Geométria 3-2.pdf

GEOMETRA CICLO 3-2

CONTENIDO

UNIDAD 1 ...................................................................................................................................................... 1

POLGONOS .............................................................................................................................................. 2

PERMETRO ........................................................................................................................................... 3

POLGONO REGULAR ............................................................................................................................ 4

DIAGONAL DE UN POLGONO .............................................................................................................. 5

ANGULO INTERIOR DE UN POLGONO REGULAR ................................................................................. 6

ANGULO EXTERIOR DE UN POLGONO REGULAR ................................................................................. 7

ANGULO CENTRAL DE UN POLGONO REGULAR .................................................................................. 8

CONSTRUCCIN DE POLGONOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA .............................................. 10

TRINGULO, HEXGONO Y DODECGONO ................................................................................... 10

CUADRADO Y OCTGONO ............................................................................................................. 11

PENTGONO Y DECGONO ............................................................................................................ 12

HEPTGONO ................................................................................................................................... 13

ENEGONO CONSTRUCCIN APROXIMADA .................................................................................. 14

DECGONO ..................................................................................................................................... 15

PENTADECGONO .......................................................................................................................... 16

PROCEDIMIENTO GENERAL CONSTRUCCIN APROXIMADA ......................................................... 17

UNIDAD 2 .................................................................................................................................................... 19

CUADRILTEROS ..................................................................................................................................... 20

ELEMENTOS DE UN CUADRILTERO .................................................................................................. 20

LADOS DEL CUADRILTERO ............................................................................................................ 20

VRTICES Y NGULOS OPUESTOS .................................................................................................. 21

SUMA DE NGULOS INTERIORES ................................................................................................... 21

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS ........................................................................................... 21

PARALELOGRAMO .......................................................................................................................... 21

TRAPECIO ........................................................................................................................................ 22

TRAPEZOIDE.................................................................................................................................... 22

CLASIFICACIN DE LOS PARALELOGRAMOS ...................................................................................... 23

RECTNGULO ................................................................................................................................. 23

CUADRADO ..................................................................................................................................... 23

ROMBOIDE ..................................................................................................................................... 24

ROMBO ........................................................................................................................................... 24

CLASIFICACIN Y ELEMENTOS DE LOS TRAPECIOS ............................................................................ 25

RECTNGULOS ................................................................................................................................ 25

ISSCELES ....................................................................................................................................... 25

ESCALENOS ..................................................................................................................................... 25

ELEMENTOS DE LOS TRAPECIOS ..................................................................................................... 26

CLASIFICACIN DE LOS TRAPEZOIDES ................................................................................................ 26

SIMTRICOS .................................................................................................................................... 26

ASIMTRICOS .................................................................................................................................. 27

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS ........................................................................................ 27

PROPIEDADES PARTICULARES DEL RECTNGULO .......................................................................... 27

PROPIEDADES PARTICULARES DEL ROMBO ................................................................................... 28

PROPIEDADES PARTICULARES DEL CUADRADO ............................................................................. 28

UNIDAD 3 .................................................................................................................................................... 30

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO ................................................................................................................. 31

PUNTOS INTERIORES Y EXTERIORES ................................................................................................... 31

CIRCULO .............................................................................................................................................. 32

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA ................................................................................................ 32

ARCO DE LA CIRCUNFERENCIA ....................................................................................................... 32

CUERDA .......................................................................................................................................... 32

DIMETRO ...................................................................................................................................... 33

POSICIONES DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA ....................................................................... 33

SECANTE ......................................................................................................................................... 33

TANGENTE ...................................................................................................................................... 33

EXTERIOR ........................................................................................................................................ 34

FIGURAS EN EL CIRCULO..................................................................................................................... 34

SEGMENTO CIRCULAR .................................................................................................................... 34

SECTOR CIRCULAR .......................................................................................................................... 34

CORONA CIRCULAR ........................................................................................................................ 34

TRAPECIO CIRCULAR ....................................................................................................................... 34

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS .......................................................................... 35

CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES ..................................................................................................... 35

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORMENTE......................................................................... 35

CIRCUNFERENCIAS SECANTES ........................................................................................................ 36

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORMENTE ......................................................................... 37

CIRCUNFERENCIAS INTERIORES ..................................................................................................... 37

CIRCUNFERENCIAS CONCNTRICAS ............................................................................................... 38

UNIDAD 4 .................................................................................................................................................... 40

UNIDADES DE SUPERFICIE ...................................................................................................................... 41

MLTIPLOS DEL METRO CUADRADO ................................................................................................. 41

SUBMLTIPLOS DEL METRO CUADRADO ........................................................................................... 43

UNIDADES AGRARIAS ......................................................................................................................... 45

UNIDAD 5 .................................................................................................................................................... 49

REAS DE REGIONES PLANAS ................................................................................................................. 50

REGIONES POLIGONALES ................................................................................................................... 50

POSTULADOS DE REA ....................................................................................................................... 51

REAS DE FIGURAS PLANAS ............................................................................................................... 57

CONCEPTOS DE PERMETRO Y REA DE UNA FIGURA PLANA ....................................................... 57

REA DEL RECTNGULO ................................................................................................................. 57

REA DEL CUADRADO .................................................................................................................... 58

REA DEL PARALELOGRAMO ......................................................................................................... 59

REA DEL ROMBO .......................................................................................................................... 61

REA DEL TRIANGULO .................................................................................................................... 62

REA DEL TRIANGULO EN FUNCIN DE SUS LADOS FORMULA DE HERN................................... 63

REA DEL TRAPECIO ....................................................................................................................... 64

REAS DE POLGONOS REGULARES................................................................................................ 65

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y REA DEL CRCULO ............................................................ 68

REA DEL SECTOR CIRCULAR .......................................................................................................... 69

REA DE LA CORONA CIRCULAR ..................................................................................................... 71

REAS DE FIGURAS COMPLEJAS ..................................................................................................... 72

UNIDAD 6 .................................................................................................................................................... 78

TEOREMA DE PITGORAS....................................................................................................................... 79

BIBLIOGRAFA ............................................................................................................................................. 83

Gua De Geometra Ciclo 3-2

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Educacin Para Jvenes Y Adultos

1

UNIDAD 1. POLGONOS

OBJETIVOS

I. Identificar los diferentes tipos de polgonos

II. Conocer los elementos de los polgonos

III. Construir polgonos regulares

LOGROS

Reconoce los diferentes tipos de polgonos.

Clasifica los polgonos segn sus caractersticas particulares.

Identifica los elementos bsicos de los polgonos.

Construye polgonos regulares inscritos en la circunferencia.


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2

POLGONOS

Se denomina polgono a la porcin de plano limitada por una curva cerrada, llamada lnea poligonal.

El polgono es convexo cuando esta formado por una poligonal convexa y todos los ngulos internos son

menores de 180o. Y es cncavo si esta formado por una poligonal cncava. Ver figura 1.

Figura 1.

Los lados y vrtices de la poligonal son los lados y vrtices del polgono.

Los ngulos internos o interiores de un polgono, son los formados por cada par de lados consecutivos.

Los ngulos externos o exteriores de un polgono son los adyacentes de los interiores, obtenidos al

prolongar los lados en un mismo sentido, la suma de los ngulos exteriores de un polgono convexo es

de 360o.

Figura 2.

El nmero de lados del polgono es igual al nmero de ngulos y vrtices.

Polgono Convexo Polgono Cncavo

A

B

C

D

E

F

1

6

2

3

4

5


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3

En la figura 2, se tiene:

Vrtices: A, B, C, D, E, F.

