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GEODESIA FISICA

Msc. MIGUEL ÁVILA

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Elementos teóricos de Geodesia Física

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QUE ESTUDIAREMOS?

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El campo potencial, tiene asociado un campo físico de fuerzas el cual debe estar representado por tres (3) números reales (x, y, z). Pero esto representa problemas, por eso se asume un campo escalar (función potencial), ya que por procesos matemáticos permite obtener la función primitiva del campo vectorial, en este caso el campo gravitacional, así: (2.3) (2.4)

rdFV r

)(

kz

Vj

y

Vix

VVF ˆˆˆ

BEg,,

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El potencial se puede estudiar desde los puntos de vista interior o exterior a la masa generadora del campo:

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Solución de la ecuación de PoissonPara desarrollar la ecuación de Poisson, el potencial interior de una masa está dado por la ecuación de Poisson:

Otra forma de escribir la ley de gravitación de newton, es presentarla como una Ecuación diferencial (ecuación de Poisson) insertada como una integral; para ello derivamos la ecuación diferencial de la integral.

KV 42

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VVVxV zyx2222 )(

Considerando el operador Laplaciano sobre una función V, definido como:

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De la integral de Newton para el potencial (V): (2.7)

Donde el Laplaciano con respecto a x es:

(2.8)

dvxx

xKV

/

22 1)(

/2

/

2 11

xxxxxx

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Esto quiere decir que podemos desarrollar la integral con respecto a X ó a X prima. Dividiendo la integral de volumen (V) “toda la esfera”, para poder dejar la integral en dos partes, donde R es el radio interno de la esfera; además R tiende a 0, simplificaremos y temporalmente definimos nuestro sistema de coordenadas X´=0; entonces la integral del potencial queda:

(2.9) dv

xxKdv

xxKxV

CD

1)(

1)()0( 222

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Usando coordenadas esféricas para poder desarrollar las integrales. (2.10)

rx

11 22

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Si r es diferente de cero, el operador Laplaciano tiene la forma de: (2.11)

Entonces la integral depende de: (2.12)

rSenr

rSenSenr

rrrx r

22222

222 1)(

1)(

11

rr

rr rr

111 22

2

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La ecuación 3 también podemos representarla así: (2.13)

Considerando el segundo término de la integral: (2.14)rr

r

er

err 2

111

CD

dvr

Kdvr

KxV11

)0(2

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Considerando note que es un vector unitario en la dirección radial y es multiplicado por r2 .

Además si ρ es continua, r tiende a cero (cuando r tiende a cero, existe r0, ya que r0 es continuo), entonces es limitado dentro de C para C muy pequeño y la integral es limitada. Entonces si tomamos el límite cuando r tiende a cero, la segunda integral se desaparece. Entonces la ecuación (6) corresponde con:

dvr

KC

1

r̂

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C

dvr

KxV1

)0(2

Para poder resolver la ecuación (5), utilizamos el teorema de Gauss. (2.16)dsTndvT

SC

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Donde S es la superficie limitante de C, donde es el exterior normal a S, y T es un vector arbitrario, y nuestra integral queda; además , entonces:

(2.17)

dar

KVS

R

1lim)0(

0

2

rn

n

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Desarrollando la integral y remplazando por coordenadas esféricas para resolver la ecuación, entonces: (2.18) ddSenRe

rV r

S

22

2 1)0(

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Y el resultado final de la integral es:

(2.19) KV 42