Fundamentos de Teoría de la Decisión€¦ · UML = 100 · 0.5 + 100 · 0.5 = 100 PFI = UML – UB...

MHD’15 - FTD: 0 J. Bautista, G. López

Joaquín Bautista, Guillermo López

Fundamentos de Teoría de la Decisión

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA – BARCELONATECH

Modelos y Herramientas de Decisión – Máster Universitario de Ingeniería de Organización - ETSEIB

OPE – ORGANIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y DE EMPRESA (ASPECTOS TÉCNICOS, JURÍDICOS Y ECONÓMICOS EN PRODUCCIÓN )

OPE-PROTHIUS – OPE-MSc.2015/03 (20150201) - http://futur.upc.edu/OPE - www.prothius.com - Departamento de Organización de Empresas – UPC


Contenido

  Introducción

  Universo. Tipología

  Elementos de decisión

  Métodos de decisión en universo incierto

  Método de Bayes

  Árboles de decisión


Introducción

 Concepto de decisión: Decidir es sinónimo de elegir.

•  Utilidad: Es la información que comunica el universo al decisor.

•  Acciones: Decisiones tomadas por el decisor.

Utilidad

Preferencias Acción

PROCESO DE DECISIÓN

DECISOR (RACIONAL)

UNIVERSO (REALIDAD)

ACCIONES POSIBLES


Universo. Tipología  Tipos de universo: •  Universo determinista: Se conoce con certeza el estado de la naturaleza sj que se presentará.

Sólo intervienen factores perfectamente definidos y conocidos. Se produce un estado de la naturaleza (a cada acción corresponde una y solo una consecuencia).

•  Universo aleatorio: No se conoce con certeza el estado de la naturaleza sj que se presentará.

Puede existir una ley de probabilidad objetiva.

•  Universo incierto: Diversos estados de la naturaleza posibles. Ninguna ley de probabilidad objetiva referida a ellos (pueden distinguirse diversos niveles de incertidumbre).

•  Universo hostil: Diversos estados de la naturaleza posibles. Ninguna ley de probabilidad objetiva referida a ellos, pero el estado de la naturaleza está influido por la decisión de otros entes inteligentes con objetivos no coincidentes con el decisor.

ACCIÓN An ESTADO Un RESULTADO Rn (An,Un)


Elementos de decisión

 Elementos:

•  Estados de la naturaleza: Situaciones en las que nos encontramos.

•  Acciones del decisor: Alternativas ante la elección.

•  Utilidad (resultados): Evaluación de las consecuencias al elegir (ganancias o perdidas).

sj !Sai !Auij !R

s1 s2 … sn

a1 u11 u12 u1n

a2 u21 u22 u2n

…

am um1 um2 umn


Ejemplo 1. Descripción

 Ejemplo 1. Enunciado:

Una empresa quiere hacer una inversión. Los posibles estados de la naturaleza en los que se puede encontrar son:

- Crecimiento. - Leve crecimiento. - Leve recesión. - Recesión.

Y las acciones que se plantea la empresa son: - Mantenerse. - Fuerte crecimiento. - Leve crecimiento. - Diversificarse.

Determinar la decisión que hará obtener un mayor beneficio a la empresa.


Ejemplo 1. Datos  Ejemplo 1. Tabla de utilidades Acciones vs. Estados:

Crecimiento Leve crecimiento Leve recesión Recesión

Mantenerse 3 2 2 0

Fuerte crecimiento 4 2 0 0

Leve crecimiento 6 2 0 -2

Diversificarse 1 1 2 2

Resultados (Utilidades)

Acci

ones

Estados

uij=Utilidad de la acción i frente al estado j.


Métodos de decisión. Descripción

 Métodos para la toma de decisiones (Universo incierto):

Existen diversos métodos para la toma de decisiones:

•  Método Plunger (optimista): para cada alternativa se supone que pasará lo mejor, y se elige la que ofrezca mejor valor. No considera riesgo.

•  Método Wald (pesimista): Para cada alternativa se supone que va a pasar lo peor, y elige aquella alternativa que ofrezca mejor valor. De esta forma se asegura que en el peor de los casos se obtenga lo mejor posible.

•  Método Hurwitz: combina las actitudes pesimista y optimista, valorando cada alternativa con una ponderación entre lo mejor y lo peor posible.

•  Método Laplace: pondera de igual forma todas las opciones estableciendo una media del valor de las utilidades en función de los diferentes estados de la naturaleza.

•  Método Savage (costes de oportunidad): Este criterio toma en consideración el coste de oportunidad o penalización por no prever correctamente el estado de la naturaleza más favorable.


