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8ObjetivosEn esta quincena aprenders a:

Geometra del plano

Antes de empezar 1. Rectas. Paralelismo y perpendicularidad ..........................pg. 108 El plano Puntos y rectas Recta, semirrecta y segmento Propiedades de la recta Posiciones relativas Paralelismo Perpendicularidad 2. Mediatriz de un segmento ...............pg. 115 Definicin de mediatriz Construccin de la mediatriz Simetra 3. ngulos. Clasificacin y medida .......pg. 118 Definicin Tipos de ngulos Relaciones entre ngulos Medida de ngulos Sistema sexagesimal 4. Bisectriz de un ngulo ....................pg. 119 Definicin de bisectriz Construccin de la bisectriz 5. Operaciones con ngulos ................pg. 120 Suma de ngulos Resta de ngulos Multiplicacin por un nmero Divisin por un nmero Operaciones en forma compleja Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor

Conocer los elementos del plano. Conocer las rectas y sus propiedades. Manipular rectas y otros elementos relacionados con ellas. Conocer los diferentes tipos de ngulos. Conocer los ngulos y sus propiedades. Medir ngulos y realizar operaciones con ellos. Utilizar recursos para resolver problemas sencillos de geometra plana.

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Geometra del planoAntes de empezarInvestigaEn el juego del billar intervienen muchos elementos de la geometra plana, como puntos, rectas, ngulos, simetras ... Observa en la escena de la derecha como se puede calcular la trayectoria correcta para dar a la bola roja rebotando antes en una o dos bandas. En un tiro directo apuntamos a la bola roja. Si queremos tirar a banda, basta colocar otra mesa de billar imaginaria junto a la nuestra, que contenga una bola roja tambin imaginaria. Esta bola imaginaria es a la que apuntaremos.

BOLAS IMAGINARIAS

MESAS IMAGINARIAS

En un tiro a dos bandas cuadruplicamos nuestra mesa para obtener una mesa real y tres imaginarias. Apuntando a la bola de la mesa que est en la esquina superior derecha, logramos dar a la roja tocando antes en dos bandas. Las rectas, puntos, simetras, ngulos y otros elementos geomtricos son la base del juego del billar. Y de muchas otras cosas!MATEMTICAS 1 ESO

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Geometra del plano1. Rectas. Paralelismo y perpendicularidad.El plano.Desde los inicios de la historia, el ser humano ha intentado representar su entorno visual dibujando los objetos y figuras que lo rodean. Para ello ha necesitado disponer de alguna superficie sobre la que trazar puntos, lneas, crculos u otras figuras. Desde los petroglifos esculpidos en piedra a las pinturas renacentistas o a los modernos planos utilizados en la arquitectura o la ingeniera, disponemos de innumerables ejemplos de representaciones elaboradas sobre superficies ms o menos planas. El plano es por lo tanto un objeto que cobra importancia para la geometra, ya que nos permite representar figuras sobre l.No es difcil disfrutar de la geometra de manera espontnea. Es suficiente con percibir la forma de los objetos con espritu observador para descubrir todo tipo de elementos geomtricos en nuestro entorno ms cercano. Y la geometra nos proporciona adems una fuente inagotable de informacin til.

Puntos y rectas.Dentro del plano distinguimos dos elementos fundamentales, tal y como Euclides, considerado como el primer gran matemtico de la historia, los defini: el punto y la recta. As, podemos identificar una estrella como un punto en el firmamento, la estela dejada por un avin como una recta, y el tablero de nuestra mesa de trabajo como un plano. Es todo lo que necesitamos para empezar a "hacer geometra".

Cuando observamos la va del tren, con sus dos rales paralelos que terminan por unirse en el infinito!, obtenemos una valiosa informacin acerca de la distancia, de la que no dispondramos si visemos los rales como realmente son, es decir, paralelos.

Punto es lo que no tiene longitud ni anchura. Recta es lo que tiene longitud, pero no anchura.

Prueba a buscar toda clase de objetos y propiedades geomtricas a tu alrededor. Seguramente te sorprendern en muchas ocasiones.

