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GEOMETRÍA EN EL ESPACIOGEOMETRÍA EN EL ESPACIO

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ÍndiceEn la realidad, la figura plana de dos dimensiones no existe como tal sino formando parte de una figura del espacio. Así, cuando manipulamos papel, cartón, madera,..., lo hacemos con figuras tridimensionales, ya que éstas tienen un cierto grosor; sólo mentalmente separamos la figura plana de la del espacio.

Las figuras cuyos elementos básicos están situados en el espacio son el objetivo de la geometría sólida o espacial.

ESPACIOESPACIO

1.1. Rectas y planos en el espacioRectas y planos en el espacio

2.2. Figuras poliédricasFiguras poliédricas

3.3. Figuras de revoluciónFiguras de revolución

4.4. Cónicas y cuádricasCónicas y cuádricas



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RECTAS Y PLANOS EN EL RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIOESPACIO

Podemos imaginar una superficie plana prolongada en todas sus direcciones y con ello tendremos la imagen del plano geométrico. En el espacio, existe, una infinidad de planos ¿cómo determinar uno de ellos en concreto.

Con un solo punto del espacio no queda determinado un plano, ni con dos.

En el espacio, tres puntos no alineados determinan un plano.

Otras formas son mediante:

Una recta y un punto exterior a ella.

Dos rectas que se corten

Dos rectas paralelas



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Posiciones relativas de rectas y Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio (I)planos en el espacio (I)

A. Entre recta y plano Posición relativa Características

B. Entre dos rectas Posición relativa Características

r y p se cortan La recta y el plano tienen un punto común

r y p son paralelosLa recta y el plano no tienen ningún punto

en común

r está contenida en pLa recta y el plano tienen

en común todos los puntos de la recta

Rectas paralelasLas dos rectas están en un mismo plano y no tienen ningún punto común

Rectas que se cortan Las dos rectas tienen un punto en común

Rectas que se cruzan No tienen ningún punto en común



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Posiciones relativas de rectas y Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio(II)planos en el espacio(II)

C. Entre dos planos Posición relativa Características

¿Cuántas rectas pasan por un punto del espacio?

¿Cuántos planos pasan por una recta? ¿Y por un punto?

Si tres rectas son concurrentes, ¿cuál es el menor número de planos que pueden formar? ¿Y cuál es el mayor número de planos que pueden formar? ¿Y cuál es el mayor número de ellos?

Si dos rectas son paralelas a un plano, ¿son necesariamente paralelas entre sí?

¿Estarán siempre en un mismo plano tres rectas paralelas? ¿Cuál es el número máximo y mínimo de planos que pueden determinar?

¿Existe siempre un plano que pase por dos rectas?

¿Por qué las cámaras fotográficas y de TV se montan sobre trípodes?

¿Por qué una mesa de cuatro patas es menos estable que una de tres?

¿Existen rectas que corten a otras dos que se cruzan?

Planos que se cortan Los dos planos tienen una recta común

Planos paralelos No tienen ningún punto en común

Planos coincidentes Tienen todo un plano en común



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Se dice que una recta r es

perpendicular a un plano si lo es a cualquier recta

contenida en dicho plano.

En este caso, cualquier plano

que pasa por r, es también

perpendicular al plano

r

p

r

p

Recta oblícua al plano

Por un punto A del espacio solamente se puede trazar una sola recta AA’ perpendicular a un plano dado; las demás son

oblícuas.

La longitud del segmento AA’, perpendicular al plano, se llama distancia del punto A al plano p.

Observa que si A pertenece a dicho plano, la distancia es nula.

Recta perpendicular al plano

A

A’

El punto A’ recibe el nombre de proyección ortogonal de A

sobre el plano p.

Recta perpendicular a un plano. Recta perpendicular a un plano. Distancia de un punto a un planoDistancia de un punto a un plano

Figuras poliédricasFiguras poliédricas

1.1. Ángulos diedros, triedros, poliedros.Ángulos diedros, triedros, poliedros.

2.2. PoliedroPoliedro

3.3. PrismasPrismas

4.4. PirámidesPirámides

5.5. Volumen de un poliedroVolumen de un poliedro



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ÁNGULOS DIEDROS ÁNGULOS DIEDROS

Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo

diedro o simplemente

diedro.

