Geometría
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Geometría La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades. Los dos temas más comunes son: Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel) Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides). Si te gusta jugar con objetos, o te gusta dibujar, ¡la geometría es para ti! Pista: Intenta dibujar algunas de las formas y ángulos en el momento en que los aprendes... eso ayuda. ¡Sólidos! La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos... Poliedros : (deben tener caras planas) Sólidos Platónicos Prismas Pirámides No Poliedros: (si alguna superficie no es plana) Esfera Toro Cilindro Cono También: Volumen de un Ortoedro Geometría Plana
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GeometríaLa Geometría trata sobre las formas y sus propiedades.
Los dos temas más comunes son:
Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel)
Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides).
Si te gusta jugar con objetos, o te gusta dibujar, ¡la geometría es para ti!
Pista: Intenta dibujar algunas de las formas y ángulos en el momento en que los aprendes... eso ayuda.
¡Sólidos!
La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...
Poliedros:(deben tener caras
planas)Sólidos Platónicos
Prismas
Pirámides
No Poliedros:(si alguna superficie no
es plana)Esfera Toro
Cilindro Cono
También: Volumen de un Ortoedro
Geometría Plana
La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin fin).
Aquí hay una lista de nuestras páginas sobre geometría plana:
General
PlanoSímbolos Geométricos ÁreasCongruenteTeorema de PitágorasTernas PitagóricasCuadriláteros - Rombo, Paralelogramo, etcTriángulos RectángulosFormaSimilarTriángulosTransversalDibujo General
Polígonos
Pentagrama
Elipse
Sección cónica
Usando Instrumentos de Dibujo (Regla, Triángulo, Compás)
Usando el TransportadorUsando el Triángulo de Dibujo y la ReglaUsando Regla y Compás
Transformaciones y Simetría
Índice de TransformacionesÍndice de SimetríaArtista de SimetríaArtista de Teselación
Ángulos
Grados (Ángulo)Ángulos AgudosÁngulos RectosÁngulos ObtusosÁngulos Llanos
Ángulos CóncavosLíneas Paralelas y Pares de ÁngulosDemostración de que un Triángulo tiene 180°Ángulos Congruentes
Ángulos SuplementariosÁngulos Complementarios
Ángulos Alrededor de un PuntoÁngulos sobre una Línea Recta
Ángulos InterioresÁngulos Exteriores
Geometría sólidaLa Geometría sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...
Tres dimensiones
Se llama tridimensional, o 3D porque hay tres dimensiones: longitud, profundidad y
altura.
Hay dos tipos principales de sólidos, "poliedros" y "no poliedros":
Sólidos platónicosHay cinco sólidos platónicos
Debajo tienes los cinco sólidos platónicos (o poliedros regulares). Para cada sólido tenemos un recortable imprimible. Puedes imprimirlos y pegarlos en cartulina. Úsalos para hacer tus propios sólidos platónicos. Recórtalos y pega los bordes con cinta.
Tetraedro
4 caras 4 vértices 6 aristas Tetraedro para recortar Modelo de tetraedro Haz girar un tetraedro
Cubo
6 caras 8 vértices 12 aristas Cubo para recortar Modelo de cubo Haz girar un cubo
Octaedro
8 caras 6 vértices 12 aristas Octaedro para recortar Modelo de octaedro Haz girar un octaedro
Dodecaedro
12 caras 20 vértices 30 aristas Dodecaedro para recortar Modelo de dodecaedro Haz girar un dodecaedro
Icosaedro
20 caras 12 vértices 30 aristas Icosaedro para recortar Modelo de icosaedro Haz girar un icosaedro
Tetraedro
Hechos sobre tetraedrosFíjate en estas cosas tan interesantes:
Tiene cuatro carasCada cara tiene tres aristas, y es de hecho un Triángulo EquiláteroTiene seis aristasTiene cuatro vértices (puntos en las esquinas)en cada vértice coinciden tres aristas
Y como referencia:Área de la Superficie = √3 × (Longitud de la arista)2
Volumen = (√2)/12 × (Longitud de la arista)3
El tetraedro también tiene una propiedad bella y única... ¡todos los vértices están a la misma distancia de los demás! (gracias a Ganesh)
Y es el único Sólido Platónico que no tiene caras paralelas.
Instrucciones: En modo "giro" el tetraedro gira libremente y responde al ratón. En modo "arrastre" deja de girar y puedes moverlo con
el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Flash Player".
(Cuando decimos "tetraedro" normalmente queremos decir "tetraedro regular" (es decir, todas las caras tienen el mismo tamaño y forma), pero no tiene por qué ser regular.)
¿Dados de cuatro caras? ¡Sí! Un tetraedro con cuatro caras iguales tiene la misma probabilidad de caer sobre cada una de las caras.
De hecho, puedes hacer dados equilibrados con todos los Sólidos Platónicos.
Cubo (Hexaedro)Hechos sobre el cubo (hexaedro)
Fíjate en estas cosas tan interesantes:Tiene 6 carasCada cara tiene 4 aristas, y es de hecho un cuadradoTiene 12 aristasTiene 8 vértices (puntos en las esquinas)y en cada vértice coinciden 3 aristas
Y como referencia:Área de la superficie = 6 × (Longitud de la arista)2
Volumen = (Longitud de la arista)3
Los cubos se llaman hexaedros porque es un poliedro que tiene 6 (hexa- significa 6) caras.
Instrucciones: En modo "giro" el cubo gira libremente y responde al ratón. En modo
"arrastre" deja de girar y puedes moverlo con el ratón. Si no puedes ver la animación en
absoluto, necesitas instalar el "Flash Player".
Los cubos valen para hacer bonitos dados de 6 caras, porque tienen forma regular, y cada cara tiene el mismo tamaño.
De hecho, puedes hacer dados equilibrados con todos los sólidos platónicos.
OctaedroHechos sobre el octaedro
Fíjate en estas cosas tan interesantes:Tiene 8 carasCada cara tiene 3 aristas, y es de hecho un triángulo equiláteroTiene 12 aristasTiene 6 vértices (puntos en las esquinas)y en cada vértice coinciden 4 aristas
Y como referencia:Área de la superficie = 2 × √3 × (Longitud de la arista)2
Volumen = (√2)/3 × (Longitud de la arista)3
Se llama octaedro porque es un poliedro con 8 (octa-) caras (igual que un octópodo tiene 8 tentáculos)
Instrucciones: En modo "giro" el octaedro gira libremente y responde al ratón. En modo "arrastre" deja de girar y puedes moverlo con
el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Flash Player".
Cuando decimos "octaedro" normalmente queremos decir "octaedro regular" (es decir, todas las caras tienen el mismo tamaño y forma), pero no tiene por qué serlo siempre: este también es un octaedro, aunque sus caras no sean todas iguales (pero es mejor llamarlo prisma hexagonal).
¿Dados de 8 caras? ¡Sí! Un octaedro con 8 caras iguales tiene la misma probabilidad de caer sobre cada una de las caras.
De hecho, puedes hacer dados equilibrados con todos los sólidos platónicos.
DodecaedroHechos sobre el dodecaedro
Fíjate en estas cosas tan interesantes:Tiene 12 carasCada cara tiene 5 aristas, y es de hecho un pentágonoTiene 30 aristasTiene 20 vértices (puntos en las esquinas)y en cada vértice coinciden 3 aristas
Y como referencia:Área de la superficie = 3×√(25+10×√5) × (Longitud de la arista)2
Volumen = (15+7×√5)/4 × (Longitud de la arista)3
Se llama dodecaedro porque es un poliedro con 12 caras (del griego dodeca- que significa 12).