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Geometra del planoRecta, semirrecta y segmento.Tomemos dos puntos distintos sobre el plano y unmoslos mediante una lnea. Existen desde luego muchas maneras de hacerlo, pero hay una de ellas que es la ms corta entre todas las posibles. A esta lnea ms corta que une dos puntos la llamamos segmento. Si designamos los dos puntos con las letras A y B, designaremos AB al segmento que los une. As, A y B pasan a ser los extremos del segmento.Entre todas las distintas posibilidades que hay para unir dos puntos, el segmento es especial, por ser el camino ms corto.

Si prolongamos el segmento indefinidamente por ambos extremos, obtenemos una recta. Si prolongamos el segmento AB por uno solo de sus extremos (B por ejemplo) obtenemos una semirrecta. En este caso decimos que el punto A es el origen de esta semirrecta.

Toda recta divide al plano en dos regiones. Cada una es un semiplano.

Propiedades de la recta.Volviendo a Euclides, existen algunas propiedades de la recta que, a pesar de su sencillez, resultan absolutamente esenciales para la geometra. Estas son algunas de ellas:

1 propiedad: Dados dos puntos distintos en un plano, existe una nica recta que los une. 2 propiedad: Toda recta divide al plano en dos regiones, llamadas semiplanos.

Si un punto no pertenece a la recta, entonces estar en alguno de los dos semiplanos determinados por ella.

Dados dos puntos distintos en un plano, existe una nica recta que los contiene.

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Posiciones relativas.Tracemos dos rectas sobre un plano. Pueden ocurrir varios casos distintos. Podra suceder que ambas rectas estn colocadas de manera superpuesta una a la otra. Sera imposible distinguirlas; seran, en definitiva, una misma recta. Decimos que las dos rectas son coincidentes. Si las rectas son distintas, podra ser que no llegaran a tocarse nunca (decimos en este caso que son rectas paralelas) o bien que se toquen en algn punto. En este ltimo caso decimos que son secantes y el punto en que se cortan es nico.Rectas secantesSe cortan en un punto.

Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningn punto y son secantes si se cortan en un nico punto.

Paralelismo.Sabemos ya que dos rectas son paralelas si no tienen ningn punto comn y, como consecuencia de su famoso 5 postulado, Euclides afirm que por cualquier punto exterior a una recta puede trazarse una nica recta paralela a ella. Podemos as trazar paralelas a una recta, utilizando una regla y un comps. El mtodo es el que se describe en la escena contigua. De acuerdo con nuestro Euclides, el paralelismo es uno de los conceptos bsicos de la geometra. Por este motivo, la geometra que estamos descubriendo recibe el nombre de "geometra eucldea".

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una nica recta paralela a ella.

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Perpendicularidad.Dos rectas que se cortan en un punto, dividen al plano en cuatro regiones. Si estas cuatro regiones tienen la misma amplitud, decimos que las dos rectas son perpendiculares. Dada una recta y un punto cualquiera sobre ella, existe una nica recta perpendicular a la primera y que contiene a ese punto. Disponemos de un mtodo para trazar perpendiculares usando regla y comps.Recta que pasa por C y es perpendicular a r

rectas

Dos rectas son perpendiculares si dividen al plano en cuatro regiones de igual amplitud.

EJERCICIOS resueltos1. Traza tres rectas diferentes que contengan a un punto A. Cuntas rectas ms puedes trazar que pasen por ese punto?Sol Por un punto se puede trazar un nmero infinito de rectas distintas.

2.

Traza dos rectas distintas que contengan a la vez a dos puntos A y B. Es esto posible? Explcalo con tus propias palabras.Sol Por dos puntos distintos slo es posible trazar una recta.

3.

Es posible trazar una recta que contenga a los tres puntos A, B y C? Cmo se deben situar los tres puntos para que se pueda trazar una recta que los contenga?Sol No es posible en este caso, ya que por tres puntos distintos se puede trazar una recta siempre que estn alineados.

4.

Representa el segmento AB, una semirrecta con origen en C, una semirrecta con origen en D y que contenga al punto B, una recta que pase por A y una recta que pase por A y por C.Sol Revisa la pgina Recta, semirrecta y segmento.

5.

Traza la recta r que une los puntos A y B. Representa los siguientes puntos: un punto, distinto de A y de B, que pertenezca a la recta; dos puntos que no pertenezcan a la recta y que estn situados en distintos semiplanos.Sol Revisa la pgina Propiedades de la recta.

