GEOMETRÍA PLANA II · Rectas y puntos notables en un triángulo Relaciones métricas en un...

Semejanza de triángulosCasos o criterios de semejanza

Rectas y puntos notables en un triánguloRelaciones métricas en un triángulo rectángulo

Relaciones métricas en un triángulo oblicuángulo

GEOMETRÍA PLANA IICurso de Perfeccionamento Docente

WILSON DÍAZ C. & VÍCTOR COAQUIRA C.

Ayacucho, February 2015

WILSON DÍAZ C. & VÍCTOR COAQUIRA C. Curso de Perfeccionamento Docente

1 Semejanza de triángulosCasos o criterios de semejanzaTeorema Fundamental de la proporcionalidad

2 Casos o criterios de semejanzaTeoremas

3 Rectas y puntos notables en un triánguloCevianaMedianaMediatrizAlturaBisectriz

4 Relaciones métricas en un triángulo rectánguloTeoremas

5 Relaciones métricas en un triángulo oblicuánguloTeoremas

Casos o criterios de semejanzaTeorema Fundamental de la proporcionalidad

Semejanza de triángulos

DefiniciónDos triángulos son semejantes si, y solamente si, poseen los tres ángulosordenadamente congruentes y los lados homólogos proporcionales.

Notación: ∼

∆ABC ∼ ∆A′B ′C ′ ⇔ ]A ∼= ]A′,]B ∼= ]B ′,]C ∼= ]C ′ Ademásaa′ ,

bb′ ,

Dos lados homólogos (homo = mismo, logos = lugar) son tales que cadauno de ellos está en un triángulo y ambos son opuestos a ánguloscongruentes.

Semejanza de triángulos

DefiniciónDos triángulos son semejantes si, y solamente si, poseen los tres ángulosordenadamente congruentes y los lados homólogos proporcionales.

Notación: ∼

∆ABC ∼ ∆A′B ′C ′ ⇔ ]A ∼= ]A′,]B ∼= ]B ′,]C ∼= ]C ′ Ademásaa′ ,

bb′ ,

Dos lados homólogos (homo = mismo, logos = lugar) son tales que cadauno de ellos está en un triángulo y ambos son opuestos a ánguloscongruentes.

Teorema Fundamental de la proporcionalidadPropiedades de la dénición de triángulos semejantes se tienen lassiguientes propiedades:

ReflexivaSimétricaTransitiva.

Teorema 1 (Teorema fundamental de la proporcionalidad)

Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo e intercepta alosotros dos en puntos distintos, entonces el triángulo que ella determinaes semejante al primero.

Teoremas

Casos o criterios de semejanza

Teorema 2 (Primer caso)

Si dos triángulos poseen dos ángulos ordenadamente congruentes,entonces ellos son semejantes.

Teorema 3 (Segundo caso)

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a los homólogos de otrotriángulo y los ángulos comprendidos son congruentes, entonces lostriángulos son semejantes.

Teorema 4 (Tercer caso)

Si dos triángulos tienen los lados homólogos proporcionales, entonces sonsemejantes.

Teoremas

CevianaMedianaMediatrizAlturaBisectriz

Ceviana

DefiniciónSe llama ceviana de un triángulo aquel segmento que une un vérrtice deltriángulo con un punto cualquiera de su lado opuesto o de laprolongación de este lado.

Se denominaceviana exterior si el punto está en la prolongación del ladoopuesto,ceviana interior si el punto está en el lado opuesto del triángulo.

Ceviana

Mediana

DefiniciónUna mediana de un triángulo es aquel segmento que une un vértice deltriángulo con el punto medio del lado opuesto.

En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, una relativa a cadalado.

Teorema 5Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamadobaricentrotro, denotado generalmente por G.

Mediana

Mediatriz

DefiniciónUna mediatriz de un triángulo es la recta perpendicular a un lado deltriángulo, que pasa por el punto medio del lado y está contenido en elplano del triángulo.

En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cadalado.

Mediatriz

DefiniciónUna mediatriz de un triángulo es la recta perpendicular a un lado deltriángulo, que pasa por el punto medio del lado y está contenido en elplano del triángulo.

En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cadalado.

Mediatriz

Teorema 6Las tres mediatrices de un triángulo se intersectan en un punto llamadocircuncentro. El circuncentro equidista de los tres vértices del triánguloy es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, además suradio se denomina circunradio.

Mediatriz

Teorema 6Las tres mediatrices de un triángulo se intersectan en un punto llamadocircuncentro. El circuncentro equidista de los tres vértices del triánguloy es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, además suradio se denomina circunradio.

Altura

DefiniciónUna altura de un triángulo es aquel segmento perpendicular a la rectaque contiene a un lado del triángulo, trazado desde el vértice opuesto adicho lado, el otro extremo (de la altura) está en la recta.

En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado.

Teorema 7Las tres alturas de un triángulo se intersectan en un punto denominadoortocentro..

Altura

Bisectriz interior

DefiniciónLa bisectríz interior es una ceviana interior que forma con cada uno delos lados adyacentes a ella ángulos de igual medida.

