TECNOLOGICO VIDA NUEVA

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA

ING. CARLOS ECHEVERRIA

ESPECIALIDAD INFORMATICA

Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento.

Dos dimensiones: ángulos, polígonos, circunferencia ycírculo.

Tres dimensiones: cuerpos geométricos (poliedros y figuras de revolución).

GEOMETRÍA PLANAFiguras geométricas desde su punto de vista de su forma, extensión y relaciones que guarden entre sí.

Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento.

El punto no tiene dimensiones. Es el elemento más simple con el que trabajamos en geometría. Decía Euclides, el gran matemático griego, que un punto es lo que no tiene partes. Se podría decir que un punto sólo tiene posición.

La línea es, según Euclides, una longitud sin anchura. La línea posee una sola dimensión. Podría considerarse como una sucesión infinita de puntos alineados. Un punto en movimiento genera una recta.

Si marcamos un punto sobre una recta, dividiéndola en dos, cada parte se llama semirrecta. En una semirrecta, sólo hay un sentido de avance, en el otro extremo, el camino se corta, como en una calle sin salida.

Si cerramos la línea por dos extremos, marcando dos puntos, obtenemos un segmento. Los segmentos no tienen salida por ninguno de los dos sentidos. La Geometría suele utilizarlos para la construcción de figuras o como medida.

Dos dimensiones: el plano. Posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Según Euclides, una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura. Si nos movemos en un plano, podemos observar puntos, rectas, polígonos, círcunferencias y círculos.

Plano

rs

Dos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son paralelas cuando todos sus puntos están a la misma distancia entre ellas. Pensemos en los raíles del tren como una imagen real de rectas paralelas.

rs

Dos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son secantes cuando tienen un punto en común; es decir, se cortan en un punto. La letra X es un buen ejemplo de rectas secantes. Si forman un ángulo de 90º entre sí, serán rectas perpendiculares.

Representación en Ejes Cartesianos

Para situar objetos en el pano, se utilizan los ejes cartesianos. El eje horizontal (de las x) o eje de abscisas, marca la primera coordenada de un punto y el eje vertical (de las y) o eje de ordenadas, marca la segunda coordenada del punto.

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(4,6)

Así, un punto viene dado por un par ordenado de números naturales (a,b).

Y un triángulo, por tres puntos, como en la figura siguiente.

(8,3)

(15,9)

(11,12)

Es una forma exacta de representar figuras en el plano. Si situamos otro eje “z”, perpendicular a los otros dos, tendríamos cubierto todo el espacio. Y cada punto del espacio podría representarse por tres coordenadas.

(x,y,z)

x

y

z

Simetría

Dos figuras del plano son simétricas según un eje de simetría si al doblar el plano por dicho eje coinciden sus siluetas. Por ejemplo, de los dos casos siguientes, las figuras del gráfico 1 son simétricas, mientras que las del gráfico 2 no lo son.

Gráfico 1 Gráfico 2

La simetría tiene propiedades curiosas. Por ejemplo, si aplicamos dos veces la misma simetría sobre una figura, obtenemos la misma figura, desplazada.

Ángulos

Un ángulo es una porción del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un mismo punto, que llamamos vértice. Sería la separación (tomada de forma circular) entre dos líneas que se cortan en un punto.

Vértice

Lado

Los ángulos se nombran de varias formas. La más utilizada es la que emplea tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es el vértice.

Según su apertura en grados, los ángulos se clasifican en:

Ángulo Recto90º

Ángulo AgudoMenos de 90º

Ángulo ObtusoMás de 90º

Ángulo Llano180º

A

BO

Ángulo AOB

Ángulos - Posiciones

Veamos cómo pueden estar entre sí dos ángulos en el mismo plano.

Dos ángulos AÔB y BÔC son consecutivos cuando comparten el vérticey uno de los lados.

A

B

CO

A

B

CO

Dos ángulos AÔB y BÔC son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a un ángulo recto (90º).

A

B

C

O

Dos ángulos AÔB y BÔC son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a un ángulo llano (180º).

Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la longitud de la la línea poligonal se le llama perímetro del polígono.

Polígonos

Los polígonos pueden ser regulares (con todos sus lados y ángulos iguales) o irregulares (lo contrario). Pero también se pueden clasificar por su número de lados. Así, según sus lados, los polígonos pueden ser:

Triángulo

Cuadrilátero Pentágono Hexágono

Heptágono Octógono Eneágono Decágono

Triángulos

Los triángulos son polígonos con tres lados y tres ángulos. Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º entre los tres.

Según sus lados, los triángulos pueden ser:

Equilátero:los tres lados iguales.

Isósceles:sólo dos lados iguales.

Escaleno:los tres lados diferentes.

Según sus ángulos, los triángulos pueden ser:

Rectángulo:un ángulo recto.

Acutángulo:los tres ángulo agudos.

Obtusángulo:un ángulo obtuso.

La suma de sus 3 ángulos es 180 grados

Cuadriláteros

Hay tres clases de cuadriláteros:

Paralelogramos:lados paralelos dos a dos

Trapecio:sólo dos lados paralelos

Trapezoide:ningún lado paralelo a otro

Cuadrado:ángulos y lados iguales

Rectángulo:ángulos iguales y lados

iguales dos a dos

Rombo:lados iguales y ángulos

iguales dos a dos

Romboide:ángulos y lados iguales

dos a dos

El perímetro de un polígono es la medida de sus lados, de su contorno. Para cualquier polígono, su perímetro se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados.

