes de

sobrepresiones", los que en realidad acotan el problema que nos ocupa y con la particularidad de lograrlo con ecuaciones sencillas.

El procedimiento adoptado para la ley de cierre es el de cerrar las vlvulas una a una, en

forma secuencial, y con maniobras que duren 2L/c, seguidas de perodos de "Uniformizacin del Rgimen" o "descanso" de nL/c segundos de duracin, variando n segn el criterio del proyectista.

El tiempo estipulado para las maniobras de 2L/c se fundamenta en que la mxima

sobrepresin para "cierres bruscos" tendr lugar, en el obturador, justamente en ese momento, configurando un diagrama triangular de envolventes de sobrepresiones.

Cada una de las maniobras de cierre dar lugar a un diagrama envolvente triangular, el que no

deber superar a un diagrama preestablecido. Es evidente, que todo esto presupone aceptar a la controvertida "ley lineal de variacin de la

velocidad" como vlida, lo que puede ser aceptado, puesto que la configuracin en paralelo, y el


33

cierre secuencial propuesto, implican el trabajo de las vlvulas, siempre en condiciones de buena regulacin para el caudal de la conduccin principal.

Otro concepto digno de destacarse de la propuesta, es que se conserva el dimetro del

conducto principal para el primer tramo de los ramales en paralelo, los que disminuyen fuertemente su dimetro hasta llegar al ltimo.

Para el dimetro principal se adopta vlvula mariposa (ms econmica) y para los restantes

pueden adoptarse combinaciones de vlvulas agujas o mariposa o simplemente alguna de las dos, para todos los ramales restantes, y a criterio del proyectista. Obviamente nunca deben adoptarse vlvulas esclusa debido a su psimo efecto regulador.

Con este criterio se simplifica notablemente el clculo del caudal, puesto que el dispositivo

integrado por los ramales en paralelo y sus correspondientes vlvulas no introduce prdidas de carga apreciable y permite encarar el clculo del caudal principal como si no existiera.

En cambio, al producirse el cierre del ramal principal, todo el dispositivo originar una

prdida de carga que reducir el caudal a un valor tal que produzca un diagrama de envolvente, compatible con la conduccin proyectada respondiendo a criterios econmicos en la seleccin de las clases.

Este diagrama implicar el mximo valor de sobrepresin admisible y se impone a priori.

Para lograrlo se deber proyectar una prdida de carga del dispositivo, que se ajustar con una "placa orificio". Por otra parte, las maniobras de cierre parciales y la ltima maniobra (ltimo ramal) debern generar diagramas de sobrepresiones que no superen al diagrama original o que en caso de hacerlo satisfaga las exigencias del proyectista (quin proceder a ajustar la seleccin de clases de optar por esta alternativa).

Obviamente, la alternativa primera y ms racional, en caso que alguna maniobra implique

mayores sobrepresiones que la del diagrama original, es la de modificar el dimensionamiento del dispositivo, o las secuencias de cierre, o ambas cosas simultneamente.

El objetivo principal del mtodo propuesto es el de posibilitar el diseo criterioso y racional

de leyes de cierre, por parte del proyectista de acueductos regulados aguas abajo, utilizando vlvulas tradicionales y por lo tanto ms econmicas. Siguiendo los lineamientos esbozados aqu, podr tener acotado el problema para todas las maniobras que proyecte y podr decidir las ms convenientes.

Conceptos y Ecuaciones Fundamentales

Clculo en Rgimen Permanente Al proyectar el dispositivo con el mismo dimetro del acueducto para el primer tramo, puede

ignorarse el efecto del mismo, para todas las vlvulas abiertas, puesto que prcticamente no produce prdida de carga, con lo que se evita la gran dificultad del clculo que implicaran n ramales en paralelo para la determinacin del caudal.

Este puede obtenerse simplemente usando la expresin de HAZEN y WILLIAMS:


34

85,4

85,1

85,1 DQ

)C.275,0(1j =

Como: j H j L* .= = 1 (1)

Se tiene que: 54,0

1

62,21 L

HD.275,0Q

= (2)

Nota: Posteriormente, de mediar inters, se podr calcular el caudal que pasar por cada ramal. Para ello deber evaluarse la prdida en la placa orificio y en todo el dispositivo, lo que implica el dimensionamiento del mismo, objetivo principal del presente trabajo.

