Geometria 1ro Ok (1)

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  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    1

    Euclides sola decir que una recta era aquella figura que respecto de cualquier de sus puntos, se encontrabaigualmente dispuesta. Hoy se nos ha hecho natural usar a esta figura para hablar de direccin. As por ejemplorelacionamos a la vertical, a la horizontal y a la oblicua con rectas. Adems pensamos que la recta estformada por un nmero muy grande de puntos, infinitos puntos.

    NOTACION:SE LEE Recta L

    En algunas ocasiones es conveniente usar una notacin que indique dos de los puntos por los que pasala recta, as en el grfico la recta pasa, contiene o est determinada por los puntos A y B

    NOTACIN:SE LEE Recta AB

    RAYOComo la recta est formada por infinitos puntos, siempre es posible ubicar al menos uno de sus puntos, as larecta puede considerarse en dos partes, una formada por el conjunto de todos los puntos ubicados antes delpunto mencionado y la segunda por todos los puntos ubicados despus del punto mencionado, a cualquiera deestas partes con el punto mencionado, como origen, se le denomina rayo

    NOTACIN:SE LEE Rayo PAP: Origen del Rayo

    SEGMENTO DE RECTA

    Si en una lnea resta ubicamos dos puntos, entre ellos queda comprendido una porcin de recta. Esta porcinde la recta se define como segmento de recta y cuyos extremos son los puntos ubicados inicialmente.

    NOTACION SE LEE: SEGMENTO AB A, B: Extremos del segmento

    L

    L

    A B

    AB

    P

    A

    P

    P

    B

    PA

    A B

    AB

    GEOMETRA.

    LNEA RECTA.

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    Como el segmento tiene un lugar donde inicia y otro donde termina, es posible medirlo. Para medir un segmentose usan reglas graduadas y sobre el grfico mismo se puede indicar su longitud, de no conocer su medida,entonces se ve conveniente que dicha medida quede simbolizada por una letra minscula, para cuando seanecesario realizar operaciones.

    NOTACIN: ABSE LEE: Longitud del segmento AB

    Se puede escribir AB = a

    en el grfico la longitud del segmento CD es el doble de la longitud del segmento AB, es decir se puedeplantear: CD = 2 AB.

    Medir es un proceso de comparacin, es as que usaremos la regla graduada y

    cada vez que tengamos que calcular la longitud de un segmento lo compararemoscon la regla y el nmero de divisiones que en ella representa.

    PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOEn todo segmento siempre se puede encontrar un punto que le pertenece y que determina en el dos partes,dos segmentos que tienen igual longitud. A dicho punto se le define como punto medio

    Si M es punto medio del segmento AB, se puede plantear que AM = MB

    OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE LOS SEGMENTOSMedir es el resultado de comparar objetos de la misma naturaleza, as por ejemplo para afirmar que unlapicero es grande o pequeo, debemos de compararlo con otro lapicero, en este proceso de comparacin esconveniente ubicarlos de modo tal que se aprecie la relacin de sus tamaos.

    A B

    15cm El segmen to de l grfico tiene po r longitud 1 5cm. locual lo indicamo s en la misma figura, tal y com o se

    muestra.

    A B

    aDel segundo no se conoce su longitud, entonces

    usamos la letra a, para poder operar con su

    longitud cuando sea n ecesario.

    A B

    a

    C D

    2a

    A BM

    1 2

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    1. En una recta se ubican los puntos colineales A,B, C, D. Tal que: AB=3; BC=7 y CD=9.Calcular: AD

    Rpta.: .......................................................

    2. Sobre una recta se ubican los puntoscolineales A, B, C, D, tal que AB=5; CD=12. SiAD=20. Calcular BC.

    Rpta.: .......................................................

    3. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D; tal que AC + BC = 20;BC=5.Calcular: ADRpta.: .......................................................

    4. Sobre una recta se toman los puntos colineales

    A, B, C, D; tal que AB = BC = CD=a.Si: AD= 18. Calcular BC.

    Rpta.: .......................................................

    5. Sobre una recta se toman los puntos colinealesA, B, C; tal que AB= 2(BC). Si AC= 15.Calcular AB.

    Rpta.: .......................................................

    6. Si ubican sobre una recta los puntos colinealesA, B, C, D tal que: BC = CD. Si AB + CD = 30.Calcular AD.

    Rpta.: .......................................................

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 01

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    7. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C, D. Tal que: AB = 10; BC=3; CD; 8.Calcular la distancia entre los puntos medios

    de y ; siendo M y N puntos medios

    de y ,

    Rpta.: .......................................................

    8. En una recta se ubican los puntos colineales A,B, C y D. de manera que AB=4a; BC=5 yCD=2a. Calcular la distancia entre los puntosmedios de y , siendo P y Q puntos

    medios de y respectivamente.Adems: AD=17.

    Rpta.: .......................................................

    9. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C, D, tal que AB=3; BC=(CD); AD=12.Calcular: AC.

    Rpta.: .......................................................

    10. Si una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D de manera que C es punto mediode y B punto medio de . Si AD=16.

    Calcular AB.

    Rpta.: .......................................................

    11. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D

    de manera que C es punto medio de y BD- AB = 20. Calcular BC.

    Rpta.: .......................................................

    12. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D. Tal que: AD=20 yCD=8. Calcular BC. Si AB = 3(BC)

    Rpta.: .......................................................

    AB C D

    AB C D

    A B C D

    A B C D

    AD AC

    AD

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    1. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D de manera que AB=3; BC= 10 yCD=7. Calcular AD.A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24

    2. Sobre una recta; se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D. Tal que AC + BC =30 y BC=12. Calcular AD.A) 13 B) 14 C) 16

    D) 15 E) 18

    3. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D tal que AB = BC = CD+ 4. Si AD=34. Calcular: BC.A) 10 B) 12 C) 14D) 30 E) 40

    4. Se toman los puntos consecutivos A, B, C y Dtal que AB = BC = 2(CD). Si AD = 16.Calcular AB.A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 10

    5. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D. Tal que M y N son puntos medios

    de y . Calcular la distancia entre los

    puntos medios ya mencionados. Adems: AB=6, BC=10 y CD=8A) 14 B) 17 C) 15D) 18 E) 19

    6. En una recta se ubica los puntos colineales A,

    B, C y D tal que C es punto medio de y Bes punto medio de .

    Calcular AB. Si AD=12.A) 4 B) 3 C) 5D) 6 E) 7

    7. En una recta se ubican los puntos consecutivos

    A, B, C y D. Tal que C punto medio de y

    BD-AB=28. Calcular BC.A) 14 B) 15 C) 20

    D) 18 E) 16

    8. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D. Tal que AB= 8 y AD=12. Si:

    Calcular BC.A) 2 B) 1 C) 3

    D) 4 E) 5

    9. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D.

    Tal que B es punto medio de y AD +

    CD=12. Calcular BD.A) 5 B) 4 C) 8D) 7 E) 6

    10. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D demodo que AC + BD = 28. Calcular la medida

    de segmento que une los puntos medios

    y

    A) 10 B) 14 C) 18

    D) 19 E) 15

    AB CD

    AD

    AC

    AD

    B C 1

    C D 3

    AC

    AB

    C D

    TAREA DOMICILIARIA N 01

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    1. En una recta se marcan los puntosconsecutivos A, B, y C de manera que 2AB

    =3BC y AC=50. Hallar AB.

    2. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D de manera que AC=12, BD= 15 yAD=19. Hallar BC.

    3. En la recta se ubican los puntos A, B y C de

    manera que E es punto de , EC=15 yAC=18. Hallar BC.

    4. En una recta se ubican los puntos A, B, C y Dde manera que 2BC=5CD= 7AB y AD=28.Hallar BC.

    5. En una recta se ubican los puntos A, B y C demanera que AC=18 y BC - AB =10. Hallar AB.

    6. Sobre una recta se toman los puntos

    consecutivos A, B, C y D. Tal que: AD=20 yCD=8. Calcular BC. Si AB = 3(BC)AB

    TALLER DE APRENDIZAJE N 01

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    Cuando dos figuras tales como los rayos se juntan, unindolos por su origen, de tal forma que estos dos rayos

    no formen una recta, entonces estos rayos han formado la figura geomtrica conocida como ngulo.

    BISECTRIZ DE UN NGULO

    En todo ngulo, por su vrtice se pueden trazar infinitos rayos, pero uno de ellos determina en el ngulo, dos

    ngulos parciales de igual medida. A dicho rayo se le denomina bisectriz.

    CLASIFICACIN DE NGULOS

    1. Segn su medida

    Atendiendo a los valores que puede tomar la medida de un ngulo, el ngulo se clasifica en:

    AGUDO RECTO OBTUSOEs aquel cuya medida es mayor Es aquel cuya medida Es aquel cuya medida es mayor

    que 0 y menor que 90 es igual a 90 que 90 y menor que 180

    0 < b < 90 b = 90 90 < b < 180

    A

    B

    o

    B

    P

    A

    o

    GEOMETRA.

    NGULOS

    NOTACIN

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    - Segn las posiciones relativas de sus lados

    De acuerdo a su disposicin en el plano, los ngulos se clasifican en:

    ADYACENTES CONSECUTIVOS OPUESTOS POR EL VRTICE

    Son aquellos que tienen un Son tres o ms ngulos si Un ngulo se denomina opuesto por

    lado comn y estn situados cada uno de ellos es adyacente el vrtice de otro, si sus lados son las

    a distintos lados del lado con su anterior. prolongaciones opuestas de los lados

    comn. del otro ngulo.

    NGULOS COMPLEMENTARIOS

    Se define as a dos ngulos cuyas medidas suman 90. De estos dos ngulos se dice que uno es el

    complemento del otro.

