Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaTAREA 1: DIAGNOSTICO SOBRE COORDENADAS RECTANGULARES. Actividad 1.- En la siguiente figura se muestra la cada libre de una partcula durante los primeros cinco segundos. Observa la figura y establece la relacin entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido. (X, Y). Tiempo (S) pertenece al eje de las abscisas, y distancia (M) al eje de las ordenadas. S= segundos, M= metros. (1,4.9) (2, 19.6) (3, 44) (4, 78.3) (5, 122.5)

4.94.9 4.9 4.9 4.9 X X X X

Formula

X

s2 = d

22 = 19.6 32 = 44.1 42 = 78.4 52 = 122.5

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica Actividad 2 (INDIVIDUAL).- Realizar una investigacin bibliogrfica sobre las caractersticas de los sistemas coordenados cartesianos, y sobre el mtodo para encontrar la distancia entre dos puntos. Como productos de la investigacin, elabora un resumen, y realiza una presentacin en power point que contemple animacin, audio, (mximo dos diapositivas).Las coordenadas cartesianas son usadas en espacios eucldeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre s que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (lnea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre s, que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas X e Y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente. Se llaman coordenadas cartesianas en honor a Ren Descartes, clebre filsofo y matemtico francs.

Mtodo de resolver la distancia entre dos puntoEjemplo.Supongamos que tenemos 2 puntos en el plano cartesiano. A= (2, 4) y B= (3, 6) Para determinar la distancia entre ellos tenemos que darle nombre a dichas coordenadas. X = 2 y = 4 X = 3 y = 6 Empleando la frmula de la distancia entre 2 puntos: = X =3

X 26 2

4

Sustituimos valores Resolvemos los parntesis =1 Elevamos ambos trminos al cuadrado = 1 4 = La distancia es la raz de 5 = 2.236 6

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaTAREA 2: LOCALIZAR E IDENTIFICAR PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. Actividad 1: Puntos { (1 4) ( 4 1) ( 6 ) ( 3) ( )}

Actividad 2 (GRUPO DE TRES).a) Dibuja tres planos cartesianos, modificando la escala y nombrando los ejes de diferente manera. 1.-

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias2.-

Geometra Analtica

3.-

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) Inventa seis pares ordenados, despus localzalos y selalos en un plano cartesiano, procura que estn en distintas zonas del plano. A= (7, 5), B= (6, 2), C= (-11, -5), D= (-7, -3), E= (-9, 3.5), F= (7, -2.5)

c) Localiza en un plano 12 puntos cuyas coordenadas se ajusten a los siguientes incisos: Tres con abscisa y ordenadas positivas Tres con abscisa negativa y ordenada positiva Tres con abscisa y ordenada negativa Tres con abscisa positiva y ordenada negativa A(9, 3.75), B(2, 4), C(6, 1.5) D(-10, 4), E(-6, 3), F(-8, 2) G(-9, -1.5), H(-6, -4), I(-3.5, -2.5) J(2.2, -4), K(4, -3), L(6, -1)

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticad) Localiza las coordenadas de los puntos de la figura, que aparece en a continuacin.

A (-7, 11) F (5, 3) K (5, -3)

B (4, 9) G (0, 1) L (-3, -6)

C (-4, 7) H (-10, 0) M (6, -6)

D (9, 6) I (4, 0) N (0, -8)

E (-11, 5) J (-6, -3) O (0, 0)

e) Completa sobre la lneas con respecto a que eje, o al origen, guardan simetra los siguientes parejas de puntos.

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaTAREA 3: DISTANCIA ENTRE DOS PAREJAS DE PUNTOS. Actividad 1.- Calcular la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A= (-6, 3), B= (2, -3).

Grafica.

( 6 3) : (2 3) :

= =2 )

6 = (

=3 3, )

= (

Sustituya las coordenadas y resuelva.

=2

( 6) 6 36

3

3

= = 64 = 1 = 1 .

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 2 (GRUPO).- Calcula la distancia entre las diferentes posiciones que se plantean, grafica las posiciones en el simulador, verifica la distancia entre las dos posiciones, en el simulador. a) Demostrar o deducir la formula de la Distancia entre dos puntos A( x1 , y1 ) y B( x2 , y2 ) . = = 12 36 2 6 4

= 144 = 1

= 13.4164

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) Cul es la distancia entre el punto A (-3,6) y el origen (0,0)?

=

3 3

6 6 36

=

= = 4 = 6.

2

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticac) Una circunferencia pasa por el punto (3,-2) y tiene su centro en el punto (-5,4), determina la longitud del radio de dicha circunferencia. Trazar la circunferencia en el simulador, copiar pantalla y pegar en el office.

