Gisella bravo portafolio

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SEPTIEMBRE 2012- FEBRERO 2013 PORTOFOLIO DE CALCULO DIFERENCIAL BRAVO BARAHONA GISELLA PATRICIA 2 SEMESTRE “B” ING. JOSE ANTONIO CEVALLOS SALAZAR

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S E P T I E M B R E 2 0 1 2 - F E B R E R O 2 0 1 3

PORTOFOLIO DE CALCULO DIFERENCIAL

BRAVO BARAHONA GISELLA

PATRICIA 2 SEMESTRE “B”

ING. JOSE ANTONIO CEVALLOS SALAZAR

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PRONTUARIO DEL CURSO

CARTA DE PRESENTACIÓN

AUTORRETRATO

DIARIO METACOGNITIVO

ARTÍCULOS DE REVISTAS PROFESIONALES

TRABAJO DE EJECUCIÓN

MATERIALES RELACIONADOS CON LA CLASE.

SECCIÓN ABIERTA.

RESUMEN DE CIERRE

EVALUACIÓN DE PORTAFOLIO

ANEXOS

INVESTIGACIÓN

VINCULACIÓN

GESTIÓN

TABLA DE CONTENIDOS

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3

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

VISIÓN

Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas,

éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo

nacional, que contribuyan a la solución de los problemas del país como

universidad de docencia con investigación, capaces de generar y aplicar

nuevos conocimientos, fomentando la promoción y difusión de los saberes

y las culturas, previstos en la Constitución de la República del Ecuador.

MISIÓN

Ser una institución Universitaria, líder y referente de la educación superior

en el Ecuador, promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión

de la ciencia, la técnica y la cultura, con reconocimiento social y

proyección regional y mundial.

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FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS

VISIÓN

Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia

y calidad educativa, organizada en sus actividades, protagonista del

progreso regional y nacional.

MISIÓN

Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias

informáticas, que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a

las necesidades de la sociedad elevando su nivel de vida.

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PRONTUARIO

INFORMACIÓN GENERAL

Programa

Codificación del curso: Segundo “A”

Título del curso: CÁLCULO DIFERENCIAL

Horas de crédito: cuatro (4) créditos

Horas contacto: 64 horas, II semestre

DESCRIPCIÓN DEL CURSO

La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras

ciencias, marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel

científico. Estas son las razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a

la malla curricular. El propósito de la asignatura en sus cuatro capítulos, es

conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al estudiante, en el análisis de las

funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de

acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su

continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades

específicas, se hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos

algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta

unidad el estudiante aprenderá a calcular la derivada inicialmente con su definición, y

luego hace énfasis con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de

Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace énfasis en determinar los Valores

Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de

Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo un determinado

proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para el

Trazo de Curvas. La programación de la asignatura concluye con la introducción de

Diferenciales para aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software

matemático Matlab y Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños

Software.

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POLITICAS DEL CURSO

Las políticas de curso que se aplican en la materia de Cálculo Diferencial para optimizar el

proceso de enseñanza–aprendizaje dentro del aula son los siguientes:

Compromisos Disciplinarios y Éticos

DE LAS RECOMENDACIONES PARA MEJORAR LA CONVIVENCIA, CUIDADO Y EL

BUEN USO DEL AULA DE CLASE.

Es primordial mantener siempre el respeto como norma principal de convivencia en armonía entre compañeros y el docente.

Ser puntuales en todas las actividades programadas.

Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.

Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra.

Evitar interrupciones innecesarias.

Cuidar y preservar el inmobiliario del aula.

Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso

No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.

Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.

Comprometernos responsablemente a cumplir con estas recomendaciones tanto estudiantes como docente.

ASISTENCIA, PUNTUALIDAD Y RESPONSABILIDAD

La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.

El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el retraso de 10 minutos.

El docente asistirá igualmente con toda puntualidad a las actividades establecidas y los estudiantes esperarán 10 minutos después de la hora de inicio, en caso de que el docente no se hubiera comunicado con el líder del curso en este lapso los estudiantes se retirarán y el docente tiene la obligación de recuperar estas horas.

El estudiante deberá justificar al docente su inasistencia o atraso, independiente de la justificación reglamentaria.

El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá el docente.

En caso de emergencia el estudiante solicitará al docente el respecto permiso para el uso del celular.

El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no habrá oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la universidad.

Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. No se aceptarán una segunda oportunidad para la entrega de trabajo.

Serán por equipo conformado por 4 estudiantes, aplicando el sistema cooperativo en la investigación.

La defensa estará a cargo del grupo.

Se presentará impreso en papel, carpeta plástica de acuerdo al modelo presentado en el curso y un archivo lógico-caratula con las precauciones necesarias.

El estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.

El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante, si se descubre la copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.

El estudiante aplicará en su proceso enseñanza-aprendizaje como evidencia y mejoramiento continuo un portafolio de acuerdo al modelo presentado en el curso.

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

SYLLABUS

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL

1.- DATOS GENERALES

Unidad Académica: Facultad de Ciencias Informáticas

Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos

Ciclo Académico: Septiembre 2012 – Febrero 2013.

Nivel o Semestre: 2do. Semestre

Área de Curricular: Matemáticas

Tipo de Asignatura: Obligatoria de Facultad

Código: OF-280

Requisito para: Cálculo Integral-OF-380

Pre-requisito: Matemáticas Básicas II-OF-180

Co-requisito: Ninguno

No de Créditos: 4

No de Horas: 64

Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar, Mg.Sc.

Correo Electrónico: [email protected], [email protected].

2. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA.

El Cálculo Diferencial marca su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel científico; su propósito es conceptualizar lineamiento teóricos, metodológicos y prácticos en el estudiante, en el análisis de las funciones, gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, calcular límites por métodos algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, y luego con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de Derivación, la Aplicación de las derivadas en determinar los Valores Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de Optimización para un determinado proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para aplicarla en otras ciencias, teniendo como apoyo el software matemático Matlab.

3. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Desarrollar en los estudiantes el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la Ciencias Informáticas.

