geo_bas- Antonio Sagarí

Geometría Básica

Antonio SángariAuthor address:

Abstract. Este texto tiene cuatro capítulos fuertementemente correlativos. Elprimero de estos trata del Espacio comenzando inmediatamente por una formu-lación axiomática. El segundo capítulo se ocupa de las transformaciones rígidasen general y se le da especial importancia a las transformaciones involutivas. ElTercero se ocupa de los casos más comunes de transformaciones rígidas, o sea lassimetrías, la traslación y la rotación. El cuarto trata de algunas aplicaciones clásicaspero tratadas con los recursos ya desarrollados

1. Uso del Texto

Este texto no es un texto técnico de Matemáticas, sino que pretende ser unaguía para un curso elemental de geometría. Este es un texto orientado al lector queno tiene especialidad en geometría. Pero puede resultar tambien interesante paralos que tengan que dictar el tema. Trata en lo posible de no ser un libro que seacostoso de entender pero que la mayor parte del trabajo para la comprensión seadel propio lector. Por eso se incluyen muchos ejercicios de tal modo que el lectorconstruya sus propios conceptos.

La mayoría de los ejercicios componen el hilo lógico que sigue el texto por lotanto es recomendable realizarlos.

Las notas a pie de pagina son referencias colaterales y pueden ser obviadas.Los Teoremas suelen ser basales o fundamentales, y son proposiciones que, a

juicio del autor, requieren un tratamiento cuidadoso. Por lo demás son similares alos ejercicios

Las definiciones son aclaraciones de cómo se usarán ciertos términos.Este texto tendría que ser leido con un lapiz y papel

CHAPTER 1

Espacio, plano, rectas y puntos

1. Introdución

Como en el ajedrez, nadie se pregunta sobre el significado de las piezas ni delas casillas ni de los colores, asi aquí no nos ocuparemos de preguntarnos que esespacio, recta, plano, punto sino que los consideraremos como lo más elemental ocomo concepto primitivo.

Por otro lado nadie discute las reglas del juego del ajedrez. Aqui tampoco loharemos sino que, en cuenta de llamarlas reglas de juego les llamaremos axiomas.

Los razonamientos que se hacen en ajedrez, por ejemplo “la primera jugadaque se hace en ajedrez es el movimiento de un peón blanco o de un caballo blanco”,en el caso de la geometría le llamaremos teoremas. 1

Tambien trataremos con conceptos heredados de teorías anteriores como es elcaso de conjuntos, pertenencia, etc.

Por último, para mejor comprensión de los que vamos a exponer haga el ejerciciomental siguiente: olvide, por un momento, lo que sabe de geometría.

2. Conjuntos de Puntos

Definition 2.1. Diremos que dos conjuntos de puntos son iguales si y sola-mente si tienen los mismos puntos. 2

Definition 2.2. Se dice que un conjunto B es subconjunto de un determinadoconjunto A si cada punto de B es punto de A. Se simboliza B ⊂ A y se lee B estáincluido en A. Se dice que un conjunto B es subconjunto propio de un determinadoconjunto A si B está incluido en A y además existe un punto en A que no está enB.3

Definition 2.3. El conjunto vacío es aquel que no contiene ningún elemento

Exercise 2.1. Si se cumple que A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B. Es decirque si A es un subconjunto de A y A es un subconjunto de B entonces A y B tienelos mismos elementos.4

1También es importante, especificar el universo de discusión, las formulas bien formadas ylas reglas de inferencia cuando se trata de desarrollar un cuerpo conceptual, pero estos ya sonproblemas anecdóticos para el alcance lógico que se quiere dar en este texto.

2En este curso trataremos principalmente con conjuntos de puntos, pero tambien hablaremosde conjunto de rectas, de planos, etc. Para el caso de las rectas y los planos, en cuenta de conjuntosusaremos la expresión familia.

3La expresión subconjunto propio se aclara con un ejemplo: El conjunto formado por todoslos hombres es un subconjunto propio del conjunto de humanos, pues hay humanos que no sonhombres, por ejemplo las mujeres.

4De ahora en más, cuando se enuncie una proposición en un ejercicio o en un teorema debetratar de demostrarse. Por lo cual nos ahorraremos las palabras demostrar que...

3

4 1. ESPACIO, PLANO, RECTAS Y PUNTOS

Axiom 2.1. Existe el espacio y es un conjunto de puntos.

Exercise 2.2. Verifique que el espacio pudiera ser el propio vacío

Axiom 2.2. 1. Los planos son subconjuntos propios del espacio.2. Las rectas son subconjuntos propios de los planos.3. Las rectas contienen al menos a dos puntos distintos.5

Exercise 2.3. Discuta el siguiente párrafo: “Podemos caracterizar un dragóndiciendo que es un ser muy poderoso, que arroja fuego por la boca, que tiene tresgarras en cada pata, que es extremadamente sabio, que puede volar, etc. El únicoproblema es que los dragones no existen”.

Axiom 2.3. Existe una recta.

Esta última expresión podría entenderse tambíen como “existe al menos unarecta”. Con esto podemos asegurar que

Theorem 2.1. Existe un plano con (al menos) tres puntos. El espacio contienecuatro puntos.

Esto es cierto pues al existir una recta, y al ser esta un subconjunto de unplano, debe existir un plano. Llamemos a esta recta r y al plano π. Como poraxioma esta recta contiene dos puntos P y Q, debe existir en π un punto R queno está en r, pues sinó r no sería un subconjunto propio de π, contra el axioma.Con estas afirmaciones se prueba que π contiene tres puntos. La segunda oraciónse deja como...

Exercise 2.4. El espacio contiene cuatro puntos.¥A esta altura de nuestro juego podría darse que haya planos sin puntos, es decir

un plano podría ser un conjunto vacío. Solucionemos esto

Axiom 2.4. Los planos contienen una recta y un punto fuera de esta.

Exercise 2.5. Todos los planos contienen al menos tres puntos.

Note que hasta ahora no podemos contar a ciencia cierta con más de una rectay un plano.

Axiom 2.5. Dados dos puntos existe una única recta que contiene a ambospuntos. Dados tres puntos que no están en una misma recta existe un único planoque los contiene.

Definition 2.4. A los puntos que están sobre una recta se les llama colineales.Los puntos que están sobre un plano se llaman coplanares. Estos conceptos seextienden naturalmente para el caso de conjuntos de puntos, como por ejemplo alas rectas.

Definition 2.5. Dos rectas coplanares se les llama paralelas si son iguales o sisu intersección6 es vacía. Dos rectas distintas se dicen secantes si su intersecciónes no vacía. A dos rectas no coplanares se les llama alabeadas. Una familia derectas se le llama concurrente si tienen un punto en común

5De ahora en más, cuando digamos dos puntos, entenderemos que se trata de dos puntosdistintos. Del mismo modo que cuando hablemos de tres, cuatro o cualquier cantidad de puntosa menos que se indique lo contrario.

6Si tengo dos conjuntos A y B, la intersección de A y B es el conjunto de los puntos queestán a la vez en A y B. La unión de A y B es el conjunto de los elementos que están ya sea enA o ya sea en B.

2. CONJUNTOS DE PUNTOS 5

Exercise 2.6. Dos rectas secantes tienen solamente un punto en común.

Exercise 2.7. El conjunto vacío, un punto y dos puntos cualesquiera son co-lineales. Tres puntos, distintos o no, son coplanares.

Exercise 2.8. Existen cuatro puntos que no son coplanares. Existen tres pun-tos que no son colineales.

Exercise 2.9. Los planos contienen tres rectas. El espacio contiene cuatroplanos y seis rectas.

Por otro lado, ¿Cuántos puntos en común pueden tener una recta con un plano?

Axiom 2.6. Si una recta con un plano tienen dos puntos en común, entoncesel plano incluye toda la recta.

Exercise 2.10. Dos rectas secantes determinan un único plano que las con-tiene.

Theorem 2.2. Existen dos rectas que no son coplanares7

Sea el plano π, la recta r en π y el punto P en el plano π y no en la recta r y dospuntos A y B en r. Sea el punto Q que no está en π. (Verifique como ejercicio queestos objetos existen). Sea s =

←→PQ 8. Es claro que s no está en π pues Q no está

en π. Si r y s estuvieran en un mismo plano, este plano debería ser π, pues A,B yP determinan a π. Pero s no está en π. Por lo tanto r y s no son coplanares.¥

Exercise 2.11. Dada una recta r, existe otra recta s que es no coplanar conr.

Exercise 2.12. Dos rectas distintas tienen a los sumo un punto en común

Exercise 2.13. Sean a y b dos rectas paralelas y t una recta que es secantecon a y con b, entonces t está en el mismo plano que a y b.

Exercise 2.14. La intersección entre una recta y un plano puede ser sola-mente el conjunto vacío, la propia recta o un conjunto unitario9

La intersección entre dos planos, ¿De cuántos puntos puede constar?

Axiom 2.7. La intersección entre dos planos no puede ser un conjunto uni-tario10

Exercise 2.15. La intersección entre dos planos distintos puede ser el con-junto vacío o una recta.

2.1. Modelos. Para este entonces, el espacio que hemos construido se parecea los vértices de un tetraedro11, donde los trios de puntos representarían lo quehemos llamado planos, las aristas corresponderían a los pares de puntos. Es tam-bien parecido al espacio geométrico intuitivo. Estas representaciones se les llama

7A estas rectas suele decirseles alabeadas.8Esto es la recta determinada por los puntos P y Q.9Un conjunto formado por un solo elemento. En este caso por un solo punto.10Raro como parezca el axioma 7 no puede deducirse de los axiomas anteriores.11Un tetraedro es un cuerpo que tiene seis caras y cada una de ellas es un triángulo.


modelos.