6.

Indica si las rectas siguientes son coincidentes, paralelas o secantes.Sol Las rectas r y s son paralelas. La recta t es secante con r y con s.

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Geometra del planoEJERCICIOS resueltos7. 8. Representa en tu libreta dos rectas paralelas y otra secante a la recta r.Sol Revisa la pgina Posiciones relativas.

Traza una recta paralela a r y otra paralela a s. Qu figura forman los puntos de corte de las cuatro rectas?Sol Forman un paralelogramo.

9.

Utilizando una regla y un comps, traza una recta paralela a r que pase por el punto C.Sol Revisar la pgina Paralelismo.

10.

En la figura del ejercicio anterior traza una nueva recta paralela a r. Cmo son entre s las dos rectas trazadas?Sol Las tres rectas son paralelas.

11.

Utilizando una regla y un comps, traza una recta s que sea perpendicular a r y que pase por el punto C.Sol Revisar la pgina Perpendicularidad.

12.

Sobre la recta s construida en el ejercicio anterior, marca un punto D que no est en r y traza otra recta perpendicular a s que pase por el punto D. Qu relacin existe entre la recta r y esta ltima que acabas de representar?Sol Son paralelas.

13.

Traza tres rectas perpendiculares a la recta r. Cmo son entre s estas tres rectas?Sol Todas las rectas perpendiculares a r son paralelas entre s.

Aqu tienes ejemplos de trazado con regla y comps. En las pginas correspondientes dispones de un vdeo en el que se muestran ambas construcciones.

Paralela por un punto

Perpendicular por un punto

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Geometra del plano2. Mediatriz de un segmento.Definicin de mediatriz.Dados dos puntos A y B, podemos construir el segmento AB que los une. Se llama mediatriz del segmento AB a la recta que es perpendicular a este segmento y que pasa por su punto medio. La mediatriz divide al segmento AB en otros dos segmentos de igual longitud. La recta mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos extremos del segmento AB es la misma. La mediatriz es perpendicular al segmento AB y lo divide en dos partes iguales.

Construccin de la mediatriz.Vamos a construir la mediatriz de un segmento utilizando, como en casos anteriores, la regla y el comps. Para ello representa dos puntos y traza el segmento que los une utilizando la regla. Coloca el comps sobre uno de los extremos del segmento y brelo para que coincida con el otro extremo. Traza as una circunferencia. Haz la misma operacin apoyando el comps sobre el otro extremo. Une ahora los puntos donde se cortan las dos circunferencias que acabas de trazar. El nuevo segmento es perpendicular al inicial y si lo prolongas obtendrs la recta mediatriz que buscabas.

Mediatriz de un segmento

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Geometra del plano

Simetra.Dada una recta y un punto C que no pertenezca a ella, vamos a buscar otro punto C' con la condicin de que la recta sea la mediatriz del segmento CC'. El punto C' as buscado se llamar simtrico de C y la recta se llamar eje de simetra. Este tipo de simetra se denomina reflexin y se puede aplicar a cualquier figura geomtrica. Para ello representamos los simtricos de todos los vrtices de la figura original y obtenemos as otra figura simtrica a la primera. La reflexin produce figuras simtricas de forma similar a como acta un espejo.

Simtrico de un punto

EJERCICIOS resueltos14. 15. Con regla y comps traza el segmento AB y su mediatriz.Sol Revisa la pgina Construccin de la mediatriz.

Sobre la mediatriz trazada en el ejercicio anterior, marca un punto cualquiera y mide la distancia entre este punto y los dos extremos del segmento inicial. Qu observas en el resultado obtenido?Sol La distancia de cualquier punto de la mediatriz a uno u otro extremo del segmento es la misma.

16.

Traza el segmento que une los puntos A y B. Localiza los puntos simtricos de A y B con respecto a la recta r y nelos mediante un segmento. Qu relacin existe entre los dos segmentos?Sol Son segmentos simtricos con respecto a la recta r y su longitud es la misma.

17.

Realiza el mismo ejercicio anterior, partiendo del tringulo de vrtices A, B y C. Qe se obtiene?Sol La figura obtenida es otro tringulo simtrico al original.

18.

Representa la figura simtrica de la que aparece a continuacin.Sol Revisa la pgina Simetra.