Lados:

ngulos interiores:

ngulos externos:

La lnea poligonal que limita al polgono se llama contorno.

PERMETRO

El permetro de un polgono es la longitud de su contorno, es decir la suma de sus lados.

En la figura 2. El permetro es:

EJEMPLO 1.

Hallar el permetro de la figura 3:

Figura 3.

SOLUCIN

Aplicando la definicin de permetro, se tiene:

2 cm

3 cm

2 cm 2 cm

3 cm 4 cm

3 cm

A

B

C

D E

F

G


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4

Sustituyendo valores:

El permetro del polgono de la figura 3. Es de 19 centmetros.

POLGONO REGULAR

El polgono regular es el que tiene todos sus lados y ngulos iguales, es decir que es equiltero

equingulo.

De acuerdo con el nmero de lados, los polgonos regulares reciben nombres especiales. El polgono

regular de menor numero de lados es el triangulo.

Segn el nmero de lados los polgonos se llaman:

NUMERO DE LADOS NOMBRE

Tres .. Tringulo

Cuatro .. Cuadrado

Cinco .. Pentgono

Seis .. Hexgono

Siete .. Heptgono

Ocho .. Octgono

Nueve .. Enegono

Diez .. Decgono

Once .. Endecgono

Doce .. Dodecgono

Quince .. Pentedecgono


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5

Los polgonos de 13, 14, 16, 17, 18, 19, etc. Lados no tienen nombres especiales. En general, se

denomina n-gono al polgono de n lados.

DIAGONAL DE UN POLGONO

Se llama diagonal de un polgono al segmento determinado por dos vrtices no consecutivos.

Figura 4.

En la figura 4, los segmentos , y son diagonales del polgono.

Para determinar el nmero de diagonales de un polgono cualquiera. Se parte de un polgono de n lados

(n vrtices).

De cada vrtice salen n-3 diagonales, ya que a l mismo y a los dos contiguos no hay diagonal.

Se tiene por tanto, n vrtices (n-3) diagonales de cada vrtice. Con esta cuenta cada diagonal se la

cuenta dos veces, por tanto hay que dividir entre dos. As, el nmero de diagonales de un polgono de n

lados tiene:

EJEMPLO 1

Determinar el nmero de diagonales de un hexgono y dibujar el polgono.

SOLUCIN

Como el polgono es un hexgono, tiene 6 lados, por lo tanto:

A

B

C

D

E


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6

Por lo que en el hexgono hay 9 diagonales. Las cuales e muestran en la figura 5.

Figura 5.

ANGULO INTERIOR DE UN POLGONO REGULAR

Como en un polgono regular, los ngulos internos son iguales, el valor del ngulo se halla al dividir la

suma de los ngulos entre el numero de ngulos n. Es decir:

Y como la suma de ngulos . Se obtiene:

EJEMPLO 1

Hallar el valor del ngulo interior de un pentgono regular.

SOLUCIN

Como un pentgono regular tiene 5 ngulos. Aplicando la formula, se obtiene:

D

A

B

C E

F


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7

ANGULO EXTERIOR DE UN POLGONO REGULAR

Como los ngulos interiores de un polgono regular son iguales, los exteriores tambin lo son. Para hallar

el valor de un ngulo exterior, se divide la suma de todos los ngulos exteriores entre el nmero de

ngulos exteriores. Es decir:

Y como la suma de los ngulos exteriores , se obtiene:

EJEMPLO 1

Hallar el valor del ngulo exterior en un pentgono regular.

SOLUCIN

Como el pentgono regular tiene 5 ngulos y aplicando la formula, se tiene:


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8

ANGULO CENTRAL DE UN POLGONO REGULAR

El ngulo centra de un polgono regular resulta de dividir 360 entre el numero de lados del polgono. Ver

figura 6.

Figura 6.

Por lo que el ngulo central de un polgono es:

EJEMPLO 1

Calcular el valor del ngulo central de un polgono de 10 lados.

SOLUCIN

Aplicando la formula:

Por lo que el ngulo central de un decgono es de 36o grados.


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9

EJERCICIO 1

1. Hallar la suma de los ngulos interiores de:

a. Un tringulo

b. Un cuadrado

c. Un octgono

d. Un Heptgono

e. Un decgono

f. Un undecgono

2. Determinar el polgono cuya suma de ngulos interiores es:

a. 1260o

b. 1800o

c. 540o

3. Hallar el valor del ngulo interior de:

a. Un hexgono regular.

b. Un decgono regular

c. Un dodecgono regular

4. Determinar cual es polgono regular cuyo ngulo interior vale:

a. 60o

b. 90o

c. 135o

5. Hallar el valor de un ngulo exterior de:

a. Un octgono regular

b. Un decgono regular

6. Hallar la suma de los ngulos exteriores de un Heptgono.

7. Determinar el polgono regular cuyo ngulo exterior mide:

a. 120o

b. 60o

c. 90o

8. Calcular el nmero de diagonales que se pueden trazar desde el vrtice de :

a. Un pentgono

b. Un octgono

c. Un decgono

9. Determinar el polgono en el que se pueden trazar:

a. 3 diagonales

b. 6 diagonales

10. Cual es el nmero total de diagonales que se pueden trazar en un polgono de 9, 10 y 12 lados.


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10

CONSTRUCCIN DE POLGONOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA

La construccin de polgonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la divisin de dicha

circunferencia en un nmero partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtencin de la cuerda

correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polgono, y otras ocasiones pasa por la

obtencin del ngulo central del polgono correspondiente.

Cuando en una construccin se obtiene el lado del polgono, y se debe llevarlo sucesivas veces a lo largo

de la circunferencia.

Es recomendable no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino,

que partiendo de un vrtice se lleve la mitad de los lados en una direccin y la otra mitad en sentido

contrario, con el objetivo de minimizar los errores de construccin, inherentes al instrumental o al

procedimiento.

TRINGULO, HEXGONO Y DODECGONO

Figura 7.

Se comienza trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que determinarn, sobre la

circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente. Ver figura 7.


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11

A continuacin, con centro en 1 y 4 se trazan dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que

determinarn, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por ltimo con centro en B se traza un arco del mismo

radio, que determinar el punto C sobre la circunferencia dada. De esta manera se obtiene:

El triangulo inscrito al unir los puntos 2, 4 y 6.

El hexgono inscrito al unir los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Finalmente uniendo los puntos 3 y C, se obtiene el lado del dodecgono inscrito; y para su

construccin total, solo se tiene que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.

De los tres polgonos, solo el dodecgono admite la construccin de estrellados, concretamente del

estrellado de 5. El hexgono admite la construccin de un falso estrellado, formado por dos tringulos

girados entre s 60o.

Todas las construcciones se realizan con una misma abertura del comps, igual al radio de la

circunferencia dada.

CUADRADO Y OCTGONO

Figura 8.

Se inicia trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que determinarn, sobre la circunferencia

dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente. Ver figura 8.


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12

A continuacin, se trazan las bisectrices de los cuatro ngulos de 90o, formados por las diagonales

trazadas, dichas bisectrices determinarn sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8. De esta forma se

obtiene:

Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, el cuadrado inscrito.

Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, el octgono inscrito.

El cuadrado no admite estrellados. El octgono s, concretamente el estrellado de 3. El octgono

tambin admite la construccin de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre s

45o.

De esta construccin se puede deducir, la forma de construir un polgono de doble nmero de lados que

uno dado. Solo tiene que trazar las bisectrices de los ngulos centrales del polgono dado, y estas

determinarn, sobre la circunferencia circunscrita, los vrtices necesarios para la construccin.