Caras del diedro son los semiplanos que lo determinan

y arista la recta común a las dos

caras

cara

caraarista

Para medir un ángulo diedro,

hacemos uso del llamado ángulo

rectilíneo correspondiente al diedro. Este es el ángulo formado

por dos rectas, una en cada cara,

perpendiculares a la arista en un mismo punto.

Ángulos rectilíneos de un diedro



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ÁNGULOS POLIEDROSÁNGULOS POLIEDROS

Si fijas tu atención en tu habitación puedes observar cómo dos paredes contiguas junto con el techo se encuentran en un punto. El espacio alrededor de ese punto y comprendido entre las paredes y el techo recibe el nombre de triedro

Se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más plano que se cortan dos a

dos según rectas concurrentes en un mismo vértice.

Al igual que lo diedros, tienen caras y aristas

Según el número de diedros, el ángulo poliedro se llamará: ángulo triedro, tetraedro, pentaedro,

hexaedro, etc. Pudiendo ser cada uno de ellos convexos o cóncavos.

Poliedro cóncavo

En un ángulo poliedro, las secciones producidas por planos paralelos son semejantes y la razón de sus

áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus lados, y también de sus distancias al vértice

Poliedro convexo experimentaexperimenta



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FIGURAS POLIÉDRICASFIGURAS POLIÉDRICAS

Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos.

Según el número de caras, los poliedros pueden ser

tetraedros, pentaedros, hexaedros,...

Diagonal de una cara

Diagon

al

Plano diagonal

cara

aris

ta

Vértice



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FÓRMULA FÓRMULA DE EULERDE EULER

Poliedro Nº de caras

C

Nº de vértices

V

Nº de aristas

AC+V-A

6 8 12 2

7

5 6 9 2

5 5 8 2

11 11 20 2

7 12 2

Todos los poliedros convexos cumplen la relación aritmética:

Nº de caras+Nº de vértices=Nº de aristas +2

Expresión conocida con el nombre de relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII



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POLIEDROS POLIEDROS REGULARESREGULARES

Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí

y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Sólo hay cinco, y se

llaman también sólidos platónicos.

Posibles caras del poliedro

Nº de caras por vértice>2

Suma de ángulos en cada vértice <360º

Poliedro regular

180º

240º

300º60º

90º

108º

120º

3

3

3

3

4

4

4

5

6 360º

270º

360º

Imposible

Imposible

Imposible

TETRAEDRO

ICOSAEDRO

OCTAEDRO

HEXAEDRO o CUBO

DODECAEDRO

Imposible

324º

360º

>360º



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Platón, filósofo griego del siglo IV a.J:C:, concebía el mundo como constituido por los cuatro principios básicos:tierra, fuego, aire y agua. Según Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua correspondían al octaedro y al icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue considerado por Platón como símbolo del universo.

Sin duda nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época.

En cuanto al figura de Platón no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio.

Es célebre la inscripción que figuraba a la entrada de la Academia: “No entre aquí nadie que ignore la geometría”

Siglos mas tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Kepler concebía Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y por el icosaedro. Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas, porque “no hay armonía si no hay matemáticas”

SÓLIDOS PLATÓNICOSSÓLIDOS PLATÓNICOS



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PRISMASPRISMAS

Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos.

Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base se dice que el prisma es recto; en caso contrario el prisma es oblícuo.

Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares.

Según sean los polígonos de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,...etc.

Cara básica

Ca

ra l

ate

ral

Ari

sta

la

tera

l

Arista básica



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ÁREA LATERAL Y TOTAL ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMADE UN PRISMA

Área total=A L+ 2 . A B

El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El desarrollo plano de un prisma recto, es un rectángulo de base el perímetro de la base y de altura su arista lateral

Área lateral=PB.h

PB

AB

h



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PARALELEPÍPEDOSPARALELEPÍPEDOS

Unos prismas muy particulares son los paralelepípedos, en los que todas sus caras son paralelogramos.

Cubo Ortoedro Romboedro

a) Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.

b) En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales.

N

O

M

ab

c

m

d

Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del teorema de Pitágoras:

En el triángulo rectángulo MON: d2 = m2 + c2

Pero m es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y b, y por tanto: m2 = a2 + b2

De donde d2 = a2 + b2 + c2 o también 222 cbad



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PIRÁMIDESPIRÁMIDES

La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.

