GEOMETRÍADEL TRIÁNGULO

Prof. Carlos A. Blanco

ÍNDICE1. Introducción

I. Clasificación de triángulosII. Propiedades

2. Construcción de triángulos3. Criterios de igualdad de triángulos4. Triángulos semejantes5. Puntos y rectas notables del triángulo6. Teorema de Pitágoras

I. Demostración del teorema de Pitágoras7. Teorema de Tales8. Teoremas del cateto y de la altura

I. Teorema del cateto: DemostraciónII. Teorema de la altura: Demostración

PARA FIJAR IDEAS…

Para fijar ideas, en untriángulo de vértices A,B y C, nombraremos losángulos con la mismaletra mayúscula delvértice y los lados conla letra minúsculacorrespondiente alvértice opuesto.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Equilátero

Escaleno

Isósceles

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

3 lados iguales

2 lados iguales

3 lados diferentes

3 ángulos agudos

1 ángulo recto

1 ángulo obtuso

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSEn el caso del triángulo rectángulo, los lados reciben nombresespeciales.

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Cateto Mayor

Cat

eto

Me

no

r

Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos.

PROPIEDADES BÁSICAS (I)

La suma de losángulos de untriángulo es 180º

180º

PROPIEDADES BÁSICAS (II)

Propiedad triangular:Cada lado es menor quela suma de los otros dos.

Esto equivale a decir queel lado mayor es menorque la suma de los otrosdos 𝑎 < 𝑏 + 𝑐

Eso si, al menos uno de esos datos debe ser un lado.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos.

El hecho de que el triángulo sea una figura indeformable haceque sólo con conocer tres de esos seis datos se puedeconstruir un único triángulo.

Para determinar un triángulo se deben conocer tanto los ladoscomo los ángulos.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (I)

1. Si se conocen los tres lados (y estos verifican la propiedadtriangular) se forma un único triángulo

a

b

c • Colocamos el lado mayor (a)como base

• Desde el vértice izquierdo,trazamos un arco con lalongitud del lado b

• Colocamos el lado b

• Desde el vértice derecho,trazamos un arco con lalongitud del lado c

• Colocamos el lado c

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (II)

2. Si se conocen dos lados y el ángulo comprendido entreellos, se puede formar un único triángulo.

• Colocamos el lado mayor (a)como base

• Colocamos el ángulo C en elvértice izquierdo del lado a

• Unimos el extremo del lado acon la medida del lado b,formando el lado c

• Prolongamos el otro lado delángulo C

a

b

C

• Trazamos un arco con la medidade lado b

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (III)

3. Si se conoce un lado y los ángulos adyacentes a dicholado, se puede formar un único triángulo.

• Colocamos el lado mayor (a)como base

• Colocamos el ángulo C en elvértice izquierdo del lado a

• Prolongamos los lados de losángulos hasta que se corten enun punto, formando b y c

• Colocamos el ángulo B en elvértice derecho del lado a

a

BC

Eso si, al menos uno de esos datos debe ser un lado.

CRITERIOS DE IGUALDAD

Para que dos triángulos sean iguales, deben tener en comúnlos tres lados y los tres ángulos.

El hecho de que el triángulo sea una figura indeformable y envirtud de las construcciones anteriores, si dos triángulostienen en común tres de los datos anteriores, serán iguales.

CRITERIOS DE IGUALDAD (I)

1. Si dos triángulos tienen en común los tres lados, los dostriángulos son iguales.

De la primera de las construcciones anteriores, se deduce elprimero criterio de igualdad de triángulos:

CRITERIOS DE IGUALDAD (II)

2. Si dos triángulos tienen en común dos lados y el ángulocomprendido entre ambos, los dos triángulos soniguales.

De la segunda de las construcciones anteriores, se deduce elsegundo criterio de igualdad de triángulos:

CRITERIOS DE IGUALDAD (III)

3. Si dos triángulos tienen en común un lado y los dosángulos adyacentes a ese lado, los dos triángulos soniguales.

De la tercera de las construcciones anteriores, se deduce eltercer criterio de igualdad de triángulos:

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Por definición, dos triángulos son semejantes si tienen losángulos iguales y los lados proporcionales.

Sin embargo, sólo serán necesarias algunas de estascondiciones para que dos triángulos sean semejantes.