Figura 8 Esquema para el clculo en rgimen permanente

Dispositivo de Cierre

Disposicin general y prdidas de carga Se realiza el esquema del dispositivo para tres (3) ramales, tal como puede apreciarse en la

Figura 13. Para el primer tanteo del mismo se recomienda que el segundo tramo cumpla con:

D D D1 2 13 5

(3) Y el tercer tramo:

j*

Q

L 1 ,C ,D 1

H = J*


35

D D D2 3 213

(4)

Figura 9 Esquema del dispositivo de cierre

Evaluamos las prdidas localizadas con el concepto de "Longitudes equivalentes" y segn las

siguientes ecuaciones: 85,185,1

85,41

85,11

1 Q.AQD.)C.275,0(

LJ == (5)

J LC D

Q B Qe

a2 1 85

24 85 1

1 8511 852

0 275= =

( , . ) .., ,

, , (6)

85,1

285,1

285,43

85,1a

e3 Q.CQ

D.)C.275,0(

LJ 3 == (7)

Nota: En caso de n ramales, un ramal genrico j cumplir con:

85,1)1j(

85,1)1j(85,4

j85,1

a

ej Q.JQ

D.)C.275,0(

LJ j == (7b)

De donde:

85,41

85,11

1

D.)C.275,0(

LA = (8)

85,42

85,1a

e

D.)C.275,0(

LB 1= (9)

85,43

85,1a

e

D.)C.275,0(

LC 2= (10)

C90

R90

Q

Material a Eleccin

D (Acero)

VM

Q3

D (Acero)2

3

2Q3

VM 2

VM 1(cerrada)

D (Acero)1


36

JL

C De

a j

j=+( , . ) ., ( ) ,0 275 1 85 1 4 85

(10b)

En las que: -Lej es la longitud real ms las longitudes equivalentes (en el ltimo ramal

incluye la prdida en la vlvula para cada grado de apertura). - C1 es el coeficiente para el material de la conduccin principal. - Ca es el coeficiente para el acero.

Si se desea calcular el caudal que pasa por todos los ramales para todas las vlvulas abiertas,

disponemos de la ecuacin complementaria: 85,1

185,1

185,41

85,1a

e1 Q'.AQ

D.)C.275,0(

L'J 1 == (11)

De donde:

85,41

85,1a

e

D.)C.275,0(

L'A 1= (12)

Dimensionado del accesorio con orificio Siguiendo los criterios del Manual URALITA (tomo ll, pg.129) o del Manual del Ing.

DALMATI (pg. v-91) la prdida en la placa orificio es:

J Ug

Qg A

Qg D

022 2

2

2

2242 2

8= = =. . .

. .. .

= =J QD

QD

0

8

9 81 3 140 08272

2

24

2

24

.

, . ( , ),

Haciendo: MD

= 0 082724,

(13a) Tenemos: J M Q0 2= . (13)

Figura 10 Placa orificio y reduccin

Por otra parte, para dimensionar el orificio, tenemos del manual que:

2

2

42 1

.A

Q.0827,0

D.J0

==

(14)

La que es vlida para: A A

AA A

0

00 10 1

>

< 1500 m

2,00 1,75 1,50 1,25 1,00

Por otro lado, C es otro coeficiente experimental que depende de la relacin Hm/L en la

siguiente forma:

Hm/L C < 0,20 0,30 > 0,40

1,00 0,60 0,00

Esta frmula terico-experimental sale de adoptar una ley de detenimiento tal que cause una

variacin lineal de Q (o de la velocidad) y la teora que la sustenta se basa en que la energa cintica de la corriente ha de ser absorbida por la accin de la gravedad sobre el agua elevada despus del corte.

El autor destaca, adems, que la expresin es vlida hasta pendientes de la conduccin del

20% (en la prctica, en general, son mucho menores) y que, a partir de esta, debe considerarse directamente la expresin de la mxima sobrepresin puesto que el cierre es prcticamente instantneo.

La experiencia demuestra que los diagramas envolventes diagramados con este mtodo

pueden tomarse como vlidos con aproximacin suficiente puesto que dan valores ligeramente mayores que los reales.