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Geometra del plano3. ngulos. Clasificacin y medida.Definicin de ngulo.Piensa en un plano sin bordes, o lo que es lo mismo, ilimitado. Representa un punto A, al que llamaremos vrtice, y traza dos semirrectas con origen en este punto, a las que llamaremos lados. El plano queda as dividido en dos regiones que comparten el vrtice y los lados. Cada una de estas regiones se llama ngulo. Resulta evidente que las dos regiones pueden tener distinto tamao. Llamaremos amplitud del ngulo al tamao de cada una de ellas. Atendiendo a ella, identificaremos distintos tipos de ngulos, estableceremos relaciones entre ellos y mediremos las amplitudes. Llamamos ngulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.

AGUDO

Tipos de ngulos.Por su amplitud clasificamos los ngulos en: RECTO

OBTUSO

ngulo recto: es el comprendido entre dos semirrectas perpendiculares. ngulo llano: es el que resulta al trazar dos semirrectas de igual origen y sentido opuesto. ngulo nulo: es el que resulta al trazar dos semirrectas con igual origen e idntico sentido.

Por comparacin con el ngulo recto: Un ngulo es agudo si es de menor amplitud que el ngulo recto. Es obtuso si tiene mayor amplitud que un recto y menor que un llano. Por comparacin con el ngulo llano: Un ngulo es convexo si es de menor amplitud que el ngulo llano. Es cncavo si su amplitud es mayor que la del ngulo llano.

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Geometra del planoRelaciones entre ngulos.Decimos que dos ngulos son consecutivos si tienen el vrtice y un lado en comn y decimos que son iguales si tienen la misma amplitud. Dos ngulos son complementarios si en posicin de consecutivos equivalen a un recto. Dos ngulos son suplementarios si en posicin de consecutivos equivalen a un llano. Dos rectas que se cortan en un punto determinan cuatro ngulos que son iguales dos a dos. Decimos en este caso que los pares de ngulos de la misma amplitud son opuestos por el vrtice. Dos ngulos complementarios equivalen a uno recto. Dos ngulos suplementarios equivalen a uno llano.ngulos complementarios

ngulos suplementarios

Medida de ngulos.Para medir la amplitud de un ngulo utilizaremos como unidad el grado, representado por el smbolo "". Asignamos al ngulo nulo una amplitud de 0 y al ngulo recto una amplitud de 90. Dos ngulos rectos equivalen a uno llano, que tendr por tanto una amplitud de 180. Y cuatro ngulos rectos (o dos llanos) ocupan todo el plano, cuya amplitud ser de 360. El resto de los ngulos se medirn por comparacin con estos. Por ejemplo, si dividimos un recto en dos ngulos iguales, obtendremos dos ngulos de 45. Si dividimos en cambio un recto en tres partes iguales, obtendremos tres ngulos de 30.como unidad el grado, representado por el smbolo "". Asignamos al ngulo nulo una amplitud de 0 y al ngulo recto una amplitud de 90. Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales obtenemos un grado.

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Geometra del plano

Sistema sexagesimal.Para medir la amplitud de ngulos con mayor precisin se utiliza el sistema sexagesimal. Este sistema consiste en dividir un grado en 60 partes iguales. A cada una de estas divisiones la llamamos minuto, de manera que cada grado contiene 60 minutos. De igual forma, cada minuto se divide en 60 partes iguales para obtener un segundo y obtenemos la siguiente equivalencia: 1 grado = 60 minutos = 3 600 segundos

Utilizando este sistema de medida diremos, por ejemplo, que la amplitud de un ngulo es 25 grados, 31 minutos y 7 segundos, y lo escribiremos as:

25 31' 7'' EJERCICIOS resueltos19. Indica sobre la figura el vrtice, los lados y los angulos que se observan.Sol Revisa la pgina Definicin de ngulo.

20.

Indica sobre la figura si estos ngulos son agudos, rectos, obtusos o llanos.Sol El ngulo a es llano, b es agudo, c es recto y d es obtuso.

21.

Representa utilizando los instrumentos de dibujo un ngulo recto, un ngulo llano, un ngulo nulo, un ngulo agudo, un ngulo obtuso, un ngulo cncavo y un ngulo convexo.Sol Revisa la pgina Tipos de ngulos.

