Geometria 1ro Ok (1)
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7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra
Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
1
Euclides sola decir que una recta era aquella figura que respecto de cualquier de sus puntos, se encontrabaigualmente dispuesta. Hoy se nos ha hecho natural usar a esta figura para hablar de direccin. As por ejemplorelacionamos a la vertical, a la horizontal y a la oblicua con rectas. Adems pensamos que la recta estformada por un nmero muy grande de puntos, infinitos puntos.
NOTACION:SE LEE Recta L
En algunas ocasiones es conveniente usar una notacin que indique dos de los puntos por los que pasala recta, as en el grfico la recta pasa, contiene o est determinada por los puntos A y B
NOTACIN:SE LEE Recta AB
RAYOComo la recta est formada por infinitos puntos, siempre es posible ubicar al menos uno de sus puntos, as larecta puede considerarse en dos partes, una formada por el conjunto de todos los puntos ubicados antes delpunto mencionado y la segunda por todos los puntos ubicados despus del punto mencionado, a cualquiera deestas partes con el punto mencionado, como origen, se le denomina rayo
NOTACIN:SE LEE Rayo PAP: Origen del Rayo
SEGMENTO DE RECTA
Si en una lnea resta ubicamos dos puntos, entre ellos queda comprendido una porcin de recta. Esta porcinde la recta se define como segmento de recta y cuyos extremos son los puntos ubicados inicialmente.
NOTACION SE LEE: SEGMENTO AB A, B: Extremos del segmento
L
L
A B
AB
P
A
P
P
B
PA
A B
AB
GEOMETRA.
LNEA RECTA.
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I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra
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Como el segmento tiene un lugar donde inicia y otro donde termina, es posible medirlo. Para medir un segmentose usan reglas graduadas y sobre el grfico mismo se puede indicar su longitud, de no conocer su medida,entonces se ve conveniente que dicha medida quede simbolizada por una letra minscula, para cuando seanecesario realizar operaciones.
NOTACIN: ABSE LEE: Longitud del segmento AB
Se puede escribir AB = a
en el grfico la longitud del segmento CD es el doble de la longitud del segmento AB, es decir se puedeplantear: CD = 2 AB.
Medir es un proceso de comparacin, es as que usaremos la regla graduada y
cada vez que tengamos que calcular la longitud de un segmento lo compararemoscon la regla y el nmero de divisiones que en ella representa.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOEn todo segmento siempre se puede encontrar un punto que le pertenece y que determina en el dos partes,dos segmentos que tienen igual longitud. A dicho punto se le define como punto medio
Si M es punto medio del segmento AB, se puede plantear que AM = MB
OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE LOS SEGMENTOSMedir es el resultado de comparar objetos de la misma naturaleza, as por ejemplo para afirmar que unlapicero es grande o pequeo, debemos de compararlo con otro lapicero, en este proceso de comparacin esconveniente ubicarlos de modo tal que se aprecie la relacin de sus tamaos.
A B
15cm El segmen to de l grfico tiene po r longitud 1 5cm. locual lo indicamo s en la misma figura, tal y com o se
muestra.
A B
aDel segundo no se conoce su longitud, entonces
usamos la letra a, para poder operar con su
longitud cuando sea n ecesario.
A B
a
C D
2a
A BM
1 2
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1. En una recta se ubican los puntos colineales A,B, C, D. Tal que: AB=3; BC=7 y CD=9.Calcular: AD
Rpta.: .......................................................
2. Sobre una recta se ubican los puntoscolineales A, B, C, D, tal que AB=5; CD=12. SiAD=20. Calcular BC.
Rpta.: .......................................................
3. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D; tal que AC + BC = 20;BC=5.Calcular: ADRpta.: .......................................................
4. Sobre una recta se toman los puntos colineales
A, B, C, D; tal que AB = BC = CD=a.Si: AD= 18. Calcular BC.
Rpta.: .......................................................
5. Sobre una recta se toman los puntos colinealesA, B, C; tal que AB= 2(BC). Si AC= 15.Calcular AB.
Rpta.: .......................................................
6. Si ubican sobre una recta los puntos colinealesA, B, C, D tal que: BC = CD. Si AB + CD = 30.Calcular AD.
Rpta.: .......................................................
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 01
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7. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C, D. Tal que: AB = 10; BC=3; CD; 8.Calcular la distancia entre los puntos medios
de y ; siendo M y N puntos medios
de y ,
Rpta.: .......................................................
8. En una recta se ubican los puntos colineales A,B, C y D. de manera que AB=4a; BC=5 yCD=2a. Calcular la distancia entre los puntosmedios de y , siendo P y Q puntos
medios de y respectivamente.Adems: AD=17.
Rpta.: .......................................................
9. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C, D, tal que AB=3; BC=(CD); AD=12.Calcular: AC.
Rpta.: .......................................................
10. Si una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D de manera que C es punto mediode y B punto medio de . Si AD=16.
Calcular AB.
Rpta.: .......................................................
11. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D
de manera que C es punto medio de y BD- AB = 20. Calcular BC.
Rpta.: .......................................................
12. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D. Tal que: AD=20 yCD=8. Calcular BC. Si AB = 3(BC)
Rpta.: .......................................................
AB C D
AB C D
A B C D
A B C D
AD AC
AD
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1. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D de manera que AB=3; BC= 10 yCD=7. Calcular AD.A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24
2. Sobre una recta; se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D. Tal que AC + BC =30 y BC=12. Calcular AD.A) 13 B) 14 C) 16
D) 15 E) 18
3. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D tal que AB = BC = CD+ 4. Si AD=34. Calcular: BC.A) 10 B) 12 C) 14D) 30 E) 40
4. Se toman los puntos consecutivos A, B, C y Dtal que AB = BC = 2(CD). Si AD = 16.Calcular AB.A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 10
5. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D. Tal que M y N son puntos medios
de y . Calcular la distancia entre los
puntos medios ya mencionados. Adems: AB=6, BC=10 y CD=8A) 14 B) 17 C) 15D) 18 E) 19
6. En una recta se ubica los puntos colineales A,
B, C y D tal que C es punto medio de y Bes punto medio de .
Calcular AB. Si AD=12.A) 4 B) 3 C) 5D) 6 E) 7
7. En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D. Tal que C punto medio de y
BD-AB=28. Calcular BC.A) 14 B) 15 C) 20
D) 18 E) 16
8. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D. Tal que AB= 8 y AD=12. Si:
Calcular BC.A) 2 B) 1 C) 3
D) 4 E) 5
9. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D.
Tal que B es punto medio de y AD +
CD=12. Calcular BD.A) 5 B) 4 C) 8D) 7 E) 6
10. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D demodo que AC + BD = 28. Calcular la medida
de segmento que une los puntos medios
y
A) 10 B) 14 C) 18
D) 19 E) 15
AB CD
AD
AC
AD
B C 1
C D 3
AC
AB
C D
TAREA DOMICILIARIA N 01
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1. En una recta se marcan los puntosconsecutivos A, B, y C de manera que 2AB
=3BC y AC=50. Hallar AB.
2. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D de manera que AC=12, BD= 15 yAD=19. Hallar BC.
3. En la recta se ubican los puntos A, B y C de
manera que E es punto de , EC=15 yAC=18. Hallar BC.
4. En una recta se ubican los puntos A, B, C y Dde manera que 2BC=5CD= 7AB y AD=28.Hallar BC.
5. En una recta se ubican los puntos A, B y C demanera que AC=18 y BC - AB =10. Hallar AB.
6. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D. Tal que: AD=20 yCD=8. Calcular BC. Si AB = 3(BC)AB
TALLER DE APRENDIZAJE N 01
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Cuando dos figuras tales como los rayos se juntan, unindolos por su origen, de tal forma que estos dos rayos
no formen una recta, entonces estos rayos han formado la figura geomtrica conocida como ngulo.
BISECTRIZ DE UN NGULO
En todo ngulo, por su vrtice se pueden trazar infinitos rayos, pero uno de ellos determina en el ngulo, dos
ngulos parciales de igual medida. A dicho rayo se le denomina bisectriz.
CLASIFICACIN DE NGULOS
1. Segn su medida
Atendiendo a los valores que puede tomar la medida de un ngulo, el ngulo se clasifica en:
AGUDO RECTO OBTUSOEs aquel cuya medida es mayor Es aquel cuya medida Es aquel cuya medida es mayor
que 0 y menor que 90 es igual a 90 que 90 y menor que 180
0 < b < 90 b = 90 90 < b < 180
A
B
o
B
P
A
o
GEOMETRA.
NGULOS
NOTACIN
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- Segn las posiciones relativas de sus lados
De acuerdo a su disposicin en el plano, los ngulos se clasifican en:
ADYACENTES CONSECUTIVOS OPUESTOS POR EL VRTICE
Son aquellos que tienen un Son tres o ms ngulos si Un ngulo se denomina opuesto por
lado comn y estn situados cada uno de ellos es adyacente el vrtice de otro, si sus lados son las
a distintos lados del lado con su anterior. prolongaciones opuestas de los lados
comn. del otro ngulo.
NGULOS COMPLEMENTARIOS
Se define as a dos ngulos cuyas medidas suman 90. De estos dos ngulos se dice que uno es el
complemento del otro.
NGULOS SUPLEMENTARIOS
Se definen as a dos ngulos cuyas medidas suman 180. De estos dos ngulos se dice que uno es el
suplemento del otro.
o
A
B
C
A
B
C
D
O
A B
C D
O
AB
O
C
DP
En la figura e l ngulo AOB y el ngulo
CPD sern complementarios, si se
cumple que: + = 90.
En ese caso:
el complemento es : C
el complemento es
C Se lee: Complemento de
=
: C =
:
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Observacin
1. Cuando un conjunto de ngulos se agrupan de manera que estn a un mismo lado de una recta, las medidas
de todos ellos suman 180
2. Cuando un conjunto de ngulos se agrupa de manera que estn entorno a un punto, la suma de las medidas
de todos ellos suman 360.
C
P D
A
O
B
En la figura el ngulo AOB y el
ngu lo CP D sern suplemen tarios, si
se cumple que:
+ = 1 80 .
En ese caso:
el suplemento es : S =
el suplemento es : S =
S Se lee: Suplemento de
:
= 1 80
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1. Calcular el suplemento de 20
Rpta.: .......................................................
2. Calcular el complemento de 30Rpta.: .......................................................
3. En la figura. Calcular m
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1. Calcular el
A) 90 B) 70 C) 110
D) 120 E) 130
2. Calcular el suplemento del complemento delcomplemento de 20A) 180 B) 170 C) 160D) 140 E) 120
3. En la figura. Calcular m
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1. Se tienen los ngulos adyacentes AOB y BOCde manera que m
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Dos rectas se denominan paralelas si cumplen lassiguientes condiciones:i) Pertenecen a un mismo planoii) No tienen puntos comunes
NOTACIN
SE LEE es paralela a
REGIN INTERIOR A DOS PARALELAS
Es el conjunto formado por todos los puntosubicados entre los puntos de las paralelas.
RECTA TRANSVERSAL A DOS PARALELAS
Es aquella que intercepta a las paralelasdeterminando de esta forma en la regin interior,dos zonas y con cada una de ellas cuatro ngulosconsecutivos.
RELACIONES PARA LAS MEDIDAS DE LOSNGULOS DETERMINADOSNGULOS ALTERNOS
Son aquellos que estn ubicados a lados diferentesde la transversal:
Si pertenecen a la regin interior a las paralelas, sedenominan ngulos alternos internos:
, =
Si pertenecen a la regin exterior a las paralelas, sedenominan ngulos alternos externos:
NGULOS CORRESPONDIENTES
Son aquellos que ocupan posiciones similares entrelas paralelas y la transversal
NGULOS CONJUGADOS
Son aquellos que estn ubicados a un mismo ladode la Transversal:Si pertenecen a la regin interior a las paralelas, sedenominan conjugados internos.
Si pertenecen a la regin exterior a las paralelas, sedenominan conjugados externos
TEOREMAS
L 1
L 2
L1 L2
L1 L2
REGIN INTERIOR
x
L1
L2
Si: L1// L2
x
L1
L2
Si: L1// L2 = 180
GEOMETRA.
RECTAS PARALELAS
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1. En la figura:
Calcular: x
Rpta.: .......................................................
2. En la figura. . Calcular: x
Rpta.: .......................................................
3. En la figura. Calcular: x. Si:
Rpta.: .......................................................
4. En la figura. Calcular: x. Si:
Rpta.: .......................................................
5. En la figura. . Calcular: X
Rpta.: .......................................................
6. En la figura . Calcular x
Rpta.: .......................................................
L1 L2
100
L1
L2
x
L1 L2
30
L1
L2
40
x
L1 L2
L1
L2
50
80
60 40
x
L1 L2
L1
L2
120
100
x
L1 L2
10 L1
L2
20
10
x
50
L1 L2
L1
L2
30
x
50
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 03
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7. En la figura. . Calcular x
Rpta.: .......................................................
8. En la figura. Calcular: x
Rpta.: .......................................................
9. Segn el grfico. Calcular el valor de x.Si:
Rpta.: .......................................................
10. En la figura . Calcular: x
Rpta.: .......................................................
L1 L2
150
L1
L2
x
2
L1 L2
60
L1
L2
x
L1 L2
L1
L2
130
x
L1 L2
L1
L2
x
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1. En la figura. . Calcular x
A) 90 B) 80 C) 60D) 70 E) 100
2. En la figura. Calcular x
A) 40 B) 30 C) 50D) 60 E) 25
3. En la figura. Calcular: x
A) 120 B) 100 C) 110D) 130 E) 150
4. En la figura. . Calcular: x
A) 70 B) 140 C) 80D) 100 E) 110
5. En la figura. Calcular: x. Si
A) 110 B) 120 C) 100D) 130 E) 140
6. En la figura. Calcular: x. Si
A) 40 B) 30 C) 20D) 50 E) 70
7. En la figura. . Calcular: x
A) 5 B) 4 C) 3D) 6 E) 7
8. En la figura. Calcular. X Si:
A) 70 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
L1 L2
10 L1
L2
60
x
L1 L2
L1
L2
20
80
50
70
x
L1 L2
L1
L2
140
120
x
L1 L2
L1
L260
40
x
L1 L2
140
L1
L2
x
2
L1 L2
70
L1
L2
x
L1 L2
2x +92
x +182
L1
L2
L1 L2
6x
x 2x
L1
L2
TAREA DOMICILIARIA N 03
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1. En la figura . Hallar: x
2. Del grfico . Hallar: x
3. En el grfico . Hallar: x
4. Si . Hallar: x
5. Si: Hallar: x
6. En la figura. Calcular: Si: Si: x + y = 200
L1 L2
L1
L2
x
60
2x
L1 L2
L1
L2
40
x
L1 L2
L1
L2
x
x
x
L1 L2
L1
L2
40
60
x
L1 L2
L1
L2
60
x
30
x
x
L1 L2
L1
L2
x
y
TALLER DE APRENDIZAJE N 03
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Es la figura geomtrica formada al unir tres puntosno colineales mediante segmentos.
ELEMENTOS:
Notacin: ABC. Se lee tringulo ABC.
Adems: Permetro: (2p)= a + b + c
PROPIEDADES BSICAS:1. Suma de medidas de ngulos internos:
2. Suma de medidas de ngulos externos:
MEDIDAS DE LOS NGULOS ASOCIADOS ALTRINGULO
3. Calculo de medida de ngulo exterior
CLASIFICACIN:I. SEGN LA MEDIDA DE SUS NGULOS:A. Rectngulo: Cuando uno de sus ngulos esrecto:
B. Oblicungulos: No tienen ngulos rectos.
Pueden ser: Acutngulo: Si la medida de los ngulosinternos son agudos.
Obtusngulos: Si la medida de un ngulointernoes obtuso.
II. SEGN LA LONGITUD DE SUS LADOS:A. Equiltero: Sus tres lados tienen igual medida.
B. Issceles: Dos de sus lados, tienen igualmedida.
C. Escaleno: Sus tres lados son de diferentemedida.
A
B
Cb
ac
Vrtices: A, B, C
Lados : AB, BC, AC
+ + = 180
+ + w = 360
Interiores:
Exteriores:
, ,
, ,
x
+ = x
A
B
C
Donde:
AB : Cateto
BC : Cateto
AC : Hipotenu sa
CATE
TO
HIPOTENUSA
CATETO
A
B
C
0 < < 90
0 < < 90
0 < < 90
C B
A 90< < 180
A
B
Ca
a
ca
Si:
AB = BC = AC
Adems:
= 60
Pero : = 60
AB = BC = AC
A
B
C
a
a
AB = BC
Si:
AB = BC
GEOMETRA.
TRINGULOS
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1. En la figura. Calcular: x
Rpta.: .......................................................
2. En la figura. Calcular:
Rpta.: .......................................................
3. En la figura. Calcular:
Rpta.: .......................................................
4. En la figura: AC = BC. Calcular: m
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7. En la figura. Calcular m
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1. En la figura. Calcular: x
A) 9 B) 10 C) 11D) 7 E) 5
2. En la figura. Calcular: +
A) 245 B) 270 C) 200D) 240 E) 250
3. En la figura. Calcular m
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1. En la figura. PR = QR, Calcular m
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Rpta.: .......................................................
1.
En un tringulo, esta lnea notable se define como elsegmento que parte de uno de sus vrtices y llega en
forma perpendicular al lado opuesto o a su
prolongacin.
En todo tringulo obtusngulo las alturas relativas a los
lados opuestos de los ngulos agudos caern en la
prolongacin de dichos lados.
