7/29/2019 GAN_U3_A9_JAAF

1/2

Geometra analtica lUnidad 3. Secciones cnicasActividad 9. Problemas de la ecuacin general de segundo grado

Problema de la ecuacin general de segundo

gradoEncuentra la ecuacin, general y en su forma cannica, de la hiprbola cuyo eje transversal esy que pasa por:

a) Los vrtices de la cnica y

b) El centro de la cnica

Encuentra a qu cnica pertenece cada una de las ecuaciones generales de este problema. Argumenta turespuesta.

a) En este caso la formula general de la elipse es de la forma Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 que es la forma que tienuestra ecuacin, pero para poder confirmarlo en su totalidad entonces la multiplicacin de los parmetry C debe de ser mayor que cero A=2 C=1 el resultado AC>0 2>0 y A debe ser diferente de C por lo qcumple con todos los supuestos de la elipse.

2x2+y

2-28x+8y+108=0

2(x2-14x)+(y

2+8y)= -108

2(x2-14+49) + (y

2+8y+16)= -108 +16+ 98

2(x-7)2

+ (y+4)2

= -6

(x-7)2

/3 + (y+4)2/6 = 1

a = 6b = 3h = 7k = -4

V (h,a+k) = (7, -1.55)V (h,a-k) = (7,6.45)

b) Para la siguiente ecuacin vemos que los coeficientes de los trminos cuadrticos son iguales A=C y lamultiplicacin de A y C es mayor a cero por lo que se trata en definitiva de una circunferencia.

x2+y2-6x+4y+3=0

(x2-6x) + (y

2+4y)= -3

(x2-6x+9) + (y

2+4y+4) = -3 + 9 + 4

(x-3)2

+ (y+2)2

= 10

h = 3k = -2C(3,-2)

7/29/2019 GAN_U3_A9_JAAF

2/2

Tenemos los siguientes puntos que pasan por la hiprbola (7, -1.55) (7,6.45) y (3,-2) como tiene simetra entoncpodemos medir la distancia entre dos putos, osea entre los vrtices de la elipse para poder encontrar el centro dhiprbola

D= -4 + 6 -4 - 6 / 2 = -4

Entonces obtenemos el centro de la hiprbola que es (3,-4)

Ahora sustituimos dos puntos que tenamos anteriormente osea (7, -1.55) y (3,-2) en la ecuacin canonica de lahiprbola y nos queda lo siguiente:

(y+4)2 /a2 - (x-3)2 / b2 = 1

Multiplicamos todo por a2b2 y obtenemos

(y+4)2b2 - (x-3)2a2 = a2b2

Sustituyendo el punto (3,-2)

(-2+4)2

b2

(3-3)2

a2

= a2

b2

4b2= a2b2

a2= 4

Sustituyendo para el punto (7,-4+6)

(-4+6 +4 )2 b2 (7-3)2 4 = 4b2(6 )2b2 16(4) = 4b26b2 64 = 4b22b2= 64

b2

= 32

Entonces ahora sustituimos los valores de a y b en (y+4)2b2 - (x-3)2a2 = a2b2

(y2+8y+16)32 - (x2-6x+9)4 = 128

32y2 +256y-4x2+24x+512-36-128=0

Y obtenemos x2-8y2-6x-64y-87=0

Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa