Geodesia Para Dummies 1_geometria Del Elipsoide [130411]

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE

TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA

GEODESIA PARA DUMMIES

Preparado por: * Edilberto Niño N. [email protected]

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CAPÍTULO 1

LA ELIPSE

En la figura 1, se muestra un dibujo de una,

teniendo en cuenta, dicha figura se puede

decir que la elipse es el lugar geométrico de

los puntos que cumplen la siguiente relación:

PF+PF=2a; donde P es cualquier punto de la

elipse, F y F´ son los llamados focos de la

elipse ver, figura 1.

Los elementos geométricos de la elipse se

enuncian a continuación:

F, F´: Focos

AA´: Eje mayor = 2a.

OA: Semieje mayor = a.

BB´: Eje menor = 2b.

OB: Semieje menor = b.

e: Excentricidad.

f: Aplanamiento.

La distancia AA´ es llamada eje mayor de la

elipse, con lo que OA = OA´ = AA´/2=a, don-

de a es el semieje mayor de la elipse.

La distancia BB´ es llamada eje menor de la

elipse, con lo que OB = OB´ = BB´/2=b.

Donde b es el semieje menor de la elipse.

De la definición de la elipse se pueden escribir

las ecuaciones (1.1) y (1.2).

Excentricidad de la elipse.

En el área de las matemáticas y la geometría

la excentricidad se entiende como el paráme-

tro que determina el grado de desviación de

una sección cónica, con respecto a una circun-

ferencia [1], en la figura 2 se muestran un

ejemplo con la excentricidad de los valores de

algunas cónicas.

La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0). La excentricidad de una elipse es ma-yor que cero y menor que 1. (0<e < 1). La excentricidad de una parábola es 1. (e = 1). La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. (e > 1). [1]

Para el caso de una Elipse, la excentricidad (e)

puede tomar valores entre cero y uno. Enton-

ces la excentricidad de la elipse depende de

que tan lejos estén los focos del centro de la

elipse, y además del valor del semieje mayor,

así que la excentricidad se expresa mediante la

ecuación 1.3.

P

F´ F

a

b

O

2a

2b

Figura 1.1. La Elipse y sus elementos geométricos

A´ A

B´

B

e=1

e=2

e=∞

e=0

e=0,5

Figura 1.2 La excentricidad de las

cónicas.





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=e. (1.3)

Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y los

focos estarán en el centro O, así, la elipse se

convierte en una circunferencia.

Teniendo en cuenta que OF=OF´, y

FB+F´B=2a, y como FB=F´B (ver figura 3)

entonces 2BF=2ª y por tanto BF=a.

Por definición la excentricidad está dada por

la ecuación 1.4.

Aplicando el teorema de Pitágoras, en el

triangulo OBF de la figura 3, se puede plante-

ar la ecuación 1.5.

De la ecuación 3 se tiene , y reempla-

zando este valor en la ecuación 4, tenemos.

Realizando procesos algebraicos a esta ecua-

ción tenemos:

La ecuación 1_8 se conoce como la primera

excentricidad de la elipse.

De manera similar se deriva la segunda excen-

tricidad de la elipse, la cual se muestra en la

ecuación 1_9.

El aplanamiento f, (de las iníciales del voca-

blo en ingle flat), está dado por la ecuación

1_10

.

Nota: Una elipse desde el punto de vista ge-

ométrico queda definida, cuando se conoce el

semieje mayor y el inverso del aplanamiento,

a, 1/f.

Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide de

Referencia Geodésico GRS80, tiene paráme-

tros geométricos básicos, los siguientes:

a=6378137 m

f= 1/298,2572221008827.

Otros parámetros de una elipse:

Excentricidad lineal [2].

Radio de curvatura polar [2].

Figura 1.3 Elementos Geométricos

básicos de la Elipse

c c

F´ F O A

P=B

a b





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Ecuación de la Elipse en un plano X, Y.

Se requiere hallar una expresión matemática

que permita describir una elipse en un plano

XY.

De la figura 1.4, se toman los triángulos

F´PM, y FMP, aplicando el teorema de Pitá-

goras para dichos triángulos tenemos:

Para el triangulo: F´PM.

Para: FMP.

Se toma la ecuación 1, y se reemplaza en ésta,

los términos de la derecha de las ecuaciones

1.10 y 1.11, resultando la siguiente ecuación.