Debes saber que:
En todo tringulo rectngulo la altura relativa a un
cateto coincide con el cateto opuesto.
Al punto de concurrencia de las tres alturas de un
tringulo se le llama: ORTOCENTRO(H).
Es un tringulo, esta lnea notable se define como el
segmento que parte de un vrtice y llega al punto medio
del lado opuesto.
Al punto de concurrencia de las tres mediana de un
tringulo se le llama:
Baricentro o Centro de Gravedad (G).
A H C
B
M A C
B
BH: Altura Relativa a AC BM: Altura Relativa a AC
B
P Q
A C
0 < m A< 9 0
0 < m C< 9 0
9 0 < m B< 1 80
AP : Altura Relativa a BC
CQ : Altura Relativa a AB
A
M
CP
N
B
H
A
B
CM
N
AN : Mediana Relativa a BC
BM: Mediana Relativa a AC
B
M
GN
A P C
BG
G P =
2
1
GEOMETRA.
LNEAS NOTABLES I
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
24/105
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra
Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
24
En un tringulo, esta lnea se define para cada lado
del tringulo como la recta perpendicular a dicho
lado pasando por su punto medio.
Que la mediatriz de un segmento es la rectaperpendicular trazada por el punto medio de dichosegmento.
Al punto de concurrencia de las tres mediatrices deun tringulo se le llama CIRCUNCENTRO (O).
Definiremos bisectriz de un tringulo como la lneanotable que es parte de la bisectriz de uno de susngulos, limitado por el lado opuesto o por suprolongacin.
Dado un tringulo escaleno, la bisectriz exterior esadyacente siempre sobre el lado menor de dichotringulo.
Debes saber que:
En todo tringulo isosceles, la bisectriz exteriorrelativa al lado no congruente es paralela a ella.
Al punto de concurrencia de las tres bisectricesinteriores de un tringulo se le llama: INCENTRO(I).
Al punto de concurrencia de las bisectrices de dos
ngulos exteriores con la bisectriz del tercer ngulointerior se le llama: EXCENTRO (E).
LB
A C
L : Mediatriz de AC
A
O
C
M N
B
P
AB BC
B
A M C N
BM: Bisec triz Interior Relativa a AC
BN : Bisec triz Exterior Relativa a AC
B
A C
M
BM // AC
BM: Es la bisectriz exterior relativa a AC
B
I
A C
A C
B
E
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
25/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
25
1. En la figura. Calcular DC. Si es medianarelativo a . Si AC=10.
Rpta.: .......................................................
2. En el ABC. Calcular x. Si: : bisectriz.
Rpta.: .......................................................
3. En la figura. Calcular x
Rpta.: .......................................................
4. Si: : Mediatriz. Calcular MN. Si: AN=12.
Rpta.: .......................................................
5. En la figura. Calcular x. Si: : Bisectriz
del
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
26/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
26
7. En el grfico. Calcular . Si: Bisectriz.
Rpta.: .......................................................
8. En la figura. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
9. En la figura. Calcular: .
Rpta.: .......................................................
10. Del grfico. Calcular x. Si BC= CD.
Rpta.: .......................................................
BD
B
CDA
60 40
2x
x
2
B
C
D
A E
70
2 6
x
B
CA D
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
27
1. Si: Mediana. Calcular AC. Si DC=4.
A) 7 B) 6 C) 5D) 8 E) 9
2. En la figura. Calcular m
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra
Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
28
7. En el grfico. Calcular x. Si AB = BD.
A) 50 B) 27 C) 36D) 58 E) 60
8. Del grfico. Calcular el valor de x en: SiAM=MB y BN = NC.
A) 12 B) 10 C) 14D) 16 E) 20
9. El ABC es equiltero y el EBC es issceles.Calcular el valor de x.
A) 60 B) 45 C) 25D) 75 E) 20
10. En un DABC; recto en B. Se traza la bisectriz
interior ; Si AE=EC. Calcular m
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
29/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
29
1. En la figura. Calcular. AC. Si es
mediana relativo a . Si MC=4.
Rpta.: .......................................................
2. En el tringulo ABC. Calcular m
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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30
1. Del grfico es bisectriz de .Calcular m ABD.
Rpta.: .......................................................
2. Del grfico. Si es bisectriz del BAD.
Calcular m ACD.
Rpta.: .......................................................
3. Calcular m DBC. Si es bisectriz delABC.
Rpta.: .......................................................
4. Calcular m ABD. Si es bisectriz delABC.
Rpta.: .......................................................
5. Calcular: + .
Rpta.: .......................................................
6. Calcular . Si es bisectriz del BCE.
Rpta.: .......................................................
BD AC
B
A D C
80 50
AC
B
A D
C70
60
BD
120
B
40
A D C
BD
100
CDA
B
140
80
ww
CD
B
A C E
D
60
GEOMETRA.
LNEAS NOTABLES II
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 06
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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31
7. Si AE=3. Calcular AC. Si es mediana de
Rpta.: .......................................................
8. Del grfico. Calcular DC. Si es mediana
de y BC=22.
Rpta.: .......................................................
9. Calcular -. Si es altura de .
Rpta.: .......................................................
10. Calcular m HBC. Si es altura de .
Rpta.: .......................................................
BE
AC
B
A E C
AD
BC
B
A
D
C
BM AC
5 0 6 0
B
MA C
BH AC
B
A H C
40
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
32/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
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1. Si es bisectriz del ABC. Calcular mABD.
A) 60 B) 50 C) 70D) 80 E) 40
2. Del grfico. Calcular m DBC. Si esbisectriz de ABC.
A) 35 B) 40 C) 50D) 30 E) 45
3. Si es bisectriz del ABC. Calcular m ABD.
A) 40 B) 80 C) 70D) 60 E) 50
4. Del grfico. Calcular . Si es bisectriz. DelBCE.
A) 60 B) 70 C) 90D) 80 E) 50
5. Del grfico. Calcular + .
A) 100 B) 110 C) 120D) 130 E) 140
6. En la figura. Calcular DC. Si AD es mediana yBC=40.
A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 10
7. Si AB + BC=20 y el perimetro del ABC es 38.Calcular AD. Si es mediana de .
A) 10 B) 9 C) 11D) 12 E) 13
8. Calcular - . Si es altura.
A) 19 B) 30 C) 40
D) 20 E) 50
9. Calcular m HBC. Si es altura.
A) 20 B) 50 C) 40D) 60 E) 80
10. Del grfico. Calcular x. Si: y sonaltura y m ABC=70.
A) 100 B) 110 C) 120D) 130 E) 140
BD
50 30
B
A D C
BD
30 1 0 0
A D C
B
BDB
120 160
CDA
CD
A C
B
70
D
E
40
B
A C
B
A C
D
BD AC
B
A CD
BH
B
A H
70 40
C
BH
60
HA C
B
AE CD
B
A C
D E
x
TAREA DOMICILIARIA N 06
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
33
1. Calcular . Si es bisectriz de ABC.
A) 35 B) 55 C) 60D) 45 E) 70
2. Del grfico. Calcular: m ABC.
A) 20 B) 25 C) 30D) 40 E) 80
3. Del grfico. Calcular DC. Si es mediana dey AC=30.
A) 60 B) 15 C) 20
D) 40 E) 25
4. Del grfico. Calcular NC. Si AC=12 y esmediatriz.
A) 6 B) 8 C) 10D) 4 E) 5
5. Si es altura. Calcular m DCB.
A) 30 B) 35 C) 40
D) 45 E) 50
6. Calcular m HBC. Si es altura.
A) 20 B) 50 C) 40D) 60 E) 80
BM
70 40
B
A M C
B
140
DCA
60
BD AC
A D C
B
L
B
A N C
L
BD
50
DA C
B
BH
60
HA C
B
TALLER DE APRENDIZAJE N 06
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
34/105
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
34
1. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE DE 45 y 45
2. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE 37 y 53
3. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE DE 30 y 60
4. TRINGULO RECTNGULO NOTABLE DE 15 y 75
45
B
45
C
A
nn 2
n
n n
45 45
B
A Cn 2
37
B
53
C
A
4n
3n
3n 4n
37 53
B
A C
5n
5n
30
B
60
C
A
n
n
30 60
B
A C
2n
2n
n 3n 3
15
B
75
C
A
15 75
B
A C
4n
4n
nn
GEOMETRA.
TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES I.
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
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1. En la figura. Calcular: BC. Si:
2. En la figura. Calcular: AC. Si BC=8.
3. En la figura. Calcular: BH. Si AC=12.
4. En la figura. Calcular: AB. Si
5. En la figura. Calcular: AC. Si:
6. En la figura. Calcular: BH. Si AC=40.
7. Calcular: AB. Si BC = 6.
Rpta.: .......................................................
8. De la figura. Calcular: AB. Si:
Rpta.: .......................................................
