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New Jersey Center for Teaching and Learning

Iniciativa de Matemática Progres iva®

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Geometría

Puntos, rectas, y planos

www.njctl.org

2015-07-20

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Tabla de contenidos

Puntos y rectas

Planos

Construcciones y loci

Preguntas de muestra PARCC

click sobre el tema para ir a la sección

Introducción a la Geometría

Congruencia, distancia y longitud

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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

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Introducción a la

Geometría

Volver a la tabla de contenidos

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El origen de la Geometría

Hace unos 10,000 años una gran parte de África del Norte eran fértiles tierras de cultivo.

El área aldededor del río Nilo era muy pantanosa por lo que estaba escasamente poblada.

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Pero a lo largo de miles de años, el clima cambió y la mayoría del norte africano se convirtió en desierto.

Las orillas del río Nilo se convirtieron en excelentes tierras de cultivo.

El origen de la Geometría

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Las tierras a lo largo del Nilo se llenaron de gente.

Se practicaba la agricultura a lo largo de la ribera del Nilo porque había:

· Agua para riego

· Suelos fértiles debido a la inundación anual que deposita sedimentos de río arriba.

Pero, y ya que las tierras se inundaban cada año, ¿cómo se podría hacer el seguimiento de quienes vivían en dichas tierras?

El origen de la Geometría

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About 4000 years ago an Egyptian pharaoh, Sesostris, is said to have invented geometry in order to keep track of the land and tax it's owners.

Reestablishing land ownership after each annual flood required a practical geometry.

"Geo" means Earth and "metria" means measure, so geometry meant to measure land.

Geometría Egipcia

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Sabemos más sobre geometría que los que los egipcios sabían hace 4000 años, así que vamos a hacer un laboratorio para ver como se resolvería este problema

Laboratorio "Los límites de la tierra"

Trabajarán en grupo y cada grupo resolverá el problema, pero antes pasemos a cómo los griegos construyeron sobre

la solución egipcia.

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Antes de la inundación anual del Nilo las tres parcelas de tierra podrían ser como se muestra.

Los puntos rojos indican estacas ubicadas sobre el nivel de la inundación.

Las estacas permanecerían en el mismo lugar año tras año.

A

Parcela 1

C

B

D

Parcela 3

Parcela 2

Mapa de los límites pre-inundación

E

Laboratorio "Los límites de la tierra"

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Antes de la inundación, las tres parcelas de tierras podrían verse así.

A

C

B

D

E

Mapa del río y riberas post-inundación

Más tarde, sólo las estacas sobre el nivel de la inundación

permanecían y el río había cambiado su curso.

Laboratorio "Los límites de la tierra"

AParcela 1

C

B

DParcela 3

Parcela 2

Mapa de los límites pre-inundación

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El faraón tenia que:

· Reestablecerr nuevos límites de manera que los agricultores supieran que tierras tenían que cultivar.

· Ajustar los impuestos para que coincidan con la nueva cantidad de tierra de cada dueño.

Los egipcios sólo tenían estacas y sogas,

tu sólo tienes cinta y cuerda.

Laboratorio "Los límites de la tierra"

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Después de la inundación, el faraón enviaría a sus geómetras con cuerdas, que habían sido utilizadas para medir cada parcela de tierra en los años anteriores

¿Cómo hacían esto?

(no puedes usar los lados del papel o reglas debido a que eran campos abiertos de gran tamaño.)

Laboratorio "Los límites de la tierra"

A

C

B

D

E

Mapa del río y riberas post-inundación

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La matemática egipcia era muy práctica. ¿Qué aplicaciones prácticas, piensas que los matemáticos egipcios usaron para esto?

Ellos no desarrollaron matemática abstracta. Esto quedó para los egipcios quienes construyeron sobre lo que habían aprendido de los egipcios, los babilonios y otros.

Geometría egipcia

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Geometría griega

Los griegos desarrollaron un enfoque de pensamiento sobre las medidas de la Tierra que les permitió generalizar.

Mantuvieron sus supuestos al mínimo y mostraron como todo siguió a partir de esos supuestos

Aquellos supuestos son llamados definiciones, postulados y axiomas.

Ese pensamiento analítico se convirtió en la lógica que nos permite no sólo hacer mediciones de tierras, sino también medir la validez de las ideas.

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Geometría Euclideana

El libro de Euclides, Los elementos, resumió los resultados de la Geometría griega: la Geometría Euclideana.

La geometría euclideana es la base de una gran parte de la matemática, la filosofía y la ciencia occidental.

Esto representa también, una buena oportunidad para aprender sobre este tipo de pensamiento.

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La Geometría euclidiana data de 400 AC.

Esto la hace alrededor de 1000 años más antigua que el álgebra y alrededor de 2000 años más antigua que el

cálculo.

El hecho de que todavía es enseñada de igual forma que hace unos 2000 años, nos dice ¿qué cosa sobre la

Geometría de Euclides?

Geometría Euclidiana

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Esta frase estaba sobre la Academia de Platón en la antigua Grecia, hace unos 2500 años.

Esta pintura renacentista de Rafael, describe a esa academia.

"No se permite que nadie quien ignore la geometría entre aquí."

Geometría Euclidiana

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Cuando el imperio romano decayó y luego desapareció, hace unos 1800 años, la mayor parte de los escritos de la civilización griega se perdieron.

Esto incluyó a la mayor parte de las obras, historias y de los trabajos en filosofía, matemática y ciencias de esa era, incluyendo a Los Elementos de Euclides.

Esas obras no se destruyeron a propósito, pero se deterioraron con el tiempo al no haber medidas de gobierno para preservarlas.

Geometría Euclidiana

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La Geometria euclidiana se perdió en Europa por unos 1000 años.

Pero, se siguió usando y desarrollando en el mundo islámico.

En los años 1400 esas, ideas fueron reintroducidas a Europa.

Esas y otras obras redescubiertas, condujeron al Renacimiento Europeo, que duró por varios siglos, comenzando en 1400 aproximadamente.

Geometría Euclidiana

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Una gran parte del pensamiento de la ciencia y de la matemática modernas se desarrolló a partir del redescubrimiento de Los Elementos de Euclides.

El pensamiento que subyace a la Geometría Euclidiana se ha mantenido muy bien.

Muchos todavía creen que éste es la mejor introducción al pensamiento analítico.

Geometría Euclidiana

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Aproximadamente unos 100 años, Charles Dodgson, el geómetra de Oxford quien escribió Alicia en el país de las maravillas, bajo el nombre de Lewis Carrol, argumentó que el pensamiento de Euclides era todavía la mejor manera para entender el pensamiento matemático.

Geometría Euclidiana

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La geometría es usada directamente en muchas tareas en las que hay que medir longitudes, áreas y volúmenes; agrimensura de tierras, diseños ópticos, etc. La Geometría es subyacente a la mayor parte de la ciencia, la tecnología, la ingeniería y la matemática. (CTIM).

Geometría Euclidiana

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Este curso usará el pensamiento básico desarrollado por Euclides.

Trataremos de clarificar y distinguir entre:

· Que suponemos que es cierto, y no podemos comprobar· Que seguimos a partir de lo que tenemos asumido o comprobado previamente.

Este es el razonamiento que hace al pensamiento geométrico tan valorable.

Cuestionar siempre, cada idea que se presenta, esto es lo que hubieran querido Euclides y aquellos quienes inventaron.

Geometría Euclidiana

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Esto representa también un camino al pensamiento lógico, el cual el filósofo británico Bertrand Russel mostró que es idéntico al pensamiento matemático.

Cliqar un video breve sobre el mensaje de Bertrand Russell para el futuro que fue filmado en 1959.

¿Escuchaste algo que te sonara familiar?

¿Qué?

Geometría Euclidiana

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Los supuestos de Euclides son axiomas, postulados y definiciones.

No se espera que los memorices, sino que los uses para desarrollar más allá tu comprensión.

Las ideas principales que pueden demostrarse se llaman Teoremas.

Las ideas que provienen fácilmente de un teorema se llaman Corolarios.

Geometría Euclideana

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Los cinco axiomas son muy generales, aplican al curso entero y no dependen de las definiciones o postulados, así que los revisaremos en esta unidad.

Los postulados y definiciones están relacionados a temas específicos, de modo que los introduciremos a medida que se necesiten.

También se introducirán términos modernos adicionales que necesitarás conocer.

Geometría Euclideana

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Euclides llamó a sus axiomas "Comprensiones comunes".

Parecen demasiado obvio para nosotros, ahora, y para él entonces que el hecho que el los escribió como sus supuestos refleja que tan cuidadosamente el quiso dejar claro su pensamiento.

No quiso asumir incluso la más obvia comprensión sin indicar que esta haciendo justamente eso.

Axioma de Euclides (Comprensiones comunes)

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El cuidadoso rigor es lo que condujo a que este enfoque cambie el mundo.

Los grandes avances en ciencia, matemática, ingeniería, negocios, etc., están hechas por gente que cuestionan lo que parece obviamente cierto...pero no siempre resulta ser cierto.

Sin reconocer los supuestos que se construyen, no eres capaz de cuestionarlos... y, algunas veces no eres capaz de ir más allá de ellos.

Axioma de Euclides (Comprensiones comunes)

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Las cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales entre sí

Primer axioma de Euclides

Por ejemplo:

Si sé que Tom y Bob tienen la misma altura y sé que Bob y Sara también tienen la misma altura.... ¿qué otra conclusión puedo tener?

Tom Bob Sara

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Si iguales se suman a iguales, el entero es igual.

Segundo axioma de Euclides

Por ejemplo,

Si tú y yo tenemos cada uno la misma cantidad de dinero, vamos a decir $20, y cada uno de nosotros gana la misma cantidad de dinero adicional, vamos a decir $2,

entonces aún cada uno de nosotros tienen la misma cantidad total de dinero que el otro, en este caso $22.

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Si iguales son sustraídos de iguales, el resto es igual.

Tercer axioma de Euclides

Así luce el tercer axioma.

Da un ejemplo propio. Mira hacia atrás al segundo axioma si necesitas una pista.

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Las cosas que coinciden con otras cosas son iguales a las otras cosas.

Cuarto axioma de Euclides

Por ejemplo,

Si pongo dos piezas de madera lado a lado y ambos extremos y todos los puntos entre ellos se alinean, diría que tienen igual longitud.

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El entero es mayor que las partes.

Quinto axioma de Euclides

Por ejemplo,

Si un objeto está construido por más de una parte, entonces el objeto es más grande que cualquiera de sus partes.

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Primer axioma: las cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales entre sí. Segundo axioma: si a iguales se suman iguales, el entero es igual.

Tercer axioma: si iguales se restan de iguales, los restos son iguales.

Cuarto axioma: las cosas que coinciden con otras son iguales a esas otras.

Quinto axioma: el entero es mayor que las partes.

Axiomas de Euclides (Comprensiones comunes)

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Puntos y Rectas

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Definiciones

Las definiciones son palabras o términos que tienen un significado acordado, no pueden ser derivados o comprobados.

Las definiciones usadas en geometría son idealizaciones, no existen físicamente.

Cuando dibujamos objetos basados en esas definiciones, esto es justamente para ayudarnos a visualizarlas. Sin embargo, los

objetos geométricos imaginarios se pueden usar para desarrollar ideas que pueden luego ser convertidas en objetos reales.

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Puntos

Un punto es infinitamente pequeño.

No puede ser dividido en partes pequeñas.

Es una ubicación en el espacio sin dimensiones.

No tiene longitud, ancho o altura.

Definición 1: Un punto es aquel que no tiene una parte

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Puntos

Mira este punto. ¿Por qué no puede ser considerado un punto?

Discute tu respuesta con un compañero.

Definición 1: Un punto es aquel que no tiene una parte

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Puntos

Un punto está representado por un punto. El punto dibujado sobre una página tiene dimensiones, pero el punto representado no las tiene.

Un punto puede ser imaginado, pero no representado.

Sólo la posición del punto es mostrado por el punto.

Los puntos son usualmente nombrados con una letra mayúscula. (e.j. A, B, C).

A B

C

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Rectas

Una recta está definida por tener longitud, pero no ancho o altura.

La recta dibujada sobre una página tiene ancho, pero la idea de una recta no la tiene.

Definición 2: Una recta es una longitud sin ancho.

Las rectas pueden ser pensadas como un infinito número de puntos sin espacio entre ellos.

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Rectas

Una recta consiste de un infinito número de puntos puestos uno al lado del otro de manera que los extremos son puntos.

Estos son llamados puntos finales.

Definición 3: Los extremos de una recta son puntos.

Incluso aunque así describimos correctamente a una recta con puntos finales, ¿por qué esto no es acertado?

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Rectas

Definición 4. Una línea reca es una línea en la cual se encuentran uniformemente esparcidos los puntos en

sí misma.

En una línea recta los puntos descansan uno al lado del otro sin curvarse o volverse en cualquier dirección.

Mientras una línea pueda seguir cualquier patrón, en este urso, usaremos el término, "recta" para referirnos a una línea recta, a

menos que se indique otra cosa.

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Primer postulado: Dibujar de cualquier punto a cualquier punto.

Rectas

Este postulado dice que dados dos puntos cualesquiera, es posible dibujar una recta entre ellos.

Aparte de permitirnos conectar dos puntos con una recta, esto también nos permite extender cualquier recta tan lejos como pudimos elegir desde los puntos que podrían ser ubicados en

cualquier punto en el espacio.

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Rectas

Segundo postulado: Producir una línea recta finita continuamente en una línea recta.

Este postulado dice que la recta dibujada entre dos puntos puede ser una línea recta.

Esto permite el uso de un lado recto para dibujar rectas.

Un lado recto es una regla sin marcas.

Nota: se puede usar cualquier objeto con un lado recto.

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Segmentos

Usando esas definiciones y postulados podemos dibujar primero dos puntos (los puntos finales) y luego dibujar una línea recta entre ellos usando un lado recto.

Una línea recta dibujada de esa manera se llama segmento.

Esto es una longitud finita un comienzo y un fin.

En cada uno de los extremos hay un punto final como se muestra abajo.

A Bpunto final punto final

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Nombrando segmentos

Por ejemplo , y son diferentes nombres para el mismo segmento.

AB BA

Un segmento es nombrado por sus dos puntos finales.

El orden de los puntos finales no interesa.

A Bpunto final punto final

AB ó BA

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Una recta se extiende infinitamente en ambas direcciones, puede ser formada a partir de extender un segmento en ambas direciones.

Esto es permitido por nuestras definiciones y postulados imaginando conectar cada punto final del segmento a otros puntos que descansan más allá de él, en ambas direcciones.

Rectas

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A B

En este ejemplo, el segmento AB se extiende en ambas direcciones para formar la recta AB.

Rectas

A Bpunto final punto final

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DE

Una recta se nombra usando cualesquiera dos puntos sobre ella o usando una letra minúscula. Una flecha en el símbolo arriba de los puntos en el nombre de la recta representa que la recta continúa sin final en direcciones opuestas.

Nombrando rectas

D

F

E

a

DF EF

FEED FD a

Aquí hay 7 nombres válidos para esta recta.

Cuando se usan dos puntos para nombrar una recta, su orden no importa ya que la recta va en ambas direcciones.

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Da 7 diferentes nombres para esta recta

Ejemplo

U

W

V

b

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Los puntos colineales son puntos que caen en la misma recta.

¿Cuáles de esos puntos son colineales con la recta dibujada?

Puntos colineales

D

F

E

a

A

B C

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¿Es posible para dos puntos cualesquiera no ser colineales al menos sobre una recta?

Ven con una respuesta a tu mesa. Recuerda, usa sólo hechos para armar tu argumento!

Puntos colineales

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1 ¿Cuántos puntos se necesitan para definir una recta?

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2 ¿Puede haber dos puntos colineales sobre la misma recta?

Sí

No

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3 ¿Puede haber tres puntos no colineales sobre la misma recta?

Sí

No

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¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en mas de un punto?

Rectas intersecantes

Una buena técnica para comprobar si ésto es posible se llama:

Argumentum ad absurdum(Argumento al absurdo)

ó

Reductio ad absurdum(Argumento de reducción al absurdo)

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Rectas intersecantes

Argumentum ad absurdum

ó

Reductio ad absurdum

Estos son dos términos latinos que se refieren al mismo y potente enfoque, una prueba indirecta.

Primero, se asume que algo es cierto. Luego se ve que lógica sigue ese supuesto. Si la conclusión es absurda, e supuesto era falso y

desaprobado.

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Rectas intersecantes

Vamos a asumir que dos rectas diferentes pueden compartir más de un punto y ver a que nos conduce esto.

Vamos a nombrar los dos puntos compartidos por A y B.

Podríamos conectar a y B con un segmento, ya que podemos dibujar un segmento entre dos puntos cualesquiera.

Este segmento se superpondría con nuestra recta original entre A y B, ya que son todas líneas rectas y todas ellas incluyen a A y B.

¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en mas de un punto?

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Podríamos extender nuestro segmento AB infinitamente en ambas direcciones, y nuestra nueva recta AB se superpondría con nuestras dos rectas originales infinitamente en ambas direcciones.

Si comparten todos los mismos puntos, son las mismas rectas sólo que con diferentes nombres.

Pero asumimos que las dos rectas originales eran rectas diferentes compartiendo dos puntos.

Rectas intersecantes

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Pero hemos concluido que son la misma recta, no rectas diferentes.

Es imposible para ellas ser rectas diferentes y la misma recta.

De modo que, nuestro supuesto queda demostrado que es falso

y el supuesto contrario debe ser cierto.

Dos rectas diferentes no pueden compartir dos puntos.

Rectas intersecantes¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en más de un punto?

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Q

T

K

R

S

De manera que, dos rectas diferentes:

· no se intersecan en varios puntos

· sólo se intersecan en un sólo punto

F

E

D

C

Rectas intersecantes¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en más de un punto?

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4 ¿Cuál es el máximo número de puntos en los que dos rectas pueden intersecarse?

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5 ¿Cuáles conjuntos de puntos son colineales sobre las rectas dibujadas en este diagrama?

A

CD

B

A A, D, BB C, D, BC A, D, CD ninguno

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6 ¿En qué punto o puntos, las rectas dibujadas se intersecan?

A A y DB A y CC ningunoD D

A

CD

B

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Abajo, el segmento AB se extiende infinitamente, más allá del punto B, para formar una semirrecta AB.

Semirrectas

A B

A Bpunto final punto final

Una semirrecta se forma extendiendo un segmento infinitamente en una única dirección. Tiene un punto en un extremo, su extremo final y se extiende infinitamente en el otro.

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Nombrando semirrectasCuando se nombra una semirrecta, la primera letra es el punto donde la semirrecta comienza y el segundo es otro punto cualquiera sobre la semirrecta.

El orden de las letras sí importa para las semirrectas, mientras que no importa para las rectas. ¿Por qué piensas que el orden de las letras importa para las semirrectas?

A B

A B

Recta AB ó recta BA

Semirrecta AB

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En lugar de la doble flecha que se usa para indicar una recta, en una semirrecta se utiliza una flecha simple.

La flecha apunta desde el extremo de la semirrecta hasta el infinito.

A B

A B

AB ó BA

AB

Nombrando semirrectas

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El segmento AB puede ser extendido en cualquier dirección.

Podemos extenderlo en B para obtener la semirrecta AB.

O podemos extenderlo en A para obtener la semirrecta,BA.

A BAB

A B

A BBA

Nombrando semirrectas

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Las semirrectas AB y BA NO son iguales. ¿Cuál es la diferencia entre ellas?

A BAB

A BBA

Nombrando semirrectas

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A continuación supongamos que el punto C está entre los puntos A y B.

Las semirrectas CA y CB son semirrectas opuestas.

Las semirrectas opuestas se definen como dos semirrectas con un extremo común en direcciones opuestas que forman un ángulo recto.

Semirrectas opuestas

A BC

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Recuerda: Debido a que A, B, y C están ubicados en la misma recta, podemos decir que son puntos colineales.

Similarmente, las semirrectas también son llamadas colineales si están sobre la misma recta.

Semirrectas colineales

A BC

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7 Nombra un punto colinear con G y H.

A

BCDEFGH

C

DG

A

FH

B

E

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8 Nombra un punto colineal con los puntos D y A.

A

BCDEFGH

C

DG

A

FH

B

E

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9 Nombra un punto colineal con los puntos D y E.

A

BCDEFGH

C

DG

A

FH

B

E

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10Nombra un punto colineal con los puntos C y G

A

BCDEFGH

C

DG

A

FH

B

E

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11 Nombra una semirrecta opuesta a la semirrecta MN.

A Semirrecta MQ

B Semirrecta MO

C Semirrecta RO

D Semirrecta PRO

QP

M

TR

N

S

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12 Nombra una semirrecta opuesta a la semirrecta PS.A Semirrecta MQB Semirrecta MOC Semirrecta POD Semirrecta PR

O

QP

M

TR

N

S

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13 Nombra una semirrecta opuesta a la semirrecta PM.A Semirrecta MQB Semirrecta MOC Semirrecta POD Semirrecta PR

O

QP

M

TR

N

S

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14 Las semirrectas HE y HF son iguales.

Verdadero

D

H

g

P

G

E

F

p

Falso

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15 Las semirrectas HE y HP son iguales.

D

H

g

P

G

E

F

p

Verdadero

Falso

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16 Las rectas EH y EF son iguales.

D

H

g

P

G

E

F

p

Verdadero

Falso

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17 La recta p contiene sólo tres puntos.

Verdadero

D

H

g

P

G

E

F

pFalso

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18 Los puntos D, H, y E son colineales.

Verdadero

D

H

g

P

G

E

F

pFalso

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19 Los puntos G, D, y H son colineales.

