Geometría Cuarto Medio
87
GEOMETRÍA DEL PLANO Srta. Yanira Castro Lizana
Transcript of Geometría Cuarto Medio
GEOMETRIacuteA
DEL P
LANO
Srta Yanira Castro Lizana
GEOMETRIacuteA DEL PLANO1 Conceptos baacutesicos de Geometriacutea
2 Los poliacutegonos
3 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
4 El Teorema de Pitaacutegoras
5 La circunferencia
6 Aacutereas de figuras planas
7 Movimientos en el plano Mosaicos
2
1 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA1 R E C O R D A N D O L O S E L E M E N T O S
B Aacute S I C O S D E G E O M E T R Iacute A
2 S E G M E N T O S R E C T I L Iacute N E O S
3 Aacute N G U L O S M E D I D A Y
C L A S I F I C A C I Oacute N
a) Clasificacioacuten de aacutengulos
b) Bisectriz de un aacutengulo
4 PA R A L E L I S M O Y
P E R P E N D I C U L A R I D A D
a) Trazado de paralelas y de perpendiculares
b) Mediatriz de un segmento
c) Proyeccioacuten ortogonal
11ELEMENTOS BAacuteSICOSEl teacutermino Geometriacutea viene del
griego y significa medida de tierras
Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posicioacuten en el espacio Se llama extensioacuten a la porcioacuten de espacio ocupado por un cuerpo admitiendo eacutesta tres direcciones la longitud la anchura y la altura cada una de las cuales se llama dimensioacuten
Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensioacuten como la liacutenea o otros a dos dimensiones como la superficie El punto es la miacutenima expresioacuten de la extensioacuten y por tanto no tiene ni longitud ni anchura ni altura solamente nos indica una posicioacuten en el espacio 4
12 SEGMENTOS RECTILIacuteNEOS
Un segmento rectiliacuteneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B
5
A Bbull Sobre una recta un solo punto A determina dos semirrectas
Abull Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patroacuten y
compararla con la longitud del segmento
ubull De las unidades utilizadas histoacutericamente las maacutes convencionales
responden a dos sistemas
1 Sistema meacutetrico Decimal Mm Km Hm Dm m dm cm mm
2 Sistema Anglosajoacuten Milla yarda pie pulgada
6
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
bull Las viacuteas de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando por maacutes que se prolonguen nunca se encuentran)
bull Los postes que las fijan al suelo dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas aacutengulos rectos
bull El cruce de viacuteas nos muestra liacuteneas obliacutecuas
90ordm
7
AacuteNGULOS Aacutengulos
Aacutengulo recto1 R=90ordm
Aacutengulo llano=180ordm
Aacutengulo completo=360ordm
bull Aacutengulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto comuacuten llamado veacutertice
NOTA Las medidas anteriores y las siguientes estaacuten dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL Existen otros sistemas para medir aacutengulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
GEOMETRIacuteA DEL PLANO1 Conceptos baacutesicos de Geometriacutea
2 Los poliacutegonos
3 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
4 El Teorema de Pitaacutegoras
5 La circunferencia
6 Aacutereas de figuras planas
7 Movimientos en el plano Mosaicos
2
1 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA1 R E C O R D A N D O L O S E L E M E N T O S
B Aacute S I C O S D E G E O M E T R Iacute A
2 S E G M E N T O S R E C T I L Iacute N E O S
3 Aacute N G U L O S M E D I D A Y
C L A S I F I C A C I Oacute N
a) Clasificacioacuten de aacutengulos
b) Bisectriz de un aacutengulo
4 PA R A L E L I S M O Y
P E R P E N D I C U L A R I D A D
a) Trazado de paralelas y de perpendiculares
b) Mediatriz de un segmento
c) Proyeccioacuten ortogonal
11ELEMENTOS BAacuteSICOSEl teacutermino Geometriacutea viene del
griego y significa medida de tierras
Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posicioacuten en el espacio Se llama extensioacuten a la porcioacuten de espacio ocupado por un cuerpo admitiendo eacutesta tres direcciones la longitud la anchura y la altura cada una de las cuales se llama dimensioacuten
Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensioacuten como la liacutenea o otros a dos dimensiones como la superficie El punto es la miacutenima expresioacuten de la extensioacuten y por tanto no tiene ni longitud ni anchura ni altura solamente nos indica una posicioacuten en el espacio 4
12 SEGMENTOS RECTILIacuteNEOS
Un segmento rectiliacuteneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B
5
A Bbull Sobre una recta un solo punto A determina dos semirrectas
Abull Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patroacuten y
compararla con la longitud del segmento
ubull De las unidades utilizadas histoacutericamente las maacutes convencionales
responden a dos sistemas
1 Sistema meacutetrico Decimal Mm Km Hm Dm m dm cm mm
2 Sistema Anglosajoacuten Milla yarda pie pulgada
6
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
bull Las viacuteas de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando por maacutes que se prolonguen nunca se encuentran)
bull Los postes que las fijan al suelo dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas aacutengulos rectos
bull El cruce de viacuteas nos muestra liacuteneas obliacutecuas
90ordm
7
AacuteNGULOS Aacutengulos
Aacutengulo recto1 R=90ordm
Aacutengulo llano=180ordm
Aacutengulo completo=360ordm
bull Aacutengulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto comuacuten llamado veacutertice
NOTA Las medidas anteriores y las siguientes estaacuten dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL Existen otros sistemas para medir aacutengulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
1 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA1 R E C O R D A N D O L O S E L E M E N T O S
B Aacute S I C O S D E G E O M E T R Iacute A
2 S E G M E N T O S R E C T I L Iacute N E O S
3 Aacute N G U L O S M E D I D A Y
C L A S I F I C A C I Oacute N
a) Clasificacioacuten de aacutengulos
b) Bisectriz de un aacutengulo
4 PA R A L E L I S M O Y
P E R P E N D I C U L A R I D A D
a) Trazado de paralelas y de perpendiculares
b) Mediatriz de un segmento
c) Proyeccioacuten ortogonal
11ELEMENTOS BAacuteSICOSEl teacutermino Geometriacutea viene del
griego y significa medida de tierras
Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posicioacuten en el espacio Se llama extensioacuten a la porcioacuten de espacio ocupado por un cuerpo admitiendo eacutesta tres direcciones la longitud la anchura y la altura cada una de las cuales se llama dimensioacuten
Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensioacuten como la liacutenea o otros a dos dimensiones como la superficie El punto es la miacutenima expresioacuten de la extensioacuten y por tanto no tiene ni longitud ni anchura ni altura solamente nos indica una posicioacuten en el espacio 4
12 SEGMENTOS RECTILIacuteNEOS
Un segmento rectiliacuteneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B
5
A Bbull Sobre una recta un solo punto A determina dos semirrectas
Abull Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patroacuten y
compararla con la longitud del segmento
ubull De las unidades utilizadas histoacutericamente las maacutes convencionales
responden a dos sistemas
1 Sistema meacutetrico Decimal Mm Km Hm Dm m dm cm mm
2 Sistema Anglosajoacuten Milla yarda pie pulgada
6
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
bull Las viacuteas de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando por maacutes que se prolonguen nunca se encuentran)
bull Los postes que las fijan al suelo dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas aacutengulos rectos
bull El cruce de viacuteas nos muestra liacuteneas obliacutecuas
90ordm
7
AacuteNGULOS Aacutengulos
Aacutengulo recto1 R=90ordm
Aacutengulo llano=180ordm
Aacutengulo completo=360ordm
bull Aacutengulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto comuacuten llamado veacutertice
NOTA Las medidas anteriores y las siguientes estaacuten dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL Existen otros sistemas para medir aacutengulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
11ELEMENTOS BAacuteSICOSEl teacutermino Geometriacutea viene del
griego y significa medida de tierras
Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posicioacuten en el espacio Se llama extensioacuten a la porcioacuten de espacio ocupado por un cuerpo admitiendo eacutesta tres direcciones la longitud la anchura y la altura cada una de las cuales se llama dimensioacuten
Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensioacuten como la liacutenea o otros a dos dimensiones como la superficie El punto es la miacutenima expresioacuten de la extensioacuten y por tanto no tiene ni longitud ni anchura ni altura solamente nos indica una posicioacuten en el espacio 4
12 SEGMENTOS RECTILIacuteNEOS
Un segmento rectiliacuteneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B
5
A Bbull Sobre una recta un solo punto A determina dos semirrectas
Abull Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patroacuten y
compararla con la longitud del segmento
ubull De las unidades utilizadas histoacutericamente las maacutes convencionales
responden a dos sistemas
1 Sistema meacutetrico Decimal Mm Km Hm Dm m dm cm mm
2 Sistema Anglosajoacuten Milla yarda pie pulgada
6
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
bull Las viacuteas de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando por maacutes que se prolonguen nunca se encuentran)
bull Los postes que las fijan al suelo dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas aacutengulos rectos
bull El cruce de viacuteas nos muestra liacuteneas obliacutecuas
90ordm
7
AacuteNGULOS Aacutengulos
Aacutengulo recto1 R=90ordm
Aacutengulo llano=180ordm
Aacutengulo completo=360ordm
bull Aacutengulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto comuacuten llamado veacutertice
NOTA Las medidas anteriores y las siguientes estaacuten dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL Existen otros sistemas para medir aacutengulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
12 SEGMENTOS RECTILIacuteNEOS
Un segmento rectiliacuteneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B
5
A Bbull Sobre una recta un solo punto A determina dos semirrectas
Abull Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patroacuten y
compararla con la longitud del segmento
ubull De las unidades utilizadas histoacutericamente las maacutes convencionales
responden a dos sistemas
1 Sistema meacutetrico Decimal Mm Km Hm Dm m dm cm mm
2 Sistema Anglosajoacuten Milla yarda pie pulgada
6
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
bull Las viacuteas de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando por maacutes que se prolonguen nunca se encuentran)
bull Los postes que las fijan al suelo dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas aacutengulos rectos
bull El cruce de viacuteas nos muestra liacuteneas obliacutecuas
90ordm
7
AacuteNGULOS Aacutengulos
Aacutengulo recto1 R=90ordm
Aacutengulo llano=180ordm
Aacutengulo completo=360ordm
bull Aacutengulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto comuacuten llamado veacutertice
NOTA Las medidas anteriores y las siguientes estaacuten dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL Existen otros sistemas para medir aacutengulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
6
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
bull Las viacuteas de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando por maacutes que se prolonguen nunca se encuentran)
bull Los postes que las fijan al suelo dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas aacutengulos rectos
bull El cruce de viacuteas nos muestra liacuteneas obliacutecuas
90ordm
7
AacuteNGULOS Aacutengulos
Aacutengulo recto1 R=90ordm
Aacutengulo llano=180ordm
Aacutengulo completo=360ordm
bull Aacutengulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto comuacuten llamado veacutertice
NOTA Las medidas anteriores y las siguientes estaacuten dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL Existen otros sistemas para medir aacutengulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
7
AacuteNGULOS Aacutengulos
Aacutengulo recto1 R=90ordm
Aacutengulo llano=180ordm
Aacutengulo completo=360ordm
bull Aacutengulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto comuacuten llamado veacutertice
NOTA Las medidas anteriores y las siguientes estaacuten dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL Existen otros sistemas para medir aacutengulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
TIPOS DE AacuteNGULOS
8
Aacutengulo agudoMenor que un recto
Aacutengulo obtusoMayor que un recto
Aacutengulo convexoMenor que dos rectos
Aacutengulo coacutencavoMayor que dos rectos
Aacutengulos complementarios(Si suman 90ordm)
Aacutengulos suplementarios(Si suman 180ordm)
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
MEDIDA DE AacuteNGULOS
9
Los aacutengulos pueden medirse en tres sistemas
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Aacutengulo completo
Aacutengulo llano
Aacutengulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360ordm 180ordm 90ordm 60rsquo 60rdquo
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
10
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
11
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN TRIAacuteNGULO
Trazamos una recta paralela al lado AB del triaacutengulo
C
A B
Los dos aacutengulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (Tambieacuten seriacutea cierto si los dos fuesen obtusos)
Los tres aacutengulos de un triaacutengulo suman siempre 180ordmordm180
ordm180
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio
Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB
12
A B
Me
dia
triz
de
l se
gm
en
to A
B
Observa que los puntos de la
mediatriz de un segmento AB
equidistan de los extremos Aacute y B
A B
d ddrsquodrsquo drsquodrsquorsquodrsquorsquo
d1d1
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
13
BISECTRIZ DE UN AacuteNGULO
La recta que divide un aacutengulo en dos partes iguales se llama bisectriz
Bisectriz
Observa que los puntos de la bisectriz
de un aacutengulo equidistan de los lados del aacutengulo
experimenta
d
d
drsquo
drsquo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
DEFINIC
IOacuteN R
ECTAS
NOTABLE
S
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO
MEDIATRICES- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado
Corte uacutenico de las mediatrices CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres veacutertices del triaacutengulo
BISECTRICES-Rectas que partiendo del veacutertice parten el aacutengulo en dos iguales
Corte uacutenico de bisectrices INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita (interior) tangente a los tres lados
ALTURAS- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del veacutertice opuesto a cada uno de ellos
Corte uacutenico de alturas ORTOCENTRO
MEDIANAS- Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto
Dividen el triaacutengulo en dos regiones de igual aacuterea Corte uacutenico de medianas BARICENTRO que es el centro de
gravedad del triaacutengulo (Fiacutesica)
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS Rectas que van del veacutertice al punto medio del lado opuesto Generan dos triaacutengulos de igual aacuterea Se cortan en un uacutenico punto llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio Se cortan en un punto llamado Circuncentro que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres veacutertices )
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el veacutertice opuesto Se cortan en un punto llamado Ortocentro
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES Rectas que dividen en dos el aacutengulo correspondiente al veacutertice del que parte Se cortan en un punto llamado INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triaacutengulo y
tocando a sus lados )
IA2
A2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
RECTAS NOTABLES EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIAacuteNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES ASIacute COMO SUS PUNTOS
CARACTERIacuteSTICOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
RECTA DE EULER
La recta de Euler es la recta que pasa
por el baricentro el circuncentro y el ortocentro de un
triaacutengulo
2 LOS POLIacuteGONOS1 P O L Iacute G O N O S
a Definicioacuten Elementos de un poliacutegono
b Clasificacioacuten de poliacutegonos
c Suma de los aacutengulos interiores de los poliacutegonos convexos