AB 3 3
30
B
CA
37
B
CA
15
B
CA H
AC 2
45
A
BC
BC 3 3
B
CA
B
CHA
B
CA
BC 4 2
B
45
C
A
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 07
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
36
9. En la figura. Calcular AE. Si BC = 4.Adems: CD = DE.
Rpta.: .......................................................
10. Calcular HC. Si AH=9.
Rpta.: .......................................................
11. En la figura. Calcular: AB. Si BC=10.
Rpta.: .......................................................
12. En la figura. Calcular: AN. Si BC=8.
Rpta.: .......................................................
13. En la figura. Calcular: AB. Si BC=10.
Rpta.: .......................................................
14. En la figura. Calcular: AH + BC. Si
Rpta.: .......................................................
60
B
A
C
D
E
B
CHA
B
CHA
B
CNA
60
53
B
CDA
AB 9 2
B
CHA
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
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1. En la figura. Calcular AC + BC. Si: AB=9.
A) 27 B) 28 C) 29D) 40 E) 15
2. En la figura. Calcular AC. Si AB=2.
A) 1 B) C)
D) 4 E)
3. En la figura. Calcular: BC. Si AB= 12
A) 6 B) 8 C)
D) E) 10
4. En el tringulo mostrado. Calcular: AC. Si BH=4.
A) 16 B) 18 C) 20D) 22 E) 15
5. De la figura mostrada. Calcular: HC. Si.
A) 2 B) C) 3
D) E)
6. De la figura mostrada. Calcular: AN. Si: BC=12.
A) 8 B) 9 C) 10D) 6 E) 12
7. De la figura. Calcular:
A) 39 B) 37 C) 45D) 30 E) 60
8. De la figura. Calcular: HC. Si AB=6. y AC=14.
A) 11 B) 10 C) 9D) 8 E) 7
4 2 2 2
3 2
14 2
10 3
AB 3 2
2
4 3
3a
B
A C5a
4a
B
CHA
D
TAREA DOMICILIARIA N 07
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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1. Calcular: AC + BC. Si AB=6. (C= 37)
2. En la figura. Calcular: AC. Si CB=2
3. En la figura. Calcular BH. Si AC=8. (C= 15)
4. En la figura. Calcular AB. Si BC=3.
5. En la figura. Calcular AC. Si BC=3.
6. En la figura. Calcular: AB. Si BC=10.
B
CA
B
45
C
A
B
CA H
60
B
CA
B
30
C
A
60
53
B
CDA
TALLER DE APRENDIZAJE N 07
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
39/105
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
39
1. Calcular: BC. Si AC=10.
Rpta.: .......................................................
2. Calcular AC. Si AB=7.
Rpta.: .......................................................
3. Calcular AB. Si AC=
Rpta.: .......................................................
4. Calcular: QR. Si
Rpta.: .......................................................
5. Calcular: AC. Si
Rpta.: .......................................................
6. Calcular: m BAC. Si AC=4 y BC=.
Rpta.: .......................................................
7. Calcular: . Si
Rpta.: .......................................................
8. Calcular . Si BC=7
Rpta.: .......................................................
A
B
C
30
A
B
C
30
8 2
A
B
C
60
PR 20 2
Q
P
R
AB 9 3
A
B
C
150
2 3
A
B
C
AC
BC
AB 24 2
A
B
C
4 5
2
AB 7 3
A
B
C
GEOMETRA.
TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES II.
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 08
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
40
1. De la figura. Calcular: AC+BC. Si AB=
Rpta.: .......................................................
2. De la figura. Calcular: AB. Si
Rpta.: .......................................................
3. De la figura. Calcular: AC. Si AB=12.
Rpta.: .......................................................
4. Calcular : . Si: AB = BC.
Rpta.: .......................................................
5. Calcular BH. Si AC=32.
Rpta.: .......................................................
6. Del grfico. Calcular: AH. Si BC=8
Rpta.: .......................................................
7. Del grfico. Calcular BC. Si
Rpta.: .......................................................
8. En la figura. Calcular: AB. Si CN + AB=25.
Rpta.: .......................................................
4 2
C
A
B
45
AC 10 3
A
B
C
60
A
BC
120
3A
B C
15
A
B
CH
45 30
A
B
CH
AD 4 3
45
A
B
CD
60
15
A
C B
N
TAREA DOMICILIARIA N 08
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
41/105
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
41
1. Calcular: AB. Si :
A) 7 B) 6 C) 8D) 9 E) 10
2. Calcular: AC. Si BC=4
A) 1 B) C)D) E) 8
3. Calcular :BD. Si AC=20.
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
4. Calcular: AB. Si BC=3.
A) 3 B) C)
D) 6 E)
5. Calcular : AB. Si
A) 4 B) 2 C)D) E)
6. Del grfico. Calcular: AH. Si BC=8
BC 3 3
A
B
C
60
A
B
C
45
4 2 3 2
2 2
A
B
C
75
D
A
B
C
30
2 3
3 3
BC 2 2
A
B
C
4 5
2 2
4 2 2
45 30
A
B
CH
TALLER DE APRENDIZAJE N 08
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
42/105
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra
Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
42
01. ngulo determinado por dos bisectrices interiores en el tringulo.
02. ngulo determinado por dos bisectrices exteriores en el tringulo.
03. ngulo determinado por una bisectriz interior y una exterior en el tringulo.
04. ngulo determinado por una altura y una bisectriz interior referidas a un mismo lado en el tringulo.
A C
B
x
x= 9 0 +
2
xx= 90 -
2
x
x=
2
HA C
B
M
x x=-
2
GEOMETRA.
NGULOS DETERMINADOS POR LAS LNEAS NOTABLES
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
43/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
43
1. Calcular m PMC.
Rpta.: .......................................................
2. Calcular : m ABC.
Rpta.: .......................................................
3. De la figura. Calcular m ACM. Si esbisectriz del BCD.
Rpta.: .......................................................
4. Calcular : m ACB.
Rpta.: .......................................................
5. De la figura. Calcular m BDA. Si es
bisectriz relativa a
6. En la figura. Calcular x. Si es bisectriz delABC.
Rpta.: .......................................................
7. De la figura. Calcular: 3x. Si: es bisectrizdel ACB.
Rpta.: .......................................................
8. De la figura. Calcular: m ACD.
Rpta.: .......................................................
P C
R
M
80
CM
B
A C D
M
80
60
B
A CD
40 8 0
BD
AC
60 40
B
A D C
BD
4x
3x
DA C
B
CD
D
A C
B
2x
6x
60
B
A D
C
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 09
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
44/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
44
9. De la figura. Calcular: x
Rpta.: .......................................................
10. Calcular: m QPM. Si es bisectriz del
OMN y .
Rpta.: .......................................................
11. Si es altura relativa . Calcular m
ACD.
Rpta.: .......................................................
12. Calcular: m ACB. Si es altura relativa a
.
Rpta.: .......................................................
13. De la figura. Calcular: x. Si es alturarelativa a
Rpta.: .......................................................
14. En la figura. Calcular : x.
Rpta.: .......................................................
x
MP
QP //MN
60 Q P
40
M N
O
CD AB
DA B
C
60
BH
AC
40 10
B
A H C
BH
AC
A
40
H C
x 10
B
x
80
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
45/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
45
1. De la figura. Calcular m NBC. Si esbisectriz del ABC.
A) 60 B) 50 C) 40D) 70 E) 80
2. Del grfico. Calcular m QNR. Si mPQR=80. Adems: es bisectriz delPQR.
A) 70 B) 80 C) 90D) 100 E) 110
3. En la figura. Calcular x. Si: es bisectriz delABC.
A) 40 B) 50 C) 60
D) 70 E) 80
4. Del grfico. Calcular: x
A) 100 B) 110 C) 120D) 135 E) 140
5. Del grfico. Calcular: x. Si: es bisectriz delBCD.
A) 10 B) 12 C) 15D) 18 E) 20
6. En la figura. Calcular m BNA.
A) 100 B) 90 C) 80D) 110 E) 120
7. Del grfico. Calcular : m ACD.
A) 20 B) 10 C) 30D) 40 E) 50
8. En la figura. Calcular : x.
A) 30 B) 20 C) 10D) 15 E) 45
9. Del grfico. Calcular x. Si y sonalturas.
A) 110 B) 115 C) 120D) 100 E) 90
10. En la figura. Calcular AE. Si es mediana
relativa a . Adems AC=20.