TetraedroExercise 2.16. Reflexione sobre los modelos que pudieran haberse presentado

a medida que haciamos la enunciación de los axiomas.

2.2. Semirrectas y semiplanos.

Axiom 2.8. Los puntos de cualquier recta admiten dos órdenes totales op-uestos12. Una vez elegido uno de estos, afirmamos que no puede haber un primerpunto, es decir uno que sea anterior a todos, ni un último punto, es decir unoque sea posterior a todos13. Además dados dos puntos habrá un tercero que seráanterior a uno y posterior al otro14.

Theorem 2.3. Los puntos de una recta son infinitos

Esto es claro del hecho de estar ordenados. Si fueran una cantidad finita se po-dría decir, por conteo directo, cual es el primero y cuál es el último, contradiciendoel axioma.¥

Exercise 2.17. Entre dos puntos cualesquiera de una recta hay infinitos pun-tos.

Exercise 2.18. Las rectas, los planos y el espacio son conjuntos infinitos.

Definition 2.6. Dada una recta r y un punto O sobre la recta r. Al conjuntode puntos anteriores a O se le llama semirecta abierta de origen O. Igual calificativose le dá al conjunto de los puntos posteriores a O. Si P es un punto de la rectar anterior a O, El conjunto de los puntos anteriores a O se los simboliza con−→OP y se los nombra como la “semirecta abierta OP”. Cuando se usa la palabrasemirrecta (sin usar la palabra abierta) entenderemos que se trata de una semirectaque incluye el punto del origen. Usaremos la misma notación para semirectas quepara semirectas abiertas, siempre y cuando en el contexto quede clara la diferencia,

o sea irrelevante. En el caso de querer hacer una diferencia usaremos→AB para

indicar que tratamos con la semirecta abierta de origen A.

12Orden entre puntos significa que dados dos puntos cualesquiera A y B que son comparables,puedo indicar cual es anterior al otro. Además si A es anterior a B, no puede ser que B sea anteriora A y por otro lado tambien un trio de puntos A,B y C si se cumple que A es anterior a B y Bes anterior a C entonces se debe cumplir que A es anterior a C. Con el adjetivo total se quieredecir que se pueden comparar cualquier par de puntos. El adjetivo opuesto se usa para decir quese pueden permutar los términos anterior por posterior.

13A este tipo de conjuntos se le llama abiertos14A este tipo de conjuntos se le llama densos


Definition 2.7. Se llama haz de semirrectas de origen el punto O a todas lassemirectas de origen O.

Exercise 2.19. Tomemos las semirectas de un haz de origen O. que estánsobre un plano π, que contiene al punto O. De estas semirrectas de origen O quite-mos una semirrecta cualquiera. Para las semirrectas restantes definir un ordeninducido por la rotación de las agujas de un reloj a este orden le llamemos negativoy al contrario positivo. Encontrar una analogía con los órdenes de las puntos sobrela recta.15

Definition 2.8. Dos semirectas se les dice opuestas si contienen el mismoorigen y son colineales, pero son distintas A la semirecta opuesta a la

−→OP le lla-

maremos ∼ −→OPDefinition 2.9. Dados dos puntos P y Q. Los puntos que están entre P y

Q16 forman el segmento abierto PQ. A los puntos P y Q se les llama extremos dedicho segmento.

Definition 2.10. El segmento PQ es el segmento abierto PQ unido al con-junto P,Q

Note que el conjunto vacío es un segmento abierto y que el conjunto unitarioes un segmento.

Exercise 2.20. El segmento abierto PQ es la intersección de las semirectasabiertas

−→PQ y

−→QP.

Exercise 2.21. Las semirectas abiertas y los segmentos abiertos son conjuntosdensos y abiertos.

Definition 2.11. Una propiedad de un conjunto es hereditaria si todos lossubconjuntos de este conjunto tienen la misma propiedad.

Exercise 2.22. Discuta si las propiedades de ser coplanar, colineal, infinito,denso y abierto son hereditarias.

Exercise 2.23. Considere dos puntos A y B. Considere el lugar geométrico delos puntos X tal que B pertenece al segmento abierto AX. ¿Corresponde a algunasemirrecta abierta?

Definition 2.12. Un conjunto se llama convexo si cualquier par de puntos delconjunto son extremos de un segmento incluido en el conjunto.

Exercise 2.24. El espacio, los planos, las rectas, las semirectas, los segmen-tos, el vacío y los conjuntos unitarios de puntos son conjuntos convexos. Los con-juntos formados por dos puntos solamente, no son convexos.

Exercise 2.25. La intersección de dos conjuntos convexos es convexa.

Exercise 2.26. Dar ejemplo de una unión de conjuntos convexos que no seaconvexa.

15Puede pensarse en un orden común para todos los haces de semirrectas del plano pero,para los fines de este texto, alcanza con el significado intuitivo de orden.

16Los puntos que están entre P y Q son los puntos que son posteriores a P y anteriores a Q,en el caso de que Q sea posterior a P. En el caso que P sea posterior a Q, los puntos entre P y Qseran los posteriores a Q y anteriores a P.


Exercise 2.27. Decidir y justificar si la convexidad es una propiedad heredi-taria.

Axiom 2.9. Dado un plano π y una recta r en el plano π. Los puntos delplano π que no pertenecen a la recta r, forman dos conjuntos disjuntos, no vacíos,convexos de tal modo que si tomo un punto P en uno de estos y otro punto Q enel otro, la intersección entre PQ y r es no vacía.

Definition 2.13. A los conjuntos definidos en el axioma 9 se les llama semi-planos abiertos, a la recta r se le llama borde del semiplano. Los semiplanos estancompuestos por el semiplano abierto correspondiente más su borde. A los puntosde un semiplano de borde una recta r se dice con cierto abuso permitido del lengujeque están de un lado de la recta r.

Exercise 2.28. Sea un plano π y una recta r en el plano π. Los segmentos deπ que no tienen un extremo en r, o bien están incluidos en un semiplano abiertodeterminado por r, o bien cortan a la recta r.

Theorem 2.4. Sea un plano π y una recta r en π. Sea α uno de los semiplanosabiertos de π definidos por r. Sea P un punto de α y O un punto de r. Sea a =

−→OP

abierta. En estas condiciones a esta completamente incluida en α.

Si este no fuera el caso existiría un punto X que estaría en a y que no estaríaen α. X en este caso estaría en el semiplano de π que no contiene a P, pues la rectaque contiene a a tiene dos puntos en π, O y P. (Ver axioma 6) En este caso, poraxioma 9, la recta r con el segmento XP tienen que tener intersección no vacía,es decir O , pues la recta que contiene a a y r solo pueden tener un punto encomún. (Ver ejercicio 1.2.12) En resumen, el punto O estaría entre P y X, lo quees absurdo ya que X es un punto de a.¥

Exercise 2.29. Si una semirecta a, con origen en un punto de la recta r, tieneun punto en un semiplano determinado por r, la semirecta opuesta a a tendrá todossus puntos en el otro semiplano.

2.3. Ángulos y triángulos.

Definition 2.14. Dadas dos semirectas a y b de origen O, se llama ánguloa la intersección de los semiplanos determinados por las rectas que contienen alas semirectas de tal manera que cada uno de los semiplanos contenga a la otrasemirecta. A las semirectas a y b se les llama lados del ángulo y al punto O se lellama vértice del ángulo.

Definition 2.15. Si las semirectas coinciden el ángulo determinado se le llamanulo. Si las semirectas son opuestas se le llama ángulo llano.

Definition 2.16. El interior de un ángulo es el conjunto formado por el án-gulo menos los lados17.

Exercise 2.30. El ángulo nulo tiene interior vacío. El ángulo llano tiene porinterior un semiplano abierto.

17El conjunto A menos el conjunto B es el conjunto de todos los elementos de A que no estánen B.


Definition 2.17. Una semirecta interior es aquella que tiene origen en elvértice del ángulo y tiene un punto en el interior del ángulo. Se dice que un segmentoapoya sus extremos en los lados de un ángulo si cada extremo es un punto de cadauno de los lados del ángulo.

Exercise 2.31. Toda semirecta interior y todo segmento apoyado en los ladosde un ángulo están incluidos en un ángulo.

Exercise 2.32. El interior de un ángulo no nulo es no vacío.

Theorem 2.5. Toda semirecta interior de un ángulo corta a todo segmentoapoyado en el ángulo.

Una semirecta interior corta a cua

Sean dos semirectas a y b de origen O, una semirecta interior s y un segmentoAB, como lo indica la figura. Sobre la semirecta abierta opuesta a b escojamos unpunto B0. El segmento AB0 no corta a s ni a su opuesta pues por el ejercicio 1.2.31AB0 está completamente contenido en el ángulo de lados a y la semirecta opuestaa la b, mientras que la semirrecta s está en el ángulo formado por a y por b y laopuesta de s está completamente incluida en ∼ a y ∼ b (ver ejercicio 1.2.29). Poresto A y B están en semiplanos opuestos con respecto a la recta que incluye a s, yentonces AB la corta. Además como la semirecta s y el segmento AB están en elángulo, se cortan en el interior del ángulo.¥

Definition 2.18. Dados tres puntos A,B y C no alineados, la intersección delos semiplanos determinados por cada par de estos puntos y que contienen al tercerose llama triángulo. El interior de un triángulo es, naturalmente, la intersecciónde los semiplanos abiertos correspondientes. Los segmentos entre los puntos seles llama lados del triángulo y a los puntos mencionados se les llama vértices deltriángulo.

Definition 2.19. El vertice A, que no pertenece a un lado a = BC en untriángulo ABC, se llama vertice opuesto al lado a. Al lado a se le llama opuesto alvértice A.

