DEFINICIONESPUNTO COLINEALES Tres o más puntos son colineales si y solo si

pertenecen a la misma recta. Tres o más puntos son coplanarios si hay un

plano que los contiene a todos. Tres o más rectas son coplanarios cuando están

contenidas en el mismo planoCONJUNTO: Termino indefinibleELEMENTO: Termino indefinibleRECTA: Termino indefiniblePLANO: Termino indefiniblePUNTO: Termino indefinibleTEOREMA: Es una preposición que se demuestra a partir de los axiomasAXIOMA: proposición que se asume como verdaderaDEFINICION 1: una correspondencia como la descrita en el axioma de la regla se llama un sistema de coordenadas. El número correspondiente a un punto dado se llama coordenada del punto.DEFINICION ESTAR ENTRESean A, B y C tres puntos cualesquiera el punto B esta entre A y C, si cumple: A, B y C son puntos distintos y colineales AB+BC=ACDEFINICION DE SEGMENTOPara dos puntos cualesquiera A y B el segmento AB se

denota AB. Y es el conjunto de puntos A y B y de

todos los puntos que están entre A y B. los puntos A y B se llaman extremos del segmento.DEFINICION DE RAYO

Sean A y B los puntos de una recta L el rayo AB es

el conjunto de puntos que es la reunión de:

El segmento AB El conjunto de todos los punto C para los cuales

es cierto que B esta entre A y C.DEFINICION DE RAYOS OPUESTOS

Si A esta entre B y C en la recta L, entonces los rayos

AB y AC se llaman rayos opuestos.

DEFINICION: Dados los puntos A y B distintos se puede determinar por lo menos seis figuras geométricas y un número.DEFINICION DE PUNTO MEDIO

Un punto B se llama el punto medio de AC si

cumple: B esta entre A y C La distancia entre AB debe ser igual a la distancia

entre BCDEFINICION: El punto medio de un segmento biseca al segmentoDEFINICION CONJUNTO CONVEXO: un conjunto A se llama convexo si para cada dos puntos P y Q de A el

segmento PQ está en A.

DEFINICION

Dada una recta L y un plano E que la contiene, los dos

conjuntos determinados por el axioma de separación e

planos se llaman semiplanos o lados de la recta L, y la

recta L se llama la arista o el borde de cada uno de

ellos.Si P esta en uno de los semiplanos y Q está en el otro, entonces decimos que P y Q están en lados opuestos de él.DEFINICIONLos dos conjuntos determinados por el axioma de separación del espacio se llaman semiespacios y el plano dado se llama la cara de cada uno de ellos.DEFINICION DE ANGULOSi dos rayos tienen el mismo origen o extremo pero no están en la misma recta entonces su reunión es un ángulo. Los rayos se llaman los lados del ángulo y el

extremo común se llama el vértice. Si los rayos AB y

BC son los lados de un ángulo entonces el ángulo se

denota: BACDEFINICION

Sea el ángulo BAC en un plano E, un punto P, está

en el interior del ángulo BAC, si cumple:

P y B están del mismo lado de la recta AC P y C están de mismo lado de la recta ABDEFINICION

El exterior del ángulo BAC es el conjunto de todos

los puntos del plano E que no están en el ángulo y que tampoco están en su interior.DEFINCION

El número real dado por el axioma de la medida de

ángulo se llama medida del ángulo BAC y se denota

m BAC .

DEFINICION

Si el rayo AB y el rayo ADson rayos opuestos y el

rayo AC es otro rayo cualquiera, entonces el

BAC y el CAD forman un par lineal.

