Guía orientativa para el uso de materiales manipulativos en matemáticas

José María Yáñez Sinovas

Geoplanos

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1. Descripción y posibilidades del Geoplano

Fue diseñado por Caleb Gattegno para facilitar a los niños el estudio de las relaciones geométricas. En primaria recomendamos el uso de tres tipos de geoplanos: - Ortométrico, de trama cuadriculada: En un principio se construían en madera, se utilizaban redes cuadriculadas de 9, 16, 25, 36, 49 y 121 pivotes. Los más frecuentes en el mercado son los de 25 puntos y los de 36 puntos. En el segundo y tercer ciclo de primaria conviene disponer de geoplanos de 100 puntos..

- El geoplano circular es una colección de puntos de una circunferencia igualmente espaciados, que se colocan como sigue: un pivote central, cuatro pivotes exteriores en las esquinas y el resto formando un círculo. Algunos disponen de 29 puntos en tableros de madera con dimensiones 21 x 21 centímetros. Permite construir polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8, 12 y 24 lados. Sirve también para estudiar propiedades de los elementos de la circunferencia y de las figuras inscritas.

Actualmente se comercializan en plástico a doble cara, por una en trama cuadrada de 25 o 36 pivotes y por la otra circular. Para trabajar con ellos se usan preferentemente gomas elásticas aunque también pueden utilizarse lanas, cordones e hilo de plástico.

- Isómetrico, de trama triangular, con los pivotes situados en vértices de triángulos equiláteros, la distancia entre cada punto y todos los puntos contiguos a él es la misma. En el tercer ciclo se puede usar para representar cuerpos geométricos

Las posibilidades de este material se centran en las siguientes propiedades: - Proporciona la oportunidad de explorar un amplio número de figuras a nivel concreto, ejercitando a la vez la motricidad y coordinación muscular finas. - Permite la formación, transformación y anulación de figuras con gran rapidez modificando solamente los puntos de apoyo de las gomas. - Las figuras resultantes son fácilmente reconocibles - Si le giramos se pueden reconocer las figuras geométricas o cualquier tipo de representación en diferentes posiciones, al orientarse se ven desde distintos ángulos. - Fomentan la creatividad al facilitar la investigación personal del alumno

2. Sugerencias didácticas

Para su uso es aconsejable la adquisición de geoplanos de plástico porque los pivotes son bastante más resistentes que los de madera y además se presentan a doble cara, una cuadrada y la otra circular. El geoplano isométrico se usará de forma sistemática en el segundo y tercer ciclo de primaria. En el primer ciclo de utilizará para crear figuras libremente, explorando sus posibilidades. Para orientaciones a nivel de grupo clase y trabajo en plano vertical recomendamos los geoplanos virtuales en pizarra digital. Debemos disponer de gomas elásticas en varios tamaños y diversos colores. La variedad de colores ayuda a destacar y/o diferenciar líneas, permiten superponer o inscribir figuras, señalar ejes de simetría, etc. Además de suponer una motivación para los alumnos. La diversidad de tamaños es imprescindible porque las gomas pueden utilizarse dos maneras: usando varias gomas para cada representación (una goma por línea) o bien formando la figura con una sola goma abriéndola al estirarla. Resulta conveniente culminar el uso de este soporte intuitivo pasando del campo manipulativo de las gomas a trabajar individualmente en el ordenador con geoplanos virtuales y por último pasar a la representación gráfica en papel tramado punteado (cuadrícula 36 puntos, circular de 29 puntos, retícula isométrica). Esta actividad complementaria debe programarse a partir del segundo ciclo de primaria. En el primer ciclo comenzarán a diferenciar puntos internos / puntos en el borde de una figura dada y a medir la longitud de los lados o líneas tomando como unidad la separación entre dos puntos. En el segundo ciclo se iniciará a los alumnos en la medida de segmentos y en el tercer ciclo se plantearán problemas con segmentos de “difícil” medida – que puede calcularse tratándoles como diagonales de ciertos rectángulos -.

