METODO DE GAUSS SEIDEL

Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas que se usan en los métodos anteriores para obtener raíces. Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor inicial a  partir del cual, mediante una técnica sistemática  se obtiene una mejor aproximación a la raíz.

Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es llamado de esa manera en honor a los matemáticos alemanes:

Johann Carl Friedrich Gauss: Fue un matemático, astrónomo, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, el magnetismo etc. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia.

Philipp Ritter von Seidel: Fue un astrónomo, óptico y matemático alemán, se le deben importantes progresos en fotometría (fotografías  astronómicas). En matemáticas, fue alumno de Dirichlet y Jacobi. Algunos de sus obras fueron:

1) Su tesis trata sobre las formas óptimas de los espejos en los telescopios.2) Concepto analítico de convergencia uniforme.3) Su trabajo sobre resolución iterativa de sistemas de ecuaciones lineales, un método que en cálculo numérico se conoce como de Gauss-Seidel, que mejora el método de Jacobi. 

El método es similar al método de Jacobi, mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente, por eso el método de Gauss Seidel proporciona una solución más rápida que Jacobi.

Es un método indirecto, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:El valor absoluto los elementos de la diagonal principal son mayores que la suma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón.

Después de anunciar acontecimientos relevantes de los autores de este método, procederemos ahora si a definir y en que consiste el método de resolución de ecuaciones de Gauss-Seidel. La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

a) Se debe despejar de cada ecuación la variable sobre la diagonal principal.

b) Dar un valor inicial a las incógnita (generalmente se establecen ceros)

c) Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación   para obtener un nuevo valor para la primera incógnita.

d) Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente  incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.

e) Se evalúa aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante cerca de la solución real, según la tolerancia establecida para el método.