    NGULOS SUPLEMENTARIOS

    Se definen as a dos ngulos cuyas medidas suman 180. De estos dos ngulos se dice que uno es el

    suplemento del otro.

    o

    A

    B

    C

    A

    B

    C

    D

    O

    A B

    C D

    O

    AB

    O

    C

    DP

    En la figura e l ngulo AOB y el ngulo

    CPD sern complementarios, si se

    cumple que: + = 90.

    En ese caso:

    el complemento es : C

    el complemento es

    C Se lee: Complemento de

    =

    : C =

    :

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    Observacin

    1. Cuando un conjunto de ngulos se agrupan de manera que estn a un mismo lado de una recta, las medidas

    de todos ellos suman 180

    2. Cuando un conjunto de ngulos se agrupa de manera que estn entorno a un punto, la suma de las medidas

    de todos ellos suman 360.

    C

    P D

    A

    O

    B

    En la figura el ngulo AOB y el

    ngu lo CP D sern suplemen tarios, si

    se cumple que:

    + = 1 80 .

    En ese caso:

    el suplemento es : S =

    el suplemento es : S =

    S Se lee: Suplemento de

    :

    = 1 80

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    1. Calcular el suplemento de 20

    Rpta.: .......................................................

    2. Calcular el complemento de 30Rpta.: .......................................................

    3. En la figura. Calcular m

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    1. Calcular el

    A) 90 B) 70 C) 110

    D) 120 E) 130

    2. Calcular el suplemento del complemento delcomplemento de 20A) 180 B) 170 C) 160D) 140 E) 120

    3. En la figura. Calcular m

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    1. Se tienen los ngulos adyacentes AOB y BOCde manera que m

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    Dos rectas se denominan paralelas si cumplen lassiguientes condiciones:i) Pertenecen a un mismo planoii) No tienen puntos comunes

    NOTACIN

    SE LEE es paralela a

    REGIN INTERIOR A DOS PARALELAS

    Es el conjunto formado por todos los puntosubicados entre los puntos de las paralelas.

    RECTA TRANSVERSAL A DOS PARALELAS

    Es aquella que intercepta a las paralelasdeterminando de esta forma en la regin interior,dos zonas y con cada una de ellas cuatro ngulosconsecutivos.

    RELACIONES PARA LAS MEDIDAS DE LOSNGULOS DETERMINADOSNGULOS ALTERNOS

    Son aquellos que estn ubicados a lados diferentesde la transversal:

    Si pertenecen a la regin interior a las paralelas, sedenominan ngulos alternos internos:

    , =

    Si pertenecen a la regin exterior a las paralelas, sedenominan ngulos alternos externos:

    NGULOS CORRESPONDIENTES

    Son aquellos que ocupan posiciones similares entrelas paralelas y la transversal

    NGULOS CONJUGADOS

    Son aquellos que estn ubicados a un mismo ladode la Transversal:Si pertenecen a la regin interior a las paralelas, sedenominan conjugados internos.

    Si pertenecen a la regin exterior a las paralelas, sedenominan conjugados externos

    TEOREMAS

    L 1

    L 2

    L1 L2

    L1 L2

    REGIN INTERIOR

    x

    L1

    L2

    Si: L1// L2

    x

    L1

    L2

    Si: L1// L2 = 180

    GEOMETRA.

    RECTAS PARALELAS

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    1. En la figura:

    Calcular: x

    Rpta.: .......................................................

    2. En la figura. . Calcular: x

    Rpta.: .......................................................

    3. En la figura. Calcular: x. Si:

    Rpta.: .......................................................

    4. En la figura. Calcular: x. Si:

    Rpta.: .......................................................

    5. En la figura. . Calcular: X

    Rpta.: .......................................................

    6. En la figura . Calcular x

    Rpta.: .......................................................

    L1 L2

    100

    L1

    L2

    x

    L1 L2

    30

    L1

    L2

    40

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    50

    80

    60 40

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    120

    100

    x

    L1 L2

    10 L1

    L2

    20

    10

    x

    50

    L1 L2

    L1

    L2

    30

    x

    50

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 03

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    7. En la figura. . Calcular x

    Rpta.: .......................................................

    8. En la figura. Calcular: x

    Rpta.: .......................................................

    9. Segn el grfico. Calcular el valor de x.Si:

    Rpta.: .......................................................

    10. En la figura . Calcular: x

    Rpta.: .......................................................

    L1 L2

    150

    L1

    L2

    x

    2

    L1 L2

    60

    L1

    L2

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    130

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    x

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    1. En la figura. . Calcular x

    A) 90 B) 80 C) 60D) 70 E) 100

    2. En la figura. Calcular x

    A) 40 B) 30 C) 50D) 60 E) 25

    3. En la figura. Calcular: x

    A) 120 B) 100 C) 110D) 130 E) 150

    4. En la figura. . Calcular: x

    A) 70 B) 140 C) 80D) 100 E) 110

    5. En la figura. Calcular: x. Si

    A) 110 B) 120 C) 100D) 130 E) 140

    6. En la figura. Calcular: x. Si

    A) 40 B) 30 C) 20D) 50 E) 70

    7. En la figura. . Calcular: x

    A) 5 B) 4 C) 3D) 6 E) 7

    8. En la figura. Calcular. X Si:

    A) 70 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

    L1 L2

    10 L1

    L2

    60

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    20

    80

    50

    70

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    140

    120

    x

    L1 L2

    L1

    L260

    40

    x

    L1 L2

    140

    L1

    L2

    x

    2

    L1 L2

    70

    L1

    L2

    x

    L1 L2

    2x +92

    x +182

    L1

    L2

    L1 L2

    6x

    x 2x

    L1

    L2

    TAREA DOMICILIARIA N 03

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    17

    1. En la figura . Hallar: x

    2. Del grfico . Hallar: x

    3. En el grfico . Hallar: x

    4. Si . Hallar: x

    5. Si: Hallar: x

    6. En la figura. Calcular: Si: Si: x + y = 200

    L1 L2

    L1

    L2

    x

    60

    2x

    L1 L2

    L1

    L2

    40

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    x

    x

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    40

    60

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    60

    x

    30

    x

    x

    L1 L2

    L1

    L2

    x

    y

    TALLER DE APRENDIZAJE N 03

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    Es la figura geomtrica formada al unir tres puntosno colineales mediante segmentos.

    ELEMENTOS:

    Notacin: ABC. Se lee tringulo ABC.

    Adems: Permetro: (2p)= a + b + c

    PROPIEDADES BSICAS:1. Suma de medidas de ngulos internos:

    2. Suma de medidas de ngulos externos:

    MEDIDAS DE LOS NGULOS ASOCIADOS ALTRINGULO

    3. Calculo de medida de ngulo exterior

    CLASIFICACIN:I. SEGN LA MEDIDA DE SUS NGULOS:A. Rectngulo: Cuando uno de sus ngulos esrecto:

    B. Oblicungulos: No tienen ngulos rectos.

    Pueden ser: Acutngulo: Si la medida de los ngulosinternos son agudos.

    Obtusngulos: Si la medida de un ngulointernoes obtuso.

    II. SEGN LA LONGITUD DE SUS LADOS:A. Equiltero: Sus tres lados tienen igual medida.

    B. Issceles: Dos de sus lados, tienen igualmedida.

    C. Escaleno: Sus tres lados son de diferentemedida.

    A

    B

    Cb

    ac

    Vrtices: A, B, C

    Lados : AB, BC, AC

    + + = 180

    + + w = 360

    Interiores:

    Exteriores:

    , ,

    , ,

    x

    + = x

    A

    B

    C

    Donde:

    AB : Cateto

    BC : Cateto

    AC : Hipotenu sa

    CATE

    TO

    HIPOTENUSA

    CATETO

    A

    B

    C

    0 < < 90

    0 < < 90

    0 < < 90

    C B

    A 90< < 180

    A

    B

    Ca

    a

    ca

    Si:

    AB = BC = AC

    Adems:

    = 60

    Pero : = 60

    AB = BC = AC

    A

    B

    C

    a

    a

    AB = BC

    Si:

    AB = BC

    GEOMETRA.

    TRINGULOS

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    19

    1. En la figura. Calcular: x

    Rpta.: .......................................................

    2. En la figura. Calcular:

    Rpta.: .......................................................

    3. En la figura. Calcular:

    Rpta.: .......................................................

    4. En la figura: AC = BC. Calcular: m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    7. En la figura. Calcular m

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    1. En la figura. Calcular: x

    A) 9 B) 10 C) 11D) 7 E) 5

    2. En la figura. Calcular: +

    A) 245 B) 270 C) 200D) 240 E) 250

    3. En la figura. Calcular m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    22

    1. En la figura. PR = QR, Calcular m

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    23

    Rpta.: .......................................................

    1.

    En un tringulo, esta lnea notable se define como elsegmento que parte de uno de sus vrtices y llega en

    forma perpendicular al lado opuesto o a su

    prolongacin.

    En todo tringulo obtusngulo las alturas relativas a los

    lados opuestos de los ngulos agudos caern en la

    prolongacin de dichos lados.

    Debes saber que:

    En todo tringulo rectngulo la altura relativa a un

    cateto coincide con el cateto opuesto.

    Al punto de concurrencia de las tres alturas de un

    tringulo se le llama: ORTOCENTRO(H).

    Es un tringulo, esta lnea notable se define como el

    segmento que parte de un vrtice y llega al punto medio

    del lado opuesto.

    Al punto de concurrencia de las tres mediana de un

    tringulo se le llama:

    Baricentro o Centro de Gravedad (G).