PENTGONO Y DECGONO

Figura 9.

Se inicia trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que determinarn sobre la circunferencia

dada los puntos A- B y 1-C respectivamente. Ver figura 9.

Con el mismo radio de la circunferencia dada, se traza un arco de centro en A, que determinar los

puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos se obtiene el punto F, punto medio del

radio A-O.


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13

Con centro en F se traza un arco de radio F-1, que determina el punto G sobre la diagonal A-B. La

distancia 1-G es el lado de pentgono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decgono

inscrito.

Para la construccin del pentgono y el decgono, solo se debe llevar dichos lados, 5 y 10 veces

respectivamente, a lo largo de la circunferencia.

El pentgono tiene estrellado de 2. El decgono tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por

dos pentgonos estrellados girados entre s 36o.

HEPTGONO

Figura 10.

Se comienza trazando una diagonal de la circunferencia dada, que determina sobre ella puntos A y B.

Ver figura 10.

Luego con centro en A, se traza el arco de radio A-O, que determina, sobre la circunferencia, los puntos

1 y C, uniendo dichos puntos se obtiene el punto D, punto medio del radio A-O. Donde 1-D es la longitud

del lado del heptgono inscrito.

Solo se debe llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptgono buscado.

Partiendo del punto 1, se lleva dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para

minimizar los errores de construccin.

El heptgono tiene estrellado de 3 y de 2.


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14

Como se aprecia en la construccin, el lado del heptgono inscrito en una circunferencia, es igual a la

mitad del lado del tringulo inscrito.

ENEGONO CONSTRUCCIN APROXIMADA

Figura11.

Se inicia trazando dos dimetros perpendiculares, que determinan, sobre la circunferencia dada, los

puntos A-B y 1-C respectivamente. Ver figura 11.

Con centro en A, se traza un arco de radio A-O, que determina, sobre la circunferencia dada, el punto D.

Con centro en B y radio B-D, se traza un arco de circunferencia, que determina el punto E, sobre la

prolongacin de la diagonal 1-C.

Por ltimo con centro en E y radio E-B = E-A, se traza un arco de circunferencia que determina el punto F

sobre la diagonal C-1.

En la longitud 1-F, se halla el lado del enegono inscrito en la circunferencia.

Procediendo como en el caso del heptgono, se llevara dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia, para

obtener el heptgono buscado.

El enegono tiene estrellado de 4 y de 2. Tambin presenta un falso estrellado, formado por 3 tringulos



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15

DECGONO

Figura 12.

Se inicia trazando dos dimetros perpendiculares, que determinan, sobre la circunferencia dada, los

puntos A-B y 1-6 respectivamente. Ver figura 12.

Con centro A, y radio A-O, se traza un arco que nos determina los puntos C y D sobre la circunferencia,

uniendo dichos puntos, se obtiene el punto E, punto medio del radio A-O.

A continuacin se traza la circunferencia de centro en E y radio E-O.

Se traza la recta 1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto F, siendo la distancia 1-F,

el lado del decgono inscrito.

Procediendo con en el caso del heptgono, se lleva dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para

obtener el decgono buscado.

El decgono presenta un estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentgonos estrellados,



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PENTADECGONO

Figura 13.

Para esta construccin se basa en la obtencin del ngulo de 24o, correspondiente al ngulo interior del

pentadecgono.

Se inicia con las construcciones necesarias para la obtencin del lado del decgono, hasta la obtencin

del punto H de la figura 13.

A continuacin, con centro en C se traza un arco de radio C-H, que determina sobre la circunferencia el

punto 1.

De nuevo con centro en C, se traza un arco de radio C-O, que determina el punto 2 sobre la

circunferencia.

Como se aprecia en la figura 13, el ngulo CO1 corresponde al ngulo interior del decgono, de 36o, y el

ngulo CO2 corresponde al ngulo interior del hexgono, de 60o, luego de su diferencia se obtiene el

ngulo 1O2 de 24o, ngulo interior del pentadecgono buscado, siendo el segmento 1-2 el lado del

polgono.

Finalmente solo resta llevar dicho lado, 15 veces sobre la circunferencia dada.

El pentadecgono presenta estrellado de 7, 6, 4 y 2, as como tres falsos estrellados, compuesto por:

tres pentgonos convexos, tres pentgonos estrellados y 5 tringulos, girados entre s, en todos los

casos, 24o.


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PROCEDIMIENTO GENERAL CONSTRUCCIN APROXIMADA

Figura 14.

Este procedimiento se aplica solo cuando el polgono buscado no tiene una construccin particular, ni

pueda obtenerse como mltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran

imprecisin.

Se inicia con el trazado del dimetro A-B, que se dividir, mediante el Teorema de Tales en tantas partes

iguales como lados tenga el polgono que desea trazar, 11 lados en el caso de la figura 14.

Con centro en A y B se trazan dos arcos de radio A-B, los cuales se interceptarn en los puntos C y D.

Uniendo dichos puntos con las divisiones alternadas del dimetro A-B, se obtiene sobre la

circunferencia, los puntos P, Q, R, ... , etc., vrtices del polgono.

De Igual manera se procede con el punto D, unindolo con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo as el resto

de los vrtices del polgono.


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EJERCICIO 1.2

1. Construir los un pentgono regular de 4 cm de lado.

2. Construir un hexgono regular de 5 cm de lado.

3. Construir un Heptgono regular de 3 cm de lado.

4. Construir un octgono regular de 4 cm de lado.

5. Construir un decgono regular de 4 cm de lado.

6. Construir en una circunferencia los pollinos regulares de 3, 4, 5 lados.

7. Construir un pentadecgono regular.

8. Investigar el mtodo de construccin de un polgono de 17 lados de Gauss.

9. Dibujar tres circunferencias de diferente radio y construir los polgonos regulares:

a. Pentgono

b. Heptgono

c. Enegono

d. Dodecgono

10. Investigar la construccin de polgono utilizando regla y compas.

11. Probar que los polgonos de 7, 9 y 13 lados no se puede construir solo con regla y compas.


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UNIDAD 2. CUADRILTEROS

OBJETIVOS

I. Identificar los cuadrilteros y sus caractersticas.

II. Conocer los elementos de los cuadrilteros.

III. Conocer y aplicar las propiedades de los cuadrilteros.

LOGROS

Reconoce los diferentes tipos de cuadrilteros.

Clasifica los cuadrilteros segn sus caractersticas particulares.

Identifica los elementos bsicos de los cuadrilteros.

Aplica adecuadamente las propiedades de los cuadrilteros.

Construye cuadrilteros con base en sus medidas y caractersticas.


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CUADRILTEROS

Un cuadriltero es un polgono de cuatro lados, al cual se le llama trapecio si solo un par de lados no

consecutivos son paralelos. Los lados paralelos de un trapecio se llaman bases.

El cuadriltero es un paralelogramo si los dos pares de lados no consecutivos son paralelos. Los

segmentos que unen los vrtices no consecutivos de cualquier cuadriltero se llaman diagonales.

ELEMENTOS DE UN CUADRILTERO

En los cuadrilteros estn formados por diferentes partes.

LADOS DEL CUADRILTERO

Los lados en los cuadrilteros son llamados opuestos o consecutivos.

Figura 15.

Los lados opuestos son aquellos que no tienen ningn vrtice en comn. En la figura 15 son lados

opuestos: y , y .

Los lados consecutivos son aquellos que tienen un vrtice comn. En la figura 15 son consecutivos los

lados: y , y , y , y .

