Utilización de Series de Fourier para resolver circuitos con una señal

de entrada periódica

María C. Fernández Montefiore

Estudiante de Ingeniería Electrónica

Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina

mcfernandezmontefiore@gmail.com

Agosto 2013

Resumen: La serie de Fourier permite tratar cualquier función periódica como una suma finita o infinita de funciones

sinusoidales relacionadas armónicamente. En este trabajo se presentará la aplicación de esta herramienta para hallar soluciones estacionarias de circuitos con corriente alterna.

Palabras clave: Fourier, función periódica, circuitos, solución estacionaria.

I. INTRODUCCIÓN

Algunas funciones, como el diente de sierra o la onda cuadrada, se definen a tramos en un intervalo

principal, que se repetirá periódicamente. Aunque estas expresiones satisfacen la forma de onda, si se las aplican

como función de entrada a un circuito, no permiten determinar la respuesta del mismo. Sin embargo, si a una

función periódica se la expresa como suma de funciones senoidales, las respuestas de los circuitos antes

mencionados se podrán determinar utilizando el principio de superposición. La serie de Fourier es la herramienta

que permite expresar funciones periódicas como una serie trigonométrica.

II. SERIE DE FOURIER

Sea f(t) una función periódica de período T. Entonces se puede representar mediante la siguiente serie

trigonométrica

∑

(1)

Donde los coeficientes vienen dados por las fórmulas

∫

(2)

∫

(3)

∫

(4)

Siendo L el semiperíodo de la función. Cada uno de los términos de la serie es periódico en x con período T

(igual al de la función)

A. Convergencia

La serie (tanto en su notación compleja como en la trigonométrica) converge a (

)

en todos los

puntos donde f tenga derivada a derecha y a izquierda. Si las extensiones periódicas de f(x) y f’(x) son

continuas a tramos, la serie de Fourier de f es convergente para todo x real.

B. Convergencia Uniforme

Sea f una función continua en el intervalo [–L, L] tal que f(–L)=f(L) cuya derivada f’ es continua a tramos en

ese intervalo. Entonces la representación en serie de Fourier de la función convergen a f(x) en el intervalo [–L, L]

absoluta y uniformemente.

C. Derivación término a término

Si f es una función continua en el intervalo [–L, L] tal que f(–L) = f(L) y f’ es continua a tamos en ese

intervalo, entonces la serie de Fourier de f(x) es derivable término a término en todo punto donde f’(x) tenga

derivada a derecha y a izquierda, y

∑ (

)

(5)

D. Integración

Si f es una función continua a tramos con derivada continua a tramos en el intervalo [–L, L] y desarrollo en

serie de Fourier (con a0≠0), entonces se verifica

∫

∑ (

)

(6)

con

∫

III. DEFINICIONES Y COMPONENTES DE CIRCUITOS

E. Corriente Eléctrica

Cuando de un punto a otro de un conductor se desplaza una o más cargas eléctricas diremos que circula por

él una corriente eléctrica. Ésta se define como:

(7)

F. Diferencia de potencial

La diferencia de potencial o tensión v entre dos puntos de un campo eléctrico es el trabajo necesario para

desplazar la unidad de carga eléctrica positiva de un punto al otro en contra de las fuerzas del campo

G. Impedancia

La impedancia Z es la relación (división) entre la tensión aplicada y la intensidad de corriente que circula.

(8)

Si las tensiones e intensidades de corrientes son senoidales (como en la corriente alterna) esta relación tiene

un módulo y un argumento, llamado ángulo de fase. Por lo tanto, Z es un número complejo, cuya parte real se

llama Resistencia (R) y su parte imaginaria Reactancia (X)

(9)

H. Resistencia

La diferencia de potencial en los terminales de un elemento resistivo puro es directamente proporcional a la

intensidad de corriente que circula por él. La constante de proporcionalidad R se llama resistencia eléctrica del

elemento.

(10)

En corriente alterna, una resistencia presenta una impedancia que sólo tiene componente real

(11)

I. Autoinducción

Si la corriente que circula por una bobina de un circuito varía, en el trascurso del tiempo también lo hace el

flujo magnético que lo atraviesa, induciéndose en él una fuerza electromotriz (f.e.m.). Suponiendo que la

permeabilidad magnética es constante, la f.e.m. inducida es proporcional a la variación de dicha corriente

El coeficiente de proporcionalidad L se llama autoinducción de la bobina.