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4. OBJETIVOS EDUCACIONALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS

CARRERA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS INFORMÁTICOS

1. Aplicar las ciencias básicas y las matemáticas en la solución de problemas del entorno

2. Aportar a la toma de decisiones que ayudan a desarrollar organizaciones proactivas que contribuyen al buen vivir

3. Construir soluciones informáticas de calidad que mejoren la eficiencia y eficacia de una organización haciendo uso correcto de la tecnología.

4. Demostrar compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario con ética profesional

5. Estar en capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en áreas afines.

6. Ser emprendedor, innovador en los últimos avances tecnológicos en el desempeño de su profesión

1 2 3 4 5 6

x

5. RESULTADOS DEL APRENDIZAJE

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE

NIVELES METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE

PONDERACIÓN

Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.

APLICACIÓN

Ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemático: Derie-6 y Matlab.

Aplicación de 4 técnicas para dominio

Aplicación de 4 técnicas para rango

Aplicación de 4 técnicas para graficar las funciones.

Determinará el dominio con la aplicación de 4 técnicas, el rango con 4 técnicas y graficará las funciones con 4 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab.

Determinará el dominio, con la aplicación. de 2 técnicas, el rango con 2 técnicas y graficará las funciones con 2 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab

Determinará el dominio, con la aplicación. de 1 técnica,

el rango con 1 técnicas y graficará las funciones con 1 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab

NIVEL ALTO:

86-100

NIVELMEDIO

71-85

NIVEL BÁSICO

70

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE

NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN

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EVALUACIÓN APRENDIZAJE

Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua.

APLICACIÓN

10 ejercicios escritos, orales y en talleres, individual y en equipo.

Participación activa, e interés en el aprendizaje.

Aplicación de los tres criterios de continuidad de función.

Conclusión final si no es continúa la función

Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de 10 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.

Participación activa, e interés en el aprendizaje.

Conclusión final si no es continúa la función.

Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 7 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.

Conclusión final si no es continúa la función.

Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 5 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.

Conclusión final si no es continúa la función.

NIVEL ALTO:

86-100

NIVELMEDIO

71-85

NIVEL BÁSICO

70

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE

NIVELES METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE

PONDERACIÓN

Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas

APLICACIÓN

10 ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemáticos: Derive-6 y Matlab.

Aplicación de los teoremas de límites.

Aplicación de las reglas básicas de límites infinitos.

Aplicación de las reglas básicas de límites al infinito.

Aplicación de límites en las asíntotas verticales y asíntotas horizontales.

Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites,

Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito y aplicación de límites en las asíntotas verticales y horizontales, en 10 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab

Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites,

Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 7 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Matlab.

Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 5 ejercicios manuales y en el software

NIVEL ALTO:

86-100

NIVELMEDIO

71-85

NIVEL BÁSICO

70

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Matemático: Derive-6

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE

NIVELES METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE

PONDERACIÓN

Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.

APLICACIÓN

Ejercicios escritos, orales, talleres y en el Software Matemáticos: Matlab y Derive-6.

Aplicación de los teoremas de derivación.

Aplicación de la regla de derivación implícita.

Aplicación de la regla de la cadena abierta.

Aplicación de la regla de derivación orden superior.

Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la cadena abierta, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemáticos: Derive-6y Matlab.

Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.

Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.

NIVEL ALTO:

86-100

NIVELMEDIO

71-85

NIVEL BÁSICO

70

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE

NIVELES METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE

PONDERACIÓN

Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.

ANÁLISIS

Ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.

Aplicación del primer criterio para puntos críticos.

Aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión.

Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas.

Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización.

Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, con la aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas, y con la aplicación del segundo criterio para problemas de optimización en ejercicios escritos, orales, talleres y en software matemático: Matlab

Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización. En ejercicios escritos, orales, talleres y en software matemático: Matlab

Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, Aplicación del

NIVEL ALTO:

86-100

NIVELMEDIO

71-85

NIVEL BÁSICO

70

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primer y segundo criterio para el estudio de graficas, en ejercicios escritos, orales y talleres.

5.1 RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA CARRERA ESPECÍFICOS A LOS QUE APUNTA LA MATERIA (ABET).

a. Capacidad de realizar análisis, síntesis y aplicación de las matemáticas y ciencias básicas en la solución de problemas de ingeniería en sistemas informáticos.

b. Capacidad de planificar, diseñar, conducir e interpretar resultados de experimentos orientados a la informática.

c. La capacidad de diseñar sistemas, procesos, modelos y componentes informáticos que cumplan los estándares nacionales o internacionales, tomando en cuenta las limitaciones económicas, ambientales, sociales, políticas, de salud y seguridad del entorno, y cumpliendo satisfactoriamente con las especificaciones y restricciones existentes o indicadas por los interesados o por los criterios de sostenibilidad.

d. Capacidad para funcionar como parte de un equipo de profesionales de distintas áreas del conocimiento, demostrando una efectiva cooperación, comunicación, con habilidades para resolver conflictos y contribuyendo proactivamente en la propuesta de líneas estratégicas desde el punto de vista informático, para la solución de problemas.

e. Capacidad para identificar, formular, evaluar y resolver técnicamente problemas de ingeniería planteados de acuerdo a las necesidades del medio.

f. Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética profesional, que le permitan desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y contribuyendo al desarrollo de la sociedad.

g. Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de investigaciones, documentos de trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando las herramientas de las nuevas tecnologías de la información.

h. Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a la realidad local, nacional e internacional en un contexto económico global, ambiental y social.

i. Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje continuo, con capacidad para reconocer las oportunidades para mejorar en su campo profesional.

j. Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno local, regional y global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones creativas y eficientes.

k. Capacidad y destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el desarrollo de software y hardware para implementar soluciones a problemas de su profesión.

Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera:

A: Alta M: Medio B: Baja

a b c d e f g h i j k

A M B

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6. PROGRAMACIÓN DE LA ASIGNATURA

1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.