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativaa cada ángulo interior.

Teorema 8Las tres bisectrices interiores de un triángulo se intersectan en un puntodenominado incentro. El incentro equidista de los tres lados deltriángulo. Y además es el centro de la circunferencia inscrita al triánguloy tangente a dichos lados.

Bisectriz interior

Bisectriz exterior

DefiniciónLa bisectríz exterior Es aquella ceviana exterior que biseca un ánguloexterior del triángulo.

Teorema 9La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectrizexterior es igual a la medida del tercer ángulo entre dos.

Bisectriz exterior

Teoremas

Relaciones métricas en un triángulo rectánguloEn el triángulo rectángulo ABC recto en B, mostrado, se dan importantesresultados.

Teorema 10En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto esigual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyecciónortogonal de dicho cateto respecto a la hipotenusa. Esto es, en eltriángulo rectángulo ABC mostrado, c2 = bm; a2 = bn .

Teoremas

Relaciones métricas en un triángulo rectánguloEn el triángulo rectángulo ABC recto en B, mostrado, se dan importantesresultados.

Teorema 10En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto esigual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyecciónortogonal de dicho cateto respecto a la hipotenusa. Esto es, en eltriángulo rectángulo ABC mostrado, c2 = bm; a2 = bn .

Teoremas

Teorema 11 (Teorema de Pitágoras)

En todo triángulo rectángulo ABC, se cumple que: b2 = a2 + c2

Teorema 12En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a lahipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyeccionesortogonales de los catetos respecto de dicha hipotenusa. En el triángulorectángulo ABC, mostrado,

h2 = m.n

Demostración: Por semejanza de los triágulos ( 4AHB ∼ 4BHC )

=⇒ h2 = m.n

Teoremas

h2 = m.n

=⇒ h2 = m.n

Teoremas

h2 = m.n

=⇒ h2 = m.n

Teoremas

Teorema 13En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetoses igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativaa dicha hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, mostrado,

ca = bh

Teorema 14En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de laaltura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de loscuadrados de las longitudes de sus catetos. En el triángulo rectánguloABC, mostrado,

Teoremas

Teorema 13En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetoses igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativaa dicha hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, mostrado,

ca = bh

Teorema 14En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de laaltura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de loscuadrados de las longitudes de sus catetos. En el triángulo rectánguloABC, mostrado,

Teoremas

Un triángulo oblicuángulo es aquel donde ninguno de sus ángulos mide90◦. Obviamente no se puede usar el teorema de Pitágoras.Los problemas en un triángulo oblicuángulo se resuelven por leyes desenos y de cosenos.

Teoremas

Un triángulo oblicuángulo es aquel donde ninguno de sus ángulos mide90◦. Obviamente no se puede usar el teorema de Pitágoras.Los problemas en un triángulo oblicuángulo se resuelven por leyes desenos y de cosenos.

Teoremas

Teorema 15 (Teorema de las proyecciones)

En todo triángulo, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de doslados es igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de susrespectivas proyecciones ortogonales respecto al tercer lado. En el gráficoconsiderado el teorema afirma que a2 − c2 = m2 − n2

Demostración: Solo en el caso de un triángulo acutángulo, u < 90◦;v < 90◦. Sobre el lado AC proyectamos los lados AB y BC , con AH yHC , delongitudes n y m, respectivamente.

4BHC : a2 = m2 + h2

4ABH : c2 = n2 + h2

Restando las ecuaciones

a2 − c2 = m2 − n2

. WILSON DÍAZ C. & VÍCTOR COAQUIRA C. Curso de Perfeccionamento Docente

Teoremas

Teorema 15 (Teorema de las proyecciones)

En todo triángulo, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de doslados es igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de susrespectivas proyecciones ortogonales respecto al tercer lado. En el gráficoconsiderado el teorema afirma que a2 − c2 = m2 − n2

Demostración: Solo en el caso de un triángulo acutángulo, u < 90◦;v < 90◦. Sobre el lado AC proyectamos los lados AB y BC , con AH yHC , delongitudes n y m, respectivamente.

4BHC : a2 = m2 + h2

4ABH : c2 = n2 + h2

Restando las ecuaciones

a2 − c2 = m2 − n2

. WILSON DÍAZ C. & VÍCTOR COAQUIRA C. Curso de Perfeccionamento Docente

Teoremas

Teorema 16 (Teorema de Euclides)

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado que se opone ala medida de un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de laslongitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de laslongitudes de uno de ellos y la proyección ortogonal del otro sobre aquel.

Teoremas

Teorema 16 (Teorema de Euclides)

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado que se opone ala medida de un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de laslongitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de laslongitudes de uno de ellos y la proyección ortogonal del otro sobre aquel.

Teoremas

Teorema 17 (Teorema del Coseno)

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos eldoble del producto de las longitudes de dichos lados y el coseno de lamedida del ángulo determinado por ellos.

