Geometría descriptiva

GeometríadescriptivaSistema de proyección ortogonal

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

Arq. Edmundo Llaguno A.Docente FAU

a2

b2

sb2

sb1a1

b1

sa2

sasa11

PH

PV

Cap. Tema Contenido Pag.

I.1 Conceptos básicos geométricos

GEOMETRÍA PLANA

I.2 El punto y la línea

I.3 La recta y la poligonalI.4 La curva

I.6 Polígonos

I.7 Sólidos y poliedros

I.9 Tipos de líneas y escala para la representación técnica

II.1 Elementos del sistema de proyección

II.2 Sistemas y tipos de proyección

II.4 Otros sistemas

CAPI

TULO

I

CON

CEPT

OS

GEO

MÉT

RICO

S BÁ

SICO

S

II.5 Proyección cilíndrica diédricaII.6 Proyección axonométrica

II.7 Proyección cónica o perspectiva

II.8 Proyección diédrica usada en geometría descriptiva

II.10 Representación simbólicaII.11 Definición de términos empleados en la proyección ortogonal

11.12 Fundamentos de la proyección ortogonal11.13 Rebatimiento de los planos de proyección (horizontal, vertical y de perfil)

6

001002003004

009

012

017

018019

022

023024

028

029

032033035037

I.5 Ángulos

I.8 Cuerpos redondos

II.3 Proyección cilíndrica

II.9 Breve reseña histórica

FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

REPRESENTACIÓN GRÁFICA015

SISTEMAS DE PROYECCIÓN

007

PROYECCIÓN ORTOGONAL

PROYECCIÓN CÓNICA

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓNCAPI

TULO

II

SIST

EMAS

DE

REPR

ESEN

TACI

ÓN 021

019

031


II.14 Planos principalesII.15 Planos auxiliares de elevación

II.16 Planos auxiliares inclinados

III.1 Posiciones principales de la recta

III.2 Posiciones particulares de la rectaIII.3 Verdadera Longitud (VL) de una recta (Métodos)III.4 Orientación y pendiente de la recta

III.5 Rectas paralelas (//) y paralelas aparentesIII.6 Rectas perpendiculares

III.8 Rectas oblicuas intersecantes y no intersecantes, ángulo real

IV.2 Vista de canto de una superficie plana oblicua y ángulo de inclinaciónIV.3 Vista de canto de una superficie plana oblicua e inclinación respecto al PV

IV.4 Vista de canto y forma real (VL) de un plano oblicuo

IV.5 Relaciones básicas entre el punto, la recta y el plano

IV.7 Recta paralela al planoIV.6 Recta paralela a una recta del plano y perpendicular

IV.8 Mínima distancia entre el plano y la recta paralela

IV.11 Punto de intersección entre un plano y una recta

III.7 Distancia mínima entre dos rectas oblicuas

038039040041

042044046048

049050051052

054

056

057058059060

II.17 Clave, proyección y cambio de planos

IV.1 Generación de una superficie plana

IV.9 Recta perpendicular al plano

PLANOS DE PROYECCIÓN

POSICIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO

RELACIÓN ENTRE RECTAS

CAPI

TULO

III

RECT

AS E

N E

L ES

PACI

OTR

IDIM

ENSI

ON

AL

DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS

CAPI

TULO

IV

SUPE

RFIC

IES

PLAN

AS E

N E

L ES

PACI

OTR

IDIM

ENSI

ON

AL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

061

065

053

055

IV.10 Ángulo diedro (real) de la intersección 064

IV.12 Intersección y visibilidad entre dos superficies planas 066IV.13 Vista de canto y ángulo diedro de dos planos 068IV.14 Ángulo diedro (real) de la intersección (Método de rotación) 069

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS


IV.15 Intersección de un plano y un prisma oblicuoIV.16 Intersección de una pirámide y un prisma triangular

V.1 Desarrollo de superficies de cuerpos geométricos básicos

V.4 Prisma oblicuo

V.5 Cilindro rectoV.6 Cilindro recto trunco

V.8 Pirámide recta

V.10 Pirámide recta truncaV.11 Pirámide oblicua trunca

V.12 Cono recto

V.14 Cono oblicuoV.15 Cono oblicuo trunco

V.16 Rotación de elementos geométricos

V.17 Proyección sucesiva de un prisma

V.19 Proyección sucesiva de una pirámide

V.9 Pirámide oblicua

070071

072

075

076077

079080081082

083

086087

088

089

091

V.3 Prisma recto trunco

V.7 Cilindro oblicuo

V.13 Cono recto trunco

V.18 Proyección sucesiva de un prisma recto trunco

INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENES

PRISMAS

CAPI

TULO

V

DESA

RRO

LLO

DE

VOLÚ

MEN

ES Y

PRO

YECC

ION

ES S

UCE

SIVA

S

CILINDROS

PIRÁMIDES

CONOS

ROTACIÓN

PROYECCIONES SUCESIVAS

074

078

084

090

V.2 Prisma recto 073


VI.1 Definiciones

VI.2 Trazado de módulo baseVI.3 Diferentes tipos de encuentrosVI.4 Casos de acoplamientos entre faldonesVI.5 Variante de faldones

VI.9 Cubierta con planos triangulares

VII.1 Paraboloide hiperbólico

VII.3 Paraboloide hiperbólico (reglada)VII.4 Aplicación en la arquitectura

VII.5 Conoide

VII.7 Hiperboloide

VII.9 Aplicación en la arquitectura

092

093094

097098099100

101

102103104105

107106

108109110

111112113

114

VI.6 Ejemplo de acoplamientos


VII.8 Hiperboloide de revolución inclinado

CARACTERÍSTICAS

MÓDILO BASE Y PASOS DE TRAZADO

CAPI

TULO

VI

CUBI

ERTA

S TR

ADIC

ION

ALES

CUBIERTAS ESPECIALES

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

CONOIDE

HIPERBOLOIDE

VI.7 Cubiertas con patio interior (vacio)VI.8 Cubiertas en dos niveles


VII.10 Helicoide (recto cilindrico)

VII.12 Aplicación en la arquitecturaVII.11 Helicoide (recto cónico)

HELICOIDE

VII.13 Cilindroide

CILINDROIDE

095

CAPI

TULO

VII

SUPE

RFIC

IES

ALAB

EADA

S


VIII.1 Secciones cuadrangulares diferentesVIII.2 Conexión de secciones cilindricad diferentes

VIII.3 Conexión de sección cuadrangular y circularVIII.4 Aplicación en la arquitectura

IX.1 Sombra arrojada del punto en los planos horizontal, vertical e inclinado

IX.3 Sombra arrojada por una recta de punta al PH y PVIX.4 Sombra arrojada por una recta oblicua al PH y PVIX.5 Sombra arrojada por una superficie plana

IX.7 Sombra de una línea curva

IX.9 Sombra de un pasamanos en una grada

115

117119

120

122

124125126

130129

132133135

138

IX.2 Sombra arrojada por una recta principal al PH y PV

IX.8 Sombra de una chimenea sobre una cubierta

CONEXIÓN DE SECCIONESCA

PITU

LO V

III

PIEZ

AS D

E TR

ANSI

CIÓ

N

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.6 Sombra de un volado en una superficie concava y convexa

IX.10 Sombra de un poste sobre una pared con molduras

IX.12 Sombra de un punto en una cúpula (semiesfera)IX.11 Método para determinar la sombra de una recta en una cúpula

IX.13 Sombra de una recta vertical en una superficie curva

CAPI

TULO

IX

SOM

BRAS

116

IX.14 Sombra de una recta horizontal en una superficie curva

IX.15 Sombra de un plano en una superficie curvaIX.16 Sombra de una cúpula en el PH y PVIX.17 Sombra de una esfera en el PH

121

123

127

136

131

137

CAPÍTULO ICONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

I.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA

LÁMINA # 001

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA

Introducción.- Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementosgeométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Es por lotanto necesario que el estudiante de Geometría Descriptiva domine y expreseestos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia el presentetema, trabajo en el que se describen en forma simple los conceptosgeométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría Descriptiva.

Además, pensando en la ejercitación práctica del estudiante en la resoluciónde problemas de Geometría Descriptiva, aplicables a la representacióngráfica, destrezas que posibilita el dibujo y diseño de objetos arquitectónicosy sus diversos componentes, se incluyen en este punto las nociones básicasde trazado y manejo de escuadras, compás, lápices de mina dura y suave,habilidades para conseguir un trazado claro, preciso, imaginativo del dibujo,finalizando con una breve descripción del concepto de escala.

Se supone que todo el contenido antes descrito es del conocimiento previodel estudiante de Geometría Descriptiva, razón por la cual se presenta estecapítulo en forma concisa y con carácter principalmente informativo.

Es la representaciónde una posición fijadel espacio. No esun objeto físico, porlo tanto carece deforma ydimensiones

I.2. EL PUNTO Y LA LÍNEA

LÁMINA # 002

PUNTO

LÍNEA

Es una sucesión infinitade puntos.Las líneas se clasificanbasicamente en: recta,poligonal, curva

A A A

Cortando Lineas Con un círculo Con un cuadrado

Línea recta Línea poligonal Línea curva


Línea de direcciónconstante. Una rectapuede ser definida pordos puntos a los queune recorriendo sumenor distancia

RECTA

b

Semirrectas a y b Segmento A-B

a

A

b

a

A-Bsemirrecta: cadauna de las dospartes en que sedivide a una rectaque une cualquierade sus puntos

Segmento: porciónde una rectacomprendida entredos de sus puntos

LÁMINA # 003

Línea formada porsegmentos rectosconsecutivos no alineados.Se clasifican en:

POLIGONALPoligonal abierta Poligonal cerrada

poligonal abierta:si el primer yúltimo segmentosno están unidos

poligonal cerrada: sicada segmento estaunido a otros dos

I.3. LA RECTA Y LA POLIGONALCONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA

Línea del plano o delespacio que no tienesegmentos rectos. Lascurvas se clasifican en:

LÁMINA # 004

CURVA Circunferencia° = ° Elipse

° < °

Parábola

° = °Hipérbola

° > °

A

°°

°

°

°

Curva que se genera alseccionar un cono rectode revolución con unplano. Las cónicas soncuatro y su formacióndepende de la relaciónentre los ángulos ( °:ángulo que forma elplano seccionante (a)con el plano base delcono) y ( °: ángulo queforman las generatricesdel cono con el planobase del mismo) comose describe acontinuación:

Cónica

Circunferencia: se forma cuandoel plano seccionante (a) esparalelo al plano base del cono,por lo tanto °=0°

Elipse: se formacuando °< °

Parábola: se formacuando °= °

Hipérbola: se formacuando °> °

°°

I.4. LA CURVACONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA

Curva del plano, generada por un punto (P) que se muevecon velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta(a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme (w),alrededor de un punto fijo contenido en ella.

Espiral de Arquímedes

V a

B

P

A B

P

A B

D C

P

P

Curva del plano, generada porun punto fijo (P) de un hilo,mientras este se desenrolla apartir de un segmento, polígonoregular ó circunferencia.

La involuta de un círculo seutiliza en la construcción de losdientes de engranajes.

Involuta (envolvente)Involuta de una recta

Involuta de un polígono

Involuta de un círculo

I.4. LA CURVA

Curva matemáticaEstas curvas son generadas porecuaciones propias de cada unade estas ciencias y su estudioes de gran utilidad en lasolución de problemasrelacionados con las mismas.

0° 90° 180° 270° 360°

1.0

0.5

0

-0.5

-1.0

f(x) =seno °


LÁMINA # 005

Curva del plano, generada por un punto fijo (P)de una circunferencia, que ruede sin deslizarse alo largo de una recta (a).

Las cicloides tienen aplicación en la construcciónde los dientes de engranajes.

Cicloide

Curva plana que forma, por la acción de supropio peso, un hilo, completamentehomogéneo, flexible e inextensible, cuando sefijan dos de sus puntos.

Catenaria

BP

a

Curva del espacio, generada por un punto (P), de unarecta (a); la cual se desplaza, con velocidad constante(v) y a su vez rota, con velocidad constante ( ), sobreotra recta (e), con la que se corta.