Transponiendo el primer termino de la dere-

cha en la ecuación 1.13, y elevando todo al

cuadrado, tenemos:

,

,

Expandiendo los trinomios cuadrados, tene-

mos:

Agrupando y suprimiendo términos tenemos:

,

Eliminando el número 4 y transponiendo

términos se tiene:

Elevando al cuadrado a ambos lados de la

ecuación tenemos.

,

Extendiendo los trinomios cuadrados y reali-

zando operaciones tenemos:

,

Suprimiendo términos tenemos:

,

Transponiendo términos tenemos:

,

Agrupando términos se tiene:

,

De la ecuación 3 se tiene que:

, por tanto la ecuación 1.14

de convierte en:

,

F´ F O

Figura 1.4. Elipse en un plano XY

X

P(x, y) Y

x

y

c c

a

b

M

c





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Y dividiendo por a ambos lados de la

ecuación tenemos:

Simplificando tenemos la ecuación de la elip-

se con focos en los puntos F´(0, -x) y F(0, x),

eje mayor 2a, y, eje menor 2b, figura 4, la cual

se muestra en la ecuación 1.15:

EJERCICIOS 1.1:

1. Calcular los parámetros (e, e´, b, f, E y p´,

de las elipses con semieje mayor (a) igual a

los números n, con n perteneciendo a los

divisores propios de los números amigos1

(220, 284). Y c =n1/3, siendo n1, igual a

los números primos impares y menores a

41.

2. Dibujar 2 elipses, ayudándose con una

cuerda, dos tachuelas, un lápiz y una regla.

Comprobar empíricamente las ecuaciones

1 y 2.

3. Investigar el valor de los parámetros ge-

ométricos de la elipse generadora del elip-

soide de Hayford o elipsoide internacional.

4. Investigar el valor de los parámetros ge-

ométricos de la elipse generadora del elip-

soide GRS80.

CAPÍTULO 2

El desarrollo de la geometría de la elipse y del

elipsoide, es una herramienta fundamental en

la conceptualización, desarrollo y aplicación

de la geodesia geométrica.

El Elipsoide de Revolución

Al hacer girar una elipse sobre uno de sus

ejes a, ó, b, (figura 2.1) cada fracción infini-

1 Dos números amigos son dos enteros positivos a y b

tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.

tesimal (muy pequeña) de giro, genera una

nueva elipse, con orientación distinta a la

anterior, ver figura 2.2. La suma de estas elip-

ses da como resultado una superficie denomi-

nada Elipsoide Revolución.

O

Figura 2-1. Elipse

X

Y

a

b

Figura 2-3. Superficie del elipsoide

X

Y

P1(x, y)

O

Figura 2-2. Elipsoide de revolución

X

Y

a

b





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Sobre la superficie del elipsoide de revolución

se ubican “n” puntos. A fin de explicitar las

coordenadas X, Y de un punto sobre el elip-

soide, decimos que por cada punto sobre la

superficie del elipsoide pasa una elipse, como

se muestra en la figura 2.3.

La Elipse Meridiana.

La elipse que pasa por cada punto de la super-

ficie del elipsoide, se le denomina elipse me-

ridiana. Ver figura 2-4.

Coordenadas Geográficas Latitud y Longi-

tud.

Los elementos vistos hasta acá, nos permite

introducir el concepto más importante y estu-

diado en la geodesia y sobre el cual descansa

el desarrollo de las ciencias cartográficas,

topográficas, y en general todas las disciplinas

que están involucradas en la Geomática y las

disciplinas que tienen que ver con las ciencias

de la tierra, e indirectamente con el desarrollo

espacial, las comunicaciones y en general la

vida cotidiana del hombre moderno.

Ese concepto es el de las coordenadas geográ-

ficas Latitud y Longitud. A continuación se

desarrolla lo referente a la latitud, en razón de

que geométricamente es un poco complejo su

conceptualización y su desarrollo matemático

sobre el elipsoide.

Cuando se trata de definir una magnitud en

topografía o geodesia se debe tener muy pre-

sente el siguiente principio: Cuando se va a

realizar una medición se debe siempre reali-

zar las siguientes tres preguntas básicas, des-

de donde mido, sobre que mido y hasta donde

mido.