=3

(

) 6 36

2

4

= = 64 = 1 =1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticad) En un plano cartesiano localiza y seala los siguientes puntos (utiliza el simulador de Euclides): A (-7,10), B (-1,11), C (-4,8), D (9,1), E (2,1), F (2,-6), G (-5,7), H (-8,4). Une los puntos de forma progresiva y calcula el permetro de la figura que se formo.

= =

( 1) 6 1

1 1

11

= 36 = 3 = 6. 2

.

=

1

( 4) 3

11

=3 = = 1 = 4.2426

.

=

4 13 4

1

=

= 16 = 21 = 14. 64

.

= =

2

1

1

=

.

= 2

2

1

( 6)

= = = .

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias=2 ( )

Geometra Analtica6 13 16

= = 4 = 21 = 14. 64

.

=

( =3 =

) 3

4

= 1 = 4.2426 .

=

( = 1

)

4 6 36

1

= 1 = 3 = 6. 2

.

Permetro de la figura = 64.1802 ul.

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica

e) Demostrar o deducir la formula de la Distancia entre dos puntos A( x1 , y1 ) y B( x2 , y2 ) . Grafica. Para demostrar la formula de la distancia utiliza el teorema de Pitgoras, aplicado nicamente para el triangulo rectngulo. Abscisa = 4 Ordenada = 3 = = 4 = 16 = 2 = . 3

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 3 (GRUPO).- EJERCICIOS PROPUESTOS DE AUTOEVALUACION: 1) Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: a) A (-2,5) y B(4,-3) =4 ( 2) 3

=6 = 36 = 1 =1 b) C(2,5/3) y M(-3,-3/2) = 3 = = 2 = . 2 1. .16 . 2 6 2 1.66 64

= 2 . 2 6

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica2) Uno de los extremos de un segmento rectilneo de longitud igual a 17 es el punto A= (1,-11); si la ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa. El resultado puede tener dos soluciones.

1 = 1 = 1 1 2 64 = 64 = = =

1 1 1 1 = 1 1 1 1= 22 =

4

( 11) 1 1 1 1

Soluciones: = =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica3) Uno de los extremos de un segmento rectilneo de longitud igual a 4 es el punto P=(2,-2); si la abscisa del otro extremo es (2), halla su ordenada. El resultado tiene dos soluciones. 4=2 4= 4 = 16 = 16 = 4= 4 2= = 6 2 2 2 2 2 ( 2) 2

Soluciones: =2

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica4) Demuestra, mediante la formula de la distancia, que los siguientes puntos son colineales. a) A(-3,4), B(5,7) y C ( 11, 9) = 3 4 3

= = 64 = 3 = . 44 = = 11 6

2 4

= 36 = 4 = 6.324 = 3 11 14

4

=

= 1 6 = 221

2

= 14. 66 Varia un poco, pero a simple vista si son colineales.

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) A(-1, -2), B(3,-10), y C(8,8)

=

1

3 =4 = 16 =

2

( 1 )

64

= . 442 =3 = = 2 = 34 = 1 .6 1 = 1 2 1 1 1 1 324

= = 1

= 1 1 = 13.4 36 Los puntos no son colineales.

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica5) Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un triangulo rectngulo issceles. a) A(-2,2), B(3,1) y C(-1,-6)

=

2

3

2 1 1

1

= = 2 = 26 = . =3 ( 1) =4 = 16 = 6 = . 622 = 2 ( 1) 1 4

1

( 6)

2

( 6)

=

= 1 = 6

64

= . 622 Es Issceles, pero no tiene ningn ngulo recto.

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) A(-6,-6), B(-2,2) y C(2,-2) = 6 = ( 2) 4 64 6 2

= 16 =

= . 442 = 2 = 2 4 = 16 = 32 = .6 6 = 6 = = 64 = = .6 6 Es Issceles pero no cuenta con ningn ngulo recto. 16 2) 6 4 ( 2) 2 4 16 ( 2)

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica6) Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un triangulo rectngulo. a) A(3,2), B(-2,-3) y C(0,4)

=3

( 2) = = 2 = = . 1

2

( 3)

2

=

2 2 4

3

4

=

= 4

= 3 = .2 =3 = 3 = = 13 = 3.6 No tiene ngulo recto, por lo tanto, no es un tringulo rectngulo. 4 1 2 2 4

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) K(3,5), L(7,2) y M(4,-2) =3 = 4 = 16 = 2 = = 4 =3 = = 2 = =3 4 1 4 ( 2) 2 4 16 ( 2) 3 2

=

= 1 = = .