Según sean los polígonos de la base, las pirámides se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,...etc.

Si la base es un polígono regular y es recta, se dice que la pirámide es regular.

En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales.

Pirámide recta y pirámide oblícua

Cara básica

Car

a la

tera

l

Ari

sta

late

ral

altu

ra

apotema



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ÁREA LATERAL Y TOTAL DE ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDETRONCO DE PIRÁMIDE

El área lateral de una pirámide es la suma de la superficie de todas sus caras laterales.

Si es recta y de base regular (sus caras son triángulos isósceles todos ellos iguales):

2

aP

2

aanAlateralÁrea BB

L

BLT AAAtotalÁrea

AB

h

aapotema lateral

2

aPP

2

aaanAlateralÁrea bBbB

L

aapotema lateral

AB

hAb

ALa

bBLT AAAAtotalÁrea



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VOLUMEN DE POLIEDROSVOLUMEN DE POLIEDROS::VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDOVOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO

cbaalturaAVVolumen base

El volumen de un ortoedro es igual al área de la base (rectángulo) por la altura.

b

c

a

El volumen de un cubo es igual al cubo del lado.

3lV l

Si el paralelepípedo es oblícuo, el volumen equivale al del ortoedro con iguales base y altura.

alturaAV base hAb



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PRINCIPIO PRINCIPIO DE DE

CAVALIERICAVALIERI

Si en dos cuerpos de igual altura las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, los cuerpos tienen el mismo volumen.

Cavalieri advirtió que tres pilas de igual número de cartulinas iguales tienen el mismo volumen

Sin embargo, no es necesario que las cartulinas tengan la misma forma, basta con que las secciones tengan igual área (las bases tengan el mismo área)

alturaAV base



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VOLUMEN DEL PRISMA Y DE LA PIRÁMIDEVOLUMEN DEL PRISMA Y DE LA PIRÁMIDE

El principio de Cavalieri simplifica el cálculo del volumen de un prisma. Basta comparar éste con el ortoedro de igual altura y base de igual área.

h

AbAb

h

Sobre cada una de las seis caras de un cubo, podemos construir una pirámide con el vértice en el centro. Ello supone que el volumen de la pirámide será:

ll6

1l

6

1V 23 Y siendo l = 2 h, tenemos:

hA3

1h2A

6

1V bbpirámide

hA3

1V bpirámide

hAV bprisma

Lo anterior está referido a una pirámide cuadrangular, no obstante, para otras pirámides sigue siendo válido al tener en cuenta el Principio de Cavalieri. Es decir:



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23



ÍndiceF

A

E

D

C

B

A

D

B

C

D

B

C

E

F

= +I

II

III

Un prisma triangular se descompone en tres pirámides triangulares de igual volumen.

prismapirámide V3

1v



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VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDEVOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

VTRONCO DE PIRÁMIDE=VPIRÁMIDE GRANDE-VPIRÁMIDE PEQUEÑA

hA3

1HA

3

1V bBpirámidedetronco

H

h

AB

Ab

Figuras de revoluciónFiguras de revolución

1.1. En generalEn general

2.2. CilindroCilindro

3.3. Cono. Tronco de conoCono. Tronco de cono

4.4. EsferaEsfera

5.5. Figuras esféricasFiguras esféricas



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FIGURAS DE REVOLUCIÓNFIGURAS DE REVOLUCIÓN

Son figuras de revolución las que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.

eje eje eje

El cilindro como rotación de un

rectángulo alrededor de un lado

El cono como rotación de un triángulo

rectángulo alrededor de un cateto

La esfera como rotación de una

semicírculo alrededor de su diámetro

experimentaexperimenta



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ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDROÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO

r

h

r

h AL=2prh

AB=pr2

2pr

AT=AL+2 AB

Vcilindro= AB h Vcilindro= p r2 h



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ÁREA Y VOLUMEN DEL CONOÁREA Y VOLUMEN DEL CONO

h

r

h

r

g

g

2pr

AB=pr2

AL=prg

AT=AL+AB

hA3

1V Bcono hr

3

1V 2

cono



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Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano obtenemos otra figura geométrica denominada tronco de cono (recto u oblícuo según sea el plano

paralelo o no a la base del cono)

