5/13/2018 geometria demostracion del plano tangente - slidepdf.com

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Proposición 2.9: sea una superficie regular y si es un

sistema de coordenadas de S en p, entonces  

donde  Demostración

Probar que    Donde    

I)  Sea entonces v es un vector tangente a S en p, por definición existe

una curva diferenciable tal que    

Por la definición 2.6, para cada existe un sistema de coordenadas

de S en tal que la aplicación   es diferenciable en t.

Luego  

Sea , como  

     

 

   

Por tanto  

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II)  

Sea   entonces existe tal que .

Considere la curva definida por 

 donde   Además es elegido de tal manera que  La curva es tal que

= p y además se tiene que

==v

Esto indica que v es un vector tangente a S en p.Entonces: 

 

Por lo tanto  

Como  y es una transformación lineal

inyectiva entonces la dimensión de su imagen es K. Además la imagen de  un subespacio vectorial de por lo que se cumple  Por lo tanto 

es un espacio vectorial sobre R de dimensión k

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