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Apuntes

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I.6ö Cambio de variable (2ª parte)ö Método de Hermitteö Binomiasö Cambios trigonométricosö Cambios de Eulerö Método Alemán

Genius, a good idea in MathsGenius, a good idea in MathsGenius, a good idea in MathsGenius, a good idea in MathsXimo BeneytoXimo BeneytoXimo BeneytoXimo Beneyto

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Tema : Genius I_6 Página 2

Ya finalizando los Genius de integración básica, vamos a volver a recordar esta fundamental

técnica, soporte básico de una buena técnica de integración.

Recordemos que la finalidad básica de un cambio de variable es la de cambiar la expresión

de la función del integrando con el objetivo de que la integral sea de un tipo más conocido o más

favorable. Eso sí, hemos planteado situaciones en las que el cambio de variable resulta necesario y

previamente preparado ( caso de ciertos tipos de trigonométricas, irracionales, etc..).

Estudiaremos en este apartado algunas situaciones, ahora con una mayor visión global de la

integración.

EXPRESIÓN FORMAL DEL CAMBIO DE VARIABLE.

1. Sea

si x = R(t) Y dx = R’(t) dt, que sustituido queda

2. Si el cambio se efectúa sobre una función g(x) cualquiera :

g(x) =R(t) Y g’(x) dx = R’(t) dt Y

Naturalmente, al sustituir en la integral el cambio propuesto y el

diferencial “dx”, la expresión de g’(x) debe simplificarse necesariamente, quedando en la

nueva integral únicamente la nueva variable.

Ejemplo 1.

" Observamos : cos x es la derivada de sen x

" Planteamos : sen x = t, derivando, cos x dx = dt Y ,sustituyendo

"

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cuya resolución haremos aplicando integración Por Partes.

Ejemplo 2.

" Observamos : no sabemos qué técnica aplicar ni casi el cambio a utilizar ¿...?

" Intentamos : ex = t , ¡casi la única opción!. Derivando, ex dx = dt, Despejemos dx ,

" Sustituimos todo cuya resolución efectuaremos mediante la

técnica de integración de funciones racionales. [Método de descomposición en suma de

fracciones simples]

Solución:

Ejemplo 3.

" Observamos : aquí, claramente, que la derivada de ln x es , que también aparece en el

integrando.

ln x = t, derivando dx = dt ; dx = x dt

que resolveremos como integral de tipo racional, mediante m.d.s.f.s., sí, el método de

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descomposición en suma de fracciones simples.

Solución:

Ejemplo 4.

" Observamos : Claramente clasificada, Por Partes, aunque la raíz puede plantear algún

conflicto adicional.

" Planteamos el CdV: x = t2, con el objetivo de hacer desaparecer el radical, derivamos,

dx = 2t dt

"Sustituimos : cuya resolución por partes no plantea

excesivas dificultades: u=arc tg t y dv=t dt.

Solución:

E n l a t é c n i c a d e r e s o l u c i ó n d e i n t e g r a l e s r a c i o n a l e s

no hemos considerado la posibilidad que el

polinomio del denominador, Q(x), pueda tener raíces complejas múltiples.

Se suelen originar éstas, ¡ojo!, en un nivel básico, al aparecer en la factorización del polinomio

Q(x) uno o más factores imaginarios irreducibles (f.i.i.) con exponente mayor o igual que 2

originados por las raíces complejas múltiples de Q(x).

" (x2 + 2)2, (x2 + x + 1)3, (x2 - x + 3)2,... por ejemplo son f.i.i. múltiples.

Dentro de los diferentes enfoques que merece este método, optaremos por el más utilizado.

Así :

Aplicaremos el método de Hermitte en la resolución de una integral racional cuando el

polinomio Q(x) tenga una o más raíces complejas múltiples. (Pudiendo haber también otro tipo de

raíces).

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Pn-1(x)

Polinomio concoeficientes

indeterminados, ungrado inferior al queresulta de multiplicar

los factores deldenominador

Siendo G factores dedescomposición deQ(x)elevados a un

grado menos del queposeen en la

factorización deQ(x).