C

D

A B


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VRTICES Y NGULOS OPUESTOS

Los vrtices opuestos son los que no pertenecen a un mismo lado. Los ngulos opuestos son los vrtices

opuestos.

En la figura 15. Son vrtices opuestos: A y C, B y D.

SUMA DE NGULOS INTERIORES

La suma de los ngulos internos o interiores de todo cuadriltero es equivalente a cuatro ngulos rectos

o 360o.

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS

Los cuadrilteros se clasifican en funcin del paralelismo de sus lados opuestos. As:

PARALELOGRAMO

Figura 16.

Se llama paralelogramo al cuadriltero donde los lados opuestos son paralelos dos a dos. En la figura 16

se muestran los lados opuestos paralelos: y .

D

C

A B

D

C

B A

D

A

B

C


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TRAPECIO

Figura 17.

Un cuadriltero se clasifica como trapecio, cuando solo hay paralelismo en un par de lados opuestos. En

la figura 17. Son paralelos los lados opuestos:

TRAPEZOIDE

Cuando no existe paralelismo entre ningn par de lados opuestos se llama trapezoide al polgono.

En la figura 18. Se ve que los lados opuestos: y .

Figura 18.

A B

C D

A B

C

D


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23

CLASIFICACIN DE LOS PARALELOGRAMOS

Los paralelogramos se clasifican en:

RECTNGULO

Figura 19.

Un rectngulo se caracteriza por tener:

Los cuatro ngulos iguales: en la figura 19. Se observa que: los ngulos

son iguales y rectos.

Los lados contiguos desiguales: en la figura 19. El lado y .

Los lados opuestos iguales: en la figura 19. Los lados opuestos y

CUADRADO

Tiene los cuatro ngulos iguales y rectos. A dems los cuatro lados iguales, como se observa en la figura

20. Donde:

Y

Figura 20.

D C

A B

A B

C D

A B

C D


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24

ROMBOIDE

Figura 21.

Es el paralelogramo en el que:

Los lados contiguos son desiguales: en la figura 21, se observa que:

Los ngulos contiguos son desiguales: en la figura 21:

ROMBO

Figura 22.

Es un paralelogramo que tiene:

Los cuatro lados iguales:

Los ngulo contiguos desiguales:

A B

C

D

A

B

C

D


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25

CLASIFICACIN Y ELEMENTOS DE LOS TRAPECIOS

Los trapecios se clasifican en:

RECTNGULOS

Figura 23.

Los trapecios rectngulos son aquellos que tienen dos ngulos rectos. En la figura 23 los ngulos y

son rectos.

ISSCELES

Figura 24.

Un trapecio es issceles si los lados no paralelos son iguales: en la figura 24, se observa que .

ESCALENOS

Figura 25.

Un trapecio es escaleno cuando no es rectngulo, ni tampoco issceles.

A

B C

D

A B

C D

A B

C

D


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26

ELEMENTOS DE LOS TRAPECIOS

En los trapecios los lados paralelos se llaman bases y como son desiguales, una es determinada base

mayor y la otra base menor . Ver figura 26.

La distancia entre las bases es la perpendicular comn llamada altura del trapecio.

Figura 26.

El segmento que une los puntos medios no paralelos se denomina base media y tiene la importante

propiedad de que es igual a la semisuma de las bases. Tambin es llamada paralela media. Ver figura 26.

CLASIFICACIN DE LOS TRAPEZOIDES

Los trapezoides se clasifican en:

SIMTRICOS

Figura 27.

D

C

B A

M

N

E

A

B

C

D


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27

Los trapezoides simtricos tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados

consecutivos iguales es diferente del segundo. Ver figura 27. Donde:

En los trapezoides simtricos las diagonales son perpendiculares y la que une los vrtices donde

concurren los lados iguales es bisectriz de los ngulos y eje de simetra de la figura.

ASIMTRICOS

Figura 28.

Los trapezoides asimtricos son aquellos que no son simtricos.

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

Algunas de las propiedades generales de los paralelogramos son:

1. Todo paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos.

2. Todo paralelogramo tiene iguales sus ngulos opuestos.

3. Dos ngulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

4. En todo paralelogramo las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales.

PROPIEDADES PARTICULARES DEL RECTNGULO

1. Un ngulo exterior de un rectngulo vale un ngulo recto: esto se prueba ya que la suma de los

ngulos interiores de un cuadriltero es cuatro ngulos rectos y si los cuatro ngulos del rectngulo

son iguales, entonces:

A B

C

D


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28

2. Un ngulo exterior de un rectngulo equivale a un ngulo recto: ya que si los ngulos externos

suman 360o y en el rectngulo los cuatro ngulos son iguales, resulta:

1. Las diagonales de un rectngulo son iguales: esta propiedad es demostrable por igualdad de

tringulos.

PROPIEDADES PARTICULARES DEL ROMBO

1. Las diagonales del rombo son perpendiculares.

2. Las diagonales del rombo son bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen.

PROPIEDADES PARTICULARES DEL CUADRADO

1. Los ngulos del cuadrado son rectos.

2. Cada ngulo exterior del cuadrado equivale a un ngulo recto.

3. Las diagonales del cuadrado son iguales.

4. Las diagonales del cuadrado son perpendiculares.

5. Las diagonales del cuadrado son bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen.


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29

EJERCICIO 2.

1. Construir un cuadrado de 5 cm de lado, trazar sus diagonales y comprobar por medicin que son

iguales y perpendiculares, que dividen mutuamente y en partes iguales y que son bisectrices de los

ngulos cuyos vrtices unen.

2. Construir un romboide de lados 6 cm y 3 cm formando un ngulo de 120o. comprobar por medicin,

que sus lados y sus ngulos opuestos son iguales y que las diagonales se dividen mutuamente en

partes iguales.

3. Construir un rombo cuyo lado mida 6 cm y tenga un ngulo de 60o. comprobar, por medicin. Que

las diagonales son perpendiculares, se dividen mutuamente en partes iguales y son bisectrices de los

ngulos cuyos vrtices unen.

4. Construir un rectngulo de lado 4 cm y 3 cm y trazar sus diagonales. Responder:

a. las diagonales son iguales?

b. las diagonales son perpendiculares?

c. las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales?

d. las diagonales son bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen?

5. Construir un cuadrado cuya diagonal mida 5 cm.

6. Construir un rombo cuyas diagonales midan 8 cm y 4 cm.

7. Construir un rectngulo que tenga un lado que mida 7 cm y una diagonal que mida 9 cm.

8. Construir un rombo que tenga un lado que mida 5 cm y una diagonal que mida 8 cm.

9. Un ngulo de romboide mide 36o. Cunto mide cada uno de los otros tres?

10. Construir un trapecio cuyas bases midan 10 cm y 6 cm. Trazar la paralela o base media y comprobar

por medicin que su longitud es igual a la semisuma de las bases.

11. Construir un trapecio rectngulo cuyas bases midan 12 cm y 8 cm y la altura 5 cm. Trazar la base

media y comprobar, por medicin, que es igual a la semisuma de las bases.

12. Determinar que figura se obtiene al unir los puntos medios de los lados de un rectngulo.

13. Determinar que figura se obtiene al unir los puntos medios de los lados de un cuadrado.


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30

UNIDAD 3. CIRCUNFERENCIA Y CRCULO

OBJETIVOS

I. Identificar los elementos de la circunferencia.

II. Conocer las posiciones generales de la circunferencia.

III. Conocer y aplicar las propiedades de la circunferencia y sus posiciones relativas.

LOGROS

Reconoce los elementos bsicos de la circunferencia y el crculo.

Identifica las diferentes posiciones entre la circunferencia y la recta.

