Geometría Analítica - Rectas

Se presentarán una serie de ejercicios resueltos paso a paso, referentes al tema de Geometría

Analítica - Rectas. Además, de lo referente a cálculo de distancia entre puntos (longitudes de

segmentos), distancia de un punto a una recta, áreas, perímetros, etc.

Objetivo del Aprendizaje:

Manejar las distintas formas de la ecuación de una recta y también establecer la relación Gráfica –

Ecuación, a partir de los parámetros que la rigen. Conectar estos conocimientos con las

operaciones hechas en cursos previos, tales como: sistemas de ecuaciones y función afín.

Desde un enfoque muy simple, podemos definir a la Geometría Analítica, como el estudio de

ciertas figuras geométricas aplicando técnicas de análisis matemático y álgebra, en el contexto de

un sistema de coordenadas cartesiano. A saber, podemos establecer una conexión natural entre

figuras geométricas perfectamente constituidas y ecuaciones de la forma: ( ) , donde

es una función y/o aplicación, que nos permite describir mediante esta ecuación un lugar

geométrico específico.

Definición (Plano Cartesiano)

El plano cartesiano , se define como el producto cartesiano de consigo mismo, es decir,

podemos observar que:

*( ) +

Dados dos puntos en , de la forma: ( ) y ( ), tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( )

En este contexto, podemos establecer que a cada punto en el plano, le corresponde un

par ordenado y a cada par ordenado, le corresponde un único punto en el plano. Al eje

horizontal (eje ), lo denotaremos por el eje de las abscisas y al eje vertical (eje ), lo

denotaremos por el eje de las ordenadas. El punto de encuentro de estas dos rectas

perpendiculares, lo denominaremos origen del sistema de coordenadas y sus

coordenadas están dadas por el ( ). La intersección de estos ejes, determina zonas

en el plano que resultan importantes de destacar: Semiplanos, cuadrantes, etc.

Ejemplo

Determine la ubicación de los puntos ( ) y ( ).

Para ubicar al punto denotado por , nos ubicamos en el

eje de las abscisas y a partir del origen, recorremos tres

unidades a la izquierda (oeste) y desde ese punto,

recorremos dos unidades hacia arriba (norte). Haciendo un

análisis similar para el punto , primero recorremos dos

unidades a la derecha y luego, cuatro unidades arriba

Ejemplo

Dados los puntos ( ) ( ) ( ), en el plano

cartesiano. Ubicaremos los puntos: ( ) ( ) ,

( ) y .

/.

En este contexto, es importante reconocer la naturaleza de

las coordenadas y no la representación a simple vista.

Podemos observar que el punto ( ), está en el tercer

cuadrante y por tanto, ambas coordenadas son negativas, es decir y en consecuencia,

. Por consiguiente, ( ) está en el cuarto cuadrante y para encontrarlo, basta con

hacer las reflexiones correspondientes (similarmente, hallamos el punto ( )). Para hallar el

punto ( ), debemos comenzar a analizar magnitudes. Este punto se ubica sobre la misma

vertical, pero la longitud que representa la ordenada, se debe doblar y reflejar con respecto al eje

de las abscisas. Para el punto .

/, reflejamos con respecto al eje de las ordenadas y luego

reducimos a la mitad la magnitud en las abscisas

Definición (Segmento de recta)

La porción de una línea recta comprendida entre dos puntos y

, se denomina segmento o segmento rectilíneo. Los dos

puntos que le dan origen al segmento, se denominan extremos

del segmento. Denotaremos al segmento entre los puntos y ,

por , donde es | | representa su medida.

Medir en geometría, es natural. Esto, en virtud de que la geometría básica se basa en

medidas para poder calcular perímetros, áreas, volúmenes, etc. En cada uno de estos

casos, los segmentos son primordiales para representar una gran variedad de

elementos importantes, tales como: alturas, bases, medianas, bisectrices, mediatrices,

entre otros. En la práctica, es común que se abuse de la notación y que para

representar la medida de un segmento, se utilice la misma notación que lo define. Así

pues, que su interpretación en muchos casos depende del contexto.