A) 5 B) 10 C) 12D) 15 E) 20
BN
20
NA C
B
40
QN
30
Q
P N R
BN
B
A C
140
x
120
N
x
CMCMCMCMCMCMCM
B
A C D
M
4x
6x
50
B
A CN
40 30
2
60
2
B
A D
C
22
60
x
AM NC
x
N M
B
20
A C
BE
ACB
A E C
TAREA DOMICILIARIA N 09
-
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
46
1. En la figura. Calcular:
A) 180 B) 40 C) 50D) 60 E) 90
2. De la figura. Calcular m BCM. Si esbisectriz del BCD
A) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 40
3. Calcular: m ABH.
A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 60
4. De la figura. Calcular: x
A) 150 B) 140 C) 130D) 100 E) 120
5. De la figura. Calcular: m ACD.
A) 40 B) 50 C) 30D) 20 E) 60
6. En la figura. Calcular m BNA.
A) 100 B) 90 C) 80D) 110 E) 120
w
3
A C
w
w
CMCMCMCMCMCMCM
B
A C
M
20
80
x
D
HA C
B
60
60
x
80
B
A D
C
B
A CN
40 3 0
TALLER DE APRENDIZAJE N 09
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47
DEFINICIN:Es la figura geomtrica que se determina poraquella lnea poligonal cerrada sin que sus lados se
intersecten limitando una de regin en su interior.
ELEMENTOS:Vertice:
Lados:
NOTA:* El permetro del polgono es igual a la suma de
las longitudes de sus lados.
Diagonal:* Es el segmento de recta que une dos vrtices no
consecutivos.
De acuerdo a su nmero de lados los poligonos sellamarn:
De 3 lados TringuloDe 4 lados CuadrilteroDe 5 lados PentgonoDe 6 lados HexgonoDe 7 lados HeptgonoDe 8 lados OctgonoDe 9 lados NongonoDe 10 lados DecgonoDe 15 lados PentadecagonoDe 20 lados Icosgono
Determinacin de ngulos
Medida de ngulo internos:
Medida de ngulos externos:
POLGONO CONVEXO.- Es aquel polgono en lacual en uno de sus lados al estar contenido unarecta que separa al plano en dos semiplanos, de
modo que los otros lados se encuentran en unmismo semi-plano.
POLGONO NO CONVEXO.- Es aquel poligonoen la cual en uno de sus lados al estar contenidouna recta, se notar que cada semiplanodeterminado por la recta hay puntos del polgono.
FRMULAS PARA UN POLGONO DE nLADOS
Suma de las medidas de los ngulos interiores
Suma de las medidas de los ngulos exteriores
Nmero de diagonales (#D)
FORMULAS PARA UN POLGONO REGULARDE n LADOS
Medida de ngulo interior
Medida del ngulo exterior
Medida del ngulo central
Suma de las medidas de los ngulos centrales
An
A1
A2
A3
A4
A5A(n 1)
1 2 3 nA , A , A ,.........A
1 2 2 3 3 4 n 1A A ,A A ,A A ,.........A A
A
B C
D
EF
DIAGONAL BD
DIAGONAL AC
DIAGONAL BE
3
3
2
2
1
1
5
5
4
4
1 2 3 n, , , ...........
1 2 3 n, , , ...........
( i)
i 180 (n 2)
( e)
e 360
n(n-3)# D=
2
( i)
i
180 (n-2)=
n
( e)
360e=
n
c( )
c
360=
n
c 360
GEOMETRA.
POLGONO I
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48
1. Calcular la suma de ngulos internos de unpentgono regular.
Rpta.: .......................................................
2. Calcular la medida de un ngulo interno de unhexgono regular.
Rpta.: .......................................................
3. Calcular la suma de ngulos internos de unpolgono regular de 12 lados.
Rpta.: .......................................................
4. Calcular la medida de un ngulo interno de unpolgono regular de 9 lados.
Rpta.: .......................................................
5. Calcular el nmero de diagonales de un polgonoregular de 11 lados.
Rpta.: .......................................................
6. Calcular la medida del ngulo central de un
octgono regular.
Rpta.: .......................................................
7. Calcular el nmero total de diagonales de un
decgono regular.
Rpta.: .......................................................
8. Cuntos lados tiene un polgono regular cuyo
ngulo interno es 162.
Rpta.: .......................................................
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 10
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9. Los ngulos de un cuadriltero son proporcionalesa los nmeros 3, 5, 7, 9. Calcular la medida delngulo mayor.
Rpta.: .......................................................
10. Cuntos lados tiene un polgono regular, cuyongulo externo es igual a la tercera parte de unngulo interno?
Rpta.: .......................................................
11. Los ngulos externos de un polgono regularmiden cada uno 1/5 de recto. Cmo se llamaeste polgono?
Rpta.: .......................................................
12. Cuntos lados tiene el polgono regularmostrado?
Rpta.: .......................................................
13. Cuntos lados tiene un polgono regularconvexo cuya suma de las medidas de susngulos externos es igual a 2/5 de la suma de lasmedidas de sus ngulos internos.
Rpta.: .......................................................
14. Cmo se llama aquel poligono regular cuyongulo interno es igual a 8 veces el nguloexterior.
Rpta.: .......................................................
5
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50
1. Calcular el nmero de diagonales de un pentgonoregular.
A) 7 B) 6 C) 5D) 8 E) 9
2. Calcular la medida del ngulo interno de unhexgono.
A) 140 B) 130 C) 120D) 150 E) 160
3. Calcular la medida del ngulo central de unpolgono regular de 36 lados.
A) 10 B) 20 C) 30D) 12 E) 15
4. Calcular la suma de ngulos internos de undodecgono.
A) 1200 B) 1400 C) 1500D) 1600 E) 1800
5. Calcular la medida de un ngulo interno de unnongono.
A) 120 B) 130 C) 160D) 140 E) 150
6. Calcular la medida del ngulo central de un
pentgono.
A) 36 B) 72 C) 144D) 150 E) 70
7. Calcular el nmero total de diagonales de unicosgano.
A) 120 B) 150 C) 190D) 170 E) 180
8. Calcular la suma de ngulos interiores de unpolgono de 24 lados.A) 3960 B) 3900 C) 3940D) 3980 E) 3920
9. Cuntos lados tiene el polgono en el cual la sumade sus ngulos internos mas la suma de susngulos externos es 3780.
A) 10 B) 21 C) 20D) 19 E) 5
10. Calcular el nmero de lados del polgono regularen el cual su ngulo interior es el cudruple de sungulo exterior.A) 12 B) 8 C) 10D) 24 E) 9
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1. Cuntos lados tiene el polgono regular cuyonmero total de diagonales es el doble del
nmero de lados.
A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11
2. Calcular la suma de ngulos internos de unpolgono de 12 lados.
A) 750 B) 1800 C) 1700D) 2000 E) 2100
3. Calcular la medida de un ngulo interno de unpolgono regular de 8 lados.
A) 100 B) 110 C) 120D) 140 E) 135
4. Calcular el nmero de diagonales de undodecgono regular.
A) 52 B) 50 C) 54D) 60 E) 70
5. Calcular la medida de un ngulo externo de unicosgono regular.
A) 18 B) 20 C) 30D) 15 E) 17
6. Calcular la medida del ngulo central de unpentgono.
A) 36 B) 72 C) 144D) 150 E) 70
TALLER DE APRENDIZAJE N 10
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1. En qu polgono regular se cumple que el
nmero de lados es la mitad del nmero de
diagonales?
Rpta.: .......................................................
2. En qu polgono regular se cumple que sungulo interior es 9 veces su ngulo exterior?
Rpta.: .......................................................
3. Calcular la suma de las medidas de un ngulo
interior de un dodecgono regular con elngulo exterior de un octgono regular.
Rpta.: .......................................................
4. Calcular el nmero de diagonales de un
icosgono regular.
Rpta.: .......................................................
5. Calcular el nmero de lados de un polgono
regular convexo en el cual su nmero total de
diagonales es igual 7 veces su nmero de
lados.
Rpta.: .......................................................
6. Si el nmero de lados de un pentgonoaumenta en tres. En cunto aumentar su
nmero de diagonales?.
Rpta.: .......................................................
7. Cmo se llama aquel polgono regular cuyo
nmero total de diagonales es igual al nmerode lados?
Rpta.: .......................................................
8. Calcular el nmero de lados de un polgono
regular convexo en el cual su nmero total
de diagonales es igual al quintuplo del nmero
de lados.
Rpta.: .......................................................
GEOMETRA.
POLGONO II
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 11
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9. Calcular el nmero de lados de un polgono
regular convexo, cuyo nmero total de
diagonales es 54.
Rpta.: .......................................................
10. Calcular el nmero de lados de un polgono
regular convexo en el cual la suma total de sus
ngulos internos y externos es 3780.
Rpta.: .......................................................
11. Cuntas diagonales se podrn trazar de aquel
polgono regular; cuyo ngulo interior es el
triple del ngulo exterior.
Rpta.: .......................................................
12. Cul es el polgono regular convexo cuyo
nmero total de diagonales, excede al nmero
de lados en 18?
Rpta.: .......................................................
13. Calcular el nmero de lados de un polgono
regular en el cual la medida de su ngulo
interior es igual al cudruple de la medida del
ngulo central.
Rpta.: .......................................................
14. Calcular el nmero total de diagonales de un
polgono regular en el cual: 30 veces la
medida de un ngulo interior es igual al
cuadrado de la medida del ngulo exterior.