Verdadero

D

H

g

P

G

E

F

pFalso

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20 ¿Son las semirrectas LJ y JL semirrectas opuestas?

Sí

J

K

L

No

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21 ¿Cuál de las siguientes son semirrectas opuestas?

A semirrectas JK y LKB semirrectas JK y LK

C semirrectas KJ y KLD semirrectas JL y KL

J

K

L

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22 Nombra el punto de origen de la semirrecta AC.

A

B

C

A

B

C

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23 Nombra el punto de origen de la semirrecta BC.

A

B

C

A

B

C

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Planos

Volver a la tabla de contenidos

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Planos

Un plano es una superficie plana que no tiene espesor o altura.

Puede extenderse infinitamente en las direcciones de su largo y ancho al igual que las rectas que están contenidas en él pueden

hacerlo.

Pero no tiene altura en absoluto

Definición 5: A superficie que tiene sólo longitud y ancho.

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Planos

Recuerda que los puntos que están ubicados en la misma recta se llaman puntos colineales.

Con esto en mente, ¿cómo piensas que se llaman los puntos que están sobre el mismo plano?

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Planos

Justamente como los extremos de las rectas son puntos, los lados de los

planos son rectas.

Definición 6: Los lados de una superficie son rectas.

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Planos

Esto indica que la superficie del plano es plana, de modo que las rectas sobre el plano se encontrarán planas sobre él.

Pensando sobre las definiciones de puntos y rectas,¿exactamente cuán plano piensas que es un plano?

Definición 7: Una superficie plana es una superficie que yace uniformemente con las líneas rectas en sí misma.

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Así como lo resolviste anteriormente, los puntos coplanares son puntos que están en el mismo plano.

Puntos coplanares y rectas

Todas las rectas y puntos mostrados aquí son coplanares.

D

F

E

a

A

B C

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Nombrando planos

También pueden ser nombrados con una sola letra, "Plano R."

Los planos pueden ser nombrados por tres puntos cualesquiera que no sean colineales.

Este plano puede ser llamado "Plano KMN," "Plano LKM," ó "Plano KNL."

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Puntos coplanares

Los puntos coplanares descansan sobre el mismo plano.

En este caso, los puntos K, M, y L son coplanares y están en el plano indicado.

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Mientras los puntos O, K, y L no están en el plano indicado, son coplanares entre sí.

¿Puedes imaginar un plano en el que sean coplanares?

¿Puedes dibujarlo sobre la imagen? ¿Cuál sería el nombre para este plano?

Puntos coplanares

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¿Es posible para tres puntos cualesquiera no ser coplanares

entre sí?

Intenta y encuentra 3 puntos sobre este diagrama que no sean coplanares.

Puntos coplanares

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24 ¿Cuántos puntos se necesitan para definir un plano?

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25 ¿Puede haber tres puntos no coplanares sobre un plano cualesquiera?

Sí

No

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26 ¿Puede haber cuatro puntos no coplanares sobre un plano cualesquiera?

Sí

No

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¿Cómo se vería la intersección entre dos planos?

Pista: las paredes y techo de esta habitación podrían representar planos.

Planos intersecantes

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A B

La intersección de esos dos planos es mostrada mediante la recta AB.

Intenta imaginar cómo se intersecarían dos planos en un punto, o de cualquier otra manera que una recta.

Planos intersecantes

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Varios planos definidos por 3 puntos

Imagina o sombrea el Plano BAW en el diagrama de abajo.

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Plano BAW

¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que

puedes nombrar este mismo plano?

Varios planos definidos por 3 puntos

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Imagina o sombrea el Plano AZW en el diagrama de abajo.

Varios planos definidos por 3 puntos

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Plane AZW

¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que

puedes nombrar este mismo plano?

Varios planos definidos por 3 puntos

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Dibuja el plano UYA en el diagrama de abajo.

Varios planos definidos por 3 puntos

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Plano UYA

Varios planos definidos por 3 puntos

¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que

puedes nombrar este mismo plano?

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Imagina o dibuja el Plano ABU en el diagrama de abajo.

Varios planos definidos por 3 puntos

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Plano ABU

Varios planos definidos por 3 puntos

¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que

puedes nombrar este mismo plano?

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27 Nombra el punto que no está en el plano ABC.

A

BCD

A

B

C

D

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28 Nombra el punto que no está en el plano DBC.

A

BCD

A

B

C

D

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29 Nombra dos puntos que estén ambos en los planos indicados.

ABCD

A

B

C

D

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30 Nombra dos puntos que no estén en la recta BC.

ABCD

A

B

C

D

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31 La recta BC no contiene al punto R. ¿Los puntos R, B, y C son colineales? Dibuja la situación si te ayuda.

Sí

No

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32 El plano LMN no contiene al punto P. ¿Los puntos P, M, y N son coplanares?

Sí

No

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33 El plano QRS contiene a la recta QV.¿Los puntos Q, R, S, y V son coplanares? (Dibuja)

Sí

No

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34 El plano JKL no contiene a la recta JN. ¿Los puntos J, K, L, y N son coplanares?Sí

No

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35 La recta BA y la recta DB se intersecan en el punto ____.

ABCDEFGH

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36 ¿Qué grupos de puntos son no coplanares con los puntos A, B, y F sobre el cubo de abajo.

A E, F, B, A

B A, C, G, E

C D, H, G, C

D F, E, G, H

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37 ¿Las rectas EF y CD son coplanares sobre el cubo de abajo?