Instrucciones: En modo "giro" el dodecaedro gira libremente y responde al ratón. En modo "arrastre" deja de girar y puedes moverlo con
el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Flash Player".
Cuando decimos "dodecaedro" normalmente queremos decir "dodecaedro regular" (es decir, todas las caras tienen el mismo tamaño y forma), pero no tiene por qué serlo siempre: este también es un dodecaedro, aunque sus caras no sean todas iguales.
¿Dados de 12 caras? ¡Sí! Un dodecaedro con 12 caras iguales tiene la misma probabilidad de caer sobre cada una de las caras.
De hecho, puedes hacer dados equilibrados con todos los sólidos platónicos.
IcosaedroHechos sobre el icosaedro
Fíjate en estas cosas tan interesantes:Tiene 20 carasCada cara tiene 3 aristas, y es de hecho un triángulo equiláteroTiene 30 aristasTiene 12 vértices (puntos en las esquinas)y en cada vértice coinciden 5 aristas
Y como referencia:Área de la superficie = 5×√3 × (Longitud de la arista)2
Volumen = 5×(3+√5)/12 × (Longitud de la arista)3
Se llama icosaedro porque es un poliedro con 20 caras (del griego icos- que significa 20)
Instrucciones: En modo "giro" el icosaedro gira libremente y responde al ratón. En modo "arrastre" deja de girar y puedes moverlo con
el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Flash Player".
Cuando decimos "icosaedro" normalmente queremos decir "icosaedro regular" (es decir, todas las caras tienen el mismo tamaño y forma), pero no tiene por qué serlo siempre: este también es un dodecaedro, aunque sus caras no sean todas iguales.
¿Dados de 20 caras? ¡Sí! Un icosaedro con 20 caras iguales tiene la misma probabilidad de caer sobre cada una de las caras.
De hecho, puedes hacer dados equilibrados con todos los sólidos platónicos.
Prismas
¡Un prisma tiene la misma sección en toda su longitud!
Una sección es la forma que se obtiene cuando se corta un objeto de manera recta.
Una sección de este objeto es un triángulo...
... tiene la misma sección en toda su longitud...
... así que es un prisma triangular.
Intenta dibujar una forma en un trozo de papel (¡sólo con líneas rectas!),ahora imagina que se extiende hacia arriba desde la hoja de papel,
¡eso es un prisma!
¡Sin curvas!
Un prisma es oficialmente un poliedro, así que todas las caras tienen que ser planas. No puede haber caras curvas.
Así que la sección será un polígono (una figura con lados rectos). Por ejemplo, si la sección fuera un círculo el objeto sería un cilindro, no un prisma.
Todos estos son prismas:
Prisma cuadrado: Sección:
Cubo: Sección:
(sí, un cubo es un prisma, porque es un cuadrado
en toda su longitud)(Mira también los prismas rectangulares )
Prisma triangular: Sección:
Prisma pentagonal: Sección:
Prismas regulares e irregulares
Todos los ejemplos anteriores son prismas regulares, porque la sección es regular (es decir, una forma con lados de la misma longitud)
Aquí tienes un ejemplo de prisma irregular:
Prisma irregular pentagonal: Sección:
(Es "irregular" porque el
pentágono no tiene forma "regular")
Volumen de un prisma
El volumen de un prisma es simplemente el áre de un extremo por la longitud del prisma
Volumen = Area × Longitud
Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un prisma cuyo extremo es 25 cm2 y que tiene 12 cm de longitud?
Respuesta: Volumen = 25 cm2 × 12 cm = 300 cm3
(Nota: tenemos una herramienta para calcular áreas)
PoliedrosUn poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara").
Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono.
Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.
Ejemplos de poliedros:
Prisma triangular Cubo Dodecaedro
CilindroHechos sobre cilindros
Fíjate en estas cosas tan interesantes:La base y la tapa son planasLa base y tapa son iguales, así como todas las secciones intermediasTiene una cara curvaPor eso, no es un poliedro
Y como referencia:
Área de la superficie = 2 × π × r × (r+h)
Área de la superficie de una tapa = π × r2
Área de la superficie lateral = 2 × π × r × h
Volumen = π × r2 × h
Instrucciones: En modo "spin" el tetraedro gira libremente y responde al ratón. En modo "drag"
deja de girar y puedes moverlo con el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas
instalar el "Reproductor Flash".
Un objeto que tiene forma de cilindro se dice que es cilíndrico
Volumen de un cono y de un cilindro
Las fórmulas del volumen de un cono y de un cilindro son muy parecidas:
El volumen de un cilindro es:π × r2 × hEl volumen de un cono es:π × r2 × (h/3)
Así que la única diferencia es que el volumen de un cono es un tercio (1/3) del de un cilindro.
Así que en el futuro, cuando pidas helados que no de den conos sino cilindros, ¡así te dan 3 veces más cantidad!
No tiene por qué ser circular
Normalmente cuando decimos cilindro nos referimos a un cilindro circular, pero también hay cilindros elípticos, como este:
Hasta los hay con formas más raras todavía: si la sección es curva y tiene la misma forma en una punta que en la otra, se considera un cilindro.
Más cilindros
Ortoedros, prismas rectangulares y cubos
Un ortoedro o cuboide es un objeto con forma de caja. Tiene seis caras planas y todos sus ángulos son ángulos rectos.
Y todas sus caras son rectángulos.
También es un prisma porque todas sus secciones a lo largo de una dirección son iguales. De hecho es un prisma rectangular.
Si al menos dos de las longitudes son iguales entonces también se lo puede llamar prisma cuadrado.
(¡Fíjate en que de todas maneras puedes llamarlo también prisma rectangular si quieres!)
Si las tres longitudes son iguales también se llama cubo (o hexaedro) y cada cara es un cuadrado.
Un cubo también es un prisma.
Y el cubo es uno de los sólidos platónicos.
Así que un cubo es sólo un tipo especial de prisma cuadrado, y un prisma cuadrado es sólo un tipo de prisma rectangular.
Y todos ellos son ortoedros.
Nota: el nombre "cuboide" viene de "cubo" y -oide (que significa "similar, que se parece a") e indica que "se parece a un cubo". El nombre "ortoedro" viene de orto-, que significa "recto", y -edro, que significa "cara".
Otro uso de -oide es cuando decimos que la Tierra es un esferoide (no es exactamente una esfera, pero casi).
Volumen y área superficial
El volumen de un ortoedro es simplemente: Volumen = longitud × profundidad × alturaY lo podemos escribir como: V = lpa
Y el área de su superficie es: A = 2lp + 2pa + 2al
Ejemplo de cálculo
Encuentra el volumen y el área superficial de este ortoedro.
V = 4×5×10 = 200
A = 2×4×5 + 2×5×10 + 2×10×4 = 40+100+80 = 220
Ejemplos de ortoedros
Los ortoedros son muy comunes en nuestro mundo, desde cajas a edificios, los vemos en todas partes. ¡Hasta puedes poner ortoedros dentro de otros ortoedros!
Una caja con una ranura a modo de
asa
Ortoedros en una habitación con forma de
ortoedro
Cajas de maquetas de trenes
¡Esta es una locura!
Herramienta para calcular áreasAquí tienes una pequeña herramienta que puedes usar para calcular el área de las formas más comunes.