FECHAS Nº DE

HORAS

TEMAS ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

RECURSOS BIBLIOGRAFÍA

Sept. 25

Oct.23

TOTAL

16

2

2

2

2

2

2

UNIDAD I

ANÁLISIS DE FUNCIONES

PREFACIO.

ANÁLISIS DE FUNCIONES.

PRODUCTO CARTESIANO.

Definición: Representación gráfica.

RELACIONES:

Definición, Dominio y Recorrido de una

Relación.

FUNCIONES:

Definición, Notación

Dominio y recorrido.

Variable dependiente e independiente.

Representación gráfica. Criterio de

Línea Vertical.

Situaciones objetivas donde se

involucra el concepto de función.

Función en los Reales: inyectiva,

sobreyectiva y biyectiva

Representación gráfica. Criterio de

Línea horizontal.

Proyecto de Investigación.

TIPOS DE FUNCIONES:

Función Constante

Función de potencia: Identidad,

cuadrática, cúbica, hipérbola,

equilátera y función raíz.

Funciones Polinomiales

Funciones Racionales

Funciones Seccionadas

Funciones Algebraicas.

Funciones Trigonométricas.

Funciones Exponenciales.

Funciones Inversas

Dinámica de

integración y

socialización,

documentación,

presentación de los

temas de clase y

objetivos, lectura de

motivación y video

del tema, técnica

lluvia de ideas, para

interactuar entre los

receptores.

Observación del

diagrama de

secuencia del tema

con ejemplos

específicos para

interactuar con la

problemática de

interrogantes del

problema, método

inductivo-

deductivo,

Definir los puntos

importantes del

conocimiento

interactuando a los

estudiantes para

que expresen sus

conocimientos del

tema tratado,

aplicando la

Técnica Activa de la

Memoria Técnica

Talleres intra-clase,

para luego

reforzarlas con

tareas extractase y

aplicar la

información en

software para el

1. Bibliografías-

Interactivas, 2. 2.

Pizarra de tiza

líquida,

3. Laboratorio de

Computación,

4. Proyector,

5. Marcadores6.

Software de,

Matlab

ANÁLISIS MATEMÁTICO. JUAN MANUEL SILVA, ADRIANA LAZO. 2006. LIMUSA NORIEGA.

LAZO PAG. 124-128-142

CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. TOMO I

LARSON-HOSTETLER-EDWARDS.EDISION

OCTAVA EDICIÓN. MC GRAWW HILL 2006

LARSON PAG. 4, 25-

37-46.

LAZO PAG. 857-874,

891-919.

LAZO PAG. 920-973

LAZO PAG. 994-999-

1015

CALCULO. TOMO 1, PRIMERA EDICIÓN,

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13

2

2

Funciones Logarítmicas: definición y

propiedades.

Funciones trigonométricas inversas.

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES:

Técnica de grafica rápida de

funciones.

COMBINACIÓN DE FUNCIONES:

Algebra de funciones: Definición de

suma, resta, producto y cociente de

funciones.

Composición de funciones: definición

de función compuesta

área con el flujo de

información.

ROBERT SMITH-ROLAND MINTON, MC GRAW-HILL. INTERAMERICANA. 2000. MC GRAW HILL.

SMITH PAG. 13-14

SMITH PAG. 23-33-41-51

SMITH PAG. 454

2. Resultados del Aprendizaje No 2: Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico, aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa.

3. Resultados del Aprendizaje No 3: Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas.

FECHAS Nº DE

HORAS

TEMAS ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

RECURSOS BIBLIOGRAFÍA

Oct. 25

Nov. 15

TOTAL12

2

2

2

2

UNIDAD II

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Concepto de límite.

Propiedades de límites.

Limites Indeterminados

LÍMITES UNILATERALES

Limite Lateral derecho

Limite Lateral izquierdo.

Limite Bilateral.

LÍMITES INFINITOS

Definiciones

Teoremas.

LÍMITES AL INFINITO

Definiciones. Teoremas.

Limites infinitos y al infinito.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y

OBLICUAS.

Asíntota Horizontal: Definición.

Dinámica de

integración y

socialización,

documentación,

presentación de

los temas de clase

y objetivos, lectura

de motivación y

video del tema,

técnica lluvia de

ideas, para

interactuar entre

los receptores.

Observación del

diagrama de

secuencia del

tema con ejemplos

específicos para

interactuar con la

problemática de

interrogantes del

problema, método

inductivo-

deductivo,

1.Bibliografías-

Interactivas

2. Pizarra de

tiza líquida.

3. Laboratorio

de

Computación.

4.Proyector

5.Marcadores

6.Software de

derive-6,

Matlab

LAZO PÁG. 1029

LAZO PÁG. 1069

SMITH PÁG. 68

LARSON PÁG. 46

LAZO PÁG. 1090

LAZO PÁG. 1041

LAZO PÁG 1090

LARSON PÁG. 48

SMITH PÁG. 95

LAZO PÁG 1102

SMITH PÁG. 97

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14

2

2

Asíntota Vertical: Definición.

Asíntota Oblicua: Definición.

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.

Límite Trigonométrico

fundamental.

Teoremas.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO.

Definiciones.

Criterios de Continuidad.

Discontinuidad Removible y

Esencial.

Definir los puntos

importantes del

conocimiento

interactuando a

los estudiantes

para que expresen

sus conocimientos

del tema tratado,

aplicando la

Técnica Activa de

la Memoria

Técnica

Tareas intra-clase,

para luego

reforzarlas con

tareas extractase y

aplicar la

información en

software para el

área con el flujo de

información.

LAZO PÁG. 1082

LARSON PÁG. 48

LAZ0 PÁG. 1109

4. Resultado del aprendizaje No 4: Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.

FECHAS NO DE

HORAS

TEMAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

RECURSOS BIBLIOGRAFÍA

Nov. 27

Dic. 13

TOTAL12

2

2

2

UNIDAD III

CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

DEFINICIONES.

DERIVADAS.

Definición de la derivada en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función.

Gráfica de la derivada de una función.

Diferenciabilidad y Continuidad.

CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICA.

Derivada de la función Constante.