48

MMMTTTOOODDDOOOSSS DDDEEE AAATTTEEENNNUUUAAACCCIIINNN Como ya se mencion, el fenmeno del Golpe de Ariete genera sobrepresiones importantes

en las tuberas que lo sufren. Esta sobrepresiones, cuando estn dentro de valores razonables, pueden enfrentarse

dimensionando adecuadamente el espesor de la tubera (a veces engrosndolas un poco respecto de lo que necesitan para el funcionamiento en rgimen permanente).

Pero, cuando la longitud de la tubera es muy grande, las sobrepresiones alcanzan valores

muy altos y se debera sobredimensionar demasiado las tuberas para que puedan soportarlas con una razonable seguridad. Por ello, se recurre a mtodos de atenuacin de estas presiones mediante dispositivos especialmente diseados para tal objetivo.

A continuacin, se detallan algunos de los mtodos existentes en la actualidad.

1- OSCILACIN DE MASA Cuando en el extremo de descarga existe un reservorio de masa definida -no infinita como

en el caso de aguas arriba, en lugar de un obturador, nos encontramos con el fenmeno de oscilacin de masa.

En este caso, el lquido puede ser considerado en su conjunto oscilando a partir de la

superficie libre del reservorio en uno u otro sentido y con celeridad infinita y U=cte para todas las secciones, con lo que U vara slo en funcin del tiempo.

En realidad, el fenmeno constituye el denominado "pndulo hidrulico que se esquematiza

en la figura. En el tubo en "U" de la figura, con ambas ramas de igual seccin transversal 0 , si se

genera un movimiento oscilatorio de amplitud h, tendremos, en ambas ramas, igual amplitud de oscilacin h/2. La velocidad en todas las secciones es la misma para un instante dado.

Si alguna de las ramas tuviera seccin transversal mayor, la oscilacin en la misma

disminuira proporcionalmente a su superficie, tal como puede apreciarse en el ramal de seccin 1, dibujado en punteado en la figura.

Es evidente que a medida que aumentamos la seccin 1 , h disminuye proporcionalmente

y, en el caso lmite de capacidad infinita de la rama, la oscilacin en la misma sera nula. La oscilacin de masa con una de las ramas del sistema dimensionado para aceptar

oscilaciones acotadas, se utiliza para proteger instalaciones de impulsin contra las sobrepresiones transitorias debidas al golpe de ariete.

Por ejemplo, para proteger a una conduccin puede disponerse, antes del obturador, de un

reservorio que posibilite transformar el "golpe de ariete" originado en la maniobra de cierre en una "oscilacin de masa", acotada en el reservorio, el que recibe el nombre de "chimenea de equilibrio".


49

Figura 15 Oscilacin de Masa

El fenmeno constituye un caso particular del ms general conocido como "golpe de ariete" y encuentra su diferenciacin en los siguientes hechos:

a) U = cte. en funcin de L y U, variable con el tiempo t. b) Ello implica c = y, por lo tanto, no hay perturbaciones elsticas de la conduccin,

la que en teora permanece inalterable. c) Al ser U = cte. con L, tambin j* (funcin de U2) resulta constante con L.

Figura 16 Instalacin con chimenea de equilibrio

h0/2h1 /2

U

h1 /2

D0D1

D

U

h0h0/2

PLANO DE COMPARACIN

h = 0

EMBALSE(Capacidad Infinita)

OBTURADOR

CHIMENEA DE EQUILIBRIO

Oscilacin acotada en funcin de "s"

Z

Qh

-z

+z


50

Para encontrar la ecuacin que acota el problema, se elabora convenientemente la primera ecuacin de Saint-Venant, en la que se consideran las consecuencias de que U no depende de l (slo del tiempo t) y que dz/ es despreciable, con lo que la ecuacin, luego de ser simplificada e integrada, queda:

Lg

dUdt

p j dL+ + = * 0 Por continuidad, el volumen que sale de la conduccin es igual al incremento de volumen

en el reservorio, es decir: U ..dt = S.dz

Obviamente, en este caso, se aplica la anterior como ecuacin de continuidad, la que resulta

sumamente sencilla, no dando lugar a la complejidad que implica la segunda ecuacin de Saint-Venant, puesto que c = y no se pone de manifiesto la elasticidad de la conduccin.

