GEOMETRA DESCRIPTIVA

GEOMETRA DESCRIPTIVAES LA PARTE DE LAS MATEMTICAS QUE TIENE POR OBJETO REPRESENTAR EN UN PLANO LAS FORMAS DEL ESPACIO Y RESOLVER SUS PROBLEMAS, Y LOS DE LA GEOMETRA DEL ESPACIO POR MEDIO DE CONSTRUCCIONES GOMTRICAS REALIZADAS EN DICHO PLANOIng. Fernando Valdez Galdos

Sistema de ProyeccionesVHxyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OctogonalSistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)W(V)(H)zyy1(H)(W)(V)PROYECCIN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA V, HVHxAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVH90VHxAISistema Octante de ProyeccionesVH90VHxAISistema Octante de ProyeccionesVH90VHxaAISistema Octante de ProyeccionesVH90VHxaAISistema Octante de ProyeccionesVH90VHxaAISistema Octante de ProyeccionesVH90VHxaAISistema Octante de ProyeccionesVH90VHxaaAISistema Octante de ProyeccionesVHxSistema V, HVHxaSistema V, HVHxaSistema V, HVHxaaSistema V, HVHxAltura,lnea recta perpendicular al eje x.Distancia,Alejamiento del eje x aaSistema V, HVHxAltura,lnea recta perpendicular al eje x.Distancia,Alejamiento del eje x aaaaaaSistema V, Haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa I II III IV V VI VII VIIIPROYECCIN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA V, H, WVHxAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVH90xA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaaA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaaA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaaA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaaA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaaA90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVH90xaaAa90yzSistema Octante de ProyeccionesWI CUADRANTEVxHaaaWzyy1Sistema V, H, W45VxHaaaWzyy122Sistema V, H, WLa distancia (2) de la proyeccin horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyeccin de perfil (W).45VxHaaaWzyy11122La altura (1) de la proyeccin frontal (V), es la misma altura (1) de la proyeccin de perfil (W).Sistema V, H, WLa distancia (2) de la proyeccin horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyeccin de perfil (W).45Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)aaW(V)(H)zyy1(H)(W)(V)Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)aaW(V)(H)zyy1(H)(W)(V)Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)aaW(V)(H)zyy1(H)(W)(V)Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)aaW(V)(H)zyy1(H)(W)(V)Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)aaW(V)(H)zyy1(H)(W)(V)Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)aaaW(V)(H)zyy1(H)(W)(V)VHxAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaaAyzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalVHxaaAayzIW(H)(V)(W)(V)(W)(H)(V)(H)-x-y-zIIIIIIV(W)VVIVIIIVIISistema de Proyeccin OrtogonalSistema V,H,W en los 8 cuadrantes giradosV(H)(W)xH(V)(W)aaaW(V)(H)zyy1(H)(W)(V)II CUADRANTEV(H)xA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaaA-yzSistema Octante de Proyecciones(W)II CUADRANTEV(H)xaaAa-yzSistema Octante de Proyecciones(W)Sistema V, H, WVx(H)aaa(W)y1122La altura (1) de la proyeccin frontal (V), es la misma altura (1) de la proyeccin de perfil (W).La distancia (2) de la proyeccin horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyeccin de perfil (W).45y1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)(W)yy1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)a(W)yy1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)a(W)yy1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)a(W)yy1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aa(W)yy1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aa(W)yy1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aa(W)y45y1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aa(W)y45y1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aa(W)y45y1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aa(W)y45y1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aaa(W)y45y1-y1z-ySistema V, H, WVx(H)aaa(W)y1122La altura (1) de la proyeccin frontal (V), es la misma altura (1) de la proyeccin de perfil (W).La distancia (2) de la proyeccin horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyeccin de perfil (W).45y1-y1z-yV(H)xaaAa-y-xSistema Octante de Proyecciones(W)III CUADRANTE-zSistema V, H, WVx(H)aaa(W)y122La altura (1) de la proyeccin frontal (V), es la misma altura (1) de la proyeccin de perfil (W).La distancia (2) de la proyeccin horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyeccin de perfil (W).45y1-y1z-y1VHaaAa-zzSistema Octante de Proyecciones(W)IV CUADRANTExySistema V, H, WHx(V)aaa(W)y122La altura (1) de la proyeccin frontal (V), es la misma altura (1) de la proyeccin de perfil (W).La distancia (2) de la proyeccin horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyeccin de perfil (W).45y1-y1z-y1z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:az (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:az (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:az (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:az (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaaIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)1. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaaIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aab. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.IIPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aab. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.IIPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aab. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.IIPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aab. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.IIPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aab. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.IIPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aab. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.IIPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)2. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaab. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.IIPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)3. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)3. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaVIIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)3. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaaVIIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)4. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)4. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.IV - VIIIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:aaz (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)4. Hallar la proyeccin de perfil del punto A.aaaIV - VIIIb. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin del punto A.Ejemplos ilustrativos:PROYECCIN DE UNA RECTA EN EL SISTEMA V, H, W