I.4. LA CURVA

Hélice

Hélice cilíndrica. Si elpunto (P) que la genera, esun punto fijo de la recta (a)

Hélice cónica. Si el punto (P)que la genera, se mueve, convelocidad lineal constante(vo), a lo largo de la recta (a).

e

aP

v

e

aP

v

Vp


LÁMINA # 006

I.5. ÁNGULOS

Ángulos consecutivos

Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común

Ángulos complementarios

ángulos suplementarios

=90°

=180°

Clasificación según su medida angular

Según su medida angular en grados sexagesimales (un gradosexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:

Cóncavo Llano Completo

Convexo

180° <360° =180° =360°

Agudo<90°

Recto=90°

Obtuso90° <180°


LÁMINA # 007

I.5. ÁNGULOS

Ángulos opuestos y adyacentes

Ángulos opuestos: si no poseen ningunasemirrecta común. En este caso susmedidas angulares son iguales

Dos rectas que se cortan definen cuatro ángulos,los cuales, tomados en pares se definen como:

Ángulos adyacentes: si poseen una semirrecta común. En este casoson ángulos suplementarios

Ángulos alternos y correspondientes

Si dos rectas paralelas soncortadas por una tercera recta, seforman ocho ángulos, los cuales,considerados en pares de igualmedida ángular, se denominan:

Alternos internos Alternos externos

Ángulos correspondientes

Ángulos alternos


LÁMINA # 008

I.6. POLÍGONOSFigura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a sí misma

Polígonos regulares

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, ytodos sus vértices están circunscritos en una circunferencia

Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono regular

Hexágono regular Heptágono regular Octágono regular


LÁMINA # 009

I.6. POLÍGONOS

Polígonos irregulares

Polígono en el cual sus lados no son deigual longitud y/o sus vértices no estáncontenidos en una circunferencia. Deacuerdo al número de sus lados

Triángulo Cuadrilátero

Pentágono Hexágono

Heptágono Octágono

Triángulo

Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de susángulos

Triángulo isósceles:2 ángulos iguales

Triángulo escaleno: 3ángulos diferentes

Triángulo rectángulo:1 ángulo recto

Triángulo obtusángulo:1 ángulo obtuso

Triángulo acutángulo:3 ángulos agudos

90°


LÁMINA # 010

I.6. POLÍGONOS

LAMINA # 011

CuadriláterosPolígonos de 4 lados

Paralelogramo:cuadrilátero en el quelos lados opuestos sonparalelos Romboide:

Paralelogramo que notiene ángulos rectos ysus lados adyacentes noson de igual longitud

b

aa

b

a

a

a

aa

a

b

b

Rectángulo:Paralelogramo en el cuallos cuatro ángulos sonrectos, pero los ladosadyacentes no son deigual longitud

Trapecio Isosceles:Cuadrilátero en que suslados no paralelos son deigual longitud

Trapecio:cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos

Trapeciorectángulo:trapecio que tienedos ángulos rectos

Trapezoide:Cuadrilatero que notiene lados paralelos


Rombo:Paralelogramo que notiene ángulos rectos,pero sus lados son deigual longitud

I.7. SÓLIDOS Y POLIEDROS

LAMINA # 012

SÓLIDOEspacio limitado por superficies

Poliedro Regular

Poliedro cuyas caras sonpolígonos regulares iguales ytodas sus aristas son de iguallongitud; en consecuencia,todos sus vértices estáncontenidos en una esfera

Tetraedro regular:Poliedro regular definido por 4triángulos equiláteros iguales

Octaedro regular:Poliedro regular definido por 8triángulos equiláteros iguales

Hexaedro regular (cubo):Poliedro regular definidopor 6 cuadrados iguales

Dodecaedro regular:Poliedro regular definido por 12pentágonos regulares iguales

Icosaedro regular:Poliedro regular definido por 20triángulos equiláteros iguales

vérticecara

arist

a

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES


LAMINA # 013

Poliedro Irregular

Poliedro definido por polígonos que no sontodos iguales

Según el número de sus caras

Tetraedro Pentaedro

Hexaedro Heptaedro Octaedro

Pirámide

Poliedro definido por unpolígono base y cuyascaras laterales sontriángulos que poseen unvértice común (V),denominado vértice de lapirámide, que no estácontenido en el plano base.La recta que pasa por elvértice de la pirámide y elcentro geométrico de labase se denomina eje de lapirámide (e)

e

e

Pirámides Regulares

Pirámideregular recta:la base es unpoligonoregular y eleje esperpendicularal polígonobase

Pirámideregular oblicua:la base es unpoligono regulary el eje no esperpendicular alpolígono base



LAMINA # 014

e

e

Pirámide recta: el eje esperpendicular al polígonobase

Pirámide oblicua:el eje no es perpendicularal polígono base

Pirámides Irregulares PrismaPoliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyascaras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que unelos centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e)

Prisma recto:el eje esperpendiculara los polígonosbase

Prisma regularoblicuo: lasbases sonpoligonosregulares y el ejeno esperpendicular alos polígonos base

Prisma oblicuo:el eje no esperpendicular alos polígonosbase

Prisma regularrecto: las basesson poligonosregulares y eleje esperpendicular alos polígonosbase

Prismas Regulares

Prismas Irregulares

e e

e e


I.8. CUERPOS REDONDOS

LAMINA # 015

Cilindro

Sólido que contiene superficies curvas (regladas)

Cono

Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dosbases planas paralelas. La recta que pasa por los centrosgeométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), yes paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica

Cilindrorecto:si el eje (e),esperpendiculara las bases

Cuerpo redondo limitado por unasuperficie cónica y por una base plana. Larecta que pasa por el vértice (V), de lasuperficie cónica y el centro geométricode la base se denomina eje del cono (e)

Cilindro oblicuo:si el eje (e), no esperpendicular alas bases

Cilindro derevoluciónrecto: si eleje (e), esperpendiculara las bases

Cilindro derevoluciónoblicuo: si eleje (e), no esperpendiculara las bases

Cono recto: si el eje(e), es perpendiculara la base

Cono oblicuo: siel eje (e), no esperpendicular a labase

e e

ee

e

e

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

LAMINA # 016

I.8. CUERPOS REDONDOS

Cono de revoluciónrecto: si el eje (e),es perpendicular a labase

Cono de revoluciónoblicuo: si el eje (e),no es perpendicular ala base

Toro (anillo):Su superficie la genera unacircunferencia ó una elipse, que giraalrededor de un eje (e), coplanar conella, y situado fuera de ella

Esfera:La generatriz esuna circunferencia

Elipsoide:La generatrizes una elipse

Paraboloide:La generatrizes una parábola

Hiperboloide:La generatriz esuna hipérbola

Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rotaalrededor de un eje (e)

Sólido de Revolución

Conoe

e

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

I.9. TIPOS DE LÍNEAS Y ESCALA PARA LA REPRESENTACIÓN TÉCNICA

LAMINA # 017

Líneas

Tipo Representación Designación Espesor Proporción Aplicación

AContínua Fina

intensaObjetos espaciales,proyecciones, contornosvisibles, diedros, planosde proyección y linea detierra

B ContínuaFinamenosintensa

0,2Líneas auxiliares, ejesde simetría,proyectantes

0,2

C Trazocorto

Finaintensa 0,2

Objetos espaciales,proyecciones ycontornos ocultos

DTrazocorto

Finamenosintensa

0,2Ejes de simetría,prolongacionesauxiliares, indicaciones

E Continua Medianaintensa 0,3

Texto para títulos,subtítulos y anotaciones

Clase

Mapas y planos

Reducción

Natural

Ampliación

Escalas

1: 51:101:201:501:1001:2001:5001:1000

1:1

2:15:110:1

Escalas

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS REPRESENTACIÓN GRÁFICA

CAPÍTULO IISISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

II.1. ELEMENTOS DEL SISTEMA DE PROYECCIÓN

Objeto

Un sistema de proyección es un sistema pormedio del cual puede ser definida laproyección de un objeto sobre unasuperficie. Como puede observarse en lafigura, en todo sistema de proyecciónintervienen cuatro elementos, denominados:

Es la figura, objeto que sedesea representar. Puede serun punto, recta, plano,superficie, sólido, etc; en fincualquier elementogeométrico ú objeto real

Punto de observación

Punto desde el cual seobserva el objeto que sequiere representar. Es unpunto cualquiera del espacio

Superficie de proyecciónEs la superficie sobre la cualse proyectará el objeto.Generalmente es un plano;aunque también puede ser unasuperficie esférica, cilíndrica,cónica, etc.

ProyectantesSon rectas imaginariasque unen los puntos delobjeto con el punto deobservación

P´

P

Punto deobservación

Proyección

Superficie deproyección

Proyectante

Objeto

La proyección (P´) de cualquier punto (P) del objeto se obtieneinterceptando su proyectante con el plano de proyección

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMAS DE PROYECCIÓN

LAMINA # 018

II.2. SISTEMAS Y TIPOS DE PROYECCIÓN

LAMINA # 019

Toda figura inclinada u oblicua con respecto a un plano de proyecciónse proyecta deformada con cualquier sistema de proyección

Proyección cónicao central

Proyección cilíndricao paralela ortogonal

Proyección cilíndricao paralela oblicua

Plano deProyección

A

B

C

a1

c1

b1

a1

b1

d1

c1

x1

y1

a2c2x2y2

b2d2

A

a1

B

C

c1

b1

Lineasvisuales(Rayosproyectantes)

Proyecciónde laforma


Figura realen el espacio




Proyección cónicao central

A

a1

B

C

c1

b1

Toda figura paralela con respecto a un planode proyección, se proyecta en su verdaderaforma (VF) en cualquier sistema de proyección

Plano deProyección

A B

C

a1

c1

b1

Proyección cilíndrica oparalela ortogonal

Toda figura perpendicular con respectoa un plano de proyección, se proyectacomo una arista o vista de canto encualquier sistema de proyección

Figura real enel espacio(objeto)

Rayosproyectantes

Proyección cilíndricao paralela ortogonal

a1

b1

d1

c1

x1

y1

a2c2 x2y2

b2d2

II.2. SISTEMAS Y TIPOS DE PROYECCIÓN

LAMINA # 020





II.3. PROYECCIÓN CILÍNDRICASe obtiene cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto, que permitaconsiderar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de proyección. Los principales tiposde proyección cilíndrica son:

Proyección ortogonal

También denominada proyecciónortográfica. Se obtiene cuando lasproyectantes son perpendicularesal plano de proyección

Proyección oblicua

Se obtiene cuando las proyectantesno son perpendiculares al plano deproyección. Preferentemente aldibujar en proyección oblicua secoloca el plano de proyección paralelo a una de las caras principalesdel objeto; ya que de esta formadicha cara se proyectará enverdadero tamaño

A

BC

A´

B´

C´

A

BC

A´

B´

C´


LAMINA # 021

II.4. OTROS SISTEMAS

LAMINA # 022

PLANOS ACOTADOS.- Se basan en Proyecciones Ortogonales, con un Planode Proyección. Su aplicación práctica es la representación de terrenos,relieves, urbanizaciones, carreteras y planos relacionados con curvas de nivel

PROYECCIÓN MERCATOR.- Es un tipo de proyección cartográficacilíndrica, ideada por Gerardus Mercator en 1569, para elaborarplanos terrestres, Es muy utilizada en planos de navegación porla facilidad de trazar rutas de rumbo constante o loxodrómicas.Mercator, mediante proyección, pretende representar lasuperficie esférica terrestre sobre una superficie cilíndrica,tangente al Ecuador, que al desplegarse genera un mapaterrestre plano.

PROYECCIÓN MOLLWEIDE.- Creada por el alemán Karl Mollweide en 1805.Proyección pseudocilíndrica equivalente en la que el meridiano central, recto,tiene la mitad de longitud que el Ecuador y el resto de los meridianosequidistantes sobre cada paralelo son elípticos. Si el meridiano central, losparalelos se trazan como líneas rectas que se cortan en ángulo recto en elmeridiano central. Cada paralelo dentro de cada hemisferio se divide en espaciosiguales según la distancia entre meridianos y las mismas divisiones proporcionaránlos puntos de intersección de los meridianos más al exterior. Entre los dos polos setrazan elipses a través de las intersecciones de los meridianos y paralelos. Estaproyección es equivalente ya que la distancia entre paralelos esta calculada paraque sea así. La escala lineal es real sólo a lo largo de los paralelos 40 grados y 40minutos norte y sur, aumentado hacia los polos y disminuyen hacia el Ecuador.Sinónimo: Proyección homolográfica.Nota: Puede hacerse discontinua con el objeto de aminorar la anamorfosis.


II.5. PROYECCIÓN CILÍNDRICA DIÉDRICA

LAMINA # 023

Se basan en Proyecciones Ortogonales, con 2 o más Planos de Proyección

Su aplicación práctica es la representación de objetos espaciales enplanos de proyección, basados en vistas de las piezas, como alzados,plantas, perfiles, secciones, etc.

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante IV

CuadranteIII

PV

PH

PV

PHLT

Figura volumétrica o espacialSistema diédrico formando

los cuatro cuadrantes

PLANO HORIZONTAL

PLANO FRONTAL

LINEA DE TIERRA

Proyecciónhorizontal

Proyecciónposterior

Proyecciónfrontal

PLANO LATERAL

Sistema diédrico

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN ORTOGONAL

II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA

LAMINA # 024

PROYECCIÓN ISOMÉTRICA PROYECCIÓN DIMÉTRICA

Figura volumétrica o espacial Figura volumétrica o espacial

Dependiendo de los angulos que forman entre sí los ejes axonométricos se clasifican en:Isométrica, Dimétrica y Trimétrica

X Y

Z

120°

120°

120°

30°30°

Se obtiene cuando los tres ángulosque forman los ejes axonométricosson iguales. Al representar objetosen proyección isométrica se mideen una misma escala sobre los tresejes isométrico

X Y

Z

149°

105°

105°

Se obtiene cuando solo dos de los tresángulos que forman los ejesaxonométricos son iguales.