Latitud

En general la Latitud de un punto es el arco

medido desde el ecuador terrestre sobre el

meridiano o la meridiana que pasa por el pun-

to, hasta el punto.

Como se ve en la grafica (2.5) un punto en la

vida real no está sobre la superficie ideal elip-

soidal, sino que está en la superficie amorfa lo

que se denomina la topografía, es decir el

paisaje sobre el cual nos movemos.

Como esta superficie es completamente amor-

fa, sobre ella no es posible realizar cálculos

matemáticos ni geodésicos, todos los cálculos

se realizan es sobre la superficie del elipsoide.

De acuerdo a lo que se ve en la figura 2.6, por

un punto que este sobre la superficie terrestre

pasan tres verticales, dependiendo a cual su-

perficie se quiere referir dicho punto. Así

mismo se generan ángulos distintos de latitud.

Geoide

Elipsoide

Topografía

P(x, y)

Figura 2.5 Superficies fundamentales en los

estudios geodésicos

O

Figura 2.4. Elipse Meridiana del punto p(x,y)

X

Y

a

b

P(x,y)





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Latitud geodésica : Es el ángulo que for-

ma la vertical al elipsoide con el plano del

ecuador, como se observa en la figura 2-6.

Latitud reducida : Es el ángulo en el cen-

tro de la circunferencia tangente a la elipse en

los extremos del eje mayor (2a) formado entre

el ecuador y el radio de la circunferencia que

va al punto interceptado en ella por la línea

recta perpendicular al semieje mayor de la

elipse que pasa por el punto en consideración,

como se ve en la figura 2.8. Se denomina

también latitud paramétrica o latitud geomé-

trica.

Latitud Geocéntrica : Es el ángulo en el

centro de la elipse entre con el plano del ecua-

dor y el radio geocéntrico del punto en consi-

deración. Como se ve en la figura 2.9.

Relación entre la latitud Geocéntrica y la

latitud reducida.

Geoide Elipsoide

Topografía P(x, y)

Vertical al Geoide

Vertical al Elipsoide

Figura 2.6. Verticales que se generan en un

mismo punto sobre la superficie terrestre.

Figura 2.8 Latitud Reducida

Y

O

X

P

Figura 2.9 Latitud Geocéntrica

Y

O

X

P

Y

O X

P

A

B Q

Figura 2-7. Latitud geodésica





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Relación entre la latitud Geodésica y la lati-

tud reducida.

Longitud Geodésica.

Longitud geodésica de un punto es el ángulo

formado por el plano meridiano geodésico

(elipse meridiana) del punto y el plano meri-

diano geodésico origen o meridiano de Gre-

enwich, se mide sobre el ecuador terrestre,

positiva al este de Greenwich y negativa al

oeste de Greenwich, ver figura 2.10.

Coordenadas Rectangulares X Y de un punto

sobre la Elipse.

A cada punto sobre la elipse meridiana le

corresponde unas coordenadas X, Y, las cua-

les están en función de la latitud geodésica y

los parámetros geométricos de la elipse. A

continuación se derivan la métrica de dichas

coordenadas.

De la figura 2.7, se deduce que la línea AB, es

la tangente a la elipse meridiana en un punto

P(x, y), de la gráfica tenemos que el ángulo

que forma la tangente con el ecuador es

, así, se puede plantear la siguiente

ecuación.

De la ecuación 1.13, conocida como la ecua-

ción de la elipse.

Derivando parcialmente, la ecuación de la

elipse respecto a y, tenemos:

Igualando las ecuaciones 2.5 con 2.6, se tiene:

Sustituyendo el término de la ecuación

1.6, tenemos:

O

Figura 2.10. Longitud Geodésica

E

Z

W

Meridiano

Origen





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Tomando la ecuación de la elipse y reempla-

zando la ecuación 2.7 en la tenemos.

Desarrollando la ecuación 2.7, a fin de obte-

ner una ecuación de X en función de , a y

Se factoriza ,

Reemplazando en la ecuación 2.6, la ecuación

2.8, tenemos:

Así, las ecuaciones 2.8 y 2.9 permiten obtener

las coordenadas x, y sobre la elipse meridiana

teniendo en cuanta una latitud geodésica dada

y los parámetros geométricos de la elipse.

Elipsoide GRS80.

En la figura 2.11a se muestra una elipse

y en la 2.11b se muestra un elipsoide de

revolución.