Exercise 2.33. El interior de un triángulo no degenerado es no vacío

Exercise 2.34. Los segmentos entre los puntos de un lado y el vértice opuestode un triángulo están incluidos en el triángulo18

Exercise 2.35. Dos semirectas interiores de ángulos distintos de un triángulono degenerado, se cortan en el interior del triángulo

18A estos segmentos se les llama cevianas


Exercise 2.36. Sea un triángulo ABC19. Sea O un punto en el interior deltriángulo. Los ángulos determinados por las semirectas

−→OA,

−→OB y

−→OC, tomadas

de a pares, cubren todo el plano donde se encuentra el triángulo.

Exercise 2.37. Cualquier semirecta que sea coplanar con un triángulo, conorigen en un punto interior del triángulo corta un lado del triángulo.

Exercise 2.38. Toda recta coplanar con un triángulo, que tiene puntos en elinterior de un triángulo, corta los lados de un triángulo dos veces. Además, si unarecta coplanar con el triángulo corta una vez al triángulo, lo hará dos veces

2.4. El semiespacio. Dado el plano π y sea el espacio Ω.

Definition 2.20. Sea un punto P que no pertenece a π, se llama subespacioSP al conjunto formado por los puntos que son los segundos extremos de los seg-mentos que tienen uno de sus extremos en P y que no tienen ningún punto deπ.

Exercise 2.39. SP es no vacío

Theorem 2.6. SP es convexo.

Sean los puntos Q y R (cualesquiera) pertenecientes a SP . Si los puntos P,Q yR estuvieran alineados, el segmento QR, pertenecería a SP . (La justificación se ladejamos al lector). En el caso en que los puntos P,Q y R no estuvieran alineadosel segmento QR deberá pertenecer a SP . Si este no fuera el caso, consideremos altriángulo PQR = t y el plano α determinado por P,Q y R. Si la intersección entreα y π fuera vacía, los segmentos entre los puntos de QR y P no tendrían puntos encomún con π, y el segmento en cuestión estará en SP. Si la intersección entre α y πfuese la recta r, esta recta no puede cortar ningun lado de t ni pasar por un vértice.En efecto, si la recta cortara algún lado de t, esta lado debería ser necesariamenteQR, puesto que los otros lados, por hipótesis, no contienen ningún punto de π.En este caso se contradice la segunda parte del ejercicio 1.2.38. Tampoco puedenhaber puntos de r en el interior de t. (La justificación se la dejamos al lector) Endefinitiva, ninguna ceviana desde el punto P, tiene puntos de la recta r y por lotanto, en este caso tambien el segmento QR está incluido en SP . Como hasta aquíhemos considerado todos los casos posibles, concluimos que SP es conexo.¥

19Esta notación significa que los vértices de un triángulo son los puntos A,B y C.


Definition 2.21. Los puntos que no están en π y que tampoco están en SPforman un conjunto al que se le llama semiespacio opuesto a SP. Lo denotaremos∼ SP

Exercise 2.40. ∼ SP es no vacíoExercise 2.41. Los segmentos entre los puntos de ∼ SP y P contienen un

punto de π

Exercise 2.42. Los segmentos entre los puntos de ∼ SP y los puntos de SPcontienen un punto de P.

Exercise 2.43. ∼ SP es convexo.Exercise 2.44. Cualquier punto de SP sirve para definir a SP . Esto es, si Q ∈

SP , el conjunto de los segundos extremos de los segmentos que tienen por extremoal punto Q y que no contienen ningun punto de π, es el propio SP. Sugerencia:considere los triángulos QPX para un X cualquiera de SP .

Exercise 2.45. Sea Q ∈∼ SP , el conjunto de los segundos extremos de lossegmentos que tienen por extremo al punto Q y que no contienen ningun punto deπ, es el propio ∼ SP.

Exercise 2.46. Un semiplano de borde alguna recta de π y que contiene a Pestá completamente contenido en SP

CHAPTER 2

Transformaciones en el plano

1. Funciones de puntos

En esta sección intentaremos justificar la noción intuitiva de movimiento de laforma más formál y rápida que podamos. Para esto deberemos hablar de algunosconceptos de matemática previos. Primeramente nos ocuparemos de funciones depuntos.

Definition 1.1. Dados dos puntos P y Q, se llama par ordenado de los puntosP y Q al conjunto de la forma P , P,Q . Se lo denota (P,Q) . al punto Pse le llama primera componente y al punto Q se le llama segunda componente.componente1.

Definition 1.2. Dados dos conjuntos de puntos α y β, al conjunto de todoslos pares ordenados de tal manera que la primera componente es un punto de α ysegunda componente es un punto de β, se le llama producto cartesiano de α y β yse lo denota por α×β. A todo subconjunto de α×β se le llama relación de α en β.

Definition 1.3. A una relación de α en β que cumple que para cada puntoP de α existe un único punto Q de β de tal modo que el par (P,Q) está en estarelación, se le llama función de α en β. En este caso se dice que la función f asignaa P el valor Q y se escribe f (P ) = Q. Al conjunto α se le llama dominio de lafunción y al conjunto β se le llama codominio de la función. Al conjunto de lassegundas componentes de la función se le llama imagen de la función. Se dice queP es un punto fijo de f si se cumple que f (P ) = P.

Es claro que la imagen de la función es un subconjunto del codominio de lafunción. Muchos autores le llaman a la asignación función, mientras que al conjuntode pares ordenados le llaman gráfica de la función.

Exercise 1.1. La relación de α en α, que consta de todos los pares ordenadoscon primera y segunda componentes iguales se llama función identidad. Muestreque es efectivamente una función.

Exercise 1.2. De un ejemplo de una relación de ω en ω que no sea función.

Exercise 1.3. Sean α y β dos conjuntos de puntos (cualesquiera) y sea f unafunción, Si . α ⊂ β = f (α) ⊂ f (β) 2

1.1. Funciones biyectivas.

Definition 1.4. Una función es biyectiva si la imagen coincide con el codo-minio y si cualquier par de puntos distintos del dominio tienen imagenes distintas.

1En realidad en cuenta de puntos podremos hablar de elementos en general, pero como lamayor parte de las veces trataremos solamente con puntos, nos referiremos a puntos.

2Se dice que las funciones preservan la inclusión

13

14 2. TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Exercise 1.4. La función identidad es biyectiva

Definition 1.5. La inversa de una función f es una relación que se obtienede intercambiar la primera por la segunda componente de los pares ordenados de lafunción. Se la denota por f−1

Definition 1.6. Dadas dos funciones f y g, de tal modo que la imagen deg es un subconjunto del codominio de f, se define una función h que se le llamacomposición de g con f y se denota f g a la función que tiene como dominio αel dominio de g y como codominio β el codominio de f de tal modo que para cadaP ∈ α existe un Q ∈ β, tal que f (g (P )) = Q.

Theorem 1.1. Si una función f es biyectiva, su inversa es una función.

Para cada elemento Q del codominio de f, existirá al menos un P del dominiode f de tal modo que Q = f (P ), pues, como f es biyectiva el dominio de f coincidecon la imagen. Además este P debe ser único, pues si hubiese dos, por ejemplo P yP 0 de tal modo que Q = f (P ) y Q = f (P 0) se estaría contradiciendo la definiciónde biyectividad.

Exercise 1.5. Si la inversa de una función es función, es tambien biyectiva.

Exercise 1.6. Sean f y g funciones biyectivas entonces (f g)−1 = g−1 f−1

Exercise 1.7. La composición de una función biyectiva con su inversa es laidentidad.

1.2. Conjuntos estables.

Definition 1.7. Sea α un conjunto de puntos definimos f (α) al conjunto delos puntos Q = f (P ) donde P es un punto de α. Se dice que α es estable en f sicumple que f (α) = α

Theorem 1.2. Sean α y β dos conjuntos de puntos (cualesquiera) y sea f unafunción biyectiva. f (α ∪ β) = f (α) ∪ f (β) .3

En efecto si tomamos P en α ∪ β, P deberá estar en α o en β, y Q = f (P )deberá estar en f (α) o en f (β), luego Q estará en f (α) ∪ f (β) . Por otro lado, siQ = f (P ) está en f (α)∪ f (β) , Q deberá estar en f (α) o en f (β) . Si Q estuvieraen f (α) , al ser f biyectiva P debería estar en α. Del mismo modo si Q estuvieraen f (β) . De estas dos últimas oraciones deducimos que P no puede estar en otrolugar más que en α ∪ β. ¥

Exercise 1.8. Sean α y β dos conjuntos de puntos (cualesquiera) y sea f unafunción biyectiva. f (α ∩ β) = f (α) ∩ f (β) 4

Exercise 1.9. La composición de funciones biyectivas es biyectivas.

Exercise 1.10. Un punto fijo de una función biyectiva es también punto fijode la función inversa.

3Se dice que las funciones biyectivas preservan la unión.4Se dice que las funciones biyectivas preservan la intersección

2. TRANSFORMACIONES RÍGIDAS EN EL PLANO 15

2. Transformaciones rígidas en el plano

Nos restringiremos a las transformaciones en el plano π.

Axiom 2.1. Una transformación η en el plano π es una función biyectiva deπ en π. Un transformación será rígida si

1. Dados tres puntos cualesquiera A,B y C, que cumplen que están alineadoscon B entre A y C, entonces η (A) , η (B) y η (C) están alineados con η (B)entre η (A) y η (C) 5

2. ningún segmento puede transformarse en una parte propia de si mismo3. ningún ángulo puede transformarse en otro ángulo con el mísmo vértice peroque sea parte propia de si mismo.