Elige la forma, escribe las longitudes, y pulsa "Calcular área"
TriánguloArea = ½b×h
b = baseh = altura
CuadradoArea = a2
a = longitud del lado
RectánguloArea = b×hb = baseh = altura
ParalelogramoArea = b×hb = baseh = altura
TrapecioArea = ½(a+b)h
h = altura
CírculoArea = πr2
Circunferencia = 2πrr = radio
ElipseArea = πab
SectorArea = ½r2θ
r = radioθ = ángulo en radianes
Pirámides
Para triángulos, cuadrados, etc:
base o anchura "b" es:
La altura "h" es:
La longitud "a" es:
Para círculos y sectores:
El radio "r" es:
El ángulo "θ" en radianes es:
Cuando pensamos en pirámides siempre nos acordamos de las Grandes Pirámides de Egipto.
Son pirámides cuadradas, porque sus bases son cuadrados.
Partes de una pirámide
Una pirámide se hace conectando una base con un ápice
Tipos de pirámides
Hay muchos tipos de pirámides, sus nombres dependen de la forma de la base.
Pirámide Base
TriangularPirámide:
Detalles >>
CuadradoPirámide:
Detalles >>
PentagonalPirámide:
Detalles >>
... y así sigue...
Área y volumen
El volumen de una pirámide
1/3 × [Área base] × altura
El área de la superficie de una pirámide
1/2 × Perímetro × [Longitud cara]+ [Área base]
Explicación del área de la superficie
El área de la superficie tiene dos partes: el área de los lados (el área lateral) y el área de la base (el área de la base).
El área de la base depende de la forma, hay distintas fórmulas para triángulos, cuadrados, etc. Lee Área para ver las fórmulas, o nuestra Herramienta para calcular áreas
Pero el área lateral es muy sencilla de calcular. Sólo hay que multiplicar el perímetro por la longitud de una cara y dividir entre 2. Esto es porque los lados siempre son triángulos y el área de un triángulo es base por altura entre 2
Pirámides rectas y oblicuas
El nombre te dice dónde está la punta (ápice) de la pirámide. Si el ápice está directamente sobre el centro de la base, es una pirámide recta, si no es una pirámide oblicua.
Pirámide recta Pirámide oblicua
Pirámides regulares e irregulares
Esto depende de la forma de la base. Si la base es un polígono regular, entonces es una pirámide regular, si no es una pirámide irregular.
Pirámide regular Pirámide irregular
La base es regular La base es irregular
Pirámide triangular
Hechos sobre pirámides triangularesFíjate en estas cosas tan interesantes:
Tiene 4 caras· Las 3 caras de los lados son triángulos· La base también es un triánguloTiene 4 vértices (esquinas)Tiene 6 aristasSi todas las aristas son iguales también es un tetraedro
Y como referencia:Área de la superficie = [Área base] +1/2 × Perímetro × [Longitud cara]
Volumen = 1/3 × [Área base] × Altura
Instrucciones: En modo "spin" el tetraedro gira libremente y responde al ratón. En modo "drag" deja de girar y puedes moverlo con el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Reproductor Flash".
Pirámide cuadrada
Hechos sobre pirámides cuadradasFíjate en estas cosas tan interesantes:
Tiene 5 caras· Las 4 caras de los lados son triángulos· La base es un cuadradoTiene 5 vértices (esquinas)Tiene 8 aristas
Y como referencia:Área de la superficie = [Área base] +1/2 × Perímetro × [Longitud cara]
Volumen = 1/3 × [Área base] × Altura
Instrucciones: En modo "spin" el tetraedro gira libremente y responde al ratón. En modo "drag" deja de girar y puedes moverlo con el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Reproductor Flash".
Pirámide pentagonal
Hechos sobre pirámides pentagonalesFíjate en estas cosas tan interesantes:
Tiene 6 caras· Las 5 caras de los lados son triángulos· La base es un pentágonoTiene 6 vértices (esquinas)Tiene 10 aristas
Y como referencia:Área de la superficie = [Área base] +1/2 × Perímetro × [Longitud cara]
Volumen = 1/3 × [Área base] × Altura
Instrucciones: En modo "spin" el tetraedro gira libremente y responde al ratón. En modo "drag" deja de girar y puedes moverlo con el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Reproductor Flash".
Áreas de formas planas
TriánguloÁrea = ½b×h
b = baseh = altura vertical
CuadradoÁrea = a2
a = longitud del lado
RectánguloÁrea = b×hb = anchurah = altura
ParalelogramoÁrea = b×hb = anchurah = altura
TrapecioÁrea = ½(a+b)h
h = altura vertical
Círculo
Área = πr2
Circunferencia=2πrr = radio
Elipse
Área = πab
SectorÁrea = ½r2θ
r = radioθ = ángulo en radianes
Herramienta para calcular áreasAquí tienes una pequeña herramienta que puedes usar para calcular el área de las formas más comunes.
Elige la forma, escribe las longitudes, y pulsa "Calcular área"
TriánguloArea = ½b×h
b = baseh = altura
CuadradoArea = a2
a = longitud del lado
RectánguloArea = b×hb = baseh = altura
ParalelogramoArea = b×hb = baseh = altura
TrapecioArea = ½(a+b)h
h = altura
CírculoArea = πr2
Circunferencia = 2πrr = radio
ElipseArea = πab
SectorArea = ½r2θ
r = radioθ = ángulo en radianes
Esfera
Hechos sobre esferasFíjate en estas cosas tan interesantes:
Es perfectamente simétricaNo tiene aristas ni vérticesNo es un poliedroTodos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro
Y como referencia:
Área de la superficie = 4 × π × r2
Volumen = (4/3) × π × r3
Esfera de cristal.
Los balones y las canicas tienen forma de esfera.
El mayor volumen para la menor superficie
De todas las figuras, la esfera es la que tiene menor área de superficie dada una cantidad fija de volumen. O por decirlo de otra manera, contiene el mayor volumen posible dad una cantidad fija de área superficial.
Ejemplo: si inflas un globo su forma es esférica de manera natural, porque está intentando contener la mayor cantidad posible de aire con la menor superficie posible. Pulsa el botón "Play" para verlo.
En la naturaleza
Las esferas aparecen en la naturaleza cuando la superficie tiene que ser lo más pequeña posible. Algunos ejemplos son las burbujas y las gotas de agua, ¿se te ocurren más?
La Tierra
El planeta Tierra, nuestro hogar, es casi una esfera, excepto
porque está un poco aplastada en los polos.
Es un esferoide, lo que significa que sólo falla en ser una esfera perfecta en una dirección (en el caso de la Tierra, el eje norte-sur)
Otras esferas que valen la pena
ToroHechos sobre toros
Fíjate en estas cosas tan interesantes:Se hace girando un círculo pequeño a lo largo de la línea trazada por otro círculo.No tiene aristas ni vérticesNo es un poliedro
Y como referencia:
Área de la superficie = 4 × π2 × R × r
Volumen = 2 × π2 × R × r2
Nota: ¡las fórmulas de área y volumen sólo funcionan cuando el toro tiene un agujero!
¿Sabías que la palabra toro viene de la palabra latina para "cojín"?
(Esto no es un cojín romano de verdad, sólo un dibujo que he hecho)
Toro en el cielo. El toro es un sólido tan interesante, ¡sería divertido tener uno de playa!
Más imágenes de toros
Cuando el radio pequeño (r) crece y crece, el toro pasa de neumático a donut:
CilindroHechos sobre cilindros
Fíjate en estas cosas tan interesantes:La base y la tapa son planasLa base y tapa son iguales, así como todas las secciones intermediasTiene una cara curvaPor eso, no es un poliedro
Y como referencia:
Área de la superficie = 2 × π × r × (r+h)
Área de la superficie de una tapa = π × r2
Área de la superficie lateral = 2 × π × r × h
Volumen = π × r2 × h
Instrucciones: En modo "spin" el tetraedro gira libremente y responde al ratón. En modo "drag"
deja de girar y puedes moverlo con el ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas
instalar el "Reproductor Flash".