Características del elipsoide

El semieje mayor de la elipse coincide

con el plano del ecuador terrestre y el se-

mieje menor coincide con el eje de rota-

ción medio de la tierra. Siendo el elipsoide

la figura adecuada para realizar cálculos y

mediciones es comprensible que a través

de la historia se hayan determinado y uti-

lizado diferentes elipsoides, algunos de los

más importantes se enuncian en la tabla 1.

Ahora bien, desde el punto de vista ge-

ométrico, un elipsoide queda determinado

O

X

a

b

Y

Z

Figura 2.11 El Elipsoide

a b

a b





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con el valor del semieje mayor (a) y el

achatamiento2 (f),

Para cálculos geodésicos de precisión o

en sistemas de referencia de altas especifi-

caciones un elipsoide se define desde el

punto de vista físico y geométrico, en es-

tos casos en su definición intervienen los

parámetros que se enuncian en la tabla 1,

en ésta misma se muestran los parámetros

del elipsoide GRS80, utilizado en el Mar-

co de Referencia en Colombia.

Tabla 1. Parámetros del elipsoide GRS80

Nombre del

parámetro

Modelo matemá-

tico Símbolo y Valor

Semieje mayor Constante a=6378137 m

Velocidad de rotación

angular

Constante W=7292115E11 rad/s

Constante

gravitacional Constante GM=3896005E8 m3/s

Factor de aplanamiento

dinámico

Constante J2=108263E-8

Primera excen-

tricidad

Cálculo iterativo a partir de

a,GM,J2,W

e2 = 0.00672267002233

Segunda

excentricidad e´2 = (e2/1-e2) e´2 = 0.0067394967754

Semieje Menor b=a(1-e2)1/2 b=6356752,31414 m

Factor de aplanamiento

Geométrico

f=(a-b)/a f = 1/298,2572221008827

EJERCICIOS 2.1:

Utilizando los parámetros geométricos de

la elipse generadora del elipsoide GRS 80,

que son los siguientes:

2 El achatamiento está definido por f=(a-b)/a, donde a y b son

los semiejes mayor y menor respectivamente.

a =6378137 m

f = 1/298,2572221008827,

e2 = 0.00672267002233

Calcular las coordenadas X, Y sobre dicha

elipse, para los siguientes valores de latitud

geodésica:

(0,2)





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RADIOS PRINCIPALES DE LA ELIPSE

MERIDIANA.

El radio de curvatura de una línea curva

o un objeto aproximable mediante una

curva es una magnitud geométrica que

puede definirse en cada punto de la mis-

ma, que coincide con el inverso de la cur-

vatura en cada punto:

Por otro lado la curvatura es una medida

del cambio que sufre la dirección del vec-

tor tangente a una curva cuando nos mo-

vemos a lo largo de ésta.

En la figura 2.11, la recta QP, se denomina la

gran normal, es el mayor de los posibles ra-

dios de curvatura de la elipse meridiana en el

punto en consideración, así mismo de dicha

figura se deduce que:

.

Tomando la ecuación 2.8 y para reemplazar el

término x en la ecuación 2.10, se tiene:

La ecuación 2.11, permite el cálculo del radio

mayor de la elipse meridiana en un punto

dado, en función de la latitud geodésica y los

parámetros geométricos de la elipse meridia-

na.

Radio de la sección normal meridiana.

El otro radio de gran importancia en geodesia

geométrica es el llamado radio meridiano de

la primera vertical, se denota con la letra grie-

ga .

Antes de abordar la derivación del radio de

curvatura de la sección normal meridiana.

Curvatura y vectores normales.

Veamos como varia un vector unitario tan-

gente T al desplazarse el punto P sobre la

curva. Por supuesto, la longitud de T es cons-

tante, ya que es igual siempre a la unidad.

Pero su dirección varía, puesto que es tangen-

te a la curva y la dirección de la tangente

cambia de punto a punto, salvo que la curva

sea una recta. [5].

Movimiento en un plano.

Determinando la dirección de T por medio

del ángulo ϕ, que forma la tangente a la cur-

va con el eje X (figura 2.12) la derivada de

este ángulo de pendiente ϕ, respecto de la

longitud del arco s (expresad en radianes por

unidad de longitud), se toma como la defini-

Y

O X

P(x, y)

A

B Q

x

y

Figura 2.11 Esquema de la Gran Normal

M





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ción matemática de la curvatura en el punto

P. y suele designarse con la letra griega k

(Kappa); de modo que:

En donde

Seguidamente se obtiene la ecuación de radio

meridiano de la primera vertical.