Rpta.: .......................................................
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1. El ngulo central de un polgono regular mide36. Cuntos lados tiene ese polgono?
A) 12 B) 10 C) 14D) 16 E) 18
2. Calcular la suma de ngulos interiores de unpentgono.
A) 2340 B) 2400 C) 2500D) 2350 E) 2600
3. Cuntos lados tiene el polgono cuya suma delas medidas de sus ngulos interiores es 900.A) 11 B) 10 C) 9D) 8 E) 7
4. Cuntos lados tiene el polgono regular si cadangulo interno mide 140.A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13
5. Un ngulo interno de un polgono regular mide150. Cmo se llama este polgono?.A) decgono B) dodecgonoC) exgono D) pentgono
E) heptgono
6. Un ngulo externo de un polgono regular mide15. Cuntos lados tiene el polgono?
A) 24 B) 25 C) 26D) 27 E) 28
7. Cul es el nmero de diagonales que puedentrazarse en un octgono regular?
A) 16 B) 40 C) 15
D) 20 E) 10
8. Un ngulo externo de un polgono regular mide40. Cuntos lados tiene este polgono?
A) 10 B) 9 C) 8D) 7 E) 6
9. Cuntas diagonales pueden trazarse en undecgono regular?
A) 25 B) 30 C) 34D) 35 E) 40
10. La suma de las medidas de los ngulosinteriores con la de los exteriores es 900.Cuntos lados tiene el polgono?A) 6 B) 5 C) 7D) 8 E) 9
TAREA DOMICILIARIA N 11
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1. Calcular la suma del ngulo interno de undodecgono regular.
A) 1860 B) 1810 C) 1800D) 1500 E) 1650
2. Calcular el nmero total de diagonales de unendecgono regular.A) 40 B) 44 C) 50D) 30 E) 45
3. Calcular la medida del ngulo exterior de unpentgono regular.
A) 50 B) 60 C) 70D) 72 E) 80
4. Cuntos lados tiene aquel polgono regular en elque su nmero total de diagonales es igual a ocho
veces su nmero de vrtices.
A) 10 B) 12 C) 11D) 19 E) 15
5. Calcular el nmero de lados de un polgono regularconvexo en el cual la diferencia entre el nmerototal de diagonales y su nmero de lados es 25:A) 12 B) 15 C) 8D) 9 E) 10
6. Un ngulo externo de un polgono regular mide 15.Cuntos lados tiene el polgono?A) 24 B) 25 C) 26
D) 27 E) 28
TALLER DE APRENDIZAJE N 11
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CUADRILATERO
Definicin.-Es aquel polgono de cuatro lados.
Cuadriltero Convexo
En la figura observamos:Lados Opuestos: y ; yngulos Opuestos: BAD y m BCD;
ABC y ADC.Diagonales: y
Adems:
CUADRILTERO NO CONVEXO
En la figura observamos:Lados opuestos: y ; yDiagonales: y
Adems:
TRAPECIO.- Es aquel cuadriltero que tiene 2 ladosopuestos paralelos llamados bases y los otros 2 ladosopuestos no paralelos llamados laterales.
En la figura observamos que si entonces:
Bases:
Lateral:Altura :Base Media:
Segmento: Que une puntos medios: de Diagonales
TIPOS DE TRAPECIOSSegn la longitud de sus lados laterales
Trapecio Escaleno.- Es aquel trapecio cuyaslongitudes de sus lados laterales son diferentes.
Trapecio Isosceles.- Es aquel trapecio cuyaslongitudes de sus lados laterales son iguales.
Si: y; m BAD= m CDA;
m ABC= m BCD y
Es Issceles
TRAPECIO RECTNGULO.- Es aquel trapecioescaleno donde un lado lateral es perpendicular a lasbases.
PROPIEDADES EN TRAPECIOS
01. En todo trapecio la base media es paralela a lasbases y su longitud es igual a la semisuma de susbases.
02. En todo trapecio el segmento que une los puntosmedios de sus diagonales es paralelo a sus basesy su longitud es igual a la semidiferencia de
dichas bases.
Si:
B
C
DA
AB CD BC AD
AC BD
360
B
A C
D
AB CD BC AD
BD AC
w
B C
A H D
M
a
a
NP Q
b
b
BC //AD
BC y AD
AB y CD
BH
MN
PQ
B C
A D
BC // AD y
AB CD
es escalenoABCD
Si:
B C
A D
BC//AD AB CD
AC BD
ABCD:
B C
A D
BC // AD y
AB BC y AB AD
ABCD es rectngulo
Si:
B C
A D
M N
a
x
b
d
d
a bx
2
B Cb
xP Q
A Da
a bPQ //BC x
2
GEOMETRA.
CUADRILATEROS
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1. En el trapecio ABCD. Calcular x. Si:
2. En el grfico. Si: , M y N son puntos medios
de . Calcular MN. Si BC=8 y AD=12.
3. En el trapecio ABCD. Si: AB=CD. Calcular x. y.
4. En el grfico y AB=a+5, CD=17-a.Calcular la mediana del trapecio.
5. Segn el grfico. Calcular x. Si AM=MB y CN=ND.Si BC=x, MN=6 y AD=5.
6. Si M y N son puntos medios de y .Calcular MN. BC=b y AD=b+12
7. Segn el grfico. Calcular x. Si:
8. Calcular la mediana del trapecio ABCD. Si BC=6;AB=6 y CD=8. Adems:
BC //AD
B C
A D
6x
4x
BC //AD
AB y CD
B C
M N
A D
a
a b
b
BC //AD
B C
A D
70 2x
AB//CD
B
C
A
D
QP
b
b
c
c
B C
A D
M N
x
AC BD
B C
M N
A D
AB //CD
B
C
A
D
1 2
x
M N1 6
a
a
b
b
BC// AD
B
C
A R D
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 12
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9. En el trapecio issceles. La m A=2x+10; la mB=4x-50. Calcular la m B. Si:
10. Del grfico BC=4 y CD=12. Calcular la medianaMN.
11. Calcular la mediana del trapecio. Si AB=9 y BC=8.
12. Las bases y la mediana de un trapecio suman 66.Calcular la mediana.
13. Si el segmento que une los puntos medios de lasdiagonales mide 6 y la base mayor de dichocuadrilatero mide 18. Calcular la medida de labase mayor.
BC //AD
B C
A D
B C
A D
M N
60
B C
A D
37
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1. En el trapecio ABCD. Calcular x: Si .
A) 20 B) 10 C) 15D) 25 E) 30
2. En el trapecio ABCD. .Si AB=CD.Calcular: x.
A) 40 B) 35 C) 50D) 60 E) 70
3. Del grfico. Calcular la mediana x.Si: y a+b=10.
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
4. Del grfico: . DC=8; AB=6. Calcular x:
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
5. Del grfico. Calcular: x. Si : .
A) 12 B) 15 C) 20D) 25 E) 30
6. Calcular la mediana del trapecio ABCD. Si: BC=6y AD=14. .
A) 8 B) 11 C) 10D) 9 E) 12
7. Del grfico. Calcular la mediana x y
A) 7
B) 8C) 9D) 10E) 11
8. Del grfico. Calcular x en el trapecio.Si
A) 18 B) 19 C) 20D) 28 E) 30
9. Las bases y la mediana de un trapecio suman 30.Calcular la mediana.A) 15 B) 20 C) 10D) 5 E) 25
10. Si el segmento que une los puntos medios de lasdiagonales de un trapecio mide 5, la base mayormide 20. Calcular la medida de la base menor.A) 9 B) 10 C) 15D) 12 E) 5
BC //AD
B C
DA
6x
12 x
BC //AD
B C
DA
70 2x
BC //ADB C
DA b
a
x
AB//CDBA
CD
x
BC //AD
BC //AD
B C
DA
BC// AD
BC // AD
B
C
A x D
8 10
TAREA DOMICILIARIA N 12
B
x
C
A D
2 0 + a
5 0 + a
B C
DA 12
6
xM N
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1. Del grfico. Calcular: x (mediana). Si .
A) 15 B) 20 C) 30D) 40 E) 10
2. Del grfico. Calcular: x.Si: . = Mediana.
A) 12 B) 10 C) 9D) 8 E) 7
3. En el grfico. Calcular: x.Si: y AB=CD.
A) 20 B) 15 C) 30D) 40 E) 10
4. En el grfico. Calcular : x. Si: .
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10
5. Calcule x. Si:
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10
6. Calcular la mediana del trapecio ABCD. Si: BC=6y AD=14. .
A) 8 B) 11 C) 10D) 9 E) 12
BC //AD
B C
DA 20
10
x
AD//BC
MN
B C
A D
M N
8
9
x
BC //AD
B C
DA
4x 60
BC //AD
B C
A D
x
12
20
AB //CD
BC //AD
B C
DA
TALLER DE APRENDIZAJE N 12
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PARALELOGRAMO:
Es aquel cuadriltero convexo que tiene sus lados opuestos paralelos de igual longitud.