22.

Representa sobre el vrtice B un ngulo igual al que aparece en la figura.Sol Construye sobre el punto B dos semirrectas paralelas a cada uno de los lados del ngulos original.

23.

Representa sobre el vrtice B un ngulo igual al ngulo DEF y que sea consecutivo al ngulo ABC.Sol Utiliza el transportador de ngulos.

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Geometra del planoEJERCICIOS resueltos24. Indica cules de los ngulos que aparecen en la figura son complementarios y cules suplementarios.Sol Son complementarios los ngulos de 37 y 53 porque suman un recto; son suplementarios los ngulos de 115 y 75 porque suman un llano.

25.

Seala en la figura los ngulos que tienen la misma amplitud. Qu nombre reciben estos ngulos?Sol Decimos que son iguales los ngulos que tienen la misma amplitud. En ela figura, los ngulos a y e son iguales (son rectos) y los ngulos b y d tambin son iguales.

26.

Representa utilizando los instrumentos de dibujo los ngulos de las siguientes amplitudes: 30, 60, 90, 45, 10, 135 y 240.Sol Revisa la pgina Medida de ngulos.

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Geometra del plano4. Definicin de bisectriz.Definicin de bisectriz.Tomemos un ngulo de vrtice A y lados m y n. Tracemos una nueva semirrecta con origen A y que divida al ngulo en otros dos que sean iguales. Esta semirrecta recibe el nombre de bisectriz del ngulo. La bisectriz tiene la siguiente propiedad: cualquier punto de la bisectriz est a igual distancia de los dos lados del ngulo. La bisectriz divide un ngulo en otros dos iguales.

Construccin de la bisectriz.Los instrumentos bsicos de la geometra plana permiten trazar la bisectriz de un ngulo. Traza dos semirrectas con un mismo origen, que ser el vrtice A del ngulo. Coloca el comps sobre A y traza un arco de circunferencia que corte a los dos lados, en los puntos B y C. Traza otros dos arcos, uno de centro B y radio C y el segundo con centro C y radio B. Une por fin el vrtice A con el punto donde se cortan los dos arcos que acabas de trazar y obtendrs la bisectriz del ngulo.

Bisectriz de un ngulo

EJERCICIOS resueltos27. Indica sobre la figura cual es la bisectriz de los ngulos representados. Sol 28. 29. Las bisectrices son respectivamente. las rectas b, d y f,

Traza sobre la figura la bisectriz del ngulo representado. Sol Revisa la pgina Construccin de la bisectriz. Traza las bisectrices de los dos ngulos consecutivos que aparecen en la figura. Qu relacin guardan entre s estas dos bisectrices? Sol Si los ngulos son suplementarios, como en este caso, las dos bisectrices son perpendiculares entre s.

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Geometra del plano5. Operaciones con ngulos.Suma de ngulos.Dos o ms ngulos pueden sumarse para formar otro. La operacin suma de ngulos se realiza tanto grficamente como analticamente. La suma grfica se realiza colocando los ngulos en posicin de consecutivos, es decir, compartiendo el vrtice y un lado, para dar lugar a otro ngulo que comprende a ambos. Analticamente, la operacin se realiza sumando las amplitudes de los ngulos para obtener la amplitud del ngulo resultante. La suma analtica de ngulos se realiza sumando las amplitudes de cada uno de ellos.

EJEMPLO

138 + 97 = 235

Resta de ngulos.La resta o diferencia de ngulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: grfica y analtica. Grficamente, basta colocar los dos ngulos de manera que compartan el vrtice y un lado. As, el ngulo mayor comprende al menor, y el exceso es la diferencia entre ambos. La resta analtica se realiza restando la amplitud del ngulo menor de la del mayor. Para restar analticamente dos ngulos calculamos la diferencia entre el ngulo mayor y el menor.EJEMPLO

253 166 = 87

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Geometra del planoMultiplicacin por un nmero.Multiplicar un ngulo por un nmero natural equivale a sumar el ngulo consigo mismo tantas veces como indique el nmero. Para multiplicar grficamente un ngulo por un nmero natural basta colocar el ngulo en posicin de consecutivo consigo mismo tantas veces como indique el nmero. La operacin analtica de multiplicar se realiza multiplicando el nmero por la amplitud del ngulo.EJEMPLO

7 46 = 322

Para multiplicar analticamente un ngulo por un nmero natural multiplicamos el nmero por la amplitud del ngulo correspondiente.