Derivada de la función Idéntica.

Derivada de la potencia.

Derivada de una constante por la función.

Derivada de la suma o resta de las funciones.

Derivada del producto de funciones.

Derivada del cociente de dos funciones.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.

Regla de la Cadena.

Regla de potencias combinadas

Dinámica de integración y socialización, documentación, presentación de los temas de clase y objetivos, lectura de motivación y video del tema, técnica lluvia de ideas, para interactuar entre los receptores.

Observación del diagrama de secuencia del tema con ejemplos específicos para interactuar con la problemática de interrogantes del problema, método inductivo-deductivo,

Definir los puntos importantes del conocimiento interactuando a los estudiantes para que expresen sus conocimientos del tema tratado, aplicando la Técnica Activa de la Memoria Técnica

1.Bibliografías-Interactivas

2. Pizarra de tiza líquida.

3. Laboratorio de Computación.

4.Proyector

5.Marcadores

6.Software de derive-6, Matlab

LAZO PÁG. 1125

SMITH PÁG. 126

LARSON PÁG. 106

SMITH PÁG. 135

SMITH PÁG. 139

LARSON PÁG. 112

LAZO PÁG. 1137

SMITH PÁG. 145

LARSON PÁG. 118

LAZO PÁG 1155

SMTH 176

LARSON PÁG. 141

LAZO PÁG. 1139

SMITH PÁG. 145

LAZO PÁG. 1149

SMITH PÁG. 162

LARSON PÁG. 135

LAZO PÁG. 1163

SMITH PÁG. 182

LARSON PÁG. 152

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15

2

2

2

con la Regla de la Cadena.

DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES.

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

DERIVADA IMPLICITA.

Método de diferenciación Implícita.

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Derivada de:

Funciones exponenciales.

Derivada de funciones exponenciales de base e.

Derivada de las funciones logarítmicas.

Derivada de la función logaritmo natural.

Diferenciación logarítmica.

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS.

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.

Notaciones comunes para derivadas de orden superior.

Tareas intra-clase, para luego reforzarlas con tareas extractase y aplicar la información en software para el área con el flujo de información.

SMITH PÁG. 170

LARSON PÁG. 360

SMITH PÁG. 459

LARSON 432

LAZO PÁG. 1163

SMITH PÁG. 149

5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.

FECHAS NO DE

HORAS

TEMAS ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

RECURSOS BIBLIOGRAFÍA

Dic. 18

En. 28

TOTAL24

2

2

2

2

2

2

UNIDAD IV

APLICACIÓN DE LA DERIVADA.

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA

RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.

VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS.

Máximos y Mínimos Absolutos

de una función.

Máximos y Mínimos Locales de

una función.

Teorema del Valor Extremo.

Puntos Críticos: Definición.

FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA.

DERIVADA.

Función creciente y función

Decreciente: Definición.

Funciones monótonas.

Prueba de la primera derivada

para extremos Locales.

CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN.

Concavidades hacia arriba y

concavidades hacia abajo:

Dinámica de

integración y

socialización,

documentación,

presentación de los

temas de clase y

objetivos, lectura

de motivación y

video del tema,

técnica lluvia de

ideas, para

interactuar entre

los receptores.

Observación del

diagrama de

secuencia del tema

con ejemplos

específicos para

interactuar con la

problemática de

interrogantes del

problema, método

inductivo-

deductivo,

1.Bibliografías-

Interactivas

2. Pizarra de

tiza líquida.

3. Laboratorio

de

Computación.

4.Proyector

5.Marcadores

6.Software de

derive-6,

Matlab

LAZO PÁG. 1173

LAZO PÁG. 1178

SMITH PÁG. 216

LARSON 176

LAZO PÁG. 1179

SMITH PÁG. 225

LARSON 176

LAZO PÁG. 1184

SMITH PÁG. 232

Page 16: Gisella bravo portafolio

16

2

2

2

2

2

2

Definición.

Prueba de concavidades.

Punto de inflexión: Definición.

Prueba de la 2da. Derivada

para extremo locales.

TRAZOS DE CURVAS.

Información requerida para el

trazado de la curva: Dominio,

coordenadas al origen, punto

de corte con los ejes, simetría

y asíntotas

Información de 1ra. Y 2da.

Derivada

PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN.

PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS.

INTRODUCCION DE CONOCIMIENTOS

Diferenciales. Definición.

Integral Indefinida. Definición.

SUSTENTACION DE PROYECTOS DE

INVESTIGACION

Definir los puntos

importantes del

conocimiento

interactuando a los

estudiantes para

que expresen sus

conocimientos del

tema tratado,

aplicando la

Técnica Activa de

la Memoria Técnica

Tareas intra-clase,

para luego

reforzarlas con

tareas extractase y

aplicar la

información en

software para el

área con el flujo de

información.

LAZO PÁG. 1191

SMITH PÁG. 249

LARSON 236

LAZO PÁG. 1209

SMITH PÁG. 475

LARSON PÁG. 280

7. COMPROMISOS DISCIPLINARIOS Y ÉTICOS

Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.

Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra..

Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso

No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.

Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.

La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.

El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el retraso de 10 minutos.

El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá el docente.

El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no habrá oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la universidad.

Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. El estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.

El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante. Si se descubre la copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.

8. PARÁMETROS PARA LA EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES.

DESCRIPCIÓN MEDIO CICLO FIN DE CICLO TOTALES

Exámenes 15% 15% 30%

Actividades Pruebas Escritas 5% 5% 10%

Page 17: Gisella bravo portafolio

17

varias Participaciones en Pizarra 5% 5% 10%

Tareas 5% 5% 10%

Investigación

Portafolio 5% 5% 10%

Informe escrito (avance-físico) 15% 15%

Defensa Oral-informe final(lógico y físico) (Comunicación matemática

efectiva ) 15% 15%

TOTAL 50% 50% 100%

9. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.

STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.

THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.

GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.

LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de

Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.

PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes,

ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ José Luís, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén

Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.