Rectas de posicin general, es una recta que no es paralela ni perpendicular a ningn plano de proyeccin.

2. Rectas de posicin particular,

1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.aabbabVM = verdadera magnitudNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)VMxyzaAaBbba b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzAB1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzABa b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzABa b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzABa b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzaABba b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzaABba b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzaABba b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzaABba b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.xyzaAaBbba b1. Rectas proyectantes (perpendicular)RECTAS DE POSICIN PARTICULARa. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.aabbabVM = verdadera magnitudNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)VMxyzaAaBbba bb.Proyectante horizontal: es perpendicular al plano horizontal de proyecciones.aabbabVMNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.VMz (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaAaBbba bc.Proyectante de perfil: es perpendicular al plano de perfil de proyecciones.aabbabVMNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.VMz (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaAaBbba b2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.aabbabVMNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaAaBbbab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzAB2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzABab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzABab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzABab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzABab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaABbab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaABbab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaABbab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaABbab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaABbab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaABbabab2. Rectas paralelas a los planos de proyeccina. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.aabbabVMNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzaAaBbbabb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.abNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)aabbVMRECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabaabbBAb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzABb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabABb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabABb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabABb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabABb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabABabb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzababABb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzababBAb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzababBAb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabaabbBAb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.RECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabaabbBAb. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.abNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)aabbVMRECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabaabbBAc. Perfil: es paralela al plano de perfil de proyecciones.Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyeccin.z (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)abaabbVMRECTAS DE POSICIN PARTICULARxyzabaabbABEjemplos prcticos:1. Hallar la proyeccin de perfil de la recta AB.Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin de la recta AB.aabbabz (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)IParalela al plano horizontalRECTAS DE POSICIN PARTICULARb. Segundo paso, determinar que tipo de recta es.

c. Tercer paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.2. Hallar la proyeccin de perfil de la recta AB.aabbabz (-y)y (-z)y1 (-x)x (-y1)IIIPosicin generalRECTAS DE POSICIN PARTICULARPrimer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyeccin de la recta AB.b. Segundo paso, determinar que tipo de recta es.