DEFINICIONSi la suma de las medidas de dos ángulos es 180 entonces los ángulos son suplementarios. A cada uno de los ángulos se le llama el suplemento del otro.DEFINICIONSi los ángulos de un par lineal tienen la misma medida entonces cada uno e llama ángulo recto.DEFINICIONUn ángulo recto es un ángulo cuya medida es 90DEFINICIONSi dos rectas o dos rayos o dos segmentos o una recta y un rayo, o una recta y un segmento, o un rayo y un segmento, forman un ángulo recto, entonces se llaman

perpendiculares y se denota. AB ┴ CDDEFINICIONSi la suma de las medidas de dos ángulos es 90 , se dice que los ángulos son complementarios y cada uno de los ángulos se llama el complemento del otro.DEFINICIONUn ángulo con medida menor que 90 se llama ángulo agudo.DEFINICIONUn ángulo con medida mayor que 90 se llama un ángulo obtuso.DEFINICIONDos ángulos con la misma medida se llaman ángulos

congruentes y se denota BAC≅ DFE,

mBAC=mDFE .

DEFINICIONDos segmentos con la misma medida se llaman

segmentos congruentes y se denota.PQ=MR , Si

y solo si PQ≅ MR.

DEFINICIONDos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos.DEFINICIONSi A, B, y C son tres puntos cualesquiera no colineales,

entonces la reunión de los segmentos AB, BC y

AC se llaman un triángulo.Se denota ΔABC, los puntos A, B y C se llaman los

vértices del triángulo y los segmentos AB, BC y

AC se llaman los lados del triángulo.DEFINICIONTodo triangulo ΔABC, determina tres ángulos, el ángulo

BAC , ACB, CBA y estos ángulos se llaman

los ángulos del triángulo ΔABC.DEFINICIONUn punto está en el interior de un triángulo, si está en el interior de cada uno de los ángulos del triángulo.DEFINICIONUn punto está en el exterior de un triángulo si está en el plano del triángulo, pero no está en el triángulo o en su interior.DEFINICION DE CONGRUENCIADos triángulos son congruentes si los pares de lados correspondientes son congruentes y los pares de ángulos correspondientes son congruentes.DEFINICIONUn lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son los extremos del segmento.DEFINICIONUn ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los lados del triángulo que están en los lados del ángulo.DEFINICION DE BISECTRIZ

Si D está en el interior del ángulo BAC y el ángulo

BAD≅ DAC , entonces AD biseca a ángulo

BAC y al AD , se llama la bisectriz del ángulo

BAC.

DEFINICION DE TRIANGULO ISOSCELESun triangulo con dos lado congruentes se llama isosceles

AXIOMASAXIOMA DE LA RECTAPor dos puntos distintos cualesquiera pasa una y solo una recta.AXIOMA 1 Una recta contiene por lo menos dos puntos Todo plano contiene al menos 3 puntos no

colineales El espacio contiene al menos 4 puntos que no

son coplanariosAXIOMA DEL PLANO Tres o más puntos distintos cualesquiera están al

menos en un plano Para cada tres puntos distintos cualesquiera no

colineales, existe uno y solo un plano que los contiene a los tres.

AXIOMA 2Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en el mismo plano.AXIOMA 3Si dos planos diferentes se intersecan, entonces su intersección es una única recta.AXIOMA DE LA REGLAPodemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales de manera que: A cada punto le corresponde exactamente un

número real A cada número real le corresponde exactamente

un punto. La distancia entre dos puntos cualesquiera es el

valor absoluto de la diferencia entre los números correspondientes

AXIOMA DE COLOCACION DE LA REGLADado dos puntos P y Q de una recta, se puede escoger un sistema de coordenadas de manera que la coordenada de P sea cero y la coordenada de Q sea un número positivoAXIOMA DE SEPARACION DEL PLANO:Se da una recta en un plano que la contiene, los puntos del plano que no están en la recta forman dos conjuntos tales: Cada uno de los conjuntos es convexo Si P está en uno de los conjuntos y Q en el otro

entonces e segmento PQ interseca a la recta.