Métodos de decisión. Formulación (1)

 Método optimista: PLUNGER

Realizar aquella acción que en el mejor caso proporcione la satisfacción máxima (se cree que siempre pasa lo mejor).

Ganancias: Pérdidas:

 Método pesimista: WALD

Realizar aquella acción tal que en el peor de los casos proporcione la satisfacción máxima (se cree que siempre pasa lo peor).


maxi max j uij( )!" #$ mini min j lij( )!" #$

maxi min j uij( )!" #$ mini max j lij( )!" #$



 Método HURWITZ

El decisor es ‘α optimista’ y ‘(1-α) pesimista’.

‘α’ define el grado de predilección de una persona u otra ante una acción (0 ≤ α ≤ 1). Índice de optimismo. Si α = 1, el criterio es demasiado optimista ; y si α = 0 es demasiado pesimista.

Ganancias:

Pérdidas:

maxi ! !max j uij( )+ (1"! ) !min j uij( )#$ %&

mini ! !min j lij( )+ (1"! ) !max j lij( )#$ %&



 Método HURWITZ:

Comportamiento al variar el parámetro α.

Frente Pareto: Para α > 0.5 → a3 Para α = 0.5 → a3 , a2 Para α < 0.5 → a2 , a4

‐3

‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

6

7

a=0 a=0,5 a=1

a1

a2

a3

a4

! = 0.5 ! = 0! =1



 Método LAPLACE

Ante la falta de información sobre la frecuencia de cada estado, se adopta la visión en que los estados son igualmente probables: Principio de la Razón Insuficiente.


 Método SAVAGE

Concepto de frustración: Si se alcanza el mejor resultado, no hay frustración; pero si no se alcanza, la frustración (acción/estado) es la diferencia entre el máximo alcanzable por las acciones ante un estado y la utilidad obtenida (acción/estado).

Criterio: Minimizar la máxima frustración dadas


fij

maxi1n

uijj=1

n

!"

#$

%

&' mini

1n

lijj=1

n

!"

#$

%

&'

fij =maxi uij( )! uij "mini max j fij( )#$ %& fij = lij -mini lij( )!mini max j fij( )"# $%


Ejemplo 1. Soluciones  Ejemplo 1. Aplicación de métodos:

Una empresa quiere hacer una inversión.

C LC LR R

M 3 2 2 0

FC 4 2 0 0

LC 6 2 0 -2

D 1 1 2 2

Plunger Wald Hurwitz Laplace

3 0 3/2 7/4

4 0 2 6/4

6 -2 2 6/4

2 1 3/2 6/4

C LC LR R Savage

M 3 0 0 2 3

FC 2 0 2 2 2

LC 0 0 2 4 4

D 5 1 0 0 5

α=0.5

Estados: - Crecimiento. - Leve crecimiento. - Leve recesión. -  Recesión.

Acciones: - Mantenerse. - Fuerte crecimiento. - Leve crecimiento. - Diversificarse.

fij =maxi uij( )! uij "mini max j fij( )#$ %&


Método de Bayes. Concepto

 Decisión en universo aleatorio:

Ahora tenemos una idea de lo que puede suceder. Disponemos de unas probabilidades de que ocurran una serie de sucesos.

•  Utilidad de Bayes (UB):

Se promedian las utilidades de cada acción (esperanza matemática) y se escoge aquella que proporcione una mayor utilidad o un menor riesgo.

Ganancias: Pérdidas: maxi pj !uij( )j"#$ %&

mini pj ! l ij( )j"#$ %&


Método de Bayes. Aplicación

 Bayes en Ejemplo 1:

Una empresa quiere hacer una inversión.

Utilidad de Bayes

P 0.1 0.2 0.4 0.3 EM

C LC LR R

M 3 2 2 0 1.5

FC 4 2 0 0 0.8

LC 6 2 0 -2 0.4

D 1 1 2 2 1.7

Esperanza Matemática

Estados naturaleza: - Crecimiento. - Leve crecimiento. - Leve recesión. - Recesión. Posibles acciones: - Mantenerse. - Fuerte crecimiento. - Leve crecimiento. - Diversificarse.


Método de Bayes. Valor de la información

 Valor de la información adicional:

•  Utilidad Media Límite / Pérdida Media Inevitable (UML/PMI): Es el mejor valor que se puede obtener eliminando la incertidumbre del sistema.


•  Perdida por Falta de Información (PFI): Es lo máximo que se está dispuesto a pagar por tener la información (por eliminar la incertidumbre).


UML = pjj! "maxi (uij ) PMI = pj

j! "mini (lij )

UBUMLPFI −= PMIUBPFI −=


 Probabilidades:

Dado un fenómeno, intentar truncar las probabilidades a través de la experimentación.