De la figura 2.12 tenemos que:

Como ds se supone un arco infinitesimal, se

puede asimilar a una recta, por tanto,

De otra parte la tangente del ángulo se ex-

presa mediante:

Derivando la ecuación 2.15 respecto a x, te-

nemos:

Se tiene que

Tomando la ecuación 2.12 y multiplicando y

dividiendo por dx en el término derecho de la

ecuación, tenemos:

Tomado la ecuación 2.13 y dividiendo a cada

lado de la ecuación por dx, tenemos

Simplificando al interior del radical se tiene:

Reemplazando en la ecuación 2.17, las ecua-

ciones 2.16 y 2.19, tenemos:

Y

O

X

ds

Figura 2.12. Esquema del radio de la primera

vertical

Y

O

X

Figura 2.12a. Radio de curvatura de una

curva

P0 s

P





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Haciendo producto de medios y extremos

tenemos

Agrupando el numerador,

Tomando la ecuación 2.4, y derivando se

tiene

Luego se debe hallar el valor de

, para

ello tomamos la ecuación 2.9 y derivamos

Eliminado el 2, y agrupando , enviando

el radical negativo al denominador, tenemos

Sacando común divisor y factorizando

, tenemos:

Agrupando el numerador y haciendo producto

de medios y producto de extremos tenemos.

Factorizando , y sabiendo que y sacando el signo menos del

paréntesis, tenemos:

Transponiendo términos tenemos,

Reemplazando esta ecuación en la ecuación

2.24, se tiene:

Reemplazando en el denominador de la ecua-

ción 2.22, se tiene:

Reemplazando por su equiva-

lente y efectuando producto de

medios y extremos, tenemos

Como





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Simplificando en el numerador se tiene final-

mente la ecuación del Radio de curvatura de

la sección normal meridiana

El radio de curvatura de la sección normal

meridiana puede definirse también como el

radio de curvatura que presenta el elipsoide en

un punto de latitud en la dirección de aci-

mut 0o ó 180

o.

RADIOS MEDIOS DE CURVATURA

Radio de curvatura de una sección normal

cualquiera.

Euler demostró que si las líneas coordenadas

son perpendiculares entre sí, en un punto dado

y coincidentes con las direcciones principales,

el radio de curvatura de una sección normal

cualquiera se puede escribir en función de los

radios de curvatura de las secciones normales

principales mediante la fórmula de Euler.

Siendo el acimut de la sección normal con-

siderada. Otra forma de expresarlo es

Radio medio.

Se denomina curvatura media de una superfi-

cie en un determinado punto a la semisuma de

las curvaturas de las secciones normales prin-

cipales.

El correspondiente radio medio vale por tanto

Radio medio de Gauss.

Se define el radio medio de Gauss como la

media aritmética de los radios de curvatura de

las infinitas secciones normales de un punto.

Es decir:

La esfera de radio RG es una esfera tangente al

elipsoide en el punto considerado y se emplea

en ocasiones como aproximación al elipsoide.

EJERCICIOS 2.2:

Teniendo en cuenta los parámetros de la elip-

se generadora del elipsoide GRS 80,

a =6378137 m

f = 1/298,2572221008827,

e2

= 0.00672267002233

e´2 = 0.00673949677548

b =6356752.31414 m

2.2.1). Un satélite se encuentra a una altura hs

sobre la superficie terrestre en un punto con

Si la coordenada x de

dicho satélite es igual al semieje mayor del

elipsoide GRS80, encontrar: a) Radio de cur-

vatura de la elipse meridiana, b) Radio de

curvatura de la primera vertical (gran normal),

del punto sobre la superficie terrestre, c) coor-

denadas (x, y) del satélite, d) altura (h) del

satélite.





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2.2.2) Calcular las coordenadas X, Y, y

sobre dicha elipse para los siguientes valores

de latitud:

2.2.3). Calcular los valores de y sobre la

elipse generadora del elipsoide GRS80, para

los valores de latitud de cero a noventa gra-

dos, cada diez grados, realizar la grafica de los

dos radios principales y realizar el análisis

cuantitativo y cualitativo de los valores obte-

nidos y de la grafica.