Sí

No

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38 ¿El plano ABC y el plano DCG se intersecan en _____?A C

B recta DC

C recta CG

D no se intersecan

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39 Los planos ABC, GCD, y EGC se intersecan en _____?

A recta GC B punto A

C punto C

D recta AC

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40 Nombra otro punto que esté en el mismo plano como los puntos E, G, y H.

A

B

C

D

E

F

G

H

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41 Nombra un punto que sea coplanar con los puntos E, F, y C.

A

B

C

D

E

F

G

H

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42 Las rectas intersecantes __________ son coplanares.

A SiempreB Algunas veces C Nunca

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43 Dos planos ____________ se intersecan en exactamente un punto.

A Siempre B Algunas vecesC Nunca

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44 Un plano __________ ser dibujado de modo que tres puntos cualesquiera sean coplanares.

A SiempreB Algunas vecesC Nunca

Slide 132 / 209

45 Un plano que contiene dos puntos de una recta __________ contiene a la recta entera.

A SiempreB Algunas vecesC Nunca

Slide 133 / 209

46 Cuatro puntos ____________ son no coplanares.

A Siempre B Algunas vecesC Nunca

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47 Dos rectas ________________ se encuentran en más de un punto.

A SiempreB Algunas vecesC Nunca

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Congruencia, Distancia y Longitud

Volver a la tabla de contenidos

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Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, en cualquier combinación de traslación, rotación y refexión, de manera que cada parte cualquiera de los objetos se superponga.

Este es el símbolo para congruente:

Si a es congruente con b, se debería representar así:

lo que se lee como "a es congruente con b."

a b

Congruencia

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A partir de esta definición, esto puede ser visto que todas las rectas son congruentes entre sí.

Son infinitamente largas, de modo que tienen la misma longitud.

Si se rotan de modo que cualesquiera dos puntos de ellos se superponen, todos los puntos se superpondrán.

Congruencia

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Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, en cualquier combinación de traslación, rotación y reflexión, de manera que cada parte cualquiera de los objetos se superponga.

Rotando la recta b no hay problema para que se superponga con la recta a.

Congruencia

a b

Slide 139 / 209

Y ellas son infinitamente largas, de modo que tienen la misma longitud.

Además, se superpodrán en cada punto después de que roten y se superpongan en 2 puntos.

Ellas son congruentes.

Congruencia

a b

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¿Lo mismo será verdad para cualesquiera dos semirrectas?

Congruencia

a b

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De nuevo, todas las semirrectas son infinitamente largas, de manera que tienen la misma longitud.

Y una vez que sus vértices y otro punto cualquiera sobre ambas semirrectas se superponen, todos los puntos se superpondrán.

Las dos semirrectas son congruentes.

Congruencia

a

b

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¿Lo mismo será cierto para el segmento todo?

Congruencia

a b

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Si dos segmentos tienen diferentes longitudes no importa cuánto se los rote o mueva, no se superpondrán en cada punto.

Sólo los segmentos que tienen igual longitud son congruentes.

Congruencia

ab

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Mientras que la distancia y la longitud son términos relacionados, también son diferentes.

Traigamos las definiciones de distancia y longitud que muestran como estos términos se relacionan y cómo son diferentes.

Distancia y Longitud

Distancia:

Longitud:

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La distancia se define como cuánto se aleja un punto de otro.

La longitud se define como la distancia entre los dos extremos de un segmento.

Ya que cada segmento tiene un punto en cada extremo, estos son conceptos muy cercanamente relacionados.

Para mostrar la congruencia de los segmentos deben tener la misma longitud.

Distancia y Longitud

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Postulado de la Regla: se puede establecer correspondencia entre los puntos de una recta y los

números reales de manera que a cada punto de la recta corresponde un punto.

Esto puede ser usado para crear una regla a fin de medir longitudes y distancias.

Distancia y Longitud

Slide 147 / 209

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Por ejemplo, podemos indicar que sobre la recta numérica de abajo:

El punto C está localizado en la posición del 0.

El punto E está localizado en +7.

Distancia y Longitud

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Podemos decir que los puntos C y E son 7 de modo que tenemos que mover 7 unidades de medición para ir desde la ubicación 0 hasta la ubicación +7.

También, podemos construir el segmento CE y observar que la longitud es 7.De modo que dos puntos que están apartados en 7 unidades están conectados por un segmento de 7.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Distancia y Longitud

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Cualquier segmento que tiene una longitud de 7 será congruente con el segmento CE, incluso si es necesario que sea rotado o movido para superponerlo.

Todos estos segmentos tienen igual longitud independientemente de la orientación.

Así que, los segmentos CE y EC son congruentes y tienen una longitud de 7.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Distancia y Longitud

Slide 150 / 209

¿Cuál es la distancia de la recta de abajo?

¿Esa respuesta es positiva o negativa?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Distancia y Longitud

Slide 151 / 209

Todas las medidas de distancia y longitud son positivas, independientemente de la dirección y orientación de los puntos con

respecto a otro o a ese segmento.

Dos puntos no pueden apartarse una distancia negativa.

Un segmento no puede tener una longitud negativa.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Distancia y Longitud

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Puedes imaginar que cada número sobre la recta numérica es un paso y la distancia entre dos puntos cualesquiera es justo cuántos

pasos necesitas hacer para llegar de un punto al otro.

En qué dirección caminas a lo largo de la recta no cambia la distancia.

La distancia siempre es un número positivo.

¿Recuerdas un término que usamos en física para describir una distancia que tiene una dirección y podría tener un valor negativo?