d Trazado de poliacutegonos regulares
e Poliacutegonos regulares estrellados
2 T R I Aacute N G U LO S a Clasificacioacuten de triaacutengulos
b Igualdad de triaacutengulos Construccioacuten de triaacutengulos
c Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
3 C UA D R I L AacuteT E R O S a Clasificacioacuten de cuadrilaacuteteros
b Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
21 POLIacuteGONOS
Liacutenea poligonal abierta
23
bull Liacutenea poligonal cerrada
Poliacutegono es la superficie plana limitada por una liacutenea poligonal cerradaLa palabra poliacutegono proviene del griego y estaacute compuesta por poli (varios) y gono (aacutengulos)
24
ELEMENTOS DE UN POLIacuteGONO
Diagonal
Diagonal
Lado
Veacutertice
Aacutengulo interiorAacutengulo exterior
Periacutemetro de un poliacutegono es la suma de las longitudes de sus lados
25
CLASIFICACIOacuteN DE LOS POLIacuteGONOS
Seguacuten el nuacutemero de lados de los poliacutegonos eacutestos pueden ser triaacutengulos cuadrilaacuteteros pentaacutegonos hexaacutegonos heptaacutegonos octoacutegonos eneaacutegonos decaacutegonos
El poliacutegono que tiene todos sus lados y todos sus aacutengulos iguales se dice que es un poliacutegono regular En estos y soacutelo en estos aparecen dos nuevos elementos centro y apotema
Centro
Apo
tem
a
26
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN POLIacuteGONO
PoliacutegonoNuacutemero
de lados
Nuacutemero de triaacutengulos
Suma de los aacutengulos
interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm
Pentaacutegono
6
Heptaacutegono
Octoacutegono
9
Poliacutegono de n lados n n-2
Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior
27
PoliacutegonoNuacutemero
de ladosNuacutemero
de triaacutengulos
Suma de los
aacutengulos interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm 0
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm 2
Pentaacutegono 5 3 3 180ordm 5
Hexaacutegono 6 4 4 180ordm 9
Heptaacutegono 7 5 5 180ordm 14
Octoacutegono 8 6 6 180ordm 20
Eneaacutegono 9 7 7 180ordm 27
Decaacutegono 10 8 8 180ordm 35
Undecaacutegono 11 9 9 180ordm 44
Dodecaacutegono 12 10 10 180ordm 54
Poliacutegono de n lados n n-2 (n-2) 180ordm n(n-3)2
28
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
21 POLIacuteGONOS
Liacutenea poligonal abierta
23
bull Liacutenea poligonal cerrada
Poliacutegono es la superficie plana limitada por una liacutenea poligonal cerradaLa palabra poliacutegono proviene del griego y estaacute compuesta por poli (varios) y gono (aacutengulos)
24
ELEMENTOS DE UN POLIacuteGONO
Diagonal
Diagonal
Lado
Veacutertice
Aacutengulo interiorAacutengulo exterior
Periacutemetro de un poliacutegono es la suma de las longitudes de sus lados
25
CLASIFICACIOacuteN DE LOS POLIacuteGONOS
Seguacuten el nuacutemero de lados de los poliacutegonos eacutestos pueden ser triaacutengulos cuadrilaacuteteros pentaacutegonos hexaacutegonos heptaacutegonos octoacutegonos eneaacutegonos decaacutegonos
El poliacutegono que tiene todos sus lados y todos sus aacutengulos iguales se dice que es un poliacutegono regular En estos y soacutelo en estos aparecen dos nuevos elementos centro y apotema
Centro
Apo
tem
a
26
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN POLIacuteGONO
PoliacutegonoNuacutemero
de lados
Nuacutemero de triaacutengulos
Suma de los aacutengulos
interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm
Pentaacutegono
6
Heptaacutegono
Octoacutegono
9
Poliacutegono de n lados n n-2
Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior
27
PoliacutegonoNuacutemero
de ladosNuacutemero
de triaacutengulos
Suma de los
aacutengulos interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm 0
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm 2
Pentaacutegono 5 3 3 180ordm 5
Hexaacutegono 6 4 4 180ordm 9
Heptaacutegono 7 5 5 180ordm 14
Octoacutegono 8 6 6 180ordm 20
Eneaacutegono 9 7 7 180ordm 27
Decaacutegono 10 8 8 180ordm 35
Undecaacutegono 11 9 9 180ordm 44
Dodecaacutegono 12 10 10 180ordm 54
Poliacutegono de n lados n n-2 (n-2) 180ordm n(n-3)2
28
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
24
ELEMENTOS DE UN POLIacuteGONO
Diagonal
Diagonal
Lado
Veacutertice
Aacutengulo interiorAacutengulo exterior
Periacutemetro de un poliacutegono es la suma de las longitudes de sus lados
25
CLASIFICACIOacuteN DE LOS POLIacuteGONOS
Seguacuten el nuacutemero de lados de los poliacutegonos eacutestos pueden ser triaacutengulos cuadrilaacuteteros pentaacutegonos hexaacutegonos heptaacutegonos octoacutegonos eneaacutegonos decaacutegonos
El poliacutegono que tiene todos sus lados y todos sus aacutengulos iguales se dice que es un poliacutegono regular En estos y soacutelo en estos aparecen dos nuevos elementos centro y apotema
Centro
Apo
tem
a
26
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN POLIacuteGONO
PoliacutegonoNuacutemero
de lados
Nuacutemero de triaacutengulos
Suma de los aacutengulos
interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm
Pentaacutegono
6
Heptaacutegono
Octoacutegono
9
Poliacutegono de n lados n n-2
Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior
27
PoliacutegonoNuacutemero
de ladosNuacutemero
de triaacutengulos
Suma de los
aacutengulos interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm 0
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm 2
Pentaacutegono 5 3 3 180ordm 5
Hexaacutegono 6 4 4 180ordm 9
Heptaacutegono 7 5 5 180ordm 14
Octoacutegono 8 6 6 180ordm 20
Eneaacutegono 9 7 7 180ordm 27
Decaacutegono 10 8 8 180ordm 35
Undecaacutegono 11 9 9 180ordm 44
Dodecaacutegono 12 10 10 180ordm 54
Poliacutegono de n lados n n-2 (n-2) 180ordm n(n-3)2
28
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
25
CLASIFICACIOacuteN DE LOS POLIacuteGONOS
Seguacuten el nuacutemero de lados de los poliacutegonos eacutestos pueden ser triaacutengulos cuadrilaacuteteros pentaacutegonos hexaacutegonos heptaacutegonos octoacutegonos eneaacutegonos decaacutegonos
El poliacutegono que tiene todos sus lados y todos sus aacutengulos iguales se dice que es un poliacutegono regular En estos y soacutelo en estos aparecen dos nuevos elementos centro y apotema
Centro
Apo
tem
a
26
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN POLIacuteGONO
PoliacutegonoNuacutemero
de lados
Nuacutemero de triaacutengulos
Suma de los aacutengulos
interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm
Pentaacutegono
6
Heptaacutegono
Octoacutegono
9
Poliacutegono de n lados n n-2
Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior
27
PoliacutegonoNuacutemero
de ladosNuacutemero
de triaacutengulos
Suma de los
aacutengulos interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm 0
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm 2
Pentaacutegono 5 3 3 180ordm 5
Hexaacutegono 6 4 4 180ordm 9
Heptaacutegono 7 5 5 180ordm 14
Octoacutegono 8 6 6 180ordm 20
Eneaacutegono 9 7 7 180ordm 27
Decaacutegono 10 8 8 180ordm 35
Undecaacutegono 11 9 9 180ordm 44
Dodecaacutegono 12 10 10 180ordm 54
Poliacutegono de n lados n n-2 (n-2) 180ordm n(n-3)2
28
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
26
SUMA DE LOS AacuteNGULOS DE UN POLIacuteGONO
PoliacutegonoNuacutemero
de lados
Nuacutemero de triaacutengulos
Suma de los aacutengulos
interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm
Pentaacutegono
6
Heptaacutegono
Octoacutegono
9
Poliacutegono de n lados n n-2
Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior
27
PoliacutegonoNuacutemero
de ladosNuacutemero
de triaacutengulos
Suma de los
aacutengulos interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm 0
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm 2
Pentaacutegono 5 3 3 180ordm 5
Hexaacutegono 6 4 4 180ordm 9
Heptaacutegono 7 5 5 180ordm 14
Octoacutegono 8 6 6 180ordm 20
Eneaacutegono 9 7 7 180ordm 27
Decaacutegono 10 8 8 180ordm 35
Undecaacutegono 11 9 9 180ordm 44
Dodecaacutegono 12 10 10 180ordm 54
Poliacutegono de n lados n n-2 (n-2) 180ordm n(n-3)2
28
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
27
PoliacutegonoNuacutemero
de ladosNuacutemero
de triaacutengulos
Suma de los
aacutengulos interiores
Nuacutemero de diagonales
Triaacutengulo 3 1 180ordm 0
Cuadrilaacutetero 4 2 2 180ordm 2
Pentaacutegono 5 3 3 180ordm 5
Hexaacutegono 6 4 4 180ordm 9