Demostración: Por el teorema de Euclides, en el triángulo ABC,a2 = b2 + c2 − 2bm. Luego, en el 4ABH : m = c . cos(u).Reemplazando en la igualdad anterior a2 = b2 + c2 − 2bc cos(u).

Teoremas

Teorema 17 (Teorema del Coseno)

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos eldoble del producto de las longitudes de dichos lados y el coseno de lamedida del ángulo determinado por ellos.

Demostración: Por el teorema de Euclides, en el triángulo ABC,a2 = b2 + c2 − 2bm. Luego, en el 4ABH : m = c . cos(u).Reemplazando en la igualdad anterior a2 = b2 + c2 − 2bc cos(u).

Teoremas

Teorema 18 (Teorema de Stewart)

En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los ladosadyacentes a una ceviana interior multiplicados con las longitudes de lossegmentos parciales opuestos a dichos lados determinados por la cevianaen su lado relativo es igual al producto del cuadrado de la longitud dedicha ceviana con la longitud de su lado relativo más el producto de laslongitudes de dicho lado y el de los segmentos parciales. En la figuraa2m + c2n = x2b + bmn .

Teoremas

Teorema 18 (Teorema de Stewart)

En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los ladosadyacentes a una ceviana interior multiplicados con las longitudes de lossegmentos parciales opuestos a dichos lados determinados por la cevianaen su lado relativo es igual al producto del cuadrado de la longitud dedicha ceviana con la longitud de su lado relativo más el producto de laslongitudes de dicho lado y el de los segmentos parciales. En la figuraa2m + c2n = x2b + bmn .

Teoremas

Teorema 19 (Teorema del cálculo de la mediana)

En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de doslados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer ladomás la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figuraque se muestra,conociendo la langitud de los lados del triángulo ABC, sepuede determinar la longitud de la mediana, c2 + a2 = 2m2 + b2

Teoremas

Teorema 19 (Teorema del cálculo de la mediana)

En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de doslados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer ladomás la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figuraque se muestra,conociendo la langitud de los lados del triángulo ABC, sepuede determinar la longitud de la mediana, c2 + a2 = 2m2 + b2

Teoremas

Teorema 20 (Teorema del cálculo de la bisectriz interior)

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la bisectriz interior esigual a la diferencia de los productos de las longitudes de los ladosadyacentes a dicha bisectriz y los segmentos determinados por dichabisectriz en el lado al cual es relativo, x2 = ca−mn.

Demostración: Sea C la circunferenciacircunscrita al triángulo ABC.Por el teorema de isogonales en el triánguloABC, ca = x(x + y) = x2 + xy .Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn .Reemplazando x2 = ca − mn

Teoremas

Teorema 20 (Teorema del cálculo de la bisectriz interior)

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la bisectriz interior esigual a la diferencia de los productos de las longitudes de los ladosadyacentes a dicha bisectriz y los segmentos determinados por dichabisectriz en el lado al cual es relativo, x2 = ca−mn.

Demostración: Sea C la circunferenciacircunscrita al triángulo ABC.Por el teorema de isogonales en el triánguloABC, ca = x(x + y) = x2 + xy .Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn .Reemplazando x2 = ca − mn

Teoremas

ObservacionesRespecto al teorema anterior.

Rayos isogonales.Dos Rayos son isogonales con respecto a los lados de un ángulo conorigen en el vértice del ángulo, cuando estando ambos en el interior o enel exterior, forman ángulos congruentes con los lados del ángulo.

Teorema de las isogonales.En todo triángulo se cumple que el producto de dos lados es igual alproducto de sus isogonales, donde una de ellas está limitada por el tercerlado y la otra por la circunferencia circunscrita al triángulo.

Teoremas

ObservacionesRespecto al teorema anterior.

Rayos isogonales.Dos Rayos son isogonales con respecto a los lados de un ángulo conorigen en el vértice del ángulo, cuando estando ambos en el interior o enel exterior, forman ángulos congruentes con los lados del ángulo.

Teorema de las isogonales.En todo triángulo se cumple que el producto de dos lados es igual alproducto de sus isogonales, donde una de ellas está limitada por el tercerlado y la otra por la circunferencia circunscrita al triángulo.

Teoremas

Teorema 21 (Teorema del cálculo de la altura)

En todo triángulo, la longitud de una altura es igual al doble de la inversade la longitud del lado al cual es relativa multiplicada contre elsemiperámetro de la región limitada por dicho triángulo y la diferencia dedicho semiperámetro con la longitud de cada uno de los lados.

Esto es:h =

√p(p − a)(p − b)(p − c)

siendo p el semiperímetro del triángulo.

Teoremas

Teorema 21 (Teorema del cálculo de la altura)

En todo triángulo, la longitud de una altura es igual al doble de la inversade la longitud del lado al cual es relativa multiplicada contre elsemiperámetro de la región limitada por dicho triángulo y la diferencia dedicho semiperámetro con la longitud de cada uno de los lados.

Esto es:h =

√p(p − a)(p − b)(p − c)

siendo p el semiperímetro del triángulo.

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