Al representar un objeto en proyeccióndimétrica debe medirse en dos de losejes con una misma escala y con unaescala diferente en el tercer eje

1

1

1 1

3/4

3/4

71/ 2

71/ 2



LAMINA # 025

VARIANTES DIMÉTRICAS

PROYECCIÓN TRIMÉTRICA

Figura volumétrica o espacial

XY

Z

135°

120°105°

Se obtiene cuando los tres ángulos queforman los ejes axonométricos sondiferentes. En la proyección trimétricacada eje posee su propia escaladiferentea la de los otros dos

Figura volumétrica o espacial45

71/2°

0

1

3

52.5

0

2.55

1

1

1

1

3/4

1/2

371/

2

371/2



LAMINA # 026

1. PROYECCIÓN OBLICUA 2. PROYECCIÓN CABALLERA

Figura volumétrica o espacial Figura volumétrica o espacial

X

Y

Z

Angu

lo c

ualqu

iera

30°

Se obtiene cuando los tres ángulosque forman los ejes axonométricosson iguales. Al representar objetosen proyección isométrica se mideen una misma escala sobre los tresejes isométricos

X

Y

Z

135°

Se obtiene cuando solo dos de lostres ángulos que forman los ejesaxonométricos son iguales.Al representar un objeto enproyección dimétrica debe medirseen dos de los ejes con una mismaescala y con una escala diferente enel tercer eje

Eje recedente45°

De la clasificación anterior se desprenden estas cuatro proyecciones particulares



LAMINA # 027

3. PROYECCIÓN DE GABINETE 4. PROYECCIÓN OBLICUA AÉREA

Se obtiene cuando los tres ángulosque forman los ejes axonométricosson diferentes. En la proyeccióntrimétrica cada eje posee su propiaescala diferentea la de los otros dos


X

Y

Z

135°

Se obtiene cuando solo dos de lostres ángulos que forman los ejesaxonométricos son iguales.Al representar un objeto enproyección dimétrica debe medirseen dos de los ejes con una mismaescala y con una escala diferente enel tercer eje

45°


II.7. PROYECCIÓN CÓNICA O PERSPECTIVAPerspectiva de un punto de fugaDenominada también perspectiva. Se obtiene

cuando el punto de observación y el objetose encuentran relativamente cercanos

Se obtiene cuando el plano de proyección es paralelo a unade las caras principales del objeto (el plano de proyección esparalelo a dos de los tres ejes principales del objeto)

Perspectiva de dos puntos de fuga

Se obtiene cuando el plano de proyección esparalelo a solamente uno de los tres ejesprincipales del objeto

Perspectiva de tres puntos de fugaSe obtiene cuando ninguno de los tres ejesprincipales del objeto es paralelo al plano deproyección

A

BC

A´

B´

C´

Objeto

Proyección

Plano deproyección


ProyectantesPunto deobservación



SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN CÓNICA

LAMINA # 028

II.8. PROYECCIÓN DIÉDRICA USADA EN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

LAMINA # 029

SISTEMA AMERICANO ( trabaja en el cuadrante III) SISTEMA EUROPEO ( trabaja en el cuadrante I )

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante IV

CuadranteIII

PV

PV

PHL

Cuadrante II

Cuadrante IV

Cuadrante III

PV

PH

PV

PH

Plano vertical


Cuadrante I

Plano horizontal

Linea de tierra


PH T

L

TCuadrante II

Cuadrante IV

CuadranteIII

Cuadrante I

PV

PH

PV

PH T

L

Variación del angulovisual de los cuadrantes

Plano horizontal

Plano vertical

Linea de tierra

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

CuadranteIII

Cuadrante I

II.8. PROYECCIÓN DIÉDRICA USADA EN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

LAMINA # 030

Cuadrante I

ProyecciónVertical Rebatida

PV Rebatido

P V

P H

Giro o RebatimientoProyección Vertical

Punto del Espacio

Proyección Horizontal

Línea Visualde Proyección

Línea de Tierra

GIRO O REBATIMIENTO DE PLANOS SISTEMA AMERICANO

Línea de Tierra

Proyección Verticaldel punto P

Proyección Horizontaldel Punto P

Proyección Horizontaldel Punto P

Proyección Verticaldel Punto P

Plano Horizontal

Plano Vertical

GIRO O REBATIMIENTOSISTEMA EUROPEO

Figura descriptiva

L

T

TLL T 121

2


Figura descriptiva

L

T

PV Rebatido

PH

Cuadrante III


P V

p1

P

p2

p2

Proyecciónvertical rebatida

Giro o rebatimiento

Plano Vertical

Plano Horizontal

p2

p2

p1

P

p2

p1

p1

p2


LAMINA # 031

II.9. BREVE RESEÑA HISTÓRICA

La geometría descriptiva, que posee el carácter de ciencia aplicada, ha tenido un largo proceso de desarrollo

desde las incipientes representaciones trazadas en la edad de piedra, los elementos de Euclides, los estudios

de Descartes en geometría analítica y la crucial aportación de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII, quien

la formula y la eleva a la condición de ciencia autónoma.

Desde la antigüedad, el hombre ha sentido siempre la necesidad de representar gráficamente el entorno

que le rodea, como lo demuestran los dibujos encontrados en la pre-historia, pero no es hasta el

Renacimiento cuando se intenta representar la profundidad.

Las nuevas necesidades de representaciones del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar

propiedades geométricas para obtener nuevos métodos que les permitan representar fielmente la realidad.

Aquí se enmarcan figuras como Luca Paccioll, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Batista Alberti, Piero

della Francesca y muchos otros.

Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que

se asiente la nueva forma de geometría que esta implica: La Geometría proyectiva, cuyos principios

fundamentales aparecen de la mano de Gerard Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría también fue

estudiada por Blaise Pascal o por de la Hire, pero debido al gran interés suscitado por la geometría

Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión.

El posterior desarrollo de la técnica hizo necesario aplicar las teorías matemáticas a la práctica, proceso que

culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge <<GEOMETRÍA DESCRIPTIVA>>


II.10. REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA

LAMINA # 032

Perpendicularidad(Ángulo Recto)

Paralelismo

Paralelas(equidistancia)Igualdad

Punto Recta Plano Volumen

Ángulo Recto Ángulo Inclinado

Equivalencia / Coincidencia

Más otros signos y símbolos que seutilizan en geometría plana.VM: Verdadera Magnitudh: AlturaDl: Distancia LateralAl. AlejamientoLT: Línea de Tierra o de ReferenciaPH (PV): Planos de proyección

a = b


Son la líneas de vista de un observador quemira un punto o serie de puntos. Se suponeque son rectas paralelas. La posición delobservador con respecto al punto o serie depuntos que esta mirando, se considera en elinfinito

II.11. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS EMPLEADOS EN LAPROYECCIÓN ORTOGONAL

LAMINA # 033

LíNEAS VISUALES PLANOS DE PROYECCIÓN

Son superficies planas que no tienenespesor, transparentes y que se suponeestan colocadas entre el observador y elpunto o serie de puntos que mira. Laposición de un plano de proyección es talque siempre es perpendicular a las líneasvisuales del observador

LÍNEAS PROYECTORAS

Rectas que pueden considerarse comoprolongaciones de líneas visuales delobservador y que van desde los planos deproyección a un punto o serie de puntos enel espacio definido por los mismos planos

LíNEA DE TIERRA

Es la recta común a dos planos deproyección mutuamente perpendicularesque se intersecan. Esta línea se usa comobase para las mediciones que definen laubicación o localización de los objetos en elespacio tridimensional.


LAMINA # 034

PROYECCIÓN HORIZONTAL(VISTA DE PLANTA)

Es la proyección de un punto o serie de puntos en elespacio, sobre el plano de proyección horizontal.Vista que se aprecia cuando sus líneas visuales sonverticales osea, perpendiculares al plano deproyección horizontal

PROYECCIÓN VERTICAL(VISTA DE ELEVACIÓN FRONTAL)

Es la proyección de un punto o serie depuntos en el espacio, sobre el plano deproyección vertical. Vista que se apreciacuando sus líneas visuales son horizontalesosea, perpendiculares al plano deproyección vertical

PROYECCIONES O VISTAS DE ELEVACIÓN(PRINCIPALES Y AUXILIARES)

Esto significa que el observador puede tener unnúmero infinito de posiciones en las cuales su líneavisual permanece horizontal. Los planos principalesson el vertical, lateral derecho e izquiedo yposterior. Las proyecciones auxiliares de elevaciónson todas las que no son principales. Se observaraque los planos de proyección de elevación sonsiempre perpendiculares al plano de proyecciónhorizontal

PROYECCIÓNES O VISTAS INCLINADASAUXILIARES

Son todas aquellas vistas en las cuales laslíneas visuales del observador no sonverticales ni horizontales, siendo infinito sunúmero y son perpendiculares a otrosplanos de proyección tanto de elevacióncomo inclinados

II.11. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS EMPLEADOS EN LAPROYECCIÓN ORTOGONAL


II.12. FUNDAMENTOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL

LAMINA # 035

Proyección lateralizquierda de lafigura geométrica

Proyección frontalde la figurageométrica

Distancia detras delPV (alejamiento)

Proyección horizontalde la figura geométrica

Línea de Tierrao de Referencia

PV

PH

12

3

p1

P V de ProyecciónP.L de Proyección

PH de Proyección

Línea visual de proyección perpendicular al plano deproyección horizontal (línea vetical).El observador ve los planos frontal y de perfil como artistas

Línea visual de proyección perpendicular al plano deproyección vertical (línea horizontal).El observador ve los planos horizontal y de perfil como aristas

Distancia bajodel PH (altura)

Distanciabajo delPH (altura)

PP


LAMINA # 036

Proyección del Puntoen el plano horizontal

P H de Proyección

Línea visual del observador (línea visualde proyección) que ve la proyecciónhorizontal del punto en el espacio

Punto en elespacio

Línea visual del observador(línea visual de proyección)que ve la proyecciónvertical del punto en elespacio

Proyección del puntoen el plano vertical.

PV de Proyección

Figura descriptiva

Alejamiento

Altura

Linea visual deproyección

Plano Horizontal

Plano Vertical

21

Figura volumétrica oespacial

Línea de Tierra

p1

p2

p1

p2

P



Línea detierra

Perpendicularidad Perpendicularidad

II.12. FUNDAMENTOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONALSISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

AlturaAltura

AlejamientoAlejamiento

II.13. REBATIMIENTO DE LOS PLANOS DEPROYECCIÓN: HORIZONTAL,VERTICAL y PERFIL

LAMINA # 037

PLANO

HORIZONTAL

PLANO VERTICAL

PLANO DE PERFIL

12

123

p1

p1

p2

p3

p3

P

Proyecciónhorizontaldel punto

Líneas visualesdel observadordespués deque los planosde proyeccióncoinciden conel plano de lasuperficie deldibujo

Proyecciónvertical delpunto

Proyección deperfil del punto

Planos de proyecciónantes de abatirse sobreel plano de la superficiedel dibujo

Superficieplana delpanel dedibujo

p1

123

Plano Horizontal

Plano VerticalPlano de Perfil

p2p3

Figura descriptiva

Superficie plana del panel de dibujo

Figura volumétrica


Altura

Alejamiento

Alejamiento

II.14. PLANOS PRINCIPALES

LAMINA # 038

Plano superior

Plano de perfil

izquierdo Plano frontal

Línea visual (vertical)

Línea visual(horizontal)

12

155

1

12

4

23

Alejamiento

Altura

Planos rebatidos en susrespectivas líneas de tierraFigura volumétrica

o espacial

p1

p3

p2P

p1

p2

p3

p5

p4

Plano Posterior

Plano Horizontal

Plano Frontal

Plano Lat. Izquierdo Plano Lateral Derecho

3 41

Proyecciónhorizontaldel punto P

Proyecciónfrontal delpunto P

Proyecciónposteriordel punto P

Altura

Alejamiento

Altura

Alejamiento

12

15

Figura descriptiva pura

p1

p2

p3

p5

p4

Plano Posterior

Plano Horizontal

Plano Frontal

Plano Lateral Izquierdo Plano Lateral Derecho

3 41

Altura

Altura

Altura Altura

AlejamientoAlejamiento


SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PLANOS DE PROYECCIÓN

Altura

Alejamiento

Altura

Altura

Altura

II.15. PLANOS AUXILIARES DE ELEVACIÓN

LAMINA # 039

Los planos 2,3,4,5 y 6 son planosde proyección de elevación, yaque son perpendiculares al planode proyección horizontal

Planohorizontal

Elevaciónfrontal

16

12

14

15

Figura descriptiva(rebatimiento de planos)

Figura descriptiva pura

Figura volumétricao espacial

p1

p3

p2

p4

P

p1

p4

p2

p3

p6

p5

Elevación auxilia

r

Elevaciónauxiliar

Elevaciónauxiliar

Elevación

auxiliar

p1

p4

p2

p3

p6

p5

156

1

11

1

5

4

4223

3

6

Alejamiento

Altura(h)

Alejam

iento

h

h

hh

156

1

11

1

5

4

4223

36





Los planos 3, 4, 5 y 6 son auxiliaresde elevación, ya que entre ellos nohay perpendicularidad

Altura

h

h

Alejamiento


hh

hAlejamiento Alejamiento

Alejam

iento

h

II.16. PLANOS AUXILIARES INCLINADOS

LAMINA # 040

Línea visual inclinadadel observador. Elplano de proyecciónvertical aparece comouna arista

Los planos #2 y #3son perpendicularentre si

Plano de Proy. VerticalPlano de Proy. Aux.inclinado

Plano de Proy. Horizontal

Plano de ProyecciónHorizontal

Plano de Proyección Auxiliar

inclinado

FIGURA DESCRIPTIVA

3 2

12

FIGURA VOLUMÉTRICAO ESPACIAL

Plano de Proyección Vertical



Línea visual(inclinada)

231

a1

a2

a3

X

X

a1

a2

a3 A


X

XX

hh

h

II.17. CLAVE DE LA PROYECCIÓN ORTOGONALY CAMBIO DE PLANOS

LAMINA # 041

Líneas visuales verticales # 1.El plano vertical y los demásplanos de elevación aparecensiempre como aristas

Línea visualhorizontal #3.El PH y elplano Aux.inclinado #4aparecencomo aristas

Línea visual inclinada #4el plano de elevaciónAux. Aparece como unaarista

Línea visualhorizontal #2.El PH aparecesiempre comouna arista

Línea visual inclinada #5.El PV o frontal aparececomo una arista

Plano deProy. Aux.

de Elev.