2.2.4). Calcular los valores de y

sobre la elipse generadora del elipsoide

GRS80, para los valores de latitud de cero a

noventa grados, cada 15 grados, con valor de

azimut de 45º. Realizar la grafica comparativa

y realizar el análisis cuantitativo y cualitativo

de los radios medios.

CAPÍTULO 3

Coordenadas Cartesianas Geocéntricas elip-

soidales (X,Y,Z)

Las coordenadas cartesianas geocéntricas

elipsoidales (x, y, z), para un punto cualquiera

sobre la superficie terrestre vienen dadas por

la siguiente métrica, donde los parámetros son

de la figura 2.13, es posible derivar dicha

métrica:

h= altura del punto desde la superficie del

elipsoide.

x= Coordenada X geocéntrica del punto P

y= Coordenada Y geocéntrica del punto P

z= Coordenada Z geocéntrica del punto P

Para un punto sobre el elipsoide.

ecuación 3-1

Para un punto a una altura dada (h), sobre el

elipsoide

ecuación 3-2

Así, mismo se derivan

ecuación 3-3

ecuación 3-4

O

Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z

geocéntricas

Y

Z

X Y

X

Z

γ

P(X,Y,Z)

h





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ecuación 3-5

EJERCICIOS 3_1:


se generadora del elipsoide GRS 80,

a =6378.137 km

f = 1/298,2572221008827

e2 = 0.00672267002233

e´2 = 0.00673949677548

b =6356.75231414 km

Resolver los siguientes ejercicios:

3.1.1). Calcular las coordenadas X, Y, Z para

el punto sobre la superficie elipsoidal que

tiene coordenadas elipsoidales:

h= 2620 m

3.1.2). Calcular las coordenadas , , h para

el punto sobre la superficie elipsoidal que

tiene coordenadas cartesianas geocéntricas:

X=1744890.24 m

Y= - 6116370.86 m

Z= 507899.216 m.

3.1.3). Suponiendo la tierra un modelo episó-

dico con parámetros de GRS80, y un satélite

artificial con órbita polar. Calcular:

a) La altitud del satélite sobre el polo norte,

para un observador ubicado en un punto de

latitud .

b) La altitud del satélite sobre el polo norte,

para un observador ubicado en un punto de

latitud .

c) La superficie terrestre observada desde la

posición del satélite (considerando el área

del elipsoide aproximada a la esfera local o

casquete esférico)

CAPITULO 4.

Reducción de distancias

Reducción al plano del horizonte local

La distancia reducida al plano tangente al

horizonte local viene dada por la ecuación 4-

1.

En terminología topográfica esta distancia se

suele llamar simplemente distancia reducida.

En la figura 3-1 es evidente que la distancia

reducida al plano tangente al horizonte local

del punto de estación no tiene porqué coinci-

dir con la distancia reducida al horizonte del

punto visado.

En los levantamientos topográficos se suelen

considerar las verticales paralelas. En ese

supuesto, la distancia reducida entre dos pun-

tos es independiente de la altitud considerada

y basta con emplear la expresión 4-1. En rea-

lidad las verticales convergen y por tanto, la

distancia reducida entre dos puntos depende

de la altitud considerada. Para evitar ambi-

güedades y variaciones de escala, es necesario

reducir todas las distancias a una altitud

común.

Lo lógico es reducir al elipsoide, ya que es la

superficie de referencia. En determinadas

aplicaciones no geodésicas puede interesar,

por el contrario, reducir al horizonte medio

local.





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Reducción al horizonte local

El plano tangente al horizonte local es una

aproximación del horizonte local. De la figura

3-1, se deduce:

Siendo:

y sustituyendo, tenemos:

Teniendo en cuenta que las visuales suelen ser

prácticamente horizontales, el suponer que

conduce a errores relativos menores

de 1 ppm. Si además se considera un radio

terrestre constante para la zona de trabajo, se

llega a la expresión que suelen aplicar las

estaciones totales.

Shl: distancia reducida al horizonte local

R0 radio terrestre aproximado 6.371,137 km

D: distancia geométrica medida

β: ángulo cenital medido

Reducción al geoide

Como las verticales convergen, la distancia

horizontal depende de la altitud considerada.