Heptaacutegono 7 5 5 180ordm 14
Octoacutegono 8 6 6 180ordm 20
Eneaacutegono 9 7 7 180ordm 27
Decaacutegono 10 8 8 180ordm 35
Undecaacutegono 11 9 9 180ordm 44
Dodecaacutegono 12 10 10 180ordm 54
Poliacutegono de n lados n n-2 (n-2) 180ordm n(n-3)2
28
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
28
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
29
CONSTRUYENDO UN PENTAacuteGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
30
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
31
CONSTRUYENDO POLIacuteGONOS REGULARES
experimenta
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
32
POLIacuteGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Una de las figuras maacutes bellas en geometriacutea y muy utilizada en el arte de la laceriacutea aacuterabe la constituyen los poliacutegonos estrellados obtenidos al unir
veacutertices no consecutivos de los poliacutegonos regulares
Si en un pentaacutegono regular
unimos sus veacutertices saltando
de dos en dos obtenemos la
estrella pentagonal Esta estrella sirvioacute de
emblema a la escuela pitagoacuterica
fundada en Crotona en el siglo VI a JC
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
22 TRIAacuteNGULOS
33
Triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados
Clasificacioacuten
E Q U IL Aacute T E R O s i sie n e lo s tres la do s ig u a le s
IS Oacute S C E L E S s i t ie ne do s la do s ig ua le s y u n o d es igu a l
E S C A L E N O s i t ie ne los tres lad o s d is tin tos
S E G Uacute N S U S LA D O S
A C U T Aacute N G U L O s i t ie n e lo s tre s aacute n gu lo s a g ud o s
R E C T Aacute N G U L O s i t ie n e u n aacuten g u lo rec to
O B T U S Aacute N G U L O si t ie ne un aacute ng u lo o b tu so
S E G Uacute N S U S Aacute N G U L O S
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
34
CONSTRUYENDO TRIAacuteNGULOS
Para construir triaacutengulos es preciso conocer tres de sus elementos
a) Conocidos los tres lados a b y c
b) Con dos lados a y b y el aacutengulo comprendido C
c) Con un lado a y los dos aacutengulos
adyacentes B y Ca
bc
b a
c
a
b
ca
c
b
a
c B
a
Bc
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIAacuteNGULOS
I Dos triaacutengulos son iguales si tienen los tres lados iguales
II Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales dos lados y el aacutengulo comprendido entre ellos
III Dos triaacutengulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos aacutengulos adyacentes
c
b a
ac
b
ac
B
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
36
Mediatrices de un triaacutenguloSe llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en
un punto llamado circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
37
Mediatrices de un triaacutenguloLas tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
El circuncentro de un triaacutengulo equidista de los
veacutertices del triaacutengulo
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en D
Esta circunferencia pasaraacute por los tres veacutertices del triaacutengulo Se llama circunferencia circunscrita al
triaacutengulo
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
38
MEDIATRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Observa que en el triaacutengulo acutaacutengulo el circuncentro estaacute
en el interior del triaacutengulo
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo el circuncentro
estaacute en el punto medio
de la hipotenusa
Observa que en el triaacutengulo obtusaacutengulo el circuncentro estaacute
en el exterior del triaacutengulo
Se llama mediatriz de un segmento a la recta
perpendicular a dicho segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
39
ALTURAS DE UN TRIAacuteNGULO
Indica que el aacutengulo es recto
Observa que en el triaacutengulo rectaacutengulo
el ortocentro coiacutencide con el
veacutertice del aacutengulo recto del triaacutengulo
Se llama altura de un triaacutengulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el veacutertice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
40
Bisectrices de un triaacutenguloSe llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que lo divide en dos
aacutengulos iguales
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
41
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
El incentro de un triaacutengulo equidista de los lados del
triaacutengulo
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del aacutengulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en I
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triaacutengulo Se llama circunferencia inscrita en el
triaacutengulo
Bisectrices de un triaacutengulo
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
42
BISECTRICES DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triaacutengulo
Se llama bisectriz de un aacutengulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales
dicho aacutengulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
43
MEDIANAS DE UN TRIAacuteNGULO
Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triaacutengulo
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
AB
C
PG
Se llama mediana de un triaacutengulo a la recta que pasa por un veacutertice y por el punto
medio del lado opuesto
P M N son los puntos medios de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIAacuteNGULO
bull Las tres mediatrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado circuncentro Es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
bull Las tres medianas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado baricentro Es el centro de gravedad del triaacutengulo
bull Las tres bisectrices de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado incentro Es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
bull Las tres alturas de un triaacutengulo se cortan en un punto llamado ortocentro
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
23 CUADRILAacuteTEROS
PARALELOGRAMOS (tienen los lados
paralelos dos a dos)
CuadradoLados iguales y los cuatro aacutengulos rectos
RectaacutenguloLados iguales dos a dos y los cuatro aacutengulos rectos
RomboLados iguales y aacutengulos iguales dos a dos
RomboideLados y aacutengulos iguales dos a dos
TRAPECIOS(Tienen dos lados
paralelos)
TRectaacutenguloSeccioacuten inferior de un triaacutengulo rectaacutengulo por una paralela a la base
T IsoacutescelesSeccioacuten inferior de un triaacutengulo isoacutesceles por una paralela a la base
T EscalenoSeccioacuten inferior de un triaacutengulo escaleno por una paralela a la base
TRAPEZOIDES(Ninguacuten lado paralelo)
No tiene ninguacuten lado paralelo a otro
45
l
l
b
h
Dd
bh
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Poliacutegonos de cuatro lados
CLAS I F I CAC IOacuteN
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
46
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triaacutengulos iguales
A
Arsquo
B
Brsquo
Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio
En el rectaacutengulo y el cuadrado las diagonales son iguales
En el rombo y en el cuadrado las diagonales se cortan perpendicular-mente siendo a la vez bisectrices de sus aacutengulos
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
3 PROPORCIONALIDAD
1 P R O P O R C I O N A L I D A D D E
S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A
2 T E O R E M A D E TA L E S
A C O N S E C U E N C I A S D E L
T E O R E M A D E TA L E S
B L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L
S E C C I Oacute N AacuteU R E A
3 S E M E J A N Z A
A S E M E J A N Z A D E T R I Aacute N G U LO S
B P O L Iacute G O N O S S E M E J A N T E S
4 E S C A L A S
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
31 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del aacuterbol grande (S)
S aacuterbol pequentildeo (s)
H
h
Las sombras de los dos aacuterboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OArsquo
A
Brsquo
B
)alidadproporcionderazoacuten(kAA
BB
OA
OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a JC) en uno de sus viajes a Egipto midioacute la altura de una piraacutemide aprovechando el momento en que su propia sombra mediacutea tanto como su estatura
iquestCon queacute razoacuten de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia
iquestPodriacuteas calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