Un objeto que tiene forma de cilindro se dice que es cilíndrico
Volumen de un cono y de un cilindro
Las fórmulas del volumen de un cono y de un cilindro son muy parecidas:
El volumen de un cilindro es:π × r2 × hEl volumen de un cono es:π × r2 × (h/3)
Así que la única diferencia es que el volumen de un cono es un tercio (1/3) del de un cilindro.
Así que en el futuro, cuando pidas helados que no de den conos sino cilindros, ¡así te dan 3 veces más cantidad!
No tiene por qué ser circular
Normalmente cuando decimos cilindro nos referimos a un cilindro circular, pero también hay cilindros elípticos, como este:
Hasta los hay con formas más raras todavía: si la sección es curva y tiene la misma forma en una punta que en la otra, se considera un cilindro.
Más cilindros
Cono
Hechos sobre conosFíjate en estas cosas tan interesantes:
Tiene una base planaTiene una cara curvaPor eso, no es un poliedro
Y como referencia:
Área de la superficie de la base = π × r2
Área de la superficie lateral = π × r × so Área de la superficie lateral = π × r × √(r2+h2)
Volumen = π × r2 × (h/3)
Instrucciones: En modo "spin" el tetraedro gira libremente y responde al ratón. En modo "drag" deja de girar y puedes moverlo con el
ratón. Si no puedes ver la animación en absoluto, necesitas instalar el "Reproductor
Flash".
Un objeto con forma de cono se dice que es cónico
Un cono es un triángulo en rotación
¡Un cono se construye girando un triángulo!
El triángulo tiene que ser un triángulo rectángulo, y girar alrededor de uno de sus dos lados más cortos (catetos).
El lado sobre el que gira es el eje del cono.
Volumen de un cono y de un cilindro
Las fórmulas del volumen de un cono y de un cilindro son muy parecidas:
El volumen de un cilindro es:π × r2 × hEl volumen de un cono es:π × r2 × (h/3)
Así que la única diferencia es que el volumen de un cono es un tercio (1/3) del de un cilindro.
Así que en el futuro, cuando pidas helados que no de den conos sino cilindros, ¡así te dan 3 veces más cantidad!
Conos de formas diferentes
El volumen de un ortoedroRecuerda que un ortoedro o cuboide es una figura tridimensional.
Por tanto para calcular el volumen nos hacen falta 3 medidas.
Mira esta figuraTiene tres dimensiones distintas.
Altura Longitud Profundidad
El volumen se calcula con la fórmula
Volumen = Altura × Longitud × Profundidad
Normalmente se escribe V = a × l × p
En este ejemplo el volumen es:
4×5×10 = 200 unidades3
Geometría Plana
La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin fin).
Aquí hay una lista de nuestras páginas sobre geometría plana:
General
PlanoSímbolos Geométricos ÁreasCongruenteTeorema de PitágorasTernas PitagóricasCuadriláteros - Rombo, Paralelogramo, etcTriángulos RectángulosFormaSimilarTriángulos
TransversalDibujo General
Polígonos
Pentagrama
Elipse
Sección cónica
PlanoUn plano es una superficie lisa sin grosor.
Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones.
Ejemplos:
longitud y altura, o x e y
Y así sin final.
Ejemplos
¡Es difícil dar ejemplos reales!
Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano...
... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente.
¡Así que la idea correcta esla parte superior de un trozo perfectamente liso de papel sin fin!
También las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son como un plano.
Imagina
Imagina que vivieras en un mundo bidimensional. Podrías viajar, visitar a los amigos, pero no habría nada en el mundo que tuviera altura.
Podrías medir distancias y ángulos.
Podrías viajar rápido o lento. Avanzar, retroceder o ir de lado. Podrías moverte en línea recta, en círculos, o cualquier otra cosa que no sea subir o bajar.
¿Cómo sería vivir en un plano?
Símbolos en geometría
Símbolos que se usan con frecuencia en geometría
Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:
Símbolo Significado Ejemplo En palabras
TriánguloABC tiene 3
lados igualesEl triángulo ABC tiene tres lados
iguales
Ángulo ABC mide 45°El ángulo formado por ABC mide
45 grados.
Perpendicular AB CDLa línea AB es perpendicular a la
línea CD
Paralela EF GHLa línea EF is paralela a la línea
GH
Grados360° es un círculo
completo
Ángulo recto (90°) mide 90° Un ángulo recto mide 90 grados
Segmento de línea "AB" AB La línea entre A y B
Línea "AB"La línea infinita que pasa por A y
B
Rayo "AB"La línea que empieza en A, pasa
por B y continúa
Congruente (mismo tamaño y forma)
ABC DEFEl triángulo ABC es congruente
con el triángulo DEF
Similar (misma forma, distinto tamaño)
DEF MNOEl triángulo DEF es similar al
triángulo MNO
Por tanto a=b b=aa es igual que b, por tanto b es
igual que a
Nombrar ángulos
En los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuando veas " ABC mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.
Ejemplo breve
Así que si alguien escribe: En ABC, BAC es Ya sabes que quiere decir: "En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un ángulo
recto"
Áreas de formas planas
TriánguloÁrea = ½b×h
b = baseh = altura vertical
CuadradoÁrea = a2
a = longitud del lado
RectánguloÁrea = b×hb = anchurah = altura
ParalelogramoÁrea = b×hb = anchurah = altura
TrapecioÁrea = ½(a+b)h
h = altura vertical
Círculo
Área = πr2
Circunferencia=2πrr = radio
Elipse
Área = πab
SectorÁrea = ½r2θ
r = radioθ = ángulo en radianes
CongruenciaSi se puede convertir una forma en otra usando giros, volteos y deslizamientos, las dos formas son congruentes:
Rotación ¡Gira!
Reflexión ¡Voltea!
Traslación ¡Desliza!
Después de estas transformaciones (girar, voltear, deslizar) la forma sigue teniendo el mismo tamaño,área, ángulos y longitudes de líneas.
Ejemplos
Todas estas formas son congruentes:
GiradaReflejada y desplazada
Reflejada y girada
¿Congruente o similar?
Las dos figuras deben tener el mismo tamaño para ser congruentes. (Si has tenido que reescalar una figura para llegar a la otra, entonces son similares)
Si... entonces son...
... sólo giras, reflejas y/o trasladas congruentes
... necesitas hacer una homotecia similares
¿Congruentes? ¿Por qué esta palabra tan rara significa "igual"? Probablemente porque dos figuras sólo serían "iguales" si una cubriera exactamente la otra. En cualquier caso, la palabra viene del latín congruere, que se podría traducir como "estar de acuerdo". Así que las figuras "están de acuerdo".
Rotaciones
"Rotación" significa girar alrededor de un centro:
La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma.
Cada punto sigue un círculo alrededor del centro.
Puedes girar objetos (punto a punto) con cualquier ángulo, alrededor de cualquier punto central.
Prueba y mira lo que pasa.
Nota: si no puedes ver la animación quizás necesites instalar "Flash Player".
ReflexionesHay reflexiones en todas partes... en espejos, cristales, y en este lago. ... ¿ves lo que pasa?
¡Los puntos
están a la
misma distancia
de la línea central!
... y ...