AXIOMA DE SEPARACION DEL ESPACIO:Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos tales que: Los conjuntos son convexos Si P esta en uno de los conjuntos y Q está en el

otro, entonces el segmento PQ interseca al

planoAXIOMA DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO

A cada ángulo BAC le corresponde un número real

entre 0 y 180.AXIOMA DE LA CONSTRUCCION DEL ÁNGULO

Sea AB un rayo de la arista del semiplano H. Para

cada número r entre 0 y 180 hay exactamente un rayo

AP , con P en H, tal que mPAB=rAXIOMA DE LA ADICION DE ANGULOS

Si un punto D esta al interior del ángulo BAC ,

entonces la meda del ángulo mBACes igual a la

medida del ángulo mCAD mas la medida del

ángulo mDABAXIOMA DEL SUPLEMENTOSi dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios.AXIOMA LADO ANGULO LADO (LAL)Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes dos lados y el angulo comprendido por ellos.AXIOMA ANGULO LADO ANGULO (ALA)Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes un lado y los angulos comprendidos por este.AXIOMA LADO LADO LADO (LLL)Dos triángulos son congruentes cuando tienen los tres lados de uno respectivamente congruentes con los tres lados del otro.

TEOREMASTEOREMA 1: si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene solo un punto.TEOREMA 2: si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección contiene un solo punto.TEOREMA 3: si un punto p se encuentra fuera de una recta, entonces uno y solo un plano contiene a la recta y al punto.TEOREMA 4: si dos rectas diferentes se cortan, entonces hay uno y solo un plano que las contiene

TEOREMA DE LOCALIZACION DE PUNTOS: sea el

rayo AB y un número X positivo, entonces existe

exactamente un punto P del rayo AB tal que la

distancia AP es igual a X.TEOREMA 5: todo segmento tiene exactamente un punto medio.TEOREMATodo ángulo es congruente consigo mismo.TEOREMASi dos ángulos son complementarios entonces ambos son agudos.TEOREMADos ángulos rectos cualesquiera son congruentes.TEOREMASi dos ángulos son a la vez congruentes y suplementarios, entonces cada uno de ellos es un ángulo recto.TEOREMALos suplementos de ángulos congruentes son congruentes.TEOREMALos complementos de ángulos congruentes son congruentes.TEOREMALos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.TEOREMASi dos rectas se cortan formando un ángulo recto entonces se forman 4 ángulos rectos.TEOREMATodo ángulo tiene exactamente una bisectriz TEOREMA DEL TRIANGULO ISOSCELESSi dos lados de un triangulo son congruentes, entonces los angulos opuestos a estos lados son congruentesTEOREMA RECIPROCO DEL TRIANGULO ISOSCELESSi dos angulod de un triangulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos angulos son congruentes

CUADRILATEROS CUADRADOS Y RECTANGULOS

DEFINICIONESDEFINICION DE CUADRILATEROSean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos

están alineados, y los segmentos AB,

BC , CD , DA , se intersecan

solamente en sus extremos, entonces la reunión de los cuatro segmentos se llama

cuadrilátero, este se indica ⊡ ABC ,

los cuatro segmentos se llaman lados, y los puntos A, B, C y D se llaman vértices.

Los ángulos DAB , ABC ,BCD y

CDA se llaman ángulos del

cuadrilátero, y pueden indicarse

brevemente por A , B , C , D.

DEFINICION DE RECTANGULOSi los cuatro ángulos del cuadrilátero son ángulos rectos, entonces el cuadrilátero es un rectángulo.DEFINICION DE CUADRADOSi los cuatro ángulos del cuadrilátero son ángulos rectos y los cuatro lados son congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.DEFINICION DE MEDIANALa mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice de un triángulo y el punto medio del lado opuesto.DEFINICION DE BARICENTROUn triángulo tiene dos medianas y el punto donde se cortan las tres medianas se llama baricentro.DEFINICION DE BISECTRIZLa bisectriz de un ángulo de un triángulo es un segmento que cumple: Está en el rayo que biseca al ángulo

del triangulo Sus extremos son el vértice de ese

ángulo y un punto del lado opuesto.La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al ánguloDEFINICION DE INCENTROUn triángulo tiene tres bisectrices y el punto donde se cortan las bisectrices se llama incentro.DEFINICIONUna altura de un triángulo es un segmento perpendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.DEFINICION DE ORTOCENTROUn triángulo tiene tres alturas y el punto donde se cortan las alturas se llama ortocentro.DEFINICION DE MEDIATRIZUna mediatriz de un triángulo es una recta perpendicular trazada desde el punto medio de un lado del triángulo.DEFICINICION DE CIRCUNCENTROUn triángulo tiene tres mediatrices y el punto donde se cortan se llama circuncentroDEFINICIONSean A, B y C tres punto coplanares o coplanarios. El punto B equidista de Ay C si AB=BC.DEFINICIONEn un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento por su punto medio.DEFINCION Un triángulo con una ángulo recto se llama un triángulo rectángulo.DEFINICIONEl lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados son los catetos.