4. Las transformaciones rígidas deben cumplir que(a) La inversa de una transformación rígida en una transformación rígida

(t.r)(b) La composición de transformaciones rígidas es rígida(c) Dados una semirecta s y un semiplano α determinado por esta semi-

recta; y otra semirecta s0 y un semiplano α0 determinados por estaúltima existe una única transformación rígida tal que η (s) = s0 yη (a) = α0

Exercise 2.1. La función identidad es una tranformación rígida

Theorem 2.1. Las semirectas se transforman en semirrectas. en una t.r.

Sea la semirecta s de origen O. Sea η una t.r. de tal modo que O0 = η (O) , sea

s0 =−−−−−−−→η (O) η (P ) donde P es un punto de la semirecta s distinto de O. Probaremos

que−−−−−−−→η (O) η (P ) = η

³−→OP

´= s0. Si tomamos un punto Q ∈ OP, es decir que

Q estaría entre O y P, quedaría claro que η (Q) estaría entre η (O) y η (P ) por

definición de t.r., luego η (Q) ∈−−−−−−−→η (O) η (P ). Lo mismo sucedería si P ∈ OQ. Por

otro lado tomemos un Q0 ∈−−−−−−−→η (O) η (P ) y consideremos el caso en que Q0 esté entre

η (O) y η (P ) en este caso por axioma de t.r. la inversa de toda transformaciónrìgida es una transformación rìgida queda que η−1 (Q0) está entre η−1 (η (O)) = Oy η−1 (η (P )) = P. El caso que resta considerar lo dejamos como ejercicio para ellector.¥

Exercise 2.2. Las rectas se transforman en rectas en una t.r.

Exercise 2.3. Los segmentos se transforman en segmentos en una t.r.

Exercise 2.4. Los semiplanos se transforman en semiplanos

Exercise 2.5. Un segmento no puede contener como parte propia a su trans-formado

Exercise 2.6. La opuesta de una semirecta se transforma en una t.r. en laopuesta de la semirecta transformada

Exercise 2.7. El semiplano opuesto de un semiplano se transforma en unat.r. en el opuesto del semiplano transformado

Exercise 2.8. Las rectas paralelas se transforman en paralelas

5Preserva la alineación y la relación entre.


Exercise 2.9. Tres puntos no alineados se transforman en puntos no alinea-dos

Exercise 2.10. Las rectas secantes se transforman en rectas secantes.

Theorem 2.2. Dado un segmento PQ y una semirecta s de origen O, existeun único punto R en s que cumple que OR es congruente con PQ.

Sea la semirecta−→PQ y α un semiplano de borde esta semirecta6. Por el axioma

de las t.r. existirá una única t.r. η tal que η³−→PQ

´= s y η (α) = α0 , donde α0

es uno de los semiplanos de borde s. En estas condiciones η (Q) = R y entoncesPQ ≡ OR. Si existiese un R0 6= R tambien sobre s y que cumpla que PQ ≡ OR0quiere decir que existe ζ, t.r. tal que ζ

¡PQ

¢= OR0 pero por axioma existe tambien

η ζ t.r. tal que η ζ¡OR0

¢= OR pero esto contradiría el axioma de las t.r. o

alguna de sus consecuencias (Ver ejercicio 2.2.5) ya que uno de los segmentos seríaparte propia del otro. Luego R = R0¥

El teorema 38 se le llama teorema de transporte de segmentos, y el nombre sedebe a que esto justifica que se pueda hacer copias de un segmento sobre cualquiersemirrectas. En el plano más concreto esto justificaría que se puede calcar unsegmento dado en otra semirecta dada. Siguiendo el razonamiento para transportede segmentos se puede deducir el teorema para transporte de ángulos que se dejacomo

Exercise 2.11. Enunciar y demostrar el teorema de transporte de ángulos.

Exercise 2.12. Si una t.r. tiene dos puntos fijos tiene toda una recta fija

Exercise 2.13. Si una t.r. tiene tres puntos fijos no alineados, esta t.r. esunicamente la identidad.

2.1. Congruencia.

Definition 2.1. Dos conjuntos de puntos se dicen congruentes si existe unatransformación rígida de tal modo que la imagen por esta de uno de ellos es el otro.Para la congruencia usaremos el símbolo ≡

Exercise 2.14. Todo conjunto es congruente consigo mismo7

Exercise 2.15. Si un conjunto α es congruente con un conjunto β el conjuntoβ lo es con el α.8

Exercise 2.16. Si un conjunto α es congruente con un conjunto β y el con-junto β lo es con el γ, α es congruente con el γ.9

Definition 2.2. El lugar geométrico de los puntos que son los segundos ex-tremos de los segmentos no nulos y congruentes que tienen un extremo en O, se lellama circunferencia de centro O. A cada uno de los segmentos se le llama radio dela circunferencia.

6En realidad deberíamos decir un semiplano de borde la recta que contiene a esta semirecta.Pero el ahorro de palabras justifica el abuso de lenguaje cometido.

7Se le llama propiedad reflexiva de la congruencia.8Se le llama propiedad simétrica de la congruencia.9Se le llama propiedad transitiva de la congruencia. Como la congruencia cumple la reflexivi-

dad, la reciprocidad y la transitividad, se dice que la congruencia es una relación de equivalencia.

2. TRANSFORMACIONES RÍGIDAS EN EL PLANO 17

Exercise 2.17. Las circunferencias se transforman en circunferencias en unat.r. Además si el centro de una circunferencia es fijo en una t.r. entonces lacircunferencia es estable.

Definition 2.3. Un triangulo es isosceles si tiene un par de lados congruentes.Si los tres lados de un triángulo son congruentes el triángulo es equilátero.

2.1.1. Orden en segmentos y ángulos.

Definition 2.4. Un segmento AB es menor que uno CD si existe un segmentoA0B0 incluido propiamente en CD y que es congruente con AB. Un ángulo α esmenor que un ángulo β si existe un ángulo α0 incluido propiamente en β y con elmísmo vértice

Exercise 2.18. Un segmento AB es menor que uno CD si existe un puntoB0 en CD de tal modo que CB0 ≡ AB.

Exercise 2.19. Un ángulo bab es menor que un ángulo bcd si existe una semi-recta interior b0 en bcd de tal modo que ccb0 ≡ bab.

Exercise 2.20. Ningún segmento puede transformarse en uno menor.

Exercise 2.21. Ningún ángulo puede transfomarse en uno menor.

2.1.2. Punto medio y bisectriz.

Definition 2.5. Se dice que dos puntos A y B equidistan de un tercero O siAO ≡ BO. El el caso en que A,B y O estubieran alineados, a O se le llamaríapunto medio del segmento AB.

Exercise 2.22. El punto medio M de un segmento AB se encuentra entre Ay B.

Exercise 2.23. El punto medio de un segmento, si existe, es único.

Definition 2.6. Sea s una semirecta interior del ángulo bab que cumple quebas ≡ bsb, entonces a s se le llama bisectriz del ángulo babExercise 2.24. La bisectriz de un ángulo, si existe, es única.

2.1.3. Angulos Adyacentes.

Definition 2.7. Dos ángulos se les llama adyacentes si comparten un lado ylos otros dos lados están sobre semirrectas opuestas.

Exercise 2.25. Todo ángulo no nulo ni llano tiene dos adyacentes

Definition 2.8. Un ángulo se dice recto si es congruente con alguno de susadyacentes.

Exercise 2.26. Todos los ángulos rectos son congruentes

Definition 2.9. Un ángulo α que es congruente con un adyacente de otro βse dice suplementario

Exercise 2.27. Todos los ángulos rectos son suplementarios


2.1.4. Suma de segmentos y ángulos.

Definition 2.10. Un segmento AB se le llama suma de otros CD y EF siexiste un punto X de tal modo que AX ≡ CD y XB ≡ EF. A la suma de dossegmentos congruentes se le llama segmento doble. El resto de las definiciones sevuelven naturales

Exercise 2.28. Definir segmento mitad

Exercise 2.29. Definir suma de ángulos.

Exercise 2.30. Definir ángulo doble y ángulo mitad.

Exercise 2.31. La suma de dos rectos es un llano

Definition 2.11. Si la suma de dos ángulos es un recto, a aquellos ángulosse les llama complementarios. Si la suma de dos ángulos es un llano a los ángulosse les llama suplementarios.

Exercise 2.32. Dos ángulos adyacentes son suplementarios. ¿Es cierto laproposición recíproca?

2.2. Transformaciones rígidas involutivas.

Definition 2.12. Una t.r. se dice involutiva si al componerla con si mismaresulta la función identidad.

Exercise 2.33. Mostrar que la inversa de una t.r. involutiva es la propiat.r.10

Theorem 2.3. Una t.r. involutiva deja estable un segmento de extremos unpunto cualquiera y su transformado.

Esto es claro pues para cualquier P, se cumple que Pη (P ) = η (η (P )) η (P ) =

η³η (P )P

´= η

³Pη (P )

´por ser η involutiva. ¥

Exercise 2.34. Una t.r. involutiva deja estable una recta que pasa por unpunto cualquiera y su transformado (Considere el caso que el punto por donde pasasea fijo)

Exercise 2.35. En una t.r. involutiva si una recta y su transformada se in-tersecan en un punto, este punto es fijo en esta t.r.

Theorem 2.4. El punto medio (si existe) de un segmento de extremos unpunto y su transformado en una t.r. involutiva es fijo.

Sea M el punto medio del AB y sea η una t.r. involutiva con B = η (A),entonces η

¡AM

¢= BM 0. Como ζ

¡BM

¢= AM, para alguna t.r. ya que AM ≡

BM , entonces M = M 0. Si este no fuera el caso, haciendo η¡ζ¡BM

¢¢= BM 0

se llegaría a que uno de los dos segmentos BM o BM 0, seria menor que el otrocontradiciendo alguna consecuencia del axioma de las t.r.¥

Exercise 2.36. La bisectriz (si existe) de un ángulo determinado por unasemirecta y su transformada es estable en una t.r. involutiva con todos sus puntosfijos.