Definición (Distancia entre Puntos)

Sean ( ) y ( ) dos puntos en el plano. La distancia

entre los puntos y , se denota por ( ) y se define

mediante la fórmula:

( ) | | √( ) ( )

( )

Propiedades de la distancia:

Sean ( ) y ( ) puntos en . Entonces, la definición de distancia dada en (1), satisface

las siguientes propiedades.

1. ( ) y ( ) ( ) ( )

2. ( ) ( )

3. Si ( ) y es un punto no alineado (no es colineal) con el segmento ,

entonces se satisface la Desigualdad Triangular. A saber,

( ) ( ) ( )

La demostración de estas propiedades es inmediata de la definición presentada en (1)

y la dejamos como ejercicio para el lector. La desigualdad triangular, se deriva de las

desigualdades que se dan entre los segmentos que componen un triángulo y

básicamente, se puede describir como que la medida de cualquier lado siempre es

menor que la suma de las medidas de los otros dos. También podemos ver que la

medida de cualquier lado, siempre debe ser mayor que la diferencia ordenada de los

otros dos lados.

Ejemplo

Calcule la distancia entre los puntos ( ) y ( )

Haciendo la correspondencia de coordenadas para aplicar la fórmula dada en (1), tenemos que:

, , y

( ) √( ) ( ) √( ) ( ) √ √ √

Por lo tanto, la longitud del segmento es 5√ , o bien | | √

Como un hecho geométrico evidente, tenemos que por dos puntos pasa una única recta,

entendiendo el hecho de que una recta puede ser observada como un conjunto continuo de

puntos en una misma dirección. Esta dirección la proporciona el segmento que une dos puntos

cualesquiera de la recta. Más allá de este análisis, queremos conectar el lugar geométrico con el

álgebra y ver la posibilidad de que pueda ser definida por una ecuación y a partir de aquí

comenzar a operar con ellas, usando las propiedades aprendidas en números reales.

Definición (Recta en el Plano)

En palabras, podemos definir a una recta o la línea recta, como una

línea que se extiende en una misma dirección y por lo tanto, tiene

una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dados

( ) y ( ) puntos en el plano, la dirección de la recta

que pasa por ellos, la proporciona el segmento que los une.

La dirección de una recta, la determina el ángulo de inclinación que presenta el

segmento con respecto al eje de las abscisas.

Entonces, la pendiente de una recta se define como la

tangente de la inclinación. A saber, si denotamos por

a la pendiente, tenemos que:

Definición

La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) y ( ), está determinada por la ecuación:

( ) ( )

Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación punto pendiente, donde la pendiente se calcula por:

( )

Desarrollando ( ) obtenemos que:

( ) ( )

donde . A esta última forma de escribir la ecuación de una recta, se le conoce con el

nombre de forma canónica.

En general, podemos expresar a una ecuación en su forma canónica ( ) o en su forma de punto

pendiente ( ), desde la forma general de la ecuación de una recta. A saber, si

( )

En efecto, despejando la variable de la ecuación ( ), obtenemos que:

donde

y

(valor donde corta al eje ).

En resumen, podemos decir que las ecuaciones dadas en ( ) ( ) y ( ) representan al

mismo lugar geométrico de puntos, pero con distintas condiciones: Si tenemos dos

puntos por donde queremos hacer pasar una recta, la mejor opción es usar la ecuación

( ) si por el contrario, sólo tenemos un punto y la pendiente de la recta la ecuación

( ) es una excelente opción, donde el valor de lo obtenemos al sustituir el punto en

la ecuación y por último, dada una recta como en ( ), la forma ( ) es directa

despejando la variable .

Problema Resuelto

Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos: ( ) y ( ), tanto en forma

canónica como general. Grafique la recta.

Solución.