    A H C

    B

    M A C

    B

    BH: Altura Relativa a AC BM: Altura Relativa a AC

    B

    P Q

    A C

    0 < m A< 9 0

    0 < m C< 9 0

    9 0 < m B< 1 80

    AP : Altura Relativa a BC

    CQ : Altura Relativa a AB

    A

    M

    CP

    N

    B

    H

    A

    B

    CM

    N

    AN : Mediana Relativa a BC

    BM: Mediana Relativa a AC

    B

    M

    GN

    A P C

    BG

    G P =

    2

    1

    GEOMETRA.

    LNEAS NOTABLES I

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    24

    En un tringulo, esta lnea se define para cada lado

    del tringulo como la recta perpendicular a dicho

    lado pasando por su punto medio.

    Que la mediatriz de un segmento es la rectaperpendicular trazada por el punto medio de dichosegmento.

    Al punto de concurrencia de las tres mediatrices deun tringulo se le llama CIRCUNCENTRO (O).

    Definiremos bisectriz de un tringulo como la lneanotable que es parte de la bisectriz de uno de susngulos, limitado por el lado opuesto o por suprolongacin.

    Dado un tringulo escaleno, la bisectriz exterior esadyacente siempre sobre el lado menor de dichotringulo.

    Debes saber que:

    En todo tringulo isosceles, la bisectriz exteriorrelativa al lado no congruente es paralela a ella.

    Al punto de concurrencia de las tres bisectricesinteriores de un tringulo se le llama: INCENTRO(I).

    Al punto de concurrencia de las bisectrices de dos

    ngulos exteriores con la bisectriz del tercer ngulointerior se le llama: EXCENTRO (E).

    LB

    A C

    L : Mediatriz de AC

    A

    O

    C

    M N

    B

    P

    AB BC

    B

    A M C N

    BM: Bisec triz Interior Relativa a AC

    BN : Bisec triz Exterior Relativa a AC

    B

    A C

    M

    BM // AC

    BM: Es la bisectriz exterior relativa a AC

    B

    I

    A C

    A C

    B

    E

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    25

    1. En la figura. Calcular DC. Si es medianarelativo a . Si AC=10.

    Rpta.: .......................................................

    2. En el ABC. Calcular x. Si: : bisectriz.

    Rpta.: .......................................................

    3. En la figura. Calcular x

    Rpta.: .......................................................

    4. Si: : Mediatriz. Calcular MN. Si: AN=12.

    Rpta.: .......................................................

    5. En la figura. Calcular x. Si: : Bisectriz

    del

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    7. En el grfico. Calcular . Si: Bisectriz.

    Rpta.: .......................................................

    8. En la figura. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    9. En la figura. Calcular: .

    Rpta.: .......................................................

    10. Del grfico. Calcular x. Si BC= CD.

    Rpta.: .......................................................

    BD

    B

    CDA

    60 40

    2x

    x

    2

    B

    C

    D

    A E

    70

    2 6

    x

    B

    CA D

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    1. Si: Mediana. Calcular AC. Si DC=4.

    A) 7 B) 6 C) 5D) 8 E) 9

    2. En la figura. Calcular m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    28

    7. En el grfico. Calcular x. Si AB = BD.

    A) 50 B) 27 C) 36D) 58 E) 60

    8. Del grfico. Calcular el valor de x en: SiAM=MB y BN = NC.

    A) 12 B) 10 C) 14D) 16 E) 20

    9. El ABC es equiltero y el EBC es issceles.Calcular el valor de x.

    A) 60 B) 45 C) 25D) 75 E) 20

    10. En un DABC; recto en B. Se traza la bisectriz

    interior ; Si AE=EC. Calcular m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    29/105

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    29

    1. En la figura. Calcular. AC. Si es

    mediana relativo a . Si MC=4.

    Rpta.: .......................................................

    2. En el tringulo ABC. Calcular m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    30

    1. Del grfico es bisectriz de .Calcular m ABD.

    Rpta.: .......................................................

    2. Del grfico. Si es bisectriz del BAD.

    Calcular m ACD.

    Rpta.: .......................................................

    3. Calcular m DBC. Si es bisectriz delABC.

    Rpta.: .......................................................

    4. Calcular m ABD. Si es bisectriz delABC.

    Rpta.: .......................................................

    5. Calcular: + .

    Rpta.: .......................................................

    6. Calcular . Si es bisectriz del BCE.

    Rpta.: .......................................................

    BD AC

    B

    A D C

    80 50

    AC

    B

    A D

    C70

    60

    BD

    120

    B

    40

    A D C

    BD

    100

    CDA

    B

    140

    80

    ww

    CD

    B

    A C E

    D

    60

    GEOMETRA.

    LNEAS NOTABLES II

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 06

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    31

    7. Si AE=3. Calcular AC. Si es mediana de

    Rpta.: .......................................................

    8. Del grfico. Calcular DC. Si es mediana

    de y BC=22.

    Rpta.: .......................................................

    9. Calcular -. Si es altura de .

    Rpta.: .......................................................

    10. Calcular m HBC. Si es altura de .

    Rpta.: .......................................................

    BE

    AC

    B

    A E C

    AD

    BC

    B

    A

    D

    C

    BM AC

    5 0 6 0

    B

    MA C

    BH AC

    B

    A H C

    40

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    32/105

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    32

    1. Si es bisectriz del ABC. Calcular mABD.

    A) 60 B) 50 C) 70D) 80 E) 40

    2. Del grfico. Calcular m DBC. Si esbisectriz de ABC.

    A) 35 B) 40 C) 50D) 30 E) 45

    3. Si es bisectriz del ABC. Calcular m ABD.

    A) 40 B) 80 C) 70D) 60 E) 50

    4. Del grfico. Calcular . Si es bisectriz. DelBCE.

    A) 60 B) 70 C) 90D) 80 E) 50

    5. Del grfico. Calcular + .

    A) 100 B) 110 C) 120D) 130 E) 140

    6. En la figura. Calcular DC. Si AD es mediana yBC=40.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 10

    7. Si AB + BC=20 y el perimetro del ABC es 38.Calcular AD. Si es mediana de .

    A) 10 B) 9 C) 11D) 12 E) 13

    8. Calcular - . Si es altura.

    A) 19 B) 30 C) 40

    D) 20 E) 50

    9. Calcular m HBC. Si es altura.

    A) 20 B) 50 C) 40D) 60 E) 80

    10. Del grfico. Calcular x. Si: y sonaltura y m ABC=70.

    A) 100 B) 110 C) 120D) 130 E) 140

    BD

    50 30

    B

    A D C

    BD

    30 1 0 0

    A D C

    B

    BDB

    120 160

    CDA

    CD

    A C

    B

    70

    D

    E

    40

    B

    A C

    B

    A C

    D

    BD AC

    B

    A CD

    BH

    B

    A H

    70 40

    C

    BH

    60

    HA C

    B

    AE CD

    B

    A C

    D E

    x

    TAREA DOMICILIARIA N 06

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    33

    1. Calcular . Si es bisectriz de ABC.

    A) 35 B) 55 C) 60D) 45 E) 70

    2. Del grfico. Calcular: m ABC.

    A) 20 B) 25 C) 30D) 40 E) 80

    3. Del grfico. Calcular DC. Si es mediana dey AC=30.

    A) 60 B) 15 C) 20

    D) 40 E) 25

    4. Del grfico. Calcular NC. Si AC=12 y esmediatriz.

    A) 6 B) 8 C) 10D) 4 E) 5

    5. Si es altura. Calcular m DCB.

    A) 30 B) 35 C) 40

    D) 45 E) 50

    6. Calcular m HBC. Si es altura.

    A) 20 B) 50 C) 40D) 60 E) 80

    BM

    70 40

    B

    A M C

    B

    140

    DCA

    60

    BD AC

    A D C

    B

    L

    B

    A N C

    L

    BD

    50

    DA C

    B

    BH

    60

    HA C

    B

    TALLER DE APRENDIZAJE N 06

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    34

    1. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE DE 45 y 45

    2. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE 37 y 53

    3. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE DE 30 y 60

    4. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE DE 15 y 75

    45

    B

    45

    C

    A

    nn 2

    n

    n n

    45 45

    B

    A Cn 2

    37

    B

    53

    C

    A

    4n

    3n

    3n 4n

    37 53

    B

    A C

    5n

    5n

    30

    B

    60

    C

    A

    n

    n

    30 60

    B

    A C

    2n

    2n

    n 3n 3

    15

    B

    75

    C

    A

    15 75

    B

    A C

    4n

    4n

    nn

    GEOMETRA.

    TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES I.

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    35

    1. En la figura. Calcular: BC. Si:

    2. En la figura. Calcular: AC. Si BC=8.

    3. En la figura. Calcular: BH. Si AC=12.

    4. En la figura. Calcular: AB. Si

    5. En la figura. Calcular: AC. Si:

    6. En la figura. Calcular: BH. Si AC=40.

    7. Calcular: AB. Si BC = 6.

    Rpta.: .......................................................

    8. De la figura. Calcular: AB. Si:

    Rpta.: .......................................................

    AB 3 3

    30

    B

    CA

    37

    B

    CA

    15

    B

    CA H

    AC 2

    45

    A

    BC

    BC 3 3

    B

    CA

    B

    CHA

    B

    CA

    BC 4 2

    B

    45

    C

    A

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 07

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    36/105

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    36

    9. En la figura. Calcular AE. Si BC = 4.Adems: CD = DE.

    Rpta.: .......................................................

    10. Calcular HC. Si AH=9.

    Rpta.: .......................................................

    11. En la figura. Calcular: AB. Si BC=10.

    Rpta.: .......................................................

    12. En la figura. Calcular: AN. Si BC=8.

    Rpta.: .......................................................