Distancia

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 153 / 209

48 ¿Cuál es la ubicación del punto F?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 154 / 209

49 ¿Cuál es la ubicación del punto A?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 155 / 209

50 ¿Cuál es la distancia de A a C?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 156 / 209

51 ¿Cuál es la distancia de B a E?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 157 / 209

52 ¿Cuál es la distancia de B a A?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 158 / 209

Cálculo de la distanciaAlgunas veces es fácil calcular la distancia entre dos puntos más bien que contar los pasos entre ellos.

· Primero, resta la ubicación de los dos puntos

· Luego, toma el valor absoluto de tu respuesta, de manera que sea positiva.

Recuerda, la distancia siempre es positiva.

Si conduces 100 millas, usas la misma cantidad de energía independientemente de en qué dirección conduzcas, sólo cuán lejos conduces es lo que importa.

Slide 159 / 209

Cálculo de distanciaVamos a calcular la distancia entre A y C.

· Primero, nota que A está en -7 y C está en 0

· Luego, resta estos números: -7 - (0) = -7

[Coloca siempre el número que se resta entre paréntesis para asegurarse tener su signo a la derecha]

· Luego toma el valor absoluto: el valor absoluto de -7 es 7.

De manera que la distancia entre A y C es 7.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 160 / 209

Cálculo de distanciaVamos a hacer el mismo cálculo, pero esta vez vamos a revertir como hacemos la resta, vamos a restar A a C.

· Primero observemos que A está en -7 y C está en 0

· Luego, vamos a restar aquellos números: 0 - (-7) = +7

· Luego, tomamos el valor absoluto: el valor absoluto de +7 es 7.

Así que la distancia entre A y C es 7, calculada en ambos sentidos.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 161 / 209

53 ¿Cuál es la distancia entre A y F?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A B C D E F

Slide 162 / 209

54 ¿Cuál es la distancia entre dos puntos si uno está localizado en +125 y el otro en -350?

Slide 163 / 209

55 ¿Cuál es la distancia entre dos puntos si uno está ubicado en -540 y el otro en -180?

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cm

C EA B D

F

Calcula la medida de cada segmento en centímetros.

a.

b.

Ejemplo

CE = 8 - 2 = 6 cm

AB = 1.5 cm

Nota: Cuando se da la medida de segmentos usando un signo igual, no se usa la barra.

Slide 165 / 209

56 Encuentra un segmento de 4 cm de longitud.

ABCD

cm

C EA B D

F

Slide 166 / 209

57 Encuentra un segmento de 6.5 cm de longitud.

ABCD

cm

C EA B D

F

Slide 167 / 209

58 Encuentra un segmento de 3.5 cm de longitud.

ABCD

cm

C EA B D

F

Slide 168 / 209

59 Encuentra un segmento de 2 cm de longitud.AB

C

D

cm

C EA B D

F

Slide 169 / 209

60 Encuentra un segmento de 5.5 cm de longitud.

ABC

D

cm

C EA B D

F

Slide 170 / 209

61 Si el punto F está ubicado en 3.5 cm sobre la regla, ¿cuán lejos estará del punto E?

A 5 cm

B 4 cm

C 3.5 cm

D 4.5 cm

cm

C EA B D

F

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AB BC

AC

Postulado de la adición de segmentos

Si sobre la misma recta hay tres puntos, entonces, uno de ellos debe estar entre los otros dos.

Los dos segmentos más cortos se suman al más largo como se muestra abajo.

CA B

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AB BC

AC

CA B

Suma de segmentos

Si B está entre A y C, entonces AB + BC = AC.

Alternativamente

Si AB + BC = AC, entonces B está entre A y C.

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CA B D E

AB BC CD DE AE++ + =

Suma de Segmentos

Esto funciona para cualquier número de segmentos sobre una recta.

Slide 174 / 209

Ejemplo

CA B D E

AB CD=

BC = 6DE = 5

AE = 27Dado:

BE

CD

Calcula:

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MK= 14x - 56PM= 2x + 4

P está entre K y M sobre una recta.

EjemploColoca nombre a la recta y calcula el valor de x dado que:

PK = x + 17

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Ejemplo

P, B, L, y M son colineales y están en el siguiente orden:

a) P está entre B y M

b) L está entre M y P

Dibuja un diagrama y resuelve para x, dado:

ML = 3x +16

PL = 2x +11

BM = 3x +140

PB = 3x + 13

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62 ¿Cuál es la longitud del segmento AB?

Pista: comienza siempre estos problemas ubicando la información que tienes sobre el diagrama.

CA B D E

Slide 178 / 209

63 ¿Cuál es la longitud del segmento DE?

CA B D E

Slide 179 / 209

64 ¿Cuál es la longitud del segmento CA?

CA B D E

Slide 180 / 209

65 ¿Cuál es la longitud del segmento CE?

CA B D E

Slide 181 / 209

66 ¿Cuál es la longitud del segmento CE?

CA B D E

Slide 182 / 209

67 ¿Cuál es la longitud del segmento DA?

CA B D E

Slide 183 / 209

68 ¿Cuál es la longitud del segmento BE?

CA B D E

Slide 184 / 209

69 X, B, y Y son puntos colineales, con Y entre B y X. Ubica los puntos sobre la recta y resuelve para x, dado:

BX = 6x + 151

XY = 15x - 7

BY = x - 12

YXB

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70 Q, X, y R son puntos colienales, con X entre R y Q. Dibuja un diagrama y resuelve para x, dado:

XQ = 15x + 10 RQ = 2x + 131

XR = 7x +1

QXR

Slide 186 / 209B, K, y V son puntos colineales, con K entre V y B. Dibuja un diagrama y resuelve para x, dado:

KB = 5x BV = 15x + 125

KV = 4x +149

VKB

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Construcciones

y

LociVolver a la tabla de contenidos

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Introducción al Locus

En matemática, un locus está definido como un conjunto de puntos que satisfacen una condición dada.