Plano de Proy. Horizontal

Plano de Proy. Vertical

Plano de Proy. Aux. Inclinado

E

H

E

F

H

F

#1

#4#5

#2

3 4

3 1

12

2

P

5

FIGURA VOLUMÉTRICAO ESPACIAL

Vista #4 plano deproyección auxiliarinclinado

Vista #3 plano deproyección auxiliar deelevación

Vista #1 plano deproyección horizontal

Vista #5 plano deproyección auxiliarinclinado

FIGURA DESCRIPTIVA

E

H

E

F

H

F

Vista #2 plano deproyección verticalo frontal

4 3

3 1

12

25

#3

p3

p4 p1

p2

p5

p1

p2p4

p5p3

PH

PV

PAI

PAE

PAI


PROYECCIÓN DEL PUNTO

CAPÍTULO IIIRECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

III.1. POSICIONES PRINCIPALES DE LA RECTA

LAMINA # 042

(VL)

(VL)

(VL)

(VL)

Figura descriptiva Figura descriptiva

RECTA HORIZONTAL RECTA FRONTAL

31

12

31

12

12

12



a1

b1

a2 b2

b2

a2

a1

b1

AB

a2

b2

a1 b1

b1

a1

a2

b2A

B

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

La recta horizontales // al PH, por tantotiene la misma alturay la proyecciónhorizontal esta enverdadera magnitudo longitud

La recta frontal es //al PV, por tanto tieneel mismo alejamientoy la vista frontal estaen VL

Altura

Alejamiento

Alejamiento

Altura

(VL)

Figura descriptiva

RECTA DE PERFIL

12

13

LAMINA # 043

(VL)

(VL)

Figura descriptiva

RECTA PARALELA

31

1

2

12


a1 b1

a2 b2

a1

b1

a2

b2

b3

a3

A

B

a1

b1

a2

b2(VL)

31

1

2


a2

b2

a1

b1

a3

b3

A

B

III.1. POSICIONES PRINCIPALES DE LA RECTARECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

La recta de perfil es// al PF, por tantotiene el mismoalejamiento. Laproyección de perfilesta en VL

La recta // alPH y PV

La recta //, lasproyecciones H yV son // a laLínea de Tierra

LAMINA # 044

(VL) (VL)

(VL) (VL)

(VL)

(VL)

(VL)

RECTA DE PUNTA AL PF RECTA DE PUNTA AL PH RECTA DE PUNTA AL PV

Figura descriptiva

31

1

2

31

1

23

11

2

1

2

13

1

2

13

1

2

13

Figura Volumétrica o Espacial

Figura descriptiva Figura descriptiva

Figura Volumétrica o Espacial Figura Volumétrica o Espacial

a1a3b3 b1

a2 b2

a1

b1

a3b3

a2

b2A

B

a1b1

A

B

a2

b2

a3

b3 a2b2

ABa3

b3

a1

b1

a1

b1

a3

a3

b3

b3

a2

b2

a1b1

a2b2

III.2. POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTARECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Esta rectaes I al PF

Esta rectaes I al PH

Esta rectaes I al PV

RECTA OBLICUA (INCLINADA)

3

11

2

13

1

2

Figura descriptiva


a1

a1

b1

b1

a3

a3

b3

b3

a2

a2

b2

b2

A

B

III.2. POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTAVISTA DE PUNTA DE UNA RECTA

(VL)

Figura Descriptiva

31

1

2

12


(VL)

Figura Descriptiva

Vista de punta dela recta a unplano auxiliarinclinado (plano 3)

3

12

12


Vista de punta dela recta a un planoauxiliar (plano 3)de elevación

LAMINA # 045

a1

31

a3b3

b1

a2b2

(VL)

(VL)

a1b1

a2

b2

a3b3 AB

2

23

a1

a1

b1

b1

a2

a2

b2

b2

a3b3

a3b3

A

B


Esta recta esinclinada a los planosde proyección

III.3. VERDADERA LONGITUD (VL) DE UNA RECTA

LAMINA # 046

Plano 3 paralelo a laproyección horizontalde la recta


Proyección 3 (auxiliarinclinado) de la rectaque se ve enverdadera magnitud

MÉTODO DEL PLANO PARALELOProyección 3 (auxiliarde elevación) de larecta que se ve en VLo verdadera magnitud

Plano 3 paralelo a laproyección horizontalde la recta

Figura Descriptiva

12(VL)3

11

2

a1

b1

a2

b2

AB

b3a3

La proyección en elplano 3 esta enverdadera magnitud

A

B

a1b1

a2

b2

a3

b3

23

(VL)

12

13(VL)

Paralel

a

Y

X

Y

X

12

23

(VL)

Y

X

Y

a2

b2a3

b3

b1

a1X

Paralel

a

b2

b1

a1

a2

b3

a3

La proyección en elplano 3 esta enverdadera magnitud

Figura Descriptiva



LAMINA # 047

Figura Descriptiva

MÉTODO DE GIRO

121

2

(VL)

a1

b1

a2

b2

b1'

b2'

a1

b1b1'

b2'b2

a2

A BB'

(VL)

LT

MINIMA DISTANCIA ENTRE UNPUNTO Y UNA RECTA

Figura Descriptiva

12

13(VL)

Paralel

a

Y

X

Y

X

b2

b1

a1

a2

b3

a3

34 a4b4

p3

p1

p4

VL de la mínimadistancia

90°

p2

o3

o1

o2



III.3. VERDADERA LONGITUD (VL) DE UNA RECTA

Al girar cualquiera de las proyecciones hastaubicarla paralela al plano de proyección (LT), en elplano correspondiente se observara la verdaderamagnitud de la recta

III.4. ORIENTACIÓN Y PENDIENTE DE LA RECTA

LAMINA # 048

El plano #3es // a laproyecciónhorizontal

N 60 °

La proyección vertical de la rectacualquiera sea su ubicación opendiente, no tiene ningun efectoen la orientación en el PH

Paralel

a

Ángulo de la

inclinaci

ónO E

S

21

12

13

Figura Descriptiva

b1

a1

a2'

a2b2'

b2

La orientación de una rectase observa y mide solo en laproyección horizontal.

La medición del ángulo de laorientación o rumbo, parte delnorte al este, del norte al oeste,del sur al este y del sur al oeste

N

12

B

A

N

S

E

O

a2'

a2

b2'

b2

b1 a1N 60 °


Figura Descriptiva

Vista de canto del planode proyección horizontalcuando se ve la vista deelevación auxiliar #3


12

13

A

B

a2 b2

a1

b1

a3

b3 b2

a2

b1

a1

a3

b3La proyección enel plano 3 esta enverdadera longitud

(VL)

ORIENTACIÓN PENDIENTE


III.5. RECTAS PARALELAS (//) Y PARALELAS APARENTES(DETERMINACIÓN DE LA EQUIDISTANCIA )

LAMINA #0 49

RECTAS PARALELAS (//) APARENTES

Las rectas // seproyectan en cualquierplano de proyecciónsiempre //

2

1

13

34

54

Vistas de puntade las rectas //

Dadas las proyecciones de las rectas AB y CD,comprobar si son o no paralelas en el espacio

Las dos rectas de perfilaparentemente //, sedemuestra en el plano#3 que no lo son

1 3

12

Figura Descriptiva

(VL)

(VL)

a5

c5

b5

d5

c4d4

a4b4

d3

c3

b3

a3

a1 c1

b1 d1

a2

b2c2

d2

a3

c3

b3

d3d1

b1

a1

c1

a2

d2

c2

b2

La una rectase encuentrasobre la otra

Distancia real equidistanteentre las dos rectas

RECTAS PARALELAS (//)

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL RELACIÓN ENTRE RECTAS

III.6. RECTAS PERPENDICULARES ( I )

LAMINA # 050

Figura Descriptiva

12

31

4 3

90 °

90°

c5

c4c3

c1

c2

a2d2

b2

a1

b1 d1

b3a3

d3

a4b4

d4

d5

a5

b5

VL

5 4 4 3

31

12

VL

VL

d4

c4

c3

c1

c2

d2a2

b2

d1

b1

a1

b3

b3

a3a4b4

Mínima distancia Ientre las 2 rectas

VL

VL

Cuando la proyección de una de lasrectas se encuentra en VL, en eseplano de proyección se definirá laotra recta

Cuando la proyección de una de las rectasesta en VL, se dibujara la segunda recta I .El punto de intersección real se encuentraen la misma línea visual I a la LT

Vista de puntade la recta

x4x3

x1

x2

x5

Vista o proyecciónsimultanea de lasrectas en VL

Figura Descriptiva

RECTAS NO INTERSECANTES RECTAS INTERSECANTES

Paralela

Paralela


III.7. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS OBLICUAS

LAMINA # 051

Figura Descriptiva

a1

b1x1

y1

a2

b2

x2

y2

12

b3a3

y3

x3

y4

x4

31

34

a4b4

VL de la distancia mínimaentre las dos rectas

VL

Paralela

m4

n4

m3

n3

90°

90°

n1

m1

m2

n2

A

B

X

Y

N

M

90°

90


La recta MN es la distanciamínima entre las 2 rectascualquiera, AB y XY, ya quees I a ambas rectas


LAMINA # 052

III.8. RECTAS OBLICUAS INTERSECANTES Y NOINTERSECANTES, ÁNGULO REAL

VL

1

1

2

31

b2

a2

c2

d2

c1 a1

b1 d1

12

3

x2

x1

x3

d3

b3

a3

c1

a4b4

x3

Vista depunta de larecta

34

Cuando la proyección a3-b3 de una de lasrectas esta en VL, se dibujara la segundarecta c3-d3 en cualquier posición

a1

b1

d1

c1

b2

c2

a2 d2

b3

d3

c3

a3

VL

Mínima distancia Ientre las dos rectas

a4b4

34

c4

d4

El punto de intersecciónreal se encuentra en lamisma línea visual I a la LT

El punto de intersecciónes aparente y no seencuentra en la mismalínea visual I a la LT

RECTAS INTERSECANTES RECTAS NO INTERSECANTES

Paralela

d4

C4

RELACIÓN ENTRE RECTASRECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

CAPÍTULO IVSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO

TRIDIMENSIONAL

IV.1. GENERACIÓN DE UNA SUPERFICIE PLANA

LAMINA # 053

Plano generado por unarecta que se desplaza // asimisma

Plano generadopor una recta y unpunto fuera de ella

A

A'

B

B'A'

B

A

A

B

Y

X

P

A

B

C

Plano generado (sectorcircular) por una recta quegira en uno de sus extremos

Plano generado por dosrectas que se intersecan

Plano generado por trespuntos no colineales

Plano generadopor dos rectas //

La recta XY pertenece a la superficie plana, por tanto todos sus puntos esta en contacto con la misma

XX

X

X

X

Y

Y

Y

Y

Y

AB

C

D

A

B

C

D

DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

IV.2. VISTA DE CANTO DE UNA SUPERFICIE PLANA OBLICUA YÁNGULO DE INCLINACIÓN

Empleando una recta horizontal auxiliar

LAMINA # 054

12

b1

a1

c1

b2

a2

c2

AC

B

L H

31

21

(VL)

a1

b1

c1

c2

a2

b2

a3

b3

c4

a4

b4

34

Figura Descriptiva


Vista de Canto(VC) del planoABC

c3x3

Forma real (VL)

x2

x1

1

3

a3

b3

c3x3x2

x1

68°

49°

63°

6,73

6,99

5,66

El plano 4 es // a la VC(vista de canto del planoen el #3), por tanto en elplano 4 se ve laverdadera magnitud VL

46°

Ángulo deinclinación


Línea Frontal

32

12

(VL)

a2

c2

b2

b1

a1

c1

a3

c3

b4

a4

c4

3

4

IV.3. VISTA DE CANTO DE UNA SUPERFICIE PLANA OBLICUA EINCLINACIÓN RESPECTO AL PV

Empleando una recta frontal auxiliar

LAMINA # 055

Figura Descriptiva Figura volumétrica o espacial

12

b1a1

c1

b2

a2

c2

CA

B

Vista de Cantodel plano ABC

Forma real

x2

x3b3

(VL)

1 3

x1

c3a3

x2

x3b3

68°

49°

63°

7,45

7,17

6,03

El plano 4 es // a la VCdel plano #3, por lo tantoen el plano 4 se ve laverdadera magnitud(VM) o VL


IV.4. VISTA DE CANTO Y FORMA REAL (VL) DE UN PLANO OBLICUO

LAMINA # 056

12

13

El plano #4 es perpendicular a la VL de larecta auxuliar XY. La proyección #4 permiteobservar la Vista de Canto del plano ABC3 4

45

a1

b1

c1

x1

y1

y2

x2

a2

b2

c2

r2s2

r1

s1

a3

b3

c3

x3

y3

s3

r3

x4y4r4s4

c4

a4

b4

a5b5

c5

x5

y5

r5

s5

Forma real delplano ABC

VL de larecta XY

Figura Descriptiva

3,79

5,51

5,61

40°

69°

72°

La recta oblicua auxiliardebe estar en VL paraproceder a encontrar la VCde la superficie plana


Empleando una recta oblicua auxiliar

La recta XY en elplano #3 seencuentra en VL

IV.5. RELACIONES BÁSICAS ENTRE EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO

LAMINA # 057

PUNTO QUE NO PERTENECE AL PLANO PUNTO QUE PERTENECE AL PLANO

RECTA QUE NO PERTENECE AL PLANO RECTA QUE PERTENECE AL PLANO

a1

b1

c1

d1

p1

y1x1

p2 c2

d2

a2

b2

y2

x2

a1

c1

d1

y1

x1

c2

d2

a2y2

21

21

a1

b1

c1

p1

p2

c2a2

b2 y2

x221

Para que el punto Ppertenezca al plano, debepertenecer a la recta XYdel plano

El punto aparente (o)de contacto entre larecta y el plano, se veque pertenece solo a larecta y no al plano