TEOREMASTEOREMAEn un plano dado, y por un punto dado de una recta dada, pasa una y solamente una recta perpendicular a la recta dada. TEOREMALa mediatriz de un segmento es única.TEOREMA DE LA MEDIATRIZLa mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan los extremos del

segmento, es decir, si L es la mediatriz

del segmento AB en el plano E.

entonces

Si P esta en L , entonces PA=PB.

Si PA=PB, entonces P esta en LTEOREMADesde un punto externo dado, hay al menos una recta perpendicular a una recta dada.TEOREMADesde un punto externo dado, hay a lo sumo una recta perpendicular a una recta dada.

COLORARIOSCOLORARIOS

Se da un segmento AB y una recta L

en el mismo plano. Si dos puntos de L

equidistan de A y de B, entonces L es la

mediatriz de AB.

COLORARIONingún triangulo tiene dos ángulos rectos.

DESIGUALDADES GEOMETRICASDEFINICIONES

DEFINICION

AB < CD, Si AB<CD

DEFINICION

A<B, Si la mA<mBDEFINICION

Si C esta entre A y D, entonces BCD

es un ángulo externo del ΔABC.Todo triangulo tiene seis ángulos externos.DEFINICION

Los A y B del ΔABC se llaman ángulos

internos no contiguos de los ángulos

externos BCD y ACDTEOREMAS

TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERNOUn ángulo externo de un triángulo es mayor que cada uno de sus ángulos internos no contiguos.Es decir, si se tiene el ΔABC, con ángulo

externo BCDy ángulos internos no

contiguos A y B. Se tiene que probar

que el BCD > B y BCD> A.

TEOREMA LADO ÁNGULO ÁNGULO (LAA)Dos triángulos son congruentes si tienen un par de lados correspondientes congruentes y dos pares de ángulos correspondientes son congruentes.TEOREMA DE LA HIPOTENUSA Y EL CATETODos triángulos rectángulos son congruentes si las hipotenusas y un par de catetos son congruentes.

COROLARIOCOROLARIOSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros ángulos son agudos.

DESIGUALDADES EN UN MISMO TRIANGULO

DEFINICIONESDEFINICIONLa distancia entre una recta y un punto fuera de ella es la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma se define como 0.DEFINICION

Sea ⊡ ABCD un cuadrilátero, una

diagonal de un cuadrilátero

⊡ ABCD es un segmento que une dos vértices no consecutivos del cuadrilátero.

TEOREMASTEOREMASi dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados no son

congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor.TEOREMA Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor.Es decir, en un triángulo cualquiera

∆ ABC , si B > A, entonces

AC>BC.PRIMER TEOREMA DE LA MINIMA DISTANCIAEl segmento más corto que une un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta.

Es decir, dada una recta L y un punto P

fuera de ella. Si PQ┴ L en Q, y R es

otro punto cualquiera de L entonces

PR>PQ.TEOREMA LA DESIGUALDAD DEL TRIANGULOLa suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Es decir, sea un triangulo ∆ ABC ,

entonces BA+BC>AC.TEOREMA DE LA CHARNELASi dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo triangulo, y el ángulo comprendido en el primer triangulo es mayor que es ángulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo.

Es decir, sean los triángulos ∆ ABC

y ∆≝¿, con AB=DE y AC=DF. Si A <

D, entonces BC>EF.

TEOREMA EL RECIPROCO DEL TEOREMA DE LA CHARNELASi dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo triangulo, y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, entonces el ángulo comprendido del primer triangulo es mayor que el ángulo comprendido del segundo.