Si se dispone únicamente de altitudes ortomé-

tricas, la altitud H = 0 corresponde al geoide,

por lo que solamente se podrán reducir las

distancias al nivel del mar.

Como puede apreciarse en la figura 4_1, la

distancia reducida al horizonte local y la dis-

tancia reducida al geoide pertenecen a figuras

semejantes, por lo que se establece la relación

Esta ecuación conduce fácilmente a:

Que pone de manifiesto que ambas distancias

están relacionadas por el factor de escala

Dr

Shl

Sg

Se

Horizonte

local

Geoide

Elipsoide

R

h

H

N

D

Figura 4-1. Reducción de distancias mediante

pasos sucesivos





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En pequeños trabajos de ámbito topográfico

puede adoptarse un valor constante de 3-8

para toda la zona de actuación, considerando

una altitud promedio.

Reducción al elipsoide.

En la actualidad es factible el acceso a mode-

los de ondulación de geoide y mediante la

ecuación 3-9, es posible manejar tanto altitu-

des ortométricas como elipsoídicas.

Conocida la altitud elipsoidal del punto de

estación, la distancia reducida al elipsoide se

obtiene a partir de la distancia reducida al

horizonte local mediante la ecuación 3-10.

También se puede obtener a partir de la dis-

tancia reducida al geoide mediante la ecuación

3-11

En este caso ambas distancias están relaciona-

das por el factor de escala, como se muestra

en la ecuación 3-12.

EJERCICIOS 3_1:


se generadora del elipsoide GRS80,

a =6378137 m

f = 1/298,2572221008827

e2 = 0.00672267002233

e´2 = 0.00673949677548

b =6356752,31414 m

Resolver los siguientes ejercicios:

Entre dos puntos P1, P2, de altitudes aproxima-

das h1=557 m, h2=945 m, se ha medido la

distancia geométrica de 6545.53 m. Obtener la

distancia reducida al elipsoide para el cálculo

de coordenadas. (φ = = 04°35'46,32150",

latitud de la zona media y ).

CAPITULO 5.

CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE RE-

VOLUCIÓN

Plano Normal:

Se denominan plano normal de un punto a

aquel que contiene a la normal al elipsoide en

dicho punto.

De los infinitos planos normales de un punto

del elipsoide existen dos de especial relevan-

cia. Uno es el que contiene el semieje menor

del elipsoide, denominado plano meridiano y

el otro, perpendicular a plano meridiano de-

nominado primer vertical.

Plano normal Meridiano:

El que contiene al eje menor del elipsoide se

denomina plano meridiano.

Plano normal perpendicular:

Es aquel plano que es perpendicular al plano

meridiano, se denomina también primer verti-

cal y contiene la gran normal.

Sección Normal

Es aquella curva plana formada al interceptar

un plano normal cualquiera con la superficie

del elipsoide. En general se denominan sec-

ciones normales las curvas que resultan de la

intersección de los planos normales con el

elipsoide,

Cada sección normal tendrá un radio de cur-

vatura diferente. El radio de curvatura mínimo

y máximo lo producen las secciones normales





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principales, que son las definidas por el plano

meridiano y por el primer vertical respectiva-

mente. A dichas secciones se las denomina

secciones normales principales, ver figura5-1.

La sección normal meridiana en un punto es la

intersección de su plano meridiano con el

elipsoide y su radio de curvatura ( es el

mínimo de todas las posibles secciones nor-

males.

La sección normal del primer vertical en un

punto es la intersección de su primer vertical

con el elipsoide y su radio de curvatura ( es

el máximo de todas las posibles secciones

normales

Secciones Normales Mutuas

Tomando sobre la superficie del elipsoide de

revolución los puntos i y j como se muestra en

la figura 5-2, con latitudes y respecti-

vamente, con mayor que .