El punto P nopertenece al plano,ya que no pertenecea una recta del plano,como se observa enla proyección vertical

o1

o2'

o2''

m1'

m1''

m2

x2

Para que la recta XYpertenezca al plano,los puntos decontacto M y Ndeben pertenecer alplano

m2

m1

y1

x1

1

23

4 5 6

7

9101112

8

1'

2'3'

4' 5' 6'

7'

8'9'

10'11'12'

x1

y1

y2

x2

21

n1m1

n2m2

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

N

L

S0

M

RPLANO DADO

IV.6. RECTA PARALELA (//) A UNA RECTA DEL PLANO Y PERPENDICULAR

La recta XY es paralela a larecta CD contenida en el planoABC. Por tanto, XY es paralelaa la superficie plana ABC

La recta XY es paralela a larecta AC del perimetro delplano ABC. Por tanto, XY esparalela a la superficie planaABC

rectas auxiliares quepertenecen al plano

La recta XY esperpendicular al planoABCD en el espacio

LAMINA # 058

B

A

X

Y

C

B

X

A

C

D

YParalela

Paralela

B

A

C

D

X

Y


La recta XY esperpendicular al planoABCD en el espacio

21

LH

a1

b1

c1

c2

b2

a2

y2

x2

y1

x1

b3

c3x3

y3

h1

a3h3

(VL)

13

IV.7. RECTA PARALELA (//) AL PLANO

LAMINA # 059

Figura Descriptiva Figura volumétrica o espacial

h2

A

B

C

X

Y

a1

b1

c1

x1

y1

b3

b3h3

c3

x3

y3

c2

b2

a2

x2

y2

12

13


La recta XY es // al planoABC, como se observa en laproyección 3. Vista de cantodel plano y la recta son //

Figura Descriptiva

VC

12

13

Figura volumétrica o espacialFigura descriptiva

Distancia I mínima entrela recta y el plano en VL

IV.8. MÍNIMA DISTANCIA ENTRE EL PLANO Y LA RECTA PARALELA (//)

LAMINA # 060

c2

b2

a2

x2 y2

a1c1

b1

x2

y1

c3

(VL)

x3y3

b3

a3h3

n3

m1

n1

n2

m2

Distancia Imínimaentre la rectay el plano

La ubicación PH delpunto N es arbitraria

12

c1

b1

a1

c2

b2

a2

BA

C

h1

h2

a3h3

b3

c3

y2

13

x1

y1

x2

X

Y

(VL)

x3y3

n3

n1

n2

h1

90°90

90°

90°

90 N

m2

M

m1

m3

H


VC

21

VC

2 3

IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I ) AL PLANO

Ángulo realCuando el plano dado ABCD, aparece como una arista o uncanto (para el caso en las proyecciones vertical y de perfil) sepuede apreciar el ángulo real de 90° que forma la recta XY conel plano

90 °

LAMINA # 061

b1

a1d1

c1

n1

p1

r1

m1

o1

s1

x1y1

a2b2 d2x2

y2

o2m2 n2p2r2s2 d3 b3c3

e1f1

b2

e2 c2f2

e3f3 a3

x3

y3

90 °


EN CONTACTO CON EL PLANO

IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I )AL PLANO

LAMINA # 062

21

LH

a1

b1

c1

c2

b2

a2

x2

x1

b3

c3

h1

a3h3y3

(VL)

13

Figura DescriptivaFigura volumétrica o espacial

h2

x3

y1

y2

(VL)

12

c1

b1

a1

c2

b2

a2

BA

C

h1

h2

a3h3

b3

c3

y2

13

(VL)

x3

X

(VL)

x1

y1

x2

Y


El punto Y de la recta XYesta en contacto con elplano por tanto perteneceal plano ABC

EN CONTACTO CON EL PLANO

12

c1b1

a1

c2

b2

a2

B

A

C

h1

h2c3h3

b3

a3

y2

13

(VL)

d1

x3

D

(VL)

x1 y1

x2

LAMINA # 063

21

LH

a1

b1

c1

c2

b2

a2

b3

a3 h1

c3h3

(VL)

Figura Descriptiva Figura volumétrica o espacialh2

(VL)

X

Y

x3

y3

y3

x2

y2

x1

y1

13

(VL)


La recta XY seencuentra separadadel plano ABC, comose ve en laproyección #3, vistade canto del plano.

IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I ) AL PLANO

NO HACE CONTACTO CON EL PLANO

IV.10. ÁNGULO REAL (DIEDRO) ENTRE UNA RECTA OBLICUA Y UN PLANO

LAMINA # 064

12

LH

Longitud Verdadera

Vista de cantodel plano ABC

Longitud VerdaderaAngulo real(ángulo diedro)de aberturaentre una rectay un plano

Para determinar elángulo diedro esnecesaria la vista decanto del plano y la VLde la recta

x2

y2

a2

b2

c2

h2

a1

c1

b1

x1

y1

h1

x3

y3 c3

b3

a3h3

31

12

c1

b1

a1

c2

b2

a2B

A

Ca3h3

b3

c3

y2

13

x1

y1

x2

X

Y

x3

y3

(VL)

h1

h2

Figura descriptivaFigura volumétrica o espacial


LH

121

2

13

MÉTODO VISTA DE CANTO

Vista de cantodel plano ABC

Vista de canto del planode corte vertical auxiliar.

IV.11. PUNTO DE INTERSECCIÓN ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA

LAMINA # 065

MÉTODO DEL PLANO DE CORTE

x1

y1

a1

b1

c1

h1 p1

x2a2

y2

h2

p2

b2

c2

x3

p3

c1

c3

a3

y3

b3h3

x1

y1

a1

b1

z1

w1

p1

a2

b2

c2

y2

x2

p2w2

z2

En PH es visible la sección de la rectaque se encuentra sobre la VC que seobserva en PE, y la otra sección esinvisible

En PV es visible la secciónde la recta que seencuentra delante, estose observa en PH, el restoque esta detrás esinvisible


Intersección

Intersección

Intersección

Intersección

12

LH

2 3

Linea de intersección

Vista de punta de la recta auxiliar Hperteneciente al plano ABC.Los puntos X-Y son las intersecciones entrelos dos planos

Vista de canto del planoABC (considerado comoun plano de corte)

MÉTODO DE LA VISTA DE CANTO

IV.12. INTERSECCIÓN Y VISIBILIDAD ENTRE DOS SUPERFICIES PLANAS

LAMINA # 066

b1m1

n1

x1 y1 f1

c1p1

o1

a1

c2

h2

y2

g2

d2

f2

e2b2

a2

x2

f3 e3

g3 d3

CM

N A

O

P

B

X

Y

Linea de intersección

c3

b3

a3h3

y3

x3

(VL)

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOSSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

12

MÉTODO DEL PLANO DE CORTE

Línea deintersección XYque resulta de larelación entre UTy la recta PM, yRS y la recta NC

Intersección dePlanos

IV.12. INTERSECCIÓN Y VISIBILIDAD ENTRE DOS SUPERFICIES PLANAS

LAMINA # 067

a1

b1

m1t1

n1

s1

y1

c1

o1

u1p1

x1

n2

m2

b2

t2

x2

u2

a2

p2

o2

c2

y2

r1

B

CA

MN

PO

U R

XY

T

S

Línea de intersección ( UTy RS) de los planos decorte entre los planosABC y MNOP

Planos de corte quecontienen a lasrectas MP y NO


r1r1

r1r1

s1

12

IV.13. VISTA DE CANTO Y ÁNGULO DIEDRO DE DOS PLANOS

13

LAMINA # 068

Línea de intersección

Ángulo diedro real

Vista de punta dela intersección

a1

b1

d1

c1

a2

d2

c2

b2

a2

d2

c2

b2

(VL)

a3

b3c3

d3

12°

34

Los planos ABC y BCDaparecen comoaristas, cuando la VLde la intersección CBse ve como un punto


El plano #3 auxiliar deelevación es // a laproyección horizontal de laintersección, paraencontrar la VL de la misma

INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS

Pasamos un plano de corte l a la recta de intersecciónentre los planos dados. Este plano corta una sección planacuya forma real contiene el ángulo diedro. Haciendo girarla sección plana de modo que sea l a la línea visual delobservador, podremos ver el ángulo diedo real

Determinación del ángulo entre una recta y un planoDeterminamos una vista en el que la recta y el planoaparezcan simultáneamente en longitud verdadera ycomo una arista, respectivamente..

Ángulodiedro real

X

X

L

A

C

D

LR

Eje

de ro

taci

ón

Eje de rotación

M

Línea visual delobservador

Arista del plano


Recta deintersección

PR

NC

A

D

A

OP

Eje

n1

P1Ro1Plano horizontal

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

IV.14. ÁNGULO DIEDRO (REAL) DE LA INTERSECCIÓN(MÉTODO DE ROTACIÓN)

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS

LAMINA # 069

Puntos deinterseccionde las aristaslaterales

Plano de intersección

Plano base Aristas laterales

O

Q

M

S

B

w P

y

z

N L

R

C

A D

x

Línea visual del observador, elplano de intersección se vecomo una arista

Vista de canto delplano de intersecciónABCD

Aristas lateralesdel prisma

Puntos deintersección

q3

o3

s3m3

x3w3

y3

z3

b3c3

p3

n3

r3

l3

a3d3

Vista de canto del plano base

3 112

a1 o1

q1

m1

s1

w1

z1

y1

x1

d1

c1

r1

l1

n1p1

LHLV

b1

o2 m2 q2 s2

b2

a2

w2

z2 y2x2

c2

d2

n2 l2 p2 r2

IV.15. INTERSECCIÓN DE UN PLANO Y UN PRISMA OBLICUO

LÁMINA # 070

INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENESSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE LA VISTA DE CANTO Y DE LOS PLANOS DE CORTE

u1

Planos verticales de cortevistos como aristas

III

IVIII

u2v2

v1x1y1

x2y2

f2g2h2

i2

f1

g1h1

i1

Los puntos 2, 4,7,8 sonpuntos de intersección delas aristas laterales delprisma con las caras de lapirámide

los puntos 1, 3, 5, 6 sonpuntos de intersección delas aristas laterales de lapirámide con las carasdel prisma

Plano del corte quecontiene la arista lateraldel prisma PQ y queinterseca la cara lateralde la pirámide BVC

Línea visual en quese aprecia la vistaaxial del prisma

V

l1

l1

B6

81 L

N

P

A47X

QPlanobase

2

53

W

C

IV.16. INTERSECCIÓN DE UNA PIRÁMIDE Y UN PRISMA TRIANGULAR

LÁMINA # 071

INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENESSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

CAPÍTULO VDESARROLLO DE VOLÚMENESY PROYECCIONES SUCESIVAS

V.1. DESARROLLO DE SUPERFICIES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

DefiniciónLos cuerpos geométricos sedesdoblan o extienden, sobre unplano.En estas condiciones, la superficieadopta una forma que puederodarse o doblarse para obtener laforma original del cuerpo dado

Todas las líneasaparecen en VL

VL VL

VL

1

2

3

41

1'

2'3'

4'1'

1

2

3 4

1

1'

2'

3' 4'

1'

1

2

34

4'

3'

1'

2'

1

2

31'

2'3'

4

4'

1

1'

PLANO DE DESARROLLOPLANO DE DESARROLLOParalelo

VL VL

Líneas de doblez

Caras del prisma extendidos

Prisma recto

Línea dedesarrollo(sobre la cualse desdobla elperímetro delprisma)

Líneas de doblez

PRISMASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

LÁMINA # 072

PRISMA RECTO

12

Líneas de doblezBASESUPERIOR

BASEINFERIOR

VL

VL

Línea de desarrollo

Nota: se usan números en lugar deletras para designar las proyeccionesdel prisma con objeto de facilitar lanotación usada en el desarrollo

Desarrollo de la superficie lateral del prisma,incluyendo las bases superior e inferior

VISTA AXIAL DEL PRISMA

V.2. PRISMA RECTO

Base inferiorvista en formareal

Base superiorvista en formareal en la vista# 1

Perímetro delprisma visto enla proyección#1

LÁMINA # 073

2' 3'

4' 3' 2' 1'

4 3 2 1

1'

1

2

3,3'

4,4'

1,1'

2,2'

aris

tas

late

rale

s en

VL

2 3 1 4

2' 3' 1' 4'


V.3. PRISMA RECTO TRUNCO

12

VISTA AXIALDEL PRISMA

Vista de canto de la base inferior

Forma real de labase inferior

FORMA REAL DE

LA BASE

SUPERIOR

FORMA REAL

DE LA BASE

SUPERIOR

FORMA REALDE LA BASEINFERIOR

34

LAMINA # 074

1,1'

2,2'

3,3'

4,4' Línea de desarrollo

2'1'

4 1 3 2

3'

4'

3'

4'

2'

1'

3 4 2 1

3'

4'

2'

1'2 3

VL VL VL VL

1 2 4 1

1' 1'

4'

3'

2'

1

3

4

1'

4'

Líneas de doblez

LV aristas laterales

Desarrollo completo de la superficie


12

S

O

2 3

1’, 2’, 3’, 4’, es la formareal de la base inferior.

El plano S-O esperpendicular a lacara de las aristaslaterales delprisma. corta unasección 1-2-3-4,que se aprecia enforma real en lavista #4.