2pR

2pr

R

r

AB=pR2 AT=AL+AB+ Ab

hrHR3

1hA

3

1HA

3

1V 22

bBconodetronco

grRgrRg2

r2R2g

2

PPA bB

L

Ab=pr2

VTRONCO DE CONO=VCONO GRANDE-VCONO PEQUEÑA

ÁREA Y VOLUMEN DE UN ÁREA Y VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO RECTOTRONCO DE CONO RECTO



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LA ESFERALA ESFERA

Cuerpos como una pelota, una canica o un globo aerostático, nos recuerdan el cuerpo de revolución obtenido por rotación de un semicírculo alrededor del diámetro: la esfera

La propiedad que define la esfera es la de que todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo llamado centro; dicha distancia se llama radio de la esfera.R

Arquímedes de forma experimental llegó a observar que el volumen de la esfera equivale a

3R3

4V

Dando pie a que en su tumba fuera grabada la esfera inscrita en un cilindro con las expresiones de sus volúmenes



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VOLUMEN DE LA ESFERA (I)VOLUMEN DE LA ESFERA (I)

R

OR Imaginemos una semiesfera de radio R así

como un cilindro de altura y radio de la base también R, colocados tal como

muestra la figura.

Pero usando el Principio de Cavalieri, demostraremos que el volumen de este complemento es igual al del cono de vértice

en O y base la del cilindro

Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento

Vcomplemento=Vcono Vsemiesfera=Vcilindro-Vcono



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Recordemos el Principio de Cavalieri: “Si en dos cuerpos de igual altura, las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, ambos tienen el mismo volumen”

M

O

E N

R

OR

En nuestro caso se reduce a comprobar que la corona circular del complemento y el círculo del cono son equivalentes en área a cualquier altura

a

22

ciónseccírculo aENA

O

NE

a

H F

OEl triángulo OHF,

rectángulo en H, es isósceles OH=R=HF

Por semejanza, lo es igualmente el triángulo

OEN.

Por tanto EN=OE=a

2222

222

222

22

circularcorona

aaRR

aRR

OERR

ENEMA

Resumiendo, ambas secciones son de igual área y por el Principio de Cavalieri el volumen del complemento y del cono son iguales

VOLUMEN DE LA ESFERA(II)VOLUMEN DE LA ESFERA(II)



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R

O R

R

OR

Vcomplemento=Vcono

Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento= Vcilindro-Vcono

322semiesfera R

3

2RR

3

1RRV

33esfera R

3

4R

3

22V

VOLUMEN DE LA ESFERA (III)VOLUMEN DE LA ESFERA (III)

experimentaexperimenta2R

R



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ÁREA DE LA ESFERAÁREA DE LA ESFERA

2R

R

La superficie de la esfera se llama superficie esférica. No se puede desarrollar sobre el plano

más que aproximadamente.

Imaginemos la esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella. Pues bien, el área de la esfera es igual

que el área lateral de ese cilindro

2esfera R4A

2cilindrodellateral R4R2R2A

VOLUMEN DE LA ESFERA (Otra forma)

32

321

321esfera

R3

4RR4

3

1

R...SSS3

1

...RS3

1RS

3

1RS

3

1V



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Índice

cilindrocilindrocilindro VV3

1V

3

2

UNA RELACIÓN INTERESANTEUNA RELACIÓN INTERESANTE

Es interesante observar que el volumen de la esfera es igual a los 2/3 del volumen

del cilindro circunscrito a ella:

O

Vsemiesfera + Vcono = Vcilindro

cilindrocilindrosemiesfera VV3

1V

32esfera R

3

4RR

3

22V 32

esfera R3

4RR

3

22V

Vsemiesfera

El volumen de la zona esférica

El volumen del tronco de cono

El volumen de la zona del cilindro comprendido entre los mismos

planos que determinan a aquellos+ =



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FIGURAS ESFERICAS(I)FIGURAS ESFERICAS(I)

Huso esférico Cuña esférica

Zona esférica Segmento esférico de dos bases

ºnº360

R4A

2

huso

ºnº360

R34

V

3

cuña

222 'r3r3h6

hV

Rh2A zona



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Segmento esférico de una base Casquete esférico