Trazando las normales a la superficie del

elipsoide en los puntos i y j, estas norma-

les están contenidas en los planos de las

elipses meridianas que pasan atreves de

los puntos i y j, y se interceptan con el eje

menor PP´ de la elipse, en los puntos Qi y

Qj, respectivamente. Las normales de los

puntos i y j se interceptan en distintos

puntos con el eje PP´, como se muestra a

continuación, de la figura 5-2 se tiene:

Y

;

De la figura 5-2, se tiene:

De otra parte la distancia entre el origen del

elipsoide y el punto Qi, se puede expresar

como: ,

Plano primer vertical

Plano meridiano

Superficie Elipse

Meridiano

Paralelo P

Normal al Elipsoide

Figura 5-1. Planos: meridiano y primer vertical

P

Qi

Qj

O

Figura 5-2. Secciones normales mutuas

E W

ij

i

j

ji

P´

Qi

i´

Qj





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De manera análoga se tiene para la distancia

OQi, que:

Por definición se tiene , por tanto:

OQj > OQi, es decir, la normal a la superficie

del elipsoide, trazada en el punto i el cual

posee menor latitud que el punto j, corta el eje

menor del elipsoide más cerca al centro del

elipsoide que la normal al punto j.

De esta forma las normales a la superficie del

elipsoide en los puntos i y j, son dos rectas

que se cruzan en el espacio, pero que no se

cortan (se cortaran únicamente si pertenecen a

la misma elipse meridiana o en el mismo para-

lelo).

Si se traza un plano a través de los puntos i-Qi

y j, es evidente que este plano contiene la

línea i Qi, este plano es normal en el punto i,

como se muestra en la figura 5-3. El plano i-

Qi-j, engendra la curva ij la cual se llama

sección normal directa desde el punto i al

punto j. De manera similar si se traza un plano

a través de los puntos j-Qj e i, es evidente que

este plano contiene la línea j Qj, este plano es

normal en el punto j, como se muestra en la

figura 5-4. El plano j-Qj-i, engendra la curva

ji la cual se llama sección normal directa

desde el punto j al punto i.

Por lo tanto, entre los dos puntos i y j, situa-

dos sobre la superficie del elipsoide pasan dos

secciones normales, así, las curvas ij y ji se

denominan secciones normales reciprocas

inversas.

De la misma forma si se tiene un punto tercer

punto “k” se puede realizar el mismo análisis,

se tiene entonces las secciones normales ik, ki,

jk y kj; como se observa en la grafica 5-5, está

representa un triangulo esférico sobre la su-

perficie del elipsoide, se puede deducir de esta

la manera como se observaran los ángulos

esféricos en los diferentes vértices.

P

Qi

Qj

O

Figura 5-3. Sección normal de i a j

E W

ij

i

j

ji

P´

P

Qi

Qj

O

Figura 5-4. Sección normal de j a i

E W

ij

i

j

ji

P´





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Los ángulos desde luego son medidos desde

un punto sobre las secciones normales que se

generan desde cada uno de los puntos al dar

visual a los otros dos puntos como se observa

en la figura 5-5. “No es difícil observar que

los ángulos horizontales medidos en los tres

puntos, no formen sobre la superficie del elip-

soide, un triangulo cerrado”[4], es decir el

triangulo será una figura abierta, y generará

una indeterminación en la formación de los

triángulos geodésicos sobre el elipsoide. Lo

anterior se soluciona si los puntos i, j y k se

unan con Líneas Geodésicas.

LÍNEA GEODÉSICA

Definición: De todas las posibles curvas

que unen dos puntos en una superficie, se

define como línea geodésica aquella que

produce la mínima distancia.

Por ejemplo, sobre un plano la línea geodésica

sería una recta y sobre una esfera lo sería un

arco de círculo máximo. Para casos más gene-

rales, como el del elipsoide de revolución, se

ha de buscar aquella curva que localmente

produzca la distancia más corta.

Para un entorno diferencial, es posible

aproximar la superficie por un plano. En dicho

plano, la distancia más corta es la que produce

una línea recta. Por tanto, una línea geodésica

siempre ha de cumplir que, sea cual sea la

superficie considerada, la proyección de un

entorno diferencial de la misma sobre el plano

tangente a la superficie ha de ser una recta.

Por tanto, otra definición para la línea geodé-

sica es la siguiente.

i

j

k

ij

ji

ik

ki

kj jk

Figura 5-5. Triangulo sobre la elipse,

formado por secciones normales





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Notas Bibliográficas:

[1]. http://es.wikipedia.org .

[2]. Asenjo Villamayor, Luis García -

Hernández López, David. Universidad Po-

litécnica de Valencia. Geodesia - 2003 - 530

páginas

[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia

Geométrica.

[4].P. S. Zakatov, Curso de Geodesia Supe-

rior.

[5].Thomas, Cálculo Infinitesimal y Geometr-

ía Analítica.

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