Exercise 2.37. Toda t.r. involutiva tiene al menos un segmento estable. Nat-uralmente también una recta estable.

10A este tipo de funciones se les llama autoinversas

CHAPTER 3

Tipos de Transformaciones

1. Simetría central

Definition 1.1. Sea O un punto del plano π. sea s una semirecta cualquierade origen O. y α un semiplano de borde s. La t.r. σO es la simetría central decentro O si σO (s) =∼ s y σO (α) =∼ α

Theorem 1.1. Cualquier semirecta de origen O serviría igualmente para definirla misma simetría σo

Sean dos semirectas no opuestas s y t. Sean los semiplanos α y β dos semiplamosde bordes respectivamente s y t. Si σO (s) =∼ s y σO (α) =∼ α, observemos queσO (t) = t

0 donde t0 es una semirecta de origen O ya que O es obviamente fijo. Sit0 6=∼ t, t0 debería estar incluida en alguno de los semiplanos abiertos de borde t,por ejemplo β. Así el ángulo ctt0 no sería llano y estaría completamente incluido enβ. Supongamos que s sea interior a ctt0 entonces

σO

³ctt0´ = σO

³bts ∪ct0s´ = σO¡bts¢ ∪ σO ³ct0s´ =\t0 ∼ s ∪[t ∼ s

Pero este último miembro contendría al semiplano ∼ β. y el semiplano β se trans-formaría en una parte propia del ∼ β, lo que es absurdo. Este absurdo provinode suponer que t0 6=∼ t por lo cual t0 =∼ t Se deja como ejercicio al lector queσO (β) =∼ β.¥

Theorem 1.2. La simetría central es involutiva

Sea la simetría central σO y sean la semirecta cualquiera s de origen O y elsemiplano α de borde esta semirecta vemos que

σO (σO (s)) = σO (∼ s) =∼ (∼ s) = sσO (σO (α)) = σO (∼ α) =∼ (∼ α) = α

Pero este tipo de cosas lo hace la identidad, luego por el axioma de la t.r.σO σO =id.¥

Exercise 1.1. El segmento OP es congruente con el OσO (P ) Esto es, O esfijo en esta t.r. Además O es el punto medio de PσO (P ).

Exercise 1.2. Las rectas que pasan por el centro de la simetría permanecenestables en esta simetría.

Exercise 1.3. Los ángulos opuestos por el vertice son congruentes

Exercise 1.4. Dos ángulos adyacentes a un angulo dado son congruentes.

Exercise 1.5. Toda simetría central tiene un único punto fijo que es su centro.(Sugerencia: Suponga la existencia de otro punto fijo P distinto del centro de lasimetría O y considere la operación de la simetría sobre la semirecta

−→OP )

19

20 3. TIPOS DE TRANSFORMACIONES

Theorem 1.3. Dados dos puntos A y B distintos sea α el semiplano determi-

nado por la recta←→AB la t.r. η que cumple que η

³−→AB

´=−→BA y η (α) =∼ α es una

simetría central.

Dejamos al lector la verificación de que η es involutiva. Tomemos P exte-rior a

←→AB Sea O =

←→AB ∩

←−−−→Pη (P ) (Note que esta intersección existe pues P y

η (P ) están en distinto semiplano con respecto a←→AB). Además η (O) = η

³←→AB

´∩

η³←−−−→Pη (P )

´=←→AB ∩

←−−−→Pη (P ) = O (Ver ejercicio 2.2.34) Por tanto O es fijo. Asi

η³−→OB

´= η

³OB∪ ∼ −→BA

´= OA∪ ∼ −→AB = −→OA. Por lo tanto esta es σO.

Exercise 1.6. Existe el punto medio de cualquier segmento dado. Ademáseste punto es único.

Punto MedioExercise 1.7. Toda t.r. involutiva tiene al menos un punto fijo.

Exercise 1.8. Toda t.r. involutiva tiene al menos una circunferencia estable.

Theorem 1.4. Una recta cualquiera que no pasa por el centro de simetría setransforma en una paralela a si misma

Sean dos rectas t y t0 de tal manera que σO (t) = t0 con t que no pasa por O.Supongamos A = t0 ∩ t entonces σO (A) = σO (t ∩ t0) = t0 ∩ t = A por lo cual A esfijo en esta simetría, lo que contradice el resultado del ejercicio 3.1.5. En sintesis ty t0 son paralelas¥

Exercise 1.9. Dada una recta r y un punto P exterior a r, existe una recta (almenos) que es paralela a r y que pasa por P. (Sugerencia: Considere una simetriacentral de centro el punto medio del segmento entre P y un punto cualquiera de larecta r)

Exercise 1.10. La simetría central de centro el centro de una circunferenciadada, deja fija a dicha circunferencia.

Theorem 1.5. Dos ángulos α y β congruentes tienen vértices O y O0. Si αtiene uno de sus lados la semirrecta

−−→OO0 y β la semirrecta

−−→O0O y están en distintos

semiplanos con respecto a la recta←→OO0, entonces los lados restantes de α y β son

paralelos.

2. SIMETRÍA AXIAL 21

Si tomo la simetría central σM donde M es el punto medio del segmento OO0,σM (α) = β, de aquí que los otros dos lados sean paralelos, por ser uno la imagendel otro.¥

Exercise 1.11. Usando transporte de ángulos y de segmentos desarrolle algúnprocedimiento para encontrar puntos medios y paralelas. Ver Figura ??

2. Simetría axial

Definition 2.1. Sea r una recta del plano π. sea s una semirecta cualquieraincluida en r y α un semiplano de borde r. La t.r. σr es la simetría axial de eje rsi σr (s) = s y σO (α) =∼ α

Exercise 2.1. Cualquier semirecta en r serviría igualmente para definir σr

Exercise 2.2. Una simetria axiál cualquiera es involutiva.

Exercise 2.3. Los únicos puntos fijos de una simetría axial son los de su eje.

Exercise 2.4. Sea P un punto que no está en el eje de una simetría axialσr. El punto medio M del segmento Pσr (P ) está sobre r. Además una semirectacualquiera de origen M que esté sobre r, forma con

−−→MP un ángulo recto.

Exercise 2.5. Existe un ángulo recto.

Exercise 2.6. Dado un ángulo recto bst la t.r. η que cumple que η (s) = s0 yη (α) = α, donde α es uno de los semiplanos determinados por s, es una simetríaaxial de eje la recta que contiene a t

Exercise 2.7. Dada una recta r y un punto P exterior a esta recta pasa unaperpendicular a r por P.

Theorem 2.1. Dados dos semirrectas a y b distintas no opuestas, con el mismoorigen O sea α el semiplano determinado por la semirrecta a que contiene a b y βel semiplano determinado por la semirrecta b que contiene a a, la t.r. η que cumpleque η (a) = b y η (α) = β es una simetría axial.

Dejamos al lector la verificación de que η es involutiva. Tomemos A ∈ adistinto de O que pasa por A. Sea B = η (A) El punto medio M del segmento ABes fijo en esta t.r. involutiva, lo mismo que O. (Dejamos la justificación de estoúltimo al lector). Por lo tanto la recta

←→OM es estable, con todos sus puntos fijos

en esta transformación. Además, los semiplanos determinados por←→OM en esta

transformación se corresponden, luego esta t.r. es la simetría axial de eje←→OM¥

Exercise 2.8. Todo ángulo convexo tiene una bisectriz

Exercise 2.9. Si una recta y su transformada por una simetría axial se cortanen un punto P, entonces P está sobre el eje de esta simetría.

Exercise 2.10. Un triángulo isosceles tiene dos ángulos congruentes1 (Sug-erencia: Si A es el vértice de intersección de los lados congruentes del tríanguloisosceles ABC, plantee la simetría axial que lleva

−→AB en

−→AC. Note que en este caso

B es el transformado de C y reciprocamente.)

1Este teorema se conoce como Pons Ansinorum o Puente del Asno. Solía tomarse antigua-mente como examen de ingreso a las universidades.


Exercise 2.11. Una t.r. que transforma una semirecta en su opuesta y quemantiene estables los semiplanos determinados por estas semirectas es una simetríaaxial. (Sugerencia: Tome un punto P que no esté en la recta que contiene a estassemirectas y analice el punto medio de este punto y su transformado)

Exercise 2.12. Dados dos puntos distintos A y B la t.r. que envia−→AB en−→

BA manteniendo estables los semiplanos determinados por estas semirectas, es unasimetría axial.

Exercise 2.13. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces esisosceles. (Considerar ejercicio 3.2.9)

Exercise 2.14. En un triángulo isosceles, la mediatriz de un lado coincidecon la bisectriz del ángulo opuesto.

Exercise 2.15. Dada una recta r y un punto P en la recta r, pasa una rectaperpendicular a r por P.

Exercise 2.16. Dada una recta r y un punto P, pasa una única recta perpen-dicular a r por P. Discrimine los casos en que el punto este sobre la recta y en queno lo esté. (Sugerencia: Aplique el teorema 58)

Exercise 2.17. Una circunferencia con diámetro el eje de simetría de unasimetría axial permanece estable.

Exercise 2.18. El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntosfijos A y B es la mediatriz del segmento AB.

Mediatriz de un segmento

Exercise 2.19. La opuesta de la bisectriz de un ángulo es la bisectriz del án-gulo opuesto por el vértice.