Divisin por un nmero.La divisin de un ngulo por un nmero natural consiste en repartir el ngulo en tantas partes iguales como nos indique el nmero. La divisin se realiza de forma analtica dividiendo la amplitud del ngulo entre el nmero natural correspondiente. La divisin grfica resulta compleja ya que no siempre se puede hacer con regla y comps. Esto sucede, por ejemplo, con la divisin de un ngulo en tres partes iguales (el famoso problema de la triseccin del ngulo), imposible para la mayor parte de los ngulos. En cambio, siempre es posible calcular la divisin de un ngulo en dos partes iguales grficamente, cosa que ya hemos hecho cuando aprendimos a trazar la bisectriz de un ngulo.

EJEMPLO

253 : 11 = 23En el caso de que no sea exacta, necesitamos ms herramientas matemticas para calcular el resultado de la divisin. Alguna de estas herramientas se explica en el siguiente apartado.

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Geometra del planoOperaciones en forma compleja.Para operar con ngulos expresados en forma compleja (grados, minutos y segundos), daremos los pasos que se describen en la escena, recordando que 1 grado equivale a 60 minutos (1=60') y que 1 minuto equivale a 60 segundos (1'=60''). As, y siempre que sea necesario y posible, podremos agrupar 60 segundos para obtener un minuto, o bien 60 minutos para obtener un grado. De igual forma, si es necesario, podremos transformar un grado en 60 minutos o un minuto en 60 segundos. En forma compleja se operan por separado los grados, minutos y segundos.

SUMA de compleja

ngulos

en

forma

En primer lugar sumaremos los segundos. Si esta suma es igual o superior a 60'', llevaremos un minuto y anotaremos los segundos restantes. Para los minutos realizaremos la misma operacin, contando con el que hemos llevado en el paso anterior. En el caso de que tengamos 60 o ms minutos, llevaremos un grado. Finalmente sumaremos los grados, contando con el que nos hemos llevado, de ser el caso. RESTA de compleja ngulos en forma

El mtodo para la resta comienza tambin por los segundos. Si en el minuendo tenemos un nmero suficiente de segundos, restamos los que hay en el sustraendo. En caso contrario, deberemos "traer" un minuto del minuendo y convertirlo en 60''. De esta forma reunimos una cantidad suficiente de segundos en el minuendo y restamos de manera natural. El proceso se repite ahora con los minutos, teniendo en cuenta que si hemos necesitado convertir en segundos, tendremos ya un minuto menos en el minuendo. Si los minutos que nos quedan en el minuendo son suficientes procedemos a la resta. Si no es as, deberemos traer un grado, que equivale a 60'. Finalmente restamos los grados, descontando, en su caso, el que hayamos llevado anteriormente.

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Geometra del planoMULTIPLICACIN de ngulos por un nmero Comenzamos multiplicando los segundos, minutos y grados por separado. Una vez obtenidos estos productos, agrupamos los segundos de 60 en 60. Cada grupo que obtengamos representa un minuto ms a aadir a los minutos resultantes de la multiplicacin. Una vez hecho esto, repetimos el proceso con los minutos que hemos obtenido, agrupndolos de 60 en 60. Cada uno de estos grupos ser un grado que aadiremos a los grados que hayan resultado de la multiplicacin. DIVISIN de ngulos por un nmero Empezamos esta vez por los grados, dividindolos de forma natural. El resto de esta primera divisin, se convertir en minutos que se aadirn a los que tengamos para dividir. Hecho esto, procedemos a la divisin de los minutos. De igual forma que antes, el resto de la divisin de los minutos habr de convertirse en segundos y aadirlo a los que haya inicialmente, antes de pasar a su divisin. El resto de esta ltima fase es el resto final de la operacin de dividir.

EJERCICIOS resueltos30. Clcula de forma grfica y analtica la suma de los ngulos de 110 y 40.Sol Para la suma grfica revisa la pgina Suma de ngulos. La suma analtica es 110 +40 = 150 .

31.