Lados opuestos paralelos de igual longitud (AB=CD y BC=AD). Los ngulos opuestos son de igual medida (m BAD=m BCD=a y m ABC=m ADC =b)
Dos ngulos consecutivos son suplementarios (m BAD + m ABC=180) y (m ABC+ m BCD=180).
Las diagonales se intersecan en su punto medio (AO=OC y BO=OD).
CLASIFICACIN DE PARALELOGRAMOS:
ROMBOIDE.-
Si:
AB = CD = m BC=AD=b
m A=m C=a; m B=m D=b a + b = 180
AO =OC = BO=OD=n
ABCD: es romboide
ROMBO.-
AB=BC=CD=AD=m
y son bisectrices
AO= OC= BO = OD=n
+ = 90
B C
A D
b
b
a O a
AC BD
AC BD
GEOMETRA.
CUADRILATEROS I
B Cb
A Db
m m
n
n
O
B
D
A C
m m
n
o
nm
m
-
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62
RECTNGULO
AB=CD=n BC=AD=m
m ABD=m BDC= m BAC=m ACD=.
m CBD=m BDA= m BCA=m CAD=
m A=m B=m C=m D=90
+ = 90
AO = OC = BO = OD =
CUADRADO.-
AB=BC=CD=AD=m y son bisectrices
m A=m B=m C=m D=90
m BAC=m CAD=45
m ABD=m DBC=45
m BCA=ACD=45
m CDB=m BDA=45
AO=OC=BO=OD=
B C
DmA
m
n n
O
AC BD
AC BD
B C
A D
m
m
m
m
45
45
45
45
45
45
45
45
O
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
63/105
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra
Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
63
1. Si: ABCD es un paralelogramo. Calcular : x.
Rpta.: .......................................................
2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
3. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
5. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
7. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
8. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
B C
A D
5x
B C
DA
x
40
A D
B C
120
x
AD
B C
4x
100
B C
D
10
3x
A
M
BC
A D
x
12
6P
B C
A D
x
4
3
x
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 13
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
64/105
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad eometra
Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
64
1. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 10 B) 15 C) 5D) 20 E) 30
2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 120 B) 130 C) 140D) 60 E) 100
3. Si: ABCD: Paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 60
4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 7 B) 9 C) 8D) 12 E) 6
5. En el paralogramo ABCD. Calcular : x.
A) 20 B) 16 C) 8D) 12 E) 24
6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
7. En el paralelogramo ABCD. Calcular su permetro.
A) 20 B) 30 C) 40D) 25 E) 50
8. En el paralelogramo ABCD. Su permetro es 150.Calcular: x.
A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25
B C
A D
x
10
B C
A D
x
60
5x
30
B C
A D
12
x 4
B C
A D
x
8
B C
A D
x
12
3
B C
A D
5
B C
A D4x
x
TAREA DOMICILIARIA N 13
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
65
1. En el paralelogramo. Calcular: x.
A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 1
2. Del grfico. Calcular: x.
A) 80 B) 70 C) 60D) 50 E) 20
3. Del grfico. Calcular: BD.
A) 14 B) 12 C) 16D) 18 E) 20
4. En el paralelogramo. Calcular su permetro.
A) 40 B) 50 C) 60D) 30 E) 20
5. Del grfico. Calcular: x. Si BD + AC= .
A) 8 B) 6 C) 5D) 4 E) 1
6. En un paralelogramo, un lado es el doble del otro.Si su permetro es 36. Calcular la medida del ladomenor.
B C
A D
5
9
x
B C
A D
x
110
B
A C
D
37
10
B C
A D4
12
8 2
45
B C
A Dx
TALLER DE APRENDIZAJE N 13
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
66/105
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
66
1. Si: ABCD es un paralelogramo. Calcular : x.
Rpta.: .......................................................
2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
3. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
5. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
B C
A D
5x
B C
DA
x
40
A D
B C
120
x
AD
B C
4x
100
B C
D
10
3x
A
M
BC
A D
x
12
6P
GEOMETRA.
PARALELOGRAMO
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 14
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
67
7. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
8. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
9. Si el permetro del paralelogramo ABCD es 200m.Calcular : x.
Rpta.: .......................................................
10. Calcular el permetro del romboide: A B C D.
Rpta.: .......................................................
11. En la figura. Calcular: x. Si ABCD es unrectngulo y CDE es un tringulo equiltero.
Rpta.: .......................................................
B C
A D
x
4
3
x
B C
A D
3x
x
10
A D
B C
B C
AD
E
x
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
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1. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 10 B) 15 C) 5D) 20 E) 30
2. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 120 B) 130 C) 140D) 60 E) 100
3. Si: ABCD: Paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 60
4. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 7 B) 9 C) 8D) 12 E) 6
5. En el paralogramo ABCD. Calcular : x.
A) 20 B) 16 C) 8D) 12 E) 24
6. En el paralelogramo ABCD. Calcular: x.
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
7. En el paralelogramo ABCD. Calcular su permetro.
A) 20 B) 30 C) 40D) 25 E) 50
8. En el paralelogramo ABCD. Su permetro es 150.Calcular: x.
A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25
B C
A D
x
10
B C
A D
x
60
5x
30
B C
A D
12
x 4
B C
A D
x
8
B C
A D
x
12
3
B C
A D
5
B C
A D4x
x
TAREA DOMICILIARIA N 14
-
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Alwa s a ste orward 1er rado de Secundaria
69
1. En el paralelogramo. Calcular: x.
A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 1
2. Del grfico. Calcular: x.
A) 80 B) 70 C) 60
D) 50 E) 20
3. Del grfico. Calcular: BD.
A) 14 B) 12 C) 16D) 18 E) 20
4. En el paralelogramo. Calcular su permetro.
A) 40 B) 50 C) 60D) 30 E) 20
5. Del grfico. Calcular: x. Si BD + AC= .
A) 8 B) 6 C) 5D) 4 E) 1
6. En un paralelogramo, un lado es el doble del otro.Si su permetro es 36. Calcular la medida del ladomenor.
B C
A D
5
9
x
B C
A D
x
110
B
A C
D
37
10
B C
A D4
12
8 2
45
B C
A Dx
TALLER DE APRENDIZAJE N 14
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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1. En el trapecio . Calcular MN. Si :Mediana. Si BC=5 y AD=13.
Rpta.: .......................................................
2. En el trapecio . Calcular: BC.Si: : mediana. Adems: AD=20 y EF=14.
Rpta.: .......................................................
3. En el trapecio . Calcular MN. Si M y Nson puntos medios de . Adems: BC=8y AD=20.
Rpta.: .......................................................
4. En el grafico: . Calcular BC. Si M y Nson puntos medios de . Adems:MN=3, AD=21.
Rpta.: .......................................................
5. En el cuadriltero: Calcular x.
Rpta.: .......................................................
6. Del paralelogramo. Calcular: BC.
Rpta.: .......................................................
BC// AD MN
B C
M N
A D
BC //AD
EFB C
E F
A D
BC// AD
AC y BD
B C
M N
A D
BC//AD
AC y BD
B C
M N
A D
40
x
B C
A D
B C
A D
5
GEOMETRA.
PROBLEMAS SOBRE CUADRILTEROS
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 15
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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71
7. Del cuadrado: ABCD. Calcular BD. Si BC=8.
Rpta.: .......................................................
8. En el trapecio: . Adems: AB = CD.Calcular: x.
Rpta.: .......................................................
9. En el trapecio: . Calcular CD. SiAB=4.
Rpta.: .......................................................
10. En el paralelogramo. Calcular ED. Si AB=5 yBC=12.
Rpta.: .......................................................
B
A
C
D
BC//AD
B C
A D
4x 80
BC//AD
B C
A D
53
B C
A DE x
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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1. Calcular la medida de la mediana de untrapecio si la base mayor mide 18u y la base
menor mide 6.A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 15
2. Calcular la medida de la mediana de untrapecio si la base mayor mide a+20 y la basemenor mide 12-a.A) 16 B) 17 C) 18D) 19 E) 20
3. Calcular la medida del segmento que une lospuntos medios de en el trapecio ABCD donde
. Adems: BC=18 y AD=24.A) 4 B) 2 C) 3D) 5 E) 6
4. En el cuadriltero. ABCD. Calcular AB siBD=12.
A) B) C) 4D) 6 E) 8
5. En el paralelogramo ABCD. Calcular: ED. SiBC=10 y AB=6.
A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8
6. En el cuadrado. ABCD. Calcular supermetro. Si : .
A) 40 B) 48 C) 50D) 24 E) 64
7. Del cuadriltero. Calcular : x. Si:
A) 20 B) 5 C) 25D) 10 E) 15
8. Del paralelogramo. Calcular: x.
A) 30 B) 20 C) 10D) 15 E) 40
9. Calcular el permetro de un paralelogramocuyos lados no paralelos miden 5 y 10.
A) 20 B) 15 C) 40D) 30 E) 45
10. En un paralelogramo la medida de un lado esel cudruple de la medida del otro; si supermetro es 100. Calcular la medida del ladomayor.