c. Tercer paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyeccin de perfil.Trazas de una rectaEs la interseccin de la recta con los planos de proyeccin.VHxIIIIIIIV N MABSistema Octante de ProyeccionesVHxIIIIIIIVnnmmnm N MABSistema Octante de ProyeccionesVBAVaBAHVabBAHVabBAHVabaBAHVabaBAHVababBAHVababBAHVababBAHnVababBAHnnmVababBAHnnmmVababBAHnnmNmVababBAHnnmMNmVababBAHnnmMNmSistema V, HIIIIVnnmmababPrimer paso, prolongar las trazas de l recta AB.b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.VHxIIIIIIIVnnmmnm N MABSistema Octante de ProyeccionesppPpEjemplos ilustrativos:1. Dada la recta AB determinar sus trazas e indicar que cuadrantes atraviesa.xababIIIIIVmmnnPrimer paso, prolongar las trazas de l recta AB.b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.xababIIVnnPrimer paso, prolongar las trazas de l recta AB.b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.xababIIIIVnnPrimer paso, prolongar las trazas de l recta AB.b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.xababIVInnPrimer paso, prolongar las trazas de l recta AB.b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.xababIVIIInnPrimer paso, prolongar las trazas de l recta AB.b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.1. Dibujar una recta que pase a travs de los siguientes cuadrantes:Ejemplos prcticos:I, IV, IIIxababIIIIIVmmnnII, III, IVIIIIIIVmmnnababVHxABNMIV, I, V, VIVHxABNMPIVIVmmnncbcbVIaaddnmPPPII, III, VII, VIIImmnnbcbcVHxABNMPIIIVIIIIVIIIaaddnmPPPPOSICION RECIPROCA DE DOS RECTASDos rectas en el espacio se cortan o son paralelas o se cruzanxababcdcdxababcdcdRectas paralelas: dos rectas son paralelas en el espacio si sus proyecciones homnimas son paralelas entre si.NOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas. xyzy1abcdabdcNOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas. xyzy1abcdabdcabNOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas. xyzy1abcdabdcabdcRectas que se cortan (intersecan): dos rectas se cortan en el espacio si existe un punto que pertenece a ambas rectas al mismo tiempo. En las proyecciones debe estar unido con una misma lnea de referencia.xabcdabcdkk3.Rectas que se cruzan: dos rectas en el espacio que no son paralelasni tampoco se intersecan.xabcdabcdkkee(l)li(i)1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababcc1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababccIIV1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababccIIV1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababccIIV1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababcckIIV1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababcckkIIV1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababcnckkIIV1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababcncnkkIIV1. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:Ejemplos prcticos:xababcncnkkIIVxababcc2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:xababIII2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:ccxababkIII2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:ccxababkkIII2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:ccxababkkIII2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:ccxababnkkIII2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:ccxababnkknIII2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:ccxababnkknIII2. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:ccxccabab3. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:xcccababab3. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:xkcccababab3. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:xkkcccababab3. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:xkkkcccababab3. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:xkkkcccababab3. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:xkkkcccababab3. Trazar desde el punto c una recta que corte a la recta AB:EL PLANOEl plano puede determinarse en el espacio con los siguientes elementos geomtricos:

1. Tres puntos que no estn en una misma recta.xabcabc2. Una recta y un punto que no est en ella.xabcabc3. Dos rectas paralelas.xababcdcd4. Dos rectas que se cortan.xababcddc5. Una figura geomtrica.xabcabc6. El plano puede estar dado por sus trazas: las trazas de un plano son las rectas de interseccin del plano con los planos de proyeccin.VHxyWPzPzPxPyPvPwPhxzyy1PzPyPvPwPhPy1xPhPvPwxzyy1PxPzPyPvPwPhPy1xPhPvPwzyy1xPx- PzPyPvPwPy1PhxPhPvxzyy1PvPxPhxPhPvxzyy1- PzPvPhPxxPhPvxzyy1- Pz- PyPvPhPxxPhPvxzyy1- Pz- PyPvPh- Py1PxxPhPvxzyy1- Pz- PyPvPwPh- Py1PxPLANOS DE POSICIN PARTICULAR1. Planos paralelos a los planos de proyeccin.a. Plano horizontal paralelo a la proyeccin horizontal.Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyeccin.xzyy1abcbcaabcVM = verdadera magnitudSistema V, HxyzaabbAxzyy1PzPvPwccCBb. Plano frontal paralelo a la proyeccin fronntal.Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyeccin.xzyy1abcbcaabcVM Sistema V, Hxzyy1PyPhPwPy1xyzcaabbAcabcBCc. Plano de perfil paralelo a la proyeccin de perfil.Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyeccin.xzyy1abcbcaabcVM Sistema V, Hxzyy1PxPhPvxyzcaabbAcabcBC2. Planos proyectantes y perpendiculares a los planos de proyeccin.xzyy1abcbcaabcFigura geomtricaa. Plano proyectante frontal perpendicular a la proyeccin frontal.xzyy1PvPhPwPxPzTraza del planoxyzPvPhPwPxPzPxzyy1abcbcaabcFigura geomtricab. Plano proyectante horizontal perpendicular a la proyeccin horizontal.xzyy1PvPhPwPxPyTraza del planoPy1xyzPvPhPwPxPyPxzyy1abcFigura geomtricaabcbcac. Plano proyectante de perfil perpendicular a la proyeccin perfil.xzyy1PvPhPwPyTraza del planoPy1xyzPvPhPwPzPzP3. Planos proyectantes Axiales.xzyy1PvPhPwTraza del planoVHxyWzPvPwPhxzyy1PvPh1. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.Ejemplo ilustrativo:xyzPvPwPhPyxzyy1PvPh1. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.Ejemplo ilustrativo:xyzPvPwPhPy- PzPyxzyy1PvPh1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.Ejemplo ilustrativo:xyzPvPwPhPy- PzPy Py1xzyy1PvPhPw1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.Ejemplo ilustrativo:xyzPvPwPhPy- PzPy Py1xzyy1PvPhPw1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.Ejemplo ilustrativo:xyzPvPwPhPy- PzPy Py12. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPvPwPhPxxzyy1PvPhPx2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPvPwPhPxxzyy1PvPh- PyPx2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPvPwPhPxxzyy1PvPh- Py- Py1Px2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPvPwPhPxxzyy1PvPhPw- Py- Py1Pxxzyy1PvPh3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPvPhPxPwxzyy1PvPh3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPvPhPxPwPzxzyy1PvPhPw3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPvPxPzPwPhxzyy1Ph4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPwPhPyxzyy1Ph4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPwPhPy- Pyxzyy1Ph4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPwPhPy- Py- Py1xzyy1Ph4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPwPhPy- Py- Py1Pw5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPhxzyy1PvPhPxPvPw5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPhxzyy1PvPh- PzPxPvPw5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPhxzyy1PvPh- Pz- PyPxPvPw5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPhxzyy1PvPh- Pz- Py- Py1PxPvPw5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.xyzPhxzyy1PvPhPw- Pz- Py- Py1PxPvPwPERTENENCIA DE UNA RECTA A UN PLANOUna recta pertenece a un plano si tiene dos puntos en comn con el plano.

b.Una recta pertenece a un plano si tiene un punto en comn y es paralela a una recta en el plano.Ejemplos ilustrativos:xdeabcabcdenn1212Trazar una recta que pertenezca al plano.CASO AxPxPvPhbabammnnSi el plano estuviese dada por sus trazas, los puntos en comn se buscan en las trazas del plano.Trazar una recta que pertenezca a la traza del plano.PvPhPxxnnmmxabcabc11Trazar una recta horizontal que pertenezca al plano.ababxPxPvPhaannTrazar una recta horizontal paralela que pertenezca al plano.IIIPvPhPxxANCASO BTrazar una recta frontal paralela que pertenezca al plano.xPxPvPhaamIVImPvPhPxxAMPERTENENCIA DE UNA RECTA A UN PLANO DE POSICION PARTICULARUna recta pertenece a un plano de posicin particular si la posicin de la recta coincide con la traza del plano.Ejemplos ilustrativos:xcdcdababTvTv // xTv // HEjemplos ilustrativos:xcdcdababTvTv // xTv // HabxababPxPvPhP H xababPxPhPvP V Ejemplos prcticos:xababccyckkkabTrazar a travs del punto c una recta que corte a la recta AB y al je de proyecciones.Nota: tener en cuenta que la recta es de posicin particular porque la recta es paralela al plano de perfil. yy1xababcckckkabzyy1Trazar a travs del punto c una recta que corte a la recta AB y al je de proyecciones.Dado el plano por medio de las rectas AB y CD, y un punto exterior c determimar sus trazas. xabcdabcdzyy1PvPhPzPyPy1a bc dTrazar a travs del punto c una recta horizontal que corte a la recta AB.xababcckckkzyy1abTrazar a travs del punto c una recta frontal que corte a la recta AB.xababcckkzyy1mmnnPOSICION RECIPROCA DE UNA RECTA Y UN PLANO Y DOS PLANOS ENTRE SI1. INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO DE POSICIONPARTICULAREl punto de interseccin se determina en el plano de proyeccin en relacin al cual el plano dado es perpendicular.xababTvxababTvTv // HTv vkxababTvTv // HTv vkkxababTvTv // HTv vkkxababcdecdexababCDE // H

CDE vcdecdexababCDE // H

CDE vkcdecdexababkkcdecdeCDE // H

CDE vxababkkcdecdeCDE // H

CDE vP H xababPxPvPhDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABP H xababPxPvPhkDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABP H xababPxPvPhkDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABkP H xababPxPvPhkkDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABxzyy1ababPvPhabPxDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABxkzyy1ababPvPhabPxDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABxkkzyy1ababPvPhabPxDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABxkkkzyy1ababPvPhabPxDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABxkkkzyy1ababPvPhabPxDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA ABxababcdecdeDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA ABxababkcdecdeDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA ABxababkkcdecdeDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA ABxababkkcdecdeDETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB2. INTERSECCION DE PLANOS CUANDO POR LO MENOS UNO DE ELLOS ES DE POSICION PARTICULAR Para determinar la recta de interseccin se debe aplicar el mtodo anterior dos veces.xababTvkklcclxcPvPhPxabdcdaklklxababTvccxababTvklccxababTvkklcclxababTvkklcclxababTvkklcclxcPvPhPxabdcdaxcPvPhPxabdcdaklxcPvPhPxabdcdaklklxcPvPhPxabdcdaklklxcPvPhPxabdcdaklklEjemplos prcticos:Hallar la recta de interseccin entre los planos.xcPvPhPxabacbEjemplos prcticos:Hallar la recta de interseccin entre los planos.xcPvPhPxabacblkEjemplos prcticos:Hallar la recta de interseccin entre los planos.xcPvPhPxabacblklkEjemplos prcticos:Hallar la recta de interseccin entre los planos.xcPvPhPxabacblklkEjemplos prcticos:Hallar la recta de interseccin entre los planos.xcPvPhPxabacblklkHallar la recta de interseccin entre los planos.xcabcbfdefdeggaHallar la recta de interseccin entre los planos.xcabcbfdefdeggallkkHallar la recta de interseccin entre los planos.xcabcbfdefdeggaklklHallar la recta de interseccin entre los planos.xcabcbfdefdeggaklklHallar la recta de interseccin entre los planos.xcabcbfdefdeggalkkl3. INTERSECCION DE PLANOS DADOS POR SUS TRAZAS Caso General

Para determinar la recta de interseccin, hay que ubicar dos puntos los cuales pertenecen a ambos planos al mismo tiempo. Estos puntos se determinan en la interseccin de trazas homnimas.mmPvPhPxxnnVHQxQvQhxPhPxQxQhQvPvNMxPhPxQhQvPvnxPhPxQhQvPvmnxPhPxQhQvPvmmnnxPhPxQhQvPvmmnnxPhPxQhQvPvxPhPxQxQhQvPvmxPhPxQxQhQvPvmmxPhPxQxQhQvPvmmxPhPxQxQhQvPvmmxPhPxQxQhQvPvmmnxPhPxQxQhQvPvmmnnxPhPxQxQhQvPvmmnnxPhPxQxQhQvPvmmnnxPhPxQxQhQvPvB. Se conoce la direccin de la recta de interseccin