V.4. PRISMA OBLICUO

FORMA REAL DE LABASE SUPERIOR

FORMA REAL DE LABASE INFERIOR

Líneas de doblez

Desarrollo completo de la superficieLAMINA # 075

2'

3'

4'

1'

4''

1''3''

2''

2''

3''

4''

1''

24

32

14

3' 2' 4' 1'

32

41


3''

2''

4''

1''

1''

2''

3''

4''1''

2''

1''

1 4 3 2 1

1'

2'

3'

2'

1'

1'

4'

x

y

VLVL

VL VL

Trasladar VL y ángulos

Perímetro enVL en vista axial


V.5. CILINDRO RECTO

1

2

Vista axial del cilindro. Laforma real de las basessuperior e inferior apareceaquí

LAMINA # 076

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8'

9' 10' 11' 12' 1'

7

6

54 3

2

1

1289 10

11

1 2

3 4 5 6

9 10 11 12 187

Línea de

desarrollo


FORMA REAL DELA BASE INFERIOR

12

3

4

5

67

8

9

10

11

12

1'2' 12' 11' 10'3'4'7'6' 8' 9'5'

12 12 11 103476 8 95


CILINDROSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.6. CILINDRO RECTO TRUNCO

1’’

1

9’’

10’’

1’’12’’

11’’

8’’7’’6’’

5’’

4’’

3’’2’’

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

43

2

1

12

11 109

8

7

6

5


FORMA REAL DELA BASE SUPERIOR


Desarrollo completo de la supeficie

Vista axial del cilindro (Se aprecia elperímetro y la real de la base inferior)

32

PARALELAS

1

2

1 2 3 4 5 6 712 11 10 9 8

1’’

12’’

11’’

2’’

3’’

4’’

5’’6’’

7’’

9’’

8’’

10’’

Elementos en LV

LAMINA # 077

Línea de

desarrollo

6’’

7’’8’’9’’

10’’

11’’

12’’

1’’

12

1

8

7

6

5 43

2

7’’

6’’

5’’

4’’

3’’2’’

1’’

12’’

11’’

10’’

9’’ 8’’


V.7. CILINDRO OBLICUO

x

yS O

1

2

1’’

9’’

10’’

1’’12’’

11’’

8’’7’’6’’

5’’4’’

3’’2’’

Vista axial del cilindro

El plano S-O es perpendicular a loselementos del cilindro en VL, cortala sección que aparece en la vista#1 en forma real.( Vista axial del cilindro)



VC del plano de

32

24

LAMINA # 078

1

23 4 5

6

7

891011

12

1''

2''

3''

4''5'' 6''

7''

8''

9''10''

11''12''



1''2''

3''

4''5''

6' 7''8''

9''10''

11''12''

1 2 3 4 5 6 712 11 10 9 8


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

1' 2' 3'4'

5'

6'

7'8'9'

10'

11'

12'

1' 2'3'

4'5'

6'7'8'

9'10'

11'12'

1' 2' 3'

6' 7' 8'9'

10'11'

12' 1'

5'4'

x

y

(perímetro en VL)


la base inferior

1'

7'8'9'

10'

11'

12'

1’’

8’’

7’’6’’ 5’’

4’’

3’’

2’’


V.8. PIRÁMIDE RECTA

Todas las caras triangularesen forma de la pirámideaparecen en forma real enel desarrollo

El radio del arco es igual a laLV de las aristas laterales dela pirámide

FORMA REALDE LA BASEDE LAPIRÁMIDE

Aristas laterales en LV

FORMA REAL DELA BASE DE LAPIRAMIDE

En una pirámide recta,todas las aristas son deigual longitud; por lotanto, sólo es necesariodeterminar la longitudverdadera de una deellas

1

2

3

4

1LVLV

LV

LV

LV

LV

LV

LV

LV

LV

LV

LVV1

4

3

2

1

12

4312

LAMINA # 079

V1

LV

2'

V1

Líneas dedoblez

1

2


PIRAMIDESDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.9. PIRÁMIDE OBLICUA

LAMINA # 080

2

3

4

5

1V

1' 4' 3'2'5'

V

V

VL de las generatrices

MÉTODO DE GIRO

3' 1'5'4' 2'Desarrollo completo de la supeficie

2

3

4

5

1

3

4

5

1

FORMA REALDE LA BASE DE LA

PIRÁMIDE

FORMA REALDE LA BASE DE LA

PIRÁMIDE

12


Base pentagonal irregular

V.10. PIRÁMIDE RECTA TRUNCA

FORMA REALDE LA BASE

INFERIOR DE LAPIRÁMIDE

FORMA REALDE LA BASEINFERIOR DELA PIRAMIDE

La arista v1-2'' esta enVL

1

2

34

1

LV

LV

LV

LVV1

4

32

1 12

4312

LAMINA # 081

V1

LV

2''

V1

Líneas de doblez

12


4'

3'

1'

2'


SUPERIOR DE LAPIRÁMIDE

4'

3'1'

2'4'

3'

2'

1'

1'

4'

2'

3' 2'

1'Aristas lateralesen VL


BASE RECTANGULAR

V.11. PIRÁMIDE OBLICUA TRUNCA

LAMINA # 082

2

3

4

5

1V

1 4 325

V

V

VL de las generatrices

Método de giro paradeterminar las VL de lasaristas

3 154 2


2

3

4

5

1

3

4

5

1

FORMA REALDE LA BASEINFERIOR DELA PIRÁMIDE

FORMA REALDE LA BASEINFERIOR DELA PIRÁMIDE

1'

2'

3'

4'5'

1'5'

4'2'3'


SUPERIOR DE LAPIRÁMIDE

1'5'

2' 3'

4'

1'

5'

2'3'

4'

1'

3'4'

5'


BASE PENTAGONAL

Desarrollo completo dela cara del conoincluyendo su base

7

6

54

3 2 1 12 1110

98

7

V


Distancia de sus cuerdas,medidas en la vista #1.

Generatriz en VLGENERATRIZ

ANGULO DE AVERTURA DE LACARA DEL CONO EN FORMA

REAL 1

76 8

9

10

11

122

3

4

5

V

12

12345 6 7 8 9

1012

11

Cuerdas medidas enla vista de forma realde la base

V.12. CONO RECTO

LAMINA # 083

107°

11

10

9

87

6

5

4

3

CONOSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

6

5

4

32 1 12

11

10

9

8

7


El radio del desarrollo es iguala la longitud verdadera de loselementos del cono (desde elvértice V)

V.13. CONO RECTO TRUNCO

Distancias en VL delas cuerdas se midenla base inferior

Generatriz= (V 7) 12

3

4

5

67

8

9

10

11

12

11123 1012

1'2'

3'4'

5'6'

7' 8'9'

10'

11'12'

12

1'2'3'4'

11'12'

10'9'

8'

6'7'

5'

LAMINA # 084

4

1'2'

3'

4'5' 6' 7'

8'

9'

10'

11'12'

Mientras mayoraltura posee el conomenor es el angulo deapertura del mismo

7V

V

1'

2'3'4'

11'12' 10'

9'

8'6'

7'

5'7'

La VL de las generatricesse miden desde V2 a 4

11

10

9

87

6

5

4

3

6'5'4'

3'


23

V2

V3

VL

VL

VL

FORMA REALDE LA BASESUPERIOR


9

8

7

65 4 3

2

1

12

11

10


El radio del desarrollo es iguala la longitud verdadera de loselementos del cono (desde elvértice V)

V.13. CONO RECTO TRUNCO


Generatriz= (V 10) 12

3

4

5

67

8

9

10

11

12

11123 1012

1'2'

3'4'

5'6'

7' 8'9'

10'

11'12'

1

2

1'2'3'4'

11'12'

10'9'

8'

6'7'

5'

LAMINA # 085

4

1'2'

3'

4'5' 6' 7'

8'

9'

10'

11'12'

10V

V

4' 2'3'

11'12'

10'

9'8'

6'7' 5'

10'

2

1

12

1110

9

8

7

6

1'

12

1'

23

V2

V3

VL

VL Distancias en VL delas cuerdas se midenla base inferior

La VL de las generatricesse miden desde V2 a 4

FORMA REALDE LA BASESUPERIOR

7'

8'

9'10'

11'


LAMINA # 086

9

8

7

6

5

4 32

1

12

11

10

9

F

17 6

25

348

129 1110

12

3

4

5

67 8

9

10

11

12

f1

1

2

5

6

7

89 10

11

12

1

V.14. CONO OBLICUO

f2

VL Generatrices

24

1 12 11 102347 8 965

FORMA REAL DELA BASE

INFERIOR

FORMA REALDE LA CARADEL CONO



Método de giro paradeterminar las VL de lasgeneratrices

LAMINA # 087

9

8

7

6

5

4 32

1

12

11

10

9

F

17 6

25

348

129 1110

12

3

4

5

67 8

9

10

11

12

f1

1

2 5

6

7

89 10

11

12

1

V.15. CONO OBLICUO TRUNCO

f2

VL Generatrices

24

1 12 11 102347 8 965

FORMA REAL DELA BASE

INFERIOR

FORMA REALDE LA CARADEL CONO


7'6' 8'9'

10'4'3'

2'1' 12'

11'

5'

7'

1'

6'

2'

5'8'9'

10'11'12'

3'4'


Método de giro paradeterminar las VL de lasgeneratrices

V.16. ROTACIÓN DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

Rotación de un punto con respecto a un ejeCuande se hace girar unpunto dado con respectoa un eje, el punto éstasituado a una distanciaespecífica del eje.

Rotación de una recta alrededor de un ejeAl hacer girar una recta dadaalrededor de un eje, si uno de losextremos de la recta dada estásituada en el eje y la rotación es de360°, se genera un cono derevolución.

Rotación de un plano alrededor de un ejeUna superficie plana se puedehacer girar alrededor de un eje demanera que sea l a la línea visualdel observador. En esta posiciónel observador puede ver la formareal de la superficie plana dada.

90°


DB en VL vista por elobservador p#1

Línea visual delobservador (p#1)

BR(rotado)

C RR

X

A

D

Eje

BR(rotado)B

Recta DBantes de rotar

Eje derotación


P

PR

(rotado)

(posición inicial)

RR

C

Plano derotación

A

Trayectoria de Pdurante la rotación

CR (rotado)

D

D

DR (rotado)


Eje de rotación

AB

Forma real de ABC vista por elobservador despues de la rotación

ROTACIÓN

LAMINA # 088

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

14

V.17. PROYECCIÓN SUCESIVA DE UN PRISMA

LAMINA # 089

1,1'

2,2'

3,3'

4,4'

4

4'

1

1'

3

3'

2

2'

4

44

1

1

1

3

3

3

2

2

2

4'

4'4'

1'

1'

1'

3'

3'

3'

2'

2'

2'

1 3

12

15

PROYECCIONES SUCESIVASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.18. PROYECCIÓN SUCESIVA DE UN PRISMA RECTO TRUNCO

LAMINA # 090

1,1'

2,2'

3,3'

4,4'

1

2

1

1'

4

4'

3

3'

2

2'4

4

4'

4'

1

1

1'

1'

3

3

3'

3'

2'

2'

2

2

1

1

15

4

3

4

1

3

2

4'

1'

3'

2'


V.19. PROYECCIÓN SUCESIVA DE UNA PIRÁMIDE

LAMINA # 091

12

1

2

3

4

A

1 4 32

A

A

4

1

2

3

1

1

4

4

2

2

3

3

A

A

1 3

14

15


CAPÍTULO VICUBIERTAS TRADICIONALES

VI.1. DEFINICIONES

LAMINA # 092

Las cubiertas tradicionales.- Se basanen la intersección de 2 o mássuperficies planas inclinadas paraformar las faldas o faldones.

La intersección entre dos faldonesadyacentes, línea recta inclinada queparte del extremo del cumbrero haciael vértice exterior conformada por losdos faldones que forman un ángulosuperior, lomo configurado en laproyección horizontal a 45 grados, seconoce como limatesa.

La intersección entre dos faldonesadyacentes, línea recta inclinada queparte del extremo del cumbrero haciael vértice exterior conformada por losdos faldones y formando un ánguloinferior, canal configurado en laproyección horizontal a 45 grados, seconoce con el nombre de limahoya.

Tanto limatones y limatesa son loslimatones en una cubierta tradicional.

Los lados extremos inferiores de losfaldones configuran los aleros de lacubierta, teniendo la misma altura encualquiera de sus costados..

La intersección entre 2 faldonesinclinados opuestos se conoce comocumbrero, el mismo que es horizontal.Esta línea recta siempre se bica en elcentro del área que se pretende cubrir.

El alero generalmente sobresale delparamento o pared de la edificaciónuna dimensión que sirve para protegela misma.

CUBIERTAS TRADICIONALES CARACTERISTICAS

1.- Definición del espacio a cubrirse. 2.- Trazado de zonas

4.- Trazado de encuentros 5.- Eliminación de líneas auxiliares ytrazado de permanentes

VI.2. TRAZADO DEL MÓDULO BASE

LAMINA # 093

3.- Trazado del módulo basepor zonas

CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

LAMINA # 094

VI.3. DIFERENTES TIPOS DE ENCUENTROS

1.- Espacio a cubrirse

3.- Trazado del módulo base.

4.- Trazado encuentros.

2.- Trazado de las zonas.

Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3



5.- Eliminación de las líneas auxiliares y trazado de pendientes.