•  Probabilidad a priori: Probabilidad de cada uno de los estados de la naturaleza antes del experimento.

•  Probabilidad condicional: Probabilidad de que el resultado de un experimento sea cuando se está en el estado .

P(xk sj )

xk sj

P(sj )

Método de Bayes. Experimentación (1)


•  Probabilidad marginal: Probabilidad de que suceda en cualquier caso un resultado concreto de un experimento.

•  Probabilidad a posteriori: Probabilidad de estar en un estado concreto cuando el resultado de un experimento ha sido

P(xk ) = P(s jj! ) "P(xk sj )

P(sj xk ) =P(xk sj ) !P(sj )

P(xk )

xk

Método de Bayes. Experimentación (2)


 Enunciado. Ejemplo 2:

De un proceso llega un lote de 10 piezas que puede ser de 2 tipos (aceptable e inaceptable). Si se acierta el tipo de lote, hay una ganancia de 100 um; si se falla, la ganancia es nula.

Lote bueno

Lote malo

Procesar

Descartar

Se permite realizar un experimento (sacar una pieza) con un coste de 25 um

¿Conviene o no conviene realizar el experimento?

Lote 1 (caja 1) Lote 2 (caja 2)

0.5 0.5



Ejemplo 2. Contexto

1.- 747 piezas y 330 referencias en 6 versiones del motor diesel 2.- Nº de operaciones de Montaje: 378 (incluida la prueba rápida). 3.- Nº de operarios, para un turno de 301 motores: 79

1.- Montaje: 9 tipos de motores de 3 familias: 4x4 (p1 a p3); furgonetas (p4, p5); camiones MT (p6 a p9). 2.- Nº de operaciones: 140. Atributos: temporales, espaciales y de riesgo 3.- Demanda diaria: 30 motores de cada tipo (instancia #1 Nissan-BCN), 2 turnos de 6h 45’ (8h): c=180 s.

Características de la fabricación

Características de un motor


 Ejemplo 2:

Sin experimento.

Conclusiones:

- Si podemos abrir lote para decidir → U = 100

-  Si podemos sacar 1 pieza → U↑

Por lo tanto, si UB (con experimento) > 50 + 25 =75 → Realizar experimento.

UB = 50 UML = 100 · 0.5 + 100 · 0.5 = 100

PFI = UML – UB = 100 – 50 = 50

Obviamente: “Cuanto más conocimiento se tiene de un problema, mejores decisiones se toman.”

P 0.5 0.5 EM

s1 s2

a1 100 0 50

a2 0 100 50

UML = utilidad media límite

UB = utilidad de Bayes

PFI = pérdida por falta de información

Ejemplo 2. Solución (1)


 Ejemplo 2:

•  Probabilidad a priori:

•  Probabilidad condicional:

•  Probabilidad marginal:

•  Probabilidad a posteriori:

P(s1) = 0.5 P(s2 ) = 0.5

P(x1 s1) = 9 10 = 0.9 P(x2 s1) =1! 0.9 = 0.1P(x1 s2 ) = 3 10 = 0.3 P(x2 s2 ) =1! 0.3 = 0.7

P(x1) = 0.5 !0.9 + 0.5 !0.3 = 0.6P(x2 ) = 0.5 !0.1+ 0.5 !0.7 = 0.4

P(s1 x1) =0.9 !0.50.6

= 0.75 P(s2 x1) =0.3!0.50.6

= 0.25

P(s1 x2 ) =0.1!0'50.4

= 0.125 P(s2 x2 ) =0.7 !0.50.4

= 0.875

Probabilidad de escoger lote S2 (7 buenas, 3 malas)

Probabilidad de sacar una pieza buena en lote S1 (9 buenas, 1 mala).

Probabilidad de sacar una pieza mala en lote S2

P(sj xk ) =P(xk sj ) !P(sj )

P(xk )

P(xk sj )

P(sj )

P(xk ) = P(s jj! ) "P(xk sj )



 Ejemplo 2:

Realizamos experimento → Sacamos 1 pieza

a)  La pieza es buena:

b)  La pieza es mala:

UB = 75

UB = 87.5

Si la pieza extraída es una pieza buena, la decisión es que pertenece al Lote 1, obteniendo una utilidad de 75 um.

P 0.75 0.25 EM

s1 s2

a1 100 0 75

a2 0 100 25

P 0.125 0.875 EM

s1 s2

a1 100 0 12.5

a2 0 100 87.5

Hacen referencia a x1 (pieza buena)


Si la pieza extraída es una pieza mala, la decisión es que pertenece al Lote 2, obteniendo una utilidad de 87.5 um.


 Ejemplo 2:

Por lo tanto, la Utilidad de Bayes del sistema realizando el experimento será:

En conclusión, como la “UB (con experimento)” es mayor que “UB (sin experimento) + Coste de la información”: 75. Ergo:

Conviene realizar el experimento!

UB = 0.6 · 75 + 0.4 · 87.5 = 80 > 75



Árboles de decisión. Concepto

 Estudio de problemas polietápicos:

Tipos de vértices:

•  De decisión: Utilidad esperada a obtener si se toma la mejor opción posible.

•  De azar: Utilidad esperada a obtener según las probabilidades de cada situación.

•  Terminales: Utilidad obtenida (Resultados).

uA = pj !uij( )j"lA = pj !uij( )j"

uD =max(R1,...Rn )lD =min(R1,...Rn )

R1

Rn

UD

UA

R1

R n

R i


 Ejemplo 2:

Un árbol de decisión del ejemplo de los lotes con piezas:

I

I

I I

I I

I I I

I I I

IV

IV

Caja1(0'5)

Caja2(0'5)

S í‐25

Sí‐25

No

No

Caja1

Caja2

100

0

B lanca(0'9)

A zul(0'1)

100

100

100

100

100

0

0

0

0

0

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

B lanca(0'3)

A zul(0'7)

Árboles de decisión. Representación


Árboles de decisión. Estrategias puras (1)

Una estrategia es una secuencia de acciones frente a una secuencia de conjuntos de información.

E1 E2 E3 E4 E5 E6 I No No Si Si Si Si II Lote 1 Lote 2 - - - -

III (blanca) - - Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 IV (azul) - - Lote 1 Lote 2 Lote 2 Lote 1

En el Ejemplo 2: Seis estrategias posibles frente a los conjuntos de información


I

I

I I

I I

I I I

I I I

IV

IV

Caja1(0'5)

Caja2(0'5)

S í‐25

Sí‐25

No

No

Caja1

Caja2

100

0

B lanca(0'9)

A zul(0'1)

100

100

100

100

100

0

0

0

0

0

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

Caja1

Caja2

B lanca(0'3)

A zul(0'7)

E1 E2 E3 E4 E5 E6 I No No Si Si Si Si II Lote 1 Lote 2 - - - -

III (blanca) - - Lote 1 Lote 2 Lote 1 Lote 2 IV (azul) - - Lote 1 Lote 2 Lote 2 Lote 1

I II III (blanca) IV (azul) Utilidad media

E1 0 (No) 100 (0.5) + 0 (0.5) - 50

E2 0 (No) 0 (0.5) + 100 (0.5) 50

E3 -25 (Si) - 75 (0.6) 12.5 (0.4) 50 – 25 = 25

E4 -25 (Si) - 25 (0.6) 87.5 (0.4) 50 – 25 = 25

E5 -25 (Si) - 75 (0.6) 87.5 (0.4) 80 – 25 = 55

E6 -25 (Si) - 25 (0.6) 12.5 (0.4) 20 – 25 = -5

Árboles de decisión. Estrategias puras (2)


 Ejemplo 3:

Una empresa tiene tres opciones sobre su futuro:

Opción a: Continuar con su producto → Obtendrá un beneficio de 10 um.

Opción b: Modificar su producto → Supone un coste de 5 um.

- Hay una probabilidad del 60% de que salga bien → Beneficio de 35 um.

- Si sale mal: - Puede hacer la “opción b2” → Beneficio de 17.5 um.

- Puede cerrar → Beneficio de 15 um.

Opción c: Fabricar un nuevo producto → Supone una inversión de 1 um.

- Hay una probabilidad del 75% de que salga bien → Beneficio de 20 um.

- Si sale mal → Beneficio de 10 um.



 Ejemplo 3:

Árbol de decisión:


I I

OK(0'6)

K O(0'4)

35

17'5

10

2015

c

C ierraOK(0'75)

K O(0'25)

I

10

a

c‐1

b‐5

b2


 Ejemplo 3:



I I

OK(0'6)

K O(0'4)

35

17'5

10

2015

c

C ierraOK(0'75)

K O(0'25)

I

10

a

c‐1

b‐5

17'5

b2


 Ejemplo 3:



I I

OK(0'6)

K O(0'4)

35

17'5

10

2015

c

C ierraOK(0'75)

K O(0'25)

I

10

a

c‐1

b‐5 28

17'5

17'5

b2


 Ejemplo 3:



I I

OK(0'6)

K O(0'4)

35

17'5

10

2015

c

C ierraOK(0'75)

K O(0'25)

I

10

a

c‐1

b‐5

2328

17'5

17'5

b2

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