Perímetro

l1

l2

l3

l4

l5

l6P = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6

Los polígonos regulares, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.

l

P = 6 x l

Área

El área de un polígono es la porción de plano comprendida entre sus lados. Es decir, la medida de la superficie encerrada por una línea poligonal.

Área

 Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuántas veces entra en ella una  unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y  corresponde a un cuadrado de un metro de lado.

 Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus  múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.

SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO MEDIDAS AGRARIAS

decímetro cuadrado - dm2 1 dm2 = 0,01 m2 Para medir superficies del campo, se utilizan otras unidades

centímetro cuadrado - cm2 1 cm2 = 0,0001 m2

milímetro cuadrado - mm2 1 mm2 = 0,000001 m2

MÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO hectárea - ha = hm2

decámetro cuadrado - dam2 1 dam2 = 100 m2 área - a = dam2

hectómetro cuadrado - hm2 1 hm2 = 10.000 m2 centiárea - ca = m2

kilómetro cuadrado - km2 1 km2 = 1.000.000 m2

Cálculo de las Áreas de figuras planas

A b·a2

Área del triángulo Área del cuadrado

A l2a

b

l

Área del rectángulo

A b·aa

b

A D·d2

Área del rombo

Dd

Área del romboide

A b·a

b

a

AB b ·h

2

Área del trapecio

B

b

h

A P·Ap2

Área de un polígono regular

P= Perímetro

Ap

Ap = Apotema (línea queune el centro con la mitadde un lado)

La circunferencia y el círculo

Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

Circunferencia

Radio

Diámetro

Centro

Círculo

Segmento circular

Sector circular

El diámetro de una circunferencia es igual al doble del radio.

d = 2 · r

Cuerda

Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 veces su diámetro. A este número decimal se lo define con la letra griega “pi” (π). Luego π = 3,14 aproximadamente.

De esta forma, la longitud de una circunferencia es:

L = 2 · π· r

La superficie del círculo se calcula multiplicando “pi” por el cuadrado del radio.

A = π · r2

Cuerpos geométricosLos cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:

- Cuerpos poliedros. Son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares (todas sus caras iguales) y poliedros irregulares (no todas las caras iguales).

- Cuerpos de revolución. Son cuerpos que tienen, al menos, una cara curva, y se obtienen haciendo girar en torno a un eje a un polígono cualquiera.

Poliedros regulares

Tetraedro Octaedro Hexaedro o Cubo Dodecaedro Icosaedro

Los poliedros regulares han tenido siempre aplicaciones astronómicas. Platón utiliza al Tetraedro como figura básica de su cosmogonía. J. Kepler hace coincidir las órbitas planetarias de forma que los planetas se colocan el esferas circunscritas a cada uno de estos sólidos.

Cuerpos geométricos

Cuerpos o figuras de Revolución

Cilindro Cono Esfera

Estos cuerpos reciben este nombre porque su forma se genera por medio de la revolución (giro sobre un eje) de una figura plana. Si giramos un rectángulo sobre su lado mayor, obtenemos un cilindro; si giramos un triángulo rectángulo sobre un cateto, obtenemos un cono; y si giramos una semicircunferencia, obtenemos una esfera. Debido a esto, en estos cuerpos, hay superficies curvas.

Generatriz

Base

Altura

Radio

Es una rama de la matemáticas que estudia las relaciones numéricas entre lados y ángulos de figuras geométricas.

Su estudio se divide en resolución de triángulos y funciones circulares

Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.

Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la cosecante es 1 entre el seno.

Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.

Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.

15x

• un hombre divisa a otro en una torre que mide 15 metros con un angulo de elevación equivalente a 35°. ¿cuál la distancia entre los dos hombres.

35°

tan35°=

X=

X=21,42 m

x15 m

15 tan35

La distancia entre los dos hombre es de 21,42 metros

Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.

tan30°=

b= tan 30-100

b=0,57*100

b=57,73 m

b

b 100

El ancho del rio es de 57,73 metros

Un edificio proyecta una sombra de 140m. cuando el sol forma un ángulo de 25° sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

25° 140m

tan25°=

h=tan25*140b=0,46*140b=65,28 m

h 140

Un cable esta sujeto a un poste, formando un Angulo de 54°. Si el poste mide 5,3 metros cuanto medirá el cable

54°

5,3

sen54°=

X=

x=6,55 m

5,3 x

5,3

sen54

El cable mide 6,55 metros.

Encontrar la altura de una montaña cuando el Angulo de elevación es de 60° y la distancia entre el punto de observación y la montaña es de 620 metros.

60°

Tan 60°=

h= tan 42*620

h=1073,87 m

h 620

620 mla montaña presenta una altura de 1073,87 m

El triángulo oblicuo (u oblicuángulo) es aquel que NO TIENE ningún ángulo recto. Pueden tener, sin embargo, ángulos mayores a 90°. Ejemplo: Un triángulo que tenga un ángulo interno de 120°, otro de 20° y otro de 40° (recordar que la suma de los ángulos interiores es de 180°).

Se resuelven por teorema del

seno

El triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.I) Ángulo, Ángulo Lado II) Lado, Lado Ángulo

Para sacar cualquier lado:

Para obtener un ángulo:

III Lado Ángulo Lado IV Lado Lado, Lado

Se resuelven por teorema del

cosenoPara sacar cualquier lado:  Para obtener cualquier ángulo: