ESCUELA:

NOMBRES:

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

FECHA:

Ciencias de la Computación

Ing. Ricardo Blacio

ABRIL - AGOSTO 2010

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3. Funciones y gráficas

Sistema de coordenadas rectangulares

II I

III IV

P(a,b)

a

b

O

Fórmula de la distancia entre dos puntosd(P1,P2)= √(x2−x1)2+(y2−y1)2

El punto medio M de un segmento entre P1y P2

M= x2+x1 , y2+y1

2 2

y

x

3

Gráfica de ecuaciones

Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla.

Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades.

Intersecciones con los ejes. Simetrías.

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Intersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0

Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto • Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación.• Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación.• Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.

Trace la gráfica de la ecuación: x = -y2 +3

Intersección con x hacer y = 0

x = - (0)2 +3 x = 3

Intersección con y hacer x = 0

0 = - y2 +3 y2 = 3 y =±√3

Simetrías

• Al eje x, sustituimos y por -y

x= - (-y)2 +3 x= - y2 +3

• Al eje y, sustituimos x por -x

- x= - y2 +3

• Al origen, sustituimos x por –x y y por -y

- x= - (-y)2 +3 - x= - y2 +3

Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje x.

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Intersección con x

Intersección con y

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Circunferencias:

La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h)2+(y−k)2=r2

Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma:

x2 + y2 = r2

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Encuentre el centro y radio de la circunferencia

x2 + y2 -10x +18 = 0

(x2 – 10 x + _ _ )+ y2 = -18

(x2 – 10 x + 25 )+ y2 = -18 +25

(x – 5)2+ y2 = 7 (x – h)2+ (y - k)2 = r2

h=5 y k = 0

Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7

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Rectas

Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos.

Formas de la ecuación de la recta:

General ax + by = c Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1)Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b

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La pendiente de la recta es: M = (y2-y1) / (x2-x1)

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales.

Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.

Definición de función

Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango.

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Dominio Rango

fx y

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Variables:x se denomina variable independiente.y se denomina variable dependiente.

DominioEl dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real.

RangoEl rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.

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Gráficas de Funciones

Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

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Sea I un intervalo del dominio de una función f:f es creciente en I si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.

f es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.

f es constante en I si f(x1) = f(x2) para toda x1 y x2.

Función creciente, decreciente o constante

Al reemplazar la variable x por –x:

Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) = -f(x) la función es impar

Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y.Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen.

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Paridad de una función

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Encuentre el dominio y la imagen de f si: 2)3(

1)(

+=x

xf

Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3

Imagen: El intervalo abierto (0,+∞)

x y

0 1/9

1 1/16

2 1/25

-1 1/4

-2 1

-3 No existe

--- ---

Creciente : (-∞, -3)

Decreciente: (-3, +∞)

Dominio

Imag

en

Tipos de Funciones

Funciones Lineales

Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0

Se llaman así porque su gráfica es una línea recta

Funciones Cuadráticas

Del tipo f(x) = ax2 + bx + c a ≠0

Su gráfica es una parábola

Traza la gráfica de f

f(x) = (x - 3)2 - 2

Intersección con x hacer y = 0

0 = (x - 3)2 - 2

x2 - 6x + 9 – 2 = 0

x2 - 6x + 7 = 0

2

28366 −±=x

2

86 ±=x2

226 2±=x 23 ±=x

Intersección con y hacer x = 0

y = (0 - 3)2 - 2

y = 9 - 2

y = 7

x y

1 2

2 -1

3 -2

-1 14

--- --- Intersección con x

Intersección con y

y = x2 - 6x + 7 Centro de la parábola -b/2a -(-6)/2(1) = 3

y = (3)2 – 6(3) + 7 = 0 y = -2 Por lo tanto C(3,-2)

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f(x) = (x - 3)2 - 2

Traslación verticaly = f(x) – c ; c unidades hacia abajo.

Traslación horizontaly = y f(x - c) ; c unidades a la derecha

2

3

Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x)y = f(x) - c c unidades hacia abajoy = f(x) + c c unidades hacia arriba

Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x)y = f(x - c) c unidades a la derecha

y = f(xc) c unidades a la izquierda

Translaciones verticales de las curvas (c > 0)Translaciones horizontales de las curvas (c > 0)

Translaciones verticales de las curvas (c > 0)

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Operaciones con funciones

Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división

)(

)()(

)()())((

)()())((

)()())((

xg

xfx

g

fCociente

xgxfxfgProducto

xgxfxgfDiferencia

xgxfxgfSuma

=

=−=−+=+

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La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x))

Composición de funciones

Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones

Ing. Ricardo Blacio

Docente – UTPL

Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec

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