Tenemos los siguientes criterios de semejanza de triángulos:

TRIÁNGULOS SEMEJANTES (I)1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos en

común, puesto que entonces también tendrían el tercerángulo en común.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES (II)2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados

proporcionales.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES (III)3. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo en

común y los lados adyacentes son proporcionales.

TRIÁNGULOS SEMEJANTESDos triángulos diremos que están en posición de Thales, sitienen un ángulo en común y los lados opuestos sonparalelos.

Obviamente, dos triángulos que estén en la posición deThales serán semejantes.

C

A

B

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: ORTOCENTRO

• Altura: perpendicular a unlado que pasa por el vérticeopuesto.

• Las tres alturas de untriángulo se cortan en unmismo punto.

• Este punto recibe el nombrede ortocentro.

• Se suele designar con laletra H.

H

C

A

B

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: BARICENTRO (I)

• Mediana: segmento que vade un vértice al puntomedio del lado opuesto.

• Las tres medianas se cortanen un mismo punto.

• Este punto se llamabaricentro.

• Se suele designar con laletra G.

GP

N

M

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: BARICENTRO (II)PROPIEDADES

• El baricentro tiene lapropiedad de ser el centrode los pesos del triángulo,(suponiendo que losvértices tengan el mismopeso)

• Además, la distancia desdeun vértice al baricentro es eldoble que la distancia desdeel baricentro hasta el puntomedio del lado.

C

A

B

G

x

2x

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: CIRCUNCENTRO

• Mediatriz: perpendicular a unlado que pasa por el puntomedio de dicho lado.

• Las tres mediatrices de untriángulo se cortan en unmismo punto.

• Este punto recibe el nombrede circuncentro.

• Representamos este puntopor O.

• Tiene la propiedad de ser elcentro de la circunferenciacircunscrita.

C

A

B

O

P

N

M

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: INCENTRO

• Bisectriz: recta que divide alángulo en dos partes iguales.

• Las tres bisectrices de untriángulo se cortan en unmismo punto.

• Este punto recibe el nombrede incentro.

• Representamos este puntopor I.

• Tiene la propiedad de ser elcentro de la circunferenciainscrita.

C

A

B

I

bc

a

a2

c2

b2

TEOREMA DE PITÁGORAS• En un triángulo rectángulo se

cumple el teorema dePitágoras:

• El cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de loscuadrados de los catetos.

222 cba

• Geométricamente significaque el cuadrado construidosobre la hipotenusa tiene lamisma superficie que loscuadrados construidos sobrelos catetos.

TEOREMA DE PITÁGORAS: DEMOSTRACIÓN

a2

c2

b2

• Partimos de dos cuadrados iguales, de lados b + c• Los dividimos en cuadrados y triángulos rectángulos del

siguiente modo.• Quitamos triángulo a triángulo para ver que las figuras

resultantes son idénticas.

=

TEOREMA DE THALES

Una versión simplificada del teorema nos dice que si dostriángulos tienen los ángulos iguales, entonces tienen loslados proporcionales:

'''' BA

AB

CB

BC

CA

AC

TEOREMAS DEL CATETO Y DE LA ALTURA• Como consecuencia del teorema de Thales, tenemos dos

teoremas aplicados sobre triángulos rectángulos.• Si apoyamos un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa

y trazamos la altura correspondiente, se pueden observartres triángulos rectángulos: ABC, PAC y PBA

• Cada uno de los dos triángulos menores son semejantesal mayor (puesto que son triángulos rectángulos quetienen un ángulo agudo igual)

• Por tanto, dichos triángulos menores son tambiénsemejantes entre sí.

C B

A

P

b

m

TEOREMA DEL CATETO: DEMOSTRACIÓN

Como se ha dicho, uno de los triángulos menores essemejante al mayor, y por tanto:

m

b

b

amab 2

a

b

Para las demostraciones, a será la hipotenusa, b y c loscatetos, h la altura y m y n las proyecciones de los catetos.

m

h

n

h

TEOREMA DE LA ALTURA: DEMOSTRACIÓN

Como se ha dicho, ambos triángulos menores sonsemejantes entre sí, y por tanto:

h

m

n

h

mnh 2