32 TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r determinan tambieacuten segmentos iguales sobre cualquier otra recta rrsquo a la que corten
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
TEOREMA DE TALES
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales
O
ArsquoA
Brsquo
B
OB
BA
OB
ABtambieno
OB
OA
OB
OA
experimenta
O
Arsquo
A
Brsquo
B
Crsquo
DrsquoErsquo
EDC
Brsquorsquo
Crsquorsquo
Drsquorsquo
Ersquorsquo
r
rrsquo
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
Toda paralela a un lado de un triaacutengulo ABC determina con los otros dos un nuevo triaacutengulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales
A
B C
NM
PSi en un triaacutengulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC por el teorema
de Tales se cumple
)1(AC
AN
AB
AM
Trazando por N una paralela a AB por el mismo teorema tenemos
)2(BC
MN
BC
BP
AC
AN
De (1) y (2) se deduce
BC
MN
AC
AN
AB
AM
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
LA TERCERA PROPORCIONAL SECCIOacuteN AacuteUREA
51
Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporcioacuten
a
b
b
x
x
b
b
a
Tambieacuten sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma queA BC
b x
1
61803398912
51
x
b
b
xbtambieacutenoacute
CB
AC
AC
AB
x
b
xb
1xb
012 Resolviendo la ecuacioacuten
(nuacutemero aacuteureo o nuacutemero de oro)
experimenta
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
33 LA SEMEJANZA
52
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los aacutengulos homoacutelogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
Teorema fundamental Si dos lados de un triaacutengulo se cortan por una paralela al tercero se
obtiene otro triaacutengulo semejante al primero
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
53
I Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales
II Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
III Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido igual
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
POLIacuteGONOS SEMEJANTES
54
experimentaPoliacutegonos homoteacuteticos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
Poliacutegonos semejantes son los que se descomponen en
triaacutengulos semejantes dispuestos correlativamente
Se llama razoacuten de semejanza de los poliacutegonos a la razoacuten entre sus
lados homoacutelogos
P
P
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
La razoacuten de los periacutemetros de dos polinomios semejantes es igual a la razoacuten de semejanza
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
34 ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequentildeas hemos de recurrir a reducir o aumentar su representacioacuten graacutefica Diremos que la
pieza estaacute dibujada a escala
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
A la relacioacuten entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala graacutefica
Por ejemplo si un mapa viene dado a escala 130 000 indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad
Seguacuten si el primer nuacutemero es menor o mayor que el segundo la escala reduciraacute o ampliaraacute respectivamente el tamantildeo real del objeto
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son el compaacutes de reduccioacuten (resuelta uacutetil para medir) y el pantoacutegrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada)
AD
AE
AB
AC
El pantoacutegrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A una punta metaacutelica B para repasar el original y un portalaacutepiz C Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF Los puntos A B y C estaacuten alineados de modo que
experimenta
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
1 PITAacuteGORAS
2 NUacuteMEROS PARTICULARES
3 TEOREMA DE PITAacuteGORAS
4 TEOREMA DE LA ALTURA
5 TEOREMA DEL CATETO
6 RELACIONES MEacuteTRICAS EN
TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
41 PITAacuteGORAS
57
Se supone que Pitaacutegoras era nativo de Samos y perteneciacutea como Tales a la colonia joacutenica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor Vivioacute desde aproximadamente 569 aJC En el antildeo 529 a JC Se instaloacute en Crotona una ciudad de la colonia doacuterica en el sur de Italia y alliacute comenzoacute a disertar sobre filosofiacutea y matemaacuteticas A su caacutetedra acudiacutea una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringiacutean una ley que les prohibiacutea asistir a reuniones puacuteblicas
Los maacutes interesados de sus disciacutepulos se constituyeron en una sociedad o hermandad Se les conociacutea como la Orden de Pitaacutegoras y ejercieron una gran influencia tanto poliacutetica como religiosa maacutes allaacute del mundo griego Lo compartiacutean todo sosteniacutean las mismas creencias filosoacuteficas se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometiacutean con un juramento a no revelar los secretos y las ensentildeanzas de la escuela
La estrella pentagonal fue un siacutembolo distintivo de la hermandad
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
42 NUacuteMEROS PARTICULARES
Los pitagoacutericos clasificaban los nuacutemeros en pares e impares seguacuten formas o estructuras asociadas a ellos
Un nuacutemero producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo
Si dos factores eran iguales el nuacutemero se llamaba cuadrado El cuadrado n-eacutesimo de un nuacutemero es la suma de los n primeros nuacutemeros impares
58
bull Los nuacutemeros triaacutengulos eran 1 3 6 10 El n-eacutesimo nuacutemero triangular es la suma de los n primeros nuacutemeros Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado
bull Un nuacutemero de tres factores se llamaba soacutelido Si los tres factores eran iguales se llamaba cubo
12=3x2x2 27=3x3x3
bull Un nuacutemero piramidal es la suma de una serie de nuacutemeros cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
59
43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOSTEOREMA DE PITAacuteGORAS
b =9 2
c =162
Cateto (c)
Cat
eto
(b) Hipotenusa (a)
Catetos b c
Hipotenusa a
Relacioacuten aritmeacuteticaa2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
La relacioacuten aritmeacutetica entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triaacutengulo rectaacutengulo se conoce con el TEOREMA DE PITAacuteGORAS
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los nuacutemeros que verifican esta relacioacuten reciben el nombre de nuacutemeros pitagoacutericos
experimenta
Demostracioacuten
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
60
44 TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
B A
C
Hmn
hPor ser los triaacutengulos BHC y CHA semejantes sus lados son proporcionales
HA
HC
HC
BH es decir
m
h
h
n
o tambieacuten nmh2 TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura relativa a la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a eacutesta
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
61
45 TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
TEOREMA DEL CATETO
En todo triaacutengulo rectaacutengulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccioacuten sobre ella
Por ser los triaacutengulos AHC y ABC semejantes sus lados son proporcionales
AB
AC
AC
AH es decir
c
b
b
m
o tambieacuten cmb2
B A
C
Hmn
h
ba
c
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
En todo triaacutengulo rectaacutengulo los triaacutengulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre siacute
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
62
46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
a) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo agudo en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
A
C
cB
Hnc-n
h
ba
En el tr BHC222 BHah En el tr AHC
222 nhb
Ademaacutes cn2ncncBH 2222
22222 ncn2cnab
cn2cba 222
Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
b) El cuadrado del lado opuesto a un aacutengulo obtuso en un triaacutengulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados maacutes el doble del producto de uno de ellos por la proyeccioacuten del otro sobre
cn2cba 222 c+nB A H
hba
c
C
n
222 cba
222 cba
2222 nBHab
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
63
CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Un triaacutengulo seraacute acutaacutengulo rectaacutengulo u obtusaacutengulo seguacuten que el cuadrado de su lado mayor sea menor igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados
experimenta
aa
a
b
b
b
c
c
c
a2 lt b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 gt b2 + c2
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
5 LA CIRCUNFERENCIA
1 E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 A P R OX I M A C I Oacute N D E L N Uacute M E R O
3 N Uacute M E R O
4 R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A
P O S I C I Oacute N R E L AT I VA
5 D E T E R M I N A C I Oacute N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A
6 Aacute N G U LO S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A C L A S I F I C A C I Oacute N
B M E D I D A D E L O S Aacute N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
51 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
La circunferencia es la liacutenea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro
radiocentro
diaacutemetro
cuerda
arcoAdemaacutes de los elementos de la circunferencia (centro radio diaacutemetro cuerda arco) es interesante conocer su longitud
Arquiacutemedes (s III a JC) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustioacuten de poliacutegonos regulares inscritos y circunscritos La longitud de la circunferencia estaacute comprendida entre los periacutemetros de estos poliacutegonos
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
66
52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
APROXIMACIOacuteN DE PI PI
r2DnciacircunfereladeLongitud
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
67
53 NUacuteMERO
=31415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350
006713929073505191648420308402276707050721678865
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
68
54 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA POSICIOacuteN RELATIVA
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Una recta respecto de la circunferencia puede ser
Exterior si no la corta en ninguacuten punto
Tangente si la corta en un solo punto
Secante si la corta en dos puntosExterior
TangenteSecante
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Dos circunferencias pueden ser entre siacute
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
Conceacutentricas
Conceacutentricas
Exteriores
Tangentes interiores
Tangentes exteriores
Secantes
Interiores
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
69
55 DETERMINACIOacuteN DE UNA
CIRCUNFERENCIA Por un punto A pasan
infinitas circunferencias
Por un punto A pasan infinitas circunferencias
A
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias
A
B
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferencia
Por tres puntos no alineados pasa una uacutenica circunferenciaA
B
C
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
70
56 AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Aacutengulos Caracteriacutesticas
El veacutertice del aacutengulo central coincide con el centro de la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo interior es un punto interior a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes
El veacutertice del aacutengulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia
El veacutertice del aacutengulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser
Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes
Aacutengulo central
Aacutengulo interior
Aacutengulo inscrito
Aacutengulo semiinscrito
Aacutengulos exteriores
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
71
MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente Los aacutengulos inscritos miden la mitad del aacutengulo central correspondiente
A
B
C
Oa
a
180 -2 ordm a
b
b
180 -2ordm b
360 -(180 -2 ordm ordm a+180 -2 ordm b)= =360 -360 +2 ordm ordm a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)
2(a+b)
O
2(a+b)
a+b
g
2 g
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
72
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales
g
2g
g
g
g
180ordm
90ordm
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
Todos los aacutengulos inscritos que abarcan un diaacutemetro son rectos
experimenta
experimenta
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
1 M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 Aacute R E A S D E L O S P O L Iacute G O N O S M Aacute S S E N C I L L O S
A E L Aacute R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B Aacute R E A D E L T R I Aacute N G U L O
C Aacute R E A D E L R O M B O I D E
D Aacute R E A D E L R O M B O
E Aacute R E A D E L T R A P E C I O
3 Aacute R E A D E U N P O L Iacute G O N O
4 Aacute R E A D E L C Iacute R C U L O
5 Aacute R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S
6 R A Z Oacute N E N T R E L A S Aacute R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
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4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
74
AacuteREAS DE LOS POLIacuteGONOS MAacuteS SENCILLOS
unidad patroacuten
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patroacuten y compararla con la extensioacuten de dicha superficie
Las unidades patroacuten de superficie en el SMD son Mm2 Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 Sin embargo para medir terrenos se utilizan las llamadas unidades agrarias Hectaacuterea(Hm2) aacuterea (Dm2) y centiaacuterea (m2)
43 u2 465 u2
b
h Aacuterea del rectaacutengulo=Base x altura A=bh
l
l Aacuterea del cuadrado=lado x lado A=l2
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
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2
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B b
B+bB
b
h
2
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experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
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AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
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Rα
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RcircularsectordelAacuterea
2
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R2nciacircunferedearcoundeLongitud
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
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a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
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Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
75
AacuteREAS DE CUADRILAacuteTEROS
2
alturabase
2
romboidedelAacutereatrapeciodelAacuterea
h
b b
h
b
h
Aacuterea del romboide=Base x altura A=bh
dd
D 2
alturabaserombodelAacuterea
2
dDA
B b
B+bB
b
h
2
hbBA
experimenta
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
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Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
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-
76
AacuteREA DEL TRIAacuteNGULO TRAPEZOIDE POLIacuteGONO REGULAR E IRREGULAR
h
b b
h2
alturabasetriaacutengulodelAacuterea
2
hbA
Aacuterea del trapezoide o poliacutegono irregular=
=Suma de las aacutereas de los triaacutengulos
Aacuterea del poliacutegono regular= =Suma de las aacutereas de los triaacutengulos=
=nordmde triaacutengulos x aacuterea de uno de los triaacutengulos
2
apotemaPeriacutemetro
2
aP
2
alnA
a
l
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
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-
UN PROBLEMA CLAacuteSICO EL AacuteREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemaacutetica en el periodo heleacutenico
La duplicacioacuten del cubo o problema de Delos consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado
La triseccioacuten del aacutengulo consiste en dividir un aacutengulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compaacutes
La cuadratura del ciacuterculo nacido seguramente de la necesidad praacutectica de calcular el aacuterea de un ciacuterculo consiste geomeacutetricamente en determinar con regla y compaacutes el lado de un cuadrado equivalente a un ciacuterculo de radio dado
2r2
rr2
2
apotemaPeriacutemetrociacuterculodelAacuterea
r
2rA
78
AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
79
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
a2ab
abb2
(a-b)2
a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
F
Arsquo
Brsquo
DrsquoErsquo
Frsquo
rP
P
AF
FA
FE
EF
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