(12)

En corriente alterna, una bobina ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente eléctrica que recibe el

nombre de reactancia inductiva, por lo que presenta una impedancia que sólo tiene componente imaginaria

(13)

J. Capacidad

La diferencia de potencial en los terminales de un condensador es proporcional a la carga q en él

almacenada. La constante de proporcionalidad C se llama capacidad del condensador

(14)

K. Principio de superposición

El principio de superposición exige que en un circuito lineal el efecto total de varias causas que actúan

simultáneamente sea igual a la suma de los efectos de las causas individuales actuando una a la vez.

IV. EJEMPLO

Un circuito RLC (Resistivo Capacitivo Inductivo) es un circuito en el que solo hay resistencias,

condensadores y bobinas: estos tres elementos tienen, por ecuaciones características una relación lineal entre

tensión e intensidad de corriente.

Se tiene el circuito de la Figura 1, donde {

, siendo T=2 . Se desea calcular

v(t). Se aplican las Leyes de Kirchhoff para obtener una ecuación con las variables e (t) y v (t).

(15)

Reemplazando por (7), (9), (11) y (13) obtengo

∫ (16)

Para resolver esta ecuación, se expresa a e (t) como serie de Fourier. Utilizando (2) se reemplaza e(t), y

resolviendo la integral, se obtiene a0=0. Utilizando (3) se reemplaza e(t), y resolviendo la integral se obtiene

(17)

Como n es un número natural, =0, y ; por lo tanto

(18)

Utilizando (4) se reemplaza e(t), y resolviendo la integral se obtiene .

Figura 1: Circuito RLC

Como e(t) es continua, y e’(t) es continua a tramos, su representación en serie converge absoluta y

uniformemente a la función. Utilizo (17) y reemplazo en (1)

∑

(19)

Con los conceptos de derivación término a término e integración de series explicados en III:

∑

(20)

∫ ∑

(21)

Ahora, reemplazo (19), (20) y (21) en (15)

∑

∑

∑

(22)

v(t) admite representación en serie de Fourier, con la misma frecuencia que e(t), ya que por lo

tanto

∑

∑

(

) (23)

Tomo como aproximación los primeros cinco términos de cada serie. Por el principio de superposición, para

cada valor de n se corresponde un circuito diferente, con una corriente senoidal, que era lo que se buscaba

mostrar en este informe.

Entonces, para

, de igualar resulta

, de igualar resulta

(

)

(

)

, de igualar resulta

, de igualar resulta

(

)

(

)

, de igualar resulta

, de igualar resulta

(

)

(

)

Por último, el voltaje del circuito original se obtiene al sumar lo obtenido para los distintos valores de n

(

) (

) (

) (25)

Cuántos más términos se sumen, se va a llegar a un resultado más exacto.

V. CONCLUSIÓN

Este método es práctico a la hora de resolver circuitos, ya que se puede hacer de un problema complejo, con

corrientes no senoidales, un ejercicio más simple, donde se tiene tantos circuitos como valores de n se tomen. La

ventaja es que con pocos términos se llega a un resultado de gran exactitud, además de que la serie de Fourier

puede utilizarse para representar gran cantidad de funciones: tanto las que están definidas sólo en un intervalo

como las que son periódicas.

REFERENCIAS [1] G. Calandrini, Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variables

Compleja, 1er Cuatrimestre 2013

[2] .J. A. Edminister, Circuitos Eléctricos, McGraw-Hill, 1979.

[3] G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002.

[4] Kendall L. Su, Introducción al estudio de los circuitos, la electrónica, y el análisis de señales, Reverte,

1979 [en línea], disponible en http://books.google.com.ar/, [consultada el 23 de julio de 2013].

[5] Hsu Hwei, Análisis de Fourier¸ Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.

[6] Wikipedia, La enciclopedia libre, [internet], disponible en

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_circuitos_de_corriente_alterna, [acceso el 24 de Julio de

2013].

[7] Grupo de Investigación de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Córdoba (España) “Apli a ión d la ri

d F uri r a la r lu ión d un ir uit lé tri ” [en línea], disponible en

http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_13/tema_13_03.pdf, [acceso el 24 de Julio de 2013]