Un factor para cadaraíz real que haya (sea

múltiple o simple )

Un factor para cadaf.i.i.(Sea múltiple o

simple )

En qué consiste el método de Hermitte :

(Supondremos que grado P(x) < grado Q(x))

1º. Resolver Q(x) = 0 ( Obtenemos f.i.i. múltiples y, tal vez, otro tipo de raíces )

¡Ojo! Es fundamental clasificar adecuadamente las raíces de P(x) y determinar sus factores de

factorización.

2º Proponer la integral como una suma de la siguiente forma :

3º Derivar ambos lados de la igualdad

4º Operar e igualar numeradores

5º Hallar los coeficientes indeterminados A, B, ...

6º Resolver las integrales resultantes

7º Dar la solución

Lógicamente siguen siendo válidas las recomendaciones establecidas en la resolución general

de las integrales racionales.

Antes de dar un ejemplo resuelto, veamos algunos ejemplos de las descomposiciones tipo

Hermitte.

[ Recordemos : r.r.s. Y raíz real simple ; r.r.m. raíz real múltiple

f.i.i. Y factor imaginario irreducible (Polinomio de 2º grado con discriminante

negativo, no tiene raíces reales)]

Ejemplo 1.

! Análisis de las raíces de Q(x) y factores de descomposición.

x2 + x + 1 es un f.i.i. ( múltiple p=2 )

Recuerda que la multiplicidad de un factor es el exponente al cual se encuentra elevado dicho

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factor.

! Descomposición propuesta

"

Ejemplo 2.


" x = 1 r.r.m. (múltiple p =2)

" x2 + 1 f.i.i. (múltiple p = 3 )


Ejemplo 3.


" x = -2 r.r.s.

" f.i.i. ( multiplicidad p = 2 )


¿ Comprendido ?

¡ojo! En la primera fracción algebraica de la descomposición, en ocasiones “desaparece” un

factor, obviamente en el denominador del integrando tenía exponente 1.

Antes del ejemplo cinco problemas de familiarización.

Proponer la descomposición del método de Hermitte en cada una de las integrales siguientes

1.

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2.

3.

4

[ Ayuda : x3 -1 = (x-1) A (x2+x+1) ]

5.

¿ Alguna de las integrales anteriores se podría haber resuelto mediante la técnica de integración

de funciones racionales sin aplicar en algún momento el método de Hermitte ?.

Soluciones:

1.

2.

3.

4

[ Ayuda : x3 -1 = (x-1) A (x2+x+1) ]

5.

Bien, si has planteado correctamente las descomposiciones del problema anterior, supongo que

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estarás “ansioso” de ver un ejemplo resuelto.

Ahí va .

Ejemplo. Resolver

Integral del tipo racional

" Raíces de Q(x).

Si ( x-1) A (x2 + 4)2 = 0

Al haber un f.i.i. Múltiple vamos a operar directamente mediante el método de Hermitte.

"Proponemos la descomposición en función de raíces de Q(x)

" Derivando ambos lados

"Operando ... ( MCM de los denominadores )

"Igualando ambos numeradores

5x3 + 14x2 + 8x + 48 = (C+D)x4 + (-A-D+E) x3 + (A-2B + 8C+4D -E) x2 + ( 4A +2B -4D+4E

) x +(-4A + 16C -4E)

Igualando ambos coeficientes paso a paso :

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A = -1; B = -2; C = 3; D = -3; E = 1

Y sustituyendo :

! Resolviendo ahora las integrales que quedan, inmediata y semimediata.

=

Bueno, el sistema de ecuaciones lineales que se plantea para obtener las constantes suele ser un

poco complicado, pero tampoco se pasa. Por lo demás, las integrales que resultan de la

descomposición de Hermitte son todas logaritmos y arco tangentes. Eso sí, en alguna ocasión

tendremos un caso especial racional como máxima dificultad.

Para practicar:

Resolver :

1.

2.

3

4

5

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Soluciones (Hermitte)

Nota: Algunas soluciones se dan sin simplificar ni operar el resultado.