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1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
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aPA
r
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83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
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AacuteREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES
R
r
Aacuterea de corona circular=
=Aacuterea circulo mayor-Aacuterea ciacuterculo menor
2222 rRrRA
Rα
ordm360
RcircularsectordelAacuterea
2
ordm360
R2nciacircunferedearcoundeLongitud
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
(a+b)2
a b
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a - b
=
a
+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
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=
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
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La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
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A2
l
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AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
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bh
l
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Dd
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B
b
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1A
2lA
hbA
2
dDA
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bBA
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MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
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MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
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Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
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- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
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- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a Toma una cartulina en forma de cuadrado y coacutertala como se muestra en las figuras El aacuterea del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b
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+-a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
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(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
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Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
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La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
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AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
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EL AacuteREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-bb
a+b
b Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas
a - b
=
a
-a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2(a+b)(a-b) = a2 - b2
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Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Recuerda(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
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RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
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La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
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4A
A2
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AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
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B
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h
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1A
2lA
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2
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MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
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-
81
RAZOacuteN ENTRE LAS AacuteREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES
Crsquo
E
D
A
B
C
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La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos
La razoacuten de las aacutereas de dos poliacutegonos semejantes es igual al cuadrado de la razoacuten de semejanza entre ellos experimenta
2rA
A
lrsquol
lrsquol
4A
A2
l
l
9A
A3
l
l
AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
bh
B
b
h
hb2
1A
2lA
hbA
2
dDA
h2
bBA
hbA
al 2
aPA
r
r2L 2rA
83
MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
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MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
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Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
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- Geometriacutea del plano (2)
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- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
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- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
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- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
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- 21 POLIacuteGONOS
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- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
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- Medianas de un triaacutengulo
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- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
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- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
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- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
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- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
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- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
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- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
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- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
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- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
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AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA AacuteREA
TRIAacuteNGULOS(Poliacutegono de tres lados) Triaacutengulo
CUADRI-LAacute-
TEROS(Poliacutegono de cuatro lados)
PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos)
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS(Tienen dos lados paralelos)
Trapecio (rectaacutengulo isoacutesceles o escaleno)
TRAPE- ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triaacutengulos y se suman sus aacutereas
POLIacuteGONOSDE n LADOS
Poliacutegono regular
Poliacutegono irregular Se divide en triaacutengulos y se suman sus aacutereas
Circunferencia
Ciacuterculo
82
bh
l
bh
Dd
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B
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1A
2lA
hbA
2
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bBA
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MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
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Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
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- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
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- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
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- Medianas
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- Alturas
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- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
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- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
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- Alturas de un triaacutengulo
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- Medianas de un triaacutengulo
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- Poliacutegonos semejantes
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- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
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- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