Calcula de forma grfica y analtica la resta de los ngulos de 163 y 34.Sol Para la resta grfica revisa la pgina Resta de ngulos. La resta analtica es 163 +34 = 29 .

32.

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con ngulos: a. 73 36 , b. 28 (123 118 ) , c. 2 72 +3 15 , d. 90 : 5 , e. 130 2 20 +(180 60 ) : 3Sol a. 73 36 = 37 , b. 28 (123 118 ) = 23 , c. d. 90 : 5 = 18 , e. 130 2 20 + (180 60 ) : 3 = 150

2 72 +3 15 = 189 ,

33.

Calcula el ngulo que describe el minutero de un reloj cuando pasa de las 3:20 a las 4:00.Sol El minutero d una vuelta completa, es decir 360, en una hora, que equivale a 6 cada minuto, as que en 40 minutos describe un ngulo de 240.

34.

Calcula el ngulo que describe la aguja horaria de un reloj en los siguientes casos: las 2:00 y las 2:47 y entre las 2:34 y las 7:11.Sol La aguja horaria avanza 30 por hora, que equivale a medio grado cada minuto. Con esta relacin y teniendo en cuenta el ejercicio anterior, los ngulos descritos son90, 30, 15, 23 30' y 138 30', respectivamente.

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Geometra del planoPara practicar

1.

Si dos rectas tienen un punto en comn cul es su posicin relativa? Y si son dos puntos comunes? Y si no tienen ninguno? Si m es la mediatriz del segmento AB y D es un punto de la recta m cul es la distancia de D a A, sabiendo que la distancia de D a B es 5,52 ? Clasifica los ngulos de 0, 45, 90, 135, 180 y 225 segn su amplitud y segn su comparacin con los ngulos agudo y llano. Dado un ngulo de amplitud 37 cul es la amplitud de su complementario? Y la de su suplementario? De qu amplitud son los cuatro ngulos que se obtienen al trazar la recta bisectriz de un ngulo de 170? Realiza la siguiente operacin con ngulos: 95 +124 24 Realiza la siguiente operacin con ngulos: 3 27 +5 19 Realiza la siguiente divisin: 52 : 4

9. 10. 11. 12. 13.

Realiza la siguiente operacin: 128 28' 23' ' + 91 32' 49' ' Realiza la siguiente operacin: 330 32' 43' ' 83 56' 47' ' Realiza la siguiente 31 38' 9' ' 7 Realiza la siguiente 117 15' 34' ' : 8 operacin: operacin:

2.

3.

4.

Realiza con regla y comps la construccin geomtrica de una recta perpendicular a otra. Realiza con regla y comps la construccin geomtrica de una recta paralela a otra. Realiza con regla y comps construccin geomtrica de mediatriz de un segmento. Realiza con regla y comps construccin geomtrica de bisectriz de un ngulo. la la la la

14.

5.

15.

6. 7. 8.

16.

17.

Realiza con regla y comps la construccin geomtrica del punto simtrico con respecto a una recta.

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Geometra del planoPara saber ms

El maestro Euclides

E

uclides est considerado como el primer gran matemtico de la historia. El motivo? Ser el primero en organizar un discurso matemtico, partiendo de casi nada, y utilizando de forma estricta el razonamiento matemtico, mtodo cientfico que caracteriza de manera esencial a la matemtica frente a otras disciplinas cientficas.

Su gran aportacin son los "Elementos de Geometra", libro organizado en trece tomos en el que, sobre las ideas fundamentales de punto, recta, superficie y ngulo, establece sus famosos cinco postulados. Con pocas herramientas fue capaz de recoger gran parte de los conocimientos geomtricos existentes hasta nuestros das. Todo lo que sabemos acerca de ngulos y rectas, figuras planas como tringulos y circunferencias, paralelismo y perpendicularidad, reas y muchsimo ms fue completamente terminado por l.