Exercise 2.20. La bisectriz de un ángulo es perpendicular a la bisectriz deladyacente.2

2.1. Equidistancia de puntos a rectas.

Definition 2.2. Sean dos puntos A y B y la recta r, sean A0 y B0 los puntosde intersección de las rectas perpendiculares a r desde A y B respectivamente, sedice que A y B son equidistantes a r si AA0 ≡ BB0.

2De esta forma las bisectrices determinadas por dos rectas secante se dice que forman unacruz de bisectrices.

2. SIMETRÍA AXIAL 23

Exercise 2.21. El lugar geométrico de los puntos en el interior de un ánguloque equidistan de los lados de dicho ángulo forman la bisectriz del ángulo.

Bisectriz de un ángulo

Exercise 2.22. La composición de simetrías axiales de ejes perpendiculares esuna simetría central de centro el punto de intersección de los ejes. La composiciónde una simetría axiál de eje r con una simetría central de centro O es una simetríaaxial de eje una recta perpendicular al eje r que pasa por O.

Exercise 2.23. Las mediatrices de los catetos de un triángulo rectángulo secortan en el punto medio de la hipotenusa. La circunferencia que tiene por diámetroel punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pasa por el ángulo recto

Circunferencia que pasa por los vérti

Exercise 2.24. Las mediatrices de las cuerdas pasan por el centro de la cir-cunferencia.

Exercise 2.25. Dadas dos circunferencias que se cortan en dos puntos, lamediatriz de la cuerda común es también un diámetro común.

Theorem 2.2. Todo punto B de una circunferencia de diámetro AC es elvértice de un ángulo recto\ABC

En la simetría axial de eje la mediatríz del segmento AB, el punto C se trans-formará en un punto C0 sobre la circunferencia antipodal a B, por ejercicio 3.2.24.En definitiva, si aplicamos esta simetría axial y luego un simetría central de centroel centro de la circunferencia y se llega a que la semirrecta

−→AB se transformará en

una paralela, y como por ejercicio 3.2.22 la esta composición es una simetría axialle ángulo en B debe ser recto.¥


3. Traslaciones

Definition 3.1. Sean los puntos A y A0, y sea α uno de los semiplanos definidos

por←→AA0 La t.r. tal que η

³−−→AA0

´=∼−−→A0A y η (α) = α, se llama traslación de mó-

dulo3 AA0 y se denota por τAA0 . La identidad se considera una traslación de módulo

cero. A la recta←→AA0 se le llama guia de la traslación

Exercise 3.1. Ningún punto de la guía en una traslación distinta de la iden-tidad, se mantiene fijo (Sugerencia: Suponga fijo P en la τ←→

AA0. Observe lo que

pasaría con el segmento AP. ¿Puede P estar entre A y A0?)

Theorem 3.1. τAA0 = σA0 σM donde M es el punto medio de AA0.

Calculemos σA0 σM³−−→AA0

´= σA0

³−−→A0A

´=∼

−−→A0A, Por otro lado, σA0

σM (α) = σA0 (∼ α) = α.

Exercise 3.2. τAA0 = σM σA donde M es el punto medio de AA0

Exercise 3.3. τAA0 = σm σa0 donde m es la mediatriz de AA0 y a0 es unaperpendicular a

←→AA0 por A0.

Exercise 3.4. Las rectas correspondientes en una traslación son paralelas.

Para poder actuar con más libertad, y hacer más fluida la relación entre lassimetrías y las traslaciones, es necesario admitir una suposición más que se conocecomo el axioma de las paralelas

Axiom 3.1. Existe una única paralela que pasa por un punto dado a una rectadada.4

Exercise 3.5. Dadas dos paralelas existe una simetría central, una traslacióny una simetría axial que manda una paralela en otra. (Note que las partes recíprocasde este enunciado las consideramos anteriormente.)

Exercise 3.6. Si una recta corta una recta de un haz de rectas paralelas, cortatodas las demás.

3Se le puede llamar segmento orientado. En definitiva quiere decir que se puede decidir sobreque extremo será la punta y cual la cola. De ahora en más en un segmento orientado AB, A serála cola y B sera la punta.

4Este axioma resultó un punto de discusión de muchos matemáticos desde que los antiguosgriegos lo postularon hasta la primera mitad del siglo XIX. La controversia tenía que ver sobresi este axioma podía desprenderse de la estructura axiomática anterior como un teorema. A esteaxioma se le llama el quinto postulado de Euclides

3. TRASLACIONES 25

Theorem 3.2. Sean tres paralelas r, s, p y t una transversal de tal modo quelas paralelas determinan sobre t segmentos congruentes, entonces determinarán seg-mentos congruentes sobre cualquier otra transversal5.

Paralelas cortadas por una transversal

Sean R,S y P los puntos de la intersección de t con las tres paralelas r, s, p re-spectivamente y sean R0, S0 y P 0 los puntos de la intersección de t0, una transversalcualquiera, con las tres paralelas r, s, p respectivamente. Supongamos que σs (R) =P. En esta simetría, el trío de paralelas permanece estable y la recta t0 se trans-formará en una paralela, digamos t00. Sea τ la traslación que lleva σs (S

0) = S00

en S0. En esta traslación, el trío de paralelas permanece estable y la recta t00 setransformará en t0. Notemos que τ (σs (P 0)) = R0, pues σs (P 0) está en r lo mismoque R0. Es inmediato que τ

¡σs¡P 0S0

¢¢= R0S0¥

Exercise 3.7. Si en un triángulo se traza la paralela a uno de los lados por elpunto medio de otro lado, esta pasará por el punto medio del tercer lado. El Seg-mento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo y congruentecon la mitad del tercer lado.

Definition 3.2. Al segmento entre los puntos medios de los lados de un trián-gulo se le llama base media. El triángulo formado por las bases medias se le llamatriángulo medial

Exercise 3.8. Los ángulos (internos) de un triángulo suman un llano. (Sug-erencia: Trace una paralela a uno de los lados por el correspondiente vértice op-uesto)

Exercise 3.9. Los ángulos exteriores de un triángulo son iguales a la sumade los no adyacentes. Naturalmente, un ángulos exterior es mayor que cualquierade los otro ángulos no adyacentes con el.

Exercise 3.10. En un triángulo solamente puede haber un ángulo recto. Lomismo es cierto para los obtusos.

Exercise 3.11. Si el doble de un ángulo α es congruentes con el doble de unángulo β, entonces α ≡ β. Generalice este resultado.

5Este resultado se puede considerar como parte de un resultado más general llamado teoremade Thales.


Exercise 3.12. Todos los ángulos interiores de todos los triángulos equiláterosson congruentes.

Exercise 3.13. Una composición de simetrías centrales de distinto centro notiene puntos fijos. O sea, si la traslación tiene puntos fijos es la identidad. (Sug-erencia: Suponga P fuera de la recta

←→MA (¿Por qué?) y analice el comportamiento

de la recta←→PA en la transformación σM σA. Recuerde el axioma de las paralelas)

Exercise 3.14. Pτ←−→AA

0 (P ) es congruente y paralelo a AA0. (Sugerencia: Con-

sidere la simetría central σM donde M es el punto medio del segmento PA0.)

Exercise 3.15. Las rectas paralelas a la guía permanecen estables.

Exercise 3.16. Dos perpendiculares a dos paralelas son paralelas. Note queesto es equivalente a decir que si dos rectas son secantes las perpendiculares respec-tivas también serán secantes.

Exercise 3.17. τBC τAB = τAC = τAB τBC . (Se dice que las traslacionesconmutan en la composición. Note que las simetrías centrales y axiales no gozan,en general de esta propiedad)

Exercise 3.18. τBC τAB = τDC τAD

Exercise 3.19. (τAB)−1 = τBA

3.1. Aplicaciones a cuadriláteros.

Definition 3.3. Los cuadrilateros con dos pares de lados opuestos paralelosse llaman paralelogramos. Los rectángulos son cuadriláteros con los cuatro ánguloscongruentes. Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. Unromboide es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados congruentes. Un rombo esun cuadrilátero con todos los lados congruentes. Si un rombo es un rectángulo sele llama cuadrado.

3. TRASLACIONES 27

Clasificación de cuadriláterosExercise 3.20. Los paralelogramos tienen dos pares de lados congruentes y

las diagonales se intersecan. También si un cuadrilátero tiene dos pares de la-dos opuestos congruentes o si tiene las diagonales que se bisecan entonces es unparalelogramo.

Exercise 3.21. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

Exercise 3.22. Si un cuadrilátero cumple que los pares de ángulos consecu-tivos son congruentes, entonces es un paralelogramo.

Exercise 3.23. Los rectángulos son paralelogramos. Además, los rectángulostienen todos sus ángulos rectos.(Sugerencia: Plantee una simetría axial de eje la me-

diatriz m del lado AB y considere los ángulos\ACD, \ACσm (C),\CDB y \Cσm (C)By concluya que deben ser necesariamente iguales.)6

Exercise 3.24. Los cuadriláteros que tienen dos pares de lados consecutivoscongruentes tienen diagonales que se cortan perpendicularmente7 (Sugerencia: Con-sidere el Pons Ansinorum y plantee una simetría axial)

Exercise 3.25. Un rombo es un paralelogramo.

3.2. Primeros tres criterios de congruencia de triángulos.

Theorem 3.3. Dos triángulos con dos lados y el ángulo comprendido entreambos lados congruentes respectivamente son congruentes.

6Se podría haber aceptado como definición que : Los rectángulos son cuadriláteros con loscuatro ángulos rectos.

7Este tipo de cuadrilateros se les llama romboides.