PÉREZ LÓPEZ César. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.

www.matemáticas.com

10. REVISIÓN Y APROBACIÓN

DOCENTE RESPONSABLE

Ing. José Cevallos Salazar Mg.Sc.

DIRECTOR(A) DE

CARRERA

PRESIDENTE(A) DE COMISIÓN

ACADÉMICA

Firma:

_______________________

Firma:

_______________________

Firma:

_______________________

Fecha: 2 de Abril del 2012 Fecha: Fecha:

Page 18: Gisella bravo portafolio

18

AUTORRETRATO.

Gisella Patricia Bravo Barahona.

Portoviejo

Tel: 085252551

Universidad Técnica de Manabí

Facultad de Ciencias Informáticas

2do

Semestre “A”

Mi nombre es Gisella Patricia Bravo Barahona, soy estudiante de la

asignatura de CÁLCULO DIFERENCIAL, actualmente curso el segundo

semestre en la facultad de Ciencias Informáticas de la universidad Técnica

de Manabí. Soy una persona responsable, activa y me gusta trabajar en

equipo.

Mis principales áreas de interés son la aplicación y desarrollo de las

tecnologías y el manejo de diferentes software.

Mis metas son convertirme en profesional como ingeniera en Sistemas

Informáticos, aplicando los conocimientos adquiridos en diferentes ramas

de la informática brindándole a la sociedad un servicio de calidad y poder

cumplir mis propósitos.

Además incentivar a los demás a que estudien la carrera de Ing. en

sistemas informáticos ya que la tecnología es lo que prevalece hoy en día.

Siempre agradeciendo a Dios y a mis padres por brindarme el apoyo

incondicional para continuar con mis estudios y convertirme en lo que

anhelo ser, esforzándome cada día y sentirme orgullosa de mi misma.

Page 19: Gisella bravo portafolio

19

DIARIO METACOGNITIVO

RESUMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”A”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 1:

Tema

discutido: Unidad I:

Análisis de funciones

Producto cartesiano

Definición: Representación gráfica

Relaciones:

Definición, dominio y recorrido de una relación.

Funciones:

Definición, notación

Dominio, recorrido o rango de una función

Variables: dependiente e independiente

Constante

Representación gráfica de una función

Criterio de recta vertical.

Objetivos de desempeño:

Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones

Definir y reconocer: dominio e imagen de una función

Definir y graficar funciones, identificación de las misma aplicando criterios.

Competencia general:

Definiciones, identificación y trazos de gráficas.

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 25-jueves 27 de Septiembre del 2012.

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 20: Gisella bravo portafolio

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2

3 4

1

0

4

25

16

9

INTRODUCCIÓN

En el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo

diferencial en la cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo

respectivo.

En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como:

1. Dominio.

2. Co-dominio.

3. Imagen.

RESUMEN

Se comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos

mostró un video titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio

su reflexión acerca del video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente

del semestre anterior y el portafolio del docente actual, también vimos el portafolio

estudiantil.

En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el

tema relacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado,

tomando como principio de la clase el siguiente tema:

“Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”

Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el

conjunto A será el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio

y el Co-dominio se denomina imagen, recorrido o rango.

Datos interesantes discutidos:

Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:

La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación

pero una relación nunca será función.

La relación es comparar los elementos.

Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes

Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable

La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se

conecta con el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra)

A B

Dominio Condominio

Page 21: Gisella bravo portafolio

21

A B

Imagen

Dominio Co-dominio

Una imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado

un par. La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares.

A B= {(2,14) ;(1,7)…}

En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e

Independientes, y a esto se agregan las constantes. Las variables independientes son

aquellas que no dependen de ningún otro valor, en cambio las dependientes dependen

de la otra variable. Las constantes son valores que no cambian durante la función por

lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.

Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante

Variable independiente

Las funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es

indispensable, ya que puede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que

se habla de una función matemática).

Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar

dos tipos de funciones:

Funciones Explicitas.

Funciones Implícitas.

Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad.

Y = X² + 2X – 1

Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se

encuentran definidas.

Y + 5 = 2X + 3 – X

2

5

7

-1

5

14

Page 22: Gisella bravo portafolio

22

Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso

matemático, ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta

a los valores que se subministra a x.

Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la

que depende de los valores de x.

Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo:

y2+x-1=x

2-6

Función explicita, está definida con las variables, ejemplo:

Y=x2-2x+1

Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen

Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen

Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen

Par, de estar formado por un dominio y un condominio

Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical

que se corta en un punto.

También nos vimos como poder reconocer una función

mediante el criterio de recta vertical, en un plano

cartesiano, esto se realiza pasando una recta perpendicular

paralela a la ordenada (y) si corta un punto es función, si

corta 2 o más no es función.

Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permite

representar de manera gráfica cualquier función, siempre y

cuando sea de forma explícita y se realice la comprobación

correspondiente aplicando el “Criterio de la recta”.

Función No función

El criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical se

forma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A

se conecta una y solamente una vez con su imagen B.

Page 23: Gisella bravo portafolio

23

Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relaciones

y=2x+1

Esta es una función por que la y tiene un resultado.

y2=4-x2

Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:

y2=2-x2

y=

Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.

Otros detalles que analizamos fueron:

Resultado

f(x)

Ordenar

Galare, es la tabla de resumen de datos ejemplo:

x y

-4 25

-3 16

-2 9

-1 4

0 1

¿Qué cosas fueron difíciles?

La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la

metodología del profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al

método que el profesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una

imagen.

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras

son funciones y cuales no son.

Page 24: Gisella bravo portafolio

24

DIARIO METACOGNITIVO

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”A”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 2

Tema

discutido: Unidad I:

Funciones:

Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función

Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Gráfica, criterio de recta horizontal

Tipos de Funciones:

Función Constante

Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y

función raíz

Objetivos de desempeño:

Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función

Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

Competencia general:

Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de

funciones.

Datos interesantes discutidos hoy:

Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratada

de decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y sus

preocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dicho

programa, realizando algunos ejercicios como:

>>figure (4)

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 2-jueves 4 de Octubre del 2012.