Despejando U y derivando con respecto al tiempo, resulta:

dUdt

S d Zdt

= 2

2

Reemplazando se obtiene:

0L*jpdt

ZdLgS

2

2

=++ Como la sobrepresin sobre el nivel original es p = .Z, finalmente tendremos:

Sg

L d Zdt

Z j L2

2 0+ + =* Sin embargo, no debemos olvidar que j* depende de la velocidad U en la tubera. Podemos,

para una primera aproximacin, suponer una dependencia lineal de la siguiente forma:

dtdZ

*g*DS**32U

g*D*32*j 22

==

Por lo que la ecuacin diferencial correspondiente queda:

0dtdZ

*g*DL*S**32Z

dtZdL

gS

22

2=

++

Y esta es una ecuacin homognea de la forma:

A*Z" + B*Z' + Z = 0

A B


51

La solucin de esta ecuacin da lugar a tres casos posibles, segn si las races de su polinomio caracterstico son:

1. Reales y distintas (si B2 > 4A) SOBREAMORTIGUAMIENTO

En este caso la solucin es de la forma:

t*A2

A4BB

2t*

A2A4BB

1

22

e*Ce*C)t(z+

+=

Lo que da una variacin temporal, de acuerdo a las condiciones iniciales, tal como se muestra en la figura siguiente:

2. Reales e idnticas (si B2 = 4A) AMORTIGUAMIENTO CRTICO

La solucin general en este caso es:

( ) t*A2B

21 e*Ct*C)t(Z+=

Y su variacin es de la misma forma que en el caso anterior.

3. Distintas e Imaginarias (si B2 < 4A) SUBAMORTIGUAMIENTO

Este es el caso ms comn, por lo que nos concentraremos en l. La solucin bsica es:

))t.wsen(C)t.wcos(.C(*e)t(z 21t*

A2B

+=

Velocidad Inicial PositivaVelocidad Inicial NulaVelocidad Inicial Negativa

Z

t


52

Siendo : 2BA4A21

T2w ==

Esta solucin, como es lgico suponer, tendr la siguiente forma funcional:

Las constantes C1 y C2 salen de considerar las condiciones iniciales y de borde siguientes:

Z(t=0) = Ho C1 = Ho

0)0t(dtdZ == 0w*C*

A2B

2 = C2 = 0

Por lo que la ecuacin quedar:

)t.wcos(*Ho*e)t(Zt*

A2B=

El hecho de que la "chimenea de equilibrio" resulte, en general, una instalacin costosa,

cuyo costo es proporcional a la altura h, hace que su instalacin se justifique para proteger conducciones por gravedad de muy poca pendiente. El caso ms conocido es el de la proteccin de las galeras de presin en los aprovechamientos hidroelctricos.

TIEMPO

ALT

UR

A Z

(t)


53

2. CMARAS DE AIRE En los casos de una impulsin, resulta en la mayora de los casos impracticable la

proteccin con una "chimenea de equilibrio", por lo costosa. En la Figura 21 se observa que, para proteger la instalacin de impulsin con una chimenea

de equilibrio, la altura h de la misma debera superar convenientemente la altura manomtrica Hm provista por la bomba. Como en la mayora de los casos esto resulta impracticable, la chimenea puede ser reemplazada por una cmara cerrada, de dimensiones reducidas, que disponga de un cierto volumen de aire que haga las veces de amortiguador.

Figura 17 Cmara de Aire

Es el caso de las "cmaras de aire", las que implican tambin una oscilacin de masa

acotada, pero con una condicin de borde distinta. En efecto, esta no es ms la condicin:

Z P=

La que es reemplazada por la condicin dada por la "transformacin adiabtica del aire:

P PK K. . = 0 0 En la que:

- 0 = volumen de aire en la cmara en condiciones de rgimen. - P0 = presin del aire en la cmara en condiciones de rgimen. - = volumen de aire cuando se produce el transitorio. - P = presin de aire cuando se produce el transitorio.

De la ecuacin de la transformacin adiabtica surge que:

Estacin de Bombeo

B

Hm

0

HT

J*

L

Q

D


54

P PK= ( / ) . 0 0

La ecuacin de continuidad se transforma ahora en:

d U S dt Q dt = =. . . En la que S es la seccin de la cmara. Despejando U se tiene:

US

ddt

= 1 Derivando con respecto a t:

dUdt S

ddt

= 12

2

Reemplazando en la ecuacin general se tiene:

Lg

ddt

P j LoK

KK

2

20 0

+ + =*.

La anterior constituye la ecuacin diferencial para la oscilacin de masa originada por

cmaras de aire. Resulta integrable si j* = 0 y si k = 1, lo que significa transformaciones isotrmicas del aire.