Sean dos triángulos ABC y A0B0C 0 que cumplen que AB ≡ A0B0 y BC ≡ B0C0con \ABC ≡ \A0B0C 0. Sea η tal que η

³−→AB

´=−−→A0B0 y η (α) = α0 donde α es el

semiplano de borde la semirecta−→AB que contiene a C y α0 es el semiplano de borde

la semirecta−−→A0B0 que contiene a C0. Por los teoremas de transporte de ángulos

y segmentos η³\ABC

´= \A0B0C0, η

¡BC

¢= B0C0 y η

¡AB

¢= A0B0. Por lo cual

η (C) = C 0 y η (A) = A0 y entonces η³\BCA

´= \B0C0A0, η

³\CAB

´= \C0A0B0 y

η¡CA

¢= C 0A0

Exercise 3.26. Sean dos triángulos ABC y A0B0C0 que cumplen que AB ≡A0B0 y BC ≡ B0C0 con\ABC > \A0B0C0, entonces\ABC > \A0B0C0

Exercise 3.27. Sean dos triángulos ABC y A0B0C0 que cumplen que AB ≡A0B0,\ABC ≡ \A0B0C 0 y\BAC ≡ \B0A0C0, entonces los triángulos son congruentes.

Exercise 3.28. Sean dos triángulos ABC y A0B0C0 que cumplen que AB ≡A0B0, BC ≡ B0C0 y AC ≡ A0C 0, entonces los triángulos son congruentes. (Sug-erencia: Plantee una transformación η

³−→AB

´=−−→A0B0 y η (α) = α0 de tal modo que

C ∈ α y C00 = η (C 0) ∈ α0 Note que C y C 00 equidistan de A y de B.)

Antes de avanzar en el cuarto criterio de congruencias de triángulos es necesariotratar el siguiente resultado

3.3. Relaciones entre lados y ángulos de un triángulo.

Theorem 3.4. En un triángulo, a ángulos mayores se le oponen lados mayoresy recíprocamente.

Sea el triánguloABC y seaAB < AC. Tomemos un puntoB0 ∈ AC de tal modoque AB ≡ AB0 y el triángulo isosceles ABB0 con ángulos en B y en B0 congruentes.Entonces tendremos que \ABC > \ABB0 ≡ \AB0B >\ACB. La última desigualdadse prueba pues \AB0B es un ángulo exterior del triángulo BCB0. Recíprocamente,si bB > bC, entonces b > c. Si este no fuera el caso es decir si b ≤ c, debería serbB ≤ bC, contradiciendo la demostración anterior.

Exercise 3.29. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayorque cualquiera de los catetos.

Exercise 3.30. En un triángulo todo lado es menor que la suma de los otrosdos. (Sugerencia: Basta considerar a a como el mayor de los lados y tomar unpunto A0 en el, de tal modo que ABA0 sea un triángulo isosceles. Note que el\AA0C debe ser mayor que el \A0AC. Concluya que A0C < b)

3. TRASLACIONES 29

Exercise 3.31. En un triángulo todo lado es mayor que la diferencia de losotros dos.

Exercise 3.32. Explique la frase coloquial que dice que “el camino sobre unapoligonal es siempre mayor que el camino sobre una linea recta”

Exercise 3.33. Dada una recta r y un punto P, PP 0 < PX, donde P 0 es elpie de la perpendicular a r desde P y X es un punto en r distinto de P 0 (El caminomás corto a una recta es perpendicularmente a esta)

3.4. Cuarto caso de congruencias de triángulo.

Theorem 3.5. Sean los triangulos ABC y A0B0C0 de tal modo que AB ≡A0B0, AC ≡ A0C 0 y bB ≡ cB0, con AC > AB, entonces ABC y A0B0C 0 son congru-entes.

Sea la t.r η tal que η³−→AB

´=−−→A0B0 y η (α) = α0, donde el semiplano α es el

contiene a C y el α0el que contiene a C 0. Sea C00 = η (C) . Supongamos primeramenteque C00 esté entre B0 y C 0. Esto no es posible pues al ser AC ≡ A0C 0 ≡ A0C0 eltriángulo C0A0C00 es isosceles. De este modo \A0C 00C > cB0 por ser \A0C 00C unexterior no adyacente a cB0, y cC0 ≡ \A0C 00C > cB0. Pero entonces A0C0 < A0B0 yAC < AB contra lo supuesto. El caso en que C0 esté entre B0 y C00 se lo dejamosal lector. En resumen C00 = C 0¥

Exercise 3.34. Repase este escrito pero teniendo en cuenta los criterios decongruencia.

Exercise 3.35. Enuncie criterios de congruencia para triángulos rectángulos.

3.5. Intersecciones de Cevianas.

Definition 3.4. Las palabras bisectriz, mediana y alturas de un triángulo seránusadas para representar varios entes geométricos. Pero en el contexto debe quedarcompletamente claro al ente al que nos referiremos. Así la bisectriz es también elsegmento en el triángulo de la semirrecta bisectriz del ángulo correspondiente. Lamediana es el segmento entre un vértice y el punto medio del lado opuesto, o larecta que lo contiene. La altura es un segmento perpendicular a un lado desde ellado al vértice opuesto o la recta que lo contiene.

3.6. El incentro.

Exercise 3.36. Las bisectrices se cortan en el interior del triángulo.

Exercise 3.37. Las bisectrices se cortan de a tres. (Sugerencia: Recuerde quelos puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo)


Definition 3.5. El lugar de corte de las bisectrices se llama incentro.

Las bisectrices, el incentro y la circunferenc

Exercise 3.38. El incentro equidista de los lados del triángulo.

Definition 3.6. Una recta es tangente a una circunferencia si toca a la cir-cunferencia en un punto y deja a la circunferencia enteramente en un semiplano.Al punto común se le llama punto de tangencia.

Exercise 3.39. La recta perpendicular a un radio por un punto de la circun-ferencia es tangente a la circunferencia. ( Sugerencia: Considere la simetría axialde eje la recta que contiene a dicho radio)

Theorem 3.6. Si una recta es tangente a una circunferencia es perpendicularal radio por el punto de tangencia.

Si no fuera perpendicular al radio por el punto de tangencia P , habría unpunto Q que sería el pie de la perpendicular desde el centro O de la circunferencia.Naturalmente OP > OQ y de este modo podría encontrarse un punto Q0 de talmodo que Q ∈ OQ0 y que OQ0 ≡ OP . Pero en este caso Q0 sería punto de lacircunferencia y estaría en un semiplano distinto de Q00 simetrico con respecto a Ode Q0, lo que es absurdo.

Exercise 3.40. Existe una única circunferencia tangente a los lados de untriángulo dado. El centro es el incentro.

Definition 3.7. Una circunferencia se dice inscrita en un triángulo si es tan-gente a los lados del triángulo.

Exercise 3.41. La circunferencia inscrita en un triángulo es estable en unasimetriá axial con eje una bisectriz de un ángulo del triángulo.

3.7. El circuncentro.

Exercise 3.42. Las mediatrices de (los lados de) un triangulo se cortan.

Exercise 3.43. Las mediatrices de un triángulo se cortan de a tres. (Sug-erencia: Recuerde que los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del

3. TRASLACIONES 31

segmento)

Las mediarices, el circuncentro y la cir

Definition 3.8. El lugar de corte de las mediatrices se llama circuncentro.

Exercise 3.44. El circuncentro equidista de los vértices del triángulo

Exercise 3.45. Existe una única circunferencia que pasa por los vértices deun triángulo dado. El centro es el circuncentro.

Exercise 3.46. Una simetría axial de eje una mediatriz de un triángulo dejaestable la circunferencia circuncrita

3.8. El baricentro.

Exercise 3.47. Las medianas de un triángulo se cortan en el interior deltriángulo.

Theorem 3.7. Las medianas de un triángulo se cortan de a tres.

Sea ABC un triángulo sean A0, B0 y C 0 los puntos medios de los lados a, b y crespectivamente. Sea σA0 (G) = GA donde G es el lugar de corte de las medianasmA y mC . Note que usando el resultado del ejercicio 3.3.7 aplicado al triánguloABGA se llega a que GGA ≡ AG. Como A0GA ≡ A0G. queda que la mediana mC

se corta a mA a la tercera parte de su longitud. Intercambiando los papeles de C


por B se llegaría a que las medianas se cortan de a tres.¥

Las medianas y el baricentro

Definition 3.9. Al lugar de corte de las medianas de un triángulo se le llamabaricentro8

4. Rotaciones

Definition 4.1. Sean las semirrectas a y a0, de origen común O y sea α elsemiplano de borde a que contiene a a0 y α0 el semiplano de borde a0 que no contienea a La t.r. tal que η (a) = a0 y η (α) = α0, se llama rotación de centro O y anguloorientado caa0 y se denota por ρ

O,caa0 . La identidad se considera una rotación deángulo orientado cero.

Exercise 4.1. Ninguna semirrecta que pase por el centro de la rotación dis-tinta de la identidad, se mantiene fija (Sugerencia: Suponga fija r en la ρ

O,caa0 .Observe lo que pasaría con el ángulo car. ¿Puede r estar entre a y a0?)

Exercise 4.2. ρO,caa0 = σa0 σb donde b es la bisectriz de caa0.

Exercise 4.3. ρO,caa0 = σb σa donde b es la bisectriz de caa0.

Exercise 4.4. La simetría central es una rotación.

Exercise 4.5. Las rectas correspondientes en una rotación distinta de la iden-tidad y de la simetría central son secantes.

Exercise 4.6. \POρO,caa0 (P ) con P distinto de O es congruente a caa0. (Sug-

erencia: Considere la simetría axial σb donde b es la bisectriz del ángulo\O−→P a0.)

Exercise 4.7. Las Circunferencias permanecen estables en una rotación decentro el centro de la circunferencia.