    13. En la figura. Calcular: AB. Si BC=10.

    Rpta.: .......................................................

    14. En la figura. Calcular: AH + BC. Si

    Rpta.: .......................................................

    60

    B

    A

    C

    D

    E

    B

    CHA

    B

    CHA

    B

    CNA

    60

    53

    B

    CDA

    AB 9 2

    B

    CHA

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    37/105

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    37

    1. En la figura. Calcular AC + BC. Si: AB=9.

    A) 27 B) 28 C) 29D) 40 E) 15

    2. En la figura. Calcular AC. Si AB=2.

    A) 1 B) C)

    D) 4 E)

    3. En la figura. Calcular: BC. Si AB= 12

    A) 6 B) 8 C)

    D) E) 10

    4. En el tringulo mostrado. Calcular: AC. Si BH=4.

    A) 16 B) 18 C) 20D) 22 E) 15

    5. De la figura mostrada. Calcular: HC. Si.

    A) 2 B) C) 3

    D) E)

    6. De la figura mostrada. Calcular: AN. Si: BC=12.

    A) 8 B) 9 C) 10D) 6 E) 12

    7. De la figura. Calcular:

    A) 39 B) 37 C) 45D) 30 E) 60

    8. De la figura. Calcular: HC. Si AB=6. y AC=14.

    A) 11 B) 10 C) 9D) 8 E) 7

    4 2 2 2

    3 2

    14 2

    10 3

    AB 3 2

    2

    4 3

    3a

    B

    A C5a

    4a

    B

    CHA

    D

    TAREA DOMICILIARIA N 07

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    38/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    38

    1. Calcular: AC + BC. Si AB=6. (C= 37)

    2. En la figura. Calcular: AC. Si CB=2

    3. En la figura. Calcular BH. Si AC=8. (C= 15)

    4. En la figura. Calcular AB. Si BC=3.

    5. En la figura. Calcular AC. Si BC=3.

    6. En la figura. Calcular: AB. Si BC=10.

    B

    CA

    B

    45

    C

    A

    B

    CA H

    60

    B

    CA

    B

    30

    C

    A

    60

    53

    B

    CDA

    TALLER DE APRENDIZAJE N 07

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    39/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    39

    1. Calcular: BC. Si AC=10.

    Rpta.: .......................................................

    2. Calcular AC. Si AB=7.

    Rpta.: .......................................................

    3. Calcular AB. Si AC=

    Rpta.: .......................................................

    4. Calcular: QR. Si

    Rpta.: .......................................................

    5. Calcular: AC. Si

    Rpta.: .......................................................

    6. Calcular: m BAC. Si AC=4 y BC=.

    Rpta.: .......................................................

    7. Calcular: . Si

    Rpta.: .......................................................

    8. Calcular . Si BC=7

    Rpta.: .......................................................

    A

    B

    C

    30

    A

    B

    C

    30

    8 2

    A

    B

    C

    60

    PR 20 2

    Q

    P

    R

    AB 9 3

    A

    B

    C

    150

    2 3

    A

    B

    C

    AC

    BC

    AB 24 2

    A

    B

    C

    4 5

    2

    AB 7 3

    A

    B

    C

    GEOMETRA.

    TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES II.

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 08

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    40/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    40

    1. De la figura. Calcular: AC+BC. Si AB=

    Rpta.: .......................................................

    2. De la figura. Calcular: AB. Si

    Rpta.: .......................................................

    3. De la figura. Calcular: AC. Si AB=12.

    Rpta.: .......................................................

    4. Calcular : . Si: AB = BC.

    Rpta.: .......................................................

    5. Calcular BH. Si AC=32.

    Rpta.: .......................................................

    6. Del grfico. Calcular: AH. Si BC=8

    Rpta.: .......................................................

    7. Del grfico. Calcular BC. Si

    Rpta.: .......................................................

    8. En la figura. Calcular: AB. Si CN + AB=25.

    Rpta.: .......................................................

    4 2

    C

    A

    B

    45

    AC 10 3

    A

    B

    C

    60

    A

    BC

    120

    3A

    B C

    15

    A

    B

    CH

    45 30

    A

    B

    CH

    AD 4 3

    45

    A

    B

    CD

    60

    15

    A

    C B

    N

    TAREA DOMICILIARIA N 08

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    41/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    41

    1. Calcular: AB. Si :

    A) 7 B) 6 C) 8D) 9 E) 10

    2. Calcular: AC. Si BC=4

    A) 1 B) C)D) E) 8

    3. Calcular :BD. Si AC=20.

    A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

    4. Calcular: AB. Si BC=3.

    A) 3 B) C)

    D) 6 E)

    5. Calcular : AB. Si

    A) 4 B) 2 C)D) E)

    6. Del grfico. Calcular: AH. Si BC=8

    BC 3 3

    A

    B

    C

    60

    A

    B

    C

    45

    4 2 3 2

    2 2

    A

    B

    C

    75

    D

    A

    B

    C

    30

    2 3

    3 3

    BC 2 2

    A

    B

    C

    4 5

    2 2

    4 2 2

    45 30

    A

    B

    CH

    TALLER DE APRENDIZAJE N 08

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    42/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

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    42

    01. ngulo determinado por dos bisectrices interiores en el tringulo.

    02. ngulo determinado por dos bisectrices exteriores en el tringulo.

    03. ngulo determinado por una bisectriz interior y una exterior en el tringulo.

    04. ngulo determinado por una altura y una bisectriz interior referidas a un mismo lado en el tringulo.

    A C

    B

    x

    x= 9 0 +

    2

    xx= 90 -

    2

    x

    x=

    2

    HA C

    B

    M

    x x=-

    2

    GEOMETRA.

    NGULOS DETERMINADOS POR LAS LNEAS NOTABLES

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    43/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    43

    1. Calcular m PMC.

    Rpta.: .......................................................

    2. Calcular : m ABC.

    Rpta.: .......................................................

    3. De la figura. Calcular m ACM. Si esbisectriz del BCD.

    Rpta.: .......................................................

    4. Calcular : m ACB.

    Rpta.: .......................................................

    5. De la figura. Calcular m BDA. Si es

    bisectriz relativa a

    6. En la figura. Calcular x. Si es bisectriz delABC.

    Rpta.: .......................................................

    7. De la figura. Calcular: 3x. Si: es bisectrizdel ACB.

    Rpta.: .......................................................

    8. De la figura. Calcular: m ACD.

    Rpta.: .......................................................

    P C

    R

    M

    80

    CM

    B

    A C D

    M

    80

    60

    B

    A CD

    40 8 0

    BD

    AC

    60 40

    B

    A D C

    BD

    4x

    3x

    DA C

    B

    CD

    D

    A C

    B

    2x

    6x

    60

    B

    A D

    C

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 09

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    44/105

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    44

    9. De la figura. Calcular: x

    Rpta.: .......................................................

    10. Calcular: m QPM. Si es bisectriz del

    OMN y .

    Rpta.: .......................................................

    11. Si es altura relativa . Calcular m

    ACD.

    Rpta.: .......................................................

    12. Calcular: m ACB. Si es altura relativa a

    .

    Rpta.: .......................................................

    13. De la figura. Calcular: x. Si es alturarelativa a

    Rpta.: .......................................................

    14. En la figura. Calcular : x.

    Rpta.: .......................................................

    x

    MP

    QP //MN

    60 Q P

    40

    M N

    O

    CD AB

    DA B

    C

    60

    BH

    AC

    40 10

    B

    A H C

    BH

    AC

    A

    40

    H C

    x 10

    B

    x

    80

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    45/105

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    45

    1. De la figura. Calcular m NBC. Si esbisectriz del ABC.

    A) 60 B) 50 C) 40D) 70 E) 80

    2. Del grfico. Calcular m QNR. Si mPQR=80. Adems: es bisectriz delPQR.

    A) 70 B) 80 C) 90D) 100 E) 110

    3. En la figura. Calcular x. Si: es bisectriz delABC.

    A) 40 B) 50 C) 60

    D) 70 E) 80

    4. Del grfico. Calcular: x

    A) 100 B) 110 C) 120D) 135 E) 140

    5. Del grfico. Calcular: x. Si: es bisectriz delBCD.

    A) 10 B) 12 C) 15D) 18 E) 20

    6. En la figura. Calcular m BNA.

    A) 100 B) 90 C) 80D) 110 E) 120

    7. Del grfico. Calcular : m ACD.

    A) 20 B) 10 C) 30D) 40 E) 50

    8. En la figura. Calcular : x.

    A) 30 B) 20 C) 10D) 15 E) 45

    9. Del grfico. Calcular x. Si y sonalturas.

    A) 110 B) 115 C) 120D) 100 E) 90

    10. En la figura. Calcular AE. Si es mediana

    relativa a . Adems AC=20.

    A) 5 B) 10 C) 12D) 15 E) 20

    BN

    20

    NA C

    B

    40

    QN

    30

    Q

    P N R

    BN

    B

    A C

    140

    x

    120

    N

    x

    CMCMCMCMCMCMCM

    B

    A C D

    M

    4x

    6x

    50

    B

    A CN

    40 30

    2

    60

    2

    B

    A D

    C

    22

    60

    x

    AM NC

    x

    N M

    B

    20

    A C

    BE

    ACB

    A E C

    TAREA DOMICILIARIA N 09

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    46/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

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    46

    1. En la figura. Calcular:

    A) 180 B) 40 C) 50D) 60 E) 90

    2. De la figura. Calcular m BCM. Si esbisectriz del BCD

    A) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 40

    3. Calcular: m ABH.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 60

    4. De la figura. Calcular: x

    A) 150 B) 140 C) 130D) 100 E) 120

    5. De la figura. Calcular: m ACD.

    A) 40 B) 50 C) 30D) 20 E) 60

    6. En la figura. Calcular m BNA.

    A) 100 B) 90 C) 80D) 110 E) 120

    w

    3

    A C

    w

    w

    CMCMCMCMCMCMCM

    B

    A C

    M

    20

    80

    x

    D

    HA C

    B

    60

    60

    x

    80

    B

    A D

    C

    B

    A CN

    40 3 0

    TALLER DE APRENDIZAJE N 09

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    47/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    47

    DEFINICIN:Es la figura geomtrica que se determina poraquella lnea poligonal cerrada sin que sus lados se

    intersecten limitando una de regin en su interior.