Muy frecuentemente, estableceremos una condición y resolveremos para el locus de puntos que reúne esa condición.

Esto puede ser hecho algebraicamente, pero puede ser también hecho con el uso de equipo de dibujo tal como recta y compás.

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El círculo como un LocusUn importante ejemplo de un locus es que un conjunto de puntos que equidistantan de un punto cualquiera es un círculo.

El punto del cuál los otros puntso son equidistantes es el centro del círuculo.

La distancia desde el centro es el radio, r, del círculo.

Aprenderemos muhco más sobre los círculos más adelante, pero necesitamos aprender un poco ahora ya que vamos a construirlos.

r

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Euclides y Círculos

Tercer postulado: para describir un círculo se necesita cualquier centro y una distancia.

Este postulado dice que podemos dibujar un círculo de cualquier radio, ubicando su centro en un lugar que se elija.

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Euclides y Círculos

Definición 15: Un círculo es una figura plana contenida en una recta de tal manera que todas las líneas rectas que caen sobre ella desde un punto entre los que se encuentran dentro de la figura son iguales entre sí.

Las líneas rectas referenciadas aquí son los radios que son de igual longitud desde el centro a los puntos que están sobre el círculo.

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Euclides y Círculos

Definición 16: y el punto se llama centro del círculo.

Esto dice que el punto que es equidistante desde todos los puntos sobre el círculo es el centro del círculo.

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Introducción a las Construcciones

Además de un lái, usaremos dos herramientas para construir figuras geométricas: una recta y un compás.

Una regla nos permite dibujar una línea recta entre dos puntos cualquiera.

Un compás nos permite dibujar un círculo.Intenta con el compás de la derecha.Puedes usar el lápiz para rotar el compás.

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centro

r

círculo

La punta afilada de un compás es ubicada en el centro del círculo. El lápiz luego dibuja el círculo.

Para las construcciones, dibujaremos justo una pequeña parte del círculo, un arco. Hacemos esto para tomar ventaja del hecho de que cada punto sobre el arco es equidistante del centro. Podemos dibujar múltiples arcos, si se necesita.

Introducción a las Construcciones

Slide 195 / 209Intenta ésto!

1) Forma un círculo usando el segmento de abajo.

F

E

M

Slide 196 / 209

H

GM

Intenta ésto!

2) Forma un círculo usando el segmento de abajo.

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Construcción de segmentos congruentes

Vamos a usar estas herramientas para armar un segmento CD que es congruente con el segmento dado AB.

Primero haremos esto con una regla y un compás.

BA

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Construcción de segmentos congruentes

Primero, usa la regla para dibujar una recta que sea más larga que AB incluyendo al punto C tal como la recta de abajo.

BA

a

C

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Luego, extiende el compás entre los puntos A y B.

BA

a

C

Construcción de segmentos congruentes

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El compás ahora puede usarse para dibujar un arco con cualquier centro con el radio de AB, ¿cómo piendas que podría usar eso para formar un segmento congruente sobre la recta a con C como un punto de origen?

BA

a

C

Construcción de segmentos congruentes

Slide 201 / 209

Luego, mantiene el compás sin cambiar, ubica su punto en C y haz un arco a lo largo de la recta a. Todos lso puntos sobre el arco están a una distancia AB a partir de C. El punto donde el arco corta la recta, es esa distancia a partir de C y sobre la recta.

a

C

BA

Construcción de segmentos congruentes

Slide 202 / 209

Luego, dibuja el punto D en la intersección del arco y la recta a. El punto D está sobre la recta a una distancia AB a partir de C.

a

C

BA

D

Construcción de segmentos congruentes

Slide 203 / 209

El segmento CD es congruente con el segmento AB y este era nuestro objetivo.

a

C

D

BA

Construcción de segmentos congruentes

Slide 204 / 209

Intenta ésto!

3) Construye un segmento congruente con la recta dada.

L

M

N

Slide 205 / 209

I

JK

Intenta ésto!

4) Construye un segmento congruente con la recta dada.

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Click sobre la imagen de abajo para mirar un video demostrativo de construcción de

segmentos congruentes usando el Software de Geometría Dinámica.

Software de Geometría Dinámica

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Preguntas de muestra para la prueba PARCC

Las restantes diapositivas en esta presentación tienen preguntas PARCC para la prueba de muestra. Después de terminar la unidad 1, deberías ser capaz de resolver estas preguntas. .

Buena suerte!

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72 Los puntos J, K, y L son puntos distintos, y JK = KL. ¿Cuál de estas afirmaciones son ciertas? Selecciona todas las que aplican.

A J, K, y L son coplanares

B J, K, y L son colineales

C K es el punto medio de JL

D JK ≅ KL

E La medida de ∠JKL es 90°.

Pregunta 11/11 Tema: Congruencia, Distancia y Longitud

PARCC Released Question (PBA)

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Pregunta 11/11 Tema: Congruencia, Distancia y Longitud

PARCC Released Question (PBA)

Los puntos J, K, y L son puntos distintos, y JK = KL. ¿Cuál de estas afirmaciones son ciertas? Selecciona todas las que aplican.

A J, K, y L son coplanares

B J, K, y L son colineales

C K es el punto medio de JL

D JK ≅ KL

E La medida de ∠JKL es 90°.