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- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
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- MOSAICOS
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MOVIMIENTOS A TRAVEacuteS DE LOS MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos ahora bien iquesthas pensado lo que sucederiacutea si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de poliacutegono
regular
Las baldosas pentagonales no
recubren perfectamente el
plano
No todos los poliacutegonos regulares recubren exactamente el plano Soacutelo
tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad
Mosaicos hexagonales Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
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- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
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- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
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- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
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- Construyendo poliacutegonos regulares
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- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
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- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
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- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
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- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
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- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
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- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
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MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos
T Traslacioacuten
S Simetriacutea
G Giro de 180ordm de centro el punto medio de un lado
G90ordmGiro de 90ordm respecto de un veacutertice
G180ordmGiro de 180ordm respecto de un veacutertice
85
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Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
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- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
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- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
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- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
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- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
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- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
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- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
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- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
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- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
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- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
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- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
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- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
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- 45 TEOREMA DEL CATETO
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- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
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- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
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- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
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- Medianas
- Mediatrices
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- Bisectrices
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- Alturas de un triaacutengulo
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- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
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- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
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- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
- Medida de los aacutengulos en una circunferencia
- Slide 72
- 6 AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
- Aacutereas de cuadrilaacuteteros
- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
- Un problema claacutesico el aacuterea del circulo
- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
- Razoacuten entre las aacutereas de dos figuras semejantes
- AacuteREAS DE FIGURAS PLANAS
- Movimientos a traveacutes de los mosaicos
- MOSAICOS
- Slide 85
- Slide 87
-
86
87
Parte de lo anterior estaacute basado en su mayoriacutea en el libro GEOMETRIacuteA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
- Aacutengulos
- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
- Slide 11
- Mediatriz de un segmento
- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
- Slide 15
- Medianas
- Mediatrices
- Alturas
- Bisectrices
- Rectas notables en un triaacutengulo equilatero
- Recta de Euler
- 2 LOS POLIacuteGONOS
- 21 POLIacuteGONOS
- Elementos de un poliacutegono
- Clasificacioacuten de los poliacutegonos
- Suma de los aacutengulos de un poliacutegono
- Slide 27
- Construyendo un pentaacutegono regular
- Construyendo un pentaacutegono regular (2)
- Construyendo poliacutegonos regulares
- Construyendo poliacutegonos regulares (2)
- Poliacutegonos regulares estrellados
- 22 TRIAacuteNGULOS
- Construyendo triaacutengulos
- Criterios de igualdad de triaacutengulos
- Slide 36
- Slide 37
- Mediatrices de un triaacutengulo
- Alturas de un triaacutengulo
- Slide 40
- Slide 41
- Bisectrices de un triaacutengulo
- Medianas de un triaacutengulo
- Rectas y puntos notables de un triaacutengulo
- 23 CUADRILAacuteTEROS
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo
- 3 PROPORCIONALIDAD
- 31 Proporcionalidad de segmentos y semejanza
- 32 TEOREMA DE TALES
- Consecuencias del teorema de Tales
- La tercera proporcional Seccioacuten aacuteurea
- 33 LA SEMEJANZA
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Poliacutegonos semejantes
- 34 ESCALAS
- 4 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 41 PITAacuteGORAS
- 42 NUacuteMEROS PARTICULARES
- 43 NUacuteMEROS PITAGOacuteRICOS TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 44 TEOREMA DE LA ALTURA
- 45 TEOREMA DEL CATETO
- 46 RELACIONES MEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS NO RECTAacuteNGULOS
- CLASIFICACIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
- 5 LA CIRCUNFERENCIA
- 51 Elementos de la circunferencia
- 52 APROXIMACIOacuteN DEL NUacuteMERO PI
- 53 NUacuteMERO
- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
- 55 Determinacioacuten de una circunferencia
- 56 Aacutengulos en una circunferencia
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- Aacutereas de los poliacutegonos maacutes sencillos
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- Aacuterea del triaacutengulo trapezoide poliacutegono regular e irregular
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- Aacuterea de otras figuras circulares
- El aacuterea en los productos notables
- El aacuterea en los productos notables (2)
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- MOSAICOS
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EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didaacutecticos Alhambra nordm 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en
- Geometriacutea del plano
- Geometriacutea del plano (2)
- CONCEPTOS BAacuteSICOS DE GEOMETRIacuteA
- 11Elementos baacutesicos
- 12 Segmentos rectiliacuteneos
- Paralelismo y perpendicularidad
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- Tipos de aacutengulos
- Medida de aacutengulos
- Trazado de paralelas y perpendiculares
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- Bisectriz de un aacutengulo
- Definicioacuten rectas notables
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- 54 Rectas y circunferencia Posicioacuten relativa
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