    ELEMENTOS:Vertice:

    Lados:

    NOTA:* El permetro del polgono es igual a la suma de

    las longitudes de sus lados.

    Diagonal:* Es el segmento de recta que une dos vrtices no

    consecutivos.

    De acuerdo a su nmero de lados los poligonos sellamarn:

    De 3 lados TringuloDe 4 lados CuadrilteroDe 5 lados PentgonoDe 6 lados HexgonoDe 7 lados HeptgonoDe 8 lados OctgonoDe 9 lados NongonoDe 10 lados DecgonoDe 15 lados PentadecagonoDe 20 lados Icosgono

    Determinacin de ngulos

    Medida de ngulo internos:

    Medida de ngulos externos:

    POLGONO CONVEXO.- Es aquel polgono en lacual en uno de sus lados al estar contenido unarecta que separa al plano en dos semiplanos, de

    modo que los otros lados se encuentran en unmismo semi-plano.

    POLGONO NO CONVEXO.- Es aquel poligonoen la cual en uno de sus lados al estar contenidouna recta, se notar que cada semiplanodeterminado por la recta hay puntos del polgono.

    FRMULAS PARA UN POLGONO DE nLADOS

    Suma de las medidas de los ngulos interiores

    Suma de las medidas de los ngulos exteriores

    Nmero de diagonales (#D)

    FORMULAS PARA UN POLGONO REGULARDE n LADOS

    Medida de ngulo interior

    Medida del ngulo exterior

    Medida del ngulo central

    Suma de las medidas de los ngulos centrales

    An

    A1

    A2

    A3

    A4

    A5A(n 1)

    1 2 3 nA , A , A ,.........A

    1 2 2 3 3 4 n 1A A ,A A ,A A ,.........A A

    A

    B C

    D

    EF

    DIAGONAL BD

    DIAGONAL AC

    DIAGONAL BE

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    5

    5

    4

    4

    1 2 3 n, , , ...........

    1 2 3 n, , , ...........

    ( i)

    i 180 (n 2)

    ( e)

    e 360

    n(n-3)# D=

    2

    ( i)

    i

    180 (n-2)=

    n

    ( e)

    360e=

    n

    c( )

    c

    360=

    n

    c 360

    GEOMETRA.

    POLGONO I

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    48/105

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    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    48

    1. Calcular la suma de ngulos internos de unpentgono regular.

    Rpta.: .......................................................

    2. Calcular la medida de un ngulo interno de unhexgono regular.

    Rpta.: .......................................................

    3. Calcular la suma de ngulos internos de unpolgono regular de 12 lados.

    Rpta.: .......................................................

    4. Calcular la medida de un ngulo interno de unpolgono regular de 9 lados.

    Rpta.: .......................................................

    5. Calcular el nmero de diagonales de un polgonoregular de 11 lados.

    Rpta.: .......................................................

    6. Calcular la medida del ngulo central de un

    octgono regular.

    Rpta.: .......................................................

    7. Calcular el nmero total de diagonales de un

    decgono regular.

    Rpta.: .......................................................

    8. Cuntos lados tiene un polgono regular cuyo

    ngulo interno es 162.

    Rpta.: .......................................................

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 10

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    49/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    49

    9. Los ngulos de un cuadriltero son proporcionalesa los nmeros 3, 5, 7, 9. Calcular la medida delngulo mayor.

    Rpta.: .......................................................

    10. Cuntos lados tiene un polgono regular, cuyongulo externo es igual a la tercera parte de unngulo interno?

    Rpta.: .......................................................

    11. Los ngulos externos de un polgono regularmiden cada uno 1/5 de recto. Cmo se llamaeste polgono?

    Rpta.: .......................................................

    12. Cuntos lados tiene el polgono regularmostrado?

    Rpta.: .......................................................

    13. Cuntos lados tiene un polgono regularconvexo cuya suma de las medidas de susngulos externos es igual a 2/5 de la suma de lasmedidas de sus ngulos internos.

    Rpta.: .......................................................

    14. Cmo se llama aquel poligono regular cuyongulo interno es igual a 8 veces el nguloexterior.

    Rpta.: .......................................................

    5

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    50/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    50

    1. Calcular el nmero de diagonales de un pentgonoregular.

    A) 7 B) 6 C) 5D) 8 E) 9

    2. Calcular la medida del ngulo interno de unhexgono.

    A) 140 B) 130 C) 120D) 150 E) 160

    3. Calcular la medida del ngulo central de unpolgono regular de 36 lados.

    A) 10 B) 20 C) 30D) 12 E) 15

    4. Calcular la suma de ngulos internos de undodecgono.

    A) 1200 B) 1400 C) 1500D) 1600 E) 1800

    5. Calcular la medida de un ngulo interno de unnongono.

    A) 120 B) 130 C) 160D) 140 E) 150

    6. Calcular la medida del ngulo central de un

    pentgono.

    A) 36 B) 72 C) 144D) 150 E) 70

    7. Calcular el nmero total de diagonales de unicosgano.

    A) 120 B) 150 C) 190D) 170 E) 180

    8. Calcular la suma de ngulos interiores de unpolgono de 24 lados.A) 3960 B) 3900 C) 3940D) 3980 E) 3920

    9. Cuntos lados tiene el polgono en el cual la sumade sus ngulos internos mas la suma de susngulos externos es 3780.

    A) 10 B) 21 C) 20D) 19 E) 5

    10. Calcular el nmero de lados del polgono regularen el cual su ngulo interior es el cudruple de sungulo exterior.A) 12 B) 8 C) 10D) 24 E) 9

    TAREA DOMICILIARIA N 10

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    51/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    51

    1. Cuntos lados tiene el polgono regular cuyonmero total de diagonales es el doble del

    nmero de lados.

    A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

    2. Calcular la suma de ngulos internos de unpolgono de 12 lados.

    A) 750 B) 1800 C) 1700D) 2000 E) 2100

    3. Calcular la medida de un ngulo interno de unpolgono regular de 8 lados.

    A) 100 B) 110 C) 120D) 140 E) 135

    4. Calcular el nmero de diagonales de undodecgono regular.

    A) 52 B) 50 C) 54D) 60 E) 70

    5. Calcular la medida de un ngulo externo de unicosgono regular.

    A) 18 B) 20 C) 30D) 15 E) 17

    6. Calcular la medida del ngulo central de unpentgono.

    A) 36 B) 72 C) 144D) 150 E) 70

    TALLER DE APRENDIZAJE N 10

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    52/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    52

    1. En qu polgono regular se cumple que el

    nmero de lados es la mitad del nmero de

    diagonales?

    Rpta.: .......................................................

    2. En qu polgono regular se cumple que sungulo interior es 9 veces su ngulo exterior?

    Rpta.: .......................................................

    3. Calcular la suma de las medidas de un ngulo

    interior de un dodecgono regular con elngulo exterior de un octgono regular.

    Rpta.: .......................................................

    4. Calcular el nmero de diagonales de un

    icosgono regular.

    Rpta.: .......................................................

    5. Calcular el nmero de lados de un polgono

    regular convexo en el cual su nmero total de

    diagonales es igual 7 veces su nmero de

    lados.

    Rpta.: .......................................................

    6. Si el nmero de lados de un pentgonoaumenta en tres. En cunto aumentar su

    nmero de diagonales?.

    Rpta.: .......................................................

    7. Cmo se llama aquel polgono regular cuyo

    nmero total de diagonales es igual al nmerode lados?

    Rpta.: .......................................................

    8. Calcular el nmero de lados de un polgono

    regular convexo en el cual su nmero total

    de diagonales es igual al quintuplo del nmero

    de lados.

    Rpta.: .......................................................

    GEOMETRA.

    POLGONO II

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 11

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    53/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    53

    9. Calcular el nmero de lados de un polgono

    regular convexo, cuyo nmero total de

    diagonales es 54.

    Rpta.: .......................................................

    10. Calcular el nmero de lados de un polgono

    regular convexo en el cual la suma total de sus

    ngulos internos y externos es 3780.

    Rpta.: .......................................................

    11. Cuntas diagonales se podrn trazar de aquel

    polgono regular; cuyo ngulo interior es el

    triple del ngulo exterior.

    Rpta.: .......................................................

    12. Cul es el polgono regular convexo cuyo

    nmero total de diagonales, excede al nmero

    de lados en 18?

    Rpta.: .......................................................

    13. Calcular el nmero de lados de un polgono

    regular en el cual la medida de su ngulo

    interior es igual al cudruple de la medida del

    ngulo central.

    Rpta.: .......................................................

    14. Calcular el nmero total de diagonales de un

    polgono regular en el cual: 30 veces la

    medida de un ngulo interior es igual al

    cuadrado de la medida del ngulo exterior.

    Rpta.: .......................................................