Reconoce las posiciones relativas de dos circunferencias y sus propiedades.


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31

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO

Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la

misma.

Figura 29.

Los puntos A, B, C, son puntos de la circunferencia y los segmentos son radios de

la circunferencia. Ver figura29.

Las circunferencias se denominan por su centro mediante una letra mayscula y su radio. De esta forma,

la circunferencia de la figura 29 es la circunferencia de centro O y . Dos circunferencias son iguales

cuando tienen igual radio.

PUNTOS INTERIORES Y EXTERIORES

La circunferencia divide al plano en dos regiones, una interior y otra exterior. Los puntos, cuya distancia

al centro es menor a la longitud del radio se llaman puntos interiores. Los puntos cuya distancia al

centro es mayor que la longitud del radio se llaman exteriores. En la figura 30 N es interior y M exterior.

O

A

B

C


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32

CIRCULO

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a ella misma que conforman

una superficie denominada circulo. Ver figura 30.

Figura 30.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

ARCO DE LA CIRCUNFERENCIA

Es una porcin de la circunferencia. En la figura 31 el arco AC se representa por AC.

En una circunferencia se le llama suma de dos arcos consecutivos al arco cuyo ngulo central es la suma

de los ngulos centrales correspondientes a los arcos dados.

Si en la circunferencia dos arcos son desiguales, la diferencia entre ellos es el arco que sumado al menor

da el mayor. En la circunferencia los arcos iguales corresponden a ngulos centrales iguales.

CUERDA

Es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia. En la figura 31 . De los dos arcos

que una curda determina en una circunferencia, se llama arco correspondiente a la cuerda N, al menor

de ellos.

M

N

O


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33

DIMETRO

Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y cuya longitud es igual a la de dos radios. El

dimetro es la mayor cuerda de la circunferencia.

La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del dimetro es una constante que se llama Pi

y se representa como .

El dimetro divide a la circunferencia y al crculo en dos partes iguales. Los arcos iguales determinados

por el dimetro se llaman semicircunferencias. Y las porciones de plano limitadas por las

semicircunferencias y el dimetro se llaman semicrculos.

Figura 31.

POSICIONES DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

SECANTE

Si una recta , tiene dos puntos comunes con la circunferencia se dice que es secante de la

circunferencia. Ver figura 31.

TANGENTE

Si una recta , tiene un punto comn con la circunferencia esta es tangente a la circunferencia y

perpendicular al radio, el punto comn es llamado punto de tangencia o de contacto. Ver figura 31.

Di

met

ro

A

C

Arco AC

D


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34

EXTERIOR

Si la recta no tiene ningn punto comn con la circunferencia, como la recta , en la figura 31. Se la

llama exterior.

FIGURAS EN EL CRCULO

En el crculo existen sectores determinados por los elementos y rectas en la circunferencia. Estos

sectores son.

SEGMENTO CIRCULAR

La parte del crculo limitada entre una cuerda y un arco es llamada segmento circular. Ver figura 32-a.

SECTOR CIRCULAR

Es la parte de crculo limado por dos radios y el arco comprendido entre los puntos del radio en la

circunferencia. Ver figura 32 b.

CORONA CIRCULAR

Es la parte o porcin de plano limitada por dos circunferencias concntricas. Ver figura 32 c.

TRAPECIO CIRCULAR

Es la parte o porcin de plano limitada por dos circunferencias y dos radios. Ver figura 33 d.

Figura 32.

(a) (b) (c) (d)


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35

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias pueden en un plano, tener varias posiciones relativas, y de acuerdo a ellas se

cumplen una serie de propiedades.

CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES

Son circunferencias que no comparten puntos en comn. Los puntos de cada una son exteriores a la

otra. Ver figura 33.

Figura 33.

En dos circunferencias la distancia de los centros es mayor que la suma de los radios. Es decir:

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORMENTE

Son circunferencias con un punto comn y los dems puntos de cada una exteriores a los de la otra. Ver

figura 34.

O

O


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36

Figura 34.

En dos circunferencias tangentes exteriormente la distancia de los centros es igual a la suma de los

radios. Es decir:

CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Dos circunferencias son secantes si tienen dos puntos comunes y los dems puntos de una

circunferencia son exteriores e interiores de la otra. Ver figura 35.

Figura 35.

En dos circunferencias secantes la distancia de los centros es menor que la suma de los radios y mayor

que la diferencia de ellos. Es decir:

Y

O

O

O O


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37

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORMENTE

Dos circunferencias son tangentes interiormente si tienen un punto comn y los puntos de una de ellas

son interiores a la otra. Ver figura 36.

Figura 36.

En dos circunferencias tangentes interiormente la distancia de los centros es igual a la diferencia de los

radios. Es decir:

CIRCUNFERENCIAS INTERIORES

Dos circunferencias son interiores cuando todos los puntos de una de ellas, son interiores de la otra. Ver

figura 37.

Figura 37.

O O

O

O


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38

En dos circunferencias interiores la distancia de los centros es menor que la diferencia de los radios. Es

decir:

CIRCUNFERENCIAS CONCNTRICAS

Dos circunferencias son concntricas cuando tienen el mismo centro. Ver figura 38.

Figura 38.

En dos circunferencias concntricas la distancia entre los centros es igual a cero, debido a que los

centros coinciden. Es decir:

O O


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39

EJERCICIO 3

1. Graficar una circunferencia de radio 8 cm e indicar en ella:

a. Radio

b. Dimetro

c. Cuerda

d. Un arco

2. Graficar un a circunferencia de 20 cm de dimetro y dibujar sobre ella:

a. Una recta secante

b. Una recta tangente

c. Una recta externa

3. Realizar la divisin de una circunferencia de radio 12 cm, en 6 partes iguales.

4. Realizar la divisin de una circunferencia de dimetro 18 cm, en 20 partes iguales.

5. Graficar dos circunferencias concntricas cuyos radios tengan una relacin de 1:2.

6. Graficar dos circunferencias interiores cuya distancia sea menor o igual a 5 cm.

7. Graficar dos circunferencias tangentes interiormente cuya distancia entre los radios sea la mitad del

radio mayor.

8. Determinar cual es la menor distancia de un punto a una circunferencia.

9. Un punto tiene una distancia de 3 cm del centro de una circunferencia de 4 cm de dimetro.

Calcular la menor y la mayor distancia de dicho punto a la circunferencia.

10. Un punto se encuentra a 2 cm del centro de una circunferencia de 6 cm de dimetro. Hallar la

menor distancia del punto a la circunferencia.

11. Os radios de dos circunferencias son 10 y 16 cm. Hallar la distancia de los centros si las

circunferencias son:

a. Tangentes interiores.

b. Tangentes exteriores

12. Investigar y determinar las propiedades de los ngulos en una circunferencia.


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40

UNIDAD 4. UNIDADES DE SUPERFICIE

OBJETIVOS

I. Identificar la unidad bsica de medida de superficie

II. Reconocer las unidades de superficie derivadas de la bsica.

III. Conocer los sistemas de medida utilizados.

IV. Determinar los mltiplos y submltiplos utilizados para grandes o pequeas superficies de plano.

V. Aplicar conversiones de unidades de superficie.

LOGROS

Reconoce la unidad bsica de medida para superficies.

Identifica las unidades derivadas de la unidad bsica de medida de superficie.

Conoce y aplica los sistemas de medida mas utilizados en la vida cotidiana.

Determina los mltiplos y submltiplos mas adecuados para las superficie de gran o pequeo

tamao.

Realiza conversiones entre unidades de forma adecuada.