La reflexión tiene el mismo tamaño que la imagen original
La línea central se llama línea de reflexión ...
... y no importa en qué dirección vaya el reflejo, la imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en la otra dirección:
Una reflexión es
un volteo
con respecto a una
línea
Prueba aquí a reflejar distintas figuras con respecto a diferentes líneas:
¡Pruébalo a ver qué pasa!
Nota: si no puedes ver esta aplicación interactiva, quizás tengas que instalar el "Flash Player"
¿Cómo lo puedo hacer yo solo?
Hazlo paso a paso. A cada esquina de la figura:
1. Mide desde el punto de la línea de reflexión (con una línea que llegue en ángulo recto)
2. Mide la misma distancia en el otro lado y marca un punto allí.
3. ¡Conecta todos los puntos nuevos!
Nombres
Lo normal es nombrar cada esquina con una letra, y usar una pequeña raya (llamada prima) para marcar las esquinas reflejadas.
Aquí, el original es ABC y la imagen reflejada es A'B'C'
Algunos trucos
Eje X
Si la línea de reflexión es el eje X, sólo cambia (x,y) por (x,-y)
Eje Y
Si la línea de reflexión es el eje Y, cambia (x,y) por (-x,y)
Doblando papel
Si esto te falla, ¡sólo tienes que doblar la hoja de papel por la línea de reflexión y mirar a través del papel!
Translaciones
En geometría, "trasladar" simplemente significa mover...
... sin girar, cambiar el tamño ni ninguna otra cosa, sólo mover.
Cada punto de de la figura se mueve:
la misma distancia en la misma dirección.
Para ver cómo funciona, prueba a trasladar algunas figuras:
Nota: traslada dando ángulo y distancia, o x e y.
Prueba los dos para ver qué pasa.
Nota: si no puedes ver la animación, quizás tengas que instalar el "Flash Player".
Escribirlo
A veces sólo queremos escribir la translación sin hacer un dibujo.
Ejemplo: si quieres decir que una figura se mueve 30 unidades en la dirección "X" y 40 unidades en la dirección "Y", escribimos:
Esto nos dice que "todas las coordenadas x e y se convierten en x+30 e y+40"
SimilarEn geometría, dos figuras son similares si la única diferencia es el tamaño (y a lo mejor girar o voltear una de ellas).
El tamaño es la clave
Si una se puede convertir en la otra usando una homotecia (también llamada dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala), entonces las figuras son similares:
¡Estas figuras son similares!
También puede haber giros, volteos o desplazamientos
A veces es difícil ver si dos figuras son similares, porque a lo mejor tienes que girar, voltear o desplazar una de ellas además de la homotecia.
Rotación ¡Gira!
Reflexión ¡Voltea!
Traslación ¡Desliza!
Ejemplos
Todas estas figuras son similares:
Homotecia Homotecia y reflexión Homotecia y rotación
¿Para qué sirve?
Cuando dos figuras son similares:
los ángulos correspondientes son iguales, y las longitudes son proporcionales.
Esto ayuda mucho cuando resolvemos puzzles geométricos, como en este ejemplo:
Ejemplo: ¿cuánto mide ese lado?
Fíjate en que el triángulo rojo tiene los mismos ángulos que el triángulo grande...
... los dos tienen un ángulo recto, y comparten el ángulo de la izquierda
De hecho podrías voltear el triángulo rojo, girarlo un poco, cambiarlo de tamaño, y coincidiría exactamente con el triángulo grande. Así que son triángulos similares.
Entonces las longitudes de los lados son proporcionales, y podemos calcular:
? = 80 × (130/127) = 81.9
(¡Nada complicado, sólo sentido común!)
¿Congruentes o similares?
Si no necesitas cambiar el tamaño para hacer que dos figuras coincidan, entonces son congruentes. Así que si las figuras coinciden:
Después de... Entonces son...
... sólo girar, reflejar y/o trasladar Congruentes
... también reescalar Similares
HomoteciasCuando cambias una figura de tamaño se hace más grande o más
pequeño.
... pero es similar:
los ángulos no cambian los tamaños relativos son los mismos (por ejemplo
la cabeza y el cuerpo mantienen la proporción)
Nota: aquí llamamos a esto homotecia, pero otros lo llaman dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala. La misma idea con otros nombres.
Para cambiar el tamaño, haz lo siguiente con cada esquina:
dibuja una línea del punto central a la esquina aumenta (o disminuye) la longitud de esa línea marca el nuevo punto
¡Ya sólo tienes que unir esos nuevos puntos!
Elige unos valores y pulsa "Reescalar"
Si quieres doblar el tamaño usa el valor 2, si quieres reducirlo a la mitad de su tamaño usa 0.5.
También puedes probar a poner el punto central en distintios sitios.
Nota: si no puedes ver la animación, quizás tengas que instalar el "Flash Player".
Teorema de Pitágoras
Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:
Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...
... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...
... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
¿Seguro... ?
Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.
Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 52
Calculando obtenemos:9 + 16 = 25
¡sí, funciona!
¿Por qué es útil esto?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)
¿Cómo lo uso?
Escríbelo como una ecuación:
a2 + b2 = c2
Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169
c2 = 169
c = √169
c = 13
a2 + b2 = c2
92 + b2 = 152
81 + b2 = 225
Resta 81 a ambos lados
b2 = 144
b = √144
b = 12
¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!
Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía: Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor. Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa Dibuja líneas como en la animación, así:
Recorta los trozos Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que
los cuadrados en los otros lados juntos
Otra Demostración, Muy Simple
Aquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros cuadrados juntos.Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover los triángulos.
Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa.
El triángulo violeta es el importante.
También tenemos una demostración sumando las áreas.
Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!
Demostración algebraica del teorema de Pitágoras
¿Qué es el teorema de Pitágoras?
Tenemos una página que explica el Teorema de Pitágoras, pero aquí tienes un breve resumen:
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual el cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
Demostración del teorema de Pitágoras usando álgebra
Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el Álgebra
Mira este diagrama... tiene dentro un triángulo "abc" (en realidad tiene cuatro):
Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, así que el área es:
A = (a+b)(a+b)
Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños:
Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área A = c²Y hay cuatro triángulos, cada uno con área A =½ab
Así que los cuatro juntos son A = 4(½ab) = 2abSi sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da: A = c²+2ab
El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así:
(a+b)(a+b) = c²+2ab
Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras:
Empezamos con: (a+b)(a+b) = c²+2abDesarrollamos (a+b)(a+b): a²+2ab+b² = c²+2ab
Restamos "2ab" de los dos lados: a²+b² = c²¡HECHO!
Ahora vemos por qué funciona el teorema de Pitágoras, o con otras palabras, vemos la demostración del teorema de Pitágoras.
Hay muchas otras demostraciones de este teorema, ¡pero esta funciona muy bien!
Nota: parte de esta página es por cortesía de WikiBooks
Ternas pitagóricasSon simplemente números enteros que cumplen la regla:
a2 + b2 = c2
(esta es la ecuación del teorema de Pitágoras)
Algunos ejemplos:
Triángulo 3,4,5 Triángulo 5,12,13 Triángulo 9,40,4132 + 42 = 52 52 + 122 = 132 92 + 402 = 412
¡Hay infinitos triángulos así!
La manera más fácil de encontrar más ternas pitagóricas es reescalar una terna que conozcamos.
Ejemplo: multiplicar 3,4,5 por 2 da 6,8,10 que también cumple la fórmula a2 + b2 = c2
Si quieres saber más, lee Ternas pitagóricas - Avanzado
Cuadriláteros
Cuadrilátero significa "cuatro lados" (cuad significa cuatro, látero significa lado).
Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros.
Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.
Tipos de cuadriláteros
Hay algunos tipos especiales de cuadriláteros:
el rectángulo el rombo el cuadrado
(todos estos son paralelogramos), y también hay:
el trapezoide el deltoide
Si no es ninguna de estos es un cuadrilátero irregular.
Aquí tienes los detalles:
El rectángulo
significa "ángulo recto"
y indican lados iguales
Un rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos ángulos son todos rectos (90°).
Además los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.
El rombo
Un rombo es una figura de cuatro lados cuyos lados son todos iguales.
Además los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son iguales.
Otra cosa interesante es que las diagonales (las líneas de puntos en la segunda figura) se cortan en ángulos rectos, es decir, son perpendiculares.
El cuadrado
significa "ángulo recto"indica lados iguales
Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos (90°)
Además los lados opuestos son paralelos.
Un cuadrado también es un rectángulo (ángulos de 90°) y un rombo (lados iguales).
El paralelogramo
Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud, y los ángulos opuestos son iguales (los ángulos "a" son iguales, y los ángulos "b" son iguales)
NOTA: ¡todos los cuadrados, rectángulos y rombos son paralelogramos!
Ejemplo: si un paralelogramo tiene todos los lados iguales y los ángulos "a" y "b" son rectos, entonces es un cuadrado.
El trapezoide
Trapezoide Trapezoide regular
Un trapezoide tiene un par de lados paralelos.
Se llama trapezoide regular si los lados que no son paralelos tienen la misma longitud y si los dos ángulos sobre un lado paralelo son iguales, como en el dibujo.
Un trapezoide no es un paralelogramo porque sólo un par de lados es paralelo.
El deltoide
Mira, parece una cometa. Tiene dos pares de lados, Cada par son dos lados adyacentes (que se tocan) de la misma longitud. Los ángulos donde se encuentran los pares son iguales. Las diagonales (líneas de puntos) son perpendiculares, y una de las diagonales bisecta (divide por la mitad) a la otra.
... y esos son los cuadriláteros especiales; si uno no es de estos tipos, es un cuadrilátero irregular
Cuadriláteros irregulares
Un cuadrilátero que no encaja en ninguno de los tipos anteriores.
Polígonos
Un cuadrilátero es un polígono. De hecho es un polígono de 4 lados, de la misma manera un triángulo es un polígono de 3 lados, un pentágono es un polígono de 5 lados, etc.
Juega con ellos
Ahora que conoces los tipos que existen, puedes jugar con los cuadriláteros interactivos.
Otros nombres
Quadrángulo ("cuatro ángulos") y tetrágono ("cuatro y polígono") son otros nombres para los cuadriláteros.
Triángulos rectángulosUn triángulo rectángulo es, seguro que lo has adivinado, un triángulo que tiene un ángulo recto.
El cuadradito de la esquina nos indica que el triángulo es rectángulo.
Hay dos tipos de triángulo rectángulo:
Triángulos rectángulos isósceles Triángulos rectángulos escalenos
Triángulo rectángulo isósceles
Un ángulo rectoOtros dos ángulos iguales de 45° Dos lados iguales
Triángulo rectángulo escaleno
Un ángulo rectoOtros dos ángulos distintosNo hay lados iguales
Figuras planas regulares - Polígonos
Pon el cursor sobre las figuras para descubrir sus propiedades.
Triángulo Cuadrado
Pentágono Hexágono
Heptágono Octágono
Nonágono Decágono
Endecágono DodecágonoEstas figuras se llaman polígonos regulares. Un polígono es una figura con
varios lados, todos ellos rectos.
Para que sea regular los lados y los ángulos tienen que ser iguales.
Triángulos
Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos
Los tres ángulos siempre suman 180°
Equilátero, isósceles y escaleno
Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.
Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:
Triángulo equilátero
Tres lados igualesTres ángulos iguales, todos 60°
Triángulo isósceles
Dos lados igualesDos ángulos iguales
Triángulo escaleno
No hay lados igualesNo hay ángulos iguales
¿Qué tipos de ángulos?
Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos
Triángulo acutángulo
Todos los ángulos miden menos de 90°
Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°)
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo mayor que 90°
Combinar los nombres
A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:
Triángulo isósceles rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales
¿Adivinas cuánto miden?
Área
Área = ½bh
La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".
Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.
Transversalesuna transversal es una línea que cruza por lo menos otras dos líneas.
La línea roja es transversal en todos estos ejemplos:
Transversal que cruza dos líneas
esta otra transversal cruza dos líneas
paralelas
... y esta cruza tres líneas
PolígonosUn polígono es una figura plana con lados rectos.
¿Es un polígono?
Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).
Polígono (lados rectos)
No es un polígono(tiene una curva)
No es un polígono(abierto, no cerrado)
Tipos de polígonos
Simple o complejo
Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!
Polígono simple(este es un pentágono)
Polígono complejo(también es un pentágono)
Cóncavo o convexo
Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°.
Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva")
Convexo Cóncavo
Regular o irregular
Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular
Regular Irregular
Más ejemplos
Polígono complejo (un "polígono estrellado", en
este caso un pentagrama)
Octágono cóncavo Hexágono irregular
Nombres de polígonos
Si es regular...Nombre Lados Forma Ángulo interior
Triángulo (o trígono) 3 60°
Cuadrilátero (o tetrágono) 4 90°
Pentágono 5 108°
Hexágono 6 120°
Heptágono (o Septágono) 7 128.571°
Octágono 8 135°
Nonágono (or eneágono) 9 140°
Decágono 10 144°
Endecágono (or undecágono) 11 147.273°
Dodecágono 12 150°
Tridecágono 13 152.308°Tetradecágono 14 154.286°Pentadecágono 15 156°Hexadecágono 16 157.5°Heptadecágono 17 158.824°Octadecágono 18 160°Eneadecágono 19 161.053°
Icoságono 20 162°Triacontágono 30 168°
Tetracontágono 40 171°Pentacontágono 50 172.8°Hexacontágono 60 174°Heptacontágono 70 174.857°Octacontágono 80 175.5°Eneacontágono 90 176°
Hectágono 100 176.4°
Chiliágono 1,000 179.64°Miriágono 10,000 179.964°Megágono 1,000,000 ~180°
Googológono 10100 ~180°
n-ágono n (n-2) × 180° / n
Para polígonos con 13 lados o más, se puede escribir (y es más fácil) "13-ágono", "14-ágono" ... "100-ágono", etc.
El pentagrama
El pentagrama (o pentáculo) es como una estrella de 5 puntas.
A lo mejor te parece que tiene que ver con brujería, pero de hecho es más conocido como símbolo mágico y es un símbolo sagrado en algunas religiones.
De hecho, esta figura tan simple es sorprendente.
Dentro del pentagrama hay un pentágono
Puedes dibujar un pentagrama empezando por un pentágono y alargando los lados.
O uniendo los vértices de un pentágono.
Proporciones
Pero el pentagrama tiene oculto un número especial, la razón de oro, que vale aproximadamente 1.618
a/b = 1.618... b/c = 1.618... c/d = 1.618...
Cuando lo dibujé, medí las 4 longitudes y obtuve a=216, b=133, c=82, d=51. Vamos a comprobar las proporciones:
216/133 = 1.624... 133/82 = 1.622... 82/51 = 1.608...
¡Si lo hubiera dibujado y medido con más precisión, el resultado habría sido más correcto!
¿Por qué no pruebas tú?