Sector esférico Sector esférico de dos bases

hR33

hV

2

Rh2Acasquete

hR3

2V 2 V=Vsector exterior-Vsector interior

FIGURAS ESFERICAS(II)FIGURAS ESFERICAS(II)

Cónicas y cuádricasCónicas y cuádricas

1.1. En generalEn general

2.2. ElipseElipse

3.3. ParábolaParábola

4.4. HipérbolaHipérbola

5.5. CuádricasCuádricas



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CÓNICASCÓNICAS

CircunferenciaHipérbola

Parábolaelip se

Recuerda cómo el cono venía engendrado por su generatriz al girar ésta alrededor de un eje. Si consideramos tal generatriz como una recta ilimitada, la figura resultante del giro es una superficie cónica, la cual resulta estar compuesta por dos conos ilimitados, unidos por el vértice

Cortando una superficie cónica por diferentes planos, obtenemos unas curvas llamadas secciones cónicas o simplemente cónicas.

Según la distinta posición del plano, dichas secciones pueden ser: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.



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SECCIONES CÓNICASSECCIONES CÓNICAS

Según la inclinación

del plano que corta la superficie cónica,

tenemos las diferentes cónicas:

Circunferencia Elipse

Parábola

Hipérbola



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Círculo

Elipse (h)

Parábola (h)

Hipérbola (h)



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La elipseLa elipseLa elipse es una curva cuyos puntos cumplen que la suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante (2a).

PF+PF’=2a

La elipse es la curva obtenida al cortar todas las generatrices de una superficie cónica mediante un plano.

En un corcho fija una cartulina y clava dos chinchetas con 12 cm de separación. Enlaza en cada una de ellas los extremos de un cordón de 20cm de longitud. Manteniendo el cordón tenso con la punta de un lápiz, dibuja la curva que éste te permita trazar.

A’ O

B

A

B’

FF’

La figura muestra los elementos notables de la elipse. Los diámetros son cuerdas que pasan por el centro, teniendo éstos longitudes variables. El mayor se denomina eje mayor (AA’=2a), y el menor de ellos, eje menor (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser ejes de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que separa los focos, se llama distancia focal (FF’=2c).

Observando el dibujo podemos comprobar que:

a2 = b2 + c2

B’

O

B

AFF’

a

c

b El grado de achatamiento de la elipse se mide por la excentricidad de la elipse, definida como

ac0queya1a

ce0 experimentaexperimenta



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Excentricidad de la elipseExcentricidad de la elipse

ac0,a

ce

e=0 (los focos coinciden con el centro)

0< e <1 (los focos no coinciden con el centro)

0< e <1 (los focos se van separando del centro)

0< e <1 (los focos se siguen separando del

centro y la excentricidad sigue aumentando)

e=1 (los focos coinciden con los extremos del eje

mayor)




Índice

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Índice

ka

T3

2

Algo de HistoriaAlgo de Historia

Kepler, en el siglo XVII, observó la gran utilidad de las cónicas en astronomía al constatar que las trayectorias de los planetas del sol son elípticas, llegando a enunciar sus tres conocidas leyes sobre el movimiento de los planetas:

1. Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos esta el sol.

2. El radio vector que va del sol a un planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. Los cuadrados de los tiempos empleados por cada planeta en describir la órbita completa son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas, lo que significa que es idéntica para todos los planetas la relación



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Área encerrada en una elipseÁrea encerrada en una elipse

Si sobre una pieza elástica se dibuja un cuadrado y una circunferencia inscrita en él, al estirar la pieza observaremos que el cuadrado se transforma en un

rectángulo, mientras que la circunferencia lo hará en la elipse inscrita en dicho rectángulo. Ello permite plantear la siguiente proporción entre áreas:

cuadrado

rectángulo

círculo

elipse

A

A

A

A

22

elipse

R2

b2a2

R

A

De donde ab

R4

ab4RA

2

2

elipse

Rb

a

abAelipse



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Propiedades de los focos Propiedades de los focos de la elipsede la elipse

En la elipse, los focos tienen la propiedad de que cualquier rayo emergente de uno de ellos se refleja pasando por el otro. En esta propiedad se basan los los espejos y las bóvedas elípticas.