En general, todos los mtodos grficos conocidos para el dimensionado de las cmaras

(VIBERT, PARMAKIAN, SLIOSBERG, etc.) se basan en estas simplificaciones. El programa desarrollado y que posibilit el clculo de verificacin y funcionamiento de las

cmaras de aire, se basa en la resolucin de las "ecuaciones de las caractersticas" con las ecuaciones de las condiciones de borde adecuadas.

Es de destacar, que en la realidad, no se logra la oscilacin de masa pura, aunque el

movimiento se asume notablemente, como puede observarse en las planillas de los clculos. En efecto, en las mismas puede apreciarse como la variacin de la velocidad en las distintas secciones del acueducto y para cada instante, es pequea (la oscilacin de masa pura implica U=cte. con respecto al recorrido, solo vara de instante a instante en todas las secciones a la vez y debido a la celeridad infinita).


55

Criterio de Predimensionamiento de Cmaras De Aire Como ya se mencion en el inciso anterior, en una instalacin de bombeo el fenmeno del

"Golpe de Ariete" en la impulsin de la misma puede amortiguarse adecuadamente mediante la incorporacin Cmaras de Aire.

Suponiendo un dispositivo como el de la Figura 22, el volumen de aire necesario en

rgimen permanente puede estimarse analizando la transferencia de energa producida en la interfase aire-agua en la cmara.

El cilindro de agua puesto en movimiento durante el transitorio puede considerarse como

rgido, por lo que la dinmica de transferencia de energa se resume en la siguiente expresin:

=

000

2

pplogp3,2Um

21

Donde:

- m = masa del cilindro lquido. - U = Velocidad media en la tubera de impulsin. - P0 = Presin en el lquido (y en el aire en contacto con l) antes del comienzo

del transitorio. - P = Presin alcanzada en el bolsn de aire al absorber la energa brindada por

el cilindro.

Esta ecuacin, entonces, implica la igualdad de la energa cintica del cilindro lquido con la energa absorbida en un proceso isotrmico por la burbuja de aire.

Figura 18

0

Hm

= p

o

BEstacin de Bombeo

h

h


56

Ahora, siendo m = ..L y =/g, se tiene que:

222 ULg2

1UL21Um

21 ==

Y, suponiendo:

= 1000 kg/m3

g = 9,81 m/s2

Y, adems, considerando la ecuacin de continuidad: Q = U. ,

ULQ51Um21 2

Por lo que:

=

000 p

plogp3,2ULQ51

Pero:

2DQ4QU ==

Por lo que:

== 0002

2

2

2

pplogp3,2

DQL97,64

DQ4L51

=

00

2

2

0

pplogpD

QL25,28

De esta forma, imponiendo "a priori" la relacin p/p0 y suponiendo p0 Hm, se puede hacer

una primera estimacin del volumen de aire inicial (previo al transitorio). Entonces, teniendo en cuenta que 0 constituye aproximadamente 1/2 del volumen total de

la cmara, se podr predimensionar la misma en base a este dato (siempre teniendo en cuenta que, de tratarse de un dispositivo constituido por N cmaras, el predimensionado de cada una deber realizarse con 0'= 0/N).


57

3. PROTECCIN DE IMPULSIONES CON VLVULAS DE AIRE Y VLVULA ANTICIPADORA DE PRESIN

Esta solucin consiste en la instalacin de una Vlvula Anticipadora de Presin poco

despus de la bomba para contrarrestar la onda positiva y negativa. Esta ltima se complementa en toda la conduccin con las vlvulas de aire, cuyo cometido es el que no sea superada una dada depresin fijada como pauta de seleccin.

Esta es una solucin simple y muy efectiva. Se puede observar la sencillez de su

implementacin observando la Figura 23, donde se muestra una instalacin tpica para la Vlvula Anticipadora de presin mencionada.

Figura 19 Instalacin de Vlvulas Anticipadoras de Presin

Nociones Bsicas acerca de las Vlvulas Anticipadoras de Presin Este tipo de vlvula es automtica y est especialmente diseada para proteger bombas y

tuberas del dao resultante de los cambios bruscos de velocidad del flujo ocasionados por el arranque y detencin de bombas, especialmente en el caso de detencin abrupta a causa de una falla en el suministro de energa. En la Figura 24 podemos apreciar en detalle su estructura interna.