1

Tiene un ngulo recto, es un tringulo rectngulo.

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica

TAREA 4: HALLAR LAS COORDENADAS DEL PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA.

Actividad 1 (INDIVIDUAL).- Investigar la tcnica para dividir un segmento y el mtodo para encontrar las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razn dada. TEOREMA: Retroalimentacin: Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son A= (x y) y B= (x y) en la razn dada = Son: = 1 Y = 1 ( ) ( )

Siendo r1 COROLARIO: Las coordenadas de un punto P que es el punto medio de un segmento cuyos extremos son A= (x y) y B= (x y) son: = = 2 2

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 2 (GRUPO).- Leer detenidamente cada uno de los retos que se plantean a continuacin, discute con los integrantes las estrategias de solucin, selecciona la mas viable y ejecuta los clculos en su desarrollo. Utiliza el simulador de Euclides para graficar la solucin y verificar los resultados tanto grficamente como analticamente. a) Determinar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en tres partes iguales, si los extremos del segmento son los puntos A (1,-2) y B (7,4) representarlos grficamente y verificar resultados. 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "P" = = 1 2 ( ) 1 1 1 [2 ( )] 1 =3 = 2 1 = 1 [2 (4)] 1 2 1 2 ( )

2.-Escribir la formula = =

3.-Sustituir datos de formula = 1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) Encuentra las coordenadas de un punto que divide a un segmento en dos partes iguales, si los extremos del segmento son M (5,4) y K (-2,-1), representar grficamente la solucin y verificar los resultados. 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "A" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 1( 2) 1 1 = 1. = 4 1( 1) 1 1 = 1. ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticac) Determinar las coordenadas del punto que divide al segmento de recta, cuyos extremos son los puntos A= (-3,5), y B= (6,-1) en una razn de uno (r=1). Representar grficamente la solucin y verificar los resultados. 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "X" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 3 1(6) 1 1 1( 1) 1 1 =2 ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula =

= 1. =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticad) Qu sucede cuando la razn que divide a un segmento es negativa? Explquelo mediante un ejemplo. Encontrar las coordenadas de un punto que divide al segmento que une los puntos A (16, -2) y B (1, 3) en una razn = , que al ser una razn negativa nos indica que el punto P esta fuera del segmento AB. = = 16 =1 3 = 2 =3

=

=

3 (1

=

16 1 16) 4

) = 3( = 3 3 = = = ( 2) 3 ) = 3( = 3 3 = = 3 3 3 4

3 (3 24 24

=

2) 6 24

=6

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 3 (GRUPO).- EJERCICIOS PROPUESTOS DE AUTOEVALUACION: 1) Hallar la coordenadas de un punto P(x,y) que divide al segmento determinado por A( -2, 5 ) y B ( 10 , -2 ) en una relacin r = 2/3. 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "P" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 2 [3 (1 )] 1 = 2. = 2 [3 ( 2)] 1 2 3 = 2.2 2 3 ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula = 2

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica2) Se sabe que el punto P (8, -4) divide al segmento que esta determinado por los puntos A (14 , -12) y B (x

y) en la relacin r = 2; hallar las coordenadas del punto B.= =2 2.-Escribir la formula = = 1 1 14 2( ) 3 2( ) ] (3) 3 2( ) ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula =

14 (3) = [ 24 = 14

1 =2(X) = 4= (3) 4=[ 12 = 12 12 12 =0 2( ) 3 2( ) ] (3) 3 2( )

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica3) Los extremos del dimetro de una circunferencia A (3, -2) y B (5,6); halla las coordenadas del centro. 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "X" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 3 1( ) 1 1 =4 = 2 1(6) 1 1 =2 ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 1004) El extremo del dimetro de una circunferencia de centro C (6,-2) es A (2,4); halla las coordenadas B(x,y) del otro extremo. 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "B" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 2 1( ) 2 1( ) ] (2) 2 1( ) ( ) ( )

Martin Jaime Covarrubias

Geometra Analtica

3.-Sustituir datos de formula 6=

2 (2)6 = [ 12 = 2 4

=1 2= (2) 1( ) 2 4 2=[ ] (2) 2 4=4 =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 1005) Hallar las coordenadas del punto medio para cada uno de los siguientes segmentos, cuyos extremos son: a) A= (-4, 6), B= (3, -2) 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "X" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 4 = = 6 1(3) 1 1 . 1( 2) 1 1 =2 ( ) ( )

Martin Jaime Covarrubias

Geometra Analtica

3.-Sustituir datos de formula =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) A (2, 5) y B(8, 1) 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "X" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 2 1( ) 1 1 = = 1(1) 1 1 =3 ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias6)