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41

UNIDADES DE SUPERFICIE

Para expresar el rea de un piso, de una pista de tenis, y en general, de cualquier superficie plana, se

necesitan conocer y usar las unidades de superficie.

Figura 39.

La unidad principal es el metro cuadrado, que es la superficie que ocupa un cuadrado de 1 metro de

lado. Ver figura 39.

Su smbolo es m2. Segn sea el tamao de la superficie a medir, se usaran una u otra unidad, eligiendo

en cada caso la ms adecuada.

Por ejemplo, para expresar la superficie que ocupa un pas se utiliza una unidad mucho mayor que el

metro cuadrado, se usa el kilmetro cuadrado. De la misma forma, no se hablara de los metros

cuadrados que tiene un sello, sino que usara una unidad mucho menor, como el centmetro cuadrado.

MLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

Para medir superficies grandes se emplean los mltiplos del metro cuadrado:

El kilmetro cuadrado: se representa como Km2 y equivale a 1.000.000 m2

El hectmetro cuadrado: se representa como hm2 y equivale a 10.000 m2

El decmetro cuadrado: se representa como dam2 y equivale a 100 m2

Para realizar la conversin de una unidad a otra se tiene en cuenta la equivalencia de cada unidad como

se muestra a continuacin:

1 metro 1

met

ro

1 m

etro

1 metro

1 m2


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42

Si se quiere llevar de un nivel superior a un nivel inferior, se debe multiplicar por 100 la unidad que

ocupa el nivel superior para ontener la del nivel inferior.

En caso de llevar de un nivel inferior a un superior se procede de modo contrario por lo que se debe

dividir por 100 la unidad inferior para obtener la del nivel superior.

EJEMPLO 1

Convertir a metros cuadrados 5 hm2.

SOLUCIN

Como los hectmetros cuadrados estn dos niveles sobre el metro cuadrado se debe multiplicar dos

veces por cien es decir:

Por lo que 5 hm2, equivalen a 50.000 m2.

EJEMPLO 2

Convertir a metros cuadrados 3 dam2.

SOLUCIN

Como los decmetros estn un nivel por sobre el metro cuadrado se multiplica por 100, con lo que se

obtiene:

Por lo que 3 dam2, equivalen a 300 m2.

EJEMPLO 3

Convertir a kilmetros cuadrados 50 hm2

1 km2=1.000.000 m2

1 hm2=10.000 m2

1 dam2=100 m2

1 m2


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43

SOLUCIN

En este caso se debe ascender de nivel y como el hectmetro esta un nivel por debajo de del kilometro

cuadrado, se debe dividir por 100. Con lo que se obtiene:

Por lo que 50 hm2, equivalen a 0,5 Km2.

SUBMLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

Para medir superficies muy pequeas con ms exactitud, se emplean los submltiplos del metro

cuadrado. Estos son:

Decmetro cuadrado: se representa como dm2 y equivale a 0,01 m2

El centmetro cuadrado: se representa como cm2 y equivale a 0,0001 m2

El milmetro cuadrado: se representa como mm2 y equivale a 0,000001 m2

Para realizar la conversin de una unidad a otra se tiene en cuenta la equivalencia de cada unidad como

se muestra a continuacin:

Si se quiere llevar de un nivel superior a un nivel inferior, se debe multiplicar por 100 la unidad que

ocupa el nivel superior para ontener la del nivel inferior.

En caso de llevar de un nivel inferior a un superior se procede de modo contrario por lo que se debe

dividir por 100 la unidad inferior para obtener la del nivel superior.

EJEMPLO 1

Convertir a metros cuadrados 35.500 cm2.

SOLUCIN

Como los centmetros cuadrados estn dos niveles por debajo del metro cuadrado se debe dividir dos

veces por cien es decir:

1 m2

1 dm2=0,01 m2

1 cm2=0,0001 m2

1 mm2=0,000001=m2


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44

Por lo que 35.500 cm2 equivalen a 3,55 m2.

EJEMPLO 2

Convertir a metros cuadrados 62 dm2.

SOLUCIN

Como los decmetros estn un nivel por debajo del metro cuadrado se divide por 100, con lo que se

obtiene:

Por lo que 62 dm2, equivalen a 0,62 m2.

EJEMPLO 3

Convertir a milmetros cuadrados 10 m2

SOLUCIN

En este caso se debe descender de nivel y como el metro esta tres niveles por sobre los milmetros

cuadrados, se debe multiplicar por 1.000.000. Con lo que se obtiene:

Por lo que 10 m2, equivalen a 10.000.000 mm2.

En resumen se tiene que para medir la superficie de un lugar en el plano se usa el metro cuadrado o

alguno de sus mltiplos o submltiplos, los cuales se resumen en la figura 40.

Figura 40.


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45

UNIDADES AGRARIAS

Para medir las extensiones de los campos se utilizan otras unidades de superficie, llamadas unidades

agrarias.

Las unidades agrarias son:

El rea (a)

La hectrea (ha)

La centirea (ca)

Sus equivalencias se representan, as:

Para realizar conversiones entre estas unidades se siguen los mismos principios. Se multiplica por cien

para descender de nivel y se divide sobre para ascender de nivel.

EJEMPLO 1

Pasar a hectreas 3,2 a.

SOLUCIN

Como las reas estn un nivel debajo de las hectreas, se debe dividir entre cien, es decir:

Por lo que 3,2 a, equivalen a 0,032 ha.

EJEMPLO 2

Pasar a hectreas 49,5 ca.

1 ha = 1 hm2 = 10.000 m2

1 a = 1 dam2 = 100 m2

1 ca = 1 m2


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46

SOLUCIN

Como las centireas estn dos niveles debajo de las hectreas, se debe dividir dos veces por 100, con lo

que se obtiene:

Por lo que 49,5 ca, equivalen a 0,00495 ha.

EJEMPLO 3

Pasar 23,8 Km2 a hectreas.

SOLUCIN

En este caso se debe relacionar los sistemas, donde se sabe que:

Por lo que 23,8 Km2, equivalen a 238.000 dam2.

Y como,

Entonces 238.000 dam2, equivalen a 238.000 a.

Dividiendo entre cien, se tiene:

Por lo que 23,8 Km2, equivalen a 2380 ha.


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47

EJERCICIO 4

1. Pasar a metros cuadrados las siguientes unidades de superficie.

a. 1,16 hm2

b. 0,008 km2

c. 0,4 dam2

d. 1,6 hm2

e. 0,00001 km2

f. 3,008 dam2

g. 3,2 dam2

h. 16,8 hm2

i. 3,6 km2

j. 0,02 hm2

k. 1,003 dam2

l. 1,0005 km2

m. 12,165 hm2

2. Pasar a hectmetros cuadrados las siguientes unidades de superficie.

a. 0,03 m2

b. 1,2 dm2

c. 25,8 cm2

d. 146,1 m2

e. 46,3 dam2

f. 18,6 dm2

g. 293,1 cm2

h. 196,21 dam2

i. 16,31 m2

j. 293,5 dm2

k. 0,035 dam2

l. 0,01 m2

m. 0,0012 cm2

3. Pasar a decmetros cuadrados las siguientes unidades de superficie.

a. 2,6 hm2

b. 16,3 m2

c. 1,256 km2

d. 149,8 dm2

e. 3,425 mam2

f. 171,3 dm2

g. 29,8 cm2

h. 136,4 mm2

i. 3,149 mam2

j. 3,05 dm2

k. 94,6 m2

l. 147,2 cm2

4. Pasar a hectreas las siguientes unidades de superficie.

a. 1,29 mam2

b. 3,45 dam2

c. 39,2 ca

d. 4,92 a

e. 5,32 dm2

f. 1,6 mm2

g. 42,6 cm2

5. Pasar a reas las siguientes unidades de superficie.

a. 42,1 ha

b. 2,14 ca

c. 14,6 dm2

d. 3,21 cm2

e. 25,86 km2

f. 32,1 ha

g. 1,24 km2

h. 3,6 ca

i. 1,6 dm2

j. 18,24 mm2

6. Pasar a centireas las siguientes unidades de superficie.

a. 3,9 ha

b. 1,2 dm2

c. 32,9 mm2

d. 39,2 a


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48

e. 25,8 dam2

f. 42,6 ha

g. 1,65 ha

h. 0,03 km2

i. 9,5 a

j. 32,1 cm2

k. 49,82 ha

l. 65,03 a

7. Una finca A tiene una superficie de 2 ha, 15 a y 35 ca; una finca B tiene una superficie de 5 hm2, 13 a

y 12 m2, y una finca C tiene una superficie de 8 ha, 3 dam2 y 18 ca.