VI.4. CASOS DE ACOPLAMIENTOS ENTRE FALDONES

LAMINA # 095

Cubierta resuelta

Cubierta resuelta

Encuentro en rectangulo

Encuentro en cuadrado


LAMINA # 096

V.4. CASOS DE ACOPLAMIENTOS ENTRE FALDONES

Elevación frontal

1.- Primera variante 2.- Segunda variante 3.- Tercera variante

Elevación frontal Elevación frontal

Encuentro en cuadrado Encuentro en rectangulo Encuentro adyacente


LAMINA # 097

VI.5. VARIANTES DE FALDONES

elevación frontal elevación frontal elevación frontal elevación frontal

elevación frontal elevación frontal elevación frontal elevación frontal


LAMINA # 098

VI.6. EJEMPLO DE ACOPLAMIENTOS

Elevación frontal

Todas las faldasinclinadas en PV son (//)


LAMINA # 099

VI.7. CUBIERTAS CON PATIO INTERIOR (VACIO)

Elevación frontal

Cubierta resuelta

Espacio a cubrirse


LAMINA # 100

VI.8. CUBIERTAS EN DOS NIVELES

2.- Eliminación de líneas internas

1.- Trazado de la cubierta inferior

3.- Trazado de la cubierta del nivel superior

Contorno de nivelsuperior


LAMINA # 101

VI.9. CUBIERTAS CON PLANOS TRIANGULARESPLANTA CUADRADA PLANTA HEXAGONALPLANTA CUADRADA

Pendientes: Horizontales y verticales desentidos contrarios y diferentes magnitudesCumbreras: Centrales (transversal ylongitudinal)Limahoyas y lematesas: descendientes hacialos bordes exteriores

Pendientes: De sentidos contrariose igual magnitudCumbreras: Centrales (transversaly longitudinal)

Limatesas: Convergentes ydescendentes hacia el centroLimahoyas: Descendenteshacia el centro

CUBIERTAS TRADICIONALES CUBIERTAS ESPECIALES

LAMINA # 102

12

A

9'

7'

5'

3'

1' 2'

4'

6'

8'

10'

B

2

4

6

8

10

B

1

3

5

7

9

A

VII.1. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Superficie generada poruna recta que sedesplaza, apoyada enotras dos rectascualesquiera, y seconserva paralela a unplano. existen dosposibilidades degeneración

Superficie generadapor rectas que seapoyan en directricesrectas

PLANO DIRECTORHORIZONTAL

SUPERFICIES ALABEADAS PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

FIgura volumétrica o espacial

Figura descriptiva

LAMINA # 103

VII.2. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURASUPERFICIES ALABEADAS PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

En geometría analítica, es una superficietridimensional que se describe mediante la ecuación(X2/A2 )-(Y2/B2 ) = -Z

Lobby del hotel Waikikian, (construido el 1956)

LAMINA # 104

1

2

13

57

911

20

18

16

14

1210

86

42

13

15

17

19

2'13'

15'

17'

19'

1'

12'14'

16'18'

20'11'

3'

7'

5'10'

8'

9'6'

4'

VII.3. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (REGLADA)

Superficie generada porrectas que se apoyan endirectrices oblicuas

PLANO DIRECTOR OBLICUO

PLANO DIRECTORHORIZONTAL


Figura descriptiva


LAMINA #105

VII.4. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA

La paraboloide hiperbólica es de gran importancia en la construcción de formas arquitectónicas, generalmentecubiertas, pues este doble apoyo de las generatrices resuelven algunos problemas estáticos, además depermitir la construcción de cubiertas nervadas en las cuales todas las piezas son rectas, dando lugar, también, ageneraciones poliédricas. Estas superficies se emplean en canales, acequias, canales de hormigón y túneles.

SUPERFICIES MÍNIMAS.Félix Candela ( 1910-1997), El maestro de las cubiertas de hormigónllevo al extremo las posibilidades estructurales de estas formascurvilíneas inversas. Se opto por las superestructuras en forma deparaboloide hiperbólico. En concreto cada cubierta esta formada porcuatro cuadrantes entre sí.

RICHARD ROGERS: PALACIO DE JUSTICIA DE ÁMBARES (BÉLGICA)Es una enorme catedral de metal, cristal y madera tiene 7800m". Eledificio esta formado por 6 alas en torno a un gran espacio central.Su estructura a partir de secciones triangulares, las que forman unamalla tridimensional compleja.

CUBIERTA DE LA CIUDAD OLÍMPICA DE MUNICHEsta diseñada a partir de la construcción del paraboloide hiperbólico,superficies mínimas.Este sistema tiene 2 ventajas construcción de gran ligereza y la tensiónsuperficial esta equilibrada.


LAMINA # 106

a1 b1

a2

b2 b3

x1

y1

x2y2 x3 y3c3 d3c2d2

c1

d1

3’3 3’’3 3’3’’

3

3’3’’

12

Superficie generada por unarecta que se desplaza, apoyadaen otra recta, y en una curvacualquiera plana o de doblecurvatura, conservándosesiempre paralelo a un planodirector.

VII.5. CONOIDE

2 3

CONOIDE RECTO

SUPERFICIES ALABEADAS CONOIDE

Figura descriptiva


LAMINA # 107

VII.6. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA

Se emplea en los intrados de las bóvedas, uniendo aberturas de formadiferente. Conveniente cuando es necesario unir techos de bóvedascurvadas o abovedadas con otros techos planos. Se empleafrecuentemente, formando piezas de unión o de tránsito. Su forma lepermite ser usada como componente de un muro.

ESTRUCTURA CONOIDE PARA LA EXPOSICIÓN DE AUTOMÓVILES ENCARTAGENA (MURCIA)Conoide de palanta dodecagonal con mástil central y doce mástilesperiféricos, superficie cubierta 400m²

ESCUELAS DE LA SAGRADA FAMILIA (GAUDI)Construcción concebida totalmente como provicional, lo másimportante de todo esto es el conjunto de superficies onduladas. Lasuperficie de estas fachadas estan formadas por conoides .La cubierta usa conoides para ahorrarse de hacer encaballadas.Gaudi dispone un pórtico central dentro del edificio como apoyocentral de las vigas.

SUPERFICIES ALABEADAS CONOIDE

LAMINA # 108

12

VII.7. HIPERBOLOIDE

HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN ( ELÍPTICO)Superficie generada por una recta, que se apoya en tres circulos situadosen planos paralelos se encuentra en un mismo eje perpendicular a ellos.

1311

9

7

5

31

23

21

19

17

1514 12

10

8

642

2422

20

1816

19 2117

2315 13

1113

95 7

20 82117

2416 14

2124

106

SUPERFICIES ALABEADAS HIPERBOLOIDE

12

34

5

A7

89

10 11

12

34

5C

78

910

11

B

A BC

C

1 23 4 5 C7 8 910

11

12

LAMINA # 109

VII.8. HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN

HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN( ELÍPTICO) INCLINADO

Superficie generada por unarecta, que se apoya en trescirculos situados en planosparalelos se encuentra en unmismo eje perpendicular a ellos.


LAMINA # 110

VII.9. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURALa gran ventaja de las cuádricas regladas de permitir un doble pretenado de las armaduras en las direcciones de losdos sistemas de generatrices, se ha utilizado con frecuencia para consegir la estanqueidad en depósitos de agua.El hiperbole también se ha utilizado en rascacielos.Al momento de realizar esta rotación en torno al eje de abscisas entonces se llega a generar un hiperboloide de doshojas. Ahora bien también se llega a crear una hipérbole de una hoja cuando la rotación se crea en tono al eje delas ordenadas.Las coordenadas cartesianas llegan a dividir a la perfección el plano en cuatro cuadrantes, estos ejes se llegan acortar en un solo punto, lo cual es conocido como coordenada, donde la recta vertical es el eje de las ordenadas, y lahorizontal es el de las abscisas.Las estructuras hiperboloides que hoy día se han construido son muy variadas, siendo la más antigua una torre deacero elaborada por Nizhny Novgorod en el año 1896 en Rusia. Así mismo años más tarde se dieron a conocerotras estructuras creadas por Oscar Niemeyer, Eduardo Torroja, Antoni Gaudí, Le Corbusier, etc.Cabe reconocer la cúpula central de las caballerizas de la Finca Gaudí, así como también la bóveda para el giro decarruajes y la iglesia de la Sagrada Familia de Parc Guell, donde la hipérbole se forma en los techos de las naves, lacual se caracteriza por ser de una hoja.

Torre de control del aeropuerto deBarcelona (2007, Bruce Fairbanks)

Catedral de Brasilia (1959-70,Oscar Niemeyer)

Planetario McDowel (Centro de Ciencias deSaint Louis; 1963, Gyo Obata)


LAMINA # 111

VII.10. HELICOIDE

Superficie que se genera por elmovimiento de una recta, que tiene comodirectrices una elice y su eje, y seconserva perpendicular a un planodirector. existen dos posibilidades degeneración

1

23 4 5

67

8e1a1b1

12

87

65

43

21

c2 e2 a2

HELICOIDE RECTO (CILINDRICO)

9

10111213

14

15

9

1011

1213

1415

d1c1

d1c1

SUPERFICIES ALABEADAS HELICOIDE

LAMINA # 112

VII.11. HELICOIDE

Superficie que se genera por elmovimiento de una recta, que tiene comodirectrices una élice y su eje, y seconserva perpendicular a un planodirector. existen dos posibilidades degeneración

SUPERFICIES ALABEADAS HELICOIDE

HELICOIDE RECTO (CÓNICO)

e

a

P

v

Vp

LAMINA # 113

VII.12. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURASUPERFICIES ALABEADAS

ESTAS SUPERFICIES TIENEN ENORMES POSIBILIDADES EN SU EMPLEO COMO FORMA CONSTRUCTIVA,PUES DE SER MATEMATICAMENTE DIFICIL DE MANEJAR

HELICOIDE DE LA ROCA TARPEYA Y CENTRO PROFESIONAL DEL ESTESon obras de Jorge Romero Gutiérrez, arquitecto venezolano merecedordel premio nacional de arquitectura en 1996. En 1995 escoja la rocatarpeya como el lugar adecuado para edificar un importante centrocomercial.Tiene la forma geométrica triangular y esta construida sobre una colinaque le da forma piramidal.

ARQUITECTO : RAFAEL DE LA HOZPantallas dispuestas radicalmente a soportar losashelicoidales y a su vez, las cerchas que se colocan el segundovolúmen, dispuestas igualmente de la forma radial sustentalos forjados de las oficinas. La volumetría aparece como undisco flotante, cuyo interior se vacía para albergar una espiralque se hunde en el terreno, dejando un patio concéntrico

TEMPLO DE LA SAGRADA FAMILIA (GAUDI)Utiliza el helicoide en su sentido de agarre en las columnas arboladas. Lasbovedas de hiperboloides tienen el ojo, el cuello del hiperboloide, un vacíopor donde pasa luz natural. Las costuras entre hiperboloides sonintersecciones que no aparecen nunca curvas extrañas sino que utilizansiempre rectas generatrices para hacer transiciones entre los planos queforman biseles.

Gaudi logra la máxima resistencia y optimizar elcomportamiento mecánico en su última versión de lasbóvedas con superficies alabeadas de doble curvatura.

HELICOIDE

LAMINA # 114

a1

c1

b1

e1

f1

g1

b2

a2 c2

f2

e2 g2

VII.13. CILINDROIDESUPERFICIE ALBEADA, CUYA GENERATRIZ RECTA SE MUEVE DE TAL MODO QUE ESTA CONTINUAMENTE EN

CONTACTO CON 2 LINEAS CURVAS DIRECTRICES Y ES SIEMPRE PARALELA A UN PLANO DIRECTOR

APLICACIÓN DEL CILINDROIDE EN LA ARQUITECTURA.-Empleando en los intradós de las bóvedas, uniendo aberturas de formadiferente.Es útil cuando los vanos que tienen que unirse no están en planosparalelos.Estas superficies se emplean fundamentalmente, formando piezas deunión o de tránsito más para el proseso de construcción de estassuperficies, a partir de la chapa o lámina plana o bien de superficies desimple curvatura.

SUPERFICIES ALABEADAS CILINDROIDE

1

2

CAPÍTULO VIIIPIEZAS DE TRANSICIÓN

1

2

A

D

B

C

B’

C’

A’

D’G

E F

BH

A

0’0

H’

DC

G’

G’H’ FGEH

BC C’B’ADA’D’

0’ 0

E

E

OO'

FG

H

A B

C

A

D

En este caso las aristas laterales no se intersecan en un mismo vértice para formar una pirámide. Es conveniente desarrollarlas caras (A) y (B) prolongando sus lados hasta formar triángulos; se encuentran la verdadera longitud de los lados empleadosel método de giros. Las caras (C) y (D) se desarrollan por triangulación, y se encuentran las verdaderas longitudes de lasdiagonales así como de las aristas laterales, luego se ensambla como se puede ver

VL VL VL VL

VIII.1. SECCIONES CUADRANGULARES DIFERENTES

LAMINA # 115

PIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES

1

2

10 11

12

1

2

3456

7

8

9

7 86

95

10 4

113

122

1

1211

109´87´

6

54

3´ 2 1

10 11121

2345

678

9

7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 23 1

7´6´5´4´3´2´1´

7654321

Para determinar las longitudes verdaderas de las aristaslaterales, diagonales y elementos en # 13, seriaincómodo emplear el método de planos auxiliares y aunel de giros; resulta más conveniente formar diagramasde verdadera longitud que consiste en conformar paracada arista un triángulo rectángulo cuya base es igual ala arista superior y cuya altura es la diferencia enelevación de sus extremos.La hipotenusa de el triángulo será la verdaderamagnitudde la arista.

La forma descrita en esta figura semeja un cono, pero una simple observación nos revela que los elementos laterales no seintersecan en un vértice común. La intersección circular con el tubo inferior aparece en verdadera magnitud en el plano(1) y la intersección superior con el tubo inclinado pequeño se ve en su forma real en la vista auxiliar de (3). Se puedeconseguir un desarrollo bastante aproximado de la pieza si se considera que esta compuesta por varios triángulos planos.