Geometra Analtica

Tres de los vrtices de un paralelogramo son A= (1,1), B= (9,2) y C= (11,6); halla las coordenadas del cuarto vrtice (D) si se sabe que es opuesto a (B). 1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para el punto "X" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 1 1(11) 1 1 =6 = 1 1(6) 1 1 =3.5 ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica1.-Hallar la razn en que se divide un segmento, para encontrar el punto "D" = =1 2.-Escribir la formula = = 1 1 1( ) 1 1( 2 1( =3 2 1( ) 1 1 1( 2 1( =5 ) ) ] (2) ) ) ] (2) ( ) ( )

3.-Sustituir datos de formula 6= (2)6 = [ 12 = 1

3. =

2 (2)3. = [ =2

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaPermetro de la figura por medio de la formula de la distancia.A= (1,1), B= (9,2) y C= (11,6), D= (3,5)

= X =

X 1

2 1 1

1

= = 64 = 6

= . 622

= X

X

6 4 16

2

= 11 =2 = 4 = 2 = 4.4 21

= X =3

X 11

6 1

= = 64 = 6 = . 622 1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica

= X =1

X 3 2

1 4 16

=

= 4 = 2

= 4.4 21

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaTAREA 5: ENCONTRAR EL REA DE UNA FIGURA GEOMETRICA, DEFINIDA POR LAS CORDENADAS DE LOS PUNTOS DE SUS VERTICES. Actividad 1 (INDIVIDUAL).- Investigar la tcnica para encontrar el rea de un polgono regular e irregular, as como el mtodo matemtico para determinar el rea de la superficie de la figura en cuestin. P(X ) P(X ) y P(X ) son los vrtices de un tringulo su rea se puede obtener de una manera fcil si aplicamos: 1 = [ 2 ]

El primer punto siempre se repite, para obtener el determinante [ ]

=

=

1 ( 2

)

(

)

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 2 (GRUPO).- Leer detenidamente cada uno de los retos que a continuacin se plantean, analiza con tus compaeros y selecciona la estrategia que permita llegar a la solucin. Utiliza el simulador de Euclides para graficar y verificar los resultados, copia la pantalla del monitor y pega en el office de trabajo, como una evidencia del trabajo desarrollado. a) Calcula el permetro y el rea del triangulo cuyos vrtices son los puntos A= (-4,-5), B= (0,3), C= (3,-1). [ ) )) 1 ) ] ( ) 3 3 ( ))]

= 1 ( 2 ( 1) = 1 2 =

= =

3 (

1 [( 4 3 2

( 4 ( 1) ( 4)

( 12

1 ( 2 ) (13) 2 1 = 4 2 1 4 2

Al quitar el valor absoluto, se vuelve positivo =

=2

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) Los puntos P (4,-2), Q (12,4), R (5,7), S (1,4) son los vrtices de un terreno en forma de trapecio. Dicho terreno se va a dividir en dos partes triangulares. Calcula el permetro y el rea de los tringulos que se forman con los vrtices RSP y RPQ. [ ] 16 ) )

=

=

1 ( ) ( 2 1 (2 = 2 2 ) ( 1 2 1 (46) (13) = 2 1 = 33 2 1 33 2

Al quitar el valor absoluto, se vuelve positivo. (Aunque en este caso ya lo era) =

= 16.

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias [

Geometra Analtica ] 24 2 ) )

=

=

1 ( ) ( 2 1 ( 1 = 16 4) (2 2 1 ( ) (24) = 2 1 = 66 2 1 66 2

Al quitar el valor absoluto, se vuelve positivo. (Aunque en este caso ya lo era) =

= 33

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticac) Determina el rea del trapecio del ejercicio anterior y comprueba que la suma de las reas de los tringulos que calculaste primero es igual al rea del trapecio. P (4,-2), Q (12,4), R (5,7), S (1,4) [ = 1 ( 2 = 1 2 (16 4 = 2 ) 2) ( (16 (1 ) 2 ] 24) )

=

1 (11 ) 2 1 = 2 1 2

Al quitar el valor absoluto, se vuelve positivo. (Aunque en este caso ya lo era) =

=4 .