VLVULAS PARA

PROTECCIN DE BOMBAS

VLVULA ANTICIPADORA

DE PRESIN


58

Figura 20 Vlvula Anticipadora de Presin

Como puede apreciarse en la Figura, se trata de una vlvula de diafragma y doble cmara.

La cmara de control inferior est conectada mediante un orificio ajustado a la presin aguas abajo, lo que sirve para amortiguar el cierre de la vlvula. La cmara de control superior, que opera segn un principio de control bidireccional, est sometida a presiones variables producidas por los pilotos de regulacin y por la vlvula aguja de restriccin interna de dichos pilotos. Veamos como funciona:

La detencin abrupta de una

bomba generalmente produce una cada en la presin seguida de un incremento importante de la misma, tal como puede apreciarse en la Figura 25.

El Piloto 1 percibe esta cada

inicial de presin y se abre, permitiendo que la vlvula se abra anticipando el retorno de la presin ms alta. Entonces, la vlvula libera estas presiones ms altas a la atmsfera. El Piloto 2, al sentir este incremento de presin, tambin se abre para mantener la vlvula principal abierta.

Figura 21 Presiones ocasionadas por el detenimiento de una bomba

Mientras la presin se disipa y se aproxima a un punto establecido, el Piloto 1 se cierra,

entonces la presin en la cmara de control superior comienza a crecer y la vlvula principal

Referencias:

1 - Vlvula de Aislacin 2 - Vlvula de Aislacin 3 - Manmetro 4 - Vlvula Aguja 5 - Filtro de Control 6 - Dispositivo de Bloqueo 7 - Piloto 1 8 - Piloto 2

Tiempo

Pres

in

P1

P2

Abre el PILOTO 1

Abre el PILOTO 2

Cierra el PILOTO 1


59

se cierra, permitiendo que la presin del sistema se incremente hasta el valor de presin prefijado para la apertura del Piloto 2.

Independientemente de la anticipacin de la onda de presin, esta vlvula tambin

mantiene un nivel mximo de presin preestablecido expulsando la presin en exceso a la atmsfera. Cuando la presin del sistema sobrepasa la presin mxima mencionada, se abre el Piloto 2, entonces la presin en la cmara de control superior decrece y la vlvula principal se abre para aliviar la presin y sostenerla en el nivel de seteo del piloto. Cuando la presin del sistema cae por debajo de este nivel el Piloto 2 se cierra, aumenta la presin en la cmara superior y la vlvula se cierra, para seguir manteniendo la presin de seteo.

Por todo lo dicho, entonces,

se puede deducir que la operacin de la vlvula se compone de dos fases: en la primera (entre la apertura y el cierre del Piloto 1) acta como anticipadora de onda, liberando agua para reducir el pico de presin prximo a producirse; en la segunda fase, a partir de la apertura del cierre del Piloto 1, acta como una simple vlvula de alivio.

Figura 22 Presiones ocasionadas por el detenimiento de una bomba

En la Figura 26 se puede apreciar cmo modifica la curva de presin la actuacin de

cada piloto, o de ambos simultneamente. Ambos pilotos poseen un tornillo de ajuste para establecer los niveles deseados de alta y

baja presin.

Proteccin de Impulsiones En la Figura 27 se esquematiza una impulsin y se ilustran los conceptos ms

importantes. En la misma, la topografa se ha elegido de forma tal que, una parte considerable de la conduccin ser afectada por presiones negativas, a medida que sta se acerca al depsito de descarga.

La altura manomtrica Hm y las correspondientes lneas piezomtricas implican o

acotan las presiones del rgimen permanente. Las sobrepresiones positivas y negativas (depresiones) en la impulsin, sin ningn tipo

de proteccin, quedan convenientemente acotadas por los respectivos diagramas envolventes de sobrepresiones mximas, con sus correspondientes signos, y referenciados al nivel esttico fijado por la cisterna de descarga.

Tiempo

Pres

in

P1

P2

No acta ningn piloto

Acta slo el PILOTO 1

Actan ambos pilotos


60

En realidad al tomar al nombrado nivel como referencia, se comete un error sin significacin tecnolgica, puesto que en la realidad la impulsin descarga unos pocos centmetros sobre el mismo.