a. Calcular la superficie en metros cuadrados de cada finca.

b. La finca A est dividida en 5 parcelas iguales; la finca B est dividida en 16 parcelas iguales, y

la finca C est dividida en 2 parcelas iguales. Cul es la superficie en reas de cada parcela

de la finca A, de la finca B y de la finca C?

8. El Ayuntamiento compr un terreno de 20 ha y 10 a para un parque y un terreno de 20 dam2 y 50 a

para una piscina. Calcular:

a. El precio del terreno para el parque si se vende a $ 10.000 el m2.

b. El precio del terreno para la piscina si se vende a $ 20.000 el m2.

9. Si el m2 de terreno vale $ 20.000, cuntos cuesta comprar un campo de 7 ha? 10. Una provincia tiene 14.725 km2. Cuntas reas son? 11. Un campo de 12.350 m2 se divide en cuatro partes iguales. Cuntos dam2 mide cada parte? 12. El suelo de una habitacin mide 15,598 m2 y contiene 55 baldosas. Cuntos cm2 mide cada

baldosa? 13. Un patio tiene 25 filas de baldosas con 37 baldosas cada una. El patio mide 1 dam2, 66 m2 y 50 dm2.

Cuntos dm2 mide cada baldosa? 14. Cuntas personas caben de pie en un patio de 3 dam2 y 60 m2 si cada persona ocupa una superficie

de 20 dm2? 15. De una finca de 125 ha se han vendido 2/5 a $1200 el m2 y el resto a $ 56.000 el dam2. Cunto se

ha obtenido por la venta? 16. Un da de lluvia han cado 82 litros de agua en un metro cuadrado. Cuntos hectolitros de agua han

cado en un campo de 25 ha y 87 a? 17. La superficie de la Tierra es de 5.101.000 mam2 y 3/4 estn ocupados por los ocanos. Cuntos km2

ocupan los continentes? 18. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2.180.000 km2 y una de las ms pequeas es

Cabrera, con 2000 ha. Cuntas veces cabe Cabrera en Groenlandia?


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UNIDAD 5. REAS DE REGIONES PLANAS

OBJETIVOS

I. Identificar las regiones poligonales y triangulares en el plano

II. Interpretar el significado del rea de una regin poligonal y el significado de los postulados del

rea.

III. Determinar las formulas para encontrar el rea de tringulos, cuadrados, rectngulos,

paralelogramos y trapecios.

IV. Enunciar e interpretar el teorema de Pitgoras.

V. Aplicar el teorema de Pitgoras para relacionar apotema, lado y radio de un polgono regular

inscrito en una circunferencia.

VI. Determinar el rea de un polgono regular de N lados.

VII. Aplicar las formulas para determinar el rea de regiones sombreadas.

LOGROS

Identifica regiones determinadas en el plano.

Reconoce el significado del concepto de rea y sus postulados.

Conoce y aplica las formulas para la determinacin de reas.

Conoce y aplica el teorema de Pitgoras.

Determina el rea de regiones sombreadas y los polgonos regulares.


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REAS DE REGIONES PLANAS

A travs del tiempo el hombre ha identificado como superficie a la parte exterior de los cuerpos de la

naturaleza (un terreno, una roca, la tierra, etc.), y ha realizado construcciones donde se observan

superficies irregulares y regulares, formadas por curvas planas, esfricas, cilndricas y curvas.

Fuera de estudiar la forma y propiedades de los cuerpos y figuras geomtricas planas, el hombre ha

dedicado su inters en la medida de estas superficies.

REGIONES POLIGONALES

Una regin triangular es la unin de un triangulo con su interior. Ver figura 41 a.

Una regin poligonal es la unin de un nmero finito de regiones triangulares del plano, de tal manera

que la interseccin de dos cualesquiera de ellas es un segmento o punto. Ver figura 41 b.

Figura 41.

En la regin poligonal de la figura 41 b, se observa que:

En la cual:

A

B C

A

B

C

D

E F

T 1 T 2

T 3

T 4

(a) (b)


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POSTULADOS DE REA

Los siguientes postulados, permiten calcular el rea de cualquier regin poligonal.

1. POSTULADO DE LA MEDIDA: a toda regin poligonal P se le asigna como medida un numero real

no negativo, la cual se llama rea de la regin, y se denota por A(P) .

2. POSTULADO DE ADICIN: si la interseccin de dos regiones planas P1 y P2 es un segmento, un punto

o el vacio, entonces el rea de su unin es la suma de sus reas:

3. POSTULADO DE LA UNIDAD: el rea de una regin cuadrangular (el cuadrado unido a su interior) es

el cuadrado de la longitud de su lado.

Si ABCD es un cuadrado de lado a, entonces

4. POSTULADO DE CONGRUENCIA: dos regiones poligonales congruentes tiene reas iguales.

Si , entonces

EJEMPLO 1

Calcular el rea de un cuadrado cuyo lado mide 4 unidades de longitud (cm, m, km, etc.).


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SOLUCIN

Segn los datos el cuadrado se representa en la figura 42.

Figura 42.

Si se aplica el postulado de la unidad, utilizando la figura 42. Se obtiene:

EJEMPLO 2

Calcular el rea de la regin poligonal P (figura 43). Si A (T1) = 2 y A (T2) = 6.

Figura 43.

SOLUCIN

Segn el postulado de la adicin:

A

4 B

C

D

4

4

4

T 2

T1

P


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EJEMPLO 3

Hallar el rea de la regin triangular T. mostrada en la figura 44.

Figura 44.

SOLUCIN

En la figura 44, se observa que:

Figura 45.

Al completar el cuadra como se observa en la figura 45. Se encuentra que:

C

A B

T 2

2

C

A

B

D

T

T1

2

2

2 2


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54

Segn el postulado de la adicin y donde y por el postulado de congruencia .

Por lo tanto se tiene que:

Por lo que:

Entonces:

EJEMPLO 4

Calcular el rea de la regin poligonal P, segn la figura 46.

Figura 46.

SOLUCIN

El rea de la regin poligonal P, por el postulado de la adicin y segn la figura es:

Y segn el postulado de congruencia:

Por lo que:

2

2

T1 T2

T3 T4

P

2


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55

Y como segn el ejemplo anterior se tiene que:

Para denotar las unidades de rea se utiliza el cuadrado de la unidad de longitud elegida. De esta forma

si la unidad es el metro, la unidad e rea se denota m2.

EJERCICIO 5

1. Comprobar que las regiones de la figura 47 son poligonales, mediante la divisin en regiones

triangulares. Decir cual es el nmero mnimo de regiones triangulares en cada caso.