Para usar la fórmula dada en ( ) debemos escoger un punto

de referencia, donde la escogencia de este punto es

irrelevante para los efectos de la ecuación que se busca, esto

en virtud de que la recta pasa por ambos puntos. Tomaremos

entonces al punto ( ) (dejamos al lector realizar los

cálculos de la recta, tomando como referencia al punto

( )). Por tanto, tenemos que: y y en

consecuencia, y . Luego, sustituyendo estos valores, nos queda:

(

) ( ) ( ) ( ( )

) ( ) ( )

Finalmente, la forma general está dada por: y la forma canónica por la

ecuación:

En este último ejemplo, dada su forma canónica podemos notar rápidamente que tiene pendiente

y que corta al eje de las ordenadas en el valor .

Si la pendiente de una recta es creo ( ), la recta es contante. Si una recta tiene

pendiente , entonces es creciente y si tiene pendiente , entonces será

decreciente. Si , su corte con el eje de las ordenadas será en el semiplano

superior y si por el contrario, cortará en el semiplano inferior y si , pasa

por el origen del sistema de coordenadas. Además, el corte con el eje de las abscisas

(Eje ), se dá en el valor

.

Ejemplo

Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto: ( ),

además grafique la recta.

Podemos usar la ecuación dada en ( ) sustituyendo el valor de la

pendiente y para obtener el valor de , basta con sustituir las coordenadas

del punto en las variables e . Veamos,

⇒ ( )

Por tanto, la ecuación de la recta está dada por:

Sabemos ya que una recta desde el enfoque algebraico es un polinomio de primer grado. Cuando

resolvemos sistemas de ecuaciones de primer grado, básicamente estamos encontrando (si existen)

el o los puntos de corte de estas rectas. Pero sabemos además, que un sistema de estos puede

tener tres posibilidades:

El sistema tiene solución única, es decir, las rectas se cortan en un único punto y decimos

en este caso que son rectas secantes.

El sistema no tiene solución, es decir, las rectas no se cortan y en este caso decimos que

las rectas son paralelas.

El sistema tiene infinitas soluciones, es decir, tiene infinitos puntos de corte, pero

sabemos que dos puntos determinan a una única recta, de donde podemos deducir que

son la misma recta.

Claramente, dos rectas son secantes si se cortan en un punto. Ahora bien, una pregunta natural es

determinar de qué forma se da ese corte, es decir, cuál es el ángulo que forman cuando se cortan,

ya que si se cortan en un ángulo de , entonces diremos que son perpendiculares u

ortogonales. Por otra parte, necesitamos encontrar la relación entre el ángulo entre rectas y sus

pendientes.

Definición

Sean y dos rectas en el plano con pendientes y respectivamente. Entonces diremos que:

Las rectas son paralelas, si y sólo si, tienen el mismo ángulo con respecto al eje horizontal. A saber, son paralelas, si y sólo si, tiene la misma pendiente.

( )

Las rectas son perpendiculares, si y sólo si, el ángulo de intersección es de . A saber, las rectas serán perpendiculares, si y sólo si, el producto de las pendientes es .

( )

Problema Resuelto

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) y ( ). Además,

determine las ecuaciones de la recta paralela y de la recta perpendicular a y que pasan por el

punto ( ) Finalmente, determine el área del triángulo .

Solución.

Para encontrar la ecuación de la recta por los puntos

dados, procedemos a aplicar la fórmula dada en ( ),

tomando como punto de referencia el punto ( ).

Veamos,

(

( )) ( ( ))

Resolviendo dentro de los paréntesis

( )

Podemos usar nuevamente la misma fórmula para encontrar la ecuación de la recta que es paralela a , teniendo en cuenta que la pendiente en este caso es la misma pero que el punto de referencia ahora será ( ). Entonces,

( )

( )

Para el caso de la recta ortogonal o perpendicular, usamos la misma fórmula con el mismo punto de referencia, pero ahora la pendiente debe ser , ya que este es el número que multiplicado por la pendiente de , da como resultado . Entonces, la ecuación de está dada por:

( ) ( )

Para calcular el área del triángulo, debemos hallar las longitudes de la base y de la altura

. Claramente, debemos hallar primero el punto que representa a la intersección de la recta con la recta y para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones escribiendo a cada recta en su forma general, es decir

Entonces,

{

⇒

⇒

Luego, el punto de intersección es .