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 25: Gisella bravo portafolio

25

y=(x-1)/(x)

y= (x-1)/x

>>ezplot(4)

Page 26: Gisella bravo portafolio

26

FUNCION INYECTIVA

FUNCION SOBREYECTIVA

Page 27: Gisella bravo portafolio

27

¿Qué cosas fueron difíciles?

Las cosas que fueron un poco difícil era definir los modelos matemáticos y

diferencial.sobre las funciones dadas

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le criterio de las recta

vertical empleada en la funciones dadas

Page 28: Gisella bravo portafolio

28

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 3

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

CONTENIDOS:

TIPOS DE FUNCIONES:

Función polinomio,

Función racional,

Funciones seccionadas,

Función algebraica.

Funciones trigonométricas.

Función exponencial

Función inversa,

Función logarítmica: definición y propiedades,

Funciones trigonométricas inversa,

Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones

Problemas

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:

Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

COMPETENCIA GENERAL:

Trazar graficas de diferentes tipos de funciones

Datos interesantes discutidos hoy:

En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión

sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para

ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de

funciones.

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 2-jueves 9 de Octubre del 2012.

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 29: Gisella bravo portafolio

29

FUNCIÓN POLINOMIO

TIPOS DE FUNCIONES

Page 30: Gisella bravo portafolio

30

Page 31: Gisella bravo portafolio

31

Funciones Seccionadas

Page 32: Gisella bravo portafolio

32

Page 33: Gisella bravo portafolio

33

Page 34: Gisella bravo portafolio

34

Page 35: Gisella bravo portafolio

35

¿Qué cosas fueron difíciles?

Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías

¿Cuáles fueron fáciles?

En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la

técnica rápida de graficacion

¿Qué aprendí hoy?

En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento

aunque parezca algo imposible siempre le va estar para ayudarnos

Page 36: Gisella bravo portafolio

36

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 4

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

CONTENIDOS:

COMBINACIÓN DE FUNCIONES:

Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de

funciones, Silva Laso, 994

Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68,

Larson, 46

Límites indeterminados, Silva Laso, 1090

LIMITES UNILATERALES

Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041

Límite lateral izquierdo

Límite bilateral

ASÍNTOTAS:

Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97

Asíntotas horizontales, definición, gráficas.

Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:

Definir operaciones con funciones.

Definir y calcular límites.

COMPETENCIA GENERAL:

Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 16-jueves 30 de Octubre del 2012.

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 37: Gisella bravo portafolio

37

Algebra De Funciones

Page 38: Gisella bravo portafolio

38

Concepto de limites

Page 39: Gisella bravo portafolio

39

Page 40: Gisella bravo portafolio

40

CONTINUIDAD

Criterios de continuidad

Para que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:

El limite en ese punto debe existir

La funcion evaluada en ese punto debe existir

El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales

Discontinuidad removible y esencial

Page 41: Gisella bravo portafolio

41

Page 42: Gisella bravo portafolio

42

Page 43: Gisella bravo portafolio

43

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 5

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Contenido

LIMITE INFINITO:

Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48

LIMTE AL INFINITO:

Definición, teoremas.

Limite infinito y al infinito, Smith, 95

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

DERIVADA:

Definición de la derivada en un punto, Smith, 135

Interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función

Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139

Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.

Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Definir todos los modelos matemáticos sobre derivadas aprendidos en clases.

COMPETENCIA GENERAL:

Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación de modelos

matemáticos de las derivadas.

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 1-jueves 15 de Noviembre del 2012.

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 44: Gisella bravo portafolio

44

La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una

curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se

obtuvo como resultado dos límites:

Page 45: Gisella bravo portafolio

45

Gráfica de la derivada

Aquí está la gráfica de una función continua

y diferenciable f (x).

Page 46: Gisella bravo portafolio

46

Page 47: Gisella bravo portafolio

47

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy

próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a

cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de

la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con ese mismo

eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Page 48: Gisella bravo portafolio

48

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se

acerca a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que

entiendas esto, pues es el

núcleo por

el que después entenderás

otros conceptos,

si no es así, dímelo

Page 49: Gisella bravo portafolio

49

CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO

ALGEBRAICO.

Derivada de la función Constante,

Derivada de la función Idéntica.

Derivada de la función potencia.

Derivada de una constante por una función.

Derivada de la suma de funciones.

Derivada del producto de funciones.

Derivada del cociente de dos funciones.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.

Regla de la cadena,

Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:

Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.

Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.

Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.

COMPETENCIA GENERAL:

Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos

de funciones.

Page 50: Gisella bravo portafolio

50

Derivada de la función Constante

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para

cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a

C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

Page 51: Gisella bravo portafolio

51

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de

dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del

segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el

denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el

cuadrado del denominador.

Apliquemos ln a: y = u/v

lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son

f(x):

(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como

factor común:

(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2

Page 52: Gisella bravo portafolio

52

Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2

Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.

Page 53: Gisella bravo portafolio

53

¿Qué cosas fueron difíciles?

La clase se me hizo un poco difícil porque no podía entender las DERIVADA DE UNA

FUNCIÓN COMPUESTA. Ya que son temas que no he visto

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos

matemático

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones

trigonométricas.

Page 54: Gisella bravo portafolio

54

DIARIO METACOGNITIVO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 7

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Contenido

Taller

Fórmulas de las Derivadas

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Reconocer las fórmulas de las derivadas

COMPETENCIA GENERAL:

Definición de máximo y mínimo y fórmulas de las derivadas.

Lim(x, ).-para límite en Matlab

Máximo.- a medida que aumenta su dominio su imagen decrece.

Mínimo.- a medida que aumenta su dominio su imagen crece.

Constante.- a medida que aumenta su dominio su imagen sigue igual

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 08 de nov. Jueves 10 de noviembre

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 55: Gisella bravo portafolio

55

La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una

curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se

obtuvo como resultado dos límites:

Gráfica de la derivada

Aquí está la gráfica de una función continua

y diferenciable f (x).