7

3

2

LAMINA # 116

VIII.2. CONEXION DE DOS SECCIÓNES CILINDRICAS DIFERENTESPIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES

VL con el método de giro

LAMINA # 117

VII.3. CONEXION DE UNA SECCIÓN CUADRANGULAR Y CIRCULAR


1

2

D C

XX

A BVL

67

891011

1212

3 4 567

4 5

4 5 6 7

AD

BC

AD

1 23 4 4 56 7

B C'

1 2 3 4 5 67

VL con el método de giro

12 32

costura

Longitud verdadera de los elementos

145

23

1

5

4 3

2

M L K J N A B C D E F G

C DB A

1234

El desarrollo de esta pieza de transición se compone de cuatro superficies triangulares planas y de porciones de superficiescónicas. Por ser la pieza simétrica en el eje XX´. Se construye el medio desarrollo. Hacemos girar la semi-circunferencia 1-7hasta una posición 1´-7´para tener la longitud real entre los puntos de las superficies cónicas, mientras que las bases de lascaras triangulares planas están en verdadera magnitud en los planos (1) y (2). Los diagramas de verdadera longitud sonsimilares a los de la figura anterior .

LAMINA # 118

VIII.3. CONEXION DE UNA SECCIÓN CUADRANGULAR Y CIRCULARPIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES

1 2

34

1

24

4


Desarrollo del cuerpo

LAMINA # 119


VIII.4. APLICACIONES EN ARQUITECTURA

Conductos de ventilación

Estas piezas de transición son utilizadas enconductos de ventilación, captación de polvo,etc. son de salidas cuadradas o rectangularescon conexión a tuberías cilíndricas.

Piezas especiales de hormigón para vados

CAPÍTULO IXSOMBRAS

45°

IX.1. SOMBRA ARROJADA DEL PUNTO EN PH, PV y PI

LAMINA # 120

p1

p2

sp1

12

12

SOMBRA DEL PUNTO EN PH

sp2

p1

p2

Sombra arrojadapor un punto enel PH

Sombra arrojadapor un punto enel PV

PH

PH

PV

PV

Línea deproyección

SOMBRA DEL PUNTO EN PV

45°

45°

45°

SOMBRA DEL PUNTO EN PI

SOMBRA DEL PUNTO EN PI

p1

p2

sp1

12

PI

PI

Línea deproyección45

°

sp2

Sombra arrojadapor un punto enel PI

p3

3

Plano inclinado

12

p1

p2

PI

45°

45°

sp1

Plano inclinado

SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

Los rayos de luz quevan ha generar lassombras en losplanos de proyección,se considera losiguiente:En PH tienen unadirección N45E.En PV tienen unainclinación de 45grados.

IX.2. SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA PRINCIPAL AL PH Y PV

LAMINA # 121

RECTA HORIZONTAL

12

a1b1

a2 b2

sa1sb1

45°

Sombraen el PH

PH

PH


45°

21

a2b2

a1 b1

sa2sb2

45°

PV

PV


45°

RECTA DE PERFILRECTA FRONTAL

12

b1

a1

a2

b2

sb1

sa1PH

PH


45°

21

a2

b2

b1

a1

sa2

sb2PV

PV


45°

45°

45°

12

a2

PH

PH

b2

a1 b1

45°


45°

sa1sb1

a1b1

a2 b2

45°

45°

sa2sb2PV

PV

Sombraen el PV


RECTA HORIZONTAL RECTA DE PERFILRECTA FRONTAL

Sombraen el PV

Sombraen el PV

Sombraen el PH

Sombraen el PH


LAMINA # 122

IX.3. SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA DE PUNTA AL PH Y PVRECTA VERTICAL APOYADA EN EL PH

12

b2

sa1

sb1

Sombra en PH


45°

RECTA HORIZONTAL APOYADA EN EL PV

a2

a1b1

PH

PH

21

a1

sb2

sa2

Sombra en PV


45°

b1

a2b2

PV

PV

RECTA VERTICAL SEPARADA DEL PH

12

b2

sa1

sb1

Sombra en PH


RECTA HORIZONTAL SEPARADA DEL PV

a2

a1b1

PH

PH

21

a1

sb2

sa2

Sombra en PV

Línea deproyecciónb1

a2b2

PV

PV

45°

45°

45°

45°

45°45°

Recta encontactocon PH

Rectaseparadade PH

Recta encontactocon PV

Rectaseparadade PV


LAMINA # 123

IX.4. SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA OBLICUA AL PH y PVRECTA OBLICUA

12

b2

sa1 sb1

Sombra en PH


RECTA OBLICUA

a2

a1

PH

PH

b1

21

b1

sa2sb2 Sombra en PV


a1

a2

PV

PV

b2

12

b2sa2

sb1

a2

PH

PV

a1

b1

SOMBRA PROYECTADA DE LA RECTA OBLICUAEN LOS 2 PLANOS PRINCIPALES

45°

45°

Sombra en PH

Sombra en PV

SOMBRA DE LA RECTA VERTICAL ENLOS 2 PLANOS PRINCIPALES

12

b2

sa2

sb1

Sombra en PH

a2

PH

PV

a1b1

Sombra en PVRecta encontactocon PH

12

b1

sb1 Sombra en PHa1

PH

PV

a2b2sa2

Sombra en PV

SOMBRA DE LA RECTA HORIZONTAL ENLOS 2 PLANOS PRINCIPALES

Recta encontactocon PV


LAMINA # 124

IX.5. SOMBRA ARROJADA POR UNA SUPERFICIE PLANA

1

2

Sombraen el PH

PLANO VERTICAL FRONTAL

PH

PHa2

1

2

Sombraen el PV

PV

PV

1

2

Sombraen el PH

PH

2

1

Sombraen el PV PV

PV

PLANO VERTICALDE PERFIL

PLANO HORIZONTAL(CORNISA)

PLANO VERTICALEN VOLADO

a2'

b2

b2'

a1'

a1 b1'

b1

sa1 sb1

a2'

a1

a2

b2'b2

PH

a1'

a2

a2'

b2

b2'

a1'

a1

b1'

b1

b1

b1'

a2'a2

b2'b2

a1' b1'

a1 b1


IX.6. SOMBRA DE UN VOLADO (CORNISA) EN UNA SUPERFICIECONCAVA Y CONVEXA

SOMBRA EN UNA SUPERFICIE CÓNCAVA SOMBRA EN UNA SUPERFICIE CONVEXA

12

12

LAMINA # 125

1´ 2´

3´ 4´ 5´ 6´7´

8´9´10´11 12´13´14´

1 2

3 4 5 67

89

101112 13 14

1´ 2´

4´6´

8´ 10´

11´

12´ 13´ 16´

1 2

4

68 10 11

12 13 16

12´


Sombra arrojada en el PV Sombra arrojada en el PH Sombra arrojada en el PI

12

12 3 4

6

a2 b2

5

123 4 65a' b'

a2 b21 2 3 4 5 6

1'2' 3' 4'

5'6'

a' b'

a' b'

a2 b2

1 2 3 b' 54a' 6

a1 b11 2 3 4 5 6

12

3 45

6

1'2'

3' 4'5'6'

12

12

123

45

IX.7. SOMBRA DE UNA LÍNEA CURVA

LAMINA # 126

PV

PH

PH

PV

67

1 23

45

67

123

45

6 7

S1S2 S3

S4S5

S6

S7

PI

PI

PI

1

23 4 5

6

7

S1S7


12

LAMINA # 127

1 2

34

1 2

34

23

1 2

3 4

14

IX.8. SOMBRA DE UNA CHIMENEA SOBRE UNA CUBIERTA

SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN

La sombra proyectada de los ladosinclinados de la chimenea en la faldainclinada de la cubiera, se observaque forma una sola línea recta en PVy PH

LAMINA # 128

12

1 2

34

1 234

1 2

3 4

23

14

IX.8. SOMBRA DE UNA CHIMENEA SOBRE UNA CUBIERTA


La sombra proyectada de los ladosinclinados de la chimenea en las dosfaldas inclinadas de la cubiera, seobserva que la línea recta se cortaadoptando diferente orientación.

12

34

56

78

910

11

5

10

789

10

65

LAMINA # 129

IX.9. SOMBRA DEL PASAMANO EN LA GRADA

12

1 3


Plano base

Los tramos de sombra del pasamanoen la grada se determina en primerlugar en la proyección de perfil,señalando en PF los cortes de lagrada en el pasamano, para luegoregresar a PV y PH.

IX.10. SOMBRA DE UN POSTE SOBRE UNA PARED CON MOLDURAS

12

LAMINA # 1301

2 3

4 5

6

78

9

1011

12

123456789101112a3 b3

a1b1

a2

b2


Este caso como los anteriores, en elprocedimiento se debe en primer lugardeterminar los puntos de sombra del poste enla Proyección de perfil, luego regresamos ydeterminamos la ubicación del punto desombra en la proyección horizontal y vertical.

LAMINA # 131

IX.11. MÉTODO PARA DETERMINAR LA SOMBRA DE UNA RECTA EN UNA CÚPULA

ORIENTACIÓN COINCIDENTECON UN MERIDIANO

ORIENTACIÓN NO COINCIDENTECON UN MERIDIANO

1. Dividir la cúpula enparalelos de igual distanciay proyectarlos al PH1

1

2345

67

8

9

2. Rebatir la altura de los paraleloshasta la proyección horizontal (arcosinscritos) de la dirección de la sombra,en este caso se asume en el meridianoa 45 grados (diagonal), y otroarbitrario. El procedimiento generainterseciones que se deben determinaren los paralelos de la proyecciónvertical

3. Los puntos de intersección encontrados en el meridiano a45 grados y en el arbitrario en PH se proyectan al PV y sedeterminan las respectivas alturas en cada paralelo. Seprocede a unir estos puntos y aparece la forma de la curvadel meridiano y la arbitraria en PV

1

1

2345

67

8

9

PH

PV

PH

PV


4. en esta curva del meridiano yla arbitraria en PH y PV estarácontenida la sombra, sea delpunto o los puntos de cualquierrecta

CURVA QUE ORIENTA LA UBICACIÓN DE LA SOMBRA EN PROYECCIÓN H Y V EN LA CÚPULA

LAMINA # 132

IX.12. SOMBRA DE UN PUNTO EN UNA CÚPULA (SEMI ESFERA)

SOMBRA DEL PUNTOFUERA DEL MERIDIANO

SOMBRA DE VARIOSPUNTOS VERTICALESA DIFERENTEALTURA, FUERA DELMERIDIANO

Dirección de lasombra del punto

Inicio de la dirección de la sombraentre el PH y el Plano curvo

Orientación de la líneade sombra del puntoo serie de puntos

P1

sp1

P2

sp2

P1

P1'

P1''

P2''

P2'

P2

sp2

sp2'

sp2''

sp1''

sp1'

sp1

PH

PV

PH

PV


Dirección de lasombra de lospuntos, ubicadosen la curva quegeneró laorientación en PH

LAMINA # 133

IX.13. SOMBRA DE UNA RECTA VERTICAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)

SOMBRA DE LA RECTAAPOYADA EN EL PH


SOMBRA DE LA RECTANO APOYADA EN EL PH

Sombra coincidentecon la orientacióndel meridiano

Sombra no coincidentecon la orientación delmeridiano

Sombra nocoincidente conla orientacióndel meridiano

a1

b1

a2

b2

sb2

sb1

sa1

sa2

a2

b2

sb2

sb1a1

b1

sa2

sa1

a2

b2

sb2

sb1

a1

b1

sa2

sa1

PH

PV

PH

PV

PH

PV


LAMINA # 134

IX.13. SOMBRA DE UNA RECTA VERTICAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)


Sombra no coincidentecon la orientación delmeridiano y quesobrepasa la cúpula enel Ph y en el PV

a2

b2

sa2

sb1a1

b1

sa1

sb2

PH

PV


SOMBRA DE LA RECTAFRONTAL EN LOS PLANOSH Y V

a2

a1 b1

b2

sb2

sa2

sb1

sa1

o1

o2

so2

so1

SOMBRA DE LA RECTA DEPUNTA QUE SOBREPASA LACÚPULA

a1

b1

a2

o2

b2

sa1

sb1

sa2

sb2

o1

so1

so2

LAMINA # 135

IX.14. SOMBRA DE UNA RECTA HORIZONTAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)

SOMBRA DE LA RECTA DEPUNTA AL PV

a1

b1

a2

b2

sb1

sb2

sa1

sa2

PH

PV

PH

PV

PH

PV


LAMINA # 136

IX.15. SOMBRA DE UN PLANO EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)

SOMBRA DEL PLANO HORIZONTAL

b1

b2d2

sd2sa2

sb1sc1

a1

a2c2

sc2

sa1

d1c1

SOMBRA DEL PLANO VERTICAL DE PERFIL EN EL PLANO H Y V

sb2

sd1

a2

b2

sb2

sb1a1

b1

sa2

sa1

PH

PV


LAMINA # 137

SOMBRA DE LA CÚPULA EN EL PH SOMBRA DE LA SEMI ESFERA EN EL PV


IX.16. SOMBRA DE UNA CÚPULA EN EL PH Y PV

Línea desombra

Rayos de luzparalelos

Penumbra

Umbría (lineas querepresentan los rayos

de luz interceptados

Superficie Plana

Contorno dela sombraEn esta figura la

umbría es un volúmen

Esféra

sombraproyectada

LAMINA # 138

SOMBRA DE LA ESFERA EN EL PLANO DE PROYECCIÓN HORIZONTAL


IX.17. SOMBRA DE UNA ESFERA EN EL PH

Geometría descriptiva

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