1.

DESCOMPOSICIÓN PROPUESTA

SOLUCIÓN

2.

DESCOMPOSICIÓN PROPUESTA :

SOLUCIÓN

3.


SOLUCIÓN

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4.


SOLUCIÓN

5.


SOLUCIÓN

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Por lo general cuestan un poco de identificar al tener una estructura un tanto enrevesada, casi

siempre necesitan una preparación previa para comprobar su estructura como binomia.

" Estructura de una integral IRRACIONAL BINOMIA

"""" Identificación de exponentes :

NOTA: Z es el conjunto de los números enteros.

"""" Ejemplos :

" Preparando el integrando para lograr una correcta identificación

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B. II

¿ Comprendido ?

Una vez identificada como BINOMIA, la resolución es relativamente sencilla reduciéndola, al

tipo RACIONAL .

" Cambio general para todas las BINOMIAS

B.I. y B.II se reducen al caso IRRACIONAL SENCILLA, y con un cambio de variable adecuado,

se resuelven bien

La B. III precisa de un pequeño artificio para lograrlo.

Ejemplo 1 . Resolver

ý Irracional

ý ¿ Binomia ?

m = 3, n = 2, Y BINOMIA Tipo II

= [ Cambio ]

Y

[ I r r a c i o n a l S e n c i l l a ] =

. [ Deshaciendo cambios ] =

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[ Observa la idea de tener siempre, en cada paso, identificado el tipo de integral ]

Ejemplo 2. Resolver

ý Irracional

ý ¿ Binomia ?

= [ Preparando ...]

m = -4 , n = 2, Y BINOMIA Tipo III

[ Cambio ] =

Y

[ Observa ahora la idea aplicada para continuar, válida para todas las Binomias de tipo III ] =

[ Conseguimos una única expresión Irracional ]

=

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Operamos...

= =simplificamos=

[ Inmediata ]

Y, ¡simplificando un poco!

Para los “perfeccionistas” la simplificación completa de la integral:

Bueno, pues como binomias se resuelven las siguientes integrales :

SOLUCIONES INTEGRALES BINOMIAS

Nota: De algunas soluciones omitiré la simplificación completa, otras no. Para dar una mayor

utilización al Genius I6 no utilizaré como funciones primitivas ni las funciones hiperbólicas ni sus

inversas... !De nada!

1.

Binomia tipo II ( m = 5 ; n = 3 ; p = 1/3)

SOLUCIÓN :

[ Cambios utilizados : ; 1 + y = z3 ]

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Y, simplificando...

2.

Binomia tipo II ( m = ; n = ; p = )

SOLUCIÓN :

[ Cambios utilizados : x = y3 ; 1 + y = z3 ]

3.

Binomia tipo II ( m = 1 ; n = 1 ; p = )

SOLUCIÓN :

[ Resuelta como irracional. Cambio utilizado: 2 + 3x = y3 ]

4.

Binomia tipo III ( m = 2 ; n = 2 ; p = )

SOLUCIÓN :

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[ Cambios utilizados : ; ]

5.

Mediante el cambio x - 2 = t ; dx = dt queda

Binomia tipo III ( m = -2 ; n = 2 ; p = )

[ Cambios utilizados : ; ]

SOLUCIÓN :

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En la resolución de las Integrales del Tipo Irracional, cuando el radicando se puede expresar

como una SUMA o DIFERENCIA de cuadrados y la integral no es inmediata o semi mediata, podemos

reducir ésta a una integral trigonométrica mediante unos cambios de variable pre establecidos en

función de la expresión del radicando, según la siguiente tabla :

EXPRESIÓN CAMBIO dx

Recordemos para operar y simplificar que :

"sen2 t + cos2 t = 1

Ambas fórmulas las utilizaremos con mucha frecuencia, y ¡sin previo aviso!, en la operativa y

simplificación de este tipo de integrales.

Lógicamente para manejar con soltura este cambio, necesitaremos conocer bien las técnicas de

las integrales trigonométricas.