El geoplano resulta muy útil para estudiar el principio de conservación de la cantidad y prevenir errores muy frecuentes. En la representación de las figuras geométricas se puede provocar confusiones si se realiza siempre en una determinada posición, esto puede evitarse proponiendo ejemplos que permiten a los niños construir sus propias definiciones de los conceptos y preguntas que resalten las características relevantes e irrelevantes. Esta dificultad del reconocimiento de figuras cuando no se presentan en la posición habitual que aparecen en los libros de texto se puede considerar como un efecto indirecto de los métodos de enseñanza que no parten de materiales manipulativos. Son especialmente interesantes las actividades enfocadas a distinguir el área del perímetro, con frecuencia el hecho de que dos figuras tengan el mismo área induce a algunos niños a creer que tienen el mismo perímetro. Para trabajar la estrategia de contar los puntos en la inducción de la fórmula de Pick – que permite obtener el área de cualquier polígono construido en un geoplano- conviene empezar con el geoplano isométrico con figuras que no tengan pivotes interiores y generalizar posteriormente a partir de experiencias más complejas, usando también el geoplano ortométrico. En cada familia de figuras equivalentes construida habrá que abordar la cuestión de la igualdad de los perímetros para comprobar que son variables a pesar de la equivalencia de las figuras. Se trata de conservar la superficie y observar como el aspecto aparente de la figura puede cambiar mucho.

En el geoplano ortométrico se usará como unidad natural de superficie el cuadrado mínimo, aunque en ciertas ocasiones las figuras han de ser trianguladas y habrá que considerar la celdilla triangular equivalente a medio cuadrado como unidad básica. La representación de patrones numéricos –triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales- ayuda establecer conexiones entre aritmética y geometría. Se pueden utilizar también como actividades de descomposición.

El uso de los geoplanos facilita la obtención de ejes de simetría y figuras simétricas al simplificar el cálculo de distancias y la representación de segmentos perpendiculares.

Posibilitan expresar la amplitud angular en relación al ángulo recto: mitad, tercio, dos tercios,…En todo caso las experiencias estarán orientadas a superar la asociación errónea entre el tamaño del ángulo y el tamaño de los lados.

2. ACTIVIDADES EN PRIMER CICLO

1-Representar líneas abiertas y cerradas

2-Representación de itinerarios con referencia mediante flechas orientadas

3-Representar líneas largas y cortas, comparando las líneas contando puntos

4-Simetrías de cuadriláteros

5-Simetrías de triángulos

6-Simetrías de dibujos

7-Representar trama cuadrada con líneas horizontales y verticales

8-Representar trama con líneas inclinadas en sentidos contrarios

9- Dibujar números

10-Dibujar letras

11-Crear libremente figuras

12-Construir rectángulos con número de puntos determinado interiores y en borde

13-Construir cuadrados con número de puntos determinado

14-Representar triángulos con número de puntos en interior determinados

15-Representar todos los tetraminós posibles

16-Representar la suma cuatro primeros números con puntos interiores de un

triángulo (descomposición del número diez)

17-Representar con puntos interiores de un triángulo suma primeros cinco números

(descomposición del número quince)

18-Representar números cuadrados 1+3, 1+3+5 (desc. del 9), 1+3+5+7 (desc. del 16)

con puntos interiores de un cuadrado

19-Representar líneas largas y cortas compararlas midiéndolas con las regletas

20- Representar líneas poligonales y medir su longitud con regletas

21-Representar un pentágono en G 36p y G cir

22-Representar un hexágono en G 36p y G cir

23-Representar triángulos con los tres lados iguales (con modelo en geoplano 36 p.)

24-Representar pentágono estrellado en geoplano circular

25-Representar hexágono estrellado en geoplano circular

26-Cálculo del doble y triple

27-Cálculo de la mitad y tercio

28-Medir interior de cuadrado con cuadros

29-Medir interior de rectángulo con cuadros

30-Simetrías de figuras geométricas en geoplano circular

31-Simetrías de dibujos en geoplano circular

32-Representación libre de tramas y figuras en geoplano isométrico

33-Representar itinerarios con referencia arriba, izquierda, derecha, abajo en G 36p

34-Medir interior cuadrado con regletas blancas

35-Medir interior rectángulo con regletas blancas

36-A partir de figuras representadas anteriormente explorar simetrías con espejo

37-Representar líneas poligonales, medir su longitud contando puntos

3-ACTIVIDADES EN SEGUNDO CICLO

1-¿Se pueden representar rectángulos y cuadrados en el geoplano isométrico?