Hasta que en el siglo XIX algunos grandes nombres de la matemtica moderna pudieron ampliar el horizonte que haba marcado Euclides. Para ello eliminaron el famoso 5 postulado de Euclides, conocido tambin como "Postulado de las paralelas", y se sumergieron en mundos geomtricos completamente nuevos, en los que las rectas paralelas se encuentran, o en los que la suma de los ngulos de un tringulo no es 180. Muchas personas sintieron vrtigo ante estos extraos mundos, hasta que pasado algn tiempo nos fuimos dando cuenta de que, en algunos casos, se parecen ms al nuestro de lo que parece. Si deseas ms informacin, puedes buscar los nombres de Riemann, Lobatchevski, Bolyai o Gauss, responsables en gran medida de la evolucin de la geometra hacia nuevas metas que guardan una relacin directa con las ms modernas teoras sobre el origen del Universo. Abrchense los cinturones!

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Geometra del planoRecuerda lo ms importante

RectasLos elementos fundamentales de la geometra plana son los puntos y las rectas. La linea recta es la ms corta entre dos puntos. Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningn punto y son secantes si se cortan en un punto. Dos rectas son perpendiculares si dividen al plano en cuatro regiones de la misma amplitud.Mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a este segmento y que lo corta en dos partes iguales.

ngulosngulo es cada una de las dos regiones en que dos semirrectas con el mismo origen dividen al plano. Los ngulos pueden clasificarse con arreglo a distintos criterios:

con relacin a su amplitud: recto, llano, nulo; en comparacin con el ngulo recto: agudo, obtuso; en comparacin con el ngulo llano: cncavo, convexo.

Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales se obtiene un grado. As, la circunferencia completa mide 360, el ngulo recto mide 90 y el llano mide 180. Se llama bisectriz de un ngulo a la semirrecta que lo divide en dos partes iguales. La suma y resta de ngulos se realiza sumando o restando las amplitudes de cada uno de ellos.

Se dice que dos puntos A y B son simtricos con respecto a una recta, si esta recta es la mediatriz del segmento AB.

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MATEMTICAS 1 ESO

Geometra del planoAutoevaluacin

1.

Relaciona cada elemento con su nombre correspondiente.

2.

Indica la posicin relativa de los pares de rectas.

3. 4. 5.

Si una recta es perpendicular a otras dos rectas, cmo son estas dos rectas entre s? Cmo se llama la recta perpendicular a un segmento y que lo divide en dos partes iguales? Seala el punto simtrico de A con respecto a cada uno de los ejes r, s y t.

6. 7. 8. 9. 10.

En cuntos ngulos queda dividido el plano al trazar dos rectas secantes? Calcula la amplitud del complementario y del suplementario del ngulo de 64. Cmo son entre s las bisectrices de dos ngulos suplementarios? Calcula el resultado de sumar los ngulos de 17, 36 y 42. Calcula el resultado de la operacin con ngulos que se indica: 2 138 (53 + 16 )

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Geometra del planoSoluciones de los ejercicios para practicar1.

Las rectas son secantes si tienen un punto en comn, coincidentes si tienen dos puntos en comn o paralelas si no tienen ninguno. La distancia del punto D a A es la misma que de D a B. En este caso esa distancia es d(D, A ) = 5,52 . La clasificacin es: 0 ...... Nulo ....... Agudo..... Convexo 45 .... Agudo .... Convexo 90 .... Recto ..... Convexo 135 .. Obtuso ... Convexo 180 .. Llano 225 .. Cncavo El complementario de 37 es 53 y el suplementario 143. Se obtienen dos ngulos de 85 y otros dos de 95. 95 +124 24 = 195

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

3 27 +5 19 = 17652 : 4 = 13

El resultado es 220 1' 12' ' . El resultado es 246 35' 56' ' . El resultado es 221 27' 3' ' . El resultado resto 6' ' . es14 39' 26' '

2.

3.

y

Revisa el video de la construccin de la perpendicular. Revisa el video de la construccin de la paralela. Revisa el video de la construccin de la mediatriz. Revisa el video de la construccin de la bisectriz. Revisa el video de la construccin del punto simtrico.

4. 5. 6.

Soluciones AUTOEVALUACIN1. a. semirrecta; b. segmento; c. recta. 2. a. paralelas; b. coincidentes; c. secantes. 3. Son paralelas. 4. Mediatriz. 5. Lospuntos simtricos son los representados en los colores que se corresponden con cada recta.No olvides enviar las actividades al tutor

6. En cuatro. 7. Elcomplementario es suplementario es 116. 26 y el

8. Son perpendiculares. 9. El resultado de la suma es 95. 10. 2 138 (53 + 16 ) = 207 .

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