Basándose en esta propiedad de la elipse, Miguel de Guzmán, en su libro Cuentos con cuentas, nos presenta las siguientes escenas:

El secreto del Salón Ovalado:

El gran Salón Ovalado estaba lleno hasta rebosar de espías, contraespías y contracontraespías. Y, sin embargo, el Primer Ministro tenía absoluta necesidad de comunicar inmediatamente a Su Majestad el gran secreto del que acababa de enterarse. Como quien no quiere la cosa, al aproximarse al Rey le dijo con voz bien perceptible: “Majestad, parece que los focos de rebeldes reclaman nuestra atención”. Todos los espías se fueron hacia las paredes del salón para sacar de los forros de sus capas allí colgadas las claves de los mensajes cifrados.

Les siguieron, naturalmente con gran sigilo, los contraespías, y a éstos, los contracontraespías. El Rey, con paso tranquilo, pero decidido, se dirigió hacia un lado del ovalado salón. El Ministro, por su parte, se dirigió en dirección contraria al otro lado del salón ovalado. Los espías los observaban de reojo mientras consultaban en sus libretas “parece”, “focos”, “rebeldes” y “exigen”. Los contraespías estaban atentos a los espías, y los contracontraespías no perdían de vista ni un momento a sus contraespías correspondientes. El Rey se paró un momento y el Ministro, respetuoso, se paró también en su camino. Estaban a más de 20 metros de distancia cuando un espía más astuto observó y apuntó en su libreta. “Este Ministro, o habla solo o está rezando”. Pero nadie pudo oir nada. Sólo el Rey pudo percibir claramente en sus oídos el mensaje del Ministro: “Majestad, con todos mis respetos, su bragueta está completamente abierta”



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La parábolaLa parábola

La parábola es la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano paralelo a una sola generatriz.


V

dire

ctriz

eje

La parábola es una curva cuyos puntos equidistan de una recta (directriz) y de un punto fijo llamado foco.

En la parábola el foco es tal que los rayos que emergen de él “rebotan” en ella saliendo paralelos al eje y viceversa. Esta propiedad permite múltiples aplicaciones, en hornos parabólicos, antenas parabólicas de TV, estufas, espejos o faros.

En Física existen diversos movimientos con forma parabólica. Fue Galileo quien demostró que la trayectoria seguida por un proyectil es una parábola y calculó una tabla de distancias y elevaciones en la cual el artillero podía hallar la altura a que debía elevar la mira de su cañón para hacer blanco en un punto situado a una distancia determinada.



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La hipérbolaLa hipérbolaLa hipérbola es una curva cuyos puntos cumplen que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante (2a).

PF-PF’=2a

La hipérbola es la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano paralelo a dos generatrices.


La figura muestra los elementos notables de la hipérbola. Las longitudes de los lados del rectángulo de la figura son las medidas del eje real (AA’=2a), y del eje imaginario (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser ejes de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que separa los focos, se llama distancia focal (FF’=2c).

Observando el dibujo podemos comprobar que:

c2 = a2 + b2

a

b cas

ínto

ta

asíntota

F’

Un punto luminoso colocado en uno de los focos, al emitir rayos sobre ella, son reflejados de forma divergente como si procedieran de otro foco. En esta propiedad se basan los espejos hiperbólicos usados en superficies amplias como los estadios de fútbol.



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Excentricidad de la hipérbolaExcentricidad de la hipérbola

ca0,a

ce


e=1’03

e=1’25e=2’24e=2’24



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Superficies engendradas por cónicas: Superficies engendradas por cónicas: las cuádricaslas cuádricas

El balón de rugby, las antenas parabólicas de telecomunicación o las chimeneas de una central térmica son figuras engendradas por cónicas, ya sea por rotación de éstas alrededor de uno de sus ejes o bien por simple traslación o desplazamiento. Todas ellas constituyen una nueva familia de figuras, las cuádricas.



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Superficies engendradas por cónicas: Superficies engendradas por cónicas: las cuádricas(III)las cuádricas(III)



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Cónicas y cuádricas en Cónicas y cuádricas en ArquitecturaArquitectura



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Todo lo anterior está basado en su mayoría en el libro GEOMETRÍA Y EXPERIENCIAS

de la Biblioteca de Recursos Didácticos Alhambra nº 20 en el que se puede encontrar

ejercicios sobre los temas vistos en este trabajo

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