Page 56: Gisella bravo portafolio

56

Page 57: Gisella bravo portafolio

57

Page 58: Gisella bravo portafolio

58

Page 59: Gisella bravo portafolio

59

¿Qué cosas fueron difíciles?

No encontré dificultad alguna.

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos

matemático

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones

trigonométricas.

Page 60: Gisella bravo portafolio

60

DIARIO METACOGNITIVO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 8

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Contenido

Autoevaluación

Videos de la derivadas

Derivadas trigonométricas

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Reconocer todo tipo de derivada

COMPETENCIA GENERAL:

Definición de derivadas.

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h

muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se

hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en

azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente

con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 13 de nov. Jueves 15 de noviembre

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 61: Gisella bravo portafolio

61

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un

segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea

roja se acerca a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así: Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto,

pues es el núcleo por

el que después entenderás otros

conceptos,

si no es así, dímelo

Derivada de la función Constante

Page 62: Gisella bravo portafolio

62

Page 63: Gisella bravo portafolio

63

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para

cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a

C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de

dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del

segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el

denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el

cuadrado del denominador.

Page 64: Gisella bravo portafolio

64

Apliquemos ln a: y = u/v

lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son

f(x):

(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como

factor común:

(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2

Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2

Page 65: Gisella bravo portafolio

65

Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.

Page 66: Gisella bravo portafolio

66

¿Qué cosas fueron difíciles?

No encontré dificultad alguna.

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos matemático

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones

trigonométricas.

Page 67: Gisella bravo portafolio

67

DIARIO METACOGNITIVO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 9

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Reflexión: renovarse a morir

Contenido

Plenaria de derivada en la vida diaria

Lección en pizarra

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Dar opiniones validas sobre la derivada

COMPETENCIA GENERAL:

Definición de derivada y autoevaluación

¿Qué cosas fueron difíciles?

No se me dificulto nada, ya que el debate es una de las técnicas de estudios que ns

permite tener retentiva de temas que nos ayudara en nuestro proceso enseñanza-

aprendizaje.

¿Cuáles fueron fáciles?

Todo estaba muy sencillo, lo referido en estas clases nos ayuda a aprender cada día

más.

¿Qué aprendí hoy?

Aprendí nuevas cosas sobre la derivada.

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 20 nov. Jueves 22 de noviembre

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 68: Gisella bravo portafolio

68

DIARIO METACOGNITIVO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 10

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Reflexión: La paz perfecta

Esta en paz con nosotros mismo nos ayuda a llevar las cosas de una manera tranquila

sin cometer errores que algún día puede cambiar nuestras vidas para mal y así mismo

estar e paz con los demás nos fortaleces y crecemos como personas.

Contenido

Funciones Exponenciales

Funciones Trigonométricas Inversas

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Resolver funciones trigonométricas y exponenciales.

COMPETENCIA GENERAL:

Definición de Funciones trigonométricas y exponenciales.

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 04 dic. Jueves 06 diciembre

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 69: Gisella bravo portafolio

69

Derivación de Funciones Exponenciales

Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de

los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,e

x) es

igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el

punto (0,1) la pendiente es 1.

Sabemos que e es un número irracional, pues e =

2.718281828... La notación e para este número fue

dada por Leonhard Euler (1727).

La función f(x) = ex

es una función exponencial

natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está

entre f(x) = 2x y f(x) = 3

x, como se ilustra a la

izquierda.

Page 70: Gisella bravo portafolio

70

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,

aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo

neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano

al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es

2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar

como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de

que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado

el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que

e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e

1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número

real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta

definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta

base concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los

números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

¿Qué cosas fueron difíciles?

Se me complico un poco ya que estas funciones sus fórmulas son un poco diferentes a

las otra y se m dificulta en aprendérmelas.

¿Cuáles fueron fáciles?

Su procedimiento una vez ya identificada la función.

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a desarrollar Funciones Trigonométricas y Exponenciales.

Page 71: Gisella bravo portafolio

71

DIARIO METACOGNITIVO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 11

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Reflexión: importancia de la estrategia

La estrategia lo es todo para un buen gestos… y para profesionales competentes.

Tener problemas es inevitable.. ser derrotado es opcional

Contenido

Cadenas Abiertas

Derivada Implícita

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Resolver Derivadas Implícita y Cadenas Abiertas

COMPETENCIA GENERAL:

Definición Derivadas Implícita y Cadenas Abiertas

Derivación implícita y derivada de orden superior.

Después de estudiar esta sección el estudiante deberá ser capaz de:

1. De una función, implícitamente obtener la derivada de y con respecto de x.

2. Obtener la derivada de orden n de u a función dada.

Si y es una función definida por una expresión algebraica en términos de variable x, se

dice que f está definida EXPLICITAMENTE en términos de x.

Por ejemplo, las siguientes funciones están explícitamente en términos de x.

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 11 dic. Jueves 13 diciembre

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 72: Gisella bravo portafolio

72

Page 73: Gisella bravo portafolio

73

Cadenas abiertas

Es un proceso que nos permite evaluar una función en función de otra, es decir

función compuesta.

Z=√x

Y=lnZ

dz/dy = 1/2√x dy/dx=dz/dx . dy/dz

dy/dx=1/z dy/dx=1/2√x .1/z

dy/dx=1/2z√x

dy/dx= 1/ 2√x √x = 1/2x

dy/dx=1/2x//

¿Qué cosas fueron difíciles?

Se me dificulto lo que es las cadenas abiertas.

¿Cuáles fueron fáciles?

El procedimiento de derivadas implícita, ya que es simple, una vez ya estudiado todas

las derivadas.

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a desarrollar Cadenas Abiertas y Derivadas Implícita.

Page 74: Gisella bravo portafolio

74

DIARIO METACOGNITIVO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 12

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Reflexión: la lluvia

Que a pesar de los problemas i dificultades en nuestras vidas, nosotros debemos de

aprender a sobre llevar las cosas y aprender a resolverlo.

Contenido

Aplicación de la derivada

Punto Máximo y Mínimo

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Aprender aplicación de la derivada… Encontrar punto máximo y mínimo,

punto de inflexión.