Dibuja un pentagrama regular Mide las longitudes Calcula las proporciones
Pentagrama irregular
Hasta ahora sólo hemos visto pentagramas regulares (todos los lados y ángulos iguales), pero también hay pentagramas
irregulares.
Elipse
Una elipse es una circunferencia aplastada.
Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).
Definición
Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuyasuma de distancias a dos puntos fijos es una constante.
Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y siempre saldrá lo mismo.
(Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)
Dibújala
Clava dos clavos en un tablero, pon un lazo de cuerda alrededor de ellos, y pon un lápiz en el lazo. Tensa la cuerda para que forme un triángulo, y sigue la línea... habrás dibujado una elipse.
Una circunferencia es una elipse
En realidad una circunferencia es una elipse, donde los dos focos son el mismo punto (el centro). O sea, una circunferencia es un "caso especial" de elipse.
Sección de un cono
También sale una elipse cuando cortas un cono (con un ángulo pequeño).
Por tanto, la elipse es una sección cónica (una sección de un cono).
Calculando
Área
El área de una elipse es π × r × s
(Si es una circunferencia, r y s son iguales, y sale π × r × r = πr2, ¡que es correcto!)
Aunque parezca extraño, el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular, así que he creado una página especial para ese tema: lee Perímetro de una elipse para ver los detalles.
Pero una aproximación sencilla que está a menos de 5% del valor correcto (siempre que r no sea más de 3 veces s) es la siguiente:
¡Recuerda, sólo es una aproximación!
Secciones cónicasSección cónica: una sección (rodaja) a través de un cono.
¿Sabías que cortando un cono en rodajas puedes crear una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola?
Conos Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
recto a través con poco ánguloparalelo al borde del
conoángulo elevado
¡Así que estas curvas están todas relacionadas!
Ecuación general
De hecho, podemos escribir una ecuación que vale para todas ellas.
Como son curvas planas (aunque salgan de cortar un sólido) sólo nos hacen falta coordenadas cartesianas "x" e "y".
Pero no son simples líneas rectas, así que no vale sólo con una "x" y una "y"... tenemos que ir al siguiente nivel, y usar x2 e y2, y también x (sin la y), y (sin la x), x e y juntas (xy) y un término constante.
También tendremos coeficientes (A,B,C etc.) así que la ecuación general que cubre todas las secciones cónicas es:
A partir de esta ecuación podemos crear ecuaciones para la circunferencia, elipse, parábola y hipérbola... pero eso va más allá de esta página.
Latus Rectum
No, no es ningún insulto. Quiere decir la cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco.
Se aplica a todas las secciones cónicas.
En una parábola, la longitud del latus rectum es igual a cuatro veces la longitud focal.
Transformaciones y Simetría
Índice de TransformacionesÍndice de SimetríaArtista de SimetríaArtista de Teselación
TransformacionesLos tres tipos principales de transformaciones son:
Rotaciones ¡Girar!
Reflexiones ¡Voltear!
Translaciones ¡Deslizar!
Después de hacer estas transformaciones (girar, voltear o deslizar), la forma tiene el mismo tamaño, área, ángulos y longitudes.
Si una forma se puede convertir en otra usando giros, volteos y deslices, las dos formas se llaman congruentes.
Cambiar tamaño
La otra transformación importante es la homotecia (también llamada dilatación, contracción, compresión, alargamiento o expansión). La forma se hace más grande o más pequeña:
Homotecia ¡Cambio de tamaño!
Si... entonces son...
... sólo giras, reflejas y/o trasladas congruentes
... necesitas hacer una homotecia similares
Este es mi perro "Flame", su cara es perfectamente simétrica después de
retocar un poco la foto.
La línea blanca en el centro es el eje de simetría
El reflejo en este lago también tiene simetría, pero en este caso:
El eje de simetría es el horizonte no es perfectamente simétrica, la imagen ha
cambiado un poco por culpa de la superficie del lago.
El eje de simetría no tiene que ser vertical ni horizontal, puede ir en cualquier dirección. Para aprender más, ve a la página sobre simetría reflectiva.
Eje de simetría
El eje de simetría (también llamado eje especular) no tiene por qué ser vertical ni horizontal, puede ir en cualquier dirección.
Pero hay cuatro direcciones comunes, sus nombres vienen de las líneas que denotan en un gráfico estándar XY.
Mira estos ejemplos (los dibujos están hechos con el Artista de simetría)
Eje de simetría Ejemplo de arte Ejemplo de forma
Simetría radial
Cuando hay simetría radial, la imagen se gira (alrededor de un punto central) de manera que una parte se repite 2 o más veces. El número de veces se llama orden.
Aquí tienes algunos ejemplos (están hechos con el Artista de simetría, ¡prueba tú!)
Orden Forma de ejemplo Obra de arte
... y hay orden 4, 5, etc...
Simetría radial
Cuando hay simetría radial, se puede girar la forma o imagen y sigue siendo igual.
El número de veces que coincide cuando das una vuelta completa se llama orden.
Si piensas en una hélice (mira más abajo) lo entenderás mejor.
Ejemplos de simetrías radiales con distintos órdenes
Orden Ejemplo de forma Obra de arte(usando el Artista de simetría)
... y también hay orden 5, 6, 7, y...
... y orden 9, 10, y sigue...
¿Hay simetrías radiales de orden 1?
¡La verdad es que no! Si una forma sólo coincide una vez en una vuelta completa entonces no hay simetría, porque la palabra "simetría" viene de syn- junto y metron medida, y no puede haber "junto" si sólo hay una cosa.
Ejemplos de la vida real
Una diana de dardos tiene simetría radial de
orden 10
Esta medalla de bronce tiene orden 5
El "London Eye" tiene orden... ¡uy, he perdido la
cuenta!
Simetría puntual
La simetría puntual ocurre cuando cada parte tiene otra que le corresponde:
a la misma distancia del centro pero en la dirección contraria.
(Nota: es igual que la "simetría radial de orden 2" de más arriba)
Simetría central¡Se ve igual si lo pones boca abajo!
(... o si lo miras desde dos direcciones opuestas*)
Simetría central
La simetría central pasa cuando cada parte tiene otra que le corresponde:
a la misma distancia del punto central pero en la direción contraria.
(Nota: es lo mismo que la "simetría radial de orden 2")
Nota: la simetría central a veces se llama simetría con respecto al origen, porque el "origen" es el punto central alrededor del que hay simetría.
Ejemplos
Los naipes suelen tener simetría central, porque que se ven igual
desde arriba o abajo.
¡Estas letras también tienen simetría central!
*¿Lo mismo desde direcciones opuestas?
Sí: elige una dirección, y si algo tiene simetría central se verá igual desde la dirección contraria.
Ejemplo: si cortas esta carta con un ángulo de 45°, las dos mitades serán idénticas. Es decir, si las miras desde un ángulo de 45°, y desde la dirección contraria a 45° (que es 225°) ves lo mismo.
ANGULOS
Grados (ángulos)
Los ángulos se pueden medir en grados.
Hay 360 grados en una vuelta completa (un círculo completo).
(También se pueden medir ángulos en radianes)
(Nota: "grados" también pueden ser de temperatura, pero aquí sólo hablamos de ángulos)
El símbolo de grado: °
Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados.
Por ejemplo 90° significa 90 grados
Un grado
Así de grande es 1 grado
Un círculo completo
Un cículo completo son 360°
Medio círculo son 180°(esto se llama ángulo llano)
Un cuarto de círculo son 90°(y se llama ángulo recto)
¿Por qué son 360? Probablemente porque antiguamente había calendarios (por ejemplo el persa) que tenían 360 días por año, así que cuando miraban las estrellas veían que giraban alrededor de la Estrella Polar un grado cada día.