/. Haciendo uso de la fórmula presentada en ( ) para

hallar la distancia entre dos puntos, tenemos que:

( ) √( ( )) ( ) √ √ , -

Además,

( ) √(

)

(

( ))

√(

)

(

)

√

√

√

Que representa la longitud de la altura del triángulo. Finalmente,

√ √

En el Problema anterior, utilizamos la relación dada en ( ) para obtener la ecuación de la recta . Ahora bien, una pregunta natural es determinar el origen de esta relación, que aunque fue dada como una definición, podemos determinar esta relación usando geometría básica.

Demostración de la Propiedad de Ortogonalidad:

Consideremos dos rectas perpendiculares por el origen (el problema es similar en cualquier

lugar del plano, pero esta forma optimiza el proceso), y . Si

consideramos la primera recta creciente ( ) entonces necesariamente por construcción

tenemos que , es decir la segunda recta debe ser decreciente. Entonces, debemos

demostrar que .

Ahora bien, consideremos adicionalmente la unidad en el eje

para construir dos triángulos rectángulos donde cada uno

tiene un cateto de longitud . Sabemos de trigonometría básica

que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto

opuesto y el adyacente, de donde

Por otra parte, como , tenemos que siempre es

cierto que: Para demostrar este hecho

basta considerar un triángulo rectángulo y como son ángulos complementarios las relaciones de los

cocientes se invierten. En este caso, el único cambio es justamente la relación de signos, ya que

sabemos que , de donde en el triángulo inferior debe verificarse que:

ya que está medido negativo y la función tangente es impar, entonces . De donde,

O bien, para el triángulo inferior:

.

A partir de este principio, podemos entonces pensar

en conseguir la distancia entre entes geométricos de

distintas dimensiones: un punto (dimensión cero) y una

recta (dimensión uno). El caso entre dos rectas

paralelas, lo podemos enfocar desde lo anteriormente

expuesto y corroboraremos el hecho con un problema

resuelto más adelante. Para calcular la distancia de un

punto a una recta, consideraremos una recta

, con y un punto

exterior a ella ( ). Si este punto no fuese exterior,

no tiene sentido calcular la distancia, ya que

evidentemente es cero.

Calculemos la ecuación de la recta , usando la ecuación presentada en ( ), donde sabemos

que la pendiente es:

, ya que si despejamos en , nos queda que

. Entonces,

( ) ( )

Resolvemos el sistema de ecuaciones generado por las rectas y , de donde nos queda:

{

⇒

( )

De donde nos queda que

( )

Haciendo la sustitución de (9) en la primera ecuación, obtenemos que:

* (

)+

*

+

Finalmente,

( )

Las ecuaciones ( ) y ( ) representan las coordenadas del punto de intersección que se observa

en el gráfico adjunto. Debemos entonces, hallar la distancia entre el punto dado ( ) y este

punto obtenido, haciendo uso de la fórmula dada en ( ). Veamos entonces,

( ) √(

)

(

)

Operando en cada paréntesis,

( ) √(

)

(

)

De donde,

( ) √( , -

)

( , -

)

Finalmente,

( ) √, - (

, - ) ( )

√, -

√

Y usando la definición de valor absoluto, obtenemos el siguiente resultado.

Proposición

Sea , con y una recta en el plano y sea ( ) un punto

exterior a ella. Entonces la distancia del punto a la recta , se determina por la fórmula:

( ) | |

√ ( )

Ejemplo

Determine la distancia del punto ( ) a la recta .

Aplicando directamente ( ) se tiene que:

( ) | |

√

√

Para poder usar ( ) siempre se debe escribir a la recta en su forma general, para así

identificar correctamente los coeficientes que intervienen en esta.

ING-ALGI/Rectas/APT/2019