Serían integrales irracionales con cambio trigonométrico :

¡ ¡Ojo!! Observa la del denominador ]

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¡ Observa en el denominador !

Veamos ahora un ejemplo de cada cambio anterior apoyándonos en las integrales

TRIGONOMÉTRICAS.

Ejemplo 1.

" Irracional con cambio trigonométrico :

[Trigonométrica . Sea ]

= ambas inmediatas =

= [ Deshaciendo el cambio, si x = 2 A sen t Y ]

=

Solución

o

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[ ¡¡ Un bonito desarrollo !! ]

Ejemplo 2.

Y Irracional con cambio trigonométrico ( OTRAS OPCIONES : BINOMIA )

= [Trigonométrica. Operemos ... ®]=

o, también operando un poco, quedaría:

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CAMBIOS TRIGONOMÉTRICOS.

Ejercicios propuestos

1.

Cambio : x = 2 sen t

dx = 2 cos t dt

SOLUCIÓN

2.

Cambio : x = 3 sen t

dx = 3 cos t dt

SOLUCIÓN

operando y simplificando, también podemos dar la solución de la integral de la siguiente forma

3. R … 0

Cambio : x = R sen t

dx = R cos t dt

SOLUCIÓN

4. [ o también ]

Cambio : x - 1 = sen t

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dx = cos t dt

SOLUCIÓN

5.

Cambio : x = sen t

dx = cos t dt

SOLUCIÓN

6.

Cambio : x = 2 tg t

dx = 2 A ( 1 + tg2 t )

SOLUCIÓN

Operando para dar una solución más “mona” :

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¡¡¡¡¡¡Elegante!!!!!!

7.

Cambio : x = 2 tg t

dx = 2 A ( 1 + tg2 t )

SOLUCIÓN

¡También era inmediata!

8.

Cambio : x = a tg t

dx = a A ( 1 + tg2 t ) =

SOLUCIÓN

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Emplearemos las Cambios de Euler para la resolución de integrales irracionales cuyo radicando sea

un polinomio de segundo grado ax2 + bx + c y no se pueda resolver mediante métodos más elementales

( Inmediatas, Semimediatas, etc. )

Propondremos las fórmulas de Cambio :

1. Si a > 0 ( Primer cambio )

2. Si a < 0 y c > 0 ( Segundo cambio )

3. Si " es una raíz real de ax2 + bx + c ( Tercer cambio )

En los tres cambios :

a) Elevar ambos lados de la igualdad al CUADRADO

b) Despejar “x” en función de “t”

c) Derivar la expresión del apartado b)

d) Operar como un cambio de variable cualquiera

¡ Ojo ! Al sustituir debemos operar con cuidado y SIMPLIFICAR lo máximo posible. [ Una de las

claves para aplicar bien los cambios de Euler ]

NOTA : Es muy frecuente el caso en el que se simplifica la expresión que acompaña dt con

la del denominador resultante al sustituir el cambio propuesto para la raíz.

Obviamente sobre una misma expresión es posible que se pueda aplicar mas de un cambio, en ese

caso efectuaremos el que estimemos más sencillo.

Ejemplos : Algunos cambios de Euler propuestos :

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Ahora resolvamos [ Irracional ] mediante el primer cambio de Euler :

Sustituyendo :

[ Observa la SIMPLIFICACIÓN típica en los cambios de Euler ]

Y

¡¡ Cuestión de técnica !! jaja...

Ejemplo 2 :

º Como a < 0 y c > 0., apliquemos en este caso el segundo cambio de Euler.

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Sustituimos en la integral :

Ejemplo 3 :

Y a > 0 nos permite utilizar el primer cambio, no obstante al tener la ecuación x2 + x - 2 = 0 raíces

reales, x=1 y x=-2, vamos a aplicar el 3er cambio de Euler con alguna de las dos raíces, por ejemplo x=1.

Y Sustituyendo :

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= [ Integral de tipo racional, raíces reales t = 1 y t = -1 ] Y [ Aplicamos m.d.s.f.s. ]

Deshaciendo los cambios :

SOLUCIONES EULER

1.