Inténtalo

2-Representar pentágonos en geoplano isométrico

3-Representar hexágono en geoplano isométrico

4-Representar triángulos equiláteros, isósceles y escalenos en geoplano isométrico

5-Representar triángulos equiláteros, isósceles y escalenos en geoplano 36 p

6-Representar triángulos equiláteros, isósceles y escalenos en geoplano circular

8- Representar rombos en los tres geoplanos

9-Representar rectas secantes y paralelas en los tres geoplanos

10-Trazar en circunferencia diámetro, radio y situar centro.

11-Trazar todo tipo de rectas perpendiculares en los tres geoplanos

12-Medir en unidades Gi - de geoplano isométrico – superficies de cuadriláteros

13-Medir en unidades Gi superficies de triángulos

14-Medir en unidades Gi superficie de hexágonos

15-Medir en unidades Gi superficie de pentágonos

16-Representar números pentagonales 1+4, 1+4+7, 1+4+7+12 en G iso

17-Representar números hexagonales 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17 en G

iso

18-Calcular la cuarta parte de un círculo en G cir , de un cuadrado en G 36p y de un

triángulo equilátero en G iso

19-Representar paralelogramos registrando número de puntos interiores y en el borde

en G 36p y en G iso (medir superficie en unidades Gi)

20-Representar todas las clases de triángulos posibles eligiendo el tipo de geoplano

21-Diferentes estrategias de división de círculo 8 en partes iguales (diagonales,

cuadrados, etc.)

22-Estrategias de división en seis partes (a partir triángulo equilátero)

23-Estrategias de división en 12 partes iguales (a partir de hexágono)

24-Representar ángulos rectos en los tres geoplanos

25-Representar ángulos agudos en los tres geoplanos

26-Representar ángulos obtusos en los tres geoplanos

27-Representar octógono

28-Representar trapecio isósceles

29-Representar trapecio escaleno rectángulo

30-Trazar diagonales en cuadrado y rectángulo

31-Trazar diagonales en diferentes tipos de triángulos

32-Trazar diagonales en hexágono y pentágono

33-Trazar diagonales en octógono

34-Representar fracciones en geoplano circular

35-Representar fracciones en geoplano 36 p.

36-Representar fracciones en geoplano isométrico

37-Representar octógono estrellado

38-Representar números octogonales en G iso 1+7, 1+7+13, 1+7+13+19

39-Representar el mayor número posible de cuadrados cuyos lados no sean paralelos a

los bordes del tablero en G 36p

4-ACTIVIDADES EN TERCER CICLO

1-Representar heptágono en G iso, G 36p y G cir.

2-Representar un heptágono estrellado en G cir y en G 36p

3-Retícula en geoplano isométrico cubriendo un triángulo (embaldosar con rombos)

4-Calcular perímetro de cuadrados en G. 36 p., deducir norma

5-Calcular perímetro de triángulos en geoplano isométrico

6-Trazar mediatriz de un segmento

7-Trazar bisectriz de un ángulo

8-Calcular el área de un cuadrado en G 36p

9-Calcular el área de un rectángulo en G 36p

10-Calcular área de diferentes figuras

11-Dada su descripción representar un cuadrilátero

12-Calcular el perímetro de diferentes pentominos

13-Representar itinerarios con referencia N-S-E-W

14-Representar fracciones equivalentes

15-Calcular el perímetro y el área de un rombo en G iso

16-Calcular el área de un triángulo en G iso

17-Representar mediante un rectángulo 7/8 en G 36p y en G iso

18-Representar mediante un círculo 5/6 en G cir

19-Representar 2/9 mediante un cuadrado en G 36p y en G iso

20-Construir polígonos con 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 13,14 y 15 unidades Gi de

perímetro

21-Representar tres rectángulos cuyo perímetro sea 32 cm en g 36p

22-Construir el polígono con menos y más perímetro en G 36p y G iso

23-Representar posiciones relativas de una recta y una circunferencia: exterior,

tangente, secante

24-Representar un polígono cóncavo de n lados

25-Representar figuras congruentes

26-Representar ángulos consecutivos, adyacentes, opuestos y de lados paralelos

27-Sumar los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero

28-Simplificar fracciones

29-Calcular el perímetro y el área de un trapecio isósceles

30-Calcular el perímetro y el área de un pentágono

31-Calcular el perímetro y el área de un hexágono

32-Calcular el perímetro y el área de un trapecio rectángulo1-Calcular perímetro y