Es decir, sean los triángulos ∆ ABC

y ∆≝¿ dos triángulos, con AB=DE y

AC=DF. Si BC>EF entonces A < D.

RECTAS PARALELAS EN UN PLANODEFINICIONES

DEFINICIONDos rectas que no están en el mismo plano se llaman rectas alabeadas.DEFINICIONDos rectas son paralelas, si cumplen: Están en el mismo plano. No se intersecan.DEFINICION DE SECANTEUna secante es una recta que corta o interseca a dos o más rectas coplanarias en puntos distintos.DEFINICIONCuando dos rectas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos.DEFINICION DE ÁNGULOS COLATERALESSon ángulos que están al mismo lado de la secante.DEFINICION DE ANGULOSINTERNOSSon los ángulos que se encuentran en el interior de la secante y las rectas.DEFINICION DE ÁNGULOS EXTERNOSSon los ángulos que están fuera de la recta y la secante.DEFINICION DE ÁNGULOS INTERNOS ALTERNOSSon aquellos ángulos que no son colaterales, pero si internos y no forma un par lineal.DEFINICION DE ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Son aquellos ángulos que no son colaterales, pero si externos y no forman un par lineal.DEFINICION DE ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

son aquellos ángulos colaterales, uno interno y otro externo y no forman un par lineal.

TEOREMASTEOREMADos rectas paralelas están exactamente en un plano.TEOREMADos rectas en un plano son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta.TEOREMA

Sea L una recta y P un punto que no

está en L. Entonces, hay amenos una

recta que pasa por P y es paralela a L .

TEOREMA

Sea L una recta y P un punto que no

está en L. Entonces, hay al menos una

recta que pasa por P y es paralela a L.

TEOREMASi dos rectas son cortadas por una secante, y si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos son congruentes.TEOREMA AIPSe dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.TEOREMASe dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces dos ángulos alternos internos son congruentes.TEOREMASe dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.TEOREMA PAISi dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.TEOREMASi dos rectas paralelas son cortadas por una secante, cada dos ángulos correspondientes son congruentes.TEOREMASi dos rectas paralelas son cortadas por una secante, los ángulos internos a un mismo lado de la secante son suplementarios.TEOREMAEn un plano, si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas entre si.TEOREMAEn un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, es perpendicular a la otra.TEOREMAPara todo triangulo, la suma de la medida de sus ángulos es 180.

AXIOMASAXIOMA EUCLIDES (o de las paralelas)Por un punto dado que no está en una recta dada, pasa solamente una recta paralela a la recta dada.

COROLARIOSCOROLARIOSi dos pares de ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos correspondientes del tercer par también son congruentes.COROLARIOLos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.COROLARIOEn todo triangulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos.

CUADRILATEROS EN UN PLANO

DEFINICIONESDEFINICIONUn cuadrilátero es convexo, si al prolongar uno de sus lados, la prolongación no corta a ningún otro lado del cuadrilátero.DEFINICIONUn cuadrilátero es cóncavo, si al prolongar uno de sus lados, la

prolongación corta a otro lado del cuadrilátero.DEFINICIONDos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan.DEFINICIONDo ángulos en un cuadrilátero son opuestos, si no tiene en común un lado del cuadrilátero.DEFINICIONDos lados son consecutivos, si tienen un extremo comúnDEFINICIONDos ángulos son consecutivos si tienen en común un lado del cuadriláteroDEFINICIONUna diagonal de un cuadrilátero es un segmento determinado por dos vértices no consecutivosDEFINICIONUn trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelosDEFINICIONUn paralelogramo es un cuadrilátero en el cual ambos para de lados opuestos son paralelos.DEFINICIONLa distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de cualquier punto de ellas a la otra.DEFINICIONUn rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí.DEFINICIONUn rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectosDEFINICIONUn cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre sí.