Cambio :

SOLUCIÓN :

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2.

Cambio :

SOLUCIÓN :

3.

Cambio :

SOLUCIÓN :

4.

Cambio : [ ó también (x - 3)A t ], [ también resoluble por el

primer cambio ]

SOLUCIÓN :

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[ Operando con las propiedades del logaritmo neperiano y con las raíces ]

[ Una vez operado y simplificado el cambio popuesto, queda una sencilla integral de tipo racional

resuelta mediante m.d.s.f.s. ]

5.

Cambio : [ El más sencillo ]

SOLUCIÓN :

Dentro del grupo de las integrales IRRACIONALES encontramos un grupo muy numeroso en el que

el integrando es una función de la forma :

Siendo Pn(x) un polinomio de grado “n”

Aplicar directamente los cambios de Euler para resolver una integral de este tipo suele originar

verdaderas integrales “montaña”, sobre todo si Pn(x) es un polinomio de grado mayor o igual a 2.

Eso sí, podemos aplicar la descomposición propuesta en el método alemán sea cual sea el grado de

Pn(x), excepto grado 0, obviamente. En este caso aplicamos un cambio de Euler.

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"Método Alemán

Factorización propuesta :

Siendo Qn-1(x) un polinomio genérico de grado “n-1" con coeficientes indeterminados.

Para hallar dichos coeficientes y 8, derivaremos ambos lados de la igualdad, operaremos e

igualaremos numeradores mediante el método de coeficientes indeterminados.

La única integral resultante la resolveremos mediante la técnica adecuada de integrales irracionales

( Inmediata, semi.mediata, cambios de Euler, etc...)

Ejemplos de descomposición del Método Alemán

" Una alternativa a la resolución de sería directamente mediante un cambio

de Euler.

Y... un ejemplo de resolución mediante el método Alemán :

Resolver :

Integral con polinomio en el numerador y radical en el denominador ( podría proceder

de ) resolvemos por Alemán.

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" Descomposición propuesta :

Derivamos a ambos lados :

Operaremos con cuidado...

[ ¡¡ Ojo !!con el 2 ]

Utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados:

2x2 - 2x + 2 = 4 A x2 + ( -3A + 2B ) x + ( 2A - B + 2 8 )

Y

Ahora resolvamos [ Irracional ] mediante el primer cambio de Euler :

Sustituyendo :

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[ Observa la SIMPLIFICACIÓN típica en cualquier cambio de Euler ]

Y

¡¡ Cuestión de técnica !!

Un segundo ejemplo

Resolver

Y Irracional.

En el paso anterior, hemos “desracionalizado” la fracción para conseguir un integrando tipo para

aplicar el método alemán.

Propongamos la descomposición del método alemán :

Derivamos :

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Igualamos numeradores :

Sustituyendo :

Aplicando el método de Euler ( 1er Cambio )

Sustituyendo :

¡ Puliendo la técnica ! Hemos planteado una resolución mixta con los dos últimos métodos

estudiados.

SOLUCIONES MÉTODO ALEMAN

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1.

Descomposición propuesta :

SOLUCIÓN :

[ La segunda integral la hemos resuelto mediante el primer cambio de Euler ]

2.

Preparación propuesta :


SOLUCIÓN :

[ Recomiendo intentar aplicar un cambio de Euler directamente y comparar la dificultad de resolución

por ambos métodos]

3.


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SOLUCIÓN :

[ La segunda integral mediante el primer cambio de Euler, ha quedado superfácil ]

4.


SOLUCIÓN :

¡Esto es todo... viejos!

Espero que os haya resultado gratificante el desarrollo de este cuaderno. Yo lo he pasado muy bien

preparándolo.

He intentado “pulir” al máximo los resultados y soluciones, no obstante, la impresión suele llevar

algún error. Teneís la dirección [email protected] para cualquier sugerencia o comunicar cualquier

error involuntario.

De momento, terminamos con los Genius sucesiones, Genius límites de funciones, Geniu derivadas

y Genius integración. En preparación, Genius integral definida y Genius ecuaciones diferenciales.

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