Figura 47.

2. En la figura 48. La regin poligonal es tal que A (T) = 2 y A (S) = 3. Encontrar A (P) y citar el postulado

usado.

Figura 48.

(a) (b)

(c) (d)

T

S

P


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3. Un rectngulo es tal que su base mide el doble de la altura. Si su base mide 3 unidades, calcular el

rea y citar los postulados usados.

4. Calcular el rea de la regin P de la figura 49. Utilizando los postulados del rea.

Figura 49.

5. Calcular el rea de la regin P de la figura 50. Utilizando los postulados del rea.

Figura 50

3 3

3 P

1

1

1

1

1

P


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REAS DE FIGURAS PLANAS

CONCEPTOS DE PERMETRO Y REA DE UNA FIGURA PLANA

Se llama permetro de una figura plana a la longitud del borde de la figura.

Se llama rea de una figura plana a la medida de la superficie que ocupa.

EJEMPLO 1

Si en la figura 51. Cada cuadrado tuviese un centmetro de lado. Calcular su rea y permetro.

Figura 51.

SOLUCIN

Su permetro sera igual a la suma de los lados, es decir:

Su rea es 13 cm2 ya que la figura 51. Est formada por 13 cuadrados de 1 cm2

REA DEL RECTNGULO

Figura 52.

El rea de un rectngulo se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura. Es

decir:

Base b

Alt

ura

h


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Y el permetro con la suma de sus lados.

EJEMPLO 1

Calcular el rea y permetro de un rectngulo cuya base mide 6 cm y cuya altura mide 5 cm.

SOLUCIN

Del enunciado se sabe que:

b = 6 cm

h = 5 cm

Aplicando formulas:

Y

REA DEL CUADRADO

Figura 53.


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59

El rea de un cuadrado se halla elevando al cuadrado la longitud del lado.

Y el permetro sumando sus cuatro lados, es decir:

EJEMPLO 1

Calcular el permetro y el rea de un cuadrado de 3 cm de lado.

SOLUCIN

El cuadrado del ejemplo tiene un lado por lo que:

Y

REA DEL PARALELOGRAMO

Figura 54.

El rea del paralelogramo se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.

h

Base b

c


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60

Y el permetro:

EJEMPLO 1

Calcular el rea y permetro de un paralelogramo si su base mide 6 cm y su altura 4 cm y su lado

inclinado 5 cm.

SOLUCIN

Del enunciado se obtiene que:

Aplicando las ecuaciones:

Y


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61

REA DEL ROMBO

Figura 55.

El rea de un rombo se halla con el semi-producto de la longitud de la diagonal mayor por la longitud de

la diagonal menor. Es decir:

Y el permetro:

EJEMPLO 1

Calcular el rea y permetro de un rombo de 10 cm de diagonal mayor y 6 cm de diagonal menor. Y lado

5 cm.

SOLUCIN

Segn el enunciado, se tiene:

Y


Y

D

d


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62

REA DEL TRIANGULO

Figura 56.

El rea de un tringulo se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de la altura y

despus el resultado se divide entre dos.

Y permetro:

EJEMPLO 1

Calcular el rea y permetro del triangulo equiltero de la figura 57.

Figura 57.

SOLUCIN

a

b

c h

4 cm

3,5 cm


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En la figura se observa que:

Por ser equiltero y


Y

REA DEL TRIANGULO EN FUNCIN DE SUS LADOS FORMULA DE HERN

El rea de un triangulo en trminos de sus lados a, b y c, esta determinada por la formula:

Donde p es el semipermetro del triangulo.

EJEMPLO 1

Hallar el rea del triangulo de la figura 57. Aplicando la formula de Hern.

SOLUCIN

Para el triangulo de la figura 57. Se sabe que el permetro es 12 cm, por lo que el semipermetro es:

Aplicando la formula de Hern:


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64

Lo cual es muy aproximado al valor hallado en el ejemplo anterior.

REA DEL TRAPECIO

Figura 58.

El rea del trapecio se halla con la semisuma de las bases por la altura. Es decir:

Y el permetro

EJEMPLO 1

Calcular el rea de un trapecio cuyas bases son 6 cm y 3 cm respectivamente, y cuya altura es 8 cm.

SOLUCIN

Aplicando la ecuacin:

B

b

h a


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REAS DE POLGONOS REGULARES

Figura 59.

Se llama apotema de un polgono regular al segmento que une el centro del polgono con el punto

medio de uno de los lados.

El rea de un polgono regular se halla multiplicando su permetro por su apotema y dividiendo el

resultado entre dos. Es decir:

Recordemos que un polgono regular es el que tiene todos sus ngulos y lados iguales, por tanto su

permetro se hallar multiplicando la longitud de un lado por el nmero de lados.

Donde n es el nmero de lados y la longitud del lado.

EJEMPLO 1

Calcular el rea y permetro de un pentgono regular de 6 cm de lado y 5,8 cm de apotema.

SOLUCIN

Como es un pentgono regular, tiene 5 lados, por lo que el permetro:

Apotema


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66

Y el rea:


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67

EJERCICIO 5.1

1. Calcular el permetro y el rea de los siguientes rectngulos:

a. 12 cm de base y 2,5 cm de altura.

b. 15,6 dm de base y 5,4 dm de altura.

c. 0,23 mm de base y 009 mm de altura.

2. Calcular el permetro y el rea de los siguientes cuadrados:

a. 8 cm de lado

b. 12,3 hm de lado

c. 2,56 dm de lado

3. El permetro de una parcela cuadrada es de 108 m. Cul es su rea?

4. Dentro de una parcela rectangular de 120 m de larga y 80 m de ancha se construye un establo

cuadrado de 23 m de lado. Qu superficie de la parcela queda sin construir?

5. Calcular el rea de los siguientes paralelogramos:

a. 15 mm de base y 17 mm de altura

b. 20,5 dm de base y 18,4 dm de altura

c. 0,36 cm de base y 0,15 cm de altura

6. Calcular el rea de los siguientes rombos:

a. 12 hm de diagonal mayor y 11 hm de diagonal menor.

b. 6,8 dm de diagonal mayor y 4,2 dm de diagonal menor.

c. 12,8 cm de diagonal mayor y 6,32 cm de diagonal menor.

7. Calcular el rea de los siguientes tringulos:

a. 60 cm de base y 54 cm de altura

b. 75,6 dm de base y 24,8 dm de altura

c. 16,46 mm de base y 8 mm de altura

d. 2,68 cm de base y 4,2 cm de altura

8. Calcular el rea de los tringulos usando a formula de Hern:

a. Si sus lados miden 5 cm, 4 cm y 7 cm.

b. Si sus lados miden 12 mm, 40 mm y 17 mm.

c. Si sus lados miden 2,7 m, 3,8 m y 4,5 m.

9. Calcular el rea de los siguientes trapecios:

a. 14 m de base mayor, 8 m de base menor y 5 m de altura.

b. 16,8 cm de base mayor, 10,4 cm de base menor y 8,6 cm de altura.

c. 12,6 cm de base mayor, 8,4 cm de base menor y 5,3 cm de altura.

d. 8,6 m de base mayor, 6,4 m de base menor y 6 m de altura.

10. Calcular el rea de los siguientes polgonos regulares:

a. Un pentgono de 23 cm de lado y 18 cm de apotema.

b. Un hexgono de 18 dm de lado y 16,4 dm de apotema.

c. Un enegono de 8,2 hm de lado y 7,8 hm de apotema.

d. Un octgono de 14,6 mm de lado y 10, 24 mm de apotema.


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