TEOREMASTEOREMACada diagonal descompone a un paralelogramo en dos triángulos congruentes.TEOREMAEn un paralelogramo, dos lados opuestos cualesquiera son congruentes.TEOREMAEn un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentesTEOREMAEn un paralelogramo, dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios.TEOREMALas diagonales de un paralelogramo se bisecanTEOREMASi ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.TEOREMASi dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.TEOREMASi las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramoTEOREMAEl segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.TEOREMASi un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces tiene cuatro ángulos rectos, y el paralelogramo es un rectánguloTEOREMAEn un rombo, las diagonales son perpendiculares entre sí.TEOREMASi las diagonales de un cuadrilátero se bisecan y son perpendiculares, entonces el cuadrilátero es un rombo.

COROLARIOSCOROLARIO

Si dos rectas son paralelas, entonces todos los puntos de cada recta equidistan de la otra recta.

SECANTE A VARIAS RECTAS PARALELAS

DEFINICIONESDEFINICION

Si una secante corta a dos rectas L1,

L2 en los puntos A y B , entonces

decimos que L1, L2 determinan o

marcan el segmento AB en la secante.

TEOREMASTEOREMASi tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante

T , entonces determinan segmentos

congruentes en cualquier secante T 1,

paralela a TTEOREMASi tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.

COROLARIOSCOROLARIOSi tres o más rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.

PROPORCION Y SEMEJANZADEFINICIONES

DEFINICION DE RAZONSe dice que la razón de dos cantidades o

de dos números a y b es k si k=ab

a se llama el antecedente b se llama el consecuenteDEFINICION DE PROPORCION

Es la igualdad de dos razones ab= cd

a y d son los extremos , b y c son los mediosDEFINICION DE PROPORCION CONTINUAEs la que tiene los medios o los extremos iguales. A cada uno de los terminaos iguales de una proporción continua se le llama medio proporcional.PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL

ab= cd

si y solo si ad=bc

2. Si ab= cd

entonces ac=bd

si

ab= cd

entonces db= ca

3. Si ab= cd

entonces ba=dc

4. Si ab= cd

entonces

a±cb±d

=ab

5. Si ab= cd

entonces

a±bb

= c±db

6. En toda proporción continua, el medio proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los

extremos, es decir si ax= xd

entonces x=√ad (media

geométrica)DEFINICION SEGMENTOS PROPORCIONALES

Los segmentos AB y CD son

proporcionales a los segmentos EF y

GH si se cumple que

ABCD

= EFGH

TEOREMASTEOREMA DE THALESSi varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, entonces los segmentos determinados sobre las secantes son proporcionalesTEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDADSi una recta paralela a un lado de un triangulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.Es decir, sea el triángulo ΔABC, tal que la

recta L , paralela al lado AC , corta a

los lados AB y BC en los puntos D y

E respectivamente, entonces

B AD A

=BCEC

TEOREMA RECIPROCO DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DE PROPORCIONALIDADSi una recta interseca a un lado de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.Es decir, sea el triángulo ΔABC, tal que la

recta L , corta a los lados AB y BC

en los puntos D y E respectivamente,

con BADA

=BCEC

, entonces

L ACSEMEJANZA DE TRIANGULOS

DEFINICIONESDEFINICION DE SEMEJANZA DE TRIANGULOSSi los ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes

TEOREMASTEOREMA FUNDAMENTAL DE SEMEJANZA DE TRIANGULOSToda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.Es decir, sea un triángulo ΔABC, tal que la

recta MN corta a los lados AB y

BC en los puntos M y N

respectivamente, con MN AC ,

entonces ΔABC~ ΔMBNTEOREMA DE LA SEMEJANZA AAA Si dos triángulos tienen los tres ángulos de uno respectivamente congruentes a los tres ángulos del otro, entonces los triángulos son semejantes.

TEOREMA DE LA SEMEJANZA LAL (LADO ANGULO LADO)Si dos triángulos tienen un ángulo de uno congruente a un ángulo del otro y los lados comprendidos por estos ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.TEOREMA DE LA SEMEJANZA LLL(LADO LADO LADO)Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

COROLARIOSCOROLARIO AA (ANGULO ANGULO)Si dos triángulos tienen dos ángulos de uno congruentes a dos ángulos del otro, entonces los triángulos son semejantes.