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 3 (GRUPO).- EJERCICIOS PROPUESTOS DE AUTOEVALUACION: 1) Los puntos medios de los lados de un triangulo son A= (-1/2, 1/2), B= (3, -1/2), y C= (-3/2,-3); Halla las coordenadas de sus vrtices, rea y permetro del triangulo. [ [ ] ]

2 1 1 3 = 2 2 Ecuacin 1: = 3= Ecuacin 2: = 2 3 3 2 3 = 2 2 3= 2 ( 1) 1= 1 6= 1 1= 1 = 2 3 1 2 3 3 2 2( 1) 1 2 6= 1 2 2 1 2 2 1= 1 2

=

1

3

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica2) Que valores de ordenada (y) tendr el siguiente triangulo de vrtices A= (-3,4), B= (6,1) Y C= (4, y) si tiene un rea de 25 unidades cuadradas? [ ]

=

=

1 ( ) ( ) 2 1 ( 3 6 16) ( 3 4 24) 2 = 2 1 2 = 3 6 16 3 4 24 2 = = 6 = 6 = .2222 1 1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica3) Hallar el rea, permetro para los siguientes polgonos cuya coordenadas de los vrtices son : a) A(-3,3), B(4,2), C(7,7) y D(-1,6) [ = 1 ( 2 1 = 2 ( 6 2 42 = ) 3) ( ( 1 ] 14 12) )

=

1 (61) (1) 2 1 = 6 2 1 6 2

Al quitar el valor absoluto, se vuelve positivo. (Aunque en este caso ya lo era) =

=3

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) A(-3,-2), B(-7,1), C(-2,8) y D(1,5) y E(6,3) [ = 1 ( 2 = 1 2 ( 3 6 1 = 3 1 ( 2 = ) 12) ) 1 11 2 1 11 2 . ( ( (41) 3 2 ] 14) )

=

Al quitar el valor absoluto, se vuelve positivo. (Aunque en este caso ya lo era) = =

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaTAREA 6: DESCRIBE Y TRAZA PLANOS POLARES, IDENTIFICA Y LOCALIZA PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS POLARES. Actividad 1.- Traza un plano de coordenadas polares en cada caso y localiza los puntos cuyas coordenadas se indican: a) A(4, 45) = = =4 =4 = 4 cos 4 = 4 sen 4 . . 1 1 = 2. 2 4 = 2. 2 4

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) B(3, 3pi/2) 3 3 1 = 2 2 = = =2

= 3 cos 2 = 3 sen 2 =3 = =3 = 3 1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticac) (2, 7pi/4) 4 = = =2 =2 = = 1 4 = 31

= 2 cos 31 = 2 sen 31 . . 1.4142 1 1 = 1.4142

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticad) D(5, 170) = = = = = = = . cos 1 sen 1 4 4. 24 .1 36

= . 6 2

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 2.- En la siguiente se han trazado las circunferencias de radio 1, 2, 3, y 4 el plano polar, en ella localiza los siguientes puntos A (1,90), B (1, 135), C (1,-120), D (-1,-135) y E (-1, 225). Punto A: = = = 1 cos = 1 sen =1 = =1 1 =1 Punto B: = = = 1 cos 13 = 1 sen 13 =1 = =1 = . Punto C: = = = 1 cos 12 = 1 sen 12 =1 = =1 = . . 66 . 66 . . . 1 . 1 1 1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analtica

Punto D: = = = = = Punto E: = = = = = = 1 = . 1 = . . 1 1 cos 22 1 sen 22 . 1 1 1 = = 1 = . 1 . . 1 1 cos 13 1 sen 13 . 1 1 1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 3.- Transforma de coordenadas polares a coordenadas cartesianas y determina la representacin grafica en el plano cartesiano a los siguientes puntos. a) A(3,45) = = = 3 cos 4 = 3 sen 4 =3 = (2)3 1 2 1 2

(2) 1 2

= 4.2426 = 2.1213 =3 = (2)3 1 2 1 2

(2) 1 2

= 4.2426 = 2.1213

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticab) B(1,30) = = = 1 cos 3 =1 3 2 3

=1

= . 66 1 2

=1 = .

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticac) C(-2, 30) = = = = = 2 2 cos 3 2 3 2 1 2 3

= 1. 32 = 2 =1

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticad) D(2,135) = = =2 = =2 . =2 =2 . 1.4142 1 13 13 1

= 1.4142

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra AnalticaActividad 4.- Transforma de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y determina la representacin grafica en el plano polar a los siguientes puntos. a) A(3,4) = =

= 3 = = 2 =

4 16

= = 3 4

4 3

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubiasb) B(1,1) = =

Geometra Analtica

= 1 = 1 = 2

1 1

= 1.4142 1 1 =4

=

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticac) C(-2,3) = =

= 2 = 4 = 13 = 3.6

3

=

3 2

= 123 41 24

Centro de Estudios Tecnolgicos Industrial y de Servicios No. 100Martin Jaime Covarrubias Geometra Analticad) D(2,-3) = =

= 2 = 4

( 3 )

= 13 = 3.6 3 2

=

= 3 3 41 24