8Se le llama a este punto centro de masa o centroide. La razón mecánica de esta denominaciónse debe a que las medianas dividen al triángulo en dos triángulos de igual superficie. De este modo,si tuvieramos una chapa triángular delgada de algún material de densidad de masa uniforme, alcolgarlo de su baricentro la chapa permanecería en equilibrio.

4. ROTACIONES 33

Exercise 4.8. Dadas dos semirectas correspondientes en una rotación en-tonces el centro de la rotación se encuentra en la mediatriz del segmento deter-minado por los orígenes de las semirrectas y en la bisectriz de uno de los ángulosdeterminados por las rectas que contienen a dichas semirrectas.

Determinación del centro de giro de una rotac

Exercise 4.9. Determine un procedimiento para encontrar el centro de unarotación dadas dos semirrectas correspondientes en una rotación. De condicionespara la resolución.

Exercise 4.10. ρO, bbc ρO, bab = ρO, bacExercise 4.11.

³ρO, bab

´−1= ρO, bba

Exercise 4.12. La composición de dos rotaciones de distinto centro es unarotación o una traslación. Cuando la composición de las rotaciones es una traslación,una de las rotaciones es de ángulo inverso de la otra.

CHAPTER 4

Problemas de Aplicación

1. El teorema del ángulo inscrito

Definition 1.1. Un ángulo se le llama inscrito (en una circunferencia) si suvértice está en la circunferencia y sus lados cortan la circunferencia. Un ángulose llama semiinscrito si su vértice está en la circunferencia y uno de sus lados estangente a la circunferencia y el otro corta a la circunferencia. Un ángulo se llamacentral si su vértice está en el centro de la circunferencia.

Theorem 1.1. Los puntos de intersección de las rectas de un haz de semirectashomólogas en una rotación se encuentran en una circunferencia.

Sea A el origen de las semirectas de un haz y sea B el origen de las transfor-madas. Sea O el centro de giro y O0 el centro de la rotación que envia las semirectasde A en las opuestas de las correspondientes en la rotación de centro O.Sabemosque tanto por O como por O0 pasa la mediatriz al segmento AB. Por otro lado, Sea

35

36 4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

C un punto de intersección entre una semirrecta y su correspondiente, las bisectricesdeterminadas por las semirrectas serán perpendiculares y pasarán respectivamentepor O y por O0. Por lo último el triángulo OCO0 será rectángulo con un ángulo rectoen C. La circunferencia circunscrita en OCO0 tiene como centro el punto medio deOO0, por ser OCO0 rectángulo (Ver ejercicio 3.2.23).

Exercise 1.1. Dados dos X y Y de una circunferencia que se encuentra en elmismo semiplano con respecto a una cuerda AB de la circunferencia cumplen que

\AXB ≡\AY B(Sugerencia: Suponga algún punto de la circunferencia que no cumpla con estaultima congruencia y llegue a que deben haber tres puntos alineados en una circun-ferencia)

Exercise 1.2. Todos los ángulos inscritos que subtienden una cuerda fija cuyosvértices están del mismo lado con respecto a la cuerda, son congruentes.

Exercise 1.3. Los angulos inscritos que subtienden una cuerda desde distintossemiplanos de la cuerda son suplementarios.

Exercise 1.4. Un ángulo seminscrito que tiene un lado que contiene unacuerda fija es congruente con algún ángulo inscrito que subtiende la misma cuerda.

Exercise 1.5. Los ángulos inscritos que subtienden una cuerda, con el vérticeen el mismo lado con respecto a esta cuerda que el centro de una circunferencia soniguales a la mitad del ángulo central que subtiende la misma cuerda. (Sugerencia:Observe en la figura que\AOB =\OCB +\OBC, Además OCB es isosceles)

Definition 1.2. Un cuadrilátero se dice inscribible (en una circunferencia) sisus vértices son puntos de la circunferencia

Exercise 1.6. Los cuadriláteros inscribibles tienen ángulos opuestos que sonsuplementarios

Exercise 1.7. Si un cuadriátero tiene ángulos opuestos que son suplementar-ios, es inscribible.

Exercise 1.8. Los rectángulos son inscribibles

2. EL PROBLEMA DE FERMÁT Y EL TRIÁNGULO DE NAPOLEÓN 37

2. El Problema de Fermát y el triángulo de Napoleón

Theorem 2.1. Si sobre los lados de un triángulo ABC cualquiera se con-struyen triángulos equiláteros exteriores ABC

0, AB0C y A0BC, entonces los seg-

mentos AA0, BB0 y CC0 son congruentes y se cortan de a tres en un punto Fllamado de Fermat o de Torricelli.

El Punto de Fermát

Para mostrar que los segmentos AA0, y BB0 son congruentes basta plantear larotación de centro C que lleva B0 a A.Para mostrar que estos segmentos se cortanen el punto F, que es la intersección de los segmentos AA0, y BB0 observemosprimeramente que el ángulo \AFB0 es congruente con el ángulo de giro \B0CA. Seala rotación ρA de centro A tal que ρA (C) = B

0. Se cumple que ρA¡C0C

¢= BB0 y

que ρA (F ) = F0. De este modo F 0 ∈ BB0 pues FAF 0 es equilátero. Pensando en

(ρA)−1 queda que F ∈ CC 0.

Exercise 2.1. Explique el siguiente comentario “En una sala triangular dondetodos los ángulos son menores que un recto, si una persona estaría parada en elpunto de Fermat creería que la sala es un triángulo equilátero”. (Sugerencia: eltriángulo AFB en la figura es las dos terceras partes de un llano)

Exercise 2.2. El punto de Fermát en un triángulo acutángulo es el que mini-miza la suma de los segmentos a los vértices. (Sugerencia: Tome un punto cualquieraen el interior del triángulo (Por ejemplo el punto F en la figura) y plantee unarotación de centro cualquier vértice (Por ejemplo el punto C en la figura) del trián-gulo y ángulo la tercera parte de de un llano hacia afuera del triángulo. Note que


la poligonal AFF 0A0 es de mayor longitud que AA0)

Exercise 2.3. Las circunferencias circunscritas a los triángulos equilaterosen el problema de Fermát se cortan en el punto de Fermát. Además las cuerdascomunes de a pares de las circunferencias forman ángulos que son el doble de latercera parte de un llano. Por último, uniendo el centro de las circunferencias, queson los centros de los triángulos equilateros queda formado un triángulo equilátero.1

(Sugerencia: Plantee la rotación que lleva la−→FB en la

−→FC Observe que el trans-

formado del segmento O3O1 sera un paralelo del O1O2

1A este triángulo se le llama triángulo de Napoleón, en honor a Napoleón Bonaparte. Muchosopinan que dificilmente pudiera haberse debido a Napoleón, pués este no tenía las capacidadesgeométricas suficientes para desarrollar este Teorema.

4. LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS Y LA RECTA DE EULER. 39

3. Problema de Fagnano.

Exercise 3.1. Si dos triángulos isosceles tienen los lados congruentes respec-tivamente congruentes entre ambos triángulos, el que tenga mayor ángulo adyacentea los segmentos congruentes tendra mayor lado opuesto (Aplicar ejercicio 3.3.26)

Exercise 3.2. Sea el triángulo acutángulo ABC y sea X un punto sobre ellado BC. Sea σ←→

AB(X) = X 0 y σ←→

AC(X) = X 00. El triángulo XAX 00 es isosceles y

\XAX 00 es el doble de\BAC. Si el punto X es la altura desde A, el segmento XX 00

es el menor posible y es igual a la suma de los lados de un triángulo formado porlos pies de las alturas llamado órtico. (Sugerencia: Note que de todos los triángulosinscritos que tienen uno de los vértices en X el de menor perímetro será el quetiene los otros vértices F y E alineados con X 0 y X 00. Por ejemplo la poligonalX 0F 0E0X 00 tiene la misma suma de los lados que el triángulo E0XF 0, y esta esmayor que X 0X 00. Por otro lado, si X no fuera el pie de la altura desde A, elsegmento X 0X 00. sería mayor (Vea el ejercicio 4.3.1))

Problema de Fagnano

Exercise 3.3. El triángulo inscrito en un triángulo acutángulo, de menorperímetro es el triángulo órtico.

4. La Circunferencia de los Nueve Puntos y la Recta de Euler.

Exercise 4.1. El triángulo medial A0B0C 0 de un triángulo ABC de circun-centro O y de ortocentro H es congruente con los triángulos AB0C 0, A0BC 0, A0B0C,y con el triángulo A00B00C00, donde A00, B00 y C 00 son los puntos medios de los seg-mentos AH,BH y CH respectivamente.(Sugerencia: Plantee la simetría central decentro la intersección de AA0 con B0C 0 y luego la traslación que lleva el ortocentro


de AB0C 0 a O)

Circunferencia de los nueve puntos y Recta de Euler

Exercise 4.2. Los segmentos A0A00, B0B00 y C0C00 se cortan de a tres y soncongruentes, donde A00, B00 y C00 son los puntos medios de los segmentos AH,BHy CH respectivamente, siendo H el ortocentro de ABC. Con esto pruebe que lacircunferencia circunscrita en A0B0C 0 coincide con la de A00B00C 00. (Sugerencia:Observe que A0B0A00B00 es un rectángulo)

Exercise 4.3. La circunferencia circunscrita en A0B0C 0 coincide con la cir-cunferencia circunscrita en el triángulo órtico DEF.2 (Sugerencia: \A0DA00 es recto)

Exercise 4.4. El segmento AH es el doble del A0O.

Exercise 4.5. La recta que pasa por el ortocentro y el circuncentro contiene elcentro de la circunferencia de los nueve puntos y además el baricentro. Esta rectase la conoce como Recta de Euler.

2Esta circunferencia se la conoce con el nombre de circunferencia de los nueve puntos o deFeuerbach.)

geo_bas- Antonio Sagarí

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