Los diagramas que nos ocupan, se obtienen de suponer maniobra lineal de cese del

caudal impulsado, lo que acota convenientemente a la realidad, puesto que la verdadera ley de cese, se cuelga de la ley lineal.

En el caso ms general y teniendo en cuenta que el tiempo de cese del caudal T es

menor que 2L/c, se obtiene la condicin ms desventajosa (y la ms probable), dada por el diagrama de la figura en la que la parte horizontal queda acotada por el valor Tc/2 y su altura de presin la denominamos hmax. El diagrama simtrico negativo, obviamente, tendr solo validez real cuando la depresin alcance hasta 1 atm., puesto que ese valor no puede ser superado ya que implica el vaco absoluto.

El valor de T, segn Mendiluche Rosich, vale:

T kLUgHm

= +1

En la que, a los parmetros conocidos L, U y g se le agregan:

K, que es un coeficiente que vale 1 en impulsiones largas (nuestro caso) Hm, que es la Altura manomtrica a proveer por la bomba.

Al instalar una Vlvula Anticipadora de Presin, se fija el valor mximo positivo en un

mximo preestablecido que no podr ser superado y que implicar un cierto porcentaje de la altura manomtrica que simbolizamos como (10, 15 % de Hm o lo que el proyectista estime necesario). En ese caso, la sobrepresin mxima quedar acotada por la expresin:

( )h H H Hm m mmax = + = + 1

El valor mximo de sobrepresin ser acotado calibrando el piloto correspondiente de

la vlvula en el valor prefijado. Evidentemente, en el caso hipottico que el diagrama de depresiones abarque a la

impulsin, el piloto de la vlvula posibilitar el ingreso de aire, de manera tal que la depresin no baje de la prefijada cuando se calibr al mismo.


61

Figura 23 Proteccin de Impulsiones con Vlvulas

El caso esquematizado corresponde a una situacin en la que el diagrama de envolvente de

depresiones, no corta a la conduccin en su primera parte por lo que en ese subtramo las presiones quedan positivas. La parte del diagrama que si corta y absorbe al tramo ascendente hacia el depsito de la conduccin, quedar acotada por la depresin admitida para las vlvulas de aire y que constituyen el parmetro fundamental para su seleccin.

Si ese valor es (en m), es evidente que el diagrama de depresin admitida ser el que se

obtiene de restar el valor de referencia de la altimetra del eje de la conduccin, en todo el tramo sujeto a depresiones acotado por diagrama de - h max.

Ntese que la forma de contrarrestar los efectos del Golpe de Ariete con la Vlvula

Anticipadora de Presin y las Vlvulas de Ingreso de Aire, a presin de lnea, constituyen un confiable sistema que resulta a todas luces ms econmico que el presentado en el numeral anterior.

HmH max


62

4. CMARAS COMPENSADORAS Y DEPSITOS DE DESCARGA Estos consisten en tanques de reserva ubicados en puntos estratgicos, tal como se

muestra en la Figura 28. En el caso de los Depsitos de Descarga, el flujo es unidireccional, es decir que

nicamente pueden abastecer a la tubera, pero no a la inversa. Para lograr esto, el sistema posee una vlvula de no retorno (Check Valve) en la tubera de conexin a la conduccin principal.

La operacin de estos depsitos consiste en ingresar agua en la tubera ante una onda de

presin negativa (originada por Golpe de Ariete), con el fin de contrarrestarla. Es importante destacar que este tipo de dispositivo, si est bien dimensionado, no permite, bajo ninguna circunstancia, el ingreso de aire en la tubera.

Figura 28 Cmaras Compensadoras y Depsitos de Descarga

Las Cmaras Compensadoras, en cambio, son de flujo bidireccional: cuando aparece una

onda de depresin, descarga agua en la tubera; cuando viene la onda de sobrepresin, alivia a la tubera permitiendo la erogacin del caudal de la misma.

Este ltimo dispositivo, adems, regula las presiones estticas en el caso del

detenimiento del sistema.

BEstacin de Bombeo

DEPSITO DE DESCARGA

CMARA COMPENSADORA


63

AAANNNEEEXXXOOO III::: DDDEEEDDDUUUCCCCCCIIINNN DDDEEE LLLAAASSS EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS DDDEEE SSSAAAIIINNNTTT VVVEEENNNAAANNNTTT Supongamos una conduccin de seccin circular (dimetro D) como la que se muestra en la

figura siguiente, por la que escurre con una velocidad U un fluido de densidad (peso especfico = .g) y supongamos un volumen de control de seccin coincidente con la de la tubera y longitud ld .