área de un paralelogramo (romboide)

33-Representar eneágono

34-Representar decágono

35-Representar dodecágono

36-Represemtar undecágono

37-Triangulación: descomponer un polígono cualquiera en triángulos por medio de

diagonales

38-Calcular sumas de ángulos

39-Calcular el área de cualquier polígono: deducción fórmula de Pick

40-Relación entre los lados de un triángulo cuya base sea la mitad de su altura

y entre triángulos cuya base sea la mitad de la altura.

41-Representar un triángulo cuya hipotenusa sea el doble de la altura

42-Trazar diagonales en polígonos regulares, registrar cuántas tienen

43-Problemas isoperimétricos - configurar un perímetro dado para que abarque la

mayor superficie posible - De todos los rectángulos de perímetro 30 cm (12 puntos en

borde, en geoplano de 36p)

5-Proyecto TERCER CICLO DE PRIMARIA: ÁNGULOS Y POLÍGONOS REGULARES EN

GEOPLANO CIRCULAR

Comenzamos analizando los 24 pivotes en relación con la circunferencia. Para medir los ángulos contamos los espacios entre los pivotes no el número de puntos. ACTIVIDADES MATERIALES

Medir ángulos representados con transportadores de diferentes tamaños y representar el complementario y el suplementario

Reforzar concepto amplitud de ángulo

Geoplano circular, transportadores

Encontrar el valor en grados sexagesimales del espacio entre dos pivotes 360º : 24 = 15º ó 90 : 6= 15º ó 180º : 12 = 15º luego en geoplano circular se trabajará con múltiplos de 15

Geoplano circular

Número de polígonos regulares qué podemos construir

Seis: de 24, dodecágono, octógono, hexágono, cuadrado, triángulo equilátero

Geoplano circular

Relacionar lados polígonos con amplitud ángulos céntricos y fracciones Dodecágono-30º-1/12 octágono-45º-1/8 hexágono-60º -1/6 cuadrado-90º-1/4 triángulo-120º-1/3

Geoplano circular

Comprobar que la suma de ángulos en cualquier triángulo equilátero es 180º Se van construyendo triángulos 60º-60º-60º, 45º-45º-90º y 30º-30º-120º

Geoplano circular

Representar ejes de simetría de un triángulo

Geoplanos circular e isométrico,papel

Intentar construir triángulos equiláteros en geoplanos iso y ortométricos No es posible en geoplano ortométrico porque no se pueden representar tres ejes de simetría

Geop. isométrico y ortométrico

Calcular ángulos interiores de polígonos regulares 165º (de 24 lados), 150º (dodecágono), 135º (octógono), 120º (hexágono), 90º(cuadrado), 60º (triángulo equilátero)

Geoplano circular Geop. isométrico

Transportador

Explorar número de diagonales en cada polígono regular

Geoplanos circular e isométrico, papel

Experimentar la triangulación de polígonos regulares Geoplanos circular

e isométrico, papel

Construir polígonos estrellados regulares

Octógono estrellado y dodecágono estrellado. Hexagrama NO es regular Pentagrama no se puede representar en geoplano circular

Geoplano circular

Buscar mosaicos posibles k-3, k-4, k-5 y k-6 argumentando el resultado

k-3: tres hexágonos k-4: 2 hexágonos+2 triángulos, 4 cuadrados, 1 hexa+2 cuad+1 triángulo k-5: 3 triángulos + 2 cuadrados, 4 triángulos + 1 hexágono k-6: seis triángulos

Geoplanos y

polydrón

Orientaciones y comentarios al proyecto:

En primer lugar partimos del juego libre. En la primera sesión explorarán con total

libertad con las gomas y el geoplano circular.

