Fundamentos de Teoría de Juegos - Parte II€¦ · 1 µ 2 µ 3 J1 σ 1-3 -2 6 σ 2 2 0 2 σ 3 5 -2...

MHD’15 - FTJ: 0 J. Bautista, G. López

Joaquín Bautista, Guillermo López

Fundamentos de Teoría de Juegos - II

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA – BARCELONATECH

Modelos y Herramientas de Decisión – Máster Universitario de Ingeniería de Organización - ETSEIB

OPE – ORGANIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y DE EMPRESA (ASPECTOS TÉCNICOS, JURÍDICOS Y ECONÓMICOS EN PRODUCCIÓN )

OPE-PROTHIUS – OPE-MSc.2015/06 (20150313) - http://futur.upc.edu/OPE - www.prothius.com - Departamento de Organización de Empresas – UPC


  Técnicas básicas de resolución

  Juegos de suma nula.

  Valor Max Min / Min Max

  Punto de silla

  Juegos 2 x 2

  Juegos 2 x n

  Juegos m x 2

  Juegos m x n.

Contenido


Técnicas básicas de resolución  Esquema de resolución:

1.  Interpretar

2.  Forma extendida

3.  Forma normal

4.  Dominancias:

4.1. Si obtenemos matriz (1x1) → FIN

4.2. Si no → Ir al paso 5

5.  Buscar el punto de silla con las estrategias no dominadas

5.1. Si existe punto de silla → FIN

- Si es un problema ‘2 x 2’ → Solucionar mediante fórmulas

5.2. Si no - Si es un problema ‘2 x n’ → Solucionar mediante gráficos y/o sistema

- Si es un problema ‘n x m’ → Solucionar mediante PL


 Ejemplo 2: Póker simplificado

II

(‐1,1)(‐1,1)

2$2$

III I

(‐1,1)(‐1,1)

2$2$

III I I IIV IV

(1,‐1)(0,0)

2$

(1,‐1)(3,‐3)

2$

(1,‐1)(‐3,3)

2$

(1,‐1)(0,0)

2$

A /KA /A K /KK /A

Ex aequo J1 gana 3, J2 pierde 3

Juegos de suma nula. Valor Max Min / Min Max (1)


 Ejemplo 2: Póker simplificado

Tabla con utilidades de J1

J2 A/A A/P P/A P/P

J1

A/A 0 -1/4 5/4 1

A/P 1/4 -1/4 2/4 0

P/A -5/4 -1 -1/4 0

P/P -1 -1 -1 -1

-1/4

1/4

Max Min

-1/4 -5/4

-1

-1/4 5/4 1 Min Max

Juegos de suma nula. Valor Max Min / Min Max (2)


Juegos de suma nula. Punto de silla

 Ejemplo 3: Punto de silla (todo jugador tiene una estrategia tal que si la abandona sale perdiendo)

Tabla de utilidades del J1

J2

µ1 µ2 µ3

J1

σ1 -3 -2 6

σ2 2 0 2

σ3 5 -2 4

-3

0

-2

5 0 6

Max Min

Min Max

Punto de silla: σ2,μ2 Valor del juego: 0

ESTRATEGIAS PURAS Para J1: σ1 = 0; σ2 = 1; σ3 = 0 Para J2: µ1 = 0; µ2 = 1; µ3 = 0


Juegos 2 x 2. Ejemplo

 Ejemplo 4: Juego 2 x 2

•  Punto de silla:

J2

y1 y2

J1 x1 -0.5 1

x2 0.5 0

-0.5

0

0.5 1

J1: Max Min → 0 J2: Min Max → 0.5

No existe punto de silla

El valor del juego se encontrará entre 0 y 0.5.


Juegos 2 x 2. Programa lineal

 Juegos 2 x 2: PLs

•  Matriz de juego:

J2

y1 y2

J1 x1 a11 a12

x2 a21 a22

Primal:

max[ ]v

s.a.

x1+ x

2=1

v! a11x1! a

21x22" 0

v! a12x1! a

22x22" 0

x1, x

2# 0

Dual:

min[ ] !v

s.a.

y1+ y

2=1

!v " a11y1" a

12y22# 0

!v " a21y1" a

22y22# 0

y1, y

2# 0


Juegos 2 x 2. Fórmulas de equilibrio

 Juegos 2 x 2: Fórmulas

•  Valor del juego:

•  Probabilidad de que J1 utilice x1 o x2:

•  Probabilidad de que J2 utilice y1 o y2:

J2

y1 y2

J1 x1 a11 a12

x2 a21 a22

21122211

21122211

aaaaaaaav−−+

⋅−⋅=

21122211

21221 aaaa

aax−−+

−=

21122211

12112 aaaa

aax−−+

−=

21122211

12221 aaaa

aay−−+

−=

21122211

21112 aaaa

aay−−+

−=


Juegos 2 x 2. Resolución

 Ejemplo 4: Juego 2 x 2 (Continuación)