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    54/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

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    54

    1. El ngulo central de un polgono regular mide36. Cuntos lados tiene ese polgono?

    A) 12 B) 10 C) 14D) 16 E) 18

    2. Calcular la suma de ngulos interiores de unpentgono.

    A) 2340 B) 2400 C) 2500D) 2350 E) 2600

    3. Cuntos lados tiene el polgono cuya suma delas medidas de sus ngulos interiores es 900.A) 11 B) 10 C) 9D) 8 E) 7

    4. Cuntos lados tiene el polgono regular si cadangulo interno mide 140.A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

    5. Un ngulo interno de un polgono regular mide150. Cmo se llama este polgono?.A) decgono B) dodecgonoC) exgono D) pentgono

    E) heptgono

    6. Un ngulo externo de un polgono regular mide15. Cuntos lados tiene el polgono?

    A) 24 B) 25 C) 26D) 27 E) 28

    7. Cul es el nmero de diagonales que puedentrazarse en un octgono regular?

    A) 16 B) 40 C) 15

    D) 20 E) 10

    8. Un ngulo externo de un polgono regular mide40. Cuntos lados tiene este polgono?

    A) 10 B) 9 C) 8D) 7 E) 6

    9. Cuntas diagonales pueden trazarse en undecgono regular?

    A) 25 B) 30 C) 34D) 35 E) 40

    10. La suma de las medidas de los ngulosinteriores con la de los exteriores es 900.Cuntos lados tiene el polgono?A) 6 B) 5 C) 7D) 8 E) 9

    TAREA DOMICILIARIA N 11

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    55/105

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    55

    1. Calcular la suma del ngulo interno de undodecgono regular.

    A) 1860 B) 1810 C) 1800D) 1500 E) 1650

    2. Calcular el nmero total de diagonales de unendecgono regular.A) 40 B) 44 C) 50D) 30 E) 45

    3. Calcular la medida del ngulo exterior de unpentgono regular.

    A) 50 B) 60 C) 70D) 72 E) 80

    4. Cuntos lados tiene aquel polgono regular en elque su nmero total de diagonales es igual a ocho

    veces su nmero de vrtices.

    A) 10 B) 12 C) 11D) 19 E) 15

    5. Calcular el nmero de lados de un polgono regularconvexo en el cual la diferencia entre el nmerototal de diagonales y su nmero de lados es 25:A) 12 B) 15 C) 8D) 9 E) 10

    6. Un ngulo externo de un polgono regular mide 15.Cuntos lados tiene el polgono?A) 24 B) 25 C) 26

    D) 27 E) 28

    TALLER DE APRENDIZAJE N 11

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    56

    CUADRILATERO

    Definicin.-Es aquel polgono de cuatro lados.

    Cuadriltero Convexo

    En la figura observamos:Lados Opuestos: y ; yngulos Opuestos: BAD y m BCD;

    ABC y ADC.Diagonales: y

    Adems:

    CUADRILTERO NO CONVEXO

    En la figura observamos:Lados opuestos: y ; yDiagonales: y

    Adems:

    TRAPECIO.- Es aquel cuadriltero que tiene 2 ladosopuestos paralelos llamados bases y los otros 2 ladosopuestos no paralelos llamados laterales.

    En la figura observamos que si entonces:

    Bases:

    Lateral:Altura :Base Media:

    Segmento: Que une puntos medios: de Diagonales

    TIPOS DE TRAPECIOSSegn la longitud de sus lados laterales

    Trapecio Escaleno.- Es aquel trapecio cuyaslongitudes de sus lados laterales son diferentes.

    Trapecio Isosceles.- Es aquel trapecio cuyaslongitudes de sus lados laterales son iguales.

    Si: y; m BAD= m CDA;

    m ABC= m BCD y

    Es Issceles

    TRAPECIO RECTNGULO.- Es aquel trapecioescaleno donde un lado lateral es perpendicular a lasbases.

    PROPIEDADES EN TRAPECIOS

    01. En todo trapecio la base media es paralela a lasbases y su longitud es igual a la semisuma de susbases.

    02. En todo trapecio el segmento que une los puntosmedios de sus diagonales es paralelo a sus basesy su longitud es igual a la semidiferencia de

    dichas bases.

    Si:

    B

    C

    DA

    AB CD BC AD

    AC BD

    360

    B

    A C

    D

    AB CD BC AD

    BD AC

    w

    B C

    A H D

    M

    a

    a

    NP Q

    b

    b

    BC //AD

    BC y AD

    AB y CD

    BH

    MN

    PQ

    B C

    A D

    BC // AD y

    AB CD

    es escalenoABCD

    Si:

    B C

    A D

    BC//AD AB CD

    AC BD

    ABCD:

    B C

    A D

    BC // AD y

    AB BC y AB AD

    ABCD es rectngulo

    Si:

    B C

    A D

    M N

    a

    x

    b

    d

    d

    a bx

    2

    B Cb

    xP Q

    A Da

    a bPQ //BC x

    2

    GEOMETRA.

    CUADRILATEROS

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    57/105

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    57

    1. En el trapecio ABCD. Calcular x. Si:

    2. En el grfico. Si: , M y N son puntos medios

    de . Calcular MN. Si BC=8 y AD=12.

    3. En el trapecio ABCD. Si: AB=CD. Calcular x. y.

    4. En el grfico y AB=a+5, CD=17-a.Calcular la mediana del trapecio.

    5. Segn el grfico. Calcular x. Si AM=MB y CN=ND.Si BC=x, MN=6 y AD=5.

    6. Si M y N son puntos medios de y .Calcular MN. BC=b y AD=b+12

    7. Segn el grfico. Calcular x. Si:

    8. Calcular la mediana del trapecio ABCD. Si BC=6;AB=6 y CD=8. Adems:

    BC //AD

    B C

    A D

    6x

    4x

    BC //AD

    AB y CD

    B C

    M N

    A D

    a

    a b

    b

    BC //AD

    B C

    A D

    70 2x

    AB//CD

    B

    C

    A

    D

    QP

    b

    b

    c

    c

    B C

    A D

    M N

    x

    AC BD

    B C

    M N

    A D

    AB //CD

    B

    C

    A

    D

    1 2

    x

    M N1 6

    a

    a

    b

    b

    BC// AD

    B

    C

    A R D

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 12

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    58

    9. En el trapecio issceles. La m A=2x+10; la mB=4x-50. Calcular la m B. Si:

    10. Del grfico BC=4 y CD=12. Calcular la medianaMN.

    11. Calcular la mediana del trapecio. Si AB=9 y BC=8.

    12. Las bases y la mediana de un trapecio suman 66.Calcular la mediana.

    13. Si el segmento que une los puntos medios de lasdiagonales mide 6 y la base mayor de dichocuadrilatero mide 18. Calcular la medida de labase mayor.

    BC //AD

    B C

    A D

    B C

    A D

    M N

    60

    B C

    A D

    37

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    59/105

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    59

    1. En el trapecio ABCD. Calcular x: Si .

    A) 20 B) 10 C) 15D) 25 E) 30

    2. En el trapecio ABCD. .Si AB=CD.Calcular: x.

    A) 40 B) 35 C) 50D) 60 E) 70

    3. Del grfico. Calcular la mediana x.Si: y a+b=10.

    A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

    4. Del grfico: . DC=8; AB=6. Calcular x:

    A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

    5. Del grfico. Calcular: x. Si : .

    A) 12 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

    6. Calcular la mediana del trapecio ABCD. Si: BC=6y AD=14. .

    A) 8 B) 11 C) 10D) 9 E) 12

    7. Del grfico. Calcular la mediana x y

    A) 7

    B) 8C) 9D) 10E) 11

    8. Del grfico. Calcular x en el trapecio.Si

    A) 18 B) 19 C) 20D) 28 E) 30

    9. Las bases y la mediana de un trapecio suman 30.Calcular la mediana.A) 15 B) 20 C) 10D) 5 E) 25

    10. Si el segmento que une los puntos medios de lasdiagonales de un trapecio mide 5, la base mayormide 20. Calcular la medida de la base menor.A) 9 B) 10 C) 15D) 12 E) 5

    BC //AD

    B C

    DA

    6x

    12 x

    BC //AD

    B C

    DA

    70 2x

    BC //ADB C

    DA b

    a

    x

    AB//CDBA

    CD

    x

    BC //AD

    BC //AD

    B C

    DA

    BC// AD

    BC // AD

    B

    C

    A x D

    8 10

    TAREA DOMICILIARIA N 12

    B

    x

    C

    A D

    2 0 + a

    5 0 + a

    B C

    DA 12

    6

    xM N

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    60/105

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    60

    1. Del grfico. Calcular: x (mediana). Si .

    A) 15 B) 20 C) 30D) 40 E) 10

    2. Del grfico. Calcular: x.Si: . = Mediana.

    A) 12 B) 10 C) 9D) 8 E) 7

    3. En el grfico. Calcular: x.Si: y AB=CD.

    A) 20 B) 15 C) 30D) 40 E) 10

    4. En el grfico. Calcular : x. Si: .

    A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

    5. Calcule x. Si:

    A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

    6. Calcular la mediana del trapecio ABCD. Si: BC=6y AD=14. .

    A) 8 B) 11 C) 10D) 9 E) 12

    BC //AD

    B C

    DA 20

    10

    x

    AD//BC

    MN

    B C

    A D

    M N

    8

    9

    x

    BC //AD

    B C

    DA

    4x 60

    BC //AD

    B C

    A D

    x

    12

    20

    AB //CD

    BC //AD

    B C

    DA

    TALLER DE APRENDIZAJE N 12

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    61/105

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    61

    PARALELOGRAMO:

    Es aquel cuadriltero convexo que tiene sus lados opuestos paralelos de igual longitud.