COMPETENCIA GENERAL:

Definición Máximo y Mínimo

Función creciente y decreciente

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores

cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme

se incrementa X.

Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme se

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 18 nov. Jueves 20 de noviembre

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 75: Gisella bravo portafolio

75

incrementa X.

Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra

en la definición tanto de creciente como de decreciente.

Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin

crecer ni decrecer), entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente

decreciente, según el caso.

Definición:

Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se dice

que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta

disminuye ((x), decimos que la función decrece.

Simbólicamente podríamos definir:

( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)

( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)

[pic]

Criterios para Crecimiento y Decrecimiento

Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en

el intervalo abierto (a, b).

i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].

ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].

iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].

Observación:

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera

derivada. Así:

Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.

[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.

Page 76: Gisella bravo portafolio

76

El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y

mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en

los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos

de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio

en la concavidad de la curva.

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones

de tipo intuitivo.

Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la

curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos

Page 77: Gisella bravo portafolio

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Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se

Encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es

cóncava hacia abajo en el punto x1.

Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2,

la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la

curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el

cual la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la

curva.

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definiciones:

Sea f una función derivable en un punto c.

i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x

≠ c se cumple que:

Page 78: Gisella bravo portafolio

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f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x

≠ c se cumple que:

'

Z x = f x − f c x−c − f c <

iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de

I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo

abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los su

intervalos: (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o

cóncava positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva

es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición

suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

Problema de máximos y mínimos.

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa

recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la

longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea

máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.

Solución:

Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.

4.25 (a)), donde 20ax≤≤.

Page 79: Gisella bravo portafolio

79

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la fig.

4.25 (b).

Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo

entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho

intervalo.

Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

Page 80: Gisella bravo portafolio

80

Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda

derivada.

lo cual indica que x=a\2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete

geométricamente el resultado).

Máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene

dado por:

¿Qué cosas fueron difíciles?

No se me dificulto en nada.

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hizo fácil encontrar el máximo y mínimo.

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a encontrar máximo y mínimos

Page 81: Gisella bravo portafolio

81

DIARIO METACOGNITIVO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS

INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 13

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA

Contenido

Problemas utilizando derivada y hallando el máximo.

Integrales

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

Resolver problemas y diferentes modelos de integrales.

COMPETENCIA GENERAL:

Definición de Integrales

1.- Hallar 2 números entre cuya suma sea 12 y el producto sea máximo.

1.-Gráfica

2.-Implementación

X=P#

Y=P#

P=(x.y)

3.- Datos

Suma de # es 12

4.-Pregunta

¿Hallar producto máximo?

5.-Planteamiento del problema

PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013

TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2

HORAS

FECHA: Martes 08 dic. Jueves 10 diciembre

DOCENTE

GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

Page 82: Gisella bravo portafolio

82

5.1.-Ecuación primaria

Producto m=xy: P(xy)=xy

5.2.-Ecuación Secundaria

X+y=12

Y=12-x

6.-

Primaria derivada

P(x)=12x-x^2

P’(x)=12-2x

Segunda derivada

P’’(x)=-2

Punto Crítico

12-2x=0

-2x=-12 (-1)

X=6

Y=12-x

Y=12-6

Y=6

Pmax=6.6.=36

P’’(x)=-2

P´´(6)=-2->MAX

Page 83: Gisella bravo portafolio

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Cálculo integral: definición.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan

como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que

denominan “Cálculo Integral”.

Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda

una familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre

de antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario

al de la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos

concluir que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil,

podemos hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se

sus puntos, podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña

definición de integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso,

podemos encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada;

ahora, veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el

motivo real de este trabajo

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos

estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de

funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor

aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando

la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la

mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,

aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que

llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta

tangente.

Page 84: Gisella bravo portafolio

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Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f

en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la

variación de f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente

en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h

"cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, T

Integral indefinida: definición

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,

especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una

integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo integral,

encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso

de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en

general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y

sólidos de revolución.

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más

importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas

matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,

raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales y

combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado

trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y

usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones

diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una

integral definida,0.1

por ejemplo,

∫ e – x

0

dx, para la cual no hay solución en términos de funciones elementales, se puede

resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a término

dicha serie.

¿Qué cosas fueron difíciles?

Se me dificulta un poco diferenciar los modelos de integrales.

¿Cuáles fueron fáciles?

Se me hace fácil resolver problemas y e integrales per los primeros modelos.

¿Qué aprendí hoy?

En esta clase aprendí a desarrollar problemas e integrales con su verificación.

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ARTÍCULOS DE REVISTAS

REVISTA DE MATEMÀTICA

AUTOR: Dr.Javier Trejos Zelaya - CIMPA,

Escuela de Matemática, Universidad de Costa

Rica, 2060 San José, Costa Rica

EDITADO: Bach.María Isabel Leandro

Calderón - Universidad de Costa Rica, 2060

San José, Costa Rica.

PAGINA DE BUSQUEDA:

http://revista.emate.ucr.ac.cr/

REFLEXIÒN DEL TEMA:

Esta revista me llamo mucho la atención ya que nos permite

a nosotros como estudiantes desenvolvernos mejor en el

mundo de las matemáticas.

El presente trabajo se propone un algoritmo paralelo para

la obtención de matrices de probabilidades de transición.

El algoritmo propuesto es aplicado a la modelación de yacimientos lateríticos a

partir de un modelo matemático basado en cadenas de Markov.

Los resultados teóricos y prácticos obtenidos demostraron que el algoritmo es

escalable y óptimo en cuanto a Ganancia de Velocidad y Eficiencia. Se propone

además, una representación matricial adecuada para el almacenamiento de

hipercubos dispersos que persigue un ahorro significativo de memoria con el

menor comprometimiento posible de tiempo durante la ejecución del algoritmo.

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FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÀTICAS

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EN ESTA FOTO NOS ENCONTRAMOS REALIZANDO PARTE

DEL PROYECTO.

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