•  Fórmulas:

v =-0.5 !0"1!0.5

-0.5+ 0"1" 0.5= 0.25

x1=

0! 0.5

-0.5+ 0!1! 0.5= 0.25 x

2=

-0.5!1

-0.5+ 0!1! 0.5= 0.75

y1=

0!1

-0.5+ 0!1! 0.5= 0.5 y

2=

-0.5! 0.5

-0.5+ 0!1! 0.5= 0.5

Valor del juego

ESTRATEGIAS MIXTAS Para J1: x1 = 0.25 ; x2 = 0.75 Para J2: y1 = 0.5 ; y2 = 0.5

J2

y1 y2

J1 x1 -0.5 1

x2 0.5 0


Juegos 2 x n. Resolución gráfica

 Ejemplo 5: Juego 2 x n

J2

y1 y2 … yn

J1 x1 a11 a12 … a1n

x2 a21 a22 … a2n

J2

y1 y2 y3 y4

J1 x1 7 4 2 1

x2 2 3 4 6

Valor del juego

Restricciones de J1 = Estrategias de J2

Corte y2 <−> y3 :

x1=1 x

2=10.5 2 3

Corte: y2! y

3

x1=1 3, x

2= 2 3

y1= 0, y

2= 2 3, y

3=1 3, y

4= 0

vJ1=10 3


 Ejemplo 6: Juego m x 2

J2

y1 y2

J1

x1 a11 a12

x2 a21 a22

… … …

xm am1 am2

Valor del juego

J2

y1 y2

J1

x1 7 2

x2 4 3

x3 2 4

x4 1 6

Restricciones de J2 = Estrategias de J1

Para J1: El valor del juego será el mínimo en la frontera de máxima ganancia de J1.

y1=1 y

2=10.5 3 5

Juegos m x 2. Resolución gráfica

Corte: x1 ! x4

y1 = 2 5, y2 = 3 5x1 =1 2, x2 = 0, x3 = 0, x4 =1 2vJ 2 = 4


 Juegos m x n: PL Primal

J2

y1 y2 … yn

J1

x1 a11 a12 … a1n

x2 a21 a22 … a2n

… … … … …

xm am1 am2 … amn

Estrategias mixtas de J1

-  Nº de variables: m+1

-  Objetivo: maximizar la ganancia mínima de J1 marcada por las estrategias de J2.

s.a.:

x1+ x

2+...+ x

m=1

v! a11x1! a

21x2!...! a

m1xm" 0

v! a12x1! a

22x2!...! a

m2xm" 0

v! a1nx1! a

2nx2!...! a

mnxm" 0

x1, x

2,.., x

m! 0

vJ1 = max[ ]v

x1, x

2,..., x

m( )v

....

Juegos m x n. Programa Lineal (1)


 Juegos m x n: PL Dual

J2

y1 y2 … yn

J1

x1 a11 a12 … a1n

x2 a21 a22 … a2n

… … … … …

xm am1 am2 … amn

Estrategias mixtas de J2

-  Nº de variables: n+1

-  Objetivo: minimizar la máxima pérdida de J2 marcada por las estrategias de J1.

s.a.:

1...21 =+++ nyyy!v " a11y1 " a12y2 " ... " a1nyn # 0!v " a21y1 " a22y2 " ... " a2nyn # 0

!v " am1y1 " am2y2 " ...amnyn # 0y1, y

2,.., y

n! 0

y1, y

2,..., y

n( )!v

vJ 2 = min[ ] !v

....




J2

y1 y2 y3

J1

x1 4 9 2

x2 3 5 7

x3 8 1 6

2

3

1

8 9 7

Max Min

Min Max

Primal: max[ ]vs.a.x1 + x2 + x3 =1v ! 4x1 ! 3x2 !8x32 " 0v ! 9x1 ! 5x2 !1x32 " 0v ! 2x1 ! 7x2 ! 6x32 " 0x1, x2, x3 # 0

 Ejemplo 7: Juego 3 x 3

Dual: min[ ] !vs.a.y1 + y2 + y3 =1!v " 4y1 " 9y2 " 2y3 # 0!v " 3y1 " 5y2 " 7y3 # 0!v "8y1 "1y2 " 6y3 # 0y1, y2, y3 # 0



 Ejemplo 8: Juego 4 x 4:

 Ejercicio: Modelizar y resolver el siguiente juego 4 x 4.

y1 y2 y3 y4

x1 7 12 1 14

x2 2 13 8 11

x3 16 3 10 5

x4 9 6 15 4

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