En problemas de este tipo solo se puede determinar un punto de interseccin. Entonces para definir la recta utilizamos la condicin de pertenencia de un punto en comn y paralelo.xPxPvPhTvxPxPvPhTvxPxPvPhnTvxPxPvPhnnTvxPxPvPhnnTvxPxPvPhaannTvxPxPvPhQvQhQxxPxPvPhaannQvQhQxxzyy1PvPhQvQhxzyy1PvPhPwQvQhQwxabzyy1PvPhPwQvQhQwxabzyy1PvPhPwa bQvQhQwxabzyy1PvPhPwa bQvQhQwxababzyy1PvPhPwa bQvQhQwxabzyy1TvPhPwPy1TwPyTzxabzyy1TvPhPwa bPy1TwPyTzxababzyy1TvPhPwa bPy1TwPyTzINTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO DE POSICIN GENERALTrazar a travs de la recta un plano. ( preferentemente de posicin particular )Determinar la recta de interseccin entre planos.Comparar la recta dada en el problema con la recta obtenida de la interseccin de planos.xababPvPhPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvQhPvPhQxPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvnQhPvPhmQxPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvnnQhPvPhmmQxPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvnnQhPvPhmmQxPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvknnQhPvPhmmQxPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvkknnQhPvPhmmQxPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvkknnQhPvPhmmQxPxEjemplos prcticos:Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababTvPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababTvPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababTvnnPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababTvnnPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababTvknnPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababTvkknnPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababTvkknnPvPhHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababPvPhPxHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvnnQhPvPhQxPxHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.mxababQvkknnQhPvPhQxPxHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.mmxababPvPhPxHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvQhPvPhmmQxPxHallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvnnQhPvPhmmQxPx(Qv)(Pv)Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvknnQhPvPhmmQxPx(Qv)(Pv)Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvkknnQhPvPhmmQxPx(Qv)(Pv)Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.xababQvkknnQhPvPhmmQxPx(Qv)(Pv)Hallar el punto de interseccin entre la recta y el plano.INTERSECCION DE PLANOS DE POSICIN GENERALPara determinar la recta de interseccin se debe aplicar el mtodo del anterior dos veces.axabcbcPvPhPxaxabcbmcRvRxRhPvPhPxaxabcbnmmcRvRxRhPvPhPxaxabcbnnmmcRvRxRhPvPhPxaxabcbnnmmcRvRxRhPvPhPxaxabcbnnmmkcRvRxRhPvPhPxaxabcbnnmmkkcRvRxRhPvPhPxaxabcbnnmmkkcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxabcbnnnnmmmkkcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxabcbnnnnmmmmkkcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxabcbnnnnmmmmkkcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxabcbnnnnmmmmklkcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxabcbnnnnmmmmklklcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxabcbnnnnmmmmklklcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxabcbnnnnmmmmklklcRvRxRhPvPhPxQvQhQxaxcabcbfdefdeggaxcabcbfdefdePv1ggPh1axcabcfdefde23Pv1ggPh1axcabcbfdefde23Pv1ggPh12axcabcbfdefde233Pv1ggPh12axcabcbfdefde233Pv1ggPh12axcabcbfdefde233Pv1ggPh12kaxcabcbfdefde233Pv1ggPh12kkaxcabcbfdefde2323kkPv1Pv2ggPh1Ph2axcabcbfdefde123423kkPv1Pv2ggPh1Ph2axcabcbfdefde1234123kkPv1Pv2ggPh1Ph2axcabcbfdefde12341234kkPv1Pv2ggPh1Ph2axcabcbfdefde1234123kkPv1Pv2ggPh1Ph24axcabcbfdefde1234123kklPv1Pv2ggPh1Ph24axcabcbfdefde1234123klklPv1Pv2ggPh1Ph24axcabcbfdefde1234123klklPv1Pv2ggPh1Ph24axcabcbfdefde1234123klklPv1Pv2ggPh1Ph24axcabcbfdefde1234123klklPv1Pv2ggPh1Ph24axcabcbfdefde1234123klklPv1Pv2ggPh1Ph24xcPvPhPxabacb1k1k22