Midiendo grados
Muchas veces medimos grados usando un transportador:
Normalmente los transportadores miden ángulos de 0° a 180°
También hay transportadores de vuelta completa.
Pero no son tan comunes porque son grandes y no valen para nada especial.
Ángulos agudosUn ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90°
Este ángulo es agudo
Todos estos ángulos también son agudos:
Acuérdate de fijarte en cuál de los dos ángulos es al que se refiere uno. Si el ángulo pequeño es menor que 90° entonces ese es agudo.
Ángulos rectosUn ángulo recto es un ángulo que mide exactamente 90°
Este ángulo es recto
Fíjate en que en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.
Todos estos ángulos son rectos:
Un ángulo recto puede estar en cualquier orientación o giro, lo que importa es que el ángulo interior sea 90°
Ángulos obtusosUn ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°
Este ángulo es obtuso
Todos estos ángulos también son obtusos:
Acuérdate de fijarte en cuál de las dos partes es a la que se refiere uno. El ángulo más pequeño entre las líneas es obtuso si mide entre 90° y 180°.
En realidad he usado los mismos ángulos que en la página de ángulos reflejos. Los ángulos reflejos son los que están del otro lado. Si ves las dos páginas a la vez y sumas los ángulos obtusos y reflejos que tengan el mismo dibujo, siempre sale 360°
Ángulos llanosUn ángulo llano mide 180 grados
Este ángulo es llano
Un ángulo llano cambia de dirección para apuntar en la contraria.
A veces la gente dice "¡has hecho un giro de 180 grados!" queriendo decir que has cambiado de opinión completamente.
Todos estos ángulos son llanos:
Ángulos reflejosUn ángulo reflejo es uno que mide más de 180° pero menos de 360°
Este ángulo es reflejo
Y todos estos también:
Fíjate en que he usado los mismos ángulos que en la página de ángulos obtusos. Los ángulos obtusos son los que están del otro lado. Cuando midas y escribas ángulos asegúrate de que estás usando el lado que te piden.
Si ves las dos páginas a la vez y sumas los ángulos obtusos y reflejos que tengan el mismo dibujo, siempre sale 360°
Líneas paralelas y pares de ángulos
Líneas paralelas
Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia (también se llaman "equidistantes"), y nunca se encuentran. Recuerda:
Siempre a la misma distancia y nunca se encuentran.
Las líneas roja y azul son paralelas en estos dos casos:
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Dos líneas paralelas apuntan en la misma dirección.
Pares de ángulos
Cuando un par de líneas paralelas se cruzan con otra línea (a la que se llama transversal), podemos ver que se forman muchos ángulos iguales, como en este ejemplo:
Estos ángulos reciben nombres especiales por pares.
Pulsa en cada nombre para que aparezcan resaltados:
(Si no ves nada a la derecha, quizás tengas que instalar el Flash Player)
Comprobar si dos líneas son paralelas
Algunos de estos pares de ángulos se pueden usar para comprobar si dos líneas son paralelas de verdad:
Si algún par de... Ejemplo:ángulos correspondientes son iguales, o a = eángulos interiores alternos son iguales, o c = fángulos exteriores alternos son iguales, o b = g
ángulos interiores consecutivos suman 180° d + f = 180°... entonces las líneas son paralelas
Ejemplos
Estas líneas son paralelas, porque un par de ángulos
correspondientes son iguales.
Estas líneas no son paralelas, porque hay un par de ángulos interiores consecutivos que no suman 180° (81° + 101° =182°)
Estas líneas son paralelas porque un par de ángulos
interiores alternos son iguales
Los triángulos tienen 180°Ha una manera de probar que los ángulos de un triángulo suman 180°:
Explicación 1: La línea de arriba (la que toca la punta del triángulo) es paralela a la base. Así que:
los ángulos "a" son iguales, y los ángulos "b" son iguales,
y está claro que "a" + "b" + "c" son un giro desde un lado del triángulo al otro, así que son 180°
Explicación 2: Por las propiedades de los ángulos, cuando una línea corta a dos paralelas se puede ver que los ángulos del triángulo a + b + c = el ángulo sobre una línea recta = 180°
Ángulos congruentesDos ángulos congruentes miden lo mismo en grados. Así de fácil.
Estos ángulos son congruentes.
No tienen que apuntar en la misma dirección.
No tienen por qué estar entre líneas del mismo tamaño.
Congruentes - ¿por qué usamos una palabreja que en realidad significa "iguales"? Probablemente porque sólo serían "iguales" si uno está superpuesto al otro. La palabra viene de latín congruere, que significa más o menos "estar de acuerdo".
Ángulos suplementariosDos angulos son suplementarios si suman 180 grados.
Estos dos ángulos (140° y 40°) son ángulos suplementarios, porque suman 180°.
Fíjate en que al ponerlos juntos tenemos un ángulo llano.
Pero no hace falta que los ángulos estén juntos.
Estos dos son suplementarios porque 60° + 120° = 180°
Si dos ángulos suman 180°, decimos que se "suplementan". Suplementario viene del latín supplere, completar o "suplir" lo que se necesita.
Escritura: presta atención, no es "ángulo suplimentario" (con "i")
Nota: una idea relacionada son los ángulos complementarios, que suman 90°
(¿Cómo recordar que complementarios son 90° y suplementarios son 180°? Por suerte la "C" va antes que la "S" en el abecedario y 90 va antes que 180. Así hago yo para acordarme.)
Ángulos complementariosDos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto).
Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90°.
Fíjate en que juntos hacen un ángulo recto.
Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos.
Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90°
Si los dos ángulos suman 90°, decimos que "se complementan". Complementario viene del latín completum que significa "completo"... porque un ángulo recto se consideraba un ángulo completo.
Escritura: cuidado, no es "ángulos complimentarios" (con "i")
Triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios, porque hay 180° en un triángulo y el ángulo recto tiene 90°.
Nota: otra idea relacionada son los ángulos suplementarios - los que suman 180°
Ángulos alrededor de un puntoLos ángulos alrededor de un punto siempre suman 360 grados.
Los ángulos de arriba suman 360°
140° + 87° + 53° + 80° = 360°
Es por esto que si hay un ángulo que no conocemos siempre podemos calcularlo.
Ejemplo: ¿cuánto es el ángulo "c"?
Para calcular c tomamos la suma de los ángulos conocidos y restamos ese valor de 360°
Suma de los ángulos conocidos = 110° + 75° + 50° + 63° Suma de los ángulos conocidos = 298° Ángulo c = 360° − 298° Ángulo c = 62°
Ángulos sobre una línea recta
Los ángulos a un lado de una línea recta siempre suman 180. Si dividimos una línea en dos y sabemos un ángulo podemos calcular el otro.
Ejemplo: si sabemos que un ángulo es de 45° ¿cuánto es el ángulo "a" ?
El ángulo a valdrá 180° − 45° = 135°
Este método vale cuando hay varios ángulos en un lado de una línea recta.
Ejemplo: ¿cuánto es el ángulo "b" ?
En este diagrama el ángulo b es simplemente 180° menos la suma de los otros. Suma de los ángulos conocidos = 45° + 39° + 24° = 108° Ángulo b = 180° − 108°Ángulo b = 72°
Ángulos interioresUn ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.
Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°. (ver ángulos suplementarios)
Ángulos exterioresUn ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el
lado siguiente.
Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°. (Ver ángulos suplementarios)