    Lados opuestos paralelos de igual longitud (AB=CD y BC=AD). Los ngulos opuestos son de igual medida (m BAD=m BCD=a y m ABC=m ADC =b)

    Dos ngulos consecutivos son suplementarios (m BAD + m ABC=180) y (m ABC+ m BCD=180).

    Las diagonales se intersecan en su punto medio (AO=OC y BO=OD).

    CLASIFICACIN DE PARALELOGRAMOS:

    ROMBOIDE.-

    Si:

    AB = CD = m BC=AD=b

    m A=m C=a; m B=m D=b a + b = 180

    AO =OC = BO=OD=n

    ABCD: es romboide

    ROMBO.-

    AB=BC=CD=AD=m

    y son bisectrices

    AO= OC= BO = OD=n

    + = 90

    B C

    A D

    b

    b

    a O a

    AC BD

    AC BD

    GEOMETRA.

    CUADRILATEROS I

    B Cb

    A Db

    m m

    n

    n

    O

    B

    D

    A C

    m m

    n

    o

    nm

    m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    62/105

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    62

    RECTNGULO

    AB=CD=n BC=AD=m

    m ABD=m BDC= m BAC=m ACD=.

    m CBD=m BDA= m BCA=m CAD=

    m A=m B=m C=m D=90

    + = 90

    AO = OC = BO = OD =

    CUADRADO.-

    AB=BC=CD=AD=m y son bisectrices

    m A=m B=m C=m D=90

    m BAC=m CAD=45

    m ABD=m DBC=45

    m BCA=ACD=45

    m CDB=m BDA=45

    AO=OC=BO=OD=

    B C

    DmA

    m

    n n

    O

    AC BD

    AC BD

    B C

    A D

    m

    m

    m

    m

    45

    45

    45

    45

    45

    45

    45

    45

    O

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    63/105

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    63

    1. Si: ABCD es un paralelogramo. Calcular : x.

    Rpta.: .......................................................

    2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    3. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    5. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    7. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    8. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    B C

    A D

    5x

    B C

    DA

    x

    40

    A D

    B C

    120

    x

    AD

    B C

    4x

    100

    B C

    D

    10

    3x

    A

    M

    BC

    A D

    x

    12

    6P

    B C

    A D

    x

    4

    3

    x

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 13

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    64/105

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    64

    1. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 10 B) 15 C) 5D) 20 E) 30

    2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 120 B) 130 C) 140D) 60 E) 100

    3. Si: ABCD: Paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 60

    4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 7 B) 9 C) 8D) 12 E) 6

    5. En el paralogramo ABCD. Calcular : x.

    A) 20 B) 16 C) 8D) 12 E) 24

    6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

    7. En el paralelogramo ABCD. Calcular su permetro.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 25 E) 50

    8. En el paralelogramo ABCD. Su permetro es 150.Calcular: x.

    A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

    B C

    A D

    x

    10

    B C

    A D

    x

    60

    5x

    30

    B C

    A D

    12

    x 4

    B C

    A D

    x

    8

    B C

    A D

    x

    12

    3

    B C

    A D

    5

    B C

    A D4x

    x

    TAREA DOMICILIARIA N 13

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    65/105

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    65

    1. En el paralelogramo. Calcular: x.

    A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 1

    2. Del grfico. Calcular: x.

    A) 80 B) 70 C) 60D) 50 E) 20

    3. Del grfico. Calcular: BD.

    A) 14 B) 12 C) 16D) 18 E) 20

    4. En el paralelogramo. Calcular su permetro.

    A) 40 B) 50 C) 60D) 30 E) 20

    5. Del grfico. Calcular: x. Si BD + AC= .

    A) 8 B) 6 C) 5D) 4 E) 1

    6. En un paralelogramo, un lado es el doble del otro.Si su permetro es 36. Calcular la medida del ladomenor.

    B C

    A D

    5

    9

    x

    B C

    A D

    x

    110

    B

    A C

    D

    37

    10

    B C

    A D4

    12

    8 2

    45

    B C

    A Dx

    TALLER DE APRENDIZAJE N 13

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    66/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria

    66

    1. Si: ABCD es un paralelogramo. Calcular : x.

    Rpta.: .......................................................

    2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    3. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    5. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    B C

    A D

    5x

    B C

    DA

    x

    40

    A D

    B C

    120

    x

    AD

    B C

    4x

    100

    B C

    D

    10

    3x

    A

    M

    BC

    A D

    x

    12

    6P

    GEOMETRA.

    PARALELOGRAMO

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 14

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    67

    7. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    8. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    9. Si el permetro del paralelogramo ABCD es 200m.Calcular : x.

    Rpta.: .......................................................

    10. Calcular el permetro del romboide: A B C D.

    Rpta.: .......................................................

    11. En la figura. Calcular: x. Si ABCD es unrectngulo y CDE es un tringulo equiltero.

    Rpta.: .......................................................

    B C

    A D

    x

    4

    3

    x

    B C

    A D

    3x

    x

    10

    A D

    B C

    B C

    AD

    E

    x

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

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    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

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    68

    1. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 10 B) 15 C) 5D) 20 E) 30

    2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 120 B) 130 C) 140D) 60 E) 100

    3. Si: ABCD: Paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 60

    4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 7 B) 9 C) 8D) 12 E) 6

    5. En el paralogramo ABCD. Calcular : x.

    A) 20 B) 16 C) 8D) 12 E) 24

    6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.

    A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

    7. En el paralelogramo ABCD. Calcular su permetro.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 25 E) 50

    8. En el paralelogramo ABCD. Su permetro es 150.Calcular: x.

    A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

    B C

    A D

    x

    10

    B C

    A D

    x

    60

    5x

    30

    B C

    A D

    12

    x 4

    B C

    A D

    x

    8

    B C

    A D

    x

    12

    3

    B C

    A D

    5

    B C

    A D4x

    x

    TAREA DOMICILIARIA N 14

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    69/105

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    69

    1. En el paralelogramo. Calcular: x.

    A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 1

    2. Del grfico. Calcular: x.

    A) 80 B) 70 C) 60

    D) 50 E) 20

    3. Del grfico. Calcular: BD.

    A) 14 B) 12 C) 16D) 18 E) 20

    4. En el paralelogramo. Calcular su permetro.

    A) 40 B) 50 C) 60D) 30 E) 20

    5. Del grfico. Calcular: x. Si BD + AC= .

    A) 8 B) 6 C) 5D) 4 E) 1

    6. En un paralelogramo, un lado es el doble del otro.Si su permetro es 36. Calcular la medida del ladomenor.

    B C

    A D

    5

    9

    x

    B C

    A D

    x

    110

    B

    A C

    D

    37

    10

    B C

    A D4

    12

    8 2

    45

    B C

    A Dx

    TALLER DE APRENDIZAJE N 14

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    1. En el trapecio . Calcular MN. Si :Mediana. Si BC=5 y AD=13.

    Rpta.: .......................................................

    2. En el trapecio . Calcular: BC.Si: : mediana. Adems: AD=20 y EF=14.

    Rpta.: .......................................................

    3. En el trapecio . Calcular MN. Si M y Nson puntos medios de . Adems: BC=8y AD=20.

    Rpta.: .......................................................

    4. En el grafico: . Calcular BC. Si M y Nson puntos medios de . Adems:MN=3, AD=21.

    Rpta.: .......................................................

    5. En el cuadriltero: Calcular x.

    Rpta.: .......................................................

    6. Del paralelogramo. Calcular: BC.

    Rpta.: .......................................................

    BC// AD MN

    B C

    M N

    A D

    BC //AD

    EFB C

    E F

    A D

    BC// AD

    AC y BD

    B C

    M N

    A D

    BC//AD

    AC y BD

    B C

    M N

    A D

    40

    x

    B C

    A D

    B C

    A D

    5

    GEOMETRA.

    PROBLEMAS SOBRE CUADRILTEROS

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 15

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    71/105

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    71

    7. Del cuadrado: ABCD. Calcular BD. Si BC=8.

    Rpta.: .......................................................

    8. En el trapecio: . Adems: AB = CD.Calcular: x.

    Rpta.: .......................................................

    9. En el trapecio: . Calcular CD. SiAB=4.

    Rpta.: .......................................................

    10. En el paralelogramo. Calcular ED. Si AB=5 yBC=12.

    Rpta.: .......................................................

    B

    A

    C

    D

    BC//AD

    B C

    A D

    4x 80

    BC//AD

    B C

    A D

    53

    B C

    A DE x

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    72/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

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    72

    1. Calcular la medida de la mediana de untrapecio si la base mayor mide 18u y la base

    menor mide 6.A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 15

    2. Calcular la medida de la mediana de untrapecio si la base mayor mide a+20 y la basemenor mide 12-a.A) 16 B) 17 C) 18D) 19 E) 20

    3. Calcular la medida del segmento que une lospuntos medios de en el trapecio ABCD donde

    . Adems: BC=18 y AD=24.A) 4 B) 2 C) 3D) 5 E) 6

    4. En el cuadriltero. ABCD. Calcular AB siBD=12.

    A) B) C) 4D) 6 E) 8

    5. En el paralelogramo ABCD. Calcular: ED. SiBC=10 y AB=6.

    A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

    6. En el cuadrado. ABCD. Calcular supermetro. Si : .

    A) 40 B) 48 C) 50D) 24 E) 64

    7. Del cuadriltero. Calcular : x. Si:

    A) 20 B) 5 C) 25D) 10 E) 15

    8. Del paralelogramo. Calcular: x.

    A) 30 B) 20 C) 10D) 15 E) 40

    9. Calcular el permetro de un paralelogramocuyos lados no paralelos miden 5 y 10.

    A) 20 B) 15 C) 40D) 30 E) 45

    10. En un paralelogramo la medida de un lado esel cudruple de la medida del otro; si supermetro es 100. Calcular la medida del ladomayor.