A) 30 B) 40 C) 20D) 10 E) 15
BC//AD
B C
A D
60
4 3 6 3
B C
A DE
AC 12 2
B C
A D
BC //AD
B C
A D
1 3 0
5x
B C
A D
4x
80
TAREA DOMICILIARIA N 15
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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73
si las bases mayor y menor miden: 20 y 40respectivamente.
A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 10
2. Calcular la medida del segmento que une lospuntos medios de las diagonales ; en el
trapecio ABCD, donde . Adems:BC=4 y AD=8.A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) 2
3. En el rectngulo ABCD. Calcular AB. SiBD=20
A) 16 B) 12 C) 14D) 13 E) 10
4. Calcular el permetro de un paralelogramo enel cual los lados no paralelos miden 3 y 7
respectivamente.
A) 20 B) 30 C) 40D) 14 E) 18
5. En el trapecio issceles. Calcular m
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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74
Definicin.-
Es el conjunto de todos los puntos de un planoque equidistan de un punto llamado centro. A ladistancia de estos puntos al centro se denominaradio de la circunferencia.
En la figura observamos una circunferencia decentro 0 y radio R.
Entonces:
Si Qes un punto interior a la circunferenciaOQR.
Si Pes un punto de la circunferencia OP=R.
LNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA
Cuerda :
Dimetro :
Flecha o sagita :
Recta Tangente :
Recta Secante :
Arco :
T : Es el punto de tangencia
Crculo.
Es la porcin de plano limitado por la
circunferencia.El permetro del crculo es igual a la longitud de lacircunferencia.
: Longitud de la circunferenciaR : Radio de la circunferencia
La medida angular de una circunferencia es igual a360.
ngulos Asociados a la Circunferencia.ngulo Central
ngulo Inscrito
R
P
Q
o
S
R R
R
A B
C
DE
F
M
N
T
L S
LTO
CD
AB
EF
TL
S
L
MN
L = 2 R
L
B
A
R
o
Se cumple:
= AB
A
B
Se cumple:
AB
2
GEOMETRA.
PROBLEMAS SOBRE CUADRILTEROS
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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75
ngulo SemiInscrito
ngulo Ex-inscrito
ngulo Interior
ngulo Exterior
A)
B)
C)
PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN LACIRCUNFERENCIA.
01.
02.
B
A
Se cumple:
AB
2
A
B
C
Se cumple:
AB + BC
2
B
A
D
C
Se cumple:
AB + CD
2
A
B
C
Se cumple:
AB - ACB
2
Adems
+ ACB= 180
A
BC
Se cumple:
AB - AC
2
A
B
C
D
Se cumple:
AB - CD
2
PR
o
LT
Si: R: Rad io
LT: Recta Tangente
R LT
N
M
A
B
PO
AP = PB
AN = NB
AM = MB
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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76
1. Del grfico. Calcular: x. Si: 0 es centro.
2. Del grfico. Calcular x. Si 0es centro.
3. Del grfico. Calcular x.
4. Del grfico. Calcular: x.
5. Calcular: x. Si: y .
6. Del grfico. Calcular: Si
.
7. Del grfico: y .Calcular. X
8. Del grfico. Calcular. Si
9. En la circunferencia. Calcular:
10. Del grfico. Si .
Calcular: x.
0 40
X
0 80
X
80 x
A
B
x30
mAB= 40 mCD= 60
A
C
D
B
x
mAD
mBC = 100
A
C
B
40
D
mAD = 60 mBC = 30
A
C
D
B
x
mAD mBC= 20
A
C
D
B
60 x E
40
C
D
A
B
mAB= mAC mAB= 100
xA
C
B
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 16
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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1. Si 0 es centro. Calcular:
A) 70 B) 80 C) 90D) 100 E) 120
2. Del grfico. Calcular .
A) 40 B) 52 C) 30D) 26 E) 13
3. Del grfico. . Calcular: x.
A) 40 B) 30 C) 50D) 60 E) 70
4. Del grfico y . Calcular:x.
A) 30 B) 40 C) 60D) 50 E) 20
5. Del grfico: y .Calcular: x.
A) 70 B) 80 C) 100D) 90 E) 60
6. Del grfico; y Calcular:x.
A) 30 B) 40 C) 50D) 20 E) 55
7. Del grfico. Calcular: . Si:
A) 60 B) 40 C) 10D) 20 E) 30
8. Si: 0 es el centro. Calcular el dimetro. Sir=8.
A) 12 B) 22 C) 22D) 18 E) 16
9. Del grfico. Calcular: x.
A) 60 B) 50 C) 40D) 30 E) 70
10. Si r=4. Calcular el permetro de lacircunferencia. 0=centro.
A) 8 B) 12 C) 4D) 6 E) 10
mABA
B
0 70
52
B
C
A
mAB= 120
2xA
B
C
mAB= 40 mDC= 60
A B
D C
x
mAB= 8 0 mDC= 1 0 0
A B
D C
x
mAB= 80 m C D = 2 0
A
B
C
D
x
mAB m C D = 2 0
A
B
C
D
10
r
0
30
x
A
C
D
B
o r
TAREA DOMICILIARIA N 16
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
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78
1. Si O es centro. Calcular: x.
A) 100 B) 120 C) 130D) 140 E) 150
2. Del grfico. Calcular: x.
A) 60 B) 70 C) 80
D) 90 E) 100
3. Del grfico la; , Calcular:x.
A) 20 B) 30 C) 40D) 60 E) 50
4. Del grfico. y .Calcular: x.
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
5. Del grfico. . Si m
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
79/105
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Alwa s a ste orward 1er Grado de Secundaria
79
BARICENTRO.- Es el punto de concurrencia delas tres medianas de un tringulo. Adems dichopunto determina en la mediana dos segmentos queestn en la relacin de 2 a 1.
Si: G: es baricentro
INCENTRO.-
Es el punto de concurrencia de las tres bisectricesinteriores de un tringulo.
Adems dicho punto ser el centro de lacircunferencia inscrita al tringulo y equidista conlos lados del tringulo.
Si: I es incentro
Adems:
PROPIEDAD:
EXCENTRO.-Es el punto de concurrencia de dos bisectricesexteriores y una bisectriz interior del tercer ngulo.
Todo tringulo tiene tres excentros adems, dichopunto ser el centro de la circunferencia ex-inscritaal tringulo y equidista de los lados.
Si: E: ExcentroE : Centro de la CircunferenciaAdems:
PROPIEDAD.-
01. 02.
B
C
a
a
m
2m2n
c
M N
bb
l
2 l
G n
LA
c
BG 2 AG 2 CG 2; ;
GL 1 GN 1 GM 1
A C
B
I
A C
B
M N
rr
r
I
L
I : Centro de la Circunferencia
IL : IM = IN = r
I
x x 902
E2
E1B
A
E3
C
A
C
N
B
E
R
R
R
L
M
EN EM EL R
x
E
x
E
x 902
x
2
GEOMETRA.
PUNTOS NOTABLES
-
7/26/2019 Geometria 1ro Ok (1)
80/105
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80
Es el punto de concurrencia de las tres alturas enun tringulo.En un acutngulo, su ortocentro se encuentra en elinterior del tringulo.Si DABC es acutngulo y H es ortocentro.
En un tringulo rectngulo su ortocentro seencuentra en el vrtice del ngulo recto.
En un tringulo obtusngulo su ortocentro seencuentra en el vrtice del ngulo recto.
CIRCUNCENTRO.- Es el punto de concurrenciade las mediatrices en un tringulo.En un tringulo acutngulo el circuncentro seencontrara en el interior del tringulo siendo dichopunto el centro de la circunferencia circunscrita altringulo y dicho punto equidista de sus vrtices.
Si: DABC es acutnguloy Oes circuncentro
Adems:
En un tringulo rectngulo el circuncentro seencontrar en el punto medio de la hipotenusa,siendo dicho punto el centro de la circunferenciacircunscrita al tringulo y dicho punto equidista desus vrtices.
Si ABC es rectnguloy Oes circuncentro
Adems:
En un tringulo obtusngulo el circuncentro seencontrar en el exterior relativo al lado que seopone al ngulo obtuso del tringulo siendo dichopunto el centro de la circunferencia circunscrita altringulo y dicho punto equidista de sus vrtices.
Si es obtusnguloy Oes circuncentro
O es un punto exterior relativo al lado que seopone al ngulo obtuso.
Adems:
ACL
M
B
N
H
"H" al interior del triangulo
CA L
B
Si: ABC es rectngulo
y B: es ortocen tro
B es en vrtice
de l ngulo recto
C
B
L
M
A
N
H
Si: ABC es obtusngulo
y H es ortocentro
"H " al exterior del triangulo relativo a