Sobre dicho volumen actuarn, por un lado, las fuerzas originadas por la presin del lquido

(p) y las fuerzas originadas a raz del peso propio del volumen; por el otro lado, estarn las fuerzas resistentes al movimiento del fluido (0). En la Figura se pueden apreciar claramente la direccin y sentido de cada una de estas fuerzas, as como los valores tericos que toman.

Ahora bien, aplicaremos la tan conocida Ley de Newton, segn la cual: F = m. A

Podemos escribir, en este caso:

( )dtdUd..d.D..sen.d..dpd.p.p.p 0 lllllll =+

+

+

Si consideramos que la seccin permanece constante en el recorrido (y, por lo tanto,

0/ = l ) y dividimos ambos miembros por ld.. :

dtdu

D.4sen.gp1 0 =

+

l

ld..

Lnea Piezomtrica

p

Z

PLANO DE COMPARACIN

ll dp

( ) ll d.p.p +

ld

l

0

p. sen.d.. l


64

Dividiendo por g en ambos miembros y considerando que sen l= Z y que:

tU)U(

21

tUUU

tU

tU

dtdU 2

+

=+

=+

= ll

ll

La expresin queda: ( )

D.4

tU

g1U

g.21Zp1 0

2

+

=

lll Lo que puede escribirse como:

D.4

tU

g1

g.2UpZ 0

2

=

++

l

Pero, como en el flujo turbulento permanente: g.2

Uf.2

0 = , expresin final queda:

D.g.2U.U

ftU

g1

g.2UpZ

2

=

++

l

Esta expresin se conoce como "1ra. Ecuacin de Saint Venant" y cabe destacar que el

trmino entre parntesis corresponde a la conocida expresin de Bernoulli. Adems, se ha colocado el trmino U2 como U.|U| a efectos de conservar el sentido

vectorial de la prdida de energa en el movimiento impermanente, donde la velocidad puede cambiar de sentido.

Ahora consideremos el mismo sistema que en el caso anterior, pero apliquemos sobre l la

ecuacin de continuidad. Para esto, consideraremos que el caudal msico entrante (QmE) ms el caudal msico saliente (QmS) coincide con la variacin temporal de la masa en el volumen de control.

En la figura siguiente se muestran los caudales mencionados:

1ra. ECUACIN DE SAINT VENANT


65

Entonces, aplicando el balance de masas mencionado:

( ) ( )lll d..td.U..U..U. =

+

Si desarrollamos esta expresin y dividimos a ambos miembros por la masa:

0Ut

1Ut

1U =+

+

+

+

lll

Entonces:

0Udtd1

dtd1 =

++

l (A1)

En esta ecuacin, el primer trmino se refiere a la elasticidad de la tubera y a su velocidad de deformacin con la presin, mientras que el segundo trmino tiene en cuenta la compresibilidad del lquido. Desarrollaremos cada trmino.

Primero tengamos en cuenta la elasticidad de la tubera. Para ello, veamos la figura

siguiente, donde se muestra un diagrama de cuerpo libre sobre un corte de la tubera de pared delgada:

( ) ll

dU..pU..p +

ld

l

p..U

Lnea Piezomtrica

PLANO DE COMPARACIN

dtd1

dtd1


66

Si ahora dividimos por el mdulo de elasticidad E del material de la tubera, tenemos como

resultado el valor de la velocidad del aumento de la deformacin unitaria y, multiplicando por el radio y el permetro de la seccin de la tubera obtenemos la velocidad de aumento de rea:

dtdpD

2D

E.e.2D

dtd =

De donde:

dtdp

E.eD

dtd1 = (A2)

Pasemos ahora al segundo trmino de la ecuacin (A1). Tenemos que, por definicin del

mdulo de elasticidad volumtrico del fluido:

dtdp1

dtd1d

dp

=

= (A3)

Entonces, reemplazando (A2) y (A3) en (A1), obtenemos:

0UE.eD.1

dtdp1 =

+

+ l

Y, expresando las constantes como:

e.ED.1

c2 += , llegamos a que:

0Ucdtdp1 2 =

+ l

p.D

T

T e

Clarament

Golpe de Ariete

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