    A) 30 B) 40 C) 20D) 10 E) 15

    BC//AD

    B C

    A D

    60

    4 3 6 3

    B C

    A DE

    AC 12 2

    B C

    A D

    BC //AD

    B C

    A D

    1 3 0

    5x

    B C

    A D

    4x

    80

    TAREA DOMICILIARIA N 15

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    73/105

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    73

    si las bases mayor y menor miden: 20 y 40respectivamente.

    A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 10

    2. Calcular la medida del segmento que une lospuntos medios de las diagonales ; en el

    trapecio ABCD, donde . Adems:BC=4 y AD=8.A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) 2

    3. En el rectngulo ABCD. Calcular AB. SiBD=20

    A) 16 B) 12 C) 14D) 13 E) 10

    4. Calcular el permetro de un paralelogramo enel cual los lados no paralelos miden 3 y 7

    respectivamente.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 14 E) 18

    5. En el trapecio issceles. Calcular m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    74/105

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    74

    Definicin.-

    Es el conjunto de todos los puntos de un planoque equidistan de un punto llamado centro. A ladistancia de estos puntos al centro se denominaradio de la circunferencia.

    En la figura observamos una circunferencia decentro 0 y radio R.

    Entonces:

    Si Qes un punto interior a la circunferenciaOQR.

    Si Pes un punto de la circunferencia OP=R.

    LNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA

    Cuerda :

    Dimetro :

    Flecha o sagita :

    Recta Tangente :

    Recta Secante :

    Arco :

    T : Es el punto de tangencia

    Crculo.

    Es la porcin de plano limitado por la

    circunferencia.El permetro del crculo es igual a la longitud de lacircunferencia.

    : Longitud de la circunferenciaR : Radio de la circunferencia

    La medida angular de una circunferencia es igual a360.

    ngulos Asociados a la Circunferencia.ngulo Central

    ngulo Inscrito

    R

    P

    Q

    o

    S

    R R

    R

    A B

    C

    DE

    F

    M

    N

    T

    L S

    LTO

    CD

    AB

    EF

    TL

    S

    L

    MN

    L = 2 R

    L

    B

    A

    R

    o

    Se cumple:

    = AB

    A

    B

    Se cumple:

    AB

    2

    GEOMETRA.

    PROBLEMAS SOBRE CUADRILTEROS

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    75/105

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    75

    ngulo SemiInscrito

    ngulo Ex-inscrito

    ngulo Interior

    ngulo Exterior

    A)

    B)

    C)

    PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN LACIRCUNFERENCIA.

    01.

    02.

    B

    A

    Se cumple:

    AB

    2

    A

    B

    C

    Se cumple:

    AB + BC

    2

    B

    A

    D

    C

    Se cumple:

    AB + CD

    2

    A

    B

    C

    Se cumple:

    AB - ACB

    2

    Adems

    + ACB= 180

    A

    BC

    Se cumple:

    AB - AC

    2

    A

    B

    C

    D

    Se cumple:

    AB - CD

    2

    PR

    o

    LT

    Si: R: Rad io

    LT: Recta Tangente

    R LT

    N

    M

    A

    B

    PO

    AP = PB

    AN = NB

    AM = MB

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    76/105

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    76

    1. Del grfico. Calcular: x. Si: 0 es centro.

    2. Del grfico. Calcular x. Si 0es centro.

    3. Del grfico. Calcular x.

    4. Del grfico. Calcular: x.

    5. Calcular: x. Si: y .

    6. Del grfico. Calcular: Si

    .

    7. Del grfico: y .Calcular. X

    8. Del grfico. Calcular. Si

    9. En la circunferencia. Calcular:

    10. Del grfico. Si .

    Calcular: x.

    0 40

    X

    0 80

    X

    80 x

    A

    B

    x30

    mAB= 40 mCD= 60

    A

    C

    D

    B

    x

    mAD

    mBC = 100

    A

    C

    B

    40

    D

    mAD = 60 mBC = 30

    A

    C

    D

    B

    x

    mAD mBC= 20

    A

    C

    D

    B

    60 x E

    40

    C

    D

    A

    B

    mAB= mAC mAB= 100

    xA

    C

    B

    PROBLEMAS PARA LA CLASE N 16

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    77/105

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    77

    1. Si 0 es centro. Calcular:

    A) 70 B) 80 C) 90D) 100 E) 120

    2. Del grfico. Calcular .

    A) 40 B) 52 C) 30D) 26 E) 13

    3. Del grfico. . Calcular: x.

    A) 40 B) 30 C) 50D) 60 E) 70

    4. Del grfico y . Calcular:x.

    A) 30 B) 40 C) 60D) 50 E) 20

    5. Del grfico: y .Calcular: x.

    A) 70 B) 80 C) 100D) 90 E) 60

    6. Del grfico; y Calcular:x.

    A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 55

    7. Del grfico. Calcular: . Si:

    A) 60 B) 40 C) 10D) 20 E) 30

    8. Si: 0 es el centro. Calcular el dimetro. Sir=8.

    A) 12 B) 22 C) 22D) 18 E) 16

    9. Del grfico. Calcular: x.

    A) 60 B) 50 C) 40D) 30 E) 70

    10. Si r=4. Calcular el permetro de lacircunferencia. 0=centro.

    A) 8 B) 12 C) 4D) 6 E) 10

    mABA

    B

    0 70

    52

    B

    C

    A

    mAB= 120

    2xA

    B

    C

    mAB= 40 mDC= 60

    A B

    D C

    x

    mAB= 8 0 mDC= 1 0 0

    A B

    D C

    x

    mAB= 80 m C D = 2 0

    A

    B

    C

    D

    x

    mAB m C D = 2 0

    A

    B

    C

    D

    10

    r

    0

    30

    x

    A

    C

    D

    B

    o r

    TAREA DOMICILIARIA N 16

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    78/105

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    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    78

    1. Si O es centro. Calcular: x.

    A) 100 B) 120 C) 130D) 140 E) 150

    2. Del grfico. Calcular: x.

    A) 60 B) 70 C) 80

    D) 90 E) 100

    3. Del grfico la; , Calcular:x.

    A) 20 B) 30 C) 40D) 60 E) 50

    4. Del grfico. y .Calcular: x.

    A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

    5. Del grfico. . Si m

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    79/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    79

    BARICENTRO.- Es el punto de concurrencia delas tres medianas de un tringulo. Adems dichopunto determina en la mediana dos segmentos queestn en la relacin de 2 a 1.

    Si: G: es baricentro

    INCENTRO.-

    Es el punto de concurrencia de las tres bisectricesinteriores de un tringulo.

    Adems dicho punto ser el centro de lacircunferencia inscrita al tringulo y equidista conlos lados del tringulo.

    Si: I es incentro

    Adems:

    PROPIEDAD:

    EXCENTRO.-Es el punto de concurrencia de dos bisectricesexteriores y una bisectriz interior del tercer ngulo.

    Todo tringulo tiene tres excentros adems, dichopunto ser el centro de la circunferencia ex-inscritaal tringulo y equidista de los lados.

    Si: E: ExcentroE : Centro de la CircunferenciaAdems:

    PROPIEDAD.-

    01. 02.

    B

    C

    a

    a

    m

    2m2n

    c

    M N

    bb

    l

    2 l

    G n

    LA

    c

    BG 2 AG 2 CG 2; ;

    GL 1 GN 1 GM 1

    A C

    B

    I

    A C

    B

    M N

    rr

    r

    I

    L

    I : Centro de la Circunferencia

    IL : IM = IN = r

    I

    x x 902

    E2

    E1B

    A

    E3

    C

    A

    C

    N

    B

    E

    R

    R

    R

    L

    M

    EN EM EL R

    x

    E

    x

    E

    x 902

    x

    2

    GEOMETRA.

    PUNTOS NOTABLES

  • 7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)

    80/105

    I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra

    Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria

    80

    Es el punto de concurrencia de las tres alturas enun tringulo.En un acutngulo, su ortocentro se encuentra en elinterior del tringulo.Si DABC es acutngulo y H es ortocentro.

    En un tringulo rectngulo su ortocentro seencuentra en el vrtice del ngulo recto.

    En un tringulo obtusngulo su ortocentro seencuentra en el vrtice del ngulo recto.

    CIRCUNCENTRO.- Es el punto de concurrenciade las mediatrices en un tringulo.En un tringulo acutngulo el circuncentro seencontrara en el interior del tringulo siendo dichopunto el centro de la circunferencia circunscrita altringulo y dicho punto equidista de sus vrtices.

    Si: DABC es acutnguloy Oes circuncentro

    Adems:

    En un tringulo rectngulo el circuncentro seencontrar en el punto medio de la hipotenusa,siendo dicho punto el centro de la circunferenciacircunscrita al tringulo y dicho punto equidista desus vrtices.

    Si ABC es rectnguloy Oes circuncentro

    Adems:

    En un tringulo obtusngulo el circuncentro seencontrar en el exterior relativo al lado que seopone al ngulo obtuso del tringulo siendo dichopunto el centro de la circunferencia circunscrita altringulo y dicho punto equidista de sus vrtices.

    Si es obtusnguloy Oes circuncentro

    O es un punto exterior relativo al lado que seopone al ngulo obtuso.

    Adems:

    ACL

    M

    B

    N

    H

    "H" al interior del triangulo

    CA L

    B

    Si: ABC es rectngulo

    y B: es ortocen tro

    B es en vrtice

    de l ngulo recto

    C

    B

    L

    M

    A

    N

    H

    Si: ABC es obtusngulo

    y H es ortocentro

    "H " al exterior del triangulo relativo a