En segundo lugar pasamos al análisis de la estructura el geoplano circular contando

los espacios -–no los pivotes-. Planteamos el problema de medir esos espacios. Al ser

curvos no nos sirve la regla. Se estudian varias alternativas y materiales: cuerdas,

hilos, alambre,…

Se trabaja el concepto de ángulo y la utilidad el transportador. Experimentamos con

varios tamaños y tipos de transportadores en pizarra digital y en los geoplanos

individuales. Se representan ángulos rectos, agudos, obtusos,…

Otro paso fundamental es lograr que encuentren el valor del espacio entre pivotes

expresado en grados siguiendo diferentes estrategias a partir de diversas pistas (seis

espacios por ángulo recto, doce espacios por ángulo llano y veinticuatro en toda la

circunferencia).

Llegarán hasta número clave 15º, ángulo por espacio entre pivotes. A partir de ahí

trabajarán con múltiplos de 15.

De la relación entre la medida de los ángulos, las fracciones y los lados

desarrollaremos un proyecto de representación de los polígonos regulares en el

geoplano circular. De 24 lados, de 12 (dodecágono), de 8 (octágono), de 6 (hexágono),

de cuatro (cuadrado) y de tres (triángulo equilátero). Fijamos la atención den los

pivotes que sujetan la goma (vértices de los polígonos) y los que permanecen en el

exterior. Con uno sí y otro no 12 lados, uno sí y dos no 8 lados, uno sí y tres no 6 lados,

etc…

En el hexágono estudiaremos su descomposición en triángulos equiláteros. Se

observará que la suma de los ángulos de ese triángulo equilátero es igual a 180º. Se

plantea a continuación el siguiente problema: ¿la suma de los ángulos de cualquier

triángulo será 180º?. Lo comprobamos representando diferentes triángulos en

geoplano circular y realizando la medición de sus ángulos (60-60-60, 45-45-90, 30-30-

120).

¿Es posible construir triángulos equiláteros en geoplano ortométrico ? NO

Explicación razonada (tercer ciclo de primaria) : se precisan tres ejes de simetría

(luego solo es posible en geoplano circular y en el isométrico).

A través del geoplano circular podemos introducir las fracciones (1/2, 1/3,1/4, 1/6,..) y

la suma de fracciones reduciendo al común denominador 24.

Se deduce la fórmula del perímetro, de la longitud de la circunferencia experimentando

la medición con hilo en geoplano circular. ¿Cuántos diámetros caben en este hilo: tres

más un poquito. Surge el concepto del número PI ( 3,14 sin más decimales para los

alumnos de 6º).

6. Material complementario - Retícula isométrica en papel

- Retícula ortométrica de 36 y 100 puntos en papel

- Trama de circunferencia en papel

- Espejos de plástico

- Libro de espejos

- Regletas

- Regla graduada en cm. y mm.

-Transportador semicircular

- Compás

- Hilos de plástico

- Tarjetas con enunciados actividades y problemas

- Tarjetas con modelos para el primer ciclo

7. Herramienta tics complementaria: Geoplanos interactivos Recomendado para primer ciclo http://www.santillana.cl/futuro/geo5.htm Ortométrico en Java http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_277_g_1_t_3.html?open=activities

Isométrico en Java http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_129_g_1_t_3.html?open=activities

Circular en Java http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_285_g_4_t_4.html

Circular http://institutoeducare.edu.mx/index.php?option=com_content&view=article&id=250&Itemid=240&lang=es

Ortométrico

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/4/Medusa/GCMWEB/Code/Recursos/VisualizarPagina.asp

x?IdRecurso=6620

http://www.uco.es/~ma1marea/Recursos/Geoplano.swf

8. Para informarse más en: Educamadrid http://www.educa.madrid.org/web/cp.pedrobrimonis.humanes/ensenanzas/ed_primaria/geoplano.pdf Profes net http://www.primaria.profes.net/archivo2.asp?id_contenido=46335 Geoplano electrónico http://www.conevyt.org.mx/cursos/juegos/geoplano/juego.htm Fórmula de Pick http://iesjardinmalaga.wikispaces.com/file/view/F%C3%B3rmula+de+Pick.pdf

Áreas, semejanzas http://ficus.pntic.mec.es/apem0032/geoplano.html

9. Actividades propuestas para maestros

1. EXPERIMENTAR CON POLÍGONOS Polígonos regulares que se pueden formar

En geoplano de 36 puntos

En geoplano circular

En geoplano isométrico

Clasificar polígonos Criterios

Clasificar triángulos Criterios

Representación elementos de un polígono

2. JUGAR CON CÍRCULOS Y RECTAS Representar elementos de una circunferencia Rectas que se cortan, que no se cortan Itinerarios referencias topológicas

3.Experiencias diversas

Exploración de simetrías

Visualizar de fracciones

Medida experimental de superficies y perímetros

Regla de Pick por inducción

VOCABULARIO PROPUESTO

Primer ciclo Arriba, abajo, entro, curva, derecha, doble, geoplano isométrico, geoplano 36 puntos, geoplano circular, hexágono, izquierda, mitad, recta, rombo, romboide, tercio, triple

Segundo ciclo Agudo, ángulo, cuadrilátero, decágono, diámetro, diagonal, ejes de simetría, equilátero, escaleno, este, heptágono, hexaedro, llano, norte, octógono, oeste, obtuso, paralelogramo, perpendiculares, paralelas, perímetro, polígono, radio, recto, secantes, segmento, semirrecta, superficie, sur, trapecio isósceles, trapecio escaleno rectángulo, vértice de un ángulo, vértices de un polígono

Tercer ciclo Arco, área, aristas, bisectriz de un ángulo, apotema, catetos, hipotenusa, cuerda, corona, coordenadas, giro, interior (ángulo), mediana de un triángulo, mediatriz de un segmento, regular/irregular (polígonos), semicircunferencia, teorema, traslación, triangulación

GEOPLANO ORTOMÉTRICO DE 36 PUNTOS

1- Construye un rectángulo con dos puntos interiores y seis en el borde 2-Representa cuadriláteros: rombo, romboide, trapecio isósceles, trapecio escaleno rectángulo, rectángulo, trapezoide,… 3-Clases de triángulos que se pueden construir en este geoplano

Equilátero Isósceles escaleno

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

4-¿Es posible formar un hexágono regular? 5- ¿Y un pentágono regular? 6-Construir estos triángulos y rectángulos calculando su área triángulos rectángulos Base 1 2 1 2 Lado horizontal 4 3 2 1

Altura 1 1 2 2 Lado vertical 2 4 3 4

Área Área

Puntos interiores Puntos interiores

Puntos en el borde Puntos en el borde

perímetro Perímetro

7-Deducir fórmula de Pick de la actividad anterior, mide la relación del área con el número de puntos interiores y en el borde. 8-Representa polígonos de 7, 8, 9 y 10 lados (heptágono,octógno, eneágono,decágono) 9-Dibuja en geoplano casas, aviones, etc…

GEOPLANO CIRCULAR (24 PUNTOS)

1-Cuando rodeamos con una goma elástica los 24 puntos consideramos a todos los efectos que hemos formado una circunferencia. Pero desde un estricto punto de vista matemático ¿Qué hemos representado? 2-¿ En cuántas partes iguales se puede dividir el círculo representado con los 24 puntos? Analiza todas las posibilidades. 3-Utilizando gomas de diferentes colores intenta representar algunos elementos de la circunferencia: radio, cuerda, diámetro, arco,… 4-Experimenta distintas maneras de dibujar estrellas en el geoplano circular, registra tus hallazgos en papel. 5-Representa un dodecágono. ¿Cuántos pivotes están libres, sin tocar la goma? 6-Compara al geoplano circular con la esfera de un reloj analógico. ¿Qué sistema de numeración podemos trabajar en los dos casos? 7-¿Qué fracciones menores de 1/12 podemos representar en geoplano circular? 8- Investiga qué clases de triángulos son “construibles” en el geoplano circular GEOPLANO ISOMÉTRICO

1-Idem (cuestión 8 anterior) en geoplano isométrico 2-¿Qué unidad mínima de superficie usaremos en geoplano o trama isométricos? 3-Comprueba en geoplano isométrico qué polígonos regulares teselan el plano

4-Descomponiendo en triángulos calcula la suma de los ángulos interiores de diferentes polígono. Trata de deducir la fórmula 5-Construye los cuadriláteros que conozcas con 9 unidades de superficie 6-Intenta construir polígonos con perímetros de 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12 unidades

7-representa las diagonales y completa este cuadro

Son congruentes

Son perpendiculares

Una de ellas corta a